Biến đổi tích phân fourier trong các không gian Schwartz L1(Rn) và L2(Rn) và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
- - - - - - - - - - - - - - - - - -
NGUYỆN VĂN MẠNH
BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN
FOURIER TRONG CÁC KHÔNG GIAN
SCHWARTZ, L
1
(R
n
) VÀ L
2
(R
n
) VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60460102
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. NGUYỄN MINH TUẤN
HÀ NỘI - Năm 2013
Mục lục
MỞ ĐẦU 3
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU 5
1 BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂ N FOURIER 6
1.1 Các không gian cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1 Không gian R
n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2 Không gian L
p

(R
n
) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3 Không gian Schwartz S(R
n
) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Biến đổi tích phân Fourier trong không gian Schwartz . . . . . . . 7
1.3 Biến đổi tích phân Fourier trong không gian L
1
(R) . . . . . . . . . 10
1.3.1 Định nghĩa, một vài tính chất đơn giản và ví dụ . . . . . . 10
1.3.2 Bổ đề Riemann - Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.3 Đạo hàm của một hàm và biến đổi tích phân Fourier c ủa nó 14
1.3.4 Công thức nghịch đả o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.5 Chập của hai hà m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.6 Tính duy nhất của biến đổi tích phân Fourier . . . . . . . 21
1.3.7 Định lý khả tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.8 Khả tích Abel và khả tích Gauss . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3.9 Một vài ứng d ụng của định lý khả tích . . . . . . . . . . . . 28
1.3.10 Tính liên tục theo chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.3.11 Tính khả tích theo chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.3.12 Đạo hàm của một hàm và biến đổi tích phân Fourier chúng 33
1.4 Biến đổi tích phân Fourier trong không gian L
1
(R
n
) . . . . . . . . 37
1.4.1 Bổ đề Riemann - Lebesgue , chập của hai hàm . . . . . . . 37
1.4.2 Định lý về tính duy nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.4.3 Công thức khả tích Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.4.4 Định lý khả tích Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.4.5 Ứng dụng của định lý khả tích, công thức nghịch đả o . . . 43
1.4.6 Chuẩn, tính liên tục, đẳng thức Parseval . . . . . . . . . . 44
1.5 Biến đổi tích phân Fourier trong không gian L
2
. . . . . . . . . . . 44
1.5.1 Phép biến đổi trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . 44
1.5.2 Định lý Plancherel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 5
1
1.5.3 Tổng quát về tính khả tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1.5.4 Biến đổi tích phân Fourier trong L
2
(R
n
) . . . . . . . . . . . 54
1.5.5 Đạo hàm của một hàm và biến đổi tích phân Fourier của
chúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2 ỨNG DỤNG BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN FOURIER ĐỂ GIẢI
CÁC PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG 65
2.1 Bài toán Dirichlet trong nửa mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.2 Bài toán Neumann trong nửa mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . 68
2.3 Bài toán Cauchy với phươ ng trình khuếch tán . . . . . . . . . . . . 69
2.4 Bài toán Cauchy với phươ ng trình sóng . . . . . . . . . . . . . . . 74
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2
MỞ ĐẦU
Lý thuyết biến đổi tích phân Fourier đ ã và đang được ứng dụng mạnh mẽ
trong Toán học h iện đại, Vật lý, Cơ học, và nhiều lĩnh vực công nghệ, kỹ thuật
khác. Đặc biệt là áp dụng biến đổi tích phân Fourier để giải phươn g trình đạo

hàm riêng nói chung và bài toán giá trị b a n đ ầ u hay bài toán biên nói riêng là
một trong những ứng d ụng thú vị đã được nhiều nhà khoa học quan tâm. Vì
vậy, biến đổi tích phân Fourier đã đ ược các nhà khoa học ngh iên cứu rất nhiều,
các kết quả về lĩnh vực này vô cùng phong phú và đa d ạ ng.
Luận văn trình bày các kiến thức cơ bản về biến đổi tích phân Fourier và
ứng dụng để giải các phương trình đạo hàm riêng. Nội dung của luận văn gồm
hai chương.
1. Biến đổi tích phân Fourier
Giới thiệu phép biến đổi tích phân Fourier trong các không gian Schwartz,
L
1
(R
n
) và L
2
(R
n
).
2. Ứng dụng biến đổi tích phân Fourier để giải các phương tr ình đạo
hàm riêng
Chương này đề cập đến phương pháp sử dụng phép biến đổi tích phân
Fourier để tìm nghiệm của bài toán b iên và bài toán giá trị bạn đầu củ a
phương trình đạo hàm riêng.
Luận văn được hoàn thà nh dưới sự h ướng dẫn kh o a học củ a PGS.TS. Nguyễn
Minh Tuấn, Trường Đạ i học Giáo dục, Đại học Quốc gia Hà Nội, người đã tận
tình hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình hoàn thành luận văn này. Tác giả
xin bày tỏ lòng biết ơn sâu s ắ c đến Thầy, thông qua luận văn tác giả cũng xin
gửi lời cảm ơn chân th à nh đến các thầy cô trong hội đồng phản biện đã đ ọc và
đưa ra những ý kiến quý báu giúp bản luận vă n hoàn thiện hơn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng sau Đại học, Khoa

