Bài toán cân bằng đa trị.PDF

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
- - - - - - - - - - - - - - - - - -
HOÀNG THỊ KIM HUẾ
BÀI TOÁN CÂN BẰNG ĐA TRỊ
LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01.02
Người hướng dẫn khoa học
PGS. TSKH. NGUYỄN BÁ MINH
HÀ NỘI- 2013
1
Mục lục
Mở đầu 2
1 Một số tính chất của ánh xạ đa trị theo nón 4
1.1 Khái niệm nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Khái niệm điểm hữu hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Tính liên tục theo nón của ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Tính lồi theo nón của ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5 Tính Lipschitz theo nón của ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . 25
2 Bài toán cân bằng vectơ đa trị 37
2.1 Bài toán cân bằng vô hướng và các bài toán liên quan . . . . . . . . 37
2.1.1 Bài toán cân bằng vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.1.2 Một số bài toán liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.1.3 Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng vô hướng . . . . . 40
2.2 Bài toán điểm cân bằng véctơ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2.1 Bài toán điểm cân bằng véctơ đa trị . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán điểm cân bằng véctơ đa trị . 50
2.3 Ứng dụng của bài toán cân bằng đa trị vào một số bài toán . . . . 59
2.3.1 Sự tồn tại điểm hữu hiệu của tập hợp . . . . . . . . . . . . . 59
2.3.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán tối ưu véctơ . . . . . . . . . . 60

2.3.3 Sự tồn tại nghiệm của bài toán điểm yên ngựa . . . . . . . . 62
2.3.4 Sự tồn tại điểm cân bằng Nash . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2
Mở đầu
Ánh xạ đa trị xuất hiện trên cơ sở của những bài toán thực tế trong kinh tế, kỹ
thuật và những yêu cầu phát triển nội tại của nhiều lĩnh vực Toán học. Lý thuyết
các bài toán cân bằng đa trị, đã phát triển mạnh mẽ trong nhiều thập kỷ gần đây.
Nhiều nhà toán học trong và ngoài nước đã có những đóng góp quan trọng trong
lĩnh vực này. Đối với toán học, bài toán điểm cân bằng đã được biết đến từ lâu bởi
các công trình của Arrow - Debreu([8]), Nash([7]), Sau này bài toán được phát
biểu ngắn gọn như sau:
Tìm x ∈ K để f(x, y) > 0 với mọi y ∈ K
trong đó K là tập cho trước của một không gian, f : K × K −→ R là hàm số với
f(x, x) = 0 với mọi x ∈ K. Bài toán này bao gồm các bài toán : tối ưu, cân bằng
Nash, bài toán điểm yên ngựa, bài toán bù, Blum và Oettli ([6]) nghiên cứu f
có dạng f = g + h trong đó g thỏa mãn các điều kiện của định lý Browder - Minty
([9]) và h thỏa mãn các điều kiện của Định lý Ky Fan ([10]). Năm 1991, Blum và
Oettli([6]) đã phát biểu bài toán cân bằng tổng quát và tìm cách liên kết các bài
toán của Ky Fan và Browder - Minty với nhau thành dạng chung cho cả hai. Sau
này N.X.Tấn và P.N.Tĩnh đã mở rộng các kết quả của Blum và Oettli cho trường
hợp f là hàm véctơ.
Luận văn trình bày"Bài toán cân bằng đa trị" dựa trên hai bài báo : "On the
continuity of vector convex multivalued functions. Acta Math. Vietnam. 27 (2002),
no, 1, 13-25" và "Some sufficient conditions for the existence of equilibrium points
concering multivalued mappings, Vietnam J . Math.28:4(2000), 295 - 310" của các
tác giả Nguyễn Bá Minh và Nguyễn Xuân Tấn.
Luận văn gồm phần mở đầu , phần kết luận, danh mục tài liệu tham khảo và
hai chương với nội dung như sau.

Chương 1:" Một số tính chất của ánh xạ đa trị theo nón " trình bày các khái
niệm, tính chất của nón, điểm hữu hiệu trong không gian tôpô tuyến tính, các khái
niệm về tính liên tục, tính lồi, tính Lipschitz theo nón của ánh xạ đa trị. Đồng
3
thời cũng tập hợp các kết quả nghiên cứu về điều kiện cần và đủ để ánh xạ đa trị
là C- liên tục trên, C- liên tục dưới, mối liên hệ giữa tính liên tục, tính lồi của ánh
xạ đa trị với tính liên tục, tính lồi của các hàm vô hướng và mối liên hệ giữa tính
liên tục, tính lồi với tính Lipschitz địa phương.
Chương 2:" Bài toán cân bằng véctơ đa trị " trình bày bài toán cân bằng đa
trị và một số ứng dụng của nó. Phần đầu chương trình bày bài toán cân bằng vô
hướng của Blum-Oettli, các bài toán đưa về bài toán cân bằng vô hướng và điều
kiện đủ để bài toán cân bằng vô hướng tồn tại điểm cân bằng. Nội dung chính của
luận văn là trình bày bài toán cân bằng đa trị dạng F = G + H trong đó G là ánh
xạ đa trị, H là ánh xạ đơn trị với các tính chất khác nhau và điều kiện đủ để bài
toán cân bằng đa trị có điểm cân bằng (cân bằng yếu). Cuối chương là các ứng
dụng của bài toán cân bằng đa trị với các bài toán liên quan như bài toán điểm
hữu hiệu của tập hợp, bài toán tối ưu véctơ, bài toán điểm yên ngựa véctơ và bài
toán cân bằng Nash véctơ.
Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên - Đại
Học Quốc Gia Hà Nội , dưới sự hướng dẫn của PGS.TSKH Nguyễn Bá Minh.
Tác giả chân thành cảm ơn thầy Minh đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo giúp đỡ tác
giả thực hiện các nghiên cứu theo đề tài của luận văn.
Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn các thầy giáo, cô giáo trong Ban Giám
Hiệu, Ban Chủ Nhiệm Khoa Toán - Tin trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên và
các bạn bè đồng nghiệp đã quan tâm, giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho tác
giả học tập và nghiên cứu.
Do trình độ và thời gian còn nhiều hạn chế nên luận văn cũng không tránh được
những thiếu xót. Vì vậy tác giả mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy
giáo, cô giáo và bạn bè để tác giả hoàn thiện tốt hơn luận văn. Tác giả chân thành
cảm ơn!

4
Chương 1
Một số tính chất của ánh xạ đa trị
theo nón
Chương này trình bày một số khái niệm, tính chất của nón, điểm hữu hiệu trong
không gian tôpô tuyến tính, tính liên tục, tính lồi, tính Lipschitz theo nón của ánh
xạ đa trị. Phần đầu của chương, nghiên cứu các khái niệm, tính chất của nón và
khái niệm điểm hữu hiệu. Tiếp theo là sự mở rộng định lý Banach- Steihaus cho
một họ các hàm lồi, lõm trong không gian thùng và dựa vào đó để xây dựng được
điều kiện cần và đủ về tính C- liên tục trên hoặc dưới của ánh xạ đa trị. Tính C-
liên tục yếu của ánh xạ đa trị cũng được xét tới và ta thấy được điều kiện để ánh
xạ đa trị là C- liên tục trên (dưới) yếu, nó là sự mở rộng của trường hợp vô hướng:
một hàm lồi và nửa liên tục dưới từ không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương
Hausdorff vào không gian các số thực thì nửa liên tục dưới theo tôpô yếu. Một số
điều kiện liên hệ giữa tính C- liên tục trên và C- liên tục dưới của ánh xạ đa trị
lồi (lõm) theo nón C cũng được trình bày trong chương này. Phần cuối chương, ta
trình bày một số điều kiện để ánh xạ đa trị là Lipschitz địa phương theo nón, mối
liên hệ giữa tính Lipschitz địa phương với tính lồi, tính liên tục. Chương này được
viết dựa trên cuốn sách ([1]) và bài báo ([4]).
1.1 Khái niệm nón
Trong tối ưu hóa khái niệm về nón có một vai trò quan trọng. Từ khái niệm,
nón ta tập hợp các nghiên cứu về điểm hữu hiệu của một tập hợp, tính lồi, tính
liên tục và tính Lipchitz của ánh xạ đa trị theo nón.
Định nghĩa 1.1.1. Cho Y là không gian tuyến tính và C ⊆ Y . C là nón có đỉnh
tại gốc trong Y nếu tc ∈ C, với mọi c ∈ C, t  0
Nón có đỉnh tại gốc gọi ngắn gọn là nón. Nón C được gọi là nón lồi nếu C là
tập lồi. Nón C được gọi là nón đóng nếu C là tập đóng. Giả sử C là nón trong
không gian tôpô tuyến tính Y . Ta có các kí hiệu sau: clC: bao đóng của nón C,
5
intC: phần trong của nón C, convC: bao lồi của C, l(C) = C ∩ (−C)

