TÌM HIỂU CÁC BÀI TOÁN DAO ĐỘNG CƠ (KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC)

Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hà - K29A Lý

1



Tìm hiểu các bài toán dao động cơ
(Khóa luận tốt nghiệp Đại học)

Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hà - K29A Lý

2

A- Mở Đầu

1. Lý do chọn đề tài
Dao động là dạng chuyển động rất hay gặp trong kĩ thuật và trong đời
sống hiện nay. Các dao động không chỉ xuất hiện trong các quá trình cơ học,
điện học, quang học và diễn ra trong các nguyên tử và hạt nhân nguyên tử.
Ngời ta phân biệt các dao động tuỳ theo bản chất vật lí của quá trình
lặp lại: các dao động cơ, dao động điện tử, dao động điện cơ trong các loại
dao động nói chung thì dao đông cơ là một trong những dao động phổ biến
nhất và đóng vai trò lớn trong khoa học kĩ thuật. Nghiên cứu về loại dao động
này có ý nghĩa đặc biệt quan trọng vì nó sẽ là cơ sở của các lĩnh vực kỹ thuật
khác nhau.ý thức đợc tầm quan trọng đó chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu:
Tìm hiểu các bài toán dao động cơ.
Tiến hành nghiên cứu đề tài này chúng tôi nhằm mục đích tìm hiểu sâu
hơn về dao động cơ, phân loại và hệ thống một cách khoa học các kiến thức về
dao động cơ, đồng thời nhằm nâng cao trình độ khoa học của bản thân, bớc
đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học.

2. Mục đích nghiên cứu
Nắm vững kiến thức cơ bản về dao động cơ, phân loại và giải các bài
toán của phần này, biết vận dụng các kiến thức vào thực tiễn, kĩ thuật, thấy
đợc tác dụng của môn học đối với thực tế.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nắm đợc các khái niệm các đại lợng đặc trng về dao động. Phân loại
đợc các dạng bài tập và phơng pháp giải từng loại. Vận dụng kiến thức để
giải thích một số hiện tợng trong cuộc sống.

Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hà - K29A Lý

3

4.Đối tợng nghiên cứu.
Các dạng bài tập dao động cơ, dao động điều hoà, dao động cỡng bức,
dao động tắt dần.
5. Phơng pháp nghiên cứu
Đọc tài liệu liên quan: sách giáo trình, sách giáo khoa, sách tham khảo,
phân tích, tổng hợp và giải các bài tập về dao động cơ học.








Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hà - K29A Lý

4

B- Nội Dung:
Chơng 1 . Cơ sở lý thuyết
Đ1.1 dao động, dao động điều hoà

1.1.1 Các khái niệm:
- dao động là chuyển động có giới hạn trong không gian, lặp đi lặp lại
nhiều lần quanh một vị trí cân bằng.
- dao động tuần hoàn là dao động mà trạng thái chuyển động của vật
đợc lặp lại nh cũ sau những khoảng thời gian bằng nhau.
- dao động điều hoà là dao động tuần hoàn trong đó đại lợng
x
phải
khảo sát biến thiên theo thời gian theo quy luật của hình
sin
( hay

cosin
)
sin( )
x a t
= +
hay
cos( )
x a t
= +

Trong đó:
a

là biên độ cực đại của dao động
x
là biên độ ở thời điểm t

là tần số góc

la góc lệch pha ban đầu
( )
t
+
là pha dao động
Do hàm
sin
là hàm điều hoà với chu kì 2, ta có thể viết:
sin( )
x a t
= +
hay
2
sin[ ( ) ]
x a t

= + +


Đại lợng
2
T

=

gọi là chu kỳ của dao động điều hoà. Nó cho biết li độ
của dao động ở thời điểm
2
( t + )


cũng bằng li độ của nó ở thời điểm

t
.

Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hà - K29A Lý

5

Số dao động trong 1 đơn vị thời gian gọi là tần số dao động
1
f =
T

Từ đó ta có công thức:
= 2 f

.

Biểu thức toán học của dao động điều hoà.
x= asin( t+ )=a.sin t.cos +a.cos t.sin

suy ra:

x= Asin t+Bcos t


(
A =a.cos ; B =a.sin ).