Toán - Cơ - Tin học Trường Đạ i học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia
Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong s uốt quá trình học tập tại
3
trường.
Tác giả chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Hành chính tổ chức, Khoa
Khoa học cơ bản trường Cao đẳng Thủy sản và gia đình đã luôn độ ng viên, giúp
đỡ, tạo điều kiện thuận lợi nhất cho tác giả trong suốt khóa học.
Do năng lực, kinh nghiệm và th ời gian còn nhiều hạn chế nên luận văn chắc
chắn không tránh khỏi những th iếu sót ngoài ý muốn của tác giả. Vì vậy, tác
giả rất mong nhận được nhiều những ý kiến đóng góp của thầy cô, bạn bè và
đồng n g hiệp đ ể bản luận văn được hoàn thiện hơn cả về nội du ng và hình thức.
Tác giả xin chân thà nh cảm ơn!
Hà Nội, ngày 28 tháng 10 năm 20 13
Tác giả
Nguyễn Văn Mạnh
4
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU
1. R là tập các số thực.
2. C là tập số các số phức.
3. Z
+
= {0, 1, 2, } là tập các số nguyên không âm.
4. Z
n
+
= {(α
1
, α
2
, , α

n
)|α
j
∈ Z
+
, j = 1, , n}.
5. (α
1
, α
2
, , α
n
), α
j
∈ Z
+
, j = 1, , n là đa chỉ s ố .
6. |α| = α
1
+ α
2
+ + α
n
.
7. (β
1
, β
2
, , β
n

), α ≤ β ↔ α
j
≤ β
j
, với mọi j.
8. x
α
= x
α
1
1
x
α
2
2
x
α
n
n
.
9. D
j
=
∂
∂x
j
là toán tử lấy đạo hàm riêng theo x
j
.
10. D = (D

1
, D
2
, , D
n
).
11. D
α
= D
α
1
1
D
α
2
2
D
α
n
n
.
12. D
α
j
j
=
∂
α
j
∂x

α
j
j
.
13. C
k
(R
n
) = {u : R
n
→ C|u khả vi liên tục cấp k}
14. C
∞
(R
n
) =

∞
k=1
C
k
(R
n
)
15. Γ(t) =
+∞

0
x
t−1

e
−x
dx là hàm Gamma.
5
Chương 1
BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN
FOURIER
1.1 Các không gian cơ sở
1.1.1 Không gian R
n
Không gian Euclide R
n
là không gian véc tơ trên trường số thực mà mỗi phần
tử của nó đều có dạng x = (x
1
, x
2
, . . ., x
n
). Tích vô hướng của hai phần tử x và
y, x, y ∈ R
n
là một số được xá c định bởi (x, y) =
n

j=1
x
j
y
j

. Chuẩn của x trong R
n
được xác định bởi
||x|| =




n

j=1
|x
j
|
2
.
Chuẩn này gọi là chuẩn Eu c lide.
1.1.2 Không gian L
p
(R
n
)
Không gian L
p
(R
n
), (1 ≤ p ≤ +∞) là tập hợp tất cả các hàm số xác định và
đo đư ợc trên R
n
, s a o cho


R
n
|f(x)|
p
dx < +∞. (1.1)
Trong L
p
(R
n
) hai hàm được gọi là đồng nhất với nhau nếu chúng bằng nhau
hầu khắp nơi, do đó các phần tử của L
p
(R
n
) là lớp tương đương các hàm đo
được thỏa mãn (1.1), hai hàm tương đương nếu chúng b ằ ng nhau hầu khắp nơi
trên L
p
(R
n
) và f ∈ L
p
(R
n
), f = 0 nếu f(x) = 0 hầu khắp nơ i trên R
n
. Khi đó
L
p

(R
n
) là kh ô ng gian véc tơ với phép cộng hai hàm số và nhân một số với hàm
6
số. Chuẩn tron g L
p
(R
n
) được định nghĩa như sau
||f(x)|| =



R
n
|f(x)|
p
dx


1
p
. (1.2)
Khi đó L
p
(R
n
) với chuẩn (1.2) là không gian định chuẩn đầy đủ (Banach).
1.1.3 Không gian Schwartz S(R
n

)
Không gian các hàm giảm nhanh S(R
n
) là tập hợp
S(R
n
) =

ϕ ∈ C
∞
(R
n
)|


x
α
D
β
ϕ(x)


< c
αβ
, ∀x ∈ R
n
, α, β ∈ Z
n
+


,
với kh ái niệm hội tụ đư ợc định nghĩa như sau.
Dãy {ϕ
k
}
∞
k=1
trong S(R
n
) được gọi là hội tụ đến ϕ trong S(R
n
) nếu
lim
k→∞
sup
x∈R
n


x
α
D
β
ϕ
k
(x) − x
α
D
β
ϕ(x)



= 0, ∀α, β ∈ Z
n
+
.
Khi đó ta viết lim
k→∞
ϕ
k
= ϕ. Dãy {ϕ
k
}
∞
k=1
trong S(R
n
) được gọi là dãy Cauchy
trong S(R
n
) nếu một trong hai điều kiện sau đây xảy ra.
1.
lim
k→∞
l→∞
sup
x∈R
n

