Tải bản đầy đủ (.doc) (6 trang)

Cực trị hàm bậc ba (đầy đủ)

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (82.32 KB, 6 trang )

Cực trị hàm bậc ba
I,Tóm tắt lý thuyết:
1.Hàm số
dcxbxaxxfy
+++==
23
)(
(
0

a
)
2.Đạo hàm :
cbxaxxfy
++==
23)(''
2
3.Điều kiện tồn tại cực trị
Hàm số
)(xfy
=
có cực trị

)(xfy
=
có cực đại và cực tiểu
0)('
=
xf

hai nghiệm phân biệt



03'
2
acb
=
.
4.Kỹ năng tính nhanh cực trị:
Bớc1:Thực hiện phép chia
)(xf
cho
)(' xf
ta có:







+






+







+=
a
bc
dx
a
b
cxf
a
b
xxf
933
2
)('
93
1
)(
Tức là:
)()(').()( xrxfxqxf
+=
Bớc 2:Do



=
=
0)2('
0)1('

xf
xf
nên







+===
+===
)
9
(2)
3
(
3
2
)2()2(2
)
9
(1)
3
(
3
2
)1()1(1
a
bc

dx
a
b
cxrxfy
a
bc
dx
a
b
cxrxfy
.Hệ quả:Đờng thẳng đi qua CĐ,CT có phơng trình là:

)(xrY
=
hay
)
9
()
3
(
3
2
a
bc
d
a
b
cy
+=
II.Các dạng bài tập:

Dạng 1:Sự tồn tại và vị trí của các điểm cực trị:
Bài tập:
Bài 1:Tìm m để hàm số :
)12()6(
3
1
23
++++=
mxmmxxy
có cực đại và cực tiểu
Giải:Hàm số có cực đại và cực tiểu

phơng trình
0)('
=
xy
có hai nghiệm phân
biệt

0)6(2
2
=+++
mmxx

có hai nghiệm phânbiệt
)3()2(06'
2
><>=
mmmm


Bài 2:Tìm m để hàm số
53)2(
23
+++=
mxxxmy
có cực đại và cực tiểu
Giải:
Hàm số có cực đại và cực tiểu

phơng trình
0)('
=
xy
có hai nghiệm phân biệt


06)2(3
2
=+++
mxxm
có hai nghiệm phân biệt
123
032
2
0963'
02
22
<<




<+





>+=
+

m
mm
m
mm
m
Bài 3:Tìm m để hàm số
)1()45()2(
3
1
223
+++++=
mxmxmxy
đạt cực trị tại x1,x2
thỏa mãn điều kiện x1<-1<x2
Giải: yêu cầu bài toán
0)45()2(2)('
2
=+++=
mxmxxy
có hai nghiệm phân biệt

x1,x2 thỏa mãn điều kiện x1<-1<x2
3093)1('.1
<<+=
mmy
Bài 4:Tìm m để hàm số
)()3(4)3(
3
1
223
mmxmxmxy
+++++=
đạt cực trị tại x1,x2
thỏa mãn điều kiện -1<x1<<x2
Giải: yêu cầu bài toán
0)3(4)3(2)('
2
=++++=
mxmxxy
có hai nghiệm phân biệt
x1,x2 thỏa mãn điều kiện -1<x1<x2
3
2
7
)3(1
072
032
2
1
0)1('.1
0'

2
<<







+<
>+
>+








<
>
>

m
m
m
mm
S
f

Bài 5: Tìm m để hàm số
)5()13()2(
3
1
2223
+++++=
mxmxmmxy
đạt cực tiểu tại
x=2.
Giải:
*Điều kiện cần:
Giả sử hàm số đạt cực tiểu tại x=-2 suy ra
0)2('
=
f
ta có
13)2(2)('
222
++++=
mxmmxxf
suy ra
3;1034
2
===+
mmmm
*Điều kiện đủ:
Nếu m=3 thì
2012)2(''162)(''
=>=+=
CT

xfxxf
Nếu m=1 thì
0)2(''42)(''
=+=
fxxf
nhng lúc đó ta có
+=
xxxf 0)2()('
2
Hàm số không có cực trị
*Kết luận:m=3
Dạng 2:phơng trình đờng thẳng đi qua cực đại và cực tiểu
Bài 1:Tìm cực trị và viết phơng trình đờng thẳng đi qua cực đại,cực tiểu của hàm số
863)(
23
+=
xxxxf
Giải:
.Ta có
)22(3)('
2
=
xxxf





+=
=

===
312
311
022)(0)('
2
x
x
xxxgxf
suy ra hàm số
)(xfy
=
đạt cực trị tại x1,x2
.Thùc hiÖn phÐp chia
)(xf
cho
)(xg
ta cã
)1(6)1)(()(
−−−=
xxxgxf
do



=
=
0)2(
0)1(
xg
xg

nªn





−=−−==
=−−==
36)12(6)2(2
36)11(6)1(1
xxfy
xxfy
.





