nguyên hàm,tích phân hàm đặc biệt

>> 1

CÁC DẠNG ĐẶC BIỆT CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA PHÂN HÀM VÔ TỶ
I. CÁC DẠNG TÍCH PHÂN VÀ CÁC GHÉP ĐÔI BIẾN SỐ THÔNG
DỤNG

Dạng tích phân
Đổi biến số
Điều kiện biến số
22
( , )f x a x dx


x = a sin t
[- ; ]
22
t



22
( , )f x x a dx


x =
cos
a
t

3
[0,- ) [ , )
22
t




22
( , )f x x a dx


x = a tg t
[0,- )
2
t



( , )
ax
f x dx
ax




x = acos 2t
[0,- )
2

t



( , ( )( ))f x x a b a dx


x = a + (b-a) sin
2
t
[0,- ]
2
t




II. BÀI TẬP MẪU MINH HỌA
1. Dạng 1:
22
( , )f x a x dx

. Đặt x = a sin t;
[- ; ]
22
t



I

1
=
1
23
3
1/2
(1 )x
dx
x


. Đặt x = sin t;
[- ; ]
22
t



Suy ra
x
1/2
1
t
6


2


dx

Cos t dt



>> 2

I
1
=
/2 /2 /2
23
44
3 3 4
/6 /6 /6
(1 sin ) cos
cos cos (cos )
sin sin sin
t tdt
tdt td t
t t t
  
  

  
  

/6 3/2 3/2 3/2 3/2
4 4 4 2
4 2 2 2 2 2 2 2
/2 0 0 0 0

cos (cos ) 1 (1 ) 1
sin (1 ) (1 ) (1 ) 1
td t u du u du u
du du
t u u u u


  
    
   
    

 
3/2 3/2 3/2 3/2
22
22
22
0 0 0 0
1 (1 ) (1 u) 1 1 1 1 1
[ ] ( )
4 (1 ) 1 1 4 1 1 1
u u u
du du du du
u u u u u u
    
    
     
   

3/2 3/2

22
00
1 1 1 2 2
( ) ( 1)
4 1 1 1 1
du du
u u u u
    
   


3/2
0
1 1 1 1 3 2 3 3
[ 3ln 3 ln
4 1 1 1 4 2
23
u
u u u

     
  


3
[ 3 ln(2 3)]
2
  

I

2
=
3/2
22
0
(3 ) 3x x dx

, đặt u =
3sint
;
[- ; ]
22
t


suy ra:
U
0
3
2

T
0
6


du

3
Cos t dt

Khi đó: I
2
=
6
22
0
(3 3sin ) 3 3sin ( 3cos )t t t dt




=
/6
22
0
3cos 3cos ( 3cos )t t t dt




/6 /6 /6
2 2 2 2
0 0 0
1 cos2 9
9 (cos ) 9 ( ) (1 2cos2t cos )
24
t
t dt dt t dt
  


    
  


/6 /6
00
9 1 cos4t 9
(1 2cos2t ) (3 4cos2t cos4t)
4 2 8
dt dt


     


=
/6
0
91
[3t+2sin2t+ sin4 ]
84
t



>> 3


9 3 9 81 3

( 3 )
8 2 8 16 64

    

2. Dạng 2:

22
( , )f x x a dx

. Đặt x =
cos
a
t
;
3
[0,- ) [ , )
22
t




I
1
=
2
2
2
1

dx
xx

Đặt x =
cos
a
t
;
3
[0,- ) [ , )
22
t




Suy ra
x
2

2
t
4


3


dx
sintdt/cos

2
t
I
1
=
/3 /3 /3
2
2
/4 /4 /4
2
sin /cos sin sin
cos . 3 4 12
11
cos
1
cos cos
tdt t tdt tdt
t tgt
t tg t
tt
  
  
  
    

  

I
3
=

8
2
4
16x
dx
x


. Đặt
43
; [0; ) [ ; )
cos 2 2
xt
t


  

Suy ra:
x
4
8
t
0
3


dx
4sintdt/cos
2

t
Suy ra I
3
=
/3 /3
22
2
00
1 4sin
16( 1).
cos cos
4
4
cos
tdt
tt
tg tdt
t






/3 /3 /3
2 /3
0
0 0 0
4 [(1 ) 1] 4( ( ) ) 4( ) 4( 3 )
3

tg t dt d tgt dt tgt t
  


        
  

