Bảo hộ trong thị trường không đầy đủ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
NGUYỄN VĂN MINH
BẢO HỘ TRONG THỊ TRƯỜNG KHÔNG ĐẦY ĐỦ
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội - Năm 2012
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
NGUYỄN VĂN MINH
BẢO HỘ TRONG THỊ TRƯỜNG KHÔNG ĐẦY ĐỦ
Chuyên ngành: TOÁN XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Mã số : 60 46 15
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học
TS. NGUYỄN THỊNH
Hà Nội - Năm 2012
Mục lục
1 Kiến thức chuẩn bị 5
1.1 Một số kiến thức cơ bản của giải tích ngẫu nhiên . . . . . . 5
1.2 Một số kiến thức cơ sở toán tài chính . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Chứng khoán phái sinh . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Cơ hội có độ chênh thị giá . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Định giá và bảo hộ trong thị trường đầy đủ 13
2.1 Bảo hộ trong thị trường đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.1 Chiến lược bảo hộ quyền phái sinh trong thị trường
đầy đủ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.2 Công thức Black-Scholes về định giá quyền chọn
Châu Âu trong thị trường đầy đủ. . . . . . . . . . . 19
3 Định giá và bảo hộ trong thị trường không đầy đủ 23
3.1 Bài toán bảo hộ quyền phái sinh theo nghĩa cực tiểu bình
phương trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2 Quá trình cân bằng bình phương trung bình và không gian
các chiến lược đầu tư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2.1 Định nghĩa 3.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.2 Định nghĩa 3.2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3 Tính đóng của G
T
(Θ) và phân tích F¨ollmer-Schweizer . . . 28
3.3.1 Mệnh đề 3.3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3.2 Bổ đề 3.3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1
3.3.3 Mệnh đề 3.3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3.4 Hệ quả 3.3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3.5 Hệ quả 3.3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3.6 Bổ đề 3.3.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.4 Mô tả chiến lược tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4.1 Định lí 3.3.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4.2 Hệ quả 3.4.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.5 Xấp xỉ một tài sản phi rủi ro . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.6 Bảo hộ trong trường hợp quá trình cân bằng mean-variance
tất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.7 Mô hình khuyếch tán hầu đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . 44
3.8 Mô hình biến động ngẫu nhiên có tính Markovian . . . . . . 47
3.9 Mô hình Black - Scholes trong môi trường ngẫu nhiên . . . 50
Tài liệu tham khảo 54
2
Lời nói đầu
Định giá và bảo hộ tài sản phái sinh là một trong những vấn đề quan
trọng của tài chính nói chung và toán tài chính nói riêng. Trong thị trường
đầy đủ thì có thể bảo hộ một cách chính xác bởi một chiến lược giao dịch
duy nhất. Tuy nhiên trong thị trường không đầy đủ thì có nhiều chiến lược

để bảo hộ, vần đề là cần tìm ra chiến lược tối ưu nhất theo nghĩa nào đó.
Việc bảo hộ có nhiều cách tiếp cận khác nhau. Nhưng trong luận văn này
chỉ tập chung vào việc bảo hộ quyền phái sinh theo nghĩa cực tiểu bình
phương trung bình, luận văn đưa ra một số kết quả và ví dụ về bảo hộ
bình phương trung bình cho quá trình ngẫu nhiên liên tục. Mục tiêu chính
là đưa ra những chứng minh chính xác để xét đến việc có thể sử dụng hoặc
không đến độ đo martingale nhỏ nhất để nghiên cứu vấn đề này.
Cho X là nửa martingale có dạng X = X
0
+ M +

dM
ˆ
λ. Quá trình
cân bằng bình phương trung bình của X kí hiệu là
ˆ
K =

ˆ
λ
tr
dM
ˆ
λ và
Θ là không gian các quá trình khả đoán ϑ sao cho tích phân ngẫu nhiên
G(ϑ) =

ϑdX là nửa martingale bình phương khả tích. Cho hằng số
c ∈ R và biến ngẫu nhiên bình phương khả tích H, chiến lược tối ưu bình
phương trung bình ξ

(c)
làm cực tiểu khoảng cách trong L
2
giữa H − c và
không gian G
T
(Θ). Trong tài chính, sử dụng chiến lược ξ
(c)
để xấp xỉ cho
tài sản phái sinh H theo nghĩa làm cho rủi ro của người bảo hộ được hạn
chế nhất với các chiến lược giao dịch ϑ ∈ Θ không gian các chiến lược
đầu tư. Nếu
ˆ
K là bị chặn, liên tục thì ta đưa ra một chứng minh đơn giản
cho tính đóng của không gian G
T
(Θ) trong L
2
(P ) và sự tồn tại phân tích
F¨ollmer-Schweizer của H. Hơn nữa nếu X thỏa mãn thêm một số điều kiện
3
thì ta có thể mô tả được chiến lược tối ưu bình phương trung bình dưới
dạng công thức liên hệ ngược và trong luận văn cũng đưa ra một số ví
dụ có thể dễ dàng so sánh các trường hợp với giả thiết khác nhau. Khi có
thêm điều kiện thì có khẳng định rằng độ đo martingale tối ưu phương sai
và độ đo martingale nhỏ nhất là trùng nhau. Trong số những ví dụ đưa ra
điều giả sử này được thỏa mãn, qua đó ta cũng chỉ ra lỗi điển hình nếu
ˆ
K
T