Nón C được gọi là nón nhọn nếu l(C) = {0}. Nón C được gọi là nón sắc nếu cl(C)
là nón nhọn
Nón C được gọi là nón đúng nếu cl(C) + C\cl(C) ⊆ C
Ta xây dựng quan hệ thứ tự từng phần trên Y với nón C như sau:
Với x, y ∈ Y thì
x ≥ y nếu x − y ∈ C
x > y nếu x − y ∈ C\l(C)
x  y nếu x − y ∈ intC
Quan hệ thứ tự trên có tính chất phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu.
Nếu C là nón lồi thì quan hệ thứ tự trên là tuyến tính nên nó là quan hệ thứ tự
từng phần trên Y
Nếu C là nón nhọn thì quan hệ trên có tính chất phản đối xứng tức là x ≥ y, y ≥ x
thì x = y
Tiếp theo ta sẽ minh họa một số ví dụ trong một số không gian.
Ví dụ 1.1.1.
1, [0], Y đều là nón trong Y gọi là nón tầm thường
2, Tập nghiệm của hệ bất phương trình tuyến tính có dạng: C := {x|Ax ≥ 0}(Với
A là một ma trận thực cấp hữu hạn (số dòng và số cột là hữu hạn)) là nón lồi
đa diện
3, Cho Y = L
p
=

(x
1
, x
2
, )|

p

i=1
|x
i
|
p
< ∞

với 1 ≤ p < ∞
Lấy C = {x ∈ L
p
|x
i
≥ 0, i = 1, 2 } thì C là nón lồi, nhọn
Thật vậy:
C là nón vì ∀c ∈ C ⇒ c = (c
1
, c
2
, ) , c
i
≥ 0, i = 1, 2, .
Do đó: với ∀t ≥ 0 ta có: tc = (tc
1
, tc
2
, ) , tc
i
≥ 0 ⇒ tc ∈ C, ∀c ∈ C, t ≥ 0;
C lồi vì với x = (x
1

, x
2
, ) ∈ L
p
, x
i
≥ 0, y = (y
1
, y
2
, ) ∈ L
p
, y
i
≥ 0, i = 1, 2,
⇒ ∀α ∈ (0, 1) thì αx
i
+ (1 − α)y
i
≥ 0 ⇒ αx + (1 − α)y ≥ 0;
C là nón nhọn vì (−C) = {x ∈ L
p
|x
i
≤ 0, i = 1, 2 } ⇒ l(C) = C ∩ (−C) = {0}.
4, Cho Y = R
n
= {x = (x
1
, x

2
, , x
n
)|x
j
∈ R, j = 1, , n}
Lấy C = R
n
+
= {y = (y
1
, y
2
, , y
n
)|y
j
≥ 0, j = 1, , n} thì C là nón lồi, đóng,
nhọn gọi là nón Othor dương.
Quan hệ thứ tự trên C được xác định như sau: Cho x = (x
1
, x
2
, , x
n
) ∈ R
n
, y =
(y
1

, y
2
, , y
n
) ∈ R
n
thì x ≥ y nếu x
j
≥ y
j
với ∀j = 1, , n;
Nếu nón C = {x = (x
1
, x
2
, , x
n
) ∈ R
n
|x
1
≥ 0} thì C là nón lồi, đóng nhưng
không nhọn. Vì (l(C) = {x = (0, x
2
, , x
n
) ∈ R
n
} = {0}).
6

5, Cho Y = R
n
= {x = (x
1
, x
2
, , x
n
)|x
j
∈ R, j = 1, , n}
Giả sử tập lồi C được cho bởi C :=

x ∈ R
n
|< a
j
, x >≤ b
j
, j = 1, , m

Với x ∈ C, đặt J(x) =

j |< a
j
, x >= b

gọi là tập chỉ số tích cực tại x.
Khi đó T
C

(x) =

y ∈ R
n
|< a
j
, y >≤ 0, j ∈ J(x)

là nón và được gọi là nón tiếp
xúc;
N
C
(x) = cone(a
j
, j ∈ J(x)) = y =

j∈J(x)

j
a
j
: 
j
≥ 0 là nón lồi, đóng;
N
C
(x) được gọi là nón pháp tuyến.
Tiếp theo ta nhắc lại khái niệm tập sinh, cơ sở của nón.
Cho Y là không gian tuyến tính, B ⊆ Y , C là nón trong Y . Tập B được gọi là tập
sinh của nón C nếu C = {tb | b ∈ B, t ≥ 0}. Kí hiệu: C = cone(B).

Nếu B không chứa gốc O thì với mỗi c ∈ C, c = 0, tồn tại duy nhất b ∈ B, t > 0 sao
cho: c = tb. Khi đó B được gọi là cơ sở của nón C.
Tính chất của một nón có cơ sở lồi, đóng, giới nội trong không gian tôpô tuyến
tính Hausdorff được nêu trong mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.1.1.([2, Ch.1.Mệnh đề 1.8]).Nếu C là nón có lồi, đóng, giới nội thì với
mọi lân cận W của điểm gốc trong Y đều tồn tại lân cận V sao cho
(V + C) ∩ (V − C) ⊆ W
Khái niệm nón cực cũng được nhắc lại như sau:
Cho nón C trong không gian tuyến tính Y . Gọi Y
∗
là không gian tôpô đối ngẫu
của Y . Nón cực C

của C được định nghĩa như sau:
C

:= {ξ ∈ Y
∗
|< ξ, c >≥ 0, với mọi c ∈ C}
Nhận thấy C

là nón lồi, đóng trong Y
∗
với tôpô yếu* σ(Y, Y
∗
). Cho nón nhọn C,
kí hiệu
(C

)

+
:= {ξ ∈ Y
∗
|< ξ, c >> 0, c ∈ C\{0}}
Mệnh đề sau cho ta điều kiện cần và đủ để tập lồi B là cơ sở của nón C
Mệnh đề 1.1.2.([2, Ch1.Mệnh đề 1.10]) Trong không gian tôpô tuyến tính Haus-
dorff Y một tập lồi B là cơ sở của nón C khi và chỉ khi tồn tại ξ ∈ (C

)
+
sao cho
B = {ξ ∈ C |< ξ, c >= 1}.
1.2 Khái niệm điểm hữu hiệu
Khái niệm hữu hiệu là khái niệm quan trọng của lí thuyết tối ưu. Trong mục
này chúng ta nhắc lại khái niệm về điểm hữu hiệu.
7
Định nghĩa 1.2.1. Cho Y là không gian tôpô tuyến tính với thứ tự được sinh bởi
nón lồi C. A là tập con khác rỗng của Y . Ta nói rằng
i, Điểm x ∈ A là điểm hữu hiệu lý tưởng của tập A đối với nón C
nếu (y − x) ∈ C, ∀y ∈ A. Tập các điểm hữu hiệu lý tưởng của A đối với nón C
được kí hiệu là: IMin(A\C) hoặc IMinA.
ii, Điểm x ∈ A là điểm hữu hiệu Pareto(cực tiểu Pareto) của A đối với nón C nếu
không tồn tại y ∈ A để (x − y) ∈ C\l(C).Tập các điểm hữu hiệu Pareto của A
đối với nón C được kí hiệu là: P Min(A\C) hoặc Min(A\C) hoặc MinA.
iii, Điểm x ∈ A là điểm hữu hiệu yếu ( khi intC = ∅ và C = Y ) của A đối với nón
C nếu x ∈ Min( A\ {0} ∪intC) tức là x là điểm hữu hiệu theo thứ tự sinh bởi
nón C
0
= {0} ∪intC. Kí hiệu: WMin(A\C) hoặc W MinA là tập các điểm hữu
hiệu yếu của A.

iv, Điểm x ∈ A được gọi là điểm hữu hiệu thực sự của A đối với nón C nếu tồn tại
nón lồi

C khác Y và chứa C\l(C) trong phần trong của nó để x ∈ P Min(A\

C).
Kí hiệu: P rMin(A\C) hoặc P rMinA là tập các điểm hữu hiệu thực sự của A.
Ví dụ 1.2.1. Trong R
2
lấy hai tập A và B như sau:
A = {(x, y) ∈ R
2
| x
2
+ y
2
≤ 1, y ≥ 0} ∪ {(x, y) ∈ R
2
| x ≤ 0, y ∈ [0, 1]}
,
B = A ∪ {(2, 2)}
lấy thứ tự sinh bởi nón
C = R
2
−
= {(x
1
, x
2
) ∈ R

2
| x
1
, x
2
≤ 0}
Khi đó
MinB = WMinB = {(2, 2)}
,
MinA = {(x, y) ∈ R
2
| x
2
+ y
2
= 1, x > 0, y > 0} ∪ {(0, 1), (1, 0)}
,
W MinA = MinA ∪ {(x, y) ∈ R
2
| y = 1, x ≤ 0}
.
Ta nhận thấy các khẳng định sau luôn đúng.
a) x ∈ MinA nếu và chỉ nếu A ∩ (x − C) ⊂ x + l(C).
b) x ∈ WMinA khi và chỉ khi A ∩ (x − intC) = ∅.
c) IMinA ⊂ PrMinA ⊆ MinA ⊆ WMinA.
8
1.3 Tính liên tục theo nón của ánh xạ đa trị
Cho X, Y là hai không gian tôpô Hausdorff. Một ánh xạ đa trị F từ X vào Y
mà ứng với mỗi phần tử x ∈ X cho một tập con của Y được kí hiệu: F : X −→ 2
Y