−==
==






>=
<−=
⇒−=
36)2(

36)1(
036)2(''
036)1(''
)1(6)(''
xff
xff
xf
xf
xxf
cd
ct
.Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua C§,CT lµ
)1(6
−−=
xy
Bµi 2:T×m m ®Ó hµm sè
1)2(6)1(32)(
23
−−+−+=
xmxmxxf
cã ®êng th¼ng®i qua
C§,CT song song víi ®êng th¼ng
baxy
+=

Gi¶i:
.§¹o hµm
)2)1((6)('
2
−+−+=

mxmxxf

02)1()(0)('
2
=−+−+=⇔=
mxmxxgxf
hµm sè cã C§,CT
0)(0)('
==⇔
xhaygxf
cã hai nghiÖm ph©n biÖt
30)3(
2
≠⇔>−=∆⇔
mm
g
.Thùc hiÖn phÐp chia
)(xf
cho
)(xg
ta cã
)33()3()]1(2)[()(
22
+−−−−−+=
mmxmmxxgxf
Víi
3

m
th×

0)(
=
xg
cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1,x2 vµ hµm sè ®¹t cùc trÞ t¹i
x1,x2
do



=
=
0)2(
0)1(
xg
xg
nªn





+−−−−==
+−−−−==
)33(2)3()2(2
)33(1)3()1(1
22
22
mmxmxfy
mmxmxfy
suy ra ®êng th¼ng qua C§,CT lµ(


):
)33()3(
22
+−−−−=
mmxmy
ta cã (

) song song víi ®êng



−±=
<




−±=−
<




−=−
<≠





=−−

⇔+=
am
a
am
a
am
am
am
m
baxy
3
0
3
0
)3(
0,3
)3(
3
22
vËy nÕu
0

a
th× kh«ng tån t¹i m;nÕu a<0 th×
am
−±=
3
Bµi 3: T×m m ®Ó hµm sè

xmmxmxxf )21(6)1(32)(
23
−+−+=
cã cùc ®¹i vµ cùc tiÓu
n»m trªn ®êng th¼ng
xy 4
−=
Gi¶i:
.§¹o hµm
))21()1((6)('
2
mmxmxxf
−+−+=

0)21()1()(0)('
2
=−+−+=⇔=
mmxmxxgxf
hµm sè cã C§,CT
0)(0)('
==⇔
xhaygxf
cã hai nghiÖm ph©n biÖt
3
1
0)13()21(4)1(
22
≠⇔>−=−−−=∆⇔
mmmmm
g

.Thùc hiÖn phÐp chia
)(xf
cho
)(xg
ta cã
)21)(1()13()]1(2)[()(
2
mmmxmmxxgxf
−−+−−−+=
Víi
3
1

m
th×
0)(
=
xg
cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1,x2 vµ hµm sè ®¹t cùc trÞ t¹i
x1,x2
do



=
=
0)2(
0)1(
xg
xg

nªn





−−+−−==
−−+−−==
)21)(1(2)13()2(2
)21)(1(1)13()1(1
2
2
mmmxmxfy
mmmxmxfy
suy ra ®êng th¼ng qua C§,CT lµ(

):
)21)(1()13(
2
mmmxmy
−−+−−=
Ta cã C§,CT n»m trªn ®êng th¼ng
1
2
1
;1;0
213
0)21)(1(
4)13(
)4()(4

2
=⇔












=−




=−−
−=−−
⇔−=≡∆⇔−=
m
m
m
mmm
m
xyxy
Bµi 4: T×m m ®Ó hµm sè
37)(

23
+++=
xmxxxf
cã ®êng th¼ng ®i qua cùc ®¹i vµ cùc
tiÓu vu«ng gãc víi ®êng th¼ng
73
−=
xy
Giải:
Hàm số có CĐ,CT
0)('
=
xf
có hai nghiệm phân biệt
21021'
2
>>=
mm
g
.Thực hiện phép chia
)(xf
cho
)(' xf
ta có
9
7
3]21[
9
2
]

9
1
3
1
)[(')(
2
m
xmmxxfxf
++=
Với
21
>
m
thì
0)('
=
xf
có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đạt cực trị tại
x1,x2
do



=
=
0)2('
0)1('
xf
xf
nên








+==
+==
9
7
32)21(
9
2
)2(2
9
7
31)21(
9
2
)1(1
2
2
m
xmxfy
m
xmxfy
suy ra đờng thẳng qua CĐ,CT là(

):

9
7
3)21(
9
2
2
m
xmy
+=
ta có (

) vuông góc với đờng thẳng
73
=
xy





=
>

13)21(
9
2
21
2
m
m

dạng 3:sử dụng định lý viét cho các điểm cực trị
bài 1:Cho
1)2cos1(8)sin3(cos
3
2
)(
23
+++=
xaxaaxxf
1.CMR:hàm số luôn có cực đại và cực tiểu.
2.Giả sử hàm số đạt cực trị tại x1,x2.CMR:x1
2
+x2
2
18

Giải:
1.Xét phơng trình:
0)2cos1(8)sin3(cos22)('
3
=++=
axaaxxf
Ta có
)2cos1(16)sin3(cos'
2
aaa
++=

aaaa
+=

0cos32)sin3(cos'
22
Nếu
0'
=
thì



=
=




=
=
0sin
0cos
0sin3cos
0cos
a
a
aa
a
==+=
101sincos0
22
aa
vôlý

Từ đó suy ra
0)('0'
=>
xfa
có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đạt cực
trị tại x1,x2.
2.Theo định lý Viét ta có



+=
=+
)2cos1(421
cossin321
axx
aaxx

×