Dạy học phần giao thoa sóng trong chương trình vật lí lớp 12

A – MỞ ĐẦU
Mỗi đơn vị kiến thức trong chương trình Vật lý phổ thơng đều có vai trị rất
quan trọng trong việc hình thành và phát triển tư duy của học sinh.
Trong q trình giảng dạy, người thầy ln phải đặt ra cái đích đó là giúp học
sinh nắm được kiến thức cơ bản, hình thành phương pháp, kĩ năng, kĩ xảo, tạo
thái độ và động cơ học tập đúng đắn để học sinh có khả năng tiếp cận và chiếm
lĩnh những nội dung kiến thức mới theo xu thế phát triển của thời đại.
Môn Vật lý là môn khoa học nghiên cứu những sự vật, hiện tượng xảy ra hàng
ngày, có tính ứng dụng thực tiễn cao, cần vận dụng những kiến thức tốn học.
Học sinh phải có một thái độ học tập nghiêm túc, có tư duy sáng tạo về những
vấn đề mới nảy sinh để tìm ra hướng giải quyết phù hợp.
Trong phần giao thoa sóng lớp 12 thì hiện tượng giao thoa sóng cơ là hiện
tượng khá trừu tượng và khó đối với học sinh. Việc hiểu được hiện tượng giao
thoa đã là một vấn đề khó đối với học sinh nhưng vấn đề này với sự trợ gúp của
các thí nghiệm , máy móc hiện đại như máy chiếu, các thí nghiệm mơ phỏng….
thì học sinh vẫn có thể hiểu và nắm được hiện tượng này. Song bài tập vận
dụng, củng cố và nâng cao phần này thì khá khó đối với học sinh. Khó ở đây
khơng phải là do học sinh khơng hiểu được hiện tượng mà là chưa có phương
pháp phù hợp để giải tốn
Vì vậy, để khắc phục vấn đề này nhằm đạt hiệu quả cao trong quá trình giảng
dạy người giáo viên cần cung cấp và rèn luyện cho học sinh phương pháp học
tập phù hợp. Đặc biệt là sử dụng các ví dụ minh họa có tính chất củng cố mạnh
và là tiền đề để học sinh làm các bài tập tương tự và các dạng bài tập khác.

0


I/ LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Giao thoa thoa sóng cơ là một phần học quan trong trong chương trình Vật
lí lớp 12. Quan trọng trong việc dùng nó để giải thích các hiện tượng sóng trong
thực tế; trong chương trình thi, đặc biệt thi đại học

Dạng bài tập về sóng đặc biệt là dạng về giao thoa sóng cơ thường có
nhiều bài khó. Các bài tốn về tìm số điểm dao động cực đại cực tiểu trên một
đoạn bất kì nào đó là một dạng khá hay và khó, thế nhưng trong sách giáo khoa,
sách bài tập và kể cả sách tham khảo chưa thấy một tại liệu nào hướng dẫn học
sinh làm các dạng toán này một cách bài bản
II/ MỤC TIÊU CỦA ĐỀ TÀI
Trong đề tài này với mục đích cung cấp cho giáo viên một cái nhìn tồn
diện về dạng tốn tìm số dao động cực đại và cực tiểu trong giao thoa sóng cơ, từ
đó hình thành phương pháp riêng để dạy cho học sinh trong việc học và ôn tập
phần này
Trong đề tài này củng sẽ cung cấp nhiều dạng và bài toán hay về các bài
tốn dao thoa sóng. Có thể dùng nó như một tài liệu dạy học hay một tài liệu để
học sinh tự học .Có tích hợp nhiều bài tập trắc nghiệm từ dễ đến khó.
III/ THỜI GIAN THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
Thực hiện trong khi dạy học phần sóng và giao thoa sóng cơ trong chương
trình vật lí lớp 12 cả cơ bản và nâng cao
IV/ QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
- Hệ thống lại lí thuyết về sóng cơ học và giao thoa sóng cơ học
- Phân dạng các bài tập về giao thoa sóng cơ đặc biệt các dạng bài tập về tìm số
cực đại và số cự tiểu trong giao thoa
- Đưa ra các phương pháp giải toán
- Các bài tập ví dụ và các bài tập vận dụng
1) Đối tượng áp dụng
- Áp dụng trên học sinh học ban A là chủ yếu
- Áp dụng cho học sinh ôn thi tốt nghiệp và đại học
2) Thực trạng của học sinh trước khi thực hiện đề tài
- Phần lớn học sinh chưa làm thạo dạng tốn về tìm số cực đại và cực tiểu trong
giao thoa sóng
- Rất ít học sinh có thể làm được dạng tốn khó của phần này
3) Biện pháp thực hiện