1 + ||x||

2

m


D
β
ϕ
k
(x) − D
β
ϕ
l
(x)


= 0, ∀β ∈ Z
n
+
.
2.
lim
k→∞
l→∞
sup
x∈R
n

1 + ||x||
2


m

|β|≤m


D
β
ϕ
k
(x) − D
β
ϕ
l
(x)


= 0.
1.2 Biến đổi tích phân Four ier trong không gian Schwartz
Định nghĩa 1.1. Biến đổi tích phân Fourier Ff (ξ) hay

f(ξ) của hàm f(x) ∈
S(R
n
) được xác định bởi
Ff(ξ) ≡

f(ξ) :=

R

n
e
i(x,ξ)
f(x)dx, ξ ∈ R
n
.
Nhận xét. Tích phân này là xác định vì
|

f(ξ)| ≤ c
m

R
n
(1 + |x|)
−m
dx < +∞, với m > n.
Tiếp theo ta sẽ chứng minh các tính chất sau của biến đổi Fourier.
7
1. Ff ∈ S(R
n
).
2. D
β

f(ξ) = (i)
|β|
F(x
β
f(x)), ξ

α

f(ξ) = (i)
|α|
F (D
α
f(x)) (ξ), với α, β ∈ Z
n
+
.
Thật vậy, ta có
D
β
ξ

f(ξ) =

R
n
(ix)
β
e
i(x,ξ)
f(x)dx = (i)
|β|
F(x
β
f(x))(ξ),
do e
i(x,ξ)

x
β
f(x) có tích phân trên R
n
hội tụ đều theo ξ. Do đó Ff ∈ C
∞
(R
n
).
Mặt khác, bằng phép tính tích phân từ ng phần ta có
ξ
α

f(ξ) =

R
n
(−iD
x
)
α
e
i(x,ξ)
f(x)dx =

R
n
e
i(x,ξ)
(iD

x
)
α
f(x)dx
= (i)
|α|
F(D
α
x
f(x))(ξ).
Như vậy, với mỗi α, β ∈ Z
n
+
ta có
ξ
β
D
α
ξ
(Ff)(ξ) =

R
n
e
i(x,ξ)
(iD
x
)
β
((ix)

α
f(x))dx.
Vì vậy
sup
ξ∈R
n


ξ
β
D
α
ξ
(Ff)(ξ)


≤ sup
x∈R
n


D
β
x
((x)
α
)f(x))


(1 + ||x||)

n+1

R
n
1
(1 + ||x||)
n+1
dx
≤ C sup
x∈R
n
(1 + ||x||
2
)
n+1+|α|

γ≤β
|D
γ
f(x)|.
Từ đó, ta có Ff ∈ S(R
n
), và biến đổi tích phân Fourier là ánh xạ tuyến tính liên
tục trên S(R
n
).
Ví dụ 1.1. Tìm biến đổi Fourier của hàm f (x) = e
−
1
2

||x||
2
.
Lời giải. Theo định ng hĩa ta có

f(ξ) =

R
n
e
i(x,ξ)−
1
2
||x||
2
dx
= e
−
1
2
||ξ||
2

R
n
e
−
1
2
(||x||

2
−2i(x,ξ)−||ξ||
2
)
dx
= e
−
1
2
||ξ||
2
n

j=1
+∞

−∞
e
−
1
2
(t−iξ
j
)
2
dt.
Để tính được tích phân cuối c ùng ta xét hàm f(z) = e
−
z
2

2
của biến phức z và
miền xác định D
R
như Hình 1.1. Ta xét hướng dương đi vòng quanh biên ∂D
R
.
8
Vì f(z) là hàm chỉnh hình trong miền xác định này n ên theo Đ ịnh lý Cauchy ta
có

∂D
R
e
−
z
2
2
dz = 0.
Nhưng

∂D
R
e
−
z
2
2
dz =
R


−R
e
−
t
2
2
dt + i
ξ
j

0
e
−
1
2
(R+iτ )
2
dτ +
−R

R
e
−
1
2
(t+iξ
j
)
2

dt + i
0

ξ
j
e
−
1
2
(−R+iτ )
2
dτ.
Nếu R → +∞, thì
ξ
j

0
e
−
1
2
(±R+iτ )
2
dτ → 0.
t
−R
R
D
R
Hình 1.1

Do đó
+∞

−∞
e
−
1
2
(t+iξ
j
)
2
dt =
+∞

−∞
e
−
t
2
2
dt, j = 1, , n.
Sử dụng Định lý Fubini và hệ tọa độ cực ta có thể tính tích phân cuối cùng như
sau