Mặt khác hàm điều hoà
x = a.cos( t + )

và
x = asin( t+ )

chính là phần thực và phần ảo của hàm phức x=a.e
i(

t +

)
hay
x=c.e
i

t
với c=a.e
i


1.1.2 Phơng trình của dao động điều hoà
Giả sử chất điểm M có khối lợng m dao động theo quy luật:

.sin( )
x a t

= +

Khi đó: vận tốc
' ( )
v x a cos t

= = +

Gia tốc
'' sin( )
a x a t

= = +

Theo phơng trình cơ bản của động lực học, lực
F

tác dụng lên M làm
nó chuyển động là:
2
sin( )
F ma m a t

= = +

Phơng trình này chứng tỏ lực F tác dụng ngợc chiều với độ dịch
chuyển x tức là luôn hớng về vị trí cân bằng.

Phơng trình còn đợc biểu diễn dới dạng tổng quát:
F
+
k
x
0
=
hay
''
mx
+
k
x
0
=
, k
2
m

=

Phơng trình này là phơng trình dao động dới dạng tổng quát.
Nghiệm của nó có dạng:
.sin( )
x a t

= +
hay
cos( )
x a t

= +


Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hà - K29A Lý

6


Đ1.2 Năng lợng của dao động điều hoà

Giả sử chất điểm dao động theo quy luật:
.sin( )
x a t

= +

Động năng:
2
1
2
d
W mv
=
=
1
2
m
.
2 2 2
cos ( )

a t

+

Ta có: độ giảm thế năng của M khi M di chuyển từ 0 đến x bằng công
của lực tác dụng lên M trên đoạn đờng ấy:
W
t
(0)-W
t
(x)=
0
x
Fdx

=-
0
.
x
m


2
.xdx =-m.
2
.
2
2
x

Vậy W
t
(x)= W
t
(0)+ m.
2
.
2
2
x
= W
t
(0)+
1
2
.k.x
2

Chọn W
t
(0) = 0 W
t
(x) =
1
2
.m.
2
.x
2
=

2 2 2
1
sin ( )
2
ma t

+

Cơ năng: W = W
đ
+ W
t
=
1
2
.
2 2
ma



1
2
.m.
2
a
.
2
=
1

2
.k.
2
a

Đ 1.3 Tổng hợp dao động
1.3.1 Tổng hợp hai dao động điều hoà cùng phơng cùng chu kỳ
Xét hai dao động cùng phơng cùng chu kỳ:

1 1 1
cos( )
x a t

= +

2 2 2
cos( )
x a t

= +

Dao động tổng hợp:

1 2 1 2
cos( ) cos( )
x x x a t a t

= + = + + +

Cách 1: phơng pháp lợng giác

1 1 2 2
( ) ( )
x a cos t a cos t

= + + +


Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hà - K29A Lý

7


1 1 2 2 1 1 2 2
( ) ( sin sin )sin
a cos a cos cos t a a t

= + + +
.
Biểu thức này chứng tỏ dao động
tổng hợp cũng là dao động điều hoà với
tần số nh tần số của dao động thành
phần tức
. ( )
x a cos t

= +

Trong đó

2 2

1 2 1 2 2 1
2 ( )
a a a a a cos

= + +
(3.1)

1 1 2 2
1 1 2 2
sin
sin
tan
cos
cos
a a
a a
+
=
+
(3.2)

Cách 2. Phơng pháp hình học (giản đồ Frexnen)
Ta biểu diễn x
1
bằng
1
A

có:
1 1

1 1
( , )

A A
A x

=



=




Tơng tự x
2
đợc biểu diễn bằng
2
A

2 2
2 2
( , )

A A
A x

=

=




Vecto tổng:
1 2
A A A
= +


A

chính là vectơ biểu diễn cho dao động tổng hợp:

1 2
.cos(
)
x x x a t
= + = +

Với
,
a

đợc tính nh công thức (3.1) và (3.2)
Khi
2 1

2
n

=
tức là hai dao động thành phần cùng pha thì:
max 1 2
a a a
= +

2 1
(2 1)
n

= +
tức 2 dao động ngợc pha:
min 1 2
a a a
=

2 1
(2 1)
2
n

= +
tức hai dao động vuông pha:
2 2
1 2
a a a
= +

Vậy:
1 2 1 2
a a a a a
+


Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hà - K29A Lý

8

1.3.2 Tổng hợp 2 dao động có chu kỳ dao động khác nhau chút ít. Hiện
tợng phách
Ta xét chất điểm tham gia hai dao động cùng phơng nhng có tần số
dao động khác nhau chút ít:

1 1 1 1
2 2 2 2
cos( )
cos( )
x a t
x a t
=
=

Trong đó:
1 2 1 2
= << ,

Dao động tổng hợp:

1 2 1 1 1 2 2 2
1 2 1 2 2
cos( ) cos( )
2 cos( ).cos( ) ( ).cos( )
2 2
x x x a t a t
a t t a a t
= + = +

= +
(1)
Trong đó:
1 2
=

1 2
2
+
=


1 2
2
+
=

1 2
=

Phơng trình (1) chứng tỏ dao động tổng không phải là dao động điều
hoà do
1 2
,

,
1 2
,
2

<<
nên có thể coi dao động biểu diễn bởi số hạng
thứ nhất của (1) là một dao động gần điều hoà với tần số

rất gần với
1

hoặc
2

và có biên độ là
1
2 ( )
2 2
a t


hiện tợng biến thiên chậm của biên độ
theo thời gian gọi là hiện tợng phách (Hình)
Biên độ

2 cos( )
2
a t

=

Chu kỳ biến thiên của biên độ:
1 2
2 4



2

= =






Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hà - K29A Lý

9

1.3.3 Tổng hợp 2 dao động có phơng vuông góc
Xét một vật tham gia đồng thời hai dao động cùng tần số theo hai
phơng vuông góc với nhau:
Chọn gốc thời gian là lúc pha ban đầu của dao động trên trục x bằng 0:
cos
cos( )
x a t
y b t
=
=

Khử t ta đợc phơng trình quỹ đạo của dao động tổng hợp:
2 2
2
2 2
2 cos sin
x y xy
a b ab

+ =

Đây là phơng trình dao động của một elip tâm O nội tiếp hình chữ nhật
cạnh 2a và 2b.
- Nếu

n

= 2
ta có:
0
x y b
y x
a b a
=

=

Chuyển động tổng hợp là một dao động điều hoà theo đờng thẳng với
tần số

và biên độ bằng
2 2
a b
+

- Nếu
(
b
n y x
a

= 2 +1) =
(tơng tự nh trên)
- Nếu
2 2

2 2
( 1
2
x y
n
a b

= 2 +1)

+ =


Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hà - K29A Lý

10

Dao động tổng hợp là một elip có hai trục song song
với hai cạnh của hình chữ nhật
Nếu
a b
=
thì elip sẽ thành hình tròn.
1.3.4 Tổng hợp nhiều dao động điều hoà cùng phơng
Ta đi tổng hợp
n
dao động điều hoà cùng phơng, có những tần số bằng

, , , ,
n
2 3

1 1 1
2 2 2
cos
cos

cos
n n n
x a t
x a t
x a t
= ( + )
= ( + )
= ( + )

Chu kỳ của các dao động:
1
1
2

=

,
2
2
2

=

,,

2
n
n

=

.
Vì thế sau mỗi khoảng thời gian
1
T
=
từng dao động điều hoà lặp lại
nh cũ, và dao động tổng:
1
cos( )
n
k k
k
x a k t
=
= +

với
1,2,3,
k
=

Là một dao động điều hoà có chu kỳ
1
2

T T

= =


Tần số

đợc gọi là tần số cơ bản, các tần số khác gọi là tần số hoạ ba.


Đ1.4 con lắc lò xo và con lắc vật lí
1.4.1 Con lắc lò xo
Một lò xo, một đầu cố định còn đầu kia treo quả nặng khối lợng
m
.
Giả sử tại vị trí cân bằng lò xo giãn một đoạn
0 0
l l l
=

Với
0
,
l l
là chiều dài tự nhiên và chiều dài của lò xo khi ở vị trí cân bằng
O với O là gốc toạ độ, chiều dơng từ trên xuống.

Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hà - K29A Lý

11

Lực đàn hồi
F kx
=

Tại vị trí cân bằng
0 0
0
P F P F mg k l
+ = = =


Tại vị trí cách 0 một khoảng
x
:
dh
P F ma
+ =



0
( ) ''
dh
P F ma mg k l x mx

=

+ =

2
'' '' 0
kx mx x x
= + =
với
k
m
=

Nghiệm của phơng trình này có dạng :

cos( )
x a t
=

Vậy vật nặng dao động điều hoà với tần số góc
k
m
=

và chu kỳ
2
k
T
m

=

1.4.2 Con lắc vật lí

Con lắc vật lí là một vật rắn có thể dao động
quanh một trục nằm ngang cố định dới tác dụng
của trọng lực.
O là trục dao động của con lắc
d
khoảng cách từ khối tâm C đến trục
quay của con lắc
Mô men tác dụng lên con lắc:
sin sin
M Pd mgd

= =

M
có giá trị âm vì nó luôn hớng theo chiều làm giảm góc lệch

.
I
là momen của con lắc đối với trục quay O. và với góc

nhỏ, ta có:
sin


.
'' '' 0
mgd
I mgd
I

= + =
nghiệm có dạng
0
sin( )
t

=

Chu kỳ dao động
2
2
I
T
mgd


= =

(1)
O

C

O



P

l

d

Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hà - K29A Lý

12

Nếu toàn bộ khối lợng của con lắc vật lí tập trung tại một điểm là khối
tâm của con lắc ta sẽ có con lắc toán học. Thực tế thì con lắc toán học là một
quả cầu nhỏ treo ở đầu một sợi dây dài
l
. Ta có
d l
=
và
2
I ml
=

Khi đó
2 ;
l g
T
g l

= =
(2)
So sánh giữa (1) và (2) ta thấy con lắc vật lí dao động giống nh con lắc
toán học có chiều dài

l
I
mg
=

l
đợc gọi là chiều dài rút gọn của con lắc vật lí.
Trên đờng OC ta phải lấy điểm O sao cho OO
l
=
, O phải tập trung
toàn bộ khối lợng của con lắc để chu kì dao động của nó không đổi, O đợc
gọi là tâm dao động.
Theo định lí Huyghen - stenơ
2
c
I I md
= +

c
I
là momen quán tính của con lắc đối với một trục đi qua khối tâm C
khi đó:
c
I
l d
md
= +

Ta có

l d
>
tức O và O phải nằm ở hai phía đối với C.
Cho con lắc dao động một trục đi qua O , khi đó chiều dài rút gọn của
con lắc
' '
'
c
I
l d
md
= +

Ta có
'
c
I
d l d
md
= =

Thay vào trên ta có
'
c
I
l d l
md
= + =

Vậy con lắc dao động quanh trục O, chiều dài rút gọn của nó vẫn bằng

l
do đó chu kì
T
không đổi.
Đ1.5 Dao động tắt dần
Xét dao động của một vật khi có sức cản của môi trờng bên ngoài.Lực
cản của môi trờng phụ thuộc vào vận tốc của vật và ngợc chiều với vận tốc.

Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hà - K29A Lý

13

Nếu gọi
r
là hệ số cản của môi trờng, lực cản sẽ bằng
'
rx
. Ngoài ra vật còn
chịu tác dụng của lực hồi phục nên phơng trình của định luật II Neuton:
'' '
mx kx rx
=
hay
'' ' 0
r k
x x x
m m
+ + =
(1)
Đặt

2
r
m

=
và
2
0
k
m

=

ở đây
0
k
m

=
là tần số dao động của vật khi không có sức cản của môi
trờng tức
0
r
=

Phơng trình (1) có dạng:
2
'' 2 ' 0
o
x x x

+ + =
(2)
Nghiệm có dạng:
0
cos( )
t
x A e t



= +

Vậy vật dao động với chu kì
2 2
0
2 2
T



= =

và biên độ
0
t
A A e


=

Chu kì này lớn hơn chu kì dao động của vật khi không chịu tác dụng của
môi trờng ngoài.
Biên độ
0
t
A A e


=
giảm dần theo thời gian và giảm càng nhanh khi


càng lớn.
Để có thể đánh giá đợc sự tắt dần nhanh hay chậm của dao động ta có
thể so sánh biên độ của 2 dao động cách nhau một chu kì
T

( )
( )
( )
0
0
.
.
t
t
T
t T
t T

A
A e
e
A
A e




+
+
= =

Tức sau mỗi chu kì biên
độ sẽ giảm
e

lần lợng

gọi
là hệ số tắt dần:
2
r
m

=

Tốc độ tắt dần của dao
động phụ thuộc vào hệ số tắt

Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hà - K29A Lý

14

dần

và chu kì
T
. Nếu sức cản của môi trờng càng lớn và chu kì dao động
càng lớn thì dao động tắt dần càng nhanh.
Tỉ số
( )
( )
t
A t
e
A t T