1


 Trang bị cho học sinh các kiến thức toán học cần thiết: lượng giác
 Giáo viên khai thác triệt để các bài toán trong SGK và SBT bằng cách giao
bài tập về nhà cho học sinh tự nghiên cứu tìm phương pháp giải.
 Trong giờ bài tập, giáo viên hướng dẫn học sinh trình bày lời giải và nhiều
học sinh có thể cùng tham gia giải một bài.
B – KIẾN THỨC CƠ BẢN
I/ Kiến thức Toán học
Nghiệm của hàm lượng giác cơ bản
+ Cos  = 1 =>  k
+

Cos 0   


 k
2

II/ Kiến thức Vật lý
1. Bước sóng của sóng cơ
 v.T 

v
f

2. Phương trình sóng cơ
+ Phương trình sóng tại O : uo=a cos t

2d

+ Phương trình sóng tại M do O truyền tới: uM=a cos ( t   )
(d là khoảng cách từ M đến O trên cùng một phươn truyền)
3. Kiến thức về giao thoa sóng
 Trường hợp hai nguồn cùng pha có hai sóng giao thoa với nhau
- Vị trí cực đại: d2-d1=k  (k  Z )
- Vị trí cực tiểu:



d2-d1= (2k  1) 2 (k  Z )

- Trung trực của hai nguồn là đường dao động cực đại
- Khoảng cách giửa hai điểm cực đại hoặc hai điểm cực tiểu liện tiếp trên đoạn
thẳng nối hai nguồn là


2

 Trường hợp nếu hai nguồn ngựơc pha thì:
- Vị trí cực đại:



d2-d1= (2k  1) 2 (k Z )

- Vị trí cực tiểu: d2-d1=k  (k Z )
- Trung trực của hai nguồn là đường dao động tiểu
- Khoảng cách giửa hai điểm cực đại hoặc hai điểm cực tiểu liện tiếp trên đoạn

thẳng nối hai nguồn là


2

 Trường hợp hai nguồn lệch pha nhau một góc bất kì thì để tìm điều kiện cực
đại hay cực tiểu ta phải đi tổng hợp lại dao động tại điểm bất kì

2


- Nếu hai nguồn cùng biên độ thì có thể dùng phương pháp cộng đại số hoặc
phương pháp tổng hợp véc tơ
- Nếu hai nguồn có biên độ khác nhau ta dùng phương pháp tổng hợp véc tơ
C – BÀI TỐN CƠ BẢN
Dạng 1: Tìm số điểm dao động cực đại và cực tiểu trên đoạn thẳng nối hai
nguồn
Bài toán: Cho hai nguồn sóng kết hợp A,B cách nhau một khoảng cho trước.
Tìm số điểm dao động cực đại hoặc cực tiểu trên đoạn AB
Cách giải:
+Xác định tính chất của hai nguồn AB
-Nếu hai nguồn cùng pha thì điều kiện cực đại là d 2  d1 k cực tiểu là
d 2  d1 (2k  1)


2

-Nếu hai nguồn ngựơc pha thì điều kiện cực đại là

d 2  d1 (2k  1)


2

cực tiểu là

d 2  d1 k

+Gọi M là một điểm cực đại trên AB cách A và B nhửng khoảng d1 và d2
Ta tìm giới hạn của d2-d1
- Xét khi M  A thì
=> d 2  d1  AB
- Xét khi M  B thì
=> d 2  d1  AB
d 1  0