.
Miền định nghĩa (miền hữu dụng ) và đồ thị của F được xác định như sau
domF = {x ∈ X | F(x) = ∅}
,
graphF = {(x, y) ∈ X × Y | y ∈ F(x), x ∈ domF}.
Khi Y là không gian tôpô tuyến tính Hausdorff với nón C, thì trên đồ thị của F
được định nghĩa
epiF := {(x, y) ∈ X × Y | y ∈ F (x) + C, x ∈ domF }.
F được gọi là compắc nếu F (D) là tập compắc trong Y . F được gọi là đóng theo
nón C (C- đóng) nếu epiF là tập đóng trong X × Y .
Cho nón C trong Y . Khi đó miền định nghĩa domF của ánh xạ đa trị F được xác
định như sau: x ∈ domF nếu và chỉ nếu với mọi lân cận giới nội V của 0 trong Y
đều tồn tại số ρ > 0 sao cho
F (x) ∩ (ρV − C) = ∅
Thật vậy giả sử x ∈ domF . Khi đó F (x) = ∅. Do vậy tồn tại y ∈ F (x). Vì V là lân
cận giới nội của 0 trong Y nên tồn tại ρ > 0 sao cho y ∈ ρV . Như vậy F (x)∩ ρV = ∅.
Do đó
F (x) ∩ (ρV − C) = ∅.
Ngược lại giả sử F(x) ∩ (ρV − C) = ∅ với ρ > 0. Khi đó F (x) = ∅. Tức là x ∈ domF
Khi f : X −→ Y là ánh xạ đơn trị thì domf là tập tất cả các x ∈ X sao cho với bất
kỳ lân cận giới nội V của 0 trong Y tồn tại ρ > 0 để f(x) ∈ ρV − C. Trường hợp
f : X −→ R là hàm vô hướng, C = R
+
là nón trong không gian tôpô tuyến tính
Hausdorff Y thì ta có: domf = {x ∈ X | f(x) = +∞}.
Xét ánh xạ đơn trị f : X −→ Y , f được gọi là liên tục tại x
o
∈ X nếu với mọi tập
mở V chứa f (x
o

) tồn tại tập mở U chứa x
o
sao cho f(U) ⊂ V .
Tiếp theo ta sẽ trình bày khái niệm liên tục theo nón của ánh xạ đa trị F,
Cho X, Y là hai không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương, D ⊂ X, D = ∅. C là
nón trong Y . F : D −→ 2
Y
là ánh xạ đa trị.
Định nghĩa 1.3.1. a) F là C- liên tục trên ( hoặc C- liên tục dưới) tại x
o
∈ D nếu
với bất kỳ lân cận V của 0 trong Y đều tồn tại lân cận U của x
o
trong X sao cho:
9
F (x) ⊂ F(x
o
) + V + C
( hoặc F (x
o
) ⊂ F(x) + V − C) với mọi x ∈ U ∩ domF.
b) F là C- liên tục tại x
o
nếu F vừa là C- liên tục trên vừa là C-liên tục dưới tại x
o
F là C-liên tục trên, C-liên tục dưới hoặc C- liên tục trong D nếu nó là C- liên tục
trên, C- liên tục dưới hoặc C- liên tục tại mọi x ∈ D.
c) F là C- liên tục trên yếu ( C- liên tục dưới yếu ) tại x
o
nếu lân cận U của x

o
trong định nghĩa ở trên là lân cận trong tôpô yếu của X.
Mệnh đề sau cho ta điều kện cần và đủ về tính liên tục theo nón của ánh xạ đa
trị ;
Mệnh đề 1.3.1.([4, tr.15])
a) Cho F (x
o
) là tập compắc trong Y . Khi đó: F là C- liên tục trên tại x
o
nếu và
chỉ nếu với mọi tập mở G thỏa mãn F (x
o
) ⊂ G + C đều tồn tại lân cận U của x
o
sao cho F (x) ⊂ G + C với ∀x ∈ U∩ domF .
b) Cho F(x
o
) là tập compắc trong Y . Khi đó điều kiện cần và đủ để F là C- liên
tục dưới tại x
o
là với mọi lân cận V của 0 đều tồn tại lân cận U của x
o
sao cho:
F (x) ∩ (y + V + C) = ∅ với mọi x ∈ U∩ domF.
Điều kiện trên tương đương với điều kiện: Với mọi tập G mở, F(x
o
) ∩ (G + C) = ∅
đều tồn tại lân cận U của x
o
sao cho: F (x) ∩ (G + C) = ∅, với mọi x ∈ U∩ domF.

Chứng minh. a) Điều kiện cần: Giả sử F là C- liên tục trên tại x
o
. Ta sẽ chứng
minh tồn tại lân cận U của x
o
sao cho F (x) ⊂ G + C với ∀x ∈ U∩ domF với mọi G
là tập mở sao cho F (x
o
) ⊂ G + C
Do F(x
o
) compắc trong Y nên tồn tại lân cận V
o
của O trong Y sao cho
F (x
o
) + V
o
⊂ G + C
Giả sử V là một lân cận của O trong Y . Suy ra V ∩ V
o
là lân cận của O trong Y
Vì F là C- liên tục trên tại x
o
nên tồn tại một lân cận U của x
o
trong X sao cho
F (x) ⊂ F(x
o
) + V ∩ V

o
+ C , với mọi x ∈ U∩ domF.
Do F(x
o
) + V ∩ V
o
+ C ⊂ F (x
o
) + V
o
+ C ⊂ G + C + C = G + C nên F (x) ⊂ G + C
với ∀x ∈ U∩ domF .
Điều kiện đủ : Giả sử với mọi tập G mở thỏa mãn F(x
o
) ⊂ G + C, nên tồn tại lân
cận U của x
o
sao cho F (x) ⊂ G + C với ∀x ∈ U∩ domF .
Lấy V là lân cận tùy ý của O trong Y . Giả sử V mở. Đặt G = F(x
o
) + V thì G mở
và F (x
o
) ⊂ G + C
10
Theo giả thiết tồn tại lân cận U của x
o
sao cho F (x) ⊂ G + C với ∀x ∈ U∩ domF,
tức là:
F (x) ⊂ F(x

o
) + V + C, với mọi x ∈ U ∩ domF
Vậy F là C- liên tục trên tại x
o
.
b) Điều kiện cần: Giả sử F là C-liên tục dưới tại x
o
. Lấy y ∈ F (x
o
) và V là lân cận
của O trong Y .
Vì F là C- liên tục dưới tại x
o
nên tồn tại lân cận U của x
o
sao cho:
F (x
o
) ⊂ F(x) + V − C với ∀x ∈ U∩ domF
Vì y ∈ F(x
o
) nên y ∈ F(x)+V −C. Do đó ∃y

∈ F (x), v ∈ V, c ∈ C sao cho y = y

+v−c
⇒ y

= y − v + c ∈ y + V + C ⇒ F(x) ∩ (y + V + C) = ∅ với ∀x ∈ U∩ domF .
Điều kiện đủ : Giả sử y ∈ F(x

o
), V là lân cận của O trong Y . Ta có:
F (x
o
) ⊂


y +
V
2
| y ∈ F(x
o
)

Theo giả thiết F (x
o
) compắc trong Y nên ∃n ∈ N để
F (x
o
) ⊂

n
i=1

y
i
+
V
2


với y
1
, y
2
, , y
n
∈ F (x
o
)
Vì y
i
+
V
2
là lân cận của y
i
, y
i
∈ F (x
o
) nên theo giả thiết tồn tại các lân cận
U
y
i
, i = 1, , n của x
o
sao cho:
F (x) ∩ (y
i
+

V
2
) = ∅, với mọi x ∈ U
y
i
∩ domF
Đặt U =

n
n=1
U
y
i
Do U
y
i
là lân cận của x
o
nên U là lân cận của x
o
và F (x) ∩ (y
i
+
V
2
+ C) = ∅, với
mọi x ∈ U ∩ domF
Ta chứng minh: F (x
o
) ⊂ F(x) + V − C, với mọi x ∈ U ∩ domF

Thật vậy: Lấy
y ∈ F (x
o
) (1.1)
⇒ y ∈ y
i
+
V
2
, i = 1, , n . Do đó: ∃y
i
∈ F (x
o
) sao cho y = y
i
+ v
o

v
o
∈
V
2

Do F (x) ∩

y
i
+
V

2
+ C

= ∅, với ∀x ∈ U ∩ domF nên ∃y

∈ F (x) và y

∈ (y
i
+
V
2
+ C)
⇒ y

= y
i
+ v + c với v ∈
V
2
, c ∈ C ⇒ y
i
= y

− v − c
⇒ y = y

+ (v
o
− v) − c) ∈ F(x) + V − C (1.2)

