Những sai lầm của học sinh khi giải bất phương trình vô tỉ và cách khắc phục_SKKN Toán THPT

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT ĐẶNG THAI MAI
----------------

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

"NHỮNG SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI GIẢI
BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ"

GV: ĐỖ THỊ MAI
Tổ : TOÁN
Trường: THPT ĐẶNG THAI MAI
Năm học: 2011-2012

Quảng Xương, tháng 5 năm 2012
1


A - ĐẶT VẤN ĐỀ
I-LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Bất phương trình vơ tỉ là một trong những phần quan trọng của lớp 10.Bất
phương trình vơ tỉ thường được dùng để ra đề trong thi đại học và thi học sinh
giỏi cấp tỉnh .Để giải được bất phương trình vơ tỉ thì học sinh phải nắm vững
định nghĩa về bất phương trình,định nghĩa về bất phương trình vơ tỉ ,hai bất
phương trình tương đương, các phép biến đổi tương đương .
Trong thực tế giảng dạy ở trường THPT, đặc biệt là học sinh lớp 10 của
trường tôi số lượng học sinh ở mức độ học lực trung bình cao,điểm đầu vào mơn
tốn thấp.Nên học sinh gặp nhiều khó khăn khi giải các bài tốn liên quan về bất
phương trình vơ tỉ .Các em hay mắc phải sai lầm khi kết hợp nghiệm của bất
phương trình vơ tỉ hoặc xét thiếu trường hợp hoặc bình phương hai vế mà khơng
xét dấu của hai vế dẫn tới phép biến đổi không tương đương .

Trong nội dung của đề tài xin được tập trung giới thiệu một số sai lầm học
sinh thường mắc phải khi giải bất phương trình vơ tỉ dạng cơ bản và một số bài
tập vận dụng , nhằm giúp học sinh giải về bất phương trình vơ tỉ đúng hơn. Giúp
học sinh khắc phục được những sai lầm của mình khi giải bất phương trình vơ tỉ
Qua đề tài (Những sai lầm của học sinh khi giải bất phương trình vô tỉ) tôi muốn
giúp học sinh hiểu sâu thêm về các phép biến đổi tương đương khi giải bất
phương trình vơ tỉ, có tư duy tốt hơn khi giải bất phương trình vơ tỉ để tìm ra lời
giải đúng cho bài toán.
II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
1. Thực trạng :
Sau một thời gian dạy học mơn tốn ở khối 10 phần bất phương trình vơ tỉ ở
trường tơi .Tôi nhận thấy một số vấn đề nổi cộm như sau:
Vấn đề thứ nhất:Trong sách giáo khoa lớp 10 cơ bản phần bất phương trình vơ
tỉ trình bày rất sơ lược và tóm tắt,sách giáo khoa 10 nâng cao thì trình bày rõ

2


ràng hơn song chỉ nêu hai dạng cơ bản .Những khái niệm về các phép biến đổi
tương đương trong giải bất phương trình thì trừu tượng làm học sinh khó nắm bắt
được sâu sắc bản chất của vấn đề.Đặc biệt theo phân phối chương trình của lớp
10 CB thì bài "bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn " dạy trong 2 tiết
còn theo phân phối của chương trình nâng cao thì bài ''Đại cương về bất phương
trình" dạy trong 1 tiết với lượng kiến thức khá nhiều.Do đó giáo viên khó có thể
diễn giải chi tiết, cặn kẻ,lấy nhiều ví dụ minh họa để học sinh nắm được các
phép biến đổi tương đương và các phép biến đổi khơng tương đương trong giải
bất phương trình.
Vấn đề thứ hai: Bài tập về giải bất phương trình vơ tỉ đa dạng và khó nên học
sinh thường lúng túng khi gặp những bài toán loại này.
Vấn đề thứ ba: Đặc điểm của học sinh trường tôi là học sinh trung bình chiếm

hơn 60%,và chủ yếu học sinh học ban cơ bản.Tư duy của các em cịn nhiều hạn
chế do đó khi giải bất phương trình các em thường khơng nắm được các phép
biến đổi tương đương để đưa bất phương trình về bất phương trình mới tương
đương.Các em cứ thấy bất phương trình có ẩn dưới dấu căn là các em bình
phương mà khơng xét xem đó có phải là phép biến đổi tương đương không?
Qua các bài kiểm tra định kì,kiểm tra thường xun ở hai lớp 10A5;10A6 tơi
thấy học sinh mắc rất nhiều sai lầm trong khi giải bất phương trình vơ tỉ dẫn đến
đáp số sai.Vì thế điểm kiểm tra phần này thường thấp hơn so với các phần học
khác.Cụ thể bài kiểm tra lớp 10A5 trước khi tôi chưa chỉ ra những sai lầm trong
khi giải bất phương trình vơ tỉ như sau:
Lớp 10A5: ( Tổng số HS :42)
Giỏi
SL
0

%
0

Khá
SL
4

%
9,5

TB
SL
16

%

38,1

Yếu
SL
14

%
33,3

Kém
SL
8

%
19,1

2. Hệ quả của thực trạng trên:
3


Chính vì vậy mà học sinh các lớp cơ bản tôi dạy ban đầu thường rất ''sợ'' và lúng
túng khi giải bất phương trình vơ tỉ.
Với những kinh nghiệm đúc rút từ thực tế giảng dạy của bản thân. Tôi viết sáng
kiến kinh nghiệm này để giúp các em vận dụng được các phép biến đổi tương
đương trong giải bất phương trình để giải bất phương trình vơ tỉ,tránh được
những sai lầm thường mắc phải khi giải bất phương trình vô tỉ. Tôi mong muốn
giúp các em học tốt hơn phần bất phương trình vơ tỉ ,bồi dưỡng cho các em lịng
say mê, u thích mơn tốn.

B- GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I-CƠ SỞ LÝ LUẬN
1.Định nghĩa bất phương trình:
-Cho hai hàm số y=f(x) và y=g(x) có tập xác định lần lượt là Df và Dg .Đặt D=
Df  Dg

Mệnh đề chứa biến có một trong các dạng
f(x)<g(x),f(x)>g(x),f(x) g ( x), f ( x) g ( x) được gọi là bất phương trình một ẩn ;x
gọi là ẩn số và D gọi là tập xác định của bất phương trình đó .
x0  D gọi là một nghiệm của bất phương trình f(x)đề đúng
-Bất phương trình vơ tỉ là bất phương trình có chứa ẩn dưới dấu căn.
2.Bất phương trình tương đương:
Hai bất phương trình(cùng ẩn) được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập
nghiệm.
3.Các phép biến đổi tương đương
Cho bất phương trình f(x)trên D.
1) f ( x)  g ( x)  f ( x)  h( x)  g ( x)  h( x)
2) f ( x)  g ( x)  f ( x).h( x)  g ( x).h( x) nếu h(x)>0 với mọi x  D
3) f ( x)  g ( x)  f ( x).h( x)  g ( x ).h( x) nếu h(x)<0 với mọi x  D
4)f(x)5) f ( x)  g ( x)  f 2 n ( x)  g 2 n ( x) với n  N * ,f(x) 0, g ( x) 0 với mọi x  D
6) f ( x )  g ( x)   f ( x)   g ( x)  f 2 n ( x)  g 2 n ( x) với n  N * ,f(x)  0, g ( x)  0 với
mọi x  D
II- GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN:
1. Các giải pháp thực hiện.
4


1.1.Nêu các định nghĩa về bất phương trình,bất phương trình vơ tỉ ,các định lí về

các phép biến đổi tương đương giữa hai bất phương trình
1.2.Nêu những dạng bất phương trình vơ tỉ cơ bản mà học sinh thường gặp trong
sách giáo khoa,sách bài tập hoặc đề thi đại học.
1.3.Nêu những lời giải sai lầm thường gặp của học sinh và chỉ ra những sai sót
của học sinh.Từ đó đúc kết ra lời giải đúng cho dạng tốn đó.
1.4.Dạy thành các dạng nhỏ trong các tiết tự chọn toán để bổ sung kiến thức
cho các em.
2.Các biện pháp để tổ chức thực hiện.
2.1. Giải bất phương trình dạng A < B (1)
Ví Dụ
Bài 1.Giải bất phương trình sau : x 2  x  12  2  x
Học sinh thường trình bày như sau:
 x 4

2
Điều kiện : x  x  12 0  
 x  3

x 2  x  12  2  x  x 2  x  12  (2  x )2
 x 2  x  12  4  4 x  x 2  3x  16  x 

16
3

 x  3
Kết hợp với điều kiện thì bất phương trình có nghiệm: 
16
4 x 
3


Nhận xét: Bài toán trên học sinh đã giải sai: khi chưa đặt điều kiện cho 2-x 0
đã bình phương hai vế của bất phương trình đây là phép biến đổi khơng tương
đương nên dẫn đến đáp số của bài toán sai
Sai lầm:
Như vậy khi dạy học sinh tôi thấy học sinh hay mắc phải các lỗi sau, khi giải loại
bất phương trình (1) là:
-Học sinh không đặt điều kiện xác định của bất phương trình, mà sẽ trình bày
A < B Û A < B2

-Học sinh có tìm điều kiện xác định của bất phương trình sau đó cũng sẽ trình
bày A < B Û A < B 2
Như vậy ở cả hai cách làm trên đều sai vì đó khơng phải là phép biến đổi tương
đương
Khi giải bất phương trình vơ tỉ ta phải tìm điều kiện để bất phương trình vơ tỉ xác
định .Ta thấy phép bình phương là phép biến đổi tương đương nếu cả hai vế của
bất phương trình phải khơng âm hoặc cùng âm.

5


Học sinh thường không để ý đến dấu của hai vế của bất phương trình nên bình
phương hai vế mà khơng xét xem đó có phải là phép biến đổi tương đương
khơng.
Đối với bất phương trình (1) khi B £ 0 thì bất phương trình sẽ vơ nghiệm vì
A³ 0

Khi B>0 thì hai vế đều khơng âm nên ta bình phương hai vế được bất phương
trình mới tương đương
Biện pháp:

ïìï B > 0
ï
A ïï
ïïỵ A < B 2

Ta có lời giải đúng của bài 1 là:
Bài 1.Giải bất phương trình sau : x 2  x  12  2  x
Giải

  x  3
 x  3



 x  x  12 0
 x 4

  x 4



2
x  x  12  2  x  
2 x 0

x2
  x2
2
2

2
2
 x  x  12  (2  x)
 x  x  12  4  4 x  x

16


x
3


 x  3
2

Vậy bất phương trình có tập nghiệm:
S (  ;  3 ]
2.2Giải bất phương trình dạng A > B (2)
Ví dụ:
Bài 2.Giải bất phương trình sau: x 2  3x  10  x  2
Học sinh thường trình bày như sau:
 x  2