+∞

−∞
e

−
t
2
2
dt


2
=

R
2
e
−
1
2
(t
2
+s
2
)
dtds =
2π

0
dθ
+∞

0
e

−
r
2
2
rdr
= 2π
+∞

0
e
−m
dm = 2π.
Vì vậy ta có
+∞

−∞
e
−
1
2
(t+iξ
j
)
2
dt =
√
2π,
9
và
F(e

−
||x||
2
2
) = e
−
1
2
||ξ||
2
n

j=1
√
2π = (2π)
n
2
e
−
1
2
||ξ||
2
.
1.3 Biến đổi tích phân Four ier trong không gian L
1
(R)
1.3.1 Định nghĩa, một vài t ính chất đơn giản và ví dụ
Định nghĩa 1.2. Biến đổi tích phân Fourier Ff(α) hay


f(α) của hàm f(x)
được xác định bởi
Ff(α) ≡

f(α) :=

R
e
iαx
f(x)dx,
trong đó α là một số thực. Lớp hàm đơn giản nhất ta có thể làm quen là lớp
hàm Lebesgue trên L
1
(R).
Nếu f(x) ∈ L
1
(R) thì

f(α) là tồn tại với mọi α. Chúng ta sẽ đưa ra chi tiết
một vài tính chất của

f(α).
1.

f(α) là bị chặn, vì |

f(α)| ≤ ||f|| =

R
|f(x)|dx.

2.

f(α) là liên tục đều trong −∞ < α < +∞. Nếu y > 0, thì ta có.
|

f(α + y) −

f(α)| =







R
f(x)e
iαx
(e
iyx
− 1)dx






≤

R

|f(x)|.|e
iyx
− 1|dx ≤

R
|f(x)|.2|sin
xy
2
|dx
≤ 2


−R

−∞
+
+∞

R


|f(x)|dx + yR
R

−R
|f(x)|dx.
Cho ε > 0, ta có thể chọn R đủ lớn và sau đó y đủ nhỏ sao cho biểu diễn
cuối cộng lại nhỏ hơn ε.
3. Nếu c
1

và c
2
là những số thực và F là toán tử tác đ ộ ng lên f vào trong

f,
thì ta có
F(c
1
f
1
+ c
2
f
2
) = c
1
.Ff
1
+ c
2
.Ff
2
,
và
F[f(Rx)] =
1
R

f(
α

R
), F[
f(x)] =

f(−α),
ở đó
() là biểu thị của số phức liên hợp.
10
4. Nếu dãy hàm f
n
(x) → f(x) theo chuẩn trong L
1
, thì dãy các biến đổi tích
phân Fourier của chúng

f
n
(α) →

f(α) đều trong −∞ < α < +∞.
5. Nếu
Ff
1
=

f
1
, Ff
2
=


f
2
,
thì

R

f
1
(y)f
2
(y)dy =

R

f
2
(y)f
1
(y)dy.
Do

R

f
1
(y)f
2
(y)dy =


R
f
2
(y)



R
e
iyx
f
1
(x)dx


dy,
và

R

R
|f
1
(x)|.|f
2
(y)|dxdy =

R
|f

1
(x)|dx.

R
|f
2
(y)|dy < ∞,
áp dụ ng Định lý Fubini biểu thức này b ằ ng với

R

R
e
iyx
f
1
(x)f
2
(y)dxdy. (1.3)
Tuy nhiên, tích phân hai lớp (1.3) là đối xứng với f
1
(x), f
2
(x), từ đó ta có

R

f
1
(y)f

2
(y)dy =

R

f
2
(y)f
1
(y)dy.
Ví dụ 1.2. Tính biến đổi Fourier của hàm f(x) = e
−|x|
, x ∈ R có đồ thị như
Hình 1.2.
y
x
1
0
Hình 1.2
11
Lời giải. Ta có f ∈ L
1
(R), và

f(α) =

R
e
iαx
e

−|x|
dx =
0

−∞
e
(1+iα)x
dx +
+∞

0
e
(iα−1)x
dx
=
1
1 + iα
+
1
1 − iα
=
2
1 + α
2
.
Rõ ràng

f(α) ∈ L
1
(R). Đồ thị của


f n hư Hình 1.3.
y
α
2
0
Hình 1.3
Ví dụ 1.3. Tính biến đổi Fourier củ a hàm
f(x) =

0 nếu x ≤ 0,
e
−x
nếu x > 0.
Lời giải. Ta có f ∈ L
1
(R), và

f(α) =

R
e
iαx
f(x)dx =
+∞

0
e
(iα−1)x
dx =

1
1 − iα
.
Ta thấy

f(α) /∈ L
1
(R).
1.3.2 Bổ đề Riemann - Lebesgue
Định lý 1.1. Nếu f (x) ∈ L
1
(R), thì lim
α→∞

f(α) = 0.
Định lý này luôn được biết đến như là Bổ đề Riemann - Lebesgue.
Chứng minh. Ta ký hiệu
I : a ≤ x < b.
Xét hàm
w
I
(x) =

1 nếu x ∈ I,
0 nếu x /∈ I.
12
Ta có
w
I
(α) =

b

a
e
iαx
dx =
e
iαb
− e
iαa
iα
.
Vì vậy


w
I
(α)


≤
2
|α|
.
Kết quả này cố đ ịnh với mỗi hàm bậc thang f(x) hà m mà là hằ ng số trên một
khoảng hữu hạn (bị chặn) và triệt tiêu ngoài k hoảng đó , trên phép toán của tính
chất 3 mục 1.3.1. Các hàm bậc than g này là trù mật trong không gian L
1
(R),
điều này c ó nghĩa là, với mỗi ε > 0, tồn tại một hàm bậc thang f