3. Dạng 3

22
( , )f x x a dx

. Đặt x = a tg t ;
[0,- )
2
t




>> 4

I
1
=
1
25
8
1/ 3
(1 )x

dx
x


. Đặt x = tg t;
[0,- )
2
t



Suy ra:
x
1 / 3

1
t
6


4


dx
dt/cos
2
t
Suy ra I
1
=

2 5 5
/4 /4 /4 /4
22
8 8 8 8
/6 /6 /6 /6
1
(1 ) . ( )
cos (sin )
cos cos cos
sin sin
dt dt
tg t
tdt d t
t t t
tg t tg t t t
   
   

  
   

=
/4
8 /4
/6
77
/6
1 1 128 8 2
(sint) (sin ) (8 2 128)
7sin 7sin 7

dt
tt






     


I
3
=
1/2
0
1
1
x
dx
x



. Đặt u =
1
1
x
x



suy ra x =
2
2
1
1
u
u


; dx =
22
4
(u 1)
udu


Suy ra I
3
=
3
2
22
1
4
(u 1)
u du


. Đặt u = tg t ;

(0;
2
t


)
Suy ra
u
1
3

t
4


3


du
dt/cos
2
t
Suy ra I
3
=
/3 /3
2 /3
/4
/4 /4
13

4sin 2 (1 cos2u)du 2(u sin2 ) 1
2 6 2
udu u





      


I
8
=
1
32
0
1xx

. Đặt x = tg t, t
[0;
2


)
Suy ra
x
0
1
t

0
4



>> 5

dx
dt/cos
2
t
I
8
=
/4 /4 /4 /4
3 3 2
32
2 3 6 6
0 0 0 0
sin 1 cos
1 (cost)
cos cos cos cos
dt tg t t t
tg t tg t dt dt d
t t t t
   

    
   

=
/4 /4
/4
0
6 4 5 3
00
(cos ) (cos ) 1 1 2
( ) (1 2)
cos cos 5cos 3cos 15
d t d t
t t t t


    



4. Dạng 4:
( , )
ax
f x dx
ax



. Đặt
cos2 , (0; )
2
x a t t




I
1
=
5/2
0
5
5
x
dx
x



. Đặt x = 5cos2t.
[0; ]
2
t



x
0
5/2
t
4


6



dx
-10sin2t dt
Suy ra I
1
=
/6 /6
2
2
/4 /4
5(1 cos2 ) cos
( 10sin2 ) 10 (2sin cost)dt
5(1 cos2 ) sin
tt
tt
tt







= 10
/6 /6
2 /6
/4
/4 /4
1 5 5(2 3 )

2cos tdt 10 (1 cos2 )dt 10( sin2 )
2 6 2
t t t






     


I
2
=
3/2
2
0
3
3
x
x dx
x



. Đặt x = 3cos2t,
[0; ]
2
t





x
0
3/2
t
4


6


dx
-6sin2t dt
Suy ra I
2
=
/6 /6
2
22
2
/4 /4
3(1 cos2 ) cos
(9cos 2t) ( 6sin 2 ) 54 cos 2 (2sintcost)
3(1 cos2 ) sin
tt
t dt t
tt







dt

>> 6


/6 /6 /6
2 2 2 2 3
/4 /4 /4
54 cos 2 (2cos t) 54 cos 2 (1 cos2t)dt 54 (cos 2 cos 2 )t dt t t t dt
  
  
    
  

27 1 3 3 3 3 27 4
[( ) ( )] ( 3)
2 2 6 2 3 4 4 2 6 3
  
        

5. Dạng 5:

( , ( )( ))f x x a b x dx


. Đặt x = a +(b-a) sin
2
t,
[0; ]
2
t



I
1
=
2
3
4
()
( )( )
ab
ab
dx
ab
x a b x





. Đặt
2
( )sin

[0; ]
2
x a b a t
t


  









x
3
4
ab

2
ab

t
6


4


dx
(b-a) sin2t dt
I
1
=
/4 /4 /4
2 2 2 2 2
/6 /6 /6
( )sin2 2sin cos
2 2( )
4 6 6
( ) sin (1 sin ) sin cos
b a tdt t tdt
dt
b a t t t t
  
  
  

    

  

III. CÁC BÀI TẬP DÀNH CHO BẠN ĐỌC TỰ GIẢI
I
1 =
2
32
1

4xx



; I
2
=
2 2 1
3
34
3 2 3/2 3 2 3/2
0
3 2/ 3
2
;;
( 1) ( 4) 2
dx dx x
I I x dx
x x x x x


  
  

Một số dạng tích phân trong 7 dạng tích phân ở mục này khó tính và
không thể tính được nguyên hàm nhưng nếu thể cận hợp lý thì tính được
giá trị tích phân
I. DẠNG 1: HÀM SỐ DƯỚI DẤU TÍCH PHÂN LÀ HÀM CHẴN, HÀM
LẺ
1. - MỆNH ĐỀ 1