Điều kiện: x 2  3x  10 0  
 x 5


x  2 0
 x 2
x 2  3x  10  x  2   2


 x 14

2
 x 14
 x  3 x  10  x  4 x  4
Kết hợp với điều kiện ta có x 14
Vậy bất phương trình có tập nghiệm: S=[14;  )

Nhận xét: Bài toán trên học sinh đã xét thiếu trường hợp x-2 <0 dẫn đến phép
biến đổi chưa tương đương nên dẫn đến đáp số sai.
Sai lầm
Khi dạy học sinh tôi thấy học sinh hay mắc phải các lỗi sau khi giải loại bất
phương trình (2) là:
6


-Học sinh không đặt điều kiện xác định của bất phương trình, mà sẽ viết
A > B Û A > B2

-Học sinh có tìm điều kiện xác định của bất phương trình,nhưng khơng xét dấu
của biểu thức B sau đó cũng sẽ viết A > B Û A > B 2
-Học sinh sẽ làm

ìï A ³ 0
ïï
A >B Û í B³ 0
ïï
ïïỵ A > B 2

Như vậy ở cả ba cách làm trên đều sai.Đối với hai sai lầm đầu thì đó khơng phải
là phép biến đổi tương đương như đã phân tích ở bài tốn 1,cịn đối với sai lầm
thứ ba thì xét thiếu trường hợp.
ïì A ³ 0
Khi ïíï B < 0 thì bất phương trình(2) đúng với mọi x là nghiệm của hệ bất phương
ïỵ
ïì A ³ 0

trỡnh ùớù B < 0

ùợ
A 0>B ị

Vỡ
Bin phỏp:

A >B

ộỡù A ³ 0
êïí
êï B < 0
êïỵ
A >B Û ê
êïìï B ³ 0
êíï
2
ê
ëïỵ A > B

Ta có lời giải đúng của bài 2 là:

Bài 2.Giải bất phương trình sau: x 2  3x  10  x  2
Giải
x 2  3 x  10  x  2
 2
  x  2
 x  3x  10 0

   x 5  x  2
Trường hợp 1: 
 x 20
 x2


ìï x ³ 2
x- 2³ 0
ïì
Trường hợp 2: ïíï x 2 - 3x - 10 ³ ( x - 2)2 Û ïíï x ³ 14 Û x ³ 14
ïỵ
ïỵ

Vậy bất phương trình có tập nghiệm:
là S=   ;  2   14;  
2.3 Giải bất phương trình dạng:a) A + B > C (3)
b) A + B < C (4)
(A,B,C là các biểu thức bậc nhất)
Ví dụ:
Bài 3.Giải bất phương trình sau: x  1  2 x  4  x  1
7

Học sinh thường trình bày như sau:
Điều kiện: x 2
Bất phương trình   x+1<3x-5+2 (2 x  4)( x  1)  -2x+6<2 (2 x  4)( x  1)
 -x+3< (2 x  4)( x  1) Û (- x + 3)2 < (2 x - 4)( x - 1)
éx > 5
2
ê
kết hợp với điều kiện ta có
x
5
>
0
Û
Û x - 6x + 9 < 2x - 6x + 4 Û
ê
x
<5
ê
ë
x> 5 .Vậy bất phương trình có tập nghiệm: S=( 5 ;  )
2

2

Nhận xét: Bài toán trên học sinh đã giải sai ở bất phương trình
-x+3< (2 x  4)( x  1) .Học sinh đã không xét các trường hợp mà cứ thế bình
phương hai vế dẫn đến lời giải của bài toán sai.
Sai lầm:
Khi dạy học sinh tôi thấy học sinh hay mắc phải các lỗi sau khi giải loại bất
phương trình (3) ,(4) là:

-Học sinh khơng tìm điều kiện xác định của bất phương trình
-Học sinh có tìm điều kiện xác định của bất phương trình và sẽ trình bày như
sau:
Điều kiện xác định :
ìï A ³ 0
ïï
í B³ 0
ïï
ïïỵ C ³ 0
a) A + B > C Û A + 2 AB + B > C Û 2 AB > C - A - B Û 4AB > (C - A - B)2

b) A + B < C Û A + 2 AB + B < C Û 2 AB < C - A - B Û 4AB < (C - A - B)2
Như vậy ở cả hai cách làm trên đều sai
Sai lầm thứ nhất thì khi chưa tìm điều kiện mà bình phương thì có thể dẩn đến
bất phương trình mới khơng tương đương vì nó có sự thay đổi về tập xác định.
Sai lầm thứ hai là khi giải bất phương trình 2 AB > C - A - B đây là bài toán (2)
nên ta phải chia làm hai trường hợp
Biện pháp:
Điều kiện xác định :
ïìï A ³ 0
ï
í B³ 0
ïï
ïïỵ C ³ 0

é C - A- B <0
ê
ì
a) A + B > C Û A + 2 AB + B > C Û 2 AB > C - A - B Û ê
êïïí C - A - B ³ 0

êï 4 AB > (C - A - B)2
êïỵ
ë
ìï C - A - B > 0
b) A + B < C Û A + 2 AB + B < C Û 2 AB < C - A - B Û ïíï 4AB < (C - A - B)2
ïỵ