ε
thỏa mãn
||f − f
ε
|| < ε.
Bây giờ ta có,

f(α) =

(f − f
ε
)(α) +

f
ε
(α),
và
|

f(α)| ≤ |

(f − f
ε
)(α)| + |

f
ε
(α)| ≤ ε + |

f

ε
(α)|.
Do đó
lim
|α|→∞
|

f(α)| ≤ ε + lim
|α|→∞
|

f
ε
(α)|.
Biểu thức thứ hai ở vế phải bằng không với mỗi hàm bậc thang f
ε
, nên
lim
|α|→∞
|

f(α)| ≤ ε.
Cho ε → 0, ta đ ược
lim
α→∞

f(α) = 0.
Chú ý. Nếu f(x) /∈ L
1
(R), thì có thể tồn tại


f(α) nhưng lim
α→∞

f(α)  0.
Ví dụ 1.4. Cho f(x) =
1
π
sin λx
x
/∈ L
1
(R), λ > 0. Khi đó ta có

f(α) =
1
π

R
e
iαx
sin λx
x
dx =
1
π
0

−∞
e

iαx
sin λx
x
dx +
1
π
+∞

0
e
iαx
sin λx
x
dx
=
1
π
+∞

0
(e
iαx
+ e
−iαx
)
sin λx
x
dx =
1
π

+∞

0
2 cos αx sin λx
x
dx
=
1
π
+∞

0
sin(λ + α)x
x
dx +
1
π
+∞

0
sin(λ − α) x
x
dx.
13
Mặt khác ta có
I =
+∞

0
sin λx

x
dx =
π
2
, (λ > 0).
Từ đó ta có
• Nếu α = ±λ, thì

f(α) =
1
π
• Nếu α > λ hoặc α < −λ, thì

f(α) = 0
• Nếu α ∈ (−λ, λ), thì

f(α) = 1
1.3.3 Đạo hàm của một hàm và biến đổi tích phân Fourier của nó
Mục đích của ta là sẽ chứng minh rằng nếu

f(α) =

R
e
iαx
f(x)dx,
thì
f(x) ∼
1
2π


R
e
−iαx

f(α)dα.
Nhưng trước khi chứng minh, ta có chú ý rằng.
1. Nếu f(x) có biến đổi tích phân Fourier

f(α), thì f(x)e
ixh
có biến đổi tích
phân Fourier

f(α + h) .
2. Nếu f (x) có biến đổi tích phân Fourier

f(α), thì f(x + h) có biến đổi tích
phân Fourier

f(α)e
−ixh
.
Hai tính chất trên chứng tỏ đã biết tính chất của nghịch đảo, từ đó ta kết
luận.
3. F[f(x).
e
ixh
− 1
h

] =

f(α + h) −

f(α)
h
, và
4. F[
f(x + h) −f(x)
h
] =

f(α)
e
−ixh
− 1
h
.
Cho h → 0 trong (3) và (4) ta nhậ n được một cách hình thức,
5. F[f(x).ix] =

f
′
(α),
6. F[f
′
(x)] = −iα

f(α).
Bây giờ ta sẽ xây dựng (5) và (6) dự a trên cơ sở chặt chẽ.

14
Định lý 1.2. (i) Nếu f(x) ∈ L
1
, và p(x) = ixf(x) ∈ L
1
, thì

f
′
(α) tồn tại, và
p(α) =

f
′
(α).
(ii) Nếu f(x) ∈ L
1
, g(x) = f
′
(x) ∈ L
1
, thì g(α) = −iα

f(α), ngoài ra
f(x) = −
+∞

x
f
′

(x)dx.
Chứng minh.(i) Chúng ta có

f(α + h) −

f(α)
h
= F[f (x).
e
ixh
− 1
h
] = F[f
h
(x)].
Bây g iờ, f
h
(x) → ixf(x) theo chuẩn trong L
1
, bởi vì f
h
(x) → ixf(x) tại mọi điểm
x, và
|f
h
(x)| ≤ |f(x)|





e
ixh
− 1
h




≤ |x|.|f (x)| ∈ L
1
.
Áp dụn g tính chất 4 trong mục 1.3.1, ta được
F[f
h
(x)] → F[ixf(x)] đều, khi h → 0.
Do đó, tại mọi điểm α, tồn tại đạo hàm

f
′
(α) theo hướ ng thông thường , và
p(α) =

f
′
(α).
(ii) Nghĩa chính xác của giả th iết là tồn tại một hàm g(x) ∈ L
1
hàm mà có thể
chọn để ký h iệu bởi f
′

(x) và một tích phân xác định của nó
f(x) =
x

g(y)dy,
sao cho
f(x) ∈ L
1
(R).
Bây giờ,
f(A) − f(a) =
A

a
g(x)dx,
nếu ta g iữ a cố định và cho A → +∞, vì g(x) ∈ L
1
, ta có
A

a
g(x)dx → c.
15
Do đó, f(A) → l, tương tự f(−A) → −m. Vì f(x) ∈ L
1
(R) ta phải có l = −m = 0,
và điều này trước hết chứng minh đư ợc
f(x) = −
+∞


x
f
′
(x)dx.
Bây giờ, nếu F[f
′
(x)] = g( α), th ì
g(α) = lim
A→+∞
A

−A
e
iαx
df (x)
= lim
A→+∞


e
iαx
f(x)