Từ (1.1) và (1.2) ta có: F (x
o
) ⊂ F(x) + V − C, với mọi x ∈ U ∩ domF
Theo định nghĩa thì F là C- liên tục dưới tại x
o
.
Bây giờ ta chứng minh điều kiện:
i) Với mọi y ∈ F(x
o
) và với mọi lân cận V của O đều tồn tại lân cận U của x
o
sao
11
cho F(x) ∩ (y + V + C) = ∅ tương đương với điều kiện
ii) Với mọi tập G mở thỏa mãn F (x
o
) ∩ (G + C) = ∅ đều tồn tại một lân cận U của
x
o
sao cho F (x) ∩ (G + C) = ∅ với ∀x ∈ U ∩ domF.
Thật vậy: Giả sử có i) ta cần chứng minh ii)
Lấy G là một tập mở với F(x) ∩ (G + C) = ∅ ⇒ ∃y ∈ F(x
o
) và y ∈ (G + C)
y = y
1
+ C, y
1
∈ G, c ∈ C
Do G- mở nên có một lân cận V của O trong Y sao cho y ∈ y

1
+ c + v ⊂ G + C
y + V ⊂ G + C (1.3)
V là lân cận của O trong Y nên V + y là lân cận của y trong Y . Do đó tồn tại 1
lân cận U của x
o
sao cho
F (x) ∩ (y + V + C) = ∅ với ∀x ∈ U ∩ domF
⇒ F (x) ∩ (G + C) = ∅ (do (1.3)), với ∀x ∈ U ∩ domF .
Ngược lại giả sử có ii) ta chứng minh i)
Cho y ∈ F (x
o
) , V là lân cận mở của O trong Y nên y + V là lân cận mở của y
trong Y
Theo giả thiết F (x
o
) ∩ (y + V + C) = ∅. Do đó tồn tại một lân cận U của x
o
trong
X sao cho
F (x
o
) ∩ (y + V + C) = ∅ với ∀x ∈ U ∩ domF .
Nhận xét 1.3.1. a) Nếu nón C = {0} và F (x
o
) là compắc thì tính nửa liên tục
trên và dưới được định nghĩa như Berge (xem [3]) tức là:
Cho F : X −→ 2
Y
là ánh xạ đa trị. F được gọi là nửa liên tục trên tại x

o
nếu với
mọi tập mở V mà F (x
o
) ⊂ V đều tồn tại tập mở U của x
o
sao cho F (x) ⊂ V , với
mọi x ∈ U.
F được gọi là nửa liên tục dưới tại x
o
nếu với mọi tập mở V mà F (x
o
) ∩ V = ∅,
đều tồn tại tập mở U của x
o
sao cho F (x) ∩ V = ∅, với ∀x ∈ U.
Nếu Y là không gian định chuẩn, F vừa là {0}- liên tục trên, vừa là {0}- liên tục
dưới tại x
o
thì F liên tục tại x
o
theo khoảng cách Hausdorff.
b) Nếu F là ánh xạ đơn trị thì tính C- liên tục trên và dưới của F tại x
o
trùng
nhau. Khi đó ta nói rằng F là C− liên tục tại x
o
.
c) Nếu Y = R và C = R
+

= {x ∈ R | x ≥ 0} (hoặc C = R
−
= {x ∈ R | x ≤ 0}) và F
là C- liên tục tại x
o
. Khi đó F liên tục dưới ( liên tục trên ) theo nghĩa thông thường.
Mệnh đề sau cho ta mối quan hệ giữa tính liên tục theo nón của ánh xạ đa trị
và dãy suy rộng.
12
Mệnh đề 1.3.2([1, Mệnh đề 1.2.3, tr.25]) Cho F : D −→ 2
Y
và C ⊂ Y là nón lồi
đóng. Khi đó:
i) Nếu F là C− liên tục trên tại x
o
∈ domF và F(x
o
) + C là tập đóng thì với mọi
dãy suy rộng x
β
→ x
o
, y
β
∈ F (x
β
) + C, y
β
→ y
o

ta suy ra y
o
∈ F (x
o
) + C.
Ngược lại: Nếu F là ánh xạ compắc và với mọi dãy suy rộng x
β
→ x
o
,
y
β
∈ F (x
β
) + C, y
β
→ y
o
đều suy ra y
o
∈ F (x
o
) + C thì F là C- liên tục trên tại
x
o
.
ii) Nếu F là compắc và là C− liên tục dưới tại x
o
∈ domF, thì với mọi dãy suy
rộng x

β
→ x
o
, y
o
∈ F (x
o
) +C, đều tồn tại dãy suy rộng {y
β
}, y
β
∈ F (x
β
), có dãy
suy rộng con {y
β
γ
}, để y
β
γ
− y
o
→ c ∈ C ( y
β
γ
→ y
o
+ c ∈ y
o
+ C).

Ngược lại, nếu F (x
o
) là tập compắc và với mọi dãy suy rộng x
β
→ x
o
và
y
o
∈ F (x
o
) + C, đều tồn tại dãy suy rộng {y
β
}, y
β
∈ F (x
β
), có dãy suy rộng con
{y
β
γ
}, để y
β
γ
− y
o
→ c ∈ C, thì F là C− liên tục dưới tại x
o
.
Chứng minh. i) Giả sử F là C− liên tục trên tại x

o
∈ domF và x
β
→ x
o
,
y
β
∈ F (x
β
) + C, y
β
→ y
o
. Vì F là C− liên tục trên tại x
o
nên với V là lân cận lồi,
đóng bất kỳ của 0 trong Y , tồn tại chỉ số β
o
để
F (x
β
) ⊂ F(x
o
) +
V
2
+ C với mọi β ≥ β
o
Vì y

β
→ y
o
nên y
β
− y
o
∈
V
2
. Do đó
y
o
= y
o
− y
β
+ y
β
∈
V
2
+ F (x
β
) + C ⊂ F (x
o
) + V + C
Theo giả thiết F (x
o
) + C là tập đóng nên y

o
∈ F (x
o
) + C
Đảo lại nếu F là ánh xạ compắc và với mọi dãy suy rộng x
β
→ x
o
,
y
β
∈ F(x
β
) + C, y
β
→ y
o
suy ra y
o
∈ F(x
o
) + C. Dùng phương pháp phản chứng giả
sử F không là C− liên tục trên tại x
o
. Khi đó tồn tại lân cận V của 0 trong Y sao
cho với mọi lân cận U
β
của x
o
ta đều tìm được x

β
∈ U
β
để
F (x
β
)  F(x
o
) + V + C
Lấy y
β
∈ F (x
β
) thì y
β
/∈ F (x
o
) + V + C. Vì F là ánh xạ compắc nên F (D) là tập
compắc. Ta giả sử rằng y
β
→ y
o
thì khi đó y
o
∈ F(x
o
) + C. Do y
β
→ y
o

nên tồn tại
β
o
≥ 0 để y
β
− y
o
∈ V với mọi β ≥ β
o
. Như vậy
y
β
∈ y
o
+ V ⊂ (F (x
o
) + V + C), với mọi β ≥ β
o
Khi đó ta có mâu thuẫn.
ii) Giả sử F là ánh xạ compắc và C− liên tục dưới tại x
o
tại x
o
∈ domF và
x
β
→ x
o
, y
o

∈ F (x
o
) + C . Vì F là C− liên tục dưới tại x
o
nên với lân cận V tùy ý
13
của 0 trong Y đều tồn tại lân cận U của x
o
để
F (x
o
) ⊂ F(x) + V − C, với mọi x ∈ U ∩ domF
Vì x
β
→ x
o
nên tồn tại β
o
≥ 0, x
β
∈ U và
F (x
o
) ⊂ F(x
β
) + V − C, với mọi β ≥ β
o
Lấy y
o
∈ F (x

o
) thì
y
o
= y
β
+ v
β
− c
β
, với y
β
∈ F (x
β
) ⊂ F(D), v
β
∈ V, c
β
∈ C
Do F (D) là tập compắc nên tồn tại dãy con suy rộng{y
β
γ
}, y
β
γ
→ y
∗
, v
β
γ

→ 0. Do
đó
c
β
γ
= y
β
γ
+ v
β
γ
− y
o
→ y
∗
− y
o
∈ C
hay y
β
γ
→ y
∗
∈ y
o
+C.Tức là với x
β
→ x
o
, y

o
∈ F (x
o
), ta có thể tìm được y
β
γ
∈ F (x
β
γ
)
với y
βγ
→ y
∗
∈ y
o
+ C.
Ngược lại giả sử F (x
o
) là tập compắc và với mọi dãy suy rộng x
β
→ x
o
, y
o
∈ F (x
o
)+C,
đều tồn tại dãy suy rộng {y
β

}, y
β
∈ F (x
β
) có dãy suy rộng con {y
β
γ
}, để
y
β
γ
− y
o
→ c ∈ C nhưng F không là C− liên tục dưới tại x
o
. Khi đó tồn tại lân cận
V của 0 trong Y sao cho với mọi lân cận U
β
của x
o
đều tìm được x
β
∈ U
β
để
F (x
o
)  F(x
β
) + V − C

Lấy z
β
∈ F (x
o
) thì z
β
/∈ F (x
β
) + V − C. Giả sử z
β
→ z
o
∈ F (x
o
). Vì F(x
o
) là tập
compắc nên z
o
∈ F (x
o
) + C. Ta có thể giả sử x
β
→ x
o
. Vì vậy tồn tại dãy suy rộng
{y
β
}, y
β

