Một số mô hình phân tích chuỗi thời gian và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC
ĐẶNG VĂN THOẠI
MỘT SỐ MÔ HÌNH PHÂN TÍC H
C HUỖI THỜI GIAN VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội - 2013
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN -CƠ- TIN HỌC
ĐẶNG VĂN THOẠI
MỘT SỐ MÔ HÌNH PHÂN TÍC H
C HUỖI THỜI GIAN VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
Mã số: 60460106
Người hướng dẫn: GS.TSKH ĐẶNG HÙNG THẮNG
Hà Nội - 2013
LỜI CÁM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của Luận văn em xin được bày
tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH. ĐẶNG HÙNG THẮNG - người
đã tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành khóa luận này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy
cô giáo trong khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên,
Đại Học Quốc Gia Hà Nội đã tham gia giảng dạy và giúp đỡ em trong
suốt quá trình học tập tại khoa.
Nhân dịp này tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới
gia đình, bạn bè đã luôn ở bên, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong
suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp.
PHẦN MỞ ĐẦU

Nhân loại đã bước sang thập niên thứ hai của thế kỉ 21. Cùng với
sự phát triển không ngừng của các lĩnh vực kinh tế- xã hội, các môn
khoa học cơ bản cũng đã đạt được rất nhiều thành tựu đáng kể. Đặc
biệt là trong lĩnh vực Toán học, rất nhiều kết quả thu được không
những giúp nhân loại giải quyết các bài toán có tính chất lý thuyết mà
còn góp phần giải quyết các được bài toán thực tế của cuộc sống đặt
ra. Trong đó phải kể đến bộ môn Xác suất- Thống kê. Xác suất-Thống
kê hiện nay đang là một trong những ngành Toán học thu hút được
rất nhiều sự quan tâm của không chỉ các nhà khoa học mà còn có cả
các nhà quản lý, nhà đầu tư
Dự báo là lĩnh vực ra đời từ rất sớm, gắn liền với cuộc sống thực
tiễn của con người từ xa xưa. Các quan sát trong thực tế thường được
thu thập dưới dạng chuỗi dữ liệu. Từ những chuỗi dữ liệu này người
ta phân tích và rút ra những quy luật của một quá trình được mô tả
thông qua chuỗi dữ liệu, từ đó có thể đưa ra những dự báo hay những
quyết định đúng đắn, kịp thời. Ví dụ như dự báo thời tiết, dự báo chỉ
số chứng khoán, mức tăng dân số, dự báo nhu cầu sử dụng điện, dự
báo số lượng sinh viên nhập học của một trường đại học
Các kết quả ứng với từng thời điểm được ghi lại tạo thành một
chuỗi thời gian . Chuỗi t hời gian đang được sử dụng như một công
cụ hữu hiệu để phân tích trong nhiều lĩnh vực của kinh tế, xã hội
cũng như trong nghiên cứu khoa học. Chính do tầm quan trọng đó
mà nhiều tác giả đã đề xuất những mô hình khác nhau để phân tích
chuỗi thời gian như là các mô hình hồi qui, phân tích Furie Trong đó
mô hình ARIMA của Box-Jenkins là mô hình được đánh giá rất cao.
iii
Mô hình cho kết quả khá tốt trong phân tích dữ liệu. Tuy nhiên, sự
phức tạp của thuật toán đã gây ra những khó khăn trong quá trình
phân tích, nhất là khi chuỗi số liệu có những thay đổi phản ánh sự phi
tuyến của mô hình như chuỗi thời gian tài chính.