không tất định và bao gồm biến ngẫu nhiên ngoại sinh không được sinh
ra bởi X.
Luận văn có cấu trúc 3 chương :
Chương 1: Bao gồm sơ lược các kiến thức nền tảng của giải tích ngẫu
nhiên và toán tài chính.
Chương 2: Giới thiệu về định giá và bảo hộ trong thị trường đầy đủ áp
dụng cho mô hình Black-Scholes đơn giản.
Chương 3 : Phần chính của luận văn đưa ra việc định giá và bảo hộ
trong thị trường không đầy đủ theo nghĩa cực tiểu bình phương trung bình.
Trong quá trình viết luận văn, tác giả đã nhận được sự hướng dẫn rất
tận tình của TS. Nguyễn Thịnh. Tác giả xin chân thành cảm ơn sâu sắc
thầy. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giảng dạy các chuyên
đề cao học đã tạo dựng cho tác giả một kiến thức nền tảng và thầy cô
trong tổ Xác Suất Thống Kê của khoa Toán-Cơ-Tin đã giúp đỡ và tạo
điều kiện để tác giả bảo vệ luận văn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đã luôn cổ vũ, động
viên và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành luận văn.
Do trình độ tác giả và thời gian còn hạn chế nên luận văn không thể
tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự góp ý của quý
bạn đọc.
4
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Chương này sẽ điểm qua một số kiến thức cơ sở về giải tích ngẫu nhiên
và một số khái niệm của toán tài chính được sử dụng trong luận văn.
1.1 Một số kiến thức cơ bản của giải tích ngẫu
nhiên
Định nghĩa 1.1. Martingale
Giả sử (Ω, A, P) là không gian xác suất. Quá trình X = {X
t

, A
t
, t ∈ R}
được gọi là một martingale (trên ,dưới) đối với (A
t
, t ∈ R) nếu thỏa mãn
3 điều kiện sau:
1.X = {X
t
, A
t
, t ∈ R} là quá trình thích nghi với bộ lọc A
t
(tức là X
t
là
A
t
−đo được).
2.E|X
t
| < ∞ với mọi t ∈ R.
3.Với mọi t ≥ s (t, s ∈ R) E(X
t
/A
s
) = X
s
(E(X
t

/A
s
) ≤ X
s
; E(X
t
/A
s
) ≥
X
s
) P − h.c.c.
Định nghĩa 1.2. Martingale địa phương
Quá trình ngẫu nhiên {X
t
, A
t
, t ≥ 0} được gọi là martingale địa phương
nếu tồn tại dãy thời điểm Markov (τ
n
) đối với (A
t
) sao cho
(i) P{τ
n
≤ n} = 1, P{lim
n→∞
τ
n
= ∞} = 1.

(ii) Đối với mỗi n = 1, 2, dãy {M
t∧τ
n
, A
t
, t ≥ 0} là martingale khả
tích đều.
5
Định nghĩa 1.3. Nửa martingale liên tục
Một quá trình X được gọi là nửa martingale liên tục nếu nó có thể được
biểu diễn dưới dạng tổng X
t
= M
t
+ A
t
, t ≥ 0 trong đó M là martigale địa
phương liên tục và A là quá trình biến phân bị chặn thích nghi liên tục
thỏa mãn A
0
= 0.
Định lý 1.1. Burkholder-David-Gundy
Giả sử {M
i
, A
i
, 0 ≤ i ≤ N} là một martingale, 1 < p < ∞ và d
0
=
M

0
, d
i
= M
i+1
− M
i
, 0 = i < ··· < n = N. Khi đó tồn tại các hằng số
C
1
, C
2
chỉ phụ thuộc p không phụ thuộc dãy d
i
, i = 1, . . . , N. sao cho
C
1
E|
N

i=1
d
2
i
|
p
2
≤ E|M
N
|

p
≤ C
2
E|
N

i=1
d
2
i
|
p
2
.
Kí hiệu
[M]
N
=
N

i=1
d
2
i
được gọi là biến phân bình phương của M
N
. Khi đó ta có
C
1
||


[M]
N
||
p
≤ ||M
N
||
p
≤ C
2
||

[M]
N
||
p
.
Định lý 1.2. Girsanov
Cho Y
t
là một quá trình Ito có vi phân ngẫu nhiên như sau:
dY
t
= a(t, ω)dt + dW
t
, t ≤ T ≤ ∞, Y
0
= 0
trong đó hệ số dịch chuyển a(t, ω) thỏa mãn điều kiện Novikov

E[e
1
2

T
0
a
2
(s,ω)ds
] < ∞.
Xác định một độ đo xác suất mới Q như sau
dQ
dP
= L
T
, trong đó L
t
= e
−

t
0
a(s,ω)dW
s
−
1
2

t
0

a
2
(s,ω)ds
.
6
Với xác suất mới Q này thì Y
t
trở thành một martingale đối với họ
(F
t
), F
W
t
= σ(W
s
, s ≥ t).

t
0
||g
s
||
2
ds < ∞h.c.c. Ta định nghĩa
α
t
= exp[

t
0

(g
s
, dW
s
) −
1
2

t
0
||g
s
||
2
ds]
Định lý 1.3. Bất đẳng thức Doob
Nếu {X
t
, A
t
, 0 ≤ t ≤ T } là martingale dưới không âm với E|X
t
|
p
<
∞, 0 ≤ t ≤ T, 0 < p < ∞ thì
||X
T
||
p

≤ || sup
0≤t≤T
|X
t
|||
p
≤ q||X
T
||
p
,
trong đó
||X||
p
= (E|X|
p
)
1
p
,
1
p
+
1
q
= 1.
Định lý 1.4. Công thức Ito
Nếu X
t
là quá trình Ito vi phân ngẫu nhiên có dạng

dX
t
= a(t, w)dt + b(t, w)dW
t
.
Cho Y
t
= g(t, X
t
) với g(t, x) là hàm xác định trên [0, ∞) × R và có các
đạo hàm riêng g
t
, g
x
, g
xx
liên tục.
Khi đó Y
t
= g(t, X
t
) là quá trình Ito với vi phân ngẫu nhiên là:
dY
t
= [
∂g
∂t
+ a
∂g
∂x

