Xác suất không giao hoán và lịch sử xác suất = Noncommutative probability and history of probability.PDF

ĐẠI HỌC Q UỐ C GIA HÀ NỘ I
T R Ư Ờ N G ĐA I HOC K H O A H Ọ C TỤ N H IÊN
ĐỂ TÀI KHOA HỌC
XÁC SUẤT KHÔNG GIAO HOÁN VÀ LỊCH s ử XÁC SƯẮT
NONCOMMUTATIVE PROBABILITY
AND HISTORY OF PROBABILITY
MÃ SỐ: Q T 06-47
CHÚ TRÌ ĐỀ TÀI : TS PHAN VIẾT T H I
ĐAI HOC QUỐC GIA MÕ.
TRUNG tẩm thòng ru j THi.i lỆh)
D T Ĩ J W "
HÀ NỘI - 2006
BÁO C Á O TÓ M TẮT K ẾT QUA THỰC H IỆN ĐỂ TÀI NCKH
C Ấ P ĐẠI HỌC Q U Ố C G IA H À NÓI
1. Tên đề tài :
Tiếng Việt: Xác suất không giao hoán vù lịch sứ xác suất
Tiếnq Anh: Noncommutơíive probability and history of probability
2. M ã so QT-06-47
3. C hủ trì đề tài: Phan Viết Thư.
Học hàm, học vị: Giảng viên chính,Tiến sỹ.
Đơn vị công tác: Khoa Toán- Cơ- Tin học, Trường ĐHKHTN, ĐHQGHN.
Số điện thoại: CQ: 04-8583795 Mb:0912018190
4. C ác cán bộ tham gia:
5. M ục tiêu và nội dung nghiên cứu:
Đề tài nhằm mục tiêu xây dựng các không gian không giao hoán
loại Ư , 1<P < 0 0 . Đây là các khái niệm liên quan đến đai số toán tử, đại số
von Neumann, đại số C’. Xây dưng các không gian L' trẽn các đại số này
còn được gọi là xây dựng tích phân không giao hoán. ha\ lí thuyết độ đo
không giao hoán ( trong đó có độ đo xác suất).
Do các kết quá về xây dựng tích phân không giao hoán trong các đại
sô' von Neumann đã khá phong phú. trong khi đó kết qua tương tư trong đai

sò ( 'còn ít, nén chúng tói táp trung vào tìm cách xây dưng các không gian
loại này trẽn các đại sô Vì dại sỏ ( " cỏ câu trúc topò nghèo nàn hưn
đại số von Neumann nên việc xáy dung nàv găp nhiêu khó khăn hưn.
Chúng tôi sẽ chọn một số mẫu đai số C" có cấu trúc đãc biệt đế hạn chế
bứi các khó khăn.
Bên canh việc tiếp tục phát triến các kết qua trong viẽc xãy dưng các
không gian ư không giao hoán, chúng tôi tìm hiếu vé lịch sứ xác suất.
Đây là môt vấn đề trước đây ít đươc quan tâm. hién nay đã đươc đưa vào
chương trình giang dạy của Khoa Toán- Cơ- Tin học ĐHKHTN-
ĐHQGHN, nhằm góp phần thúc đấy mồn học này phái trién.
6. Các kết quả đat được.
Đã hoàn thành 02 bài báo khoa học.
• 02 báo cáo khoa hoc đã đươc đãng trong các tap chí chuvén ngành:
i) Phan viêt Thư The Embedding of Haagernup ỉ : spaces.Vietnam
Journal of Mathematics No3. (2006) 353-256
II) Phan viết Thư Noncommitiuiive huexrdimn jor L'HF Algebras
with Product Slate Vietnam National University. Hanoi Journal of
Science Mathematics-Physics T. XXII. Nol-2006. 10— 16.
• Đã hướng dẫn 01 hoc viên cao hoc viết luán van theo hướng này.
Đê tài cua luận văn: ưng dụng ciia hùm Younạ ìmnạ li thuyết
Mariinxale.Hhnó\ 2006.
Tên học viên cao học: Trán Vãn Khiên, học viên cao hoc tai Khoa
Toán- Cơ- Tin hoc ĐHKHTN- ĐHQGHN
Người hướng dẫn: TS. Phan Viết Thư.
7. Tình hình kinh phí của đề tài
a) Số tiền dược cấp:
20.000.OOOđ ( Hai mươi triêu đổng)
b) Tinh hình chi tiêu:
Đã chi tiẻu theo dúng dự trù của đề tài.
KHOA Q U Ả N LÝ

(Ký và ghì rõ ho tên)
CHÚ T R Ì ĐÊ TÀI
(Kv và ghi rõ ho tèn)
l& ư v ' t ò '
TRL ÒNt; ĐAI HOC K HOA HỌC TỊ" NHIÊ N
PHÓ HIỆU TRƯỚNG
4
R E P O R T ON PRO JECT Q T- 06- 47
a. Title of Project: Noncommutative Probability and History of Probability
b. Code of Project: Q T-06- 47
c. H ead of R esearch group: Dr. Phan Viet Thu.
d. Participants:
e. Target and contents:
The Project focuses to do the constructions of noncommutative L' spaces on von
Neumann algebras , c" algebras and the relative problems. Von Neumann algebras and
( 'algebras are operator algebras wich are noncommutatives, the theory of /.' spaces on
these algebras are called noncommutative integration or noncommutative measures
theory, in which there are noncommutative probability measures.
The results about the construction of noncommutative L spaces on von Neumann
algebras arc aboundanl, when there are only few construction of noncommutative
/. spaces on C' algebras because the topologicạl structures of C' algebras are, in
general, poors. B\ these reasons, the project chooses (" algebras, especially we shall
select the specific (" algebras which has a special structure to construct L' spaces.
Beside the research on noncommutative measure theory, the project has also a
target: research on history of probability. This domain was not interested bv Vietnamese
mathematicians by long times, but nowadays the history of mathematics becomes a
teaching discipline at ihe Faculty of Mathematics-Mechanics-Informatics. Hanoi
Lmvesity of Science. This fact Nuggets us to do the research on history of Mathematics
10 give more informations about this subject.
The results o f the project are the followings:

1) Publications; Two published papers.
[J Phan viél Thư Ỉ he Embedding aj iỉưưiịeroup L spaces. Vietnam
Journal of Mathematics No3. (2006) 353—356
li) Phan Viet Thư Nonconmmtatixe Integration for UHh Algebras with
Product Stale. Vietnam National University. Hanoi Journal of Science
Mathematics-PhysicsT. XXII. No 1-2006. 10— 16
3) Results in T raining :
• A Master degree graduation ihesis :
Name OỈ graduate student: Tran Van Khien
Thesis title: Application of Yount functions in martingale theory. Hanoi 2006
Supervisor: Phan Viet Thu Ph.D.
f. Finance.
The Project is granted with a total 20.000.000 VND. This sum IS spending as
follows:
• Support for Scientific research:
• Support for seminars and scientific activities:
• Photocopying documents:
• Administrative fee:
• Total:
Hanoi. December 28 2006
Head of project
Dr. Phan Viet Thu
6
MỤC Ll'C
Sõi Nội dung Trang
tt
1 Lời mớ đầu 7
2 Nội dung chính 9
3 Phụ lục 14
4 Bài báo: Phan Viêt Thu, Non-commutative Integration for UHF 15

Algebras with Product state. VNU hanoi Journal of Science
Mathematics-Physics T.XXII.No I -2006
5 Bài báo: Phan Viet Thu, ihe Embedding of Haagerup /.' Spaces 24
Vietnam Journal of Mathematics 34(2006) 1-3
5 Trang bìa luân vãn thac sì cua hoc viên cao học Trần Vãn 30
Khiên : úng dụng cúa hàm Young trong ly thuyết martingale.
7 Tóm tất các công trình nghiên cứu khoa học cùa cá nhân 31
9 Tóm tắt các công trinh nghiên cứu khoa học cúa cá nhấn 32
10 Phiếu đãng kí kết quá nghiên cứu KH-CN 33
LỜI MỚ ĐẨU
Nhiều ứng dụng quan trọng của lí thuyết đại số toán tử sang các lĩnh vực
khác đã được thực hiện thông qua lí thuyết các không gian /.'không giao hoán
hay còn gọi là lí thuyết tích phân không giao hoán, xây dựng trên đại số von
Neumann hay đại số . Lí thuyết các không gian A' khong giao hoán cũng là
một công cụ mạnh để nghiên cửu bản thân lí thuyết đại số toán tử
Lí thuyết các không gian L ngay không giao hoán được xây dựng đầu
tiên vào năm 1953 bởi Sega! [12] và Dixmier [2] một cách độc lập nhau cho đại
số von Neumann nửa hữu hạn, đối với một vết (trace) chuẩn, faithful, nửa hữu
hạn. Tiếp sau hai ông, nhiều tác giả đã nghiên cứu lí thuyết này và đưa ra thêm
nhiều cách tiếp cận mới, điển hình là các công trinh của Stinespring (1959)
[13], Nelson (1974) [9], Yeadon (1975) [15]
Sau hàng loạt các công trình trên, năm 1979, sự xuất hiện của bài báo:
I. -spac es usocuiled W illi un urbiirur) VOIÌ Neumann algebra ( ủa Hasgerup trên
Colloques Internationaux CNRS 274 [5] đã đánh dẩu một bước phát triển mới
về chất, nâng lí thuyết lên một tầm cao mới. Công trình của Haagerup đã xây
dựng các không gian /y-không giao hoán cho trường hợp vết được thay bằng
weight, như vậy đại sổ von Neumann không nhất thiết là nửa hữu hạn. Với
bước đột phá của Haagerup. ngày nay lí thuyết tích phân không giao hoán đã
tổng quát hơn. được xây dựng đối với một trạng thái (State) hay một weight
trên một đại số von Neumann tổng quát hơn, có cấu trúc phức tap hơn đại số