A
−A
− iα
A

−A

e
iαx
f(x)dx


.
Nhưng các giới hạn tại biên triệt tiêu bởi vì, l = −m = 0. Do đó
g(α) = −iα

f(α).
Nhận xét. Có một định lý mạnh hơn bắt đầu rằng nếu f(x) ∈ L
1
, và f
(r)
(x) ∈ L
1
,
thì f
(1)
(x), , f
(r−1)
(x) ∈ L
1
. Chúng ta sẽ nói rõ hơn định lý này ở phần sau.
1.3.4 Công thức nghịch đảo
Chúng ta mong muốn đưa ra một vài điều kiện đơn giản sao cho với điều
kiện ấy thì,
f(x) =
1
2π


R
e
−iαx

f(α)dα,
tại điểm x cho trước, giả thiết rằng f(x) ∈ L
1
(R).
Cho
S
R
(x) =
1
2π
+R

−R
e
−iαx

f(α)dα =
1
2π
+R

−R


+∞


−∞
f(u)e
iαu
du


e
−iαx
dα
=
1
2π
+∞

−∞
+R

−R
f(u)e
iα(u−x)
dαdu =
1
2π
+∞

−∞
f(u)
e
iα(u−x)

i(u − x)




α=R
α=−R
du
=
1
π
+∞

−∞
f(u)
sin R(u − x)
u − x
du =
1
π
+∞

−∞
f(x + t)
sin Rt
t
dt
=
2
π

+∞

0
sin Rt
t
.
f(x + t) + f(x − t)
2
dt.
16
Đặt
g
x
(t) :=
f(x + t) + f(x − t)
2
− f(x).
Thì
S
R
(x) − f(x) =
2
π
+∞

0
sin Rt
t
g
x

(t)dt.
Định lý 1.3. Nếu
δ

0




g
x
(t)
t




dt < ∞,
thì
lim
R→∞
S
R
(x) = f(x).
Chứng minh. Cho δ > 0 cố định. Ta có
S
R
(x) − f(x) =
2
π



δ

0
+
+∞

δ


g
x
(t)
t
sin Rtdt
= I
1
+ I
2
.
Ta có, I
2
= 0 bởi Bổ đề Riemann - Lebesgue, và do
g
x
(t)
t
khả tích tuyệt đối trong
(o, δ), từ đó suy ra rằng I

1
= ε(δ) → 0, khi δ → 0.
Nhận xét. Định lý 1.3 chỉ ra rằng n ếu f(x) ∈ L
1
(R), thì sự hội tụ của S
R
(x) tới
f(x) tại một điểm chỉ phụ thuộc vào dáng điệu củ a f(x) trong lân cận của điểm
đó. Điều này là địa phương hóa của Định lý Riemann.
Ví dụ 1.5. Cho f(t) = e
−|t|
, ta có

f(α) =
2
1 + α
2
(Ví dụ 1.2.).
Vì f là trơn từng k húc nên suy ra
e
−|t|
=
1
π
lim
R→∞
R

−R
e

−iαt
1 + α
2
dα.
Trong trường hợp này

f là khả tích tuyệt đối, và ta có th ể viết đơ n giản
e
−|t|
=
1
π
+∞

−∞
e
−iαt
1 + α
2
dα.
Chúng ta có thể chuyển ký tự trong công thức này −t và α đượ c thay đổi với
dấu - lẫn nhau, và khi đó ta cũng thay đổi dấu của α, và ta có công thức (sau
17
khi nhân bởi π)
πe
−|α|
=

R
e

iαt
1 + t
2
dt.
Bằng cách này ta có thể tìm biến đổi tích phân Fourier của
1
1 + t
2
, sẽ là khó hơn
để tìm nó bằng c á ch khác


1
1 + t
2

(α) = πe
−|α|
.
1.3.5 Chập của hai hàm
Cho f(x), g(x) ∈ L
1
(R), và cho

f(α), g(α) là các biến đổi tích phân Fourier
tương ứng. Chập của f và g đư ợc xác định bởi
h(x) = f(x) ∗ g(x) :=

R
f(x −y)g(y)dy

=

R
f(y)g(x − y)dy,
ở đó tích phân thứ hai bắt ng uồn từ tích phân thứ nhất nếu cho x cố định, ta
thay thế biến y bở i x − y.
Bây giờ, ta sẽ chứng minh một kết quả được xem như là biến đổi tích phân
Fourier của chập của hai hàm là tích của biến đổi tích phân Fourier của chúng.
Định lý 1.4. Nếu f, g ∈ L
1
(R), thì tích phân xác định h(x) là tồn tại với mọi x,
thuộc L
1
(R), và
||h(x)|| ≤ ||f(x)||.||g(x)||.
Ngoài ra, nếu

h(α) là biến đổi tích phân Fou rier của h(x), thì

h(α) =

f(α).g(α).
Chứng minh. Trước hết ta chú ý rằng, nếu f(x) là đo được theo x, thì f(x −y)
là đo được theo (x, y). Để chỉ ra rằng
h(x) =