+
1
2
b
2
∂
2
g
∂x
2
]dt + b
∂g
∂x
dW
t
.
Công thức Ito nhiều chiều
Cho W(t, ω) = (W
1
(t, ω), , W
m
(t, ω)) là chuyển động Brown m-chiều.
X(t, ω) = (X
1
(t, ω), , X
n
(t, ω)) và dX = hdt + fdW là một vi phân
ngẫu nhiên Ito n-chiều (với f, h là các hàm ngẫu nhiên đo được dần, f khả
đoán, khả tích theo mọi đoạn hữu hạn với hầu hết ω). Giả sử g(t, x) =
(g

1
(t, x), , g
p
(t, x)) là các ánh xạ hai lần khả vi liên tục R
+
×R
n
→ R
+
.
Khi đó quá trình Y (t, ω) = g(t, X
t
) là một vi phân ngẫu nhiên p-chiều mà
thành phần thứ k là Y
k
được cho bởi
dY
k
=
∂g
k
∂t
(t, X)dt +

i
∂g
k
∂x
i
(t, X)dX

i
+
1
2

i,j
∂
2
g
k
∂x
i
∂x
j
(t, X)dX
i
dX
j
,
7
trong các biểu thức dX
i
dX
j
thì dW
i
dW
j
= σ
ij

dt, dtdW
i
= dtdW
j
= 0.
Định nghĩa 1.4. Nghiệm mạnh của phương trình vi phân ngẫu
nhiên
Phương trình vi phân ngẫu nhiên 1-chiều là phương trình có dạng
dX
t
= a(t, X
t
)dt + b(t, X
t
)dW
t
hoặc tương đương
X
t
= X
0
+

t
0
a(s, X
s
)ds +

t

0
b(s, X
s
)dW
s
.
Nghiệm mạnh của phương trình trên là quá trình X
t
liên tục thích nghi
với A
t
sao cho
P


T
0
|a(t, X
t
(ω))|dt < ∞

= 1,
E


T
0
|b(t, X(t, ω))|
2
dt


< ∞
và biểu thức tích phân thỏa mãn với xác suất 1 với mỗi t ∈ [0, T ].
Định lý 1.5. Định lý tồn tại duy nhất nghiệm
Giả sử T > 0 và a, b : [0, T ] × R → R, là các hàm đo được thỏa mãn các
điều kiện
|a(t, x)| + |b(t, x)| ≤ C(1 + |x|), x ∈ R, t ∈ [0, T]
|a(t, x) −a(t, y)| + |b(t, x) − b(t, y)| ≤ D|x −y|, x ∈ R, t ∈ [0, T]
trong đó C,D là các hằng số dương nào đó. Giả sử Z là biến ngẫu nhiên
độc lập với A
∞
sao cho E|Z|
2
< ∞.
Khi đó phương trình vi phân
dX
t
= a(t, X
t
)dt + b(t, X
t
)dW
t
, 0 ≤ t ≤ T, X
0
= Z
có nghiệm duy nhất X
t
thuộc N
T

( lớp các hàm ngẫu nhiên f : [0, T ]×Ω →
R đo được, thích nghi đối với A
t
và


T
0
E|f(t, ω)|
2
dt

< ∞ ).
8
Định nghĩa 1.5. Độ đo martingale nhỏ nhất
Cho độ đo martingale
ˆ
P ≈ P được gọi là độ đo martingale nhỏ nhất
nếu
ˆ
P (A) = P (A), ∀A ∈ F
0
và mọi martingale bình phương khả tích bất
kì trực giao mạnh với martingale tùy ý cố định M ∈ M theo P cũng là
martingale theo
ˆ
P tức là :
L ∈ M
2
và L, M = 0 ⇒ L là martingale theo

ˆ
P .
(với M; M
2
tương ứng là các không gian martingale khả tích; bình phương
khả tích.)
Định nghĩa 1.6. Độ đo tối ưu phương sai
Độ đo có dấu Q trên (Ω, F) được gọi là độ đo Θ−martingale có dấu
nếu Q[Ω] = 1, Q  P với
dQ
dP
∈ L
2
(P ) và
E

dQ
dP
G
T
(ϑ)

= 0 với mọi ϑ ∈ Θ
(Θ tập các quá trình khả đoán).
Kí hiệu P là tập tất cả độ đo Θ−martingale có dấu và
D =

D =
dQ
dP



Q ∈ P(Θ)

.
Độ đo Θ−martingale có dấu

P được gọi là độ đo tối ưu phương sai
nếu

P làm cực tiểu
V ar

dQ
dP

= E

dQ
dP
− 1

2

= E

dQ
dP

2


− 1
với mọi Q ∈ P(Θ). Nếu

P là tối ưu phương sai thì kí hiệu
d

P
dP
=

D.
Định nghĩa 1.7. Quá trình mũ martingale địa phương
Cho M là liên tục, martingale địa phương giá trị thực. Khi đó mũ martin-
gale địa phương E(M) là quá trình
X
t
= E
t
(M) = exp(M
t
−
1
2
M
t
).
9
Và X
t

là nghiệm duy nhất của phương trình dX
t
= X
t
dM
t
, X
0
= 1.
Nếu γ ∈ L(M) thì nghiệm X
t
của phương trình dX
t
= γ
t
X
t
dM
t
được cho
bởi X
t
= X
0
E
t
(γ • M). Nếu W là chuyển động Brown nhận giá trị trong
R
d
và γ ∈ L(W ) thì nghiệm của phương trình dX