von Neumann nửa hữu hạn VỚI vết (trace). Sau công trình trên của Haagerup.
nhiều kết quả mới về xây dưng các không gian /. -không giao hoán trên các đại
số von Nẹumann tổng quát đã đươc công bố Năm 1984 Kosaki [8] giới thiệu
không gian I: interpolation đối VỜI một trang thái (state) (P chuẩn, faithful trẽn
đai số von Neumann \1 dưa trên kỹ thuật interpolation Các không gian
ư [Sí.tp). của ông phụ thuộc mốt tham số n . t)<rj<\. tương ứng với cách nhúng
M vào tiền đối ngâu Si. của nó- Năm 1982 Terp [14] một học trò của
Haagerup, đã cho ra đời một cách xây dựng tích phân không giao hoán khác
đối với một weight chuẩn, nứa hữu hạn, faithful trên .1/ không có tham số.
Connes(1980)[1] đã đưa ra định nghĩa “ spatial F-spaces” dựa trèn khái niệm
đạo hàm spatial, các không gian loại này còn được tiếp tục nghiên cứu bời
Hilsum (1981 )[6].
Như đã thấy ở trên, lí thuyết các không gian này trong trường hợp .4 là
đại số von Neumann đã phát triển khá mạnh, trong phạm vi rộng, đạt được kết
quả quan trọng .Trái lại trong trường hợp khi A là đại số C ' , có thể nói rằng các
nghiên cứu theo hướng này còn ít. Một trong những nguyên nhân tạo nèn khó
khăn cho việc xây dựng các không gian này trên đại số C' là chúng không có
các tính chất tôpô tốt như đại von Neumann, cũng như số lượng các phép
chiếu của chúng cũng khống phong phú như trên đại số von Neumann
Để hạn chế những khó khăn khi xây dựng các không gian /."trên đại số
( chúng tôi chon một số lớp đại số c" có cấu trúc đặc biệt để nghiên cứu,
như sẽ chr ra ở phần sau.
8
NOI DUNG CHỈNH
Phương pháp của chúng tối xây dựng không gian L cho đai số (•■ kí hiệu
là íđối vớ i trạng thái (State) <p trên.4. tạm gọi là cặp {.4.0 ) bao gồm các b ư ớ c
chính:
1. Đưa vào chuẩn ị II trên A thỏa mãn :
|ứỊ| < ị|a|| < ||a|Ị < ị|a|j , với a e A: p.q e[\.y}.q < p và u
2 Định nghĩa ư{A.(p) là bổ sung cuả A theo chuẩn trên A,pe\\ r_].

3. Chứng minh rằng có thẻ coi ư(A.ẹ) như không gian của các toán tử nhờ
chỉ ra rằng ư{A.(p) đẳng cẩu với một không gian Haagerup ư(.\f)\iớ\ một
đại số von Neumann nào đó M .
Đẻ thực hiện đuợc các bước trên, chúng tôi đã sử dụng biểu diễn GNS kí
hiêu là ,7, của .^ứng với trang thái ự), khi đó có đại số von Neumann
.1/= .trong đó yjà giá của của í,Ạ.trong commutant thứ hai của ảnh
của ,1: w_v là trạng thái vectơ trong BUI, )- không gian tới của biểu diễn
GNS. Sau đó định nghĩa chuẩn p của một phần tử ue A như lả chuẩn p của
ảnh của (c/) bởi một phép nhúng vào không gian Haagerup u (M ). Không gian
L \A.ẹ) nhận được bằng cách bổ sung A theo chuẩn này. nó đẳng cự, đẳng
cấu với không gian Haagerup L (A/). Các không gian L định nghĩa như thế có
mọi tính chất cơ bản cần thiết đáng mong muổn: Khỗng gian đối ngẫu của I là
/ VỚI 1 + 1 = I , có các bất đẳng thức Holder va Clarkson (VỚI p>2) Ngoài ra
p í/
trên / 1 có thể định nghĩa vết (trace) mà theo đó đinh nghĩa tích vô hướng trên
9
Theo hướng xây dựng các không gian L' cho các đại sốt' loại đặc biệt như
UHF. CAR, chúng tôi xuất phát từ cấu trúc đặc biệt của các đại số thuộc lớp
này được định nghĩa như sau;
Một đại s ố c ' có đơn vị A được gọi là uniform ly m atricial loại
\ni\\j 6 e ỈN’ nếu tồn tại một dãy Ị/iyỊ . các đại số C' con của A và một
dãy Ị/7 Ịcủa các số tự nhiên sao cho với mỗi / e /À ", A là đẳng cấu * với đại số
/IIn (C) của các m a trận p hức cấp /7 XA7 .
1 E At c A : c A, c
và (J Aỉ là trù mật theo chuẩn trong A. D ã y ị.4 Ị . được gọi là generating nest
/=|
loại {n } cho A , hay còn gọi là dãy xấp xỉ của A .
Đại số (" uniformly matricial loại j/7 ị A tồn tại khi và chỉ khi dãy |;j I là tăng
ngặt và n chia hết /7.,, v/e/A'. Hơn nữa với ,các điều kiện trên A là duy
nhất.(sai khác một đẳng cấu *) và là đại số đơn giản ( simple algebra).