Trong khuôn khổ của Luận văn, tác giả đã trình bày về mô hình
phương sai có điều kiện của sai số thay đổi tự hồi quy (ARCH) và một
số mô hình mở rộng của nó (GARCH, GARCH − M, TGARCH). Sau
đó, các mô hình này được áp dụng vào việc định giá quyền chọn của
cổ phiếu IBM. Nội dung chính của luận văn được trình bày trong 6
chương có nội dung tương ứng như sau:
• Chương 1: Những khái niệm ban đầu
• Chương 2: Mô hình ARCH
• Chương 3: Mô hình GARCH
• Chương 4: Mô hình GARCH − M
• Chương 5: Mô hình TGARCH
• Chương 6: Ứng dụng của các kiểu mô hình ARCH trong việc
định giá quyền chọn
Trong các chương 2, 3, 4, 5 tác giả lần lượt trình bày về vấn đề: cấu
trúc , tính chất, ước lượng, kiểm định của các mô hình và cuối cùng
là áp dụng vào ví dụ thực tế. Trong chương 6, tác giả đã áp dụng
các kiểu mô hình được trình bày trong các chương trước vào định giá
quyền chọn của cổ phiếu IBM và so sánh chúng với giá quyền chọn
bằng mô hình Black-Scholes. Các ví dụ được trình bày trong luận văn
đều sử dụng phần mềm R để phân tích. Đây là phần mềm hoàn toàn
miễn phí nhưng các kết quả thu được lại rất tốt cho việc phân tích và
dự báo. Phần mềm R có thể chạy trên nhiều hệ điều hành, sử dụng
ngôn ngữ lập trình hiện đại và đang được sử dụng rất phổ biến trên
thế giới.
Mục lục
Lời cám ơn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
Phần mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
Chương 1. Những khái niệm ban đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1. Quá trình dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1. Quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.2. Hàm trung bình và hàm hiệp phương sai. . . . . . . . . . 2
1.1.3. Quá trình dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.4. Hàm tự tương quan và hàm tương quan riêng . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Mô hình ARMA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1. Quá trình trung bình trượt tự hồi quy ARMA. . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2. Đánh giá về mô hình ARMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3. Lợi suất cổ phiếu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Chương 2. Mô hình ARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1. Cấu trúc của mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2. Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.1. Sự biểu diễn tự hồi quy và hiệp phương sai dừng. . . . . . . . . . . . . 10
2.2.2. Moment không có điều kiện. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3. Ước lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4. Kiểm định hiệu ứng ARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.5. Dự báo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.6. Ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.7. Ưu và nhược điểm của mô hình ARCH . . . . . . . . . . . . . . 27
iv
v
Chương 3. Mô hình GARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1. Cấu trúc mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2. Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2.1. GARCH được biểu diễn như là ARCH
(
∞
)
. . . . . . . . . . . . . . 31
3.2.2. Điều kiện dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2.3. Moment không có điều kiện. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.4. Độ nhọn của mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3. Ước lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4. Kiểm định mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.5. Dự báo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.6. Ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.7. Ưu điểm và nhược điểm của mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Chương 4. Mô hình GARCH-M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.1. Cấu trúc mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2. Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.3. Ước lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.4. Kiểm định mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.5. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.6. Một vài lưu ý khi áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Chương 5. Mô hình TGARCH. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.1. Cấu trúc mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.2. Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.2.1. Sự biểu diễn hồi quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.2.2. Điều kiện dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.2.3. Moment không có điều kiện. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.2.4. Dáng điệu của đuôi mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.3. Ước lượng và kiểm định mô hình. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.4. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.5. Ưu và nhược điểm của mô hình TGARCH . . . . . . . . . . . . . 62
vi
Chương 6. Ứng dụng của các kiểu mô hình ARCH trong việc định
giá quyền chọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.1. Hợp đồng quyền chọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.2. Dữ liệu và phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.3. Kết quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Danh sách hình vẽ

1.1 Giá cổ phiếu IBM hàng tuần (3/1/2000 - 21/10/2013) . . . 4
1.2 Biểu đồ phân bố lợi suất hàng tuần và phân phối chuẩn . . 7
1.3 Biểu đồ lợi suất hàng tuần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1 Đồ thị ACF của lợi suất hàng tuần (IBM) . . . . . . . . . . . 18
2.2 Đồ thị PACF của bình phương lợi suất . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Sai số chuẩn có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4 Lợi suất thực tế với 2 đường giới hạn tin cậy . . . . . . . . . 20
2.5 Phần dư và phần dư chuẩn hóa . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.6 Các hệ số tương quan của phần dư chuẩn hóa và bình
phương phần dư chuẩn hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.7 Đồ thị QQ-norm của phần dư . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.8 Sai số chuẩn có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.9 Lợi suất thực tế và 2 đường giới hạn tin cậy . . . . . . . . . 24
2.10 Phần dư và phần dư chuẩn hóa . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.11 Các hệ số tương quan của phần dư chuẩn hóa và bình
phương phần dư chuẩn hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.12 Đồ thị QQ-std của phần dư tiêu chuẩn . . . . . . . . . . . . 26
2.13 Giá trị dự báo của ARCH trong 10 bước . . . . . . . . . . . 27
2.14 Đồ thị mô phỏng chuỗi lợi suất . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.15 Phân bố của chuỗi mô phỏng . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
vii
viii
3.1 Độ lệch chuẩn có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2 Lợi suất thực tế và 2 đường giới hạn tin cậy . . . . . . . . . 41
3.3 Đồ thì QQ-std của phần dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4 Phần dư và phần dư chuẩn hóa . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.5 Các hệ số tương quan của phần dư chuẩn hóa và bình
phương phần dư chuẩn hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.6 Kết quả dự báo của GARCH trong 10 bước . . . . . . . . . 44
3.7 Chuỗi lợi suất thực tế và chuỗi mô phỏng . . . . . . . . . . 46