t
= γ
t
X
t
dW
t
được cho
bởi
X
t
= X
0
E
t
(γ •W ) = X
0
exp(−
1
2

t
0
||γ
s
||
2
ds +

t

0
γ
s
dW
s
).
1.2 Một số kiến thức cơ sở toán tài chính
1.2.1 Chứng khoán phái sinh
Định nghĩa 1.8. Quyền mua cổ phần
Là loại chứng khoán do công ty cổ phần phát hành kèm theo đợt phát
hành cổ phiếu thường bổ sung và được phát hành cho cổ đông hiện hành
sau đó chúng có thể được đem ra giao dịch.
Ví dụ 1.1. Công ty A muốn huy động thêm vốn nên đã phát hành thêm
cổ phiếu cho các cổ đông, các cổ đông này được nhận các quyền mua cổ
phần, các cổ đông này nếu không mua cổ phiếu có thể nhường lại cho người
khác bằng cách bán quyền mua cổ phần của mình.
Định nghĩa 1.9. Hợp đồng kì hạn
Là một thỏa thuận trong đó một người mua một người bán chấp thuận
một giao dịch hàng hóa với khối lượng xác định tại một thời điểm xác định
trong tương lai với một mức giá được ấn định vào ngày hôm nay.
Định nghĩa 1.10. Hợp đồng tương lai
Là cam kết mua hoặc bán các loại chứng khoán, nhóm chứng khoán hoặc
chỉ số chứng khoán nhất định với một số lượng nhất định và mức giá nhất
định vào ngày xác định trước trong tương lai.
10
Định nghĩa 1.11. Quyền lựa chọn
Là quyền được ghi trong hợp đồng cho phép người mua lựa chọn quyền
mua hoặc quyền bán một số lượng chứng khoán được xác định trước trong
khoảng thời gian nhất định với một mức giá được xác định trước. Quyền
lựa chọn là một bản hợp đồng mang tính thỏa thuận nhưng ràng buộc về

mặt pháp lý trong đó có tham gia của người mua, người viết và cơ quan
quản lý.
Định nghĩa 1.12. Quyền chọn mua
Là một hợp đồng giữa hai bên mà trong đó một bên cho bên kia được
quyền mua một khối lượng hàng hóa nhất định tại một mức giá xác định
trong một thời hạn nhất định. Bên được quyền mua phải trả cho bên còn
lại một khoản được gọi là giá quyền mua. Và khi kết thúc hợp đồng người
có quyền mua không bắt buộc phải thực hiện hợp đồng.
Ví dụ 1.2. Một người định mua cổ phiếu của công ty A nhưng vì một lí
do nào đó anh ta chưa muốn mua ngay nên đã đến ngân hàng mua một số
quyền chọn mua rằng anh ta có thể mua một số lượng cổ phiếu nhất định
của công ty A với mức giá là X vào ngày cố định T đã thỏa thuận. Đến
ngày T người mua có thể không cần thực hiện hợp đồng và chấp nhận mất
tiền mua quyền mua.
Định nghĩa 1.13. Quyền chọn bán
Là hợp đồng giữa hai bên mà trong đó một bên cho bên kia được quyền
bán một khối lượng nhất định hàng hóa tại một mức giá xác định trong
một thời hạn nhất định. Người mua quyền chọn bán phải trả cho người
bán quyền một khoản tiền được gọi là giá quyền hoặc phí quyền. Và khi
kết thúc hợp đồng người có quyền mua không bắt buộc phải thực hiện hợp
đồng.
11
1.2.2 Cơ hội có độ chênh thị giá
Định nghĩa 1.14. Một phương án đầu tư tự tài trợ φ ∈ Φ được gọi là
một cơ hội có độ chênh thị giá nếu quá trình giá V
t
(φ) của phương án đầu
tư đó thỏa mãn :
(i) P(V
0

(φ) = 0) = 1
(ii)P (V
T
(φ) ≥ 0) = 1
(iii)P (V
T
(φ) > 0) > 0
T là thời điểm đáo hạn của hợp đồng.
Định nghĩa 1.15. Ta nói thị trường M = (S, Φ) là một thị trường không
có cơ hội chênh thị giá nếu không tồn tại một phương án đầu tư tự tài trợ
nào trong Φ có độ chênh thị giá.
Định nghĩa 1.16. Chiến lược đầu tư đáp ứng
Chiến lược đáp ứng đối với một phái sinh có giá trị đáo hạn X
T
tại thời
điểm đáo hạn T là một phương án đầu tư tự tài trợ φ sao cho V
T
(φ) = X
T
.
tức là giá trị lúc đáo hạn của phương án đầu tư ấy bằng đúng với giá trị
đáo hạn X
T
đã định trước và ghi trong hợp đồng. Quá trình giá V
T
(φ) của
phương án ấy được gọi là quá trình đáp ứng.
Một bài toán đặt ra là định giá cho các sản phẩm phái sinh như thế
nào ? và sau khi các sản phẩm này được mua bán thì phải bảo hộ chúng
như thế nào?. Luận văn này nghiên cứu một số cách tiếp cận toán học

chặt chẽ để có thể định giá và bảo hộ các sản phẩm phái sinh này.
12
Chương 2
Định giá và bảo hộ trong thị trường
đầy đủ
Trong chương này ta sẽ đi tìm hiểu việc định giá và đưa ra chiến lược
bảo hộ giá cho quyền phái sinh trong thị trường đầy đủ.
Định nghĩa 2.1. Thị trường đầy đủ
Một thị trường M được gọi là thị trường đầy đủ nếu mọi tài sản phái sinh
X đều đạt được trong M tức là đều có phương án đầu tư đáp ứng được
phái sinh đó, hay nói một cách tương đương nếu với mọi biến ngẫu nhiên
X đo được đối với F
T
thì tồn tại ít nhất một quá trình khả đoán φ ∈ Φ
sao cho V
T
(φ) = X
T
. (X
T
là giá đáo hạn của chứng khoán được ghi trong
hợp đồng và V
T
(φ) là quá trình giá đầu tư bởi chiến lược φ)
Nói chung tính đầy đủ là một đòi hỏi khá cao của thị trường. Vì với
tính đầy đủ thì mọi tài sản phái sinh kiểu châu Âu đều có thể định giá
bằng phương pháp độ chênh thị giá.
Định nghĩa 2.2. Ta nói rằng tài sản phái sinh X được đáp ứng một cách
duy nhất trong thị trường M nếu tồn tại một quá trình đáp ứng duy nhất
đối với X.

