cực trị hàm bậc 4 tiết 2

1


A. Tóm tắt lý thuyết
1. Xét hàm
 
42
f x ax bx c  
(
0a 
). Ta có
 
 
32
' 4 2 4
2
tx
b
f x ax bx ax x
a

   



.
Trường hợp 1:
0ab 
. Khi đó
 

tx
vô nghiệm hoặc có nghiệm duy nhất
0x 



 
'fx
có nghiệm
duy nhất
0x 
và
 
'fx
đổi dấu đúng một lần khi
x
đi qua
0



f
chỉ có một cực trị.
Trường hợp 2:
0ab 
. Khi đó
 
tx
có hai nghiệm phân biệt khác
0



 
'fx
có ba nghiệm và
 
'fx

đổi dấu liên tiếp khi
x
đi qua ba nghiệm này


f
ba cực trị.
2. Một số kết quả cụ thể:

f
có một cực trị


0ab 
;

f
có ba cực trị


0ab 

;

f
có đúng một cực trị và cực trị là cực tiểu


0
0
a
b





;

f
có đúng một cực trị và cực trị là cực đại


0
0
a
b






;

f
có hai cực tiểu và một cực đại


0
0
a
b





;

f
có một cực tiểu và hai cực đại


0
0
a
b






.
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. [ĐHB02] Tìm để hàm số
 
4 2 2
9 10y mx m x   
có
3
điểm cực trị.
Giải. Để hàm số có ba điểm cực trị thì trước hết hàm số phải là hàm bậc
4
, tức là
0m 
. Ta có
 
 
 
2
3 2 2
9
2
' 4 2 9 4
m
m
tx
y mx m x mx x

    

.

Hàm số có
3
điểm cực trị khi và chỉ khi
m

Cực trị của hàm bậc bốn


2

'y
có
3
nghiệm phân biệt


 
tx
có
2
nghiệm phân biệt khác
0



2
9
0
2
m

m





 
2
90mm



03
3
m
m





.
Ví dụ 2. Tìm
m
để hàm số
 
42
3
1
2

y m x mx   
chỉ có cực tiểu mà không có cực đại.
Giải. Ta xét hai trường hợp sau đây:

10m



1m 
. Khi đó
2
3
2
yx


hàm số chỉ có cực tiểu (
0x 
) mà không có cực
đại


1m 
thỏa mãn yêu cầu bài toán.

10m



1m 

. Khi đó hàm số đã cho là hàm bậc
4
có
   
 
32
' 4 1 2 4 1
21
m
y m x mx m x x
m

     



.
Hàm số chỉ có cực tiểu mà không có cực đại


'y
có đúng một nghiệm và đổi dấu từ âm sang dương
khi
x
đi qua nghiệm này


 
 
4 1 0

0
21
m
m
m
  









10m  
.
Kết hợp những giá trị
m
tìm được, ta có
10m  
.
Ví dụ 3. [ĐHB11] Cho hàm số
 
42
21y x m x m   
. Tìm
m
để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị
A

,
B
,
C
sao cho
OA BC
; trong đó
O
là gốc tọa độ,
A
là điểm cực trị thuộc trục tung,
B
và
C
là hai
điểm cực trị còn lại.
Giải. Ta có
   
 
32
' 4 4 1 4 1
tx
y x m x x x m

     


.
Hàm số có
3

điểm cực trị khi và chỉ khi
'y
có
3
nghiệm phân biệt


 
tx
có
2
nghiệm phân biệt khác
0



10m



1m 
.
 
*

Khi đó, ta có

3

'0y 



0
1
1
x
xm
xm



  







 
 
 
2
2
0;
1; 1
1; 1
Am
B m m m

C m m m



    



   

,
(vai trò của
B
,
C
trong bài toán là như nhau nên cung có thể giả sử
 
2
1; 1B m m m   
,
 
2
1; 1C m m m    
).
Ta có
 
0;OA m




OA m
;
 
2 1;0BC m




21BC m
.
Do đó

OA BC



21mm



2
4 4 0mm  
(
'8
)


28m 
(thỏa mãn

 
*
).
Vậy
28m 
.
Ví dụ 4. [ĐHA12] Tìm
m
để đồ thị hàm số
 
4 2 2
21y x m x m   
có ba điểm cực trị tạo thành ba
đỉnh của một tam giác vuông.
Giải. Ta có
   
 
32
' 4 4 1 4 1
tx
y x m x x x m

     


.
Đồ thị hàm số có
3
điểm cực trị khi và chỉ khi
'y

có
3
nghiệm phân biệt


 
tx
có
2
nghiệm phân biệt khác
0



10m


1m 
.
 
*

Khi đó, ta có
'0y 



0
1
1

x
xm
xm



  




.
Suy ra các điểm cực trị của đồ thị hàm số là
 
2
0;Am
,
 
1; 2 1B m m   
,
 
1; 2 1C m m  
.

4

Ta thấy
A Oy
,
B

và
C
đối xứng nhau qua
Oy
nên tam giác
ABC
cân tại
A
. Do đó tam giác chỉ có
thể vuông tại
A
.
Ta có
 
 
2
1; 1AB m m   

,
 
 
2
1; 1AC m m  




   
4
. 1 1AB AC m m   

 
.
Tam giác
ABC
vuông khi và chỉ khi
0ABAC 




   
4
1 1 0mm   



   
3
1 1 1 0mm

   




10
11
m
m









1
0
m
m





, kết hợp với điều kiện
 
*
ta có
0m 
.
Ví dụ 5. Cho hàm số y = x
4
+ (m + 1)x
2
+1
a. Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu
b. Xác định Phương trình đường cong đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số
Đáp án: a. m < - 1; b. y = (m+1)/2. x

2
+ 1
Ví dụ 6. Cho hàm số y = kx
4
+ (k - 1)x
2
+ 1 – 2k. Xác định k để hàm số chỉ có 1 điểm cực trị
Đáp án: k ≥ 1 hoặc k ≤ 0
Ví dụ 7. Xác định m để hàm số y = x
4
– 2mx
2
+ 2m + m
4
có cực đại, cực tiểu lập thành một tam giác đều
Đáp án: m =

3
3