Nếu f(x) là hàm chẵn và liên tục trên đoạn [-a;a] thì:
I =
( ) 2 ( )
aa
aa
f x dx f x dx




- MỆNH ĐỀ 2:

>> 7

Nếu f(x) là hàm lẻ và liên tục trên [-a;a] thì I =
( ) 0
a
a
f x dx




Chứng minh
1. I =
00
00
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
a a a
a a a

f x dx f x dx f x dx f t d t f x dx

     
    

0
0 0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
a a a
a
f t d t f x dx f t d t f x dx    
   

0 0 0
( ) ( ) 2 ( )
a a a
f x dx f x dx f x dx  
  

2. J =
00
00
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
a a a
a a a
f x dx f x dx f x dx f t d t f x dx

     
    

0 0 0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
a a a a
f t d t f x dx f t d t f x dx     
   


00
( ) ( ) 0
aa
f x dx f x dx   


2. Các bài tập mẫu minh họa:
A
1
=
3
7 7 7 7
3
(cosx) . [cos( x)] (cosx) , (cosx)dx Do x



   

là hàm chẵn

3 3 3

7 7 2 3
1
00
3
(cosx) 2 (cosx) 2 (cos x) cosA dx dx xdx
  


   
  


33
23
2 4 6
00
2 (1 sin x) (sin ) 2
(1 3sin x 3sin sin )d(sinx)
dx
xx

  
  



3 5 7
3
0
31

2[sinx (sin ) (sin ) (sin ) ]
57
x x x

   


7
3 3 3 27 3 27 3 1065 3
2( )
2 8 32 7.2 448
    

A
2
=
1 1 1
66
2 2 2
1 1 1
1 1 1
x tgx x tgx
dx dx dx I J
x x x
  

   
  
  

Do
6 6 6
2 2 2
()
, [ 1;1]
( ) 1 1 1
x x x
x
x x x

    
   
là hàm chẵn. Khi đó:

>> 8

I =
1 1 1
66
42
2 2 2
0 0 0
( 1) 1 1
2 2 2 ( 1 )
1 1 1
x dx x
dx dx x x dx
x x x

     

  
  


53
1
0
1 1 26
2[ ar ] 2( 1 )
5 3 5 3 4 15 2
xx
x ctgx

         

Do
2 2 2
()
, [ 1;1]
( ) 1 1 1
tg x tgx tgx
x
x x x

     
   
là hàm lẻ
1
2
1

0
1
tgx
J dx
x

  



Vậy A
2
= I + J =
26
15 2



A
3
=
1
2 2007
1
[ln( 1)]x x dx




Do

2 2007 2 2007
[ln( 1] [ln( 1 )]x x x x    


2007
2
1
[ln( )]
1)xx




2 1 2007 2007 2 2007
[ln(x 1) ] ( 1) [ln(x 1)]xx

      


2 2007
[ln(x 1)]x   


2 2007
[ln(x 1)]x  
là hàm lẻ

A
3

1
2 2007
1
[ln(x 1)] 0x dx

   


II. DẠNG 2: HÀM SỐ DƯỚI DẤU TÍCH PHÂN LÀ THƯƠNG CỦA HÀM
CHẴN VÀ HÀM MŨ
1. Mệnh đề:
Cho f(x) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn [-a;a]
Khi đó ta có I =
0
()
()
1
aa
x
a
fx
dx f x dx
m





Chứng minh
B =

0
0
( ) ( ) ( )
1 1 1
aa
x x x
aa
f x f x f x
dx dx dx
m m m


  
  
(1)
Đặt x = - t

I =
00
00
( )d(x) ( t)d( t) ( t)dt ( )
1
1 1 1
1
aa
t
x t t
aa
t
f x f f m f t dt

dx
m m m
m


   
  
  

   

=
00
( ) (x)
11
aa
xx
xx
m f x dx m f dx
mm




(2)
Từ (1) và n(2) suy ra:
00
(x)
()
1

aa
x
x
mf
B dx f x dx
m





>> 9

* B
1
=
1
2
1
(2 1)( 1)
x
dx
x




F(x) =
2
1

1x 
là hàm chẵn, liên tục trên [-1;1] nên theo mênh đề ta có:
B
1
=
11
1
0
22
10
ar
(2 1)( 1) 1 4
x
dx dx
ctgx
xx


  
  



B
2
=
1/2
2
1/2
(e 1) 1

x
dx
x




f(x) =
2
1
1 x
là hàm chẵn, liên tục trên [
1
2
;-
1
2
] nên theo mệnh đề
B
2
=
1/2 1/2
1/2
0
22
1/2 0
arcsin
6
(e 1) 1 1
x

dx dx
x
xx


  
  