8


Chú ý cho học sinh vì ta đã tìm tập xác định ngay từ đầu nên trong trường hợp
1của bất phương trình 2 AB > C - A - B khơng cần tìm AB ³ 0
Ta có lời giải đúng của bài 3 là:
Bài 3.Giải bất phương trình sau: x  1  2 x  4  x  1
Giải
x 1  2 x  4  x  1
Điều kiện: x 2
Bất phương trình  x+1<3x-5+2 (2 x  4)( x  1)  -2x+6<2 (2 x  4)( x  1)
é
é
- x +3 < 0
x >3
ê
ê
ì
 -x+3< (2 x  4)( x  1) Û ê
- x +3 ³ 0
Û ê
x£ 3
êïìïí

êïï
êï (- x + 3)2 < (2 x - 4)( x - 1) êíï x 2 - 6 x + 9 < 2 x 2 - 6 x + 4
ê
ê
ëỵï
ëỵï
é
é x >3
ê x >3
ê
é x >3
ê
êìï x £ 3
ê
éx > 5
ê
êïï
ê
é
ì
Û êïï x £ 3 Û êï é
Û êê 5 < x £ 3 Û ê
ê
êí 2
êí êx > 5
êê
êx <- 5
ë
êïïỵ x - 5 > 0 êïï ê
ê

ë x <- 5
ëê
ê
êïï êx <- 5
ê
ëỵ ë
ë
Kết hợp với điều kiện: x 2 Þ x > 5

Vậy bất phương trình có tập nghiệm:
là S=( 5 ;+ ¥ )
Ví dụ
Bài 4) Giải bất phương trình sau: x  3  2 x  7  2 x  4
Giải
x  3  2x  7  2x  4
7
Điều kiện: x 
2
Bất pt  2x-4>3x-10+2 ( x  3)(2 x  7)  -x+6>2 (2 x  7)( x  3)

 x  6 0
x 6

 -x+6> (2 x  7)( x  3)  
 2
2
2
 x  12 x  36  8 x  52 x  84
( x  6)  4(2 x  7)( x  3)


 x 6
x 6
12


 2
 12

x4
7
7 x  40 x  48  0
 7  x  4

7
Kết hợp với điều kiện ta có bất pt có nghiệm x  4
2

Vậy bất phương trình có tập nghiệm:
7
2

là S = [ ; 4)
2.4 Giải bất phương trình dạng: A -

B > C (4)

9


(A,B,C là các biểu thức bậc nhất)

Ví dụ
Bài 5: Giải bất phương trình :
3x -

x+1 > x + 2

Học sinh thường trình bày như sau:
Điều kiện:x ³ 0
3x - x+1 > x + 2 Û ( 3x - x+1)2 > ( x + 2 )2
Û 3x + x +1 - 2 (x+1)3x > x + 2 Û 3x - 1 > 2 (x+1)3x
Û 9 x 2 - 6 x +1 >12 x 2 +12 x Û 3x 2 +18x - 1 < 0
Û

- 9 - 2 21
- 9 + 2 21
3
3

- 9 + 2 21
3
é - 9 + 2 21 ư
÷
÷
Vậy bất phương trình có tập nghiệm:S= ê
÷
ê0;
÷
3
ø

ë

Kết hợp với điều kiện ta có 0 £ x <

Nhận xét: Bài tốn trên học sinh đã giải sai: khi bình phương hai vế của bất
phương trình mà khơng xét xem 3x - x+1 0 hay chưa?
Sau đó lời giải trên tiếp tục sai khi bình phương hai vế của bất phương trình
3x - 1 > 2 (x+1)3x mà khơng xét 3x-1>0 nên phép bình phương ở đây cũng
khơng phải là phép biến đổi tương đương.
Chính vì những sai lầm này nên dẫn đến đáp số của bài toán sai.
Sai lầm:
Khi dạy học sinh tôi thấy học sinh hay mắc phải các lỗi sau khi giải loại bất
phương trình (4) là:
-Học sinh khơng tìm điều kiện xác định của bất phương trình
-Học sinh có tìm điều kiện xác định của bất phương trình và sẽ trình bày như
sau:
Điều kiện xác định :
ìï A ³ 0
ïï
í B³ 0
ïï
ïïỵ C ³ 0
A- B > C Û ( A-

B )2 > C

Sai lầm thứ nhất thì như đã phân tích ở các bài tốn trên
Sai lầm thứ hai học sinh đã không xét xem ở vế trái của bất phương trình (4) đã
khơng âm chưa
Nên khi bình phương hai vế của bất phương trình (4) có thể đó khơng phải là

phép biến đổi tương đương.
10


Biện pháp:
A-

B> C

Điều kiện xác định :
ïìï A ³ 0
ï
í B³ 0
ïï
ïïỵ C ³ 0
A- B > C Û

A > B + C ta đưa về bài toán 3
Hoặc ta phải chứng minh được A - B ³ 0 sau đó ta mới bình phương hai vế để

đưa về bất phương trình mới tương đương.
Ta có lời giải đúng của bài 5 là:
Bài 5: Giải bất phương trình sau:
3x -

x+1 > x + 2

Giải
Điều kiện:x ³ 0
3x > x+1 + x + 2 Û 3x > 2 x + 3 + 2 ( x +1)( x + 2)