d 2  AB
d 1  AB

d 2  0

Khi đó ta có:  AB d 2  d1  AB =>

  AB k  AB

  AB (2k  1)   AB
2


Giải hệ phương trình trên ta tìm được số giá trị nguyên của k từ đó suay ra số

điệm dao động với biên độ cực đại hoặc cực tiểu trên đoạn AB
Ví dụ: Ở mặt thống của một chất lỏng coa hai nguồn sóng kết hợp A và B cách
nhau 20 cm dao động theo phương trình uA=uB=2cos (40t ) . Biết tốc độ truyền
sóng trên mặt nước là 30cm/s. Tìm số diểm dao động cực đại trên đoạn AB
Hướng dẫn giải:
-Gọi M là một điểm dao động cực đại trên đoạn AB cách A và B nhửng đoạn
d1 ,d2
-Vì hai nguồn dao động cùng pha nên d 2  d1 k
-Áp dụng điều kiện chặn của d 2  d1 ta có
 AB d 2  d1  AB <=>  AB k  AB
AB
AB
k 



=>



=>

 20
20
k 
1,5
1,5

v
1,5

f

với





13,3 k 13,3

=> có 27 giá trị của k nên có 27 cực

đại trên đoạn AB

3


Dạng 2: Tìm số điểm dao động cực đại và cực tiểu trên đoạn thẳng nối một
điểm bất kì với một nguồn
Bài tốn: Cho hai nguồn sóng kết hợp A,B cách nhau một khoảng cho trước. M
là một điểm trên mặt nước khơng thuộc AB. Tìm số điểm dao động cực đại hoặc
cực tiểu trên đoạn AM
Cách giải
Cách 1: Phương pháp đại số
Giả sử ta cần tìm số cực đại, cực tiểu trên đoạn MA (hoặc MB thì củng tương
tự)

Xác định tính chất của hai nguồn A, B
-Nếu hai nguồn cùng pha thì điều kiện cực đại là

cực tiểu là

d 2  d1 k


d 2  d1 (2k  1)
2

-Nếu hai nguồn ngựơc pha thì điều kiện cực đại là

d 2  d1 (2k  1)


2

cực tiểu là

d 2  d1 k

Gọi J là điểm trên AM cách các nguồn các khoảng d 1 và d2 có đường cực
đại hoặc cực tiểu đi qua J
- Xét khi J  A =>
=> d 2  d1  AB


d 1  0

d 2  AB

- Xét J M =>

Khi đó ta có:

d 1  MA

d 2  MB

MA  MB  d 2  d 1  AB

=> d 2  d1 MB  MA

 MB  MA k  AB
 
 MB  MA ( k  0,5 )  AB

Giải hệ phương trình trên ta được số các giá trị của k ngun. Đó chính là số
điểm cần tìm trên AM
Cách giải được áp dụng tương tự khi tìm số diểm dao động cự dại và cực tiể trên
đoan MB
Cách 2: Phương pháp hình học
 Xác định tính chất của các nguồn A,B. Nếu hai nguồn cùng pha thì trung trực
của AB là đường cực đại, khi hai nguồn dao động ngược pha thì trung trực
của AB là dường dao động cực tiểu
M
 Khoảng cách giửa hai đường dao động
cực đại hoặc hai đường dao động cực tiểu
A

O

B

I

4


kế tiếp trên AB là 0,5  .Khoảng cách giửa
cực đại và cực tiểu kế tiếp trên AB là 0,25 
 Gọi I là dao điểm của đường cực đại
hoặc cực tiểu qua M với đường AB, khi đó ta có
điều kiện
Từ hệ phương trình trên ta tìm được IA, IB.
Khi đó số cực đại hoặc cực tiểu trên MA chính là số cực đại cực tiểu trên IA.
Tương tự, nếu tìm số cực đại, cực tiểu trên MB thì ta tìm trên IB
 MB  MA  IB 

 IB  IA  AB

IA

 Nếu M không phải là đường cực đại hoặc cực tiểu thì I là giao điểm của
đường cực đại hoặc cực tiểu gần M nhất khi đó ta có điều kiện
 MB  MA  IB 

 IB  IA  AB

IA

Từ hệ phương trình trên ta tìm được IA, IB. Khi đó số cực đại hoặc cực tiểu trên
MA chính là số cực đại cực tiểu trên IA