=
+
gọi là đối số tắt dần của dao động.
Còn
( )
ln
( )
A t
t
A t T

= =

+
gọi là loga đối số tắt dần của dao động.
Biết

ta tính đợc hệ số cản của môi trờng.
2 2
r m m
T


= =

Từ công thức
0
t
A A e


=
khi
t

dao động mới tắt hẳn
Năng lợng toàn phần của dao động:
2 2
2 2
0
0
1 1
2 2

1
1 sin(2 2 )
2
t
E kx mx
E kA e t





= +

= + + +



Với
arctan( )



=

Năng lợng của dao động giảm đi. Sự giảm năng lợng của dao động
đợc gây ra bởi công của lực cản của môi trờng:
'
c
F rx
=

Muốn dao động không tắt dần ta phải cung cấp cho dao động một năng
lợng từ bên ngoài đủ bù cho năng lợng bị tiêu hao để thắng công của lực
cản.
Đ 1.6 Dao động cỡng bức và cộng hởng
1.6.1 Phơng trình của dao động cỡng bức
Xét một hệ dao động tắt dần, chúng ta duy trì dao dộng của hệ bằng
cách tác dụng vào nó một lực cỡng bức
cos
F H t
=
với
H
là biên độ của lực
cỡng bức. Định luật II Neutơn:

Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hà - K29A Lý

15


'' ' cos
mx kx rx H t

= +
hay
'' ' cos 0
r k H
x x x t
m m m

+ + =
(1)
Đặt
2
0
2 ; ;
r k H
h
m m m

= = =
. Phơng trình (1) trở thành:
2
0
'' 2 ' cos 0
x x x h t

+ + =
(2)
Nếu không có lực cỡng bức thì hệ sẽ tắt dần và ngừng hẳn sau một
khoảng thời gian

nào đó
Nếu có lực cỡng bức tác dụng, lúc ban đầu hệ sẽ dao động phức tạp sau
khoảng thời gian

nói trên, lực hồi phục và lực cản rất yếu, hệ sẽ dao động
chủ yếu dới tác dụng của lực cỡng bức
cos

F H t
=
: vì thế sau khoảng thời
gian ổn định

hệ sẽ dao động với tần số của lực cỡng bức. Nếu chỉ xét dao
động sau thời gian ổn định, ta có thể viết phơng trình dao động của hệ:
cos( )
x A t
= +

Trong đó

là tần số của lực cỡng bức.
Và
2 2
2 2 2 2 2
0
2
(3);tan (4)
( ) 4
o
h
A




= =

+

1.6.2 Cộng hởng
Xét một hệ dao động tắt dần có tần số dao động riêng
0

và đợc kích
thích bằng một lực cỡng bức
cos
H t

.
Từ phơng trình (3) nếu
h
không đổi. Biên độ
A
sẽ có giá trị cực đại khi
mẫu số của vế phải cực tiểu, tức là khi tần số của lực cỡng bức bằng:
2 2
2
ch o

= =

Sự xuất hiện biên độ cực đại
gọi là hiện tợng cộng hởng và tần
số
ch

gọi là tần số cộng hởng: Biên

độ cộng hởng có giá trị:


Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hà - K29A Lý

16

2 2
0
2
ch
h
A

=


Khi môi trờng ngoài không có sức cản
0
0, ,
ch ch
A

= = =
.
Khi sức cản của môi trờng càng nhỏ thì biên độ dao động càng lớn
Khi có cộng hởng, pha ban đầu của dao động đợc xác định:
2 2
2
ch o

= =
2 2
0
2
tan




=


Đ 1.7 Phân loại và phơng pháp giải
các bài toán dao động
1.7.1 Phân loại các bài toán dao động
- Loại 1: Chu kì, tần số, năng lợng của con lắc lò xo.
- Loại 2: Chứng minh chuyển động của một vật là dao động điều hoà,
phơng trình dao động điều hoà.
- Loại 3: Con lắc lò xo trong hệ quy chiếu không quán tính.
- Loại 4: Chu kì, tần số, vận tốc, lực căng, năng lợng của con lắc đơn
- Loai 5: Biến thiên chu kì dao động của con lắc đơn.
- Loại 6: Dao động tắt dần.
- Loại 7: Tổng hợp dao động.
- Loại 8: Dao động cỡng bức.
1.7.2 Phơng pháp giải các bài toán dao động
a. Loại 1: Chu kì, tần số, năng lợng của con lắc lò xo.
giả sử phơng trình dao động cần viết:
sin( )
x A t