∈ F (x
β
) có dãy suy rộng con {y
β
γ
}, y
β
γ
−z
o
→ c ∈ C. Do đó y
β
→ y
∗
∈ z
o
+C.
Do đó tồn tại β
1
> 0 để z
β
∈ z
o
+
V
2
, y
β
∈ y
∗

+
V
2
và z
o
∈ y
β
+
V
2
− C với mọi β ≥ β
1
.
Từ đó ta có
z
β
∈ y
β
+
V
2
+
V
2
− C ⊂ F (x
β
) + V − C, với mọi β > β
1
Vậy suy ra mâu thuẫn.
Khi nghiên cứu tính liên tục theo nón của ánh xạ đa trị ta sử dụng nhiều phương

pháp khác nhau trong đó có thể sử dụng phép vô hướng hóa hàm đa trị F.
Cho Y

là không gian tôpô đối ngẫu của Y và nón cực C

=

ξ ∈ Y

|< ξ, y >≥ 0, ∀y ∈ C

của nón C. Xét ánh xạ đa trị F : D −→ 2
Y
, trong đó D ⊂ X là tập lồi. Với mỗi
ξ ∈ C

ta định nghĩa các hàm g
ξ
, G
ξ
: D −→ R , cho bởi:
g
ξ
(x) = inf
y∈F (x)
< ξ, y > x ∈ D
G
ξ
(x) = sup
y∈F (x)

< ξ, y >, x ∈ D
14
với R = R ∪ {±∞}
Mệnh đề sau sẽ cho ta mối quan hệ giữa tính C- liên tục trên (dưới) của ánh xạ
đa trị F với tính nửa liên tục của hàm g
ξ
, G
ξ
.
Mệnh đề 1.3.3.([4, tr.18]) a) Nếu F là C- liên tục trên (t.ư. dưới) tại x
o
∈ domF
thì g
ξ
( t.ư .G
ξ
) là hàm nửa liên tục dưới tại x
o
với mỗi ξ ∈ C

cố định.
b) Nếu F là (-C)- liên tục trên (t.ư. dưới) tại x
o
∈ domF thì G
ξ
( t.ư.g
ξ
) là hàm nửa
liên tục trên tại x
o

với mỗi ξ ∈ C

cố định.
Chứng minh. a) Do ξ ∈ C

, ξ : Y −→ R là phiếm hàm tuyến tính liên tục nên
tồn tại lân cận V của O trong Y sao cho ξ(V ) ⊂ (−, ).
Vì F là C- liên tục trên tại x
o
nên với lân cận V của O trong Y , tồn tại một lân
cận U của x
o
sao cho :
F (x) ⊂ F(x
o
) + V + C, với mọi x ∈ U ∩ domF
Ta có:
g
ξ
(x) = inf
y∈F (x)
< ξ, y >≥ inf
y∈F (x
o
)+V +C
< ξ, y >
≥ inf
y∈F (x
o
)

< ξ, y > + inf
v∈V
< ξ, v > + inf
c∈C
< ξ, c >
Vì − < ξ(v) < , ∀v ∈ V nên inf
v∈V
< ξ, v >≥ −
Do ξ ∈ C

, c ∈ C nên inf
c∈C
< ξ, c >= 0
⇒ g
ξ
(x) ≥ inf
y∈F (x
o
)
< ξ, y > − = g
ξ
(x
o
) −  với ∀x ∈ U ∩ domF
Vậy g
ξ
là nửa liên tục dưới tại x
o
.
Chứng minh tương tự: Nếu F là C- liên tục dưới tại x

o
thì G
ξ
là hàm số nửa liên
tục dưới tại x
o
Thật vậy: Với V là lân cận của O trong Y nên tồn tại lân cận U của x
o
sao cho:
F (x
o
) ⊂ F(x) + V − C, với mọi x ∈ U ∩ domF
Do đó:
G
ξ
(x
o
) = sup
y∈F (x
o
)
< ξ, y >≤ sup
y∈F (x)+V −C
< ξ, y >
≤ sup
y∈F (x)
< ξ, y > + sup
v∈V
< ξ, v > + inf
c∈−C

< ξ, c >
Vì v ∈ V nên sup
v∈V
< ξ, v >≤ . Và do ξ ∈ C

, c ∈ (−C) nên sup
c∈C
< ξ, c >= 0
⇒ G
ξ
(x
o
) ≤ G
ξ
(x) +  với mọi x ∈ U ∩ domF
Vậy G
ξ
là hàm số nửa liên tục dưới tại x
o
.
15
Định nghĩa 1.3.2. Cho X là không gian tôpô lồi địa phương. D ⊂ X là một tập
lồi. R là không gian các số thực với tôpô thông thường. Cho {f
α
: D −→ R, α ∈ I}
là một họ các ánh xạ đơn trị với I là tập các chỉ số khác rỗng.Ta nói rằng:
Họ ánh xạ {f
α
, α ∈ I} được gọi là nửa liên tục trên đồng bậc tại x
0

∈ D nếu với
∀ε > 0,đều tồn tại lân cận U của x
0
sao cho:
f
α
(x) ≤ f
α
(x
o
) + ε, với mọi x ∈ U ∩ D, α ∈ I
Họ ánh xạ {f
α
, α ∈ I} được gọi là nửa liên tục dưới đồng bậc tại x
o
∈ D nếu với
∀ε > 0, đều tồn tại lân cận U của x
0
sao cho:
f
α
(x) ≥ f
α
(x
o
) + ε, với mọi x ∈ U ∩ D, α ∈ I
Ta đã biết định lý Banach - Steinhaus ([11] ) cho một họ các hàm lồi (hoặc hàm
lõm) là nửa liên tục đồng bậc. Định lý Banach -Steihaus mở rộng cho lớp hàm lồi,
lõm trên không gian thùng được phát biểu như sau:
Định lý 1.3.1.([4, tr.19]) Giả thiết X là 1 không gian thùng, I là tập chỉ số khác

rỗng và f
α
: X −→ R, α ∈ I, là các hàm lồi và nửa liên tục dưới trong lân cận
U
o
của x
o
∈ domf
α
với ∀α ∈ I. Giả sử rằng với mỗi x ∈ X, tồn tại γ > 0 sao cho
f
α
(x) ≤ γ, ∀α ∈ I. Khi đó: họ các hàm {f
α
, α ∈ I} là nửa liên tục trên đồng bậc tại
x
o
.
Chứng minh. Đặt f
α
(x) = f
α
(x + x
o
) − f
α
(x). Xét tại x = 0 thì f
α
(0) = 0
Giả sử f

α
(0) = 0, ∀α ∈ I.Ta sẽ chứng minh họ {f
α
, α ∈ I} là nửa liên tục đồng bậc
tại 0. Thật vậy: Lấy  > 0. Đặt
A
α
= {x ∈ X | f
α
(x) ≤ }
Vì 0 ∈ A
α
nên A
α
= ∅
Không mất tính tổng quát ta giả sử U
o
là lân cận lồi, đóng, đối xứng và hấp thụ
của O trong X. Vì A
α
là tập mức của hàm lồi, nửa liên tục dưới f
α
nên U
o
∩ A
α
là
một tập đóng. Đặt
U =


α∈I
U
o
∩ A
α
∩ (−A
α
)
⇒ U là tập lồi, đóng, khác rỗng và đối xứng
Ta sẽ chứng minh U là tập hấp thụ.
Thật vậy : Cho x ∈ X. Theo giả thiết tồn tại một số γ > 0 sao cho
f
α
(x) ≤ γ và f
α
(−x) ≤ γ, với mọi α ∈ I
Giả sử γ > . Khi đó:
f
α
(

γ
x) = f
α
(

γ
x + (1 −

γ

)0) ≤

γ
f
α
(x) + (1 −

γ
)f
α
(0) =

γ
f
α
(x) ≤

γ
γ = 
16
⇒

γ
x ∈ A
α
.
Do U
o
là tập hấp thụ nên tồn tại p > 0 sao cho
x

p
,
−x
p
∈ U
o
Đặt γ
o
= max {γ, p}. Khi đó:

γ
0
x ∈ A
α
∩ U
o
, ∀α ∈ I
Tương tự:
−
γ
0
x ∈ A
α
∩U
o
⇒

γ
0
x ∈ U

o
∩(−A
α
), ∀α ∈ I. Từ cách đặt U ta thấy

γ
0
x ∈ U
Vậy U là tập hấp thụ. Vì X là không gian thùng nên U là 1 lân cận của 0 trong X.
Với x ∈ U thì f
α
(x) ≤  = f
α
(0) + , ∀α ∈ I ⇒ họ {f
α
, α ∈ I} là nửa liên tục trên
đồng bậc tại 0
Vậy họ {f
α
, α ∈ I} là nửa liên tục trên đồng bậc tại x
o
.
Hệ quả 1.3.1.([4, tr.19]) Giả sử X là 1 không gian thùng , f : X −→ R là hàm lồi
và nửa liên tục dưới trong lân cận U
o
của x
o
∈ domf, domf = X. Khi đó f liên tục
tại x
o