Ví dụ 2.1. Mô hình Black-Scholes trong thị trường đầy đủ
Giả sử một tài sản tài chính S tuân theo mô hình Black-Scholes tức là thỏa
13
mãn phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính sau:
dS
t
= µS
t
dt + σS
t
dB
t
,
với µ , σ là những hằng số và B là chuyển động Brown hình học.
Giá tài sản S tuân theo mô hình Black- Scholes như trên thỏa mãn thị
trường đầy đủ tức là mọi tài sản phái sinh đều được đáp ứng bởi một
chiến lược tự tài trợ. Tính đầy đủ sẽ được chỉ ra ở phần sau.
2.1 Bảo hộ trong thị trường đầy đủ
Cho (Ω, F, P ) là không gian xác suất, T là một thời điểm cố định. Cho
F = {F
t
; 0 ≤ t ≤ T } là một bộ lọc với F
0
chứa Ω và những tập có độ đo
0 theo P với F
T
= F.
Cho X = {X
t
; 0 ≤ t ≤ T } là quá trình ngẫu nhiên có giá trị véctơ

với thành phần là X
0
, X
1
, , X
d
thích nghi liên tục phải, giới hạn trái
và dương thực sự. Hơn nữa X
0
là nửa martingale thoả mãn X
0
0
= 1
và X
k
t
biểu diễn giá trị của chứng khoán thứ k tại thời điểm t, đặt
β
t
= 1/X
0
t
. Ta xác định một quá trình giá chiết khấu Z = (Z
1
, Z
2
, , Z
d
)
với Z

k
t
= β
t
X
k
t
; k = 1, , d.
Kí hiệu P = {Q ∈ (Ω; F)|Q tương đương P và Z là martingale theo Q }.
Giả sử P khác rỗng (dẫn tới không có sự chênh thị giá) ta có X và Z là
các nửa martingale theo P. Một phần tử tuỳ ý P
∗
∈ P được gọi là độ đo
quy chiếu và E
∗
là kì vọng toán học tương ứng.
Kí hiệu
L(Z) = {H = (H
1
, H
2
, , H
d
) = {H
t
, 0 ≤ t ≤ T } khả tích đối với Z}
Một chiến lược giao dịch đáp ứng là một quá trình ngẫu nhiên khả đoán
Φ = (Φ
0
, , Φ

d
) = {Φ
t
, 0 ≤ t ≤ T } sao cho:
i) (Φ
1
, , Φ
d
) ∈ L(Z),
ii) V
∗
(Φ) ≥ 0 trong đó V
∗
(Φ) = βΦX = β

d
k=0
Φ
k
X
k
,
iii)V
∗
(Φ) = V
∗
0
(Φ) + G
∗
(Φ) trong đó

14
G
∗
(Φ) =

ΦdZ =
d

k=1

Φ
k
dZ
k
và
iv) V
∗
(Φ) là một martingale theo P
∗
.
Trong đó Φ
k
t
mô tả số tài sản hoặc số đơn vị chứng khoán thứ k được
giữ bởi nhà đầu tư tại thời điểm t, V
∗
(Φ) là quá trình giá chiết khấu mô
tả giá chiết khấu của danh mục đầu tư và G
∗
(Φ) mô tả quá trình lãi chiết

khấu hoặc lỗ thông qua chiến lược giao dịch bởi nhà đầu tư. Trong đó (ii)
nói lên rằng những chiến lược giao dịch đáp ứng không cho phép giá trị
của phương án đầu tư âm. (iii) nói rằng tất cả sự thay đổi trong giá trị
của phương án đầu tư đều phụ thuộc vào sự đầu tư mà không cần thêm
hoặc bớt vốn. Điều kiện (iv) khẳng định quá trình giá chỉ phụ thuộc vào
việc chọn độ đo quy chiếu.
Một quyền phái sinh S được coi như biến ngẫu nhiên dương. Một
quyền phái sinh S được đáp ứng nếu tồn tại chiến lược đáp ứng ψ sao
cho V
∗
T
(ψ) = β
T
S. Một quyền phái sinh S được gọi là khả tích nếu
E
∗
β
T
S < ∞. Sau đây ta sẽ tìm hiểu một định lí nói về mối quan hệ
giữa thị trường đầy đủ và sự duy nhất của chiến lược đầu tư đáp ứng.
Định lý 2.1. Các mệnh đề sau là tương đương:
(a) Mô hình thị trường đầy đủ theo độ đo P
∗
.
(b) Mỗi martingale M
t
được biểu diễn dưới dạng.
M
t
= M

0
+

t
0
HdZ với H ∈ L(Z).
(c) P có duy nhất một phần tử.
Chứng minh. (a) ⇒ (b) Cho M là một martingale tuỳ ý. Từ martingale
bất kì có thể được biểu diễn dưới dạng hai martingale dương khác nhau do
15
vậy không giảm tổng quát có thể giả sử là M dương. Đặt S = X
0
T
M
T
khi
đó tồn tại chiến lược đáp ứng Φ sao cho V
∗
T
(Φ) = M
T
. Hơn nữa theo định
nghĩa chiến lược đáp ứng, martingale V
∗
T
(Φ) = V
∗
0
(Φ) +


T
0
HdZ, trong
đó H = (Φ
1
, , Φ
d
). Do đó M có cùng biểu diễn hay M
t
= E
∗
(β
T
S|F
t
) =
V
∗
t
(Φ).
(b) ⇒ (a) Cho S là một tài sản phái sinh khả tích tuỳ ý. Định nghĩa một
độ đo martingale M bằng cách đặt M
t
= E
∗
(β
T
S|F
t
) và cho H ∈ L(Z)

sao cho M
t
= M
0
+

t
0
HdZ đặt Φ
1
= H
1
, , Φ
d
= H
d
trong đó Φ
0
=
M
0
+

HdZ − HZ.
Điều này dẫn tới chiến lược giao dịch đáp ứng với V
∗
t
(Φ) = M
t
do đó