Tương tự, nếu tìm số cực đại, cực tiểu trên MB thì ta tìm trên IB
Ví dụ: Ở mặt thống của một chất lỏng có hai nguồn sóng kết hợp A và B cách
nhau 20 cm dao động theo phương trình u A=2cos (40t ) , uB = 2cos (40t   ) .
Biết tốc độ truyền sóng trên mặt nước là 30cm/s. Xét hình vng AMNB thuộc
mặt chất lỏng. Tìm số điểm dao động cực đại trên đoạn BM
Hướng dẫn giải:
Cách 1: Phương pháp đại số
Hai nguồn A,B dao động ngược pha nên điều kiện cực đại là d 2  d1 (k  0,5 ) ,
và trung trực của AB là đường dao động với biên độ cực tiểu.
Gọi J là một điểm trên BM ( Cách các nguồn lần lượt là d1 và d2 như hình vẽ)
và daoo động với biên độ cực đại. AMNB là hình vng cạng 20 cm nên BM=20
2 cm
Khi đó ta có
=>  20 d 2 

J  A
d 2  d 1  20
2  20

d 2  d 1   20
 J  M 

d1 20 2  20   20 ( k  0,5 ) 20 2  20

Giải bất phương trình kép trên ta được  13,8 k 5,02 , có 19 giá trị của k tức là
là có 19 điểm dao động với biên độ cực đại trên MB

5

Cách 2: Phương pháp hình học
Do hai nguồn dao động ngược pha nên trung trực của AB là cực tiểu. Từ giả thiết
ta có  v / f 1,5cm
Giửa hai cực đại liên tiếp cách nhau  / 2 và khoảng cách giửa cực đại và cực
tiểu liên tiếp là  / 4 =0,375 cm
Gọi I là điểm trên AB sao cho đường cực đại đi qua gần M nhất, sử dụng phép
tính gần đúng ta được
=>
 IB  IA  MB  MA  20

 IB  IA  AB  20cm

2 


 IB 10


 IO 10

20

2

2  10

J
d2

d1

I

A

I

O

B

O

A

B

Ta nhận thấy rằng chỉ có cực đại trên IB thì mới có cực đại trên MB , nên để tìm
số cực đại trên MB ta tìm trên IB. Các cực đại cách nhau 0,75cm, trung trực của
AB là cực tiểu nên cực đại gần trung trực nhất cách trung trực 0,375cm
Chon O làm gốc tọa độ, chiều OB là chiều dương khi đó tọa độ các cực đại trên
IB thoa mãn
10  10 2 0,375 10

  6,02 k 12,83

Có 19 giá trị k nguyên thỏa mãn, vậy trên MB có 19 cực đại
Nhận xét: Nhìn qua ta thấy cách 2 có vẻ dài hơn khá nhiều so với cách 1. Tuy
nhiên khi làm bài ta nên làm theo cách 2, vì nó trực quan hơn và chỉ cần nắm
được khoảng cách giửa các cực đại, các cực tiểu trên đoạn nối hai nguồn thì chỉ
cần dùng thao tác bấm máy ta củng có thể giải được ngay bài tốn này

Dạng 3: Tìm số điểm dao động cực đại và cực tiểu trên một đoạn thẳng bất kì
trên mặt phẳng giao thoa
Bài toán:

6


Cho hai nguồn sóng kết hợp A,B cách nhau một khoảng cho trước. Tìm số điểm
dao động cực đại hoặc cự tiểu trên đoạn MN cho trước
Cách giải:

A

B

d1

d2

M
I

N

+Xác định tính chất của hai nguồn AB
- Gọi I là một điểm cực đại hoặc cực tiểu trên đoạn MN cách A, B các đoạn d 1,
và d2
-Nếu hai nguồn cùng pha thì điều kiện I cực đại là d 2  d1 k cực tiểu là
d 2  d1 (2k  1)


2

- Nếu hai nguồn ngựơc pha thì điều kiện I cực đại là

d 2  d1 (2k  1)