ìï
x >3
x - 3 > 2 ( x +1)( x + 2) Û ïí 2
ïïỵ x - 6 x + 9 > 4( x 2 + 3x + 2)
x >3
ïì
Û ïí 2
Û
ïïỵ 3x +18x - 1 < 0

ìï
x >3
ï
ïí
ïï - 9 - 2 21 < x < - 9 + 2 21
ïïỵ
3
3

Bất phương trình vơ nghiệm
2.5 Giải bất phương trình dạng:A. B ³ 0 hoặc A. B £ 0 (5)
Ví dụ
Bài 6: Giải bất phương trình sau: ( x 2 - 3x) 2 x 2 - 3x - 2 ³ 0
Học sinh thường trình bày như sau:

(x

2

- 3x )

ïìï éx ³ 3
ïï ê
ïï ê
ëx £ 0
ïìï x 2 - 3x ³ 0
2
ï
2 x - 3x - 2 ³ 0 Û í 2
Û í x³ 2 Û
ïỵï 2 x - 3x - 2 ³ 0 ïï é
ê
ïï ê
1
ïï êx £ 2
ë
ỵï ê

é
1
êx £ ê
2
ê
ê
ëx ³ 3

1
2

Vậy bất phương trình có tập nghiệm:S= ( ;  ]  [3; )

Nhận xét:Bài toán trên học sinh đã giải sai là khi 2 x 2 - 3x - 2 ³ 0 là điều kiện của
bài tốn thì ta không thể kết luận x 2 - 3x ³ 0 .

11


Vì nếu 2 x 2 - 3x - 2 = 0 thì bất phương trình đúng bất kể x 2 - 3x nhận dấu gì .Nếu
2 x 2 - 3x - 2 > 0 thì mới suy ra được x 2 - 3x ³ 0 .Do đó phép biến đổi trên là không
tương đương nên dẫn đến đáp số của bài tốn sai.
Sai lầm:
Khi dạy học sinh tơi thấy học sinh hay mắc phải các lỗi sau khi giải loại bất
phương trình (5) là:
-Học sinh khơng tìm điều kiện xác định của bài tốn
-Học sinh sẽ trình bày như sau: A. B ³ 0
Điều kiện : B ³ 0
A. B ³ 0 Û A ³ 0
Ở cách làm này học sinh đã biến đổi không tương đương ta chỉ được chia cả hai
vế của bất phương trình cho một biểu thức khi biểu thức đó ln dương hoặc
ln âm với mọi x thuộc tập xác định của bất phương trình.Mà B ³ 0 nên ta
phải xét hai trường hợp khi B = 0 hoặc khi B > 0 khi đó ta mới được phép
chia cả hai vế của bất phương trình cho B
Biện pháp:
éB = 0
ê
êïì B > 0
Û
B
³
0
A.

êïí
êï A ³ 0
ê
ëïỵ

Ta có lời giải đúng của bài 6 là:
Bài 6: Giải bất phương trình sau: ( x 2 - 3x) 2 x 2 - 3x - 2 ³ 0
Giải

( x2 -

3 x ) 2 x 2 - 3x - 2 ³ 0

éx = 2
ê
TH1: 2 x - 3x - 2 = 0 Û ê
1
êx =ê
2
ë
ìï é x > 2
ïìï
ïï ê
ïï
ïï ê
1
ïï 2
ïï êx <2
x
3

x
2
>
0
ï
ê
Û íë
2Û
TH2: íï
2
ïï
ïï x - 3x ³ 0
ïï éx ³ 3
ïï
ïï ê
ïï
ïỵ ê
ëx £ 0
ỵ
2

é
1
êx <ê
2
ê
ê
ëx ³ 3

Từ hai trường hợp trên suy ra bất phương trỡnh cú tp nghim:

ộ

- Ơ ;S= ờ
ờ
ở

1ử
ữ
ữ
ữẩ { 2} ẩ [ 3; +¥ )
2ø

2.6 Giải bất phương trình dạng:A. ( B - C ) ³ 0 hoặc A. ( B - C ) £ 0 (6)
Ví dụ

12


Bài 7: Giải bất phương trình sau:(x-3) x 2 - 4 £ x 2 - 9
Học sinh thường trình bày như sau:
Điều kiện: x £ - 2 hoặc x ³ 2
(x-3) x 2 - 4 £ x 2 - 9 Û ( x - 3)( x 2 - 4 - x - 3) £ 0
éïì
éïì
x- 3£ 0
x£ 3
êïí
êïí
(I )
êï 2

ê
2
êỵï x - 4 - x - 3 ³ 0 êïỵï x - 4 ³ x + 3
2
( x - 3)( x - 4 - x - 3) £ 0 Û ê
Û ê
êìï
êìï
x- 3³ 0
x³ 3
êïí
êïí
( II )
êï 2
êï 2
ê
ïëỵ x - 4 - x - 3 £ 0 ê
ïëỵ x - 4 £ x + 3
ìï
ïìï x £ 3
ïï
x£ 3
ïï
ïï
x <- 3 ìï x £ 3
ïï é
ïï é
x +3 < 0
ï
ê

13
ï
ê
Û í êìï x ³ - 3 íï
Û x£Giải (I) Û íï êì
13
ïï êïï
ïï x £ x +3 ³ 0
6
ïï êïï
êí
ï
ï
6
í
ỵ
13
2
2
ïï êï x - 4 ³ x + 6 x + 9 ïï êï x £ ï
ëïỵ
ïï ê
ïï ê
6
ỵ ëỵï
ỵ
ìï x ³ 3
ìïï
ï
x³ 3