B
8
=
/2
2
/2
1
x
x
dx
e






f(x) = x
2
cos x là hàm chẵn, liên tục trên [-
2


;
2

] nên theo mệnh đề
ta có:
B
8
=
/2 /2 /2
2
22
/2 0 0
cos (sinx)
1
x
x
dx x xdx x d
e
  




  


/2 /2 /2
22
2 /2 2 2

0
0 0 0
sinx sin x ( ) 2 sinx 2 (cosx)
44
x x d x dx xd
  


     
  


/2
2 2 2
/2 /2
00
0
2 cos 2 cos 2sin
4 4 4
x xdx x


  

      


III. DẠNG 3: TÍNH BẤT BIẾN CỦA TÍCH PHÂN KHI BIẾN SỐ THAY
ĐỔI CẬN CHO NHAU
1. Mệnh đề: Nếu f(x) liên tục trên [a;b] thì

( ) ( )
bb
aa
f x dx f a b x dx  


Chứng minh
Đặt t = a + b – x , x

[a;b]

( ) ( ) (x)dx
b a b
a b a
f a b x dx f t dt f    
  

x
a
b

>> 10

t
b
a
dx
-dt

2. Bài tập mẫu minh họa

Tính C
1
=
/4
0
ln(1 )tgx dx



; C
2
=
1
2
0
ln(1 )
1
x
dx
x




Giải
Đặt f(x) = ln(1+tgx)

f(0+
4


-x)=f(
4

-x)=ln[1+tg(
4

-x)]

12
ln(1 ) ln( ) ln2 ln(1 )
11
tagx
tgx
tgx tgx

     


/4 /4 /4 /4
1
0 0 0 0
ln(1 ) ( ) (0 ) [ln2 ln(1 )]dx
4
C tgx dx f x dx f x dx tgx
   

         
   

/4

/4
0 1 1
0
ln2 ln(1 )dx= ln2 ln2 ln2
4 4 8
x tgx C C


  
      


C
2
=
1
2
ln(1 )
1
o
x
dx
x



.
Đặt x = tg t khi đó:
x
0 1

t
0
4


dx
Dt/cos
2
t

C
2
=
1 /4
2 2 2
0
ln(1 ) ln(1 )
.
1 1 cos
o
x tgt dt
dx
x tg t t






=

/4 /4
1
00
ln(1 ) ln(1 ) ln2
8
tgt dt tgx dx C


    



IV. DẠNG 5: HÀM SỐ DƯỚI DẤU TÍCH PHÂN LÀ HÀM TUẦN HOÀN
1. Định nghĩa: Hàm y = f(x) được gọi là tuần hoàn nếu có một số T > 0 sao cho
với mọi x thuộc miền xác định D
f
của hàm số, ta luôn có:
1.1 x

T cũng thuộc miễn xác định D
f
của hàm số

>> 11

1.2 f(x+T) = f(x), với mọi x thuộc D
f

Số T (T>0) được gọi là chu kỳ của hàm tuần hoàn y = f(x). Chu kỳ nhỏ nhất
(nếu tồn tại) được gọi là chu kỳ cơ sở của hàm số đã cho.

2. Mệnh đề:
Cho hàm số y = f(x) tuần hoàn chu kỳ T, xác định và liên tục trên R. Khi
đó ta có:

0
( ) ( ) ( )
a T T
a
f x dx f x dx a R




3. Các bài tập mẫu minh họa
D
1
=
4 2 4
7 8 7 8 7 8
10 10 10
0 0 2
(sin3 ) (cos5x) (sin3 ) (cos5x) (sin3 ) (cos5x)
1 (cos7x) 1 (cos7x) 1 (cos7x)
x x x
dx dx dx
  


  
  

Ta có: f(x) =
78
10
(sin3 ) (cos5x)
1 (cos7x)
x

tuần hoàn chu kỳ 2

nên

4 2 2 2
7 8 7 8 7 8
10 10 10
2 2 0
(sin3 ) (cos5x) (sin3 ) (cos5x) (sin3 ) (cos5x)
1 (cos7x) 1 (cos7x) 1 (cos7x)
x x x
dx dx dx
   



  
  


22
7 8 7 8 7 8

1
10 10 10
00
(sin3 ) (cos5x) (sin3 ) (cos5x) (sin3 ) (cos5x)
2 2 2
1 (cos7x) 1 (cos7x) 1 (cos7x)
x x x
D dx dx dx
   



   
  
  

Do f(x) là hàm lẻ trên đoạn [-

;

] nên
1
( ) 0 0f x dx D



  