V
∗
T
(Φ) = β
T
S. Hay S được đáp ứng, suy ra thị trường là đầy đủ. Trước
khi chứng minh (b) ⇒ (c) ta có một số định nghĩa
Kí hiệu M(Z) = {Q|Z là martingale địa phương theo Q} và ta có P là tập
con của M(Z)
Một phần tử Q ∈ M(Z) được gọi là điểm vô cùng nếu nó không thể biểu
diễn dưới dạng tổ hợp lồi thực sự của hai martingale trong M(Z). Kí hiệu
M
e
(Z) là tập hợp tất cả các điểm vô cùng trong M(Z). Ta có kết quả :
Q ∈ M
e
(Z) nếu và chỉ nếu Z chỉ có thể là martingale địa phương theo Q.
Hệ quả của nó là Q ∈ M
e
(Z) nếu và chỉ nếu tính chất biểu diễn trong b)
được thỏa mãn.
(b) ⇒ (c) Nếu P
∗
∈ M
e
(Z) thì không thể tồn tại Q ∈ M(Z) với Q tương
đương với P
∗
.
(c) ⇒ (b) Ta chỉ ra P

∗
∈ M
e
(Z). Thật vậy giả sử ngược lại. Khi đó tồn
tại α ∈ (0, 1) và Q

, Q

∈ M(Z) sao cho P
∗
= αQ

+ (1 − α)Q

. Ta có
Q

≤ P
∗
/α và chỉ ra Z là martingale theo Q

tương tự cho Q

do đó Z là
martingale theo Q
β
= βQ

+ (1 −β)Q


với mỗi β ∈ (0, 1). Từ Q
β
tương
đương với P
∗
với mọi β ∈ (0, 1) tức là Q
β
∈ P với mọi β ∈ (0, 1). Nhưng
điều này là mâu thuẫn do P có duy nhất một phần tử.
Tiếp theo ta sẽ đi mô tả về chiến lược duy nhất trong thị trường đầy đủ.
16
2.1.1 Chiến lược bảo hộ quyền phái sinh trong thị trường đầy
đủ.
Chiến lược giao dịch Φ = (K, H) được gọi là chiến lược giao dịch tự tài
trợ nếu nó thỏa mãn :
dV
t
(Φ) = K
t
dB
t
+ H
t
dX
t
chiến lược Φ được hiểu như liên tục tự cân bằng các danh mục đầu tư mà
không rút vốn hoặc thêm vốn vào.
Ta có một chiến lược giao dịch tự tài trợ được gọi là đáp ứng quyền
phái sinh h nếu V
T

(Φ) = h và quá trình giá chiết khấu V
X
0
t
(Φ) là P
X
0
−
martingale tức là
V
X
0
t
(Φ) = E
P
X
0
[h/X
0
T
|F
t
], với t ∈ [0, T ],
và đặt
V
t
(Φ) = X
0
t
E

P
X
0
[h/X
0
T
|F
t
] với t ∈ [0, T ].
Định lý 2.2. Nếu quyền phái sinh h là P
X
0
− khả tích thì nó được đáp
ứng.
Chứng minh. Đặt M
t
= E
P
X
0
[h/X
0
T
|F
t
] cho Φ = (K, H) là một chiến lược
giao dịch và đặt V
t
= V
t

(Φ). Khi đó Φ đáp ứng h nếu và chỉ nếu
K
t
+ H
t
X
X
0
t
= V
X
0
t
= M
t
với t ∈ [0, T ].
Ta cần xác định H
t
với điều kiện tự tài trợ cho Φ là dV
X
0
t
= H
t
dX
X
0
t
tức
dạng tích phân V

X
0
t
= V
0
+

t
0
H
s
dX
X
0
s
= M
t
với t ∈ [0, T ].
Gọi (F
t
) là bộ lọc tăng sinh bởi chuyển động Brown hình học W
X
0
t
. Theo
định lí III.5.d.0 [11] ta có F
t
−martingale M
t
có thể biểu diễn

M
t
= M
0
+

t
0
J
s
dW
X
0
s
, t ∈ [0, T ],
17
với quá trình khả đoán J ∈ L(W
X
0
). Ta lại có dX
X
0
s
= σX
X
0
s
dW
X
0

s
suy
ra M
t
= M
0
+

t
0
J
s
/(σX
X
0
s
)dX
X
0
s
, ta cần
M
0
+

t
0
J
s
/(σX

X
0
s
)dX
X
0
s
= M
t
= V
0
+

t
0
H
s
dX
X
0
s
, với mọi t ∈ [0, T ].
Suy ra
M
0
= V
0
, H
s
= J

s
/(σX
X
0
s
), K
s
= M
s
− H
s
X
X
0
s
.
Khi đó M
t
= M
0
+

t
0
H
s
dX
X
0
s

.
Sau đây ta sẽ chỉ ra Φ là một chiến lược giao dịch tức là K ∈ L(X
0
) và
H ∈ L(X).
Từ dX
t
= X
t
(µdt + σdW
t
) chúng ta thu được du
X
(s) = µX
s
ds (u
X
(s)
là compensator của X ) và dX
s
= σ
2
X
2
s
ds. Quá trình khả đoán J ∈
L(W
X
0
) thoả mãn


T
0
J
2
s
ds < ∞, P
X
0
− as.
Do đó

T
0
dS
s
=

T
0
J
2
s
X
0
2
s
ds < ∞ và

T

0
|H
s
||du
X
(s)| =

T
0
|σ
−1
µJ
s
|X
0
s
ds <
∞, P − as.
Suy ra H ∈ L(X), K
s
= M
s
− H
s
X
X
0
s
= M
s