R
f(x −t)g(t)dt
tồn tại hầu khắ p nơi, ta chú ý rằng


R
|f(x −t)|.|g(t)|dx = |g(t)|

R
|f(y)|dy
= |g(t)|.||f || ∈ L
1
(R).
18
Vì vậy

R
dt

R
|f(x −t)||g(t)|dx
tồn tại. M ặ t khác bởi Định lý Fubini, su y ra rằng

R
dx

R
f(x −t)g(t)dt
tồn tại, và h(x) tồn tại hầu khắp nơi, và thuộc L
1
(R). Hơn nữa,

h(α) =

R

h(x).e
iαx
dx =
+∞

−∞
dx.e
iαx
+∞

−∞
f(x −y)g(y)dy
=
+∞

−∞
dx
+∞

−∞
f(x −y)e
iα(x−y)
g(y)e
iαy
dy
=
+∞

−∞
g(y)e

iαy
dy
+∞

−∞
f(x)e
iαx
dx
=

f(α).g(α),
điều này được suy ra từ Định lý Fubini với f(x −y)e
iα(x−y)
g(y)e
iαy
tương ứng với
vị trí của f (x − y)g(y) trong Định lý Fubini.
Ví dụ 1.6. Cho f(t) =
1
1 + t
2
, có đồ như Hình 1.4, tìm chập f ∗ f.
y
x
1
0
Hình 1.4
Lời giải. Đặt g = f ∗ f . Việc tính chập một cách trực tiếp là rất vất vả. Thay
cho việc này, ta sử dụng Định lý 1.4. Ta bắt đầu từ th ực tế rằn g


f(α) = πe
−|α|
19
(Ví dụ 1.5.), điều này có nghĩa rằng

R
e
iαt
1 + t
2
dt = πe
−|α|
. (1.4)
Theo Định lý 1.4, ta c ó g(α) =


f(α)

2
= π
2
e
−|2α|
. Bây giờ, trong (1.4) ta thay
α bởi 2α, nhân với π và đổi biến 2t = y, ta có
g(α) = π
2
e
−2|α|
=


R
πe
i2αt
1 + t
2
dt =

R
πe
iyα
1 + (y/2)
2
dy
2
=

R
2πe
iαu
4 + u
2
du.
Từ đó ta thấy rằng g(t) =
2π
4 + t
2
.
Đồ thị của hàm g = f ∗ f như trong Hình 1.5.
y

t
π
2
0
Hình 1.5
Tương tự như vậy ta tìm được hàm h = (f ∗f) ∗f = g ∗f là h(t) =
3π
2
9 + t
2
, có đồ
thị như tron g Hình 1.6.
y
t
π
2
3
0
Hình 1.6
20
1.3.6 Tính duy nhất của biến đổi tích phân Fourier
Định lý 1.5. Nếu f (x) ∈ L
1
(R), và

f(α) = 0 v ới mọi α, thì f (x) = 0 hầu khắp
nơi.
Chứng minh. Cho g
a,ε
(x) là hàm x á c định như sau

g
a,ε
(x) =









1, −a ≤ x ≤ a,
0, x > a + ε, x < −a − ε,
a −x + ε
ε
, a ≤ x ≤ a + ε,
a + x + ε
ε
, −a − ε ≤ x ≤ −a.
Chúng ta có
g
a,ε
(α) = 2
+∞

0
g
a,ε
(x) cos αxdx

= −
2
α
+∞

0
g
′
a,ε
(x) sin αxdx
=
2
αε
a+ε

a
sin xαdx.
Suy ra g
a,ε
(α) = 0

1
α
2

, khi |α| → +∞.
Vì vậy, từ g
a,ε
(α) là liên tục và bị chặn, ta có
g

a,ε
(α) ∈ L
1
(R). (1.5)
Ngoài ra, g
a,ε
(x) thỏa mãn các điều kiện của Định lý 1.3 tại mọi điểm −∞ < x <
+∞. Do đó theo Định lý này ta có
g
a,ε
(x) =
1
2π

R
e
−iαx
g
a,ε
(α)dα. (1.6)
Mặt khác, từ (1.5), ta thấy tích phân bên phải của (1.6) là hội tụ tuyệt đối.
Cuối cùng,

R
f(y)g
a,ε
(x − y)dy =

R


f(α)g
a,ε
(α)e
−iαx
dα. (1.7)
Điều này (cũng có thể suy ra từ quy tắc hợ p thành trong tính chất 5 mục 1.3.1,
hay tính trực tiếp) nếu ta thay g
a,ε
bởi tích phân trong (1.6), và thay đổ i thứ tự
21
lấy tích phân, đã được chứng minh là hội tụ tuyệt đối trong (1.6).
Từ điều kiện

f(α) = 0, ta có

R
f(y)g
a,ε
(x − y) dy = 0,
hay
x+a

x−a
f(y)dy = 0, cho mỗi a,
hay
β

α
f(y)dy = 0, với mọi α và β.
Do đó f (x) = 0 với hầu hết mọi x, điều này cho thấy f(x) không là hàm của lớp