3.8 Phân bố của chuỗi mô phỏng . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.1 Sai số chuẩn có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2 Lợi suất thực tế và 2 đường giới hạn tin cậy . . . . . . . . . 52
4.3 Đồ thị QQ-std của phần dư trung bình . . . . . . . . . . . . 52
4.4 Phần dư và phần dư chuẩn hóa . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.5 Các hệ số tương quan của phần dư chuẩn hóa và bình
phương phần dư chuẩn hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.6 Kết quả dự báo GARCH-M trong 10 bước . . . . . . . . . . 54
5.1 Sai số chuẩn có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.2 Lợi suất thực tế và 2 đường giới hạn tin cậy . . . . . . . . . 60
5.3 Đồ thị QQ-std của phần dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.4 Phần dư và phần dư chuẩn hóa . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.5 Các hệ số tương quan của phần dư chuẩn hóa và bình
phương phần dư chuẩn hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.6 Chuỗi lợi suất thực tế và chuỗi mô phỏng . . . . . . . . . . 63
5.7 Phân bố của chuỗi mô phỏng . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Danh sách bảng
6.1 Dự báo giá quyền chọn với giá thực thi $190 bằng các
kiểu mô hình ARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.2 Dự báo giá quyền chọn với giá thực thi $195 bằng các
kiểu mô hình ARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.3 Dự báo giá quyền chọn với giá thực thi $200 bằng các
kiểu mô hình ARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.4 Dự báo giá quyền chọn với giá thực thi $205 bằng các
kiểu mô hình ARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.5 Dự báo giá quyền chọn với giá thực thi $210 bằng các
kiểu mô hình ARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.6 Dự báo giá quyền chọn bằng mô hình Black-Scholes . . . 72
1
Chương 1

Những khái niệm ban đầu
1.1. Quá trình dừng
1.1.1. Quá trình ngẫu nhiên
Cho
(
Ω, F, P
)
là không xác suất; B
R
là σ− trường Borel trên R
Định nghĩa 1.1. Một quá trình ngẫu nhiên {X(t); t ∈ R} là một hàm hai
biến xác định trên R × Ω và là hàm đo được đối với σ− trường B
R
×F
Giả sử X(t), t ∈ T là một quá trình (ngẫu nhiên), trong đó T là
tập chỉ số thời gian. Tập chỉ số T có thể là tập thời gian liên tục R =
(−∞; +∞); R
+
= [0; +∞) hoặc rời rạc Z = {0; ±1; ±2; }
Định nghĩa 1.2. Quá trình X(t), t ∈ R được gọi là một quá trình cấp 2
nếu E
|
X
(
t
)
|
2
< ∞; ∀t ∈ R
1.1.2. Hàm trung bình và hàm hiệp phương sai

Định nghĩa 1.3. Hàm trung bình của quá trình ngẫu nhiên X
(
t
)
kí hiệu là
m(t) và được tính theo công thức m(t) = EX
(
t
)
.
Hàm hiệp phương sai của quá trình ngẫu nhiên kí hiệu là r(s , t) và được
tính theo công thức
r
(
s; t
)
= Cov
[
X
(
s
)
; X
(
t
)]
= E
[(
X
(

s
)
−m
(
s
)) (
X
(
t
)
−m
(
t
))]
.
3
Định lí 1.1. Hàm hiệp phương sai r(s; t) là đối xứng và xác định không âm,
tức là
1. r(s; t) = r(t; s), ∀s, t ∈ T
2. ∀n ∈ N, ∀t
1
; t
2
; t
n
∈ T, ∀b
1
, b
2
, b

n
∈ R thì
n
∑
i=1
n
∑
j=1
b
i
b
j
r

t
i
; t
j

≥ 0
1.1.3. Quá trình dừng
Định nghĩa 1.4. Giả sử X(t) là quá trình cấp 2. X(t) được gọi là quá trình
dừng nếu hàm trung bình m(t) là hằng số và hàm hiệp phương sai r(s; t) chỉ
phụ thuộc vào s −t hay r(s; s + h) không phụ thuộc và s với mỗi h ∈ R
Nói cách khác quá trình X(t), t ∈ R là quá trình dừng nếu nó có
cùng hàm trung bình và hàm hiệp phương sai với quá trình Y(t) =
X(t + h), ∀h ∈ R
Định nghĩa 1.5. Quá trình X(t), t ∈ R được gọi là quá trình dừng mạnh
(hay dừng theo nghĩa hẹp) nếu với mọi h ∈ R, và với mọi t
1