− J
s
/σ.
Suy ra J ∈ L(X
0
) theo tính liên tục của M suy ra K ∈ L(X
0
). Vậy ta
có chiến lược giao dịch Φ thoả mãn V
X
0
t
(Φ) = M
t
, t ∈ [0, T ]. Hơn nữa với
t = T suy ra V
T
(Φ) = X
0
T
M
T
= h.
Phần còn lại ta sẽ chỉ ra chiến lược Φ là tự tài trợ.
Thực vậy, từ M
t
= M
0
+


t
0
H
s
dX
X
0
s
suy ra
dV
X
0
t
(Φ) = dM
t
= H
t
dX
X
0
t
Suy ra H
t
=
dV
X
0
t
dX
t

Vậy ta có điều phải chứng minh.
Như vậy chiến lược tối ưu đầu tư để đáp ứng quyền phái sinh h là: Φ
s
=
(M
s
− H
s
X
X
0
s
;
dV
X
0
s
dX
X
0
s
)
Xét trong trường hợp rời rạc ta có H =
∆V
X
0
t
∆X
X
0

t
. Điều này sẽ được minh
họa bởi ví dụ mục sau đây.
18
2.1.2 Công thức Black-Scholes về định giá quyền chọn Châu
Âu trong thị trường đầy đủ.
Xét mô hình Black-Scholes đơn giản được cho bởi phương trình vi phân
ngẫu nhiên tuyến tính sau:
dX
t
= µX
t
dt + σX
t
dB
t
,
với µ , σ là những hằng số và B là chuyển động Brown hình học.
Giá chứng khoán X
t
tuân theo mô hình Black-Scholes như trên là một
trường hợp của thị trường đầy đủ. Gọi V
0
là giá của quyền chọn vào thời
điểm t=0. Ta có công thức Black-Scholes để định giá của một hợp đồng
quyền chọn như sau :
V
0
= X
0

N(d
1
) −Se
−rT
N(d
2
),
d
1
=
1
σ
√
T

ln
X
0
S
+ (r +
σ
2
2
)T

,
d
2
= d
1

− σ
√
T .
Sau đây ta sẽ đi xây dựng công thức trên.
Thật vậy, ta có V
0
được tính theo công thức
V
0
= e
−rT
E[(X
T
− S)
+
].
trong đó X
T
là giá chứng khoán tại thời điểm đáo hạn T và S là giá thực
thi hợp đồng tại thời điểm T. Nếu X
T
≥ S thì lợi nhuận là X
T
− S ≥ 0
nhà đầu tư sẽ mua quyền chọn với giá thực thi S. Nếu X
T
< S thì nhà đầu
tư không cần thực thi hợp đồng vì không bắt buộc phải mua. Lợi nhuận
sẽ là :
(X

T
− S)
+
=

X
T
− S nếu X
T
− S ≥ 0,
0 nếu X
T
− S < 0 ,
Ta tính giá trị trung bình của nó bởi kì vọng toán E[(X
T
− S)
+
] giá
cả trên thị trường thường thay đổi theo một hệ số là hàm mũ e
γt
của thời
19
gian, nhà đầu tư xem rằng giá Quyền Chọn Mua có thể bị chiết khấu với
tốc độ r nên giá trị thực sự của Quyền Chọn Mua thời điểm hiện tại t =
0 là :
V
0
= e
−rT
E[(X

T
− S)
+
].
Giả sử giá chứng khoán X
t
tuân theo mô hình Black-Scholes, do đó giá
trị X
T
là giá trị của một chuyển động Brown hình học
X
T
= X
0
exp

σB
T
+ (r −
σ
2
2
)T

.
Vì B
T
là một biến ngẫu nhiên với kỳ vọng 0 và phương sai T nên ta có
thể đặt B
T

=
√
T Z trong đó Z là biến ngẫu nhiên chuẩn N(0, 1) khi đó
X
T
sẽ viết thành
X
T
= X
0
exp

σB
T
+ (r −
σ
2
2
)T

.
Suy ra
V
0
= e
−rT
E

X
0

exp

σ
√
T Z + (r −
σ
2
2
)T ) −S

+
.
Do đó
V
0
=
e
−rT
√
2π

∞
−∞

X
0
e
σ
√
T x+((r−

σ
2
2
)T
− S

+
e
−
x
2
2
dx.
Ta xác định x để
X
0
exp
σ
√
T x+(r−
σ
2
2
)T
− S = 0.
Ta rút ra
x = a =
ln(
S
X

0
) −(r −
σ
2
2
)T
σ
√
T
.
Do đó
V
0
=
e
−rT
√
2π

∞
a

X
0
e
σ
√
T x+((r−
σ
2

2
)T
− S)

+
e
−
x
2
2
dx.
Từ đó ta có
V
0
= X
0
Φ(−(a −σ
√
T )) −Se
−rT
Φ(−a).
20
Đặt d
2
= −a và d
1
= −a + σ
√
T thì
d

1
=
1
σ
√
T

ln(
X
0
S
) + (r +
σ
2
2
)T

và d
2
= d
1
− σ
√
T .
Ta có
V
0
= X
0
Φ(d

1
) −e
−rT
Φ(d
2
).
Đây là công thức Black-Scholes để định giá V
0
Quyền Chọn Mua kiểu
châu Âu tại thời điểm 0 trên cơ sở giá cổ phiếu X
t
tuân theo mô hình
Black-Scholes.
Nếu thời điểm đáo hạn là T, còn thời điểm ban đầu là t thì giá chứng
khoán ban đầu sẽ là X
t
còn khoảng thời gian từ lúc đầu đến lúc đáo hạn
sẽ là T − t khi đó công thức Black-Scholes sẽ là
V
t
= X
t
Φ(d
1
) −Se
−r(T −t)
Φ(d
2
).
d