.
Chứng minh. Ta có: domf = {x ∈ X | f(x) < +∞} ⇒ ∃γ > 0 sao cho f(x) < γ
Áp dụng định lý (1.3.1) với I = {1} ta được f là nửa liên tục trên tại x
o
mà theo
giả thiết f là nửa liên tục dưới tại x
o
. Vậy f liên tục tại x
o
.
Định lý 1.3.2.([4, tr.20])
Giả sử X là 1 không gian thùng, I là tập chỉ số, f
α
: X −→ R, α ∈ I là lõm và nửa
liên tục trên trong lân cận U
o
củax
o
∈ domf
α
, với mọi α ∈ I. Giả thiết với x ∈ X
tồn tại γ > 0 sao cho f
α
(x) ≥ −γ, với mọi α ∈ I. Khi đó: họ {f
α
, α ∈ I} là nửa liên
tục dưới đồng bậc tại x
o
.
Chứng minh. Do f

α
: X −→ R, α ∈ I là lõm và nửa liên tục trên trong lân cận U
o
của x
o
∈ domf
α
, với mọi α ∈ I nên −f
α
: X −→ R, α ∈ I là lồi và nửa liên tục dưới
trong lân cận U
o
của x
o
∈ domf
α
, với mọi α ∈ I
Từ giả thiết ta suy ra với x ∈ X, ∃γ > 0 sao cho −f
α
(x) ≤ γ, với mọi α ∈ I
Áp dụng định lý (1.3.1.) ta có: −f
α
là nửa liên tục trên đồng bậc tại x
o
Vậy f
α
là nửa liên tục dưới đồng bậc tại x
o
.
Như chúng ta đã biết họ các phiếm hàm tuyến tính {ξ ∈ C


,  ξ = 1} trong
không gian Banach là liên tục đồng bậc. Từ đó mối liên quan giữa tính liên tục
theo nón của ánh xạ đa trị F với tính nửa liên tục đồng bậc của họ các hàm g
ξ
, G
ξ
trong không gian Banach được xét trong phần tiếp theo. Trong phần này ta giả
thiết X là không gian tuyến tính lồi địa phương, Y là không gian Banach, D ⊂ X
là tập lồi, đóng, khác rỗng và C là nón lồi trong Y . Ta có các định lý sau
Định lý 1.3.3.([4, tr.20]) Giả sử F : D −→ 2
Y
, x
o
∈ domF với F (x
o
) + C là tập lồi.
Khi đó: F là C- liên tục trên tại x
o
nếu và chỉ nếu họ các hàm

g
ξ
| ξ ∈ C

, ||ξ| | = 1

17
là nửa liên tục dưới đồng bậc tại x
o

.
Chứng minh. Điều kiện cần: Giả sử F là C- liên tục trên tại x
o
. Theo định lý
Banach - Steihaus tập hợp

ξ ∈ C

, ||ξ| | = 1

liên tục đồng bậc tại 0. Do đó: tồn
tại 1 lân cận V của O trong Y sao cho ξ(y) ∈ (−, ) với mọi  > 0 cho trước và
∀y ∈ V, ξ ∈ C

, ||ξ| | = 1. Giả sử V là bị chặn
Theo giả thiết F là C- liên tục trên tại x
o
, nên tồn tại lân cận U của x
o
trong X
sao cho
F (x) ⊂ F(x
o
) + V − C, với mọi x ∈ U ∩ D
⇒ g
ξ
(x) = inf
y∈F (x)
< ξ, y >≥ inf
y∈F (x

o
)
< ξ, y > + inf
v∈V
< ξ, v > + inf
c∈C
< ξ, c >
≥ inf
y∈F (x
o
)
< ξ, y > − = g
ξ
(x
o
) − , ∀x ∈ U ∩ D, ξ ∈ C

, ||ξ| | = 1
Vậy họ

g
ξ
| ξ ∈ C

, ||ξ| | = 1

là nửa liên tục dưới đồng bậc tại x
o
.
Điều kiện đủ : Ta dùng phương pháp phản chứng để chứng minh tức là giả sử họ


g
ξ
| ξ ∈ C

, ||ξ| | = 1

là nửa liên tục dưới đồng bậc tại x
o
nhưng F không là C- liên
tục trên tại x
o
.
Do đó : tồn tại lân cận lồi V của O trong Y sao cho có thể tìm 1 dãy {x
α
} ⊂ X với
lim x
α
= x
o
và F (x
α
)  F(x
o
) + V + C
Lấy y
α
∈ F (x
α
) thì y

α
/∈ F (x
o
) + V + C. Giả thiết F (x
o
) + C là tập lồi nên
cl(F (x
o
) +
V
2
+ C) là tập lồi đóng Do y
α
/∈ F (x
o
) +
V
2
+ C nên theo định lý tách ta
suy ra tồn tại phiếm hàm tuyến tính ξ
α
trong không gian Y

sao cho
ξ
α
(y
α
) < ξ
α

(y), với mọi y ∈ F (x
o
) +
V
2
+ C
Ta sẽ chứng minh: ξ
α
∈ C

với mọi α
Thật vậy: Giả sử ngược lại ξ
α
/∈ C

nên tồn tại α
o
sao cho ξ
α
o
/∈ C

Theo định lý tách, tồn tại y
o
∈ C để ξ
α
o
(y
o
) < 0. Vì γy

o
∈ C, với mọi γ > 0 nên
ξ
α
o
(y
α
) < ξ
α
o
(z
α
o
+ v
α
o
+ γy
o
) = ξ
α
o
(z
α
o
) + ξ
α
o
(v
α
o

) + γξ
α
o
(y
o
) (1.4)
với z
α
o
∈ F (x
o
), v
α
o
∈
V
2
. Cho γ −→ +∞ thì vế phải của (1.4) tiến đến −∞ nên ta
có mâu thuẫn. Vậy với mọi α, ξ
α
∈ C

thì inf
y∈F (x
o
)
< ξ
α
, v >> −∞
Do đó: với δ > 0 tùy ý tồn tại y

α
∈ F (x
o
), v
α
∈
V
2
, c
α
∈ C sao cho
< ξ
α
, y
α
>≤ inf
y∈F (x
o
)
< ξ
α
, y > +
δ
3
< ξ
α
, v
α
>≤ inf
v∈

V
2
< ξ
α
, v > +
δ
3
< ξ
α
, c
α
>≤ inf
c∈C
< ξ
α
, c > +
δ
3
18
Do đó với z
α
= y
α
+ v
α
+ c
α
∈ F (x
o
) +

V
2
+ C ta có
ξ
α
(y
α
) < ξ
α
(z
α
) ≤ inf
y∈F (x
o
)
< ξ
α
, y > + inf
v∈
V
2
< ξ
α
, v > + inf
c∈C
< ξ
α
, c > +δ
Suy ra:
g

ξ
α
(x
α
) < g
ξ
α
(x
o
) + inf
v∈
V
2
< ξ
α
, v > +δ (1.5)
Từ đó suy ra: họ hàm

ξ
α
, ξ
α
∈ C

, ||ξ
α
| | = 1

là nửa liên tục đồng bậc.
Vì vậy: sup

α
inf
v∈
V
2
< ξ
α
, v >= δ
o
< 0
Kết hợp với (1.5) ta được: g
ξ
α
(x
α
) < g
ξ
α
(x
o
) + δ
o
+ δ, với ∀α.
Khi δ là tùy ý thì:
g
ξ
α
(x
α
) < g

ξ
α
(x
o
) + δ
o
Lấy  =
−δ
o
2
, ta thấy : g
ξ
α
(x
α
) < g
ξ
α
(x
o
) −  với mọi α
(Mâu thuẫn với tính nửa liên tục dưới đồng bậc của họ

g
ξ
| ξ ∈ C

, ||ξ| | = 1

)

Vậy F là C- liên tục trên tại x
o
.
Định lý 1.3.4.([4, tr.21]) Cho F : D −→ 2
Y
là ánh xạ đa trị với F(x)−C lồi với mọi
x ∈ D. Khi đó F là C- liên tục dưới tại x
o
nếu và chỉ nếu họ

G
ξ
| ξ ∈ C

, ||ξ| | = 1

là nửa liên tục dưới đồng bậc tại x
o
Chứng minh. Việc chứng minh định lý này được là tương tự định lý (1.3.3) với
g
ξ
, inf, ≥, − được thay thế bằng G
ξ
, sup, ≤, + ở mọi nơi.
Định lý 1.3.5.([4, tr.22]) Cho F : D −→ 2
Y
và x
o
∈ domF với F (x) − C lồi. Khi đó
F là (-C)- liên tục trên tại x

o
khi và chỉ khi họ

G
ξ
| ξ ∈ C

, ||ξ| | = 1

là nửa liên
tục trên đồng bậc tại x
o
.
Định lý 1.3.6. ([4, tr.22]) Cho F : D −→ 2
Y
sao cho F (x) + C lồi với ∀x ∈ D. Khi
đó F là (-C)- liên tục dưới tại x
o
∈ domF khi và chỉ khi họ

g
ξ
| ξ ∈ C

, ||ξ| | = 1

là
nửa liên tục trên đồng bậc tại x
o
.