Đại số uniformly matricial loại |2'} gọi là đại số CAR (hay fermon algebra)
thường gặp trong cơ học thống kê. Đại số unifomly matricial và các biểu diễn
của chúng còn gọi là đại số UHF ( uniforrmly hyperfinite algebrra)
Đối với đại số A, loại UHF được xấp xỉ bới dãy tăng các đại số c 'con {An\
với một trạng thái tích ẹ trờn A, chúng tôi đã đưa ra phương pháp xây dựng
các không gian ư như sau:
Kí hiệu (p„ =</> ., ẹ„ là trạng thái normal faitful semi finite trên A, bởi vậy có thẻ
xây dựng các không gian Lr(A, .<p„)theo phương pháp của Segal-Dixmir. sau đó
chứng minh rang không gian này đẳng cự * với không gian r u ,(,4,) ) =
Lr(M )của Haagerup, tương ứng với dãy các đại số con: í '. và chứng minh
rằng không gian /."Cần tìm là giới hạn quy nạp của dãy các khống gian / ị.\! Ị.
Chúng tôi tiếp tuc hoàn thiện hoặc đưa ra các chứng minh đây đủ cho quá trình
xây dựng này.
I 0
Chúng tôi cũng dành một phần rièng để tìm hiêu về lịch sử xác suất thông
qua các tài liêu của nước ngoài.
4. Kết luận.
Bẳng cách sử dụng biểu diễn GNS đối với một trạng thái, để xét đại số C’ Như
một đại số toán tử, sau đó nhúng nó vào một không gianz của Haagerup từ
đó xác định chuẩn và các tính chất của không gian cần xây dựng, chúng tôi đã
đưa ra được một phương pháp riêng để giải quyết bài toán xây dựng không
gian £■' cho đại số C".
Chúng tôi cũng đã chỉ ra nhiều tính chất quan trọng của không gian này.
Đối với các không gian C' đặc biệt, chúng tôi cũng đã đưa ra phương
pháp xây dựng đặc biệt: dùng giới hạn quy nạp. Giới hạn này cũng là một định
lí quan trọng mà chủng tôi xây dựng theo phương pháp của Kadison-Ringrose,
tạo nên một công cụ riêng để xây cỊựng loại không gian này
Các kết quả nghiên cứu khoa học của chúng tõi đã đươc công bố trong một
số tạp chí khoa học chuyên ngành sau:
Publications: Two published papers.

iii) Phan viết Thư The Embedding of tỉưaạcroỉip I. spaces.Vietnam
Journal of Mathematics No3, (2006) 353-356
iv) Phan viết Thư Noncommuiative integration for UHh Algebras with
Product State. Vietnam National University. Hanoi Journal of Science
Mathematics-Physics T. XXII,-Nol-2006. 10— 16
Results in T raining :
• A Master degree graduation thesis :
Name OÍ graduate student: Tran Van Khien
Thesis title: Applicaiion of Younx funciion.s 111 martingale iheorx. Hanoi 2006
Supervisor : Phan Viet Thu Ph.D.
Tài liệu tham kháo.
1. Connes.A Spatial theoy of von Neumann algebras J.Funa. Anal.sS (1980)
153-164.
2. Dixmir. J. Formes lineaires sur un aneau d'operateur. Bull. Soc Math France 81
(1953). 3-39.
3. Goldstein. S; Phan, Viet Thu, Ư spaces for UHF algebras. Proceedings of the
Intennational Quantum Structures Association 1996 (Berlin). International
Journal of Theoretical Phxics 37 (1998).no. 1. 593-598.
4. Goldstein, S; Phan, Viet Thu, u spaces for c algebras with a state. Quantum
structures ’98. International Journal of Theoretical Phyics 39 (2000), no.3.
687—693
5. Haagerup u Ư spaces associated with an arbitrary von Neumann algebras,
Collogues Internationaux CNRS 274 (1979). 175-184.
6. Hilsum,M., Lcs espaces L d'une algèbre de VOỌ Neumann definies par la dérivée
spaciale, J Funcl.Anal.40( 1981),151-169.
7. Kadison. R. V. and Rintirose. J. R. Fundamentals of the iheoiy of operator
algebras, voi I. (1983). Vol. ỉỉ (1986), Academic Press. New York-London
8. Kosaki.H. Application of the complex interpolation method to a von Neumann
algebra: Noncommutaive A"spaces , Fund Anal 56(1984). 29-78.
9. Nelson.E., Notes on noncommutative integration,./. Fund. Anal. 15(1974), 103-

I 16.
10. Phan Viet Thu, Non commutative integration for UHF algebras with a product
state
\ M ' Journal of Science. Mathemaúcs-Physu s . 22(2006) no. 1. 10— 16.
/ /. Phan Viet Thu. The embedding of Haagerup L" spaces Tup clỉi Toan hoc.
Journal of Mathematics 2006
12. Setzal. I. h A non-commutative extension of abstrac integration. Ann Math 57
(1953). 401-457.
12
13. Stinespring,W.F., Integration theorems for gauges and duality for unimodular
groups, Trans.Amer.Math.Soc.90( 1959), 1 5-56.
14. Terp,M (1982) Interpolation spaces between a von Neumann algebra and its
predual. Journal of Operator Theory 8. 327-360.
15. Yeadon. F.J., Noncommutative L Spaces, Math.Proc.Camb. Phiìl.Soc 77
13
PHỤ LỤC
14
(JAM n a t i o n a l u n i v e r s i t y . HANOI
ISSN 0866-8612
JOURNAL
TOÁ
MATHEMA
NON COMMUTATIVE INTEGRATION FOR
UHF ALGEBRAS WITH PRODUCT STATE
P han V ie t T h u
Department of Mathematics-MechfWics and Informatics
CoUecge of Scicnce, VNU
A bstract. In this paper wc shall give a proof for a lemma (Lemma 3) and a theorem
(Theorem 3) stated in the paper [2] of Goldstein, s . and Viet Thu, Phan published
in International Journal of Theoremtical Physics vol. 37. No- 1. 1998 about the

construction of Lp spaces for UHF algebras. We shall also give a proof for a technical
theorem (Theorem 1), as a tool for the construction.
1. U niform ly m atricia l, U H F algebras
A unital c*-algebra A is called uniformly matiicinl of type {nj},] = 1,2, € N
when there exists a scqucnce, {j4j}j€N of C ’-subalgcbras of A and a sequence {rij} of
positive integers. such that for each J € N, Aj is *isoniorphi< to the Mn (C) of
n Ị X II J complex matrices.
1 e /li c A2 c v4.j c
.111(1 1J Aj is norm dense' in A. The sequpoc is called a (jcnrmtmg nest of type
J € - I
{rij} fur A. Wo shall also Crill it an approximating scẨỊucna: foi A. A uniformly rnatricial
A ()[ typo {/<_,} exists iff the sequence {Uj} is strictly increasing *111(1 71 j divides
nJrl: Vy £ N. Moreover with these conditions A is unique (up to * isomorphism) and is a.
sunplr iil^c'bra. The uniformly matricial algebras and their roprfspiitafions arc also called
I'HF alyr.hras (from the terminology "uniformly hyporfmitc algebras";. Which can be
tout If i ill ii vast lit ('ra hire
2. Product states [3]
Le t {A ,:i £ / } bp a fa m ily of C ’ -alg e b ras . A = 0 iC /-4, the in fin irr TcMLsor pr o d u ct
of {/!,:/' e /}. ;md for each j € I,p, a state of A U). tho cnnoiiic.ii inia^e <)[ A, ill A. Tha n
’ iif■ I (' IS ;i unique St fitr Ị) of A SH< Í: t lint
I = /;,{ 1 )(u i )p i(2 )(a 2 1 - I1 a n i (11 n ;■
where
I {
1
ti)
re (listilirt (’lenients of /
'<Mì(\ (IJ (z A Ị,(J , J ~ 1.1. . t,
I lie state p ÍS
(li'tintrd I)V 0 , and such states ;ire allied prndurt stilt PS of 9., i A, Givon a product
Non Com m utative Integration fo r UHF Algebras w ith Product State

11
state p, the component state Pi are uniquely determained, since p, = p\A ịi). The product
state is pure if arid only if each p, is pure and is tracial if and only if each p, is tracial.
3. The inductive lim it of a directed system of Banach spaces
T heorem 1. Let ^ B / : / € F} be a family of Banach spaces, in which the index set F is
(Jircctcd by S uppose that if / , g € F and / < g, there is an isometric linear mapping
$gf from B f onto Bg and $hg$gf = $hf whenever f,g,he¥ and ị ^ g ^ h; then
(i). $ / / is the identity mapping on B f.
(ii). There is a Banach space B and for each / € F, an isometric linear mapping Uf
from B f into B , in stich way that Uf = Ug$gf whenever f, g € F, / ^ g and u {Uf(Bf) :
f € F} is everywhere dense in B.
(iii). Suppose th at A is a Danach space, Vf is an isometric linear mapping from Bf
into A, for each JF e F ;V / — Vg$gf whenever f ,g 6 F ; / ^ g and u {Vf(Bf) : / € F} is
everywhere defi^iJj^f£$fFben there exists an isometric linear mapping w from B into A
such that Vị =ấW Ụ j ịoT each f € F
Proof, (i). Denote by 1 the identity mapping on Df. Since $ff is an isometric linear
liinpping and ’ !
$ / / ( $ / / - 1 ) = $ / / $ / / - $ / / = 0.
It follows that $ / / = 1.
(ii). the Banach space consisting of all families {rth : h € F} in which
(Lh € Bh and sup {[Ịa^ll : h 6 F} < oo (with pointwise-linear structure and the suprcmum
norm). Let X q t»£ the closed subspace of X consisting of those families {a/i : h € F} for
which the net {||tt/i||. '■ h 6 F} converges to 0 and let Q : X —■» X/Xq be the quotient
mapping. Now for.#;giyen / € F, we define an isometric linear mapping Uf from Bf into
X as follows: when.a 6 Bf,Ufa is the family {a/, : h e F}. In which
r whenever /ỉ ^ / ; /; ,/ € F
ĐAI HOC Quoc - -'À NÔ'
'|?|JNG Tầm th ò n g Tin V
__
r" r

~ ~ W 7 W f
Note that
(fv) The linear mapping QU'f : Bf -> x/x0 is an isometrý.
(J) QUf ■= QUfigf when / iC y: f,(j e F. ~
For those, suppose that (1 € Bf To prove ((>)- let {bi, :/(€?} bo an element b of
A’(|. Given any positive real number £, it results from the definition of Xo that there exists
all <‘l(Miu'iit fo of F such that ||6fe|| < £ whonnver ft e F and h ^ Jo- Since F is directed,
wt! can clioose.í/ £ F.so that g ^ / and g ^ Jq. Since U'ja is the family {a/j} defined by
.(1). we have
12
Phan Viet Thu
Thus IIU'fn - ÒỊI ^ ||aỊ|. It follows that the distance \\QU'fa\\ from U‘fa to x 0 is not
lrss than |ỊííỊ|. The inverse inequality is apparent and (a) is proved. For (J) note that
ÍI £ Dj and $gf(ỉ G B,f. w e have to show that
U'fa-U'g$gfa £ X 0.
Now Ujd - U'g$gfa is an element {ch : h € F} of X and we want to prove that the
net {llo.ll : h e F} converges to 0. In fact., we have the stronger result that ||c/,|| = 0 when
h ^ (jCZ /). since
Ch = $ / ,/« - $kg$gfa = 0.
The range of the isometric linear mapping QU'j is a closed subspace Yf of the Banch
space X/Xq. When / ^ g
Yf = QU'f(Bf) = QUg$gf(Bf) c Qưg{Bg) = Yg.
From this inclusion and since F is directed, it follows that the family {Yf : f e F}
of subspaccs of XỊX(\ is directed by inclusion. Thus U{Y/ : / € F} is a subspace Bo of
x/x{)\ its closure is a Banach subspace D of X/Xq. Now we take for Uf the isometric
linear mapping QU'j from Bf into B which completes the proof of (ii).
(iii). Under the conditions set out in (iii). the mapping VfUj1 is a linrar isomc'try
from Uf(Df) onto Vf(Dj): when / ^ (j,VgU~l extends VfUj1. since tor a £ Bf.
VgUg l(Ufa) = vgu ; lug$ gfa = Vg$gfa = vfa = VfUflUfa.
From this and since the family {Uf(Bf) : / € IF} is directed by inclusion, there

is a linoar isoinetry H’o from u{ưf(Bf) : f G IF} onto u [Vf(Bf) / € F} such that Wo
extends VfUj1 for each / € F. Moreover. Wq extends by continuity to an isometric linear
mapping w from D onto A. w extends VfUj1 for each / € F and thus WUf — Vj.
R em a rk . The Thrnirm 1 and Its proof is adapted from Kadison and Ringrose (see [3]).
Definition. In tile circumstance set out in the Theorem 1. we say that the Banach
spaces {DI : / G !F} HI](1 the isometrics {QgỊ : / ^ (j: f.Q G ? } together constitufp a
directed system of Banach spaces The Banach space B occurring in (li) (together with
t lie isomct n r.s {t’f j •£ 7}) is calk'd the inductive limit of the direct C<1 system. The effort
111 (iiil is to show that thf1 < niLstrik riot) ill (ii) are unique up to isomc'try.
4. U‘(A. + ) for finite discrete factors
Let M be* finite discrete fat-tor acting oil H and T a(finite-) faithful normal tracial
state oil M (the definition and properties of thosr notion.'' \)f found in |3i) F I
J) 6 Ịl.ocị. lft denote the Lp space with respect to T as collar lifted in jl. 4 . 5;.
[{(■( all t licit ịị.ị|T norm oil
L h\ M . T )
is difmed by
Mjiii')1 ; ÍOI
a
£
M , p
£ ^i, DC,
For p - oo, put llaịlSo = INI- Then ||.||£ turns ư (M,t) into a Banach space,
moreover the Holder inequality
Non C om m utative Integration fo r UHF Algebras with Product State 13
hold for all a,b ẹ M with p,q,r € [1 , 00 ] such that 1/p + l/q = 1/r and for each a €
M ,p 6 (l,oo( . - 1;
Ilallp — sup |r(a,6)|;ợ e {1,oof such that 1/p + l/g = 1.
I|fc|lĩ<i
Let now ự> be an arbitrary faithful (normal) state on M. There exists unique he M
such that

¥>(a) = r(ha) for all a e M.
Moreover h is positive, invertible and r(h) = 1.
For all a € M And p € [l,oo[ put
||a||p = T(|/i1/2pa/i1/2p|p)1/p.
For p = 00, let ỊỊaỊỊoo = ||a|Ị. We define the belinear from
I
< a, 6 > — T{hll2pahlt2pb) Va,b€M.
Lem m a 1. For all p € [1,0 0 ] we have
(i) ||.||p is a norm on M.
(ii) I < a,b > I ^ IMIpll&ll, where l/p + l/q = l,q e |l,o o ],a,6 € M.
(iii) ||a||p = sup I < a,b > |,Va € M, b € M\q e [1 , 0 0 ]: 1/p + 1/q = 1.
Lemma 2, If p, s € [1,00] and p ^ s. then I |a| Ip ^ ||a|ls for all aGJli. (For the proof of
Lemma 1 and Lemma 2 : see [2]).
The norm ||.|(p turns M into a Banach space which we denote by If
ự> = T then Lp(M,ff) =
Note that mapping a !-> hl^2pahl^2p defines an isometric isomorphism between
Lp(M,tp) and
Lemma 3. For each p (E [1,00], the Banach space LF(M,if) is isometric to the Haagerup
space LP(M).
Proof. We may assume that (Ọ — T and p < 00 . Note that, since the modular automor
phism group {ơỊ} acts trivilly on M.
M = M x „ R ^ A i ® r ( R ) .
Furthermore, the canonical trace T on thp crossed product M equals T®e~"ds. The
Haagorup space LP{M) consists of products a ® exp((.)/p) where a € A/. Hence it is
enough to show that the mapping
! 1-4 a (g> eip((.)/p)
is an isometry. It is clear that one needs only to consider the case p = 1. We must, show
that
r(|aj) = T(x]l oo[(|a| ® exp{.))).
(see. Terp [7]). Let |a| = J Adex be the spectral decomposition of |ft|. We calculate-

0
14 Phan Viet Thu
OC
X]i.:*j(M«erp(.))) = J r{ỵ]e-sĩO0[(\a\))e-sds'
— oc
oc
= J T (X|i,oo[(M ))<ft
0
oo oo
= / V
(ỵ (t<xyd T (e^ dt

0 0
(since the indicator functions are non-negative and bounded, using the Fubini theorem
wo have further)
o o
OG
= J(J iX { t < \ } d t ) d T ( c x ).
0 0
X A
= JiJ dt)dr(ex)
0 0
X
= j Xdr(e\) = r(|a|). □
0
5. Non commutative integration or Ư spaces for U H F algebras with product
state
Theorem 2 . (Theorem 13.1.14 uf Ị3Ị). Suppose that {Aj ■ j e N} is a sequence of
mutually commuting finite type I factors acting on a Hilbert space H . (and each containing
the unit ofB(H)). A is the C"-algebra generated by u £ is a unit cyclic vector for A

]
and U!^\A is V product■ stHt.e Qỳpj, where f)j is a faithful state of Aj.j € N. Then u}ị\A~ is a
faithful normal st.nU' (>/ (the weak operator closure of A), thr corresponding modular
automorphism group {rrf} of A~ leaves eatii Aj inVfU'iant and {ơị\Aj} is thp mocUiInr
automorphism group of AJ corresponding to Pj.
Proof: (The proof of Theorem 2 can be found in [3jj.
T-Pt A hr H UHF C ‘-a]>iebra with a generating nest {.4n}riis. let V be a product
equence {v4T1} There exists the a sequence {Bj} of mutually
commuting finite type I subfactors of A (each containing unit of A)). Such that A =
0 Bj or, equivalently u B j generates An and u Bj generates A 35 c*-algebra. Denote
j=i j= i j = i
the restriction of <p on B j by tfj we have
<p(b 1,02»-,&„) = <p(bi)-<p(bn) = <Pi(b1) <fin(bn)
Vbj € Bj,j = l,2 , ,n . Put. <£>(") = <p\An we have
ip[n) = Ifil <g> ® ự>n
T h eorem 3. Let A be a UHF algebra with a generating nest {j4n},n £ N and tp a
product state on A with respect to the sequence {An}. Suppose that for each i; Ifi is
faithful. Then for p Ễ [l,oo],LP f/l, V?) is the inductive limit of {ưịAn, v?ín,)} J' moreover
Non C om m vtative Integration fo r UHF Algebras with Product State 15
Proof: Denote by (#^,71 ^ ,6,) respectively ;£*>(«)) the GNS representation of
tho pair (v4, Y?) (respectivelyíẤ n,^71))).' Let us first note that 7T^(i4)” = M and Noc = {0}.
which show s that
ư(-n^A)-)^ư(A,ự>).(^ Ư{M))
and analoguosly
Lp(7v(n)(A„)') = Ư{AnM n]) Vn € N*;pe [l,oo].
By [3 Theorem 11.4.15. and Remark 11.4.16]. A is simple, ip is a primary stat, so 7T^
is faithful and 71’y{A) is a factor. Thus A is isometrically isomorphic to TĨẬA). Upon
identifying A with takes the form tƯỊ \A for the cyclic unit vector ịy. The
situation remains true for each pair (An,y^n)) and we conclude now
that ijú^\-nẬA)" is faithful, hence Sy — 1. It implies that M = n^{AỴ and also Noc = {0},

i.e. L~*-(A, ip) = M and
ư{A,v) = Lpm = Lp{* M Y Y
For the pair (Ajt, ip(ri])- by hypothesis, aro faithful state? of Dj. Then <y9(n) =
(g) ifj is a faithful state of An = (g) By
J
- 1 j = i
A„ arc finite factor of type I: Y „ ( A R) = 7r^(„,(i4 )" and ,n arc faithful on
7T ^.oỊẠ ,)". It implies
s^n) = 1; A/n = 7r^(„)(Ẩn);
! * ( . W !)2!A/„:
? 1
16
Phan Viet Thu.
Lp(A n i'P ^ ) — ư{M n) = Lp(iĩ^*).(An)) p e [l,oo |.
The modular automorphism of of 7T^(i4)” = M associated with UỈỊ leaves each
^ („ 1 (j4tl)” = Mn invariant. Thus there exists a ơ-weakly continuous conditional ex
pectation En from M onto Mn for all n € N and Lp(Mn) càn be canonically isomet-
rically embeded into Lp(Mm) if n ^ m. Denote this embedding by $ mn the family
{Lp(Mn);$ mn;m ,n e N} forms a directed system of Banach spaces, with the induc
tive limit u LP(Mn) = Ư(M). Since for each n, Lp(Mn) = Lp(An, <p(n)) the family
ịLp(An,(p(n))} has the same inductive limit LP(M) and from the fact that Ư{M) =
Lp(A,ip), it implies that the family {Lp(An, Y?(n))} has the inductive limit ư (A,¥>). □
References
1. Dixmir. J. Formes lineaires sur U11 aneau d ’ operateur, Bull. Soc. Math. France,
81(1953). 3-39.
2. Goldstein, s. and Viet. Thu, Phan Lp-spaces for UHF algebras, Inter. J. of Tkeor.
Phys 37(1998), 593-598.
3. Kadison. R. V. and Ringrose, J. R. Fundamentals of the theory of operator algebras,
vol I (1983). Vol. 11(1986), Academic Press, New York-London. 1
4. Nelson, E., Notes oil noil-commutative integration, J. Fund. Anal., 15(1974), 103-

116.
5. Segal. I. E. A non-commutative extension of abstract integration, Ann. Math.,
57(1953). 401-457.
(j. Takesaki. M. Conditional expectations in von Neumann algrbras, J Fund. Ann.,
9(1972). 306-321.
7. Terp M. Lp spaces associated with von Neumann algebras, Notes, KỘ benhaviis
Univeisitet. Mat.emat.isk Instituty Rapport Aro3( 1981).
VICTNIIM NATIONAL UNIVCRSITY, HANOI
JOURNAL OF SCI€NC€
MATHEMATICS - PHYSICS
TJCXII, N C1 - 2006
CONTENTS
Phan H ong Lien, The CJT Effective Action Applied to Critical Phenomena
for the Abelian Higgs Model 1
Phan Viet Thu, Non Commutative Integration for UHF Algebras with
Product State IQ
Dang Vu Giang, Dinh Cong Huong, Sufficient Conditions for the
Convergence o f a Class o f Rational Recursive Sequences 17
Nguyen Van Hung, Ho Khac Hieu, Nguyen Cong Toan, Thermodynamic
and Correlation Effects in Atomic Vibration o f BCC Crystals Containing
Dopant Atom 26
Ho Anh Tuy, Nguyen Vinh An, Image and Video Compression for
W ireless Networks 34
Sung Ho V an, Design and Implementation o f High-order Digital Equalizers
for Audio Signal Using Matlab and DSK TMS 320C 671Ị 48
Nguyen Nang Dinh, Nguyen Thi Bao Ngoc, Application o f Impedance
Technique for Study o f Ionic Conducting Properties o f LixLa|.xTi03
Perovskite Thin Films 55
Vietnam Journal
of

MATHEMATICS
Formerly Tạp chí Toán hoc (Journal of Mathematics)
Volum e 34, Num ber
3 September 2006
Editor-in-chief
Nguyen Khoa Son
InsDtute of Mathematics. Hanoi
Deputy Editors-in-Chief
Pham Ky Anh' Nguyen Tu Cuong
Vietnam National University. Hanoi Institute of Mathematics. Hanoi
Hoang Xuan Phu
Institute of Mathematics. Hanoi
Editorial Board
Hans George Bock. Universitat Heidelberg
Markus Brodmann, Universitat Zorich
Ngo Bao Chau. Université Paris-Sud. Orsay
Duong Mmh Due, University of Ho Chi Minh City
Dinh Dung. Institute of Jnformation Technology. VNU. Hanoi
Karl-Heinz Hoffmann. Caesar. Bonn
Nguyên Huu Viêt Hưng. Vietnam National University, Hanoi
Masami Ito, Kyoto Sangyo University. Kyoto
Ha Huy Khoai, Institute of Mathematics, Hanoi
Lé Hai Khôi, Institute of Information Technology. Hanoi
Pham The Long, Le Qui Don University. Hanoi
Charles A. Micchelli. State Unrversiiy of New York. New York
Tran Van Nbung, Ministry of Education and Training, Hanoi
Shum Kar Ping, The Chinese University
of
Hong Kong
J p Ramis. Umversite Paul Sabatier. Toulouse

Vladimir N- Temlyakov. University of South Carolina
Do Due Thai, Vietnam National University, Hanoi
Dang Hung Thang. Vietnam National University. Hanoi
Nguyen Quoc Thang. Institute of Mathematics, Hanoi
Dao Trong Thi. Vietnam National University. Hanoi
Do Long Van, Institute of Mathematics. Hanoi
Tran Due Van. Institute of Mathematics. Hanoi
N q u ye n Thanh Van. Umversité Paul Sabatier. Toulouse
Ha Huy Vui. Institute of Mathematics. Hanoi
Roben W isbauer. Heinrich - Heine Umversitat. Dusseidorf
Steven Zucker. Johns Hopkins University. Baltimore
V ietnamese Academy of
Science and T echnology
&
V ietnam M athematical Society
Zentraiùiãn MATHanơ Mdtnemavcdi - r i v T
V letxiam jo u r .u i
of
M A T H E M A T I C S
© VAST 2006
The Embedding of Haagerup Ư Spaces
Phan Viet Thu
Faculty of Math Mech. and Inform Hanoi I'iHi'cr.'.ity of Si ll II, I
■334 Nguyen Trat. Thanh Xuan. Hanoi. Vietnam
Received April 18. 2006
A b s t r a c t . The aim of this paper is to give a proof for a theorem duo to s Goldhicm
that: If there is a <7- weakly continuous faithful projection of norm OIK’ frnm -I von
Neumann algebra M onto its von Neumann subalgcbra .V. then LP(X) can be canon
ically embeded into LP\M ). Here Ư { A ) [6] denotes tho H aagcrup U ‘ space over the
von Neumann algebra A.

2000 Mathematics Subject Classification: 46L52. &1R15-
Keywords: von Neumann algỊebras. Haagerup spaces, conditional expection for Mill
Neumann algebras.
Let M be a von Neumann algebra acting in a Hilbert space H and c a Iiornml
faithful semifinite weight on M. Let {Ơt } (£R denote the modular automorphism
group on M associated with V. The crossed product M = M An, ?_ is a von
Neumann algebra acting on H = L2(R. Hi gf'nrratod by
(A.v(a-)OIM f // t • - '1
Theorem. Li t A bt CL uuu Stuuimui ■'tiitiiitụt Oiii of .1/. òuppo-'') that I"_\ IS
St mifiwti and (7f I A ’ - ƠỊ 1 N for rarfi t - ?. Th(n r i . tia I ni 'til Iiii/iiuit nj \ .
IS canonically embeded into M and fur each p e [1. ^c| the spare Ư(S) ran be
canonically triibrded into Lp(iV/), so that for any k (- u (A )
A-1 ;v Ả"!;u
ii'ht n and . :i,y dr riot f th<- ĩturrit of L“\ \ Uhtll/ M • ,