L
1
(R) hay đúng hơn, không là một phần tử của không gian Banach L
1
(R).
Chú ý. Chúng ta sẽ mở rộng Định lý cho trường hợp nhiều biến trong phần tiếp
theo.
1.3.7 Định lý khả tích
Cho f(x) ∈ L
1
, K(α) ∈ L
1
. Ta biết rằng, nếu F[f(x)] =

f(α), thì F[f (x + t)] =

f(α)e
−iαt
. Cho F[K(α)] = H(t), thì F[K(α/R)] = RH(Rt).
Giả thiết rằng
K(α) ∈ L
1
(R). (1.8)
K(0) = 1, K(α) là liên tục tại α = 0. (1.9)
K(α/R) có thể khả ngh ịch tại điểm gốc, nghĩa là 1 =
1
2π

R
RH(Rt)dt. (1.10)

K(α) là chẵn . (1.11)
Định nghĩa
S
K
R
(x) :=
1
2π

R

f(α)e
−iαx
K(α/R)dα. (1.12)
Thì ta có các bổ đề sau.
Bổ đề 1.1.
S
K
R
(x) − f(x) =
1
π
+∞

0
g
x
(t)RH(Rt)dt, (1.13)
trong đó g
x

(t) được xác định như trong mục 1.3.4.
22
Chứng minh. Ta có
S
K
R
(x) =
1
2π

R
f(x + t)RH(Rt)dt,
theo tính chất 5, trong mục 1.3.1. Nếu ta sử dụng giả thiết (1.10) trên K(α), ta
nhận được.
S
K
R
(x) − f(x) =
1
2π

R
[f(x + t) −f(x)]RH(Rt)dt.
Bởi giả thiết (1.11), H(t) là chẵn, vì vậy
S
K
R
(x) − f(x) =
1
π

+∞

0
g
x
(t)RH(Rt)dt.
Bổ đề 1.2. Nếu H(t) ≥ 0, thì S
K
R
(x) ∈ L
1
(R) như là một hàm của x (chẵn với
R nhỏ).
Vì
||S
K
R
(x)|| ≤
||f(x)||
2π

R
RH(Rt)dt = ||f(x)||.
Bây giờ ta đ ặ c biệt hóa hàm K(α) và n hìn theo cách (1.13) để nghiên cứ u.
K(α) =

1, −1 ≤ α < 1,
0, bên ngoà i.
(1.14)
Thì

H(t) = 2
1

0
cos αtdα =
2 sin t
t
,
S
K
R
(x) =
1
2π
R

−R
e
−iαx

f(α)dα =
1
π

R
f(x + t)
sin Rt
t
dt = S
R

(x),
trong ký hiệu của mục 1.3.5.
K(α) =

1 − |α|, |α| ≤ 1,
0, |α| > 1.
(1.15)
Thì,
H(t) = 2
1

0
(1 − α) cos αtdα = 2
1

0
(1 − α)d
α
sin αt
t
=
2
t
1

0
sin αtdα =
2
t
1 − cos t

t
=

sin
t
2
t/2

2
.
23
S
K
R
(x) =
1
2π
R

−R

1 −
|α|
R

e
−iαx

f(α)dα
=

R

0

1 −
α
R



f(α)e
−iαx
+

f(−α)e
iαx
2

dα
=
R

0

1 −
α
R

d
α

S
α
(x) =
1
R
R

0
S
α
dα.
K(α) = e
−|α|
, H(t) = 2
+∞

0
e
−α
cos αtdt =
2
1 + t
2
. (1.16)
K(α) = e
−α
2
, H(t) =

R

e
−α
2
+iαt
dα = e
−
t
2
4
π
1
2
. (1.17)
Định lý 1.6. Nếu (1) K(α) ∈ L
1
(R), (2) K(0) = 1, (3) K(α) là liên tục tại
α = 0 và (4) K(α) = K(−α), nếu (5) H(t) là đơn điệu tăng trong 0 ≤ t < ∞ và
(6)
+∞

0
H(t)dt < +∞, và do đó (7) tH(t) → 0 khi t → +∞, và ngoài ra nếu (8)
1 =
1
2π

R
H(t)dt, thì tại điểm x, điều kiện
1
h

h

0
g
x
(t)dt = 0(1), khi h → 0,
hàm ý là
S
K
R
(x) − f(x) = 0(1) , khi R → +∞.
Chú ý rằng H(t) là chẵn, vì vậy K( α) là chẵn, và ta sẽ chứng minh khẳng
định này ở phần sau trong Định lý 1 .11, giả thiết (8) là hệ quả của các giả th iết
trước đó.
Chứng minh. Từ (1.13) ta có
S
K
R
(x) − f(x) =
1
π
+∞

0
g
x
(t)RH(Rt)dt
=
1
π

u

0
g
x
(t)RH(Rt)dt +
1
π
+∞

u
g
x
(t)RH(Rt)dt
= I
1
+ I
2
.
24