= +
.
+ Tìm
2
2
k
f
T m


= = =
với
k
là độ cứng của lò xo

Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hà - K29A Lý

17


m
là khối lợng vật nặng
+ Tìm
A
.
Đề cho Phơng pháp Chú ý
Toạ độ
x
ứng với vận tốc

v
:
2
2
2
v
A x

= +
buông nhẹ,
thả
0
v
=

Vận tốc ở vị trí cân bằng:
max
v A

=
Chiều dài quỹ đạo CD:
2
CD
A =
Hợp lực tác dụng:
max
F
:
max
F kA

=

Năng lợng
E
:
2
1
2
E kA
=

+ Tìm

.
Dựa vào điều kiện ban đầu:
0 0
0, ,
t x x v v
= = =


0
0
.sin
. cos
x A
v A

=



=


Chú ý: ở vị trí biên:
max max
0
t d
x A v
E E E
=

=
= =

- Năng lợng dao động của con lắc lò xo
Các bài toán liên quan đến năng lợng dao động của con lắc lò xo có thể
giải bằng cách áp dụng những kết quả sau đây:
+ Năng lợng dao động sự chuyển hoá năng lợng.
Động năng:
2 2 2 2 2
1 1 1
cos ( )
2 2 2
d
E mv kx m A t

= = = +

Thế năng:
2 2 2 2
1 1
sin ( )
2 2
t
E kx m A t

= = +

Năng lợng dao động:
2 2 2
1 1
2 2
d t
E E E m A kA

= + = =

Sự chuyển hoá năng lợng:
0
d t
E E E
= =


Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hà - K29A Lý

18

ứng dụng: chứng minh dao động điều hoà bằng phơng pháp năng
lợng.
+ Bài toán va chạm.
Va chạm không đàn hồi( va chạm mềm). áp dụng định luật bảo toàn
động lợng
( ) 0
mv
=


Va chạm đàn hồi
áp dụng: Định luật bảo toàn động lợng
( ) 0
mv
=


Định luật bảo toàn động năng
0
d
E
=

- Chu kỳ của con lắc lò xo.
áp dụng công thức tính chu kỳ:
2
m
T

k

=

Chú ý: sự thay đổi của hệ số đàn hồi
k
khi
+ Lò xo ghép nối tiếp:
1 2
F F F
= =

1 2
l l l
= +

Mà
1 1 1 2 2 2
, ,
F k l F k l F k l
= = =

1 2
1 2
F F
F
k k k
= +

1 2

1 1 1
k k k
= +

+ Lò xo ghép song song:
Ta có:
1 2
F F F
= +

1 2
l l l
= =

1 1 2 2 1 2
k l k l k l k k k

= +

= +

+ Cắt lò xo: lò xo ban đầu dài
0
l
,
độ cứng
0
k
cắt
thành hai lò xo có chiều dài lần lợt

1
l
(
độ cứng
1
k
)
và
2
l
(
độ cứng
2
k
)

m
k
2
k
1
m
O

k
1
k
2

Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hà - K29A Lý

19

Có
1 1 2 2 0 0
ES
k k l k l k l
l
= = =
bằng)
b. Loại 2: Chứng minh chuyển động của một vật là dao động đièu hoà,
phơng trình dao động điều hoà.
Phơng pháp:
Cách 1: phân tích lực tác dụng lên vật, chỉ ra:
F kx
=

- Chọn trục toạ độ
- Xác định các lực tác dụng lên vật khi vật đang đứng yên( vị trí cân bằng)
- Xác định các lực tác dụng lên vật khi nó ở vị trí bất kì để chỉ rõ hợp
lực:
F k x
=




- áp dụng định luật II Newton để thiết lập phơng trình chuyển động

2

'' '' sin( )
kx mx x x x A t

=

=

= +

Cách 2: - áp dụng định luật bảo toàn cơ năng:
t d
E E E const
= + =

Với
d
E
là động năng của vật:
2
1
2
d
E mv
=

t
E

là thế năng của vật:
Con lắc đơn:

2
2
t
x
E mgh mg
l
= =


Con lắc lò xo:

2
1
2
t
E kx
=

- Lấy đạo hàm hai vế theo thời gian
t
, chú ý:
'' ; '
x a x v
= =

- Biến đổi để dẫn đến:
2
''
x x

=
hay
2
''
x x o

+ =

Suy ra:
sin( )
x A t

= +

c. Loại 3: Con lắc lò xo trong hệ qui chiếu không quán tính.
Phơng pháp:
Xét con lắc lò xo trong hệ qui chiếu có gia tốc
0
a
đối với hệ qui chiếu
quán tính.Các lực tác dụng vào lò xo: + trọng lực
mg


+ lực đàn hồi
F



Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hà - K29A Lý

20

+ lực quán tính:

0
F ma
=


Xét vật ở vị trí cân bằng:
0
0
qt
mg F F
+ + =


Suy ra: Độ biến dạng:
0
0
F
l
k
=



Xét vật ở vị trí có độ dịch chuyển
x

kể từ vị trí cân bằng:
Tổng lực:
0qt
F mg F F k x
= + + =



Chu kỳ dao động:
2
m
T
k

=

d. Loại 4: Chu kỳ, tần số, vận tốc, lực căng, năng lợng của con lắc đơn
- Chu kỳ:
2
l
T
g

=

- Phơng trình chuyển động:
0
sin( )

t

= +
trong đó
0

và

do các
điều kiện ban đầu xác định và có
S l

=

- Vận tốc:
áp dụng định lí động năng, ta có:
2
0
2 (cos cos )
v gl

=

- Lực căng
áp dụng định luật II Newton
mg ma

+ =

Chiếu lên trục hớng tâm rồi suy ra:
2
cos
v
mg m
l

= +

Thay biểu thức của
2
v
ta có:
0
(3cos 2cos )
mg

=

- Năng lợng dao động:
Động năng:
2
0
1
(cos cos )
2
d
E mv mgl

= =

Thế năng( trọng trờng):
(1 cos )
t
E mgl

=

Năng lợng( cơ năng) dao động:
t d
E E E
= +


o

s




mg


+

O

Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hà - K29A Lý

21


0
(1 cos )
E mgl

=

Với
0

nhỏ:
2 2 2
0 0 0
1
( )
2
E mgl m A A S l

= = = =

e. Loại 5: Biến thiên chu kỳ của con lắc đơn:
- Gia tốc trọng trờng ở độ cao
h

2

0
( )
h
R
g g
R h
=
+
với
0
g
là gia tốc trọng trờng tại mặt đất

6400
R km
=
là bán kính trái đất
- Chiều dài dây kim loại ở nhiệt độ
t

0
(1 )
l l t

= +
với
0
l
là chiều dài dây treo ở
0

0
C


là hệ số nở dài(độ
-1
hay
1
K

)
- Công thức gần đúng:
(1 ) 1
n
n

=
với
1 2
, ,

là các số dơng rất nhỏ
1 2 1 2
1
1 2
2
(1 )(1 ) 1
1
(1 )(1 )
1

+ = +
+
= +
+

- Thời gian con lắc đồng hồ chạy sai trong một ngày đêm
+ Viết công thức tính chu kỳ của con lắc đồng hồ trong trờng hợp chạy
đúng (
1
T
), chạy sai (
2
T
)
+ Lập tỷ số
1
2
T
T
(a) rồi dùng công thức gần đúng nếu cần
Suy ra
1
2
1
T
T

>
: đồng hồ chạy nhanh
Hoặc
1
2
1
T
T
<
: đồng hồ chạy chậm
+ Tính số dao động mà con lắc đồng hồ chạy sai thực hiện trong thời gian
2
24.3600 86400;N
T


= = =

+ Tính thời gian mà đồng hồ chạy sai đã chỉ:
1
1
2
'
T
NT
T

= =

Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hà - K29A Lý

22

+ Thời gian chạy sai:
1
2
' ' 1
T
T

= =
(b)
Thay (a) vào (b) ta đợc kết quả.
- Trọng lực hiệu dụng, gia tốc hiệu dụng
Nếu ngoài trọng lực
P

, lực căng
T

của sợi dây con lắc đơn chịu thêm
tác dụng của lực
F

không đổi(
, ,
d pt A
F F F

chẳng hạn) thì coi nh con lắc chịu
tác dụng của trọng lực hiệu dụng
'
P P F
= +


Quy ớc gọi
'
P

là trọng lực hiệu dụng
'
'
P
g
m
=


là gia tốc hiệu dụng
Khi đó con lắc sẽ dao động điều hoà quanh
vị trí cân bằng O:
tan
F
P