Giải (II) Û íï x 2 - 4 £ x 2 + 6 x + 9 Û íïï
13 Û x ³ 3
ïỵ
ïï x ³ - 6
ỵ

Kết hợp với điều kiện suy ra bất phương trình có tập nghim
ổ

S= ỗỗỗố- Ơ ; -

13 ự
ỳẩ [ 3; +Ơ )
6ỳ
ỷ

Nhn xét:Nếu nhìn lướt qua đáp số thì ta nghỉ bài giải đúng nhưng lời giải này
đã sai.Vì học sinh khơng để ý rằng khi x-3=0( hoặc x 2 - 4 - x - 3 =0) thì ta
khơng cần để ý đến dấu của x 2 - 4 - x - 3 ( hoặc x-3) thì bất phương trình ln
đúng.Chỉ khi x-3>0 thì ta mới suy luận được x 2 - 4 - x - 3 >0 Hoặc x-3<0 thì
suy ra được x 2 - 4 - x - 3 <0.Chính vì vậy mà phép biến đổi đưa về hệ bất
phương trình trên là chưa tương đương.Nên lời giải sai tuy rằng đáp số đúng.
Sai lầm:
Khi dạy học sinh tôi thấy học sinh hay mắc phải các lỗi sau khi giải loại bất
phương trình (6) là:
-Học sinh khơng tìm điều kiện xác định của bài tốn
-Học sinh sẽ trình bày như sau: A. ( B - C ) ³ 0
Điều kiện :B ³ 0
éïì A ³ 0
êïí

êï B - C ³ 0
êỵï
(
B
C
)
³
0
Û
ê
A.
êïìï A £ 0
êí
êï B - C £ 0
ëïỵ

13


Như vậy cách làm này đã sai là nếu A=0 thì mang dấu gì thì A. ( B - C ) = 0
Nên đó khơng phải là phép biến đổi tương đương.
Biện pháp:
Điều kiện :B ³ 0
é
ê
ê
êA( B - C ) = 0
ê
éA( B - C ) = 0 ê ìï A > 0
Û ê ïí

A. ( B - C) ³ 0 Û ê
ê
êï
ê
ëA( B - C ) > 0 ê ïỵ B - C > 0
êì
ê ïï A < 0
êí
ê ïïỵ B - C < 0
ë

Ta có lời giải đúng của bài 7 là:
Bài 7: Giải bất phương trình sau:(x-3) x 2 - 4 £ x 2 - 9
Giải
Điều kiện: x £ - 2 hoặc x ³ 2
(x-3) x 2 - 4 £ x 2 - 9 Û ( x - 3)( x 2 - 4 - x - 3) £ 0
TH1:
é
ê
x =3
( x - 3)( x 2 - 4 - x - 3) = 0 Û ê
Û
ê 2
x
4
=
x
+
3
ê

ê
ë

é
x =3
ê
êìï
x³ - 3
Û
êïí
êï x 2 - 4 = x 2 + 6 x + 9
êỵï
ë

é x =3
ê
êìï x ³ - 3
êïï
Û
êí
13
êï x =ï
ê
6
ëïỵ

é x =3
ê
ê
13

êx =ê
6
ë

éìï
éìï
x- 3<0
x <3
êïí
êïí
(I)
êï 2
êï 2
x
4
x
3
>
0
x
4
>
x
+
3
êỵï
êï
2
ê
Û êỵ

TH2: ( x - 3)( x - 4 - x - 3) < 0 Û ê
êïì
ì
x- 3>0
x >3
êïïí
êïí
( II )
êï 2
êï 2
ê
ïëỵ x - 4 - x - 3 < 0 ê
ïëỵ x - 4 < x + 3
ìï
ìï x < 3
ïï
ïï
x <3
ïï
ïï é x <- 3 ìï x < 3
ïï é
x +3 < 0
ï
ïê
13
Û íï êïì x ³ - 3 íï
Û x 13
êïì
ïï êïï

ïï x 6
ïï êï
êí
ï
ï
6
í
ỵ
13
2
2
ê
ïï ï x - 4 > x + 6 x + 9 ïï êï x <ï
ëïỵ
ïï ê
ïï ê
6
ỵ ëïỵ
ỵ
ìï
ìï
ïï
ïï
x >3
ïï
ïï x > 3
ï
Û íï
Û x >3

Giải (II) Û íï
ïï x 2 - 4 < x 2 + 6 x + 9 ïïï
ïï
ïï x >- 13
ïïỵ
ïỵ
6

14


ổ

Vy bt phng trỡnh cú tp nghim S= ỗỗỗố- Ơ ; 2.7 Giải bất phương trình dạng:

13 ù
úÈ [ 3; +¥ )
6ú
û

A
> C hoặc
B

A
< C (7)
B

Ví dụ
Bài 8: Giải bất phương trình :

8  2 x  x2
1
x2

Học sinh thường trình bày như sau:
é- 4 £ x <- 2

Điều kiện : ê
ê
ë- 2 < x £ 2

8  2 x  x2
 1  8  2 x  x2  x  2
x2
TH1: x+2<0  x   2 kết hợp với điều kiện suy ra - 4 £ x <- 2
x2

x2 0
x2



 2
   3  17

 3  17
2
2
x

8  2 x  x  x  4 x  4
2 x  6 x  4  0

TH2:

2
2
 2x

 3  17
2

Kết hợp với điều kiện suy ra  2  x 

 3  17
2

Vậy bất phương trình có tập nghiệm:S= [  4; 2)  ( 2;

 3  17
)
2

Nhận xét:Học sinh đã không để ý đến dấu của x+2 mà nhân vào hai vế của bất
phương trình với x+2 thì đó khơng phải là phép biến đổi tương đương.Do đó dẫn
đến một bất phương trình mới khơng tương đương nên đáp số của bài toán bị sai.
Học sinh phải xét dấu của x+2>0 hoặc x+2<0 thì mới được phép nhân vào hai vế
của bất phương trình.
Sai lầm:
Khi dạy học sinh tơi thấy học sinh hay mắc phải các lỗi sau khi giải loại bất

phương trình (7) là:
-Học sinh khơng tìm điều kiện xác định của bài tốn
-Học sinh sẽ trình bày như sau:
ùỡ A 0

iu kin : ùớù B ạ 0
ùợ
A
>C Û
B

A > B. C

Như vậy cách làm này đã sai là:học sinh đã nhân vào hai vế của bất phương trình
với B.Phép nhân vào hai vế của bất phương trình với một biểu thức luôn dương
15


hoặc luôn âm với mọi giá ttrị của x thuộc tập xác định của bất phương trình ta
mới được một bất phương trình mới tương đương.Cịn biểu thức B này chưa biết
đã dương hay âm nên nhân vào hai vế của bất phương trình với B đó khơng phải
là phép biến đổi tương đương.
Biện pháp:
ìï A ³ 0
Điều kiện : ùớù B ạ 0
ùợ

ộỡù A - BC > 0
ờùớ
ờù

B>0
A - BC
êï
> 0 Û êỵ
B
êïìï A - BC < 0
êí
êï
B <0
ëïỵ

A
>C Û
B

Nếu nhận xét được dấu của B thì bài tốn sẽ đơn giản hơn rất nhiều
Ví dụ nếu B>0 thì
Nếu B<0 thì

A
>C Û
B

A
>C Û
B

A > B. C

A < B. C

Ta có lời giải đúng của bài 8 là:
Bài 8: Giải bất phương trình sau:

8  2 x  x2
1
x2

Giải
é- 4 £ x <- 2

Điều kiện : ê
ê
ë- 2 < x £ 2
8  2 x  x2
1 
x2

8  2x  x2  x  2
0
x2

Bất phương trình tương đương với hai trường hợp sau
 8  2 x  x 2  x  2  0

Trường hợp 1. 
x

2


0

 2
 x  3x  2  0


x2



8  2 x  x 2  ( x  2) 2
 8  2 x  x 2  x  2



x2
x2 0



  3  17
 3  17

x
 3  17

 2x
2
2
2


x 2


Trường hợp 2:
 8  2 x  x 2  x  2  0


x2 0


 8  2 x  x 2  x  2

x2 0


Hệ bất phương trình này vơ nghiệm vì 8  2 x  x 2 0

16




Vậy bất phương trình có tập nghiệm S=   2;


x

Bài 9.Giải bất phương trình sau:

1

 3  17 

2

x

2

2( x  x  1)

1

Giải
Điều kiện x 0
Vì 2( x 2  x 1)  1  2( x 2  x 1)  1  1  2( x 2  x  1)  0
x
1

x

2( x 2  x  1)

1  x 

x  1  2( x 2  x  1) 0 

2( x 2  x  1)  x  x  1

Ta có 2( x 2  x  1)  2(1  x )2  2( x )2 1  x  x  x  x  1  2( x 2  x  1) 0
đặt t= x với t 0 phương trình đưa về dạng : t 2  t  1  2(t 4  t 2  1) 0
Ta thấy t=0 không phải là nghiệm của phương trình.Chia cả hai vế của phương
trình cho t
1
t

1
t

1
t

1
t

Ta có : t  1   2(t 2  1  2 ) 0  (t  )  1  2(t  ) 2  2 0
1
t

Đặt t  u
Phương trình đưa về :
u  1  2u 2  2 0 

u 1
u 1


2u 2  2 1  u   2
 2

 u  1
2
2u  2 1  2u  u
u  2u  1 0

1
 1  t 2  t  1 0
t
 1 5
 1 5
t1 
(thỏa mãn) t t2 
(loại) 
2
2
3 5
Vậy bất phương trình có nghiệm : x 
2

ta có

t

x

 1 5
3 5
 x
2
2

Nhận xét:Qua bài 9 nếu ta nhận xét được dấu của mẫu số thì lời giải sẽ gọn đi
rất nhiều.Nên trước khi bắt tay vào lời giải ta nên dạy cho các em nhận xét dấu
của mẫu số nếu khơng nhận xét được dấu thì ta mới phải chia trường hợp để làm.
2.8 Giải bất phương trình dạng:

( A - B)
³ ( A - B)
C

Ví dụ
Bài 10.Giải bất phương trình sau:
Học sinh thường trình bày như sau:
Điều kiện :-1 £ x £ 1