Định lý (1.3.5) và (1.3.6) được chứng minh tương tự định lý (1.3.3.)
1.4 Tính lồi theo nón của ánh xạ đa trị
Cho X, Y là hai không gian tôpô tuyến tính. D ⊂ X là tập lồi, C là nón lồi trong
Y , R = R ∪ {±∞}
19
Định nghĩa 1.4.1.Hàm f : D −→
R được gọi là một hàm lồi nếu
f(αx + (1 − α)y) ≤ αf(x) + (1 − α)f(y)
với mọi x, y ∈ domF = {x ∈ D | f(x) < ∞} và α ∈ [0.1].
Hàm f : D −→ R được gọi là một hàm lõm nếu (−f) là hàm lồi.
Từ khái niệm hàm lõm và hàm lồi theo nghĩa thông thường như trên ta trình bày
các khái niệm C- lồi trên(dưới), C- lõm trên(dưới) của ánh xạ đa trị
Định nghĩa 1.4.2.
Cho Y là không gian tôpô lồi địa phương với C là nón lồi trong Y . F : D −→ 2
Y
là
một ánh xạ đa trị
a) F được gọi là C- lồi trên (hoặc C- lồi dưới) nếu
αF (x) + (1 − α)F (y) ⊂ F(αx + (1 − α)y) + C
(tương ứng F (αx + (1 − α)y) ⊂ αF (x) + (1 − α)F (y) − C )
với mọi x, y ∈ domF và α ∈ [0, 1].
b) F được gọi là C- lõm trên (hoặc C- lõm dưới) nếu
αF (x) + (1 − α)F (y) ⊂ F(αx + (1 − α)y) − C
(tương ứng F (αx + (1 − α)y) ⊂ αF (x) + (1 − α)F (y) + C )
với mọi x, y ∈ domF và α ∈ [0, 1].
Chú ý 1.4.1: i) Nếu C = {0} thì tính {0}- lồi trên và {0}- lõm trên của F trùng
nhau và được gọi là dưới tuyến tính.
ii) Nếu F là ánh xạ đơn trị thì tính C- lồi trên và C- lồi dưới (tương ứng C- lõm
trên và C- lõm dưới) là trùng nhau và được gọi là C- lồi(hoặc C-lõm).
iii) Nếu F là C- lồi trên thì F (x) + C là những tập lồi với x ∈ domF. Nếu F là

C-lõm trên thì F (x) − C là những tập lồi với x ∈ domF .
Mối liên hệ giữa tính lồi (lõm) theo nón của ánh xạ đa trị và tính lồi (lõm) của
các hàm vô hướng g
ξ
, G
ξ
được thể hiện bởi mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.4.1.([4, tr.18]) a) Nếu F là C-lồi trên (tương ứng C- lồi dưới ) thì
hàm g
ξ
( tương ứng G
ξ
) là hàm lồi.
b) NếuF là C-lõm trên (tương ứng C- lõm dưới ) thì hàm G
ξ
( tương ứng g
ξ
) là hàm
lõm.
Chứng minh. Lấy x
1
, x
2
∈ D và α ∈ [0, 1]. Với δ > 0 tùy ý theo định nghĩa của
20
inf
y∈F (x)
< ξ, y > suy ra tồn tại y
i
∈ F (x

i
)(i = 1, 2) để
inf
y∈F (x
1
)
< ξ, y >≥< ξ, y
1
> −δ
Vì F là C- lồi trên nên
αF (x
1
) + (1 − α)F (x
2
) ⊂ F(αx
1
+ (1 − α)x
2
) + C
Do đó
αg
ξ
(x
1
) + (1 − α)g
ξ
(x
2
) = α inf
y∈F (x

1
)
< ξ, y > +(1 − α) inf
y∈F (x
2
)
< ξ, y >
≥< ξ, αy
1
+ (1 − α)y
2
> −δ ≥ inf
y∈αF (x
1
)+(1−α)F (x
2
)
< ξ, y > −δ
≥ inf
y∈F (αx
1
+(1−α)x
2
)+C
< ξ, y > −δ
≥ inf
y∈F (αx
1
+(1−α)x
2

)
< ξ, y > + inf
c∈C
< ξ, c > −δ
≥ inf
y∈F (αx
1
+(1−α)x
2
)
< ξ, y > −δ
Vì vậy αg
ξ
(x
1
) + (1 − α)g
ξ
(x
2
) ≥ g
ξ
(αx
1
+ (1 − α)x
2
) − δ. Suy ra:
αg
ξ
(x
1

) + (1 − α)g
ξ
(x
2
) ≥ g
ξ
(αx
1
+ (1 − α)x
2
)
Điều này chứng tỏ g
ξ
là hàm lồi.
Tiếp theo giả sử F là C- lồi dưới. Ta sẽ chứng minh G
ξ
là hàm lồi. Thật vậy : Lấy
x
i
∈ D, i = 1, 2 và α ∈ [0, 1]
Do F là C- lồi dưới nên
F (αx
1
+ (1 − α)x
2
) ⊂ αF(x
1
) + (1 − α)F (x
2
− C

Do đó:
G
ξ
(αx
1
+ (1 − α)x
2
) = sup
y∈F (αx
1
+(1−α)x
2
)
< ξ, y >
≤ sup
y∈αF (x
1
)+(1−α)F (x
2
)−C
< ξ, y >
≤ sup
y∈αF (x
1
)+(1−α)F (x
2
)
< ξ, y >
≤ α sup
y∈αF (x

1
)
< ξ, y > +(1 − α) sup
y∈αF (x
2
)
< ξ, y >
Suy ra:
G
ξ
(αx
1
+ (1 − α)x
2
) ≥ αG
ξ
(x
1
) + (1 − α)G
ξ
(x
2
)
Vậy G
ξ
là một hàm lồi.
b) Chứng minh tương tự phần a).
21
Đối với bài toán tối ưu để xét sự tồn tại nghiệm thì cần quan tâm tới tính liên
tục yếu của hàm số. Khi xét tính liên tục yếu của hàm số đòi hỏi miền ràng buộc

của bài toán là tập lồi, đóng, giới nội trong không gian Banach phản xạ. Các định
lý sau cho ta tính liên tục yếu của họ các ánh xạ đa trị lồi ( lõm) theo nón
Định lý 1.4.1.([4, tr.22]) Cho X là không gian tôpô lồi địa phương. Y là không
gian Banach. D ⊂ X là tập lồi, đóng, khác rỗng. C là một nón lồi trong Y với C

là một nón đa diện. Giả sử rằng F : D −→ 2
Y
là C- lồi trên và C- liên tục trên
trong domF với F (x) + C lồi với mọi x ∈ D. Khi đó: F là C- liên tục trên yếu trong
domF .
Chứng minh. Giả sử C

= cone(conv {ξ
1
, , ξ
n
}). Vì F là C- liên tục trên và C- lồi
trên nên với mỗi i = 1, , n, g
ξ
i
là hàm lồi và nửa liên tục dưới từ D −→ R (theo
mệnh đề (1.3.3.) và (1.4.1.)). Do đó: g
ξ
i
: D −→ R là nửa liên tục dưới yếu.
Giả sử x
o
∈ domF . Ta sẽ chứng minh: F là C- liên tục trên yếu tại x
o
. Thật vậy:

Với  > 0 bất kỳ cho trước và i = 1, , n, tồn tại lân cận U
i
của x
o
trong tôpô yếu
của X sao cho:
g
ξ
i
(x) ≥ g
ξ
i
(x
o
) − β
o
, với mọi x ∈ U
i
∩ D
với
β
o
= min


n

i=1
λ
i

ξ
i
|
n

i=1
λ
i
= 1, λ
i
≥ 0

Do C

là nón nhọn đa diện nên 0 /∈ conv {ξ
1
, ξ
2
, , ξn} ⇒ β
o
> 0. Đặt
U =
n

i=1
U
i
Khi đó
g
ξ

i
(x) ≥ g
ξ
i
(x
o
) − β
o
, với mọi x ∈ U ∩ D, i = 1, , n
Suy ra họ hàm

g
ξ
i
, i = 1, , n

là nửa liên tục dưới đồng bậc tại x
o
Ta sẽ chứng minh
g
ξ
(x) ≥ g
ξ
(x
o
) −  với mọi x ∈ U ∩ D, ξ ∈ C

,  ξ = 1
Thật vậy lấy ξ ∈ C


,  ξ = 1 ta có thể viết:
ξ = β
n

i=1
λ
i
ξ
i
với β > 0, λ
i
≥ 0,
n

i=1
λ
i
= 1
Ta có: 1 = ξ = β 
n

i=1
λ
i
ξ
i
. Do đó
22
β =
1


n

i=1
λ
i
ξ
i

≤
1
β
o
hay ββ
o
≤ 1
Như vậy:
g
ξ
(x) = inf
y∈F (x)
< ξ, y >= inf
y∈F (x)
< β
n

i=1
λ
i
ξ

i
, y >
= β
n

i=1
λ
i
inf
y∈F (x)
< ξ, y >≥ β
n

i=1
λ
i
( inf
y∈F (x
o
)
< ξ, y > −β
o
)
= inf
y∈F (x
o
)
< β
n


i=1
λ
i
ξ
i
, y > −ββ
o

Từ đó ta được g
ξ
(x) ≥ g
ξ
(x
o
) −  với ∀x ∈ U ∩ D, ξ ∈ C

,  ξ = 1
Do đó họ

g
ξ
| ξ ∈ C

,  ξ = 1

là nửa liên tục đồng bậc dưới yếu tại x
o
Áp dụng định lý (1.3.3.) ta kết luận F là C- liên tục trên yếu tại x
o
.