=
nếu
F

vuông góc với
P


2
'
'
l
T
g
P F F
g g g a
m m

=
+
= = + = +



Phơng pháp giải:
Bài toán thờng liên quan đến hai vấn đề,
vị trí cân bằng và chu kỳ con lắc. Nên các
bớc giải thông thờng là:
+ Xác định lực tác dụng lên vật nặng
trong hệ quy chiếu gắn với điểm treo Q.
+ Lập luận để dẫn đến
', '
P g

+ Vị trí cân bằng của hệ so với trờng hợp không có
'
F


tan
F
P

=
nếu
F

vuông góc với
P


O






P


P

m


Q


Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hà - K29A Lý

23

+ Công thức tính chu kì 2
'
l
T
g

=

Chú ý:
2 2
'
'
'
P F g g a g
P F g g a g
P F g g a
= + >
= <
= +

f. Loại 6: Dao động tắt dần:
Chỉ xét trờng hợp tắt dần chậm do lực ma sát hay lực cản không đổi
c
F const
=
.
Phơng pháp:
- Tính chu kỳ dao động( chu kỳ = thời gian vật qua
max
x
liên tiếp
+ Lập phơng trình vi phân chuyển động
c
F kx F
=
với
k
là hệ số hồi phục
Suy ra:
'' ( )
c
F
k
x x
m k
=

(1)
+ Biến đổi
c
F
X x
k
=

(1) có dạng
2
''
X X

=
với
k
m

=

Suy ra chu kỳ
2
m
T
k

=

- Tính số dao động thực hiện
+ Xét một chu kỳ, áp dụng gần đúng năng lợng dao động điều hoà

2 2 2
1 1 2 1 2
1
( )
2
E E E m A A

= =
với
max
A x
=


2
1 2 1 2
2
1 1
1
( )( )
2
m A A A A
m A A


= +
=

+ Tính công của lực ma sát hay lực cản:

Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hà - K29A Lý

24

1 1
4
c
c
F
A F A E
= =


+ Suy ra độ giảm của
max
x
sau chu kỳ đầu tiên
1
2
4
c
F
A const
m

= =

(
max
x

giảm theo cấp số cộng)
+ Tính số dao động thực hiện:
2
1 1
1
4
c
A m A
N
A F

= =


Chú ý: Có thể giả thiết của đề bài cho
max
x
giảm theo cấp số nhân. khi đó
ta áp dụng tính chất của cấp só này để thực hiện tính toán
g. Loại 7: Tổng hợp dao động:
Phơng pháp:
*Lập phơng trình của dao động tổng hợp.
- Dao động thành phần có cùng tần số, cùng biên độ;
áp dụng phơng pháp lợng giác.
- Dao động thành phần có cùng tần số , khác biên độ
áp dụng phơng pháp dùng giản đồ vectơ quay.
- Dao động thành phần có tần số gần bằng nhau
áp dụng phơng pháp lợng giác. Suy ra đặc điểm của phách
* Vẽ đồ thị của dao động tổng hợp
- Dựa vào phơng trình của dao động tổng hợp

- Vẽ đồ thị của dao động thành phần. Xác định trên đồ thị những điểm
biểu diễn đặc biệt bằng phép cộng trực tiếp từ đồ thị của dao động thành phần.
h. Loại 8: Dao động cỡng bức, sự cộng hởng:
* Phng trỡnh dao ủng cng bc
2
0 0
'' 2 ' cos
x x x t t

+ + =

Vi

: H s tt dn

Kho¸ luËn tèt nghiÖp NguyÔn ThÞ Hµ - K29A Lý

25


0
ω
: Tần số riêng của hệ

m
F
t
0
0
=

(
0
F

là biên ñộ của lực cưỡng bức)

ω
: Tần số của lực
Nghiệm tổng quát:
)cos(
0
αω
β
+
′
=
−
teax
t

Trong ñó:
22
0
βωω
−=
′

Nghiệm riêng:
)cos(
ϕ

ω
−
=
tax
với biên ñộ
22222
0
4)(
ωβωω
+−
=
m
F
a


22
0
2
ωω
βω
ϕ
−
=tg

* Sự cộng hưởng:

Tần số cộng hưởng:
22
0

2
βωω
−=
c

Biên ñộ cộng hưởng:
22
0
0
2
βωβ
−
=
mF
a
c