2

cực tiểu là

d 2  d1 k

Ta tìm giới hạn của d2-d1
- Xét khi I M thì

d 1  AM

d 2  BM

- Xét khi I  N thì

d 1  AN

d 2  BN

=>

d 2  d 1  BM  AM

=> d 2  d1  AN  BN

Nếu BM-AM > AN-BN thì:
Khi đó ta có: AN  BN d 2  d1  BM  AM =>

 AN  BN k  BM  AM

 AN  BN ( 2k  1)   BM  AM
2


(Chú ý nếu BM-AM < AN-BN thì AN  BN d 2  d1  BM  AM )
Giải hệ phương trình trên ta tìm được số giá trị nguyên của k từ đó suay ra số
điệm dao động với biên độ cực đại hoặc cực tiểu trên đoạn MN
Ví dụ 1: Trên mặt nước có hai nguồn kết hợp A,B cùng pha cách nhau 6cm bước
A
sóng là 6mm. Xét hai điểm C,D trên mặt nước tạo thành
hình vng ABCD B.
Tìm số điểm dao động cực đại trên đoạn CD
d2

d1

Hướng dẫn giải:

C

I

7D


-Ta có: BC-AC = 6
BD-AD = 6 

2  6 cm
6 2

cm

-Để I là cực đại thì d 2  d1 k
-Ta có: 6  6 2 k 6 2  6
=>  4,14 k 4,14
=> có 9 giá trị của k nên có 9 điểm dao
động cực đại trên đoạn CD
Ví dụ 2: Trên mặt nước có hai nguồn kết hợp A,B cùng pha cách nhau 13cm dao
động với tần số 50Hz. Tốc độ truyền sóng trên mặt nước là 50cm/s. Gọi C,D là
hai điểm khác nhau trên mựt nước CD vng góc với AB tại MA=3cm,
MC=MD= 4cm. Tìm số điểm dao động cực đại trên CD
Hướng dẫn giải:
+ Trước hết ta tìm số điểm dao động cực đại trên đoạn CM
- Ta dễ dàng tính được CA=5cm; CB= 116 cm
- Gọi I là một điểm thuộc CM tại đó do động với biên độCcực đại
- I là cực đại nên d2-d1=k 
- Số điểm dao động cực đại trên CM
là số giá trị của K thỏa mãn hệ phương trình

A

116  5  K 10  3

B

M

50
Với   50 1cm

D
=> 5,77 K 7 => K=6,7
Như vậy trên đoạn CM có hai điểm cực đại, trong đó M là một cực đại
- Vậy trên đoạn còn lại DM do tính đối xứng nê có một điểm dao động cực đại
=> Trên cả đoạn CD có tất cả 3 điểm dao động voeis biên độ cực đại

Ví dụ 3: Trên mặt nước có hai nguồn kết hợp A,B cùng pha cách nhau 12cm dao
động với tần số 60Hz. Tốc độ truyền sóng trên mặt nước là 120cm/s. Tìm số
điểm dao động cực đại trên đường tròn tâm O ( O là trung điểm của AB) bán
kính 4cm.
Hướng dẫn giải:
120
-Bước sóng của sóng do hai nguồn tạo ra:   60 2cm

A

B

O
8

- Gọi C là một giao điểm của đường tròn với AB
- Ta có : CA-CB=2-10=8cm=2K => K=5
=> C là một điểm dao động cực đại trên AB và C
nằm trên cực đại bậc 5 trong khoảng từ C đến O
có 4 đương cực đại nữa
- Mỗi đường cực đại sẽ giao với đường tròn tại 2 điểm
và cho hai điểm dao động cực đại
- Trong khoảng giao điểm của đường tròn với AB coa tất cả 9 đường dao động
cực đại còn hai giao điểm là hai điểm cực đại
- Vậy số điêm dao động cực đại trên đường tròn sẽ là: 9x2+2=20 điểm

D. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Câu 1: Tại hai điểm trên mặt nước có hai nguồn phát sóng A và B có phương
trình u=a cos(40t) cm , vận tốc truyền sóng là 50 cm/s , A và B cách nhau 11cm.
Gọi M là điểm trên mặt nước MA=10cm , MB =5cm. Tính số điểm dao động cực
đại trên đoạn AM
ĐS:7 cực đại
Câu 2: Trên mặt nước nằm ngang có hai nguồn sóng kết hợp cùng pha A, B cách
nhau 6,5 cm, bước sóng 1cm. Xét điểm M có MA =7,5cm, MB=10cm. Tính số
điểm dao động với biên độ cực tiểu trên MB.
ĐS: 9 cực tiểu
Câu 3: Trên mặt nước nằm ngang có hai nguồn sóng kết hợp cùng pha A, B cách
nhau 6 cm, bước sóng 6mm. Xét hai điểm CD trên mặt nước tạo thành hình
vng ABCD. Tính số điểm dao động với biên độ cực tiểu trên CD.
ĐS: 8 cực tiểu
Câu 4: Tại hai điểm trên mặt nước có hai nguồn phát sóng A và B có phương


trình u1=a cos(30t ) , u2=a cos(30t  2 ) vận tốc truyền sóng là 30 cm/s , A và B

cách nhau 16cm. Gọi E, F là hai điểm trênđoạn AB sao cho AE=EF=2cm. Tính
số điểm dao động cực Tểu trên đoạn EF
ĐS: 12 cực tiểu