< t
2
< < t
n
thì hàm phân phối đồng thời của {X(t
1
+ h); X(t
2
+ h); ; X(t
n
+ h)} và
của {X(t
1
); X(t
2
); ; X(t
n
)} là như nhau.
Điều đó có nghĩa là phân phối hữu hạn chiều không thay đổi khi
ta tịnh tiến bộ chỉ số thời gian (t
1
; t
2
; ; t
n
)
Định nghĩa 1.6. Chuỗi thời gian {X(t), t ∈ T} hay X(t), t ∈ T là tập hợp
các giá trị quan sát theo thời gian t, t ∈ T về cùng một đối tượng. Nếu T là
tập rời rạc thì X
(

t
)
được gọi là chuỗi thời gian rời rạc. Nếu T là liên tục thì
X
(
t
)
được gọi là chuỗi thời gian liên tục.
Định nghĩa 1.7. Chuỗi thời gian X(t) được gọi là dừng nếu X(t) là quá
trình dừng.
Ví dụ về chuỗi thời gian
4
Hình 1.1: Giá cổ phiếu IBM hàng tuần (3/1/2000 - 21/10/2013)
(Số liệu được lấy từ )
1.1.4. Hàm tự tương quan và hàm tương quan riêng
Định nghĩa 1.8. Cho {X(t)} là chuỗi thời gian dừng. Hàm tự hiệp phương
sai (ACVF) với độ trễ h của {X(t)} là
r(h) = Cov(X(t); X(t + h))
Hàm tự tương quan (ACF) của {X(t)} với độ trễ h là
ρ
(
h
)
=
r
(
h
)
r
(

0
)
Hàm tương quan riêng (PACF) kí hiệu là ρ
kk
và được tính theo công thức
ρ
kk
= Corr(Y
t
, Y
t−k
|Y
t−1
, Y
t−2
, , Y
t−k+1
)
5
1.2. Mô hình ARMA
1.2.1. Quá trình trung bình trượt tự hồi quy ARMA
Định nghĩa 1.9. Quá trình ngẫu nhiên {Z
t
; t ∈ T} được gọi là dãy ồn
trắng, kí hiệu {Z
t
} ∼ WN

0; σ
2


nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:
EZ
t
Z
s
= 0, ∀t = s
EZ
t
= 0; EZ
2
t
= σ
2
; ∀t ∈ T
Định nghĩa 1.10. Quá trình ngẫu nhiên {X
t
; t ∈ T} được gọi là quá trình
tự hồi quy cấp p, kí hiệu X
t
∼ AR
(
p
)
nếu {X
t
; t ∈ Z} thỏa mãn
X
t
= a

0
+ a
1
X
t−1
+ a
2
X
t−2
+ + a
p
X
t−p
+ Z
t
; a
p
= 0
Trong đó {Z
t
} ∼ WN

0; σ
2

Điều kiện để quá trình AR(p) dừng là các nghiệm của phương
trình đặc trưng 1 −
p
∑
i=1

a
i
L
i
= 0 nằm ngoài vòng tròn đơn vị.
Định nghĩa 1.11. Quá trình ngẫu nhiên {X
t
, t ∈ T} được gọi là quá trình
trung bình trượt cấp q, kí hiệu X
t
∼ MA
(
q
)
nếu thỏa mãn
X
t
= Z
t
+ b
1
Z
t−1
+ b
2
Z
t−2
+ + b
q
Z

t−q
Trong đó {Z
t
} ∼ WN

0; σ
2

,b
i
∈ R, b
q
= 0
Điều kiện để quá trình MA(q) khảnghịch là các nghiệm của phương
trình đặc trưng 1 +
q
∑
i=1
b
i
L
i
= 0 nằm ngoài vòng tròn đơn vị.
Định nghĩa 1.12. {X
t
} là một quá trình trung bình trượt tự hồi quy cấp
(p;q), kí hiệu X
t
∼ ARMA(p; q) nếu {X
t

} thỏa mãn
X
t
−φ
1
X
t−1
−φ
2
X
t−2
− −φ
p
X
t−p
= φ
0
+ Z
t
+ θ
1
Z
t−1
+ θ
2
Z
t−2
+ + θ
q
Z

t−q
Trong đó
{
Z
t
}
∼ WN

0; σ
2

Quá trình ARMA(p, q) dừngkhi và chỉ khi các nghiệm của phương
trình đặc trưng 1 −
p
∑
i=1
φ
i
L
i
= 0 nằm ngoài vòng tròn đơn vi.
6
1.2.2. Đánh giá về mô hình ARMA
Mô