1
=
1
σ

(T −t)

ln(
X
t
S
) + (r +
σ
2
2
)(T −t)

và d
2
= d
1
− σ

(T −t).
Giá của một Quyền Chọn Mua châu Âu có liên hệ với giá của một
Quyền Chọn Bán châu Âu. Giả sử ta mua một cổ phiếu với giá X
t
và bán
một Quyền Chọn Mua với giá C
t

(thời hạn và giá thực thi là tùy ý) Quyền
Chọn Mua. Lo rằng giá cổ phiếu có thể bị sụt giảm ta mua một Quyền
Chọn Bán với giá P
t
với cùng một thời hạn và giá thực thi như Quyền
Chọn Mua. Như vậy giá của vị thế ngày hôm nay là: X
t
+ P
t
− C
t
.
Gọi giá thực thi chung của Quyền Bán và Quyền Mua là S. Khi đó giá
của vị thế vào ngày đáo hạn sẽ như thế nào?
Nếu X
t
≥ S thì giá đó bằng S. Ta đem giao cổ phiếu cho người mua
còn Quyền Bán không có giá trị.
Nếu X
t
< S thì giá đó cũng vẫn bằng S. Ta đem giao cố phiếu cho
người bán Quyền Bán còn quyền mua thì không có giá trị.
Vậy dù xảy ra tình huống nào thì giá của vị thế của ta là như nhau và
bằng S. Vì ta ở vào một vị thế tất định, nên suy ra:
(X
t
+ P
t
− C
t

)e
rτ
= S
21
trong đó r là lãi xuất không rủi ro ; τ = T −t. Nếu chọn t = 0 thì τ = T
do đó
C
t
− P
t
= X
t
− e
−rτ
S
gọi là hệ thức cặp đôi Mua-Bán.
Ta có P
t
= C
t
− X
t
+ e
−rτ
S
Tính C bằng công thức Black-Scholes ta được
P
t
= X
t

Φ(d
1
) −e
−rτ
SΦ(d
2
) −X
t
+ e
−rτ
S.
Vì Φ(d
1
) + Φ(−d
1
) = 1 và Φ(d
2
) + Φ(−d
2
) = 1 nên ta có
P
t
= −X
t
Φ(−d
1
) + e
−rτ
SΦ(−d
2

).
Là công thức Black-Scholes với Quyền Chọn Bán.
Sau đây ta sẽ minh họa việc bảo hộ tài sản phái sinh bởi một chiến lược
đầu tư vào cổ phiếu:
Giá cổ phiếu của công ty cổ phần nhựa và môi trường xanh An Phát có mã
là AAA trong sàn giao dịch HOSE từ ngày 15/7/2010 đến ngày 24/9/2010
như sau:
48.7 46.5 46.3 45.2 45.1 45.1 46 45.1 46.1 45
49 50.5 48.8 49.2 50 48 49 47 45.1 44.4
42 44.5 46.7 47.2 44.5 47.7 50.3 53.3 56.8 55.8
58.5 62.4 70.8 75.6 80 83.2 89 85 91 90.3
91.7 91 91.8 91.4 90.4 84.4 78.7 73.2 68.1 63.4
Ta cần bảo hộ cho 1000 quyền mua cổ phiếu của công ty này với giá thực
thi là 48.7 vào ngày đáo hạn là 24/9/2010. Giả sử giá cổ phiếu của AAA
là thỏa mãn thị trường đầy đủ, tuân theo mô hình Black-Scholes đơn giản.
Ta ước lượng các tham số của phương trình Black-Scholes theo công thức
:
Trung bình mẫu
ˆ
U =
1
n

n
i=1
(ln(x
i+1
) −lnx
i
), U

i
= ln(x
i+1
) −lnx
i
.
Phương sai mẫu S
2
=
1
n−1

n
i=1
(U
i
−
ˆ
U)
2
.
Ta có σ =
S
√
∆t
.
Ta giả sử σ không đổi là một hằng số. Số liệu được xử lí trong bảng sau:
22
Chương 3
Định giá và bảo hộ trong thị trường

không đầy đủ
3.1 Bài toán bảo hộ quyền phái sinh theo nghĩa cực
tiểu bình phương trung bình
Trong chương 2 ta đã chỉ ra trong thị trường đầy đủ thì mọi tài sản
phái sinh đều được đáp ứng bởi một chiến lược đầu tư duy nhất. Tuy nhiên
trong thị trường không đầy đủ thì nói chung các quyền phái sinh không
được đáp ứng một cách chính xác mà chỉ được xấp xỉ bởi việc dùng chiến
lược đầu tư đáp ứng theo nghĩa bình phương trung bình nhỏ nhất. Trong
chương này sẽ đi nghiên cứu về chiến lược đầu tư đó.
Trước hết chúng ta làm rõ hơn về nghĩa của bảo hộ bình phương trung
bình. Cho X là quá trình ngẫu nhiên liên tục mô tả giá chiết khấu của một
cổ phiếu trong thị trường tài chính với điều kiện không có độ chênh thị
giá. X phải là nửa martingale, giả sử nó có dạng X = X
0
+ M +

dM
ˆ
λ
với quá trình khả đoán
ˆ
λ và chúng ta gọi
ˆ
K :=

ˆ
λ
tr
dM
ˆ

λ là quá trình
cân bằng bình phương trung bình của X. Nếu martingale địa phương
ˆ
Z := E(−

ˆ
λdM) là dương thực sự (điều này là hiển nhiên với X liên
tục) và là một martingale chính qui thì đặt
d
ˆ
P
dP
:=
ˆ
Z
T
xác định một độ đo
xác suất
ˆ
P tương đương với P được gọi là độ đo martingale nhỏ nhất của
X. Độ đo này sẽ đóng một vai trò rất quan trọng trong phần chứng minh.
Quyền phái sinh là một biến ngẫu nhiên H bình phương khả tích F
T
đo
23