9


Câu 5: Tại hai điểm A và B trên mặt chất lỏng cách nhau 15 cm có hai nguồn
phát sóng kết hợp dao động theo phương trình u 1=a cos(40t) cm , u2=a
cos(40t   ) cm ,Tốc độ truyền sóng là 40 cm/s. Gọi E, F là hai điểm trênđoạn
AB sao cho AE=EF=FBcm. Tính số điểm dao động cực đại trên đoạn EF
ĐS: 4 cực đại
Câu 6: Tại hai điểm A và B trên mặt chất lỏng cách nhau 18 cm có hai nguồn


phát sóng kết hợp dao động theo phương trình u1=a1 cos(40t  6 ) cm, u2=a2
cos(40t 


)
2

cm.Tốc độ truyền sóng là 120 cm/s. Xét hai điểm C,D trên mặt

nước tạo thành hình vng ABCD . Tìm số điểm dao động cực tiểu trên đoạn CD
ĐS: 2 cực tiểu
Câu 7: Tại hai điểm A và B trên mặt chất lỏng cách nhau 8 cm có hai nguồn
phát sóng kết hợp dao động theo phương trình u 1=a cos(8t ) , u2=a cos(8t   )
,Tốc độ truyền sóng là 4 cm/s. Xét hai điểm C,D trên mặt nước tạo thành hình
chử nhật ABCD cạnh BC =6cm. Tìm số điểm dao động cực tiểu trên đoạn CD

ĐS: 8 cực đại, 9 cực tiểu

10


D – KẾT QUẢ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
Với thời lượng ôn tập trong 2 buổi học giáo viên minh hoạ các bước giải bài
tốn qua các ví dụ và đã cho học sinh cho học sinh nghiên cứu các bài tập ở nhà.
Kết quả, học sinh tích cực tham gia giải bài tập, nhiều em tiến bộ nhanh, nắm
vững kiến thức cơ bản. Cụ thể được minh hoạ ở hai lớp học 12A1 như sau
Sỉ số lớp: 51 học sinh
Ban đầu: Số lượng học sinh biết cách làm chỉ chiếm 4 học sinh
Sau khi học xong số học sinh năm vửng cách là là 45 học sinh
Còn 6 học sinh làm được dạng dễ

KẾT LUẬN
Việc giao bài tập về nhà cho học sinh nghiên cứu giúp học sinh có thái độ tích
cực, tự giác tìm lời giải cho mỗi bài toán.
Đến tiết bài tập, giáo viên tổ chức hướng dẫn học sinh trình bày bài giải chi tiết,
nhiều em có thể cùng tham gia giải một bài tập, kích thích khả năng độc lập,
sáng tạo của mỗi học sinh.
Giúp các em có được cái nhìn tổng quan về phương pháp giải một bài tập Vật lý
nói chung và bài tập liên quan đến giao thoa sóng cơ nói riêng. Tạo hứng thú say
mê học tập trong bộ môn Vật lý. Từ đó phát huy được khả năng tự giác, tích cực
của học sinh, giúp các em tự tin vào bản thân khi gặp bài tốn mang tính tổng
qt. Đó chính là mục đích mà tơi đặt ra.

11

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT CẨM THUỶ I

------------------

ĐỀ TÀI

GIẢI CÁC DẠNG TỐN
TÌM SỐ ĐIỂM DAO ĐỘNG CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU
TRONG BÀI TỐN GIAO THOA SĨNG CƠ

Họ tên tác giả: Dương Văn Năng
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị cơng tác: THPT Cẩm Thủy 1
SKKN: Mơn Lí

NĂM HỌC 2011 – 2012

12