Định lý 1.4.2. ([4, tr.23]) Cho F : D −→ 2
Y
là (- C) liên tục dưới và là ánh xạ
C- lõm dưới trên domF với F (x) + C lồi với mọi x ∈ D. Khi đó F là (-C)- liên tục
dưới yếu trên domF .
Chứng minh. Định lý được chứng minh tương tự định lý (1.4.1.)
Áp dụng mệnh đề (1.4.1.) và định lý (1.4.1.) ta có g
ξ
i
, i = 1, , n là các hàm lõm và
nửa liên tục trên. Do đó g
ξ
i
là nửa liên tục trên yếu tại x
o
.
Từ đó khẳng định họ

g
ξ
| ξ ∈ C

,  ξ = 1

là nửa liên tục trên yếu đồng bậc tại
x
o
. Áp dụng định lý (1.3.6) ta có F là (- C) - liên tục dưới yếu tại x
o
.

Định lý 1.4.3.([1, Định lý 1.3.6, tr.39 ]) Cho F : D −→ 2
Y
là C- lồi dưới và C-
liên tục dưới trên domF và F (x) − C lồi với mọi x ∈ D. Khi đó F là C- liên tục
dưới yếu trên domF .
Định lý 1.4.4.([4, Định lý 1.3.7, tr.39]) Giả sử F : D −→ 2
Y
là C- lõm trên và
(-C)- liên tục trên trong domF . Khi đó F là (-C) - liên tục trên yếu trong domF.
Định lý (1.4.3.) và (1.4.4.) được chứng minh tương tự định lý 1.4.1.
Mối liên hệ giữa tính liên tục trên và liên tục dưới theo nón đối với lớp ánh xạ
đa trị lồi (lõm) được thể hiện bởi các định lý sau:
Định lý 1.4.5.([4, tr.23]) Cho X, Y là các không gian thùng. F : X −→ 2
Y
là ánh
xạ đa trị có tính chất C- lồi trên và C- liên tục trên trong lân cận U
o
của x
o
∈ domF .
Giả thiết rằng F(x) + C là lồi với mọi x ∈ D. Với mọi x ∈ X và lân cận giới nội V
của gốc trong Y , đều tồn tại hằng số γ > 0 sao cho F (x) ∩ (γV − C) = ∅. Khi đó F
là (-C)- liên tục dưới tại x
o
.
23
Chứng minh. Do F : X −→ 2
Y
là C- lồi trên và C- liên tục trên trong lân cận U
o

của x
o
∈ domF nên áp dụng mệnh đề (1.4.1.) và mệnh đề (1.3.2.) ta có g
ξ
là hàm
lồi nửa liên tục dưới trong lân cận U
o
của x
o
với ξ ∈ C

,  ξ = 1
Theo giả thiết với mọi x ∈ X và lân cận giới nội V của gốc trong Y , đều tồn tại
hằng số γ > 0 sao cho F (x) ∩ (γV − C) = ∅ nên
g
ξ
(x) = inf
y∈F (x)
< ξ, y >≤ inf
y∈F (x)∩(γV −C)
< ξ, y >
≤ sup
y∈γV −C
< ξ, y >≤ γ sup
y∈V
< ξ, y > + sup
c∈(−C)
< ξ, c >
= sup
y∈V

< ξ, y >= K < +∞
với mọi ξ ∈ C

,  ξ = 1
Áp dụng định lý (1.3.1.) ta được họ

g
ξ
| ξ ∈ C

,  ξ = 1

là nửa liên tục trên đồng
bậc tại x
o
. Kết hợp với giả thiết F (x) + C là lồi với mọi x ∈ D nên áp dụng định lý
(1.3.6.) ta có F là (-C)- liên tục dưới tại x
o
.
Định lý 1.4.6.([4, tr.24]) Cho X, Y là các không gian thùng. F : X −→ 2
Y
là C-
lồi dưới và C- liên tục dưới trong lân cận U
o
của x
o
∈ domF . Giả thiết F(x) − C là
lồi với mọi x ∈ D và với mọi x ∈ X và lân cận giới nội V của O trong Y , đều tồn
tại hằng số γ > 0 sao cho F (x) ⊂ γV − C. Khi đó F là (-C)- liên tục trên tại x
o

.
Chứng minh. Do F là C- lồi dưới và C- liên tục dưới trong lân cận U
o
của
x
o
∈ domF nên G
ξ
là hàm lồi và nửa liên tục dưới tại x
o
. Theo giả thiết với mọi
x ∈ X và lân cận giới nội V của O trong Y , đều tồn tại hằng số γ > 0 sao cho
F (x) ⊂ γV − C nên
G
ξ
(x) = sup
y∈F (x)
< ξ, y >≤ inf
y∈γV −C
< ξ, y >
= γ sup
v∈V
< ξ, v >= K < +∞
Theo định lý (1.3.1.) ta có họ

G
ξ
| ξ ∈ C

,  ξ = 1


là nửa liên tục trên đồng bậc
tại x
o
. Kết hợp với giả thiết F(x) − C là lồi với mọi x ∈ D nên áp dụng định lý
(1.3.5.) ta có F là (−C)- liên tục trên tại x
o
.
Định lý 1.4.7.([4, tr.24]) Cho X, Y là các không gian thùng. F : X −→ 2
Y
là
C- lõm trên và (-C)- liên tục trên trong lân cận U
o
của x
o
∈ domF . Giả thiết
F (x) + C là lồi với mọi x ∈ X và với mọi x ∈ X và lân cận giới nội V của O trong
Y , đều tồn tại γ > 0 sao cho F(x)∩(γV +C) = ∅. Khi đó: F là C- liên tục dưới tại x
o
Định lý 1.4.8.([4, tr.24]) Cho X, Y là các không gian thùng. F : D −→ 2
Y
là C-
lõm dưới và (-C)- liên tục dưới trong lân cận U
o
của x
o
∈ domF . Giả thiết F(x) + C
24
là lồi với mọi x ∈ D và với mọi x ∈ D và lân cận giới nội V của O trong Y , đều
tồn tại γ > 0 sao cho F (x) ⊂ γV + C. Khi đó F là C- liên tục trên tại x

o
.
Định lý (1.4.7.) và định lý (1.4.8.) được chứng minh tương tự như định lý (1.4.5.)
Các định lý nêu trên đã chỉ ra mối liên quan giữa tính liên tục trên và liên tục
dưới theo nón của ánh xạ đa trị. Trong trường hợp f là ánh xạ đơn trị và nón C
trong Y có cơ sở lồi, đóng, giới nội thì tính liên tục theo nón của ánh xạ đơn trị
trở về tính liên tục theo nghĩa thông thường.
Hệ quả 1.4.1.([4, tr.24]) Cho C là nón có cơ sở lồi, đóng, giới nội và f : X −→ Y
là ánh xạ đơn trị có tính chất C- lồi và C- liên tục trong lân cận U
o
của x
o
∈ X.
Giả thiết với mọi x ∈ X và lân cận V của O trong Y đều tồn tại số γ > 0 sao cho
f(x) ∈ γV − C. Khi đó f liên tục tại x
o
.
Chứng minh. Lấy W là một lân cận của O trong Y . Ta sẽ chứng minh tồn tại
lân cận U của x
o
sao cho với mọi x ∈ U thì
f(x) ∈ f(x
o
) + W
Vì C là nón có cơ sở lồi, đóng, giới nội trong Y nên tồn tại lân cận V của O trong
Y sao cho
(V + C) ∩ (V − C) ⊆ W
Giả thiết f là C- liên tục tại x
o
nên tồn tại lân cận U

1
của x
o
sao cho
f(x) ∈ f(x
o
) + V + C với mọi x ∈ U
1
Áp dụng định lý (1.4.6.) ta có f là (-C)- liên tục tại x
o
. Do đó có một lân cận U
2
của x
o
sao cho
f(x
o
) ∈ f(x) + V + C, với mọi x ∈ U
2
hay f(x) ∈ f (x
o
) + V − C với mọi x ∈ U
2
Đặt U = U
1
∩ U
2
ta thu được
f(x) ∈ (f(x
o

) + V + C) ∩ (f(x
o
) + V − C) = f(x
o
) + (V + C) ∩ (V − C) ⊂ f (x
o
) + W
với mọi x ∈ U. Hay
f(x) ∈ f(x
o
) + W , với mọi x ∈ U
Điều này chứng tỏ f liên tục tại x
o
.
Hệ quả 1.4.2.([1, Hệ quả 1.3.13, tr.42]) Cho C là nón có cơ sở lồi, đóng, giới nội
và f : X −→ Y là ánh xạ đơn trị có tính chất C- lõm và (-C)- liên tục trong lân