1+ x -

1- x ³ x

17


1+x 2-

1- x ³ x Û

1+x -

Û 1³

1+ x - 1 + x
³ x Û x (2 1+x + 1- x

1- x ³ 0 Û 2 ³

1+x -

1- x ) ³ 0

1 + x + 1 - x Û 4 ³ 2 + 2 1- x2

1- x2 Û 1 ³ 1 - x2

Đúng với mọi x thỏa mãn -1 £ x £ 1
Kết hợp với điều kiện suy ra bất phương trình có tập nghiệm S=[-1;1]
Sai lầm:
-Học sinh khơng tìm điều kiện xác định của bài tốn
-Học sinh sẽ trình bày như sau:
ìï A ³ 0
ïï
Điều kiện: íï B ³ 0
ùù C ạ 0
ùợ
( A - B)
( A - B)
1
> ( A - B) Û
> ( A - B) Û
>1
C

C( A + B )
C( A + B )

Như vậy cách này sai vì học sinh đã rút gọn cả hai vế của bất phương trình cho
A-B.Đây khơng phải là phép biến đổi tương đương vì ta chưa biết được biểu
thức A-B dương hay âm
Biện pháp:
ìï A ³ 0
ïï
Điều kiện: íï B 0
ùù C ạ 0
ùợ
( A - B)
( A - B)
1
³ ( A - B) Û
³ ( A - B) Û ( A - B).(
- 1) ³ 0
C
C( A + B )
C( A + B )
1
- 1) = 0
TH1 ( A - B).(
C( A + B )
A B  0
A B  0





1
1
TH2: 
TH3: 
C( A  B )  1  0
C( A  B )  1  0



Ta có lời giải đúng của bài 10 là:
Bài 10.Giải bất phương trình sau:
Giải
Điều kiện :-1 £ x £ 1
1+x -

1- x ³ x Û

1+ x -

1+ x - 1 + x
³ x Û x (2 1+x + 1- x

1- x ³ x

1+x -

1- x ) ³ 0

18

TH1:
x (2 -

TH2: x(2 Vì

(

é
x =0
1- x ) = 0 Û ê
Û
ê
1
+
x
+
1
x
=
2
ê
ë
1 + x - 1 - x ) > 0 (*)

1+ x -

1 + x + 1 - x ) < (1 + x +1 - x ).(1 +1) Û
2

(

é x =0
ê
Û
ê
2
2
1
x
=
2
ê
ë

éx = 0
ê
Û x =0
ê
x
=
0
ë

1 + x + 1 - x ) < 2 Với mọi x ¹ 0

Nên 2 - 1 + x - 1 - x >0 Þ (*) Û 0 < x £ 1
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S=[0;1]

C. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT
I. KẾT QUẢ
Trong q trình dạy lớp 10A5, tơi đã đưa ra các dạng bài tập về bất phương trình
vơ tỉ ,lấy ví dụ minh họa cho từng dạng,cho các em lên bảng làm.Sau đó tơi đã
hướng dẫn cho học sinh cả lớp tìm thấy được sai lầm trong lời giải, để từ đó các
em rút ra kinh nghiệm cho bản thân mình.
Kết quả điểm kiểm tra hết phần học như sau:
Sau khi chỉ ra những sai lầm
Lớp 10A5: ( Tổng số HS :42)
Giỏi
Khá
SL
%
SL
10
23,8
18
II. KẾT LUẬN

%
42,9

TB
SL
13

%
30,9

Yếu

SL
01

%
2,4

Kém
SL
0

%
0

Qua thời gian nghiên cứu và kiểm nghiệm thực tế giảng dạy tôi rút ra được một
số kết luận sau :
Mơn tốn học là mơn học rất gần gũi với các em học sinh,nên đây là một lợi thế
rất lớn để tạo ra lòng ham học hỏi, u thích bộ mơn.Do đó trong q trình giảng
dạy giáo viên nên đưa các ví dụ áp dụng từ dễ đến khó,nên phân loại cho học
sinh dễ học, nên để học sinh lên bảng làm bài để chỉ ra những sai lầm của các em
hay mắc phải.
III. KIẾN NGHỊ

19


Đối với giáo viên : Cần quan tâm sát sao hơn nữa đến mức độ tiếp thu bài của
học sinh. Cần phải kiểm tra miệng nhiều em để nắm được mức độ hiểu bài của
các em để kịp thời uốn nắn sửa chữa những sai lầm mà các em mắc phải.
- Cần có sự nghiêm túc hơn trong việc sử dụng cơng nghệ thơng tin trong dạy
tốn.

Đối với nhà trường:Trong các buổi họp tổ các giáo viên nên trao đổi về cách dạy
bài học khó để tìm ra những cách giảng dạy hay nhất và chỉ ra những cách giảng
dạy chưa được.
Đối với sở giáo dục
Cần công khai các sáng kiến kinh nghiệm đạt giải cao trên mạng internet để giáo
viên và học sinh tất cả các trường trong tỉnh và ngoài tỉnh áp dụng vào thực tiễn
và học hỏi cách viết một đề tài khoa học.
Trên đây là một số kinh nghiệm của bản thân tôi đúc rút được trong q trình
giảng dạy, chắc chắn cịn mang tính chủ quan của bản thân, và sẽ không tránh
khỏi nhiều sai sót, các vấn đề tơi nêu ra rất mong được sự góp ý của các thầy
cơ giáo, các bạn đồng nghiệp và đặc biệt từ phía các em học sinh.
Quảng Xương, tháng05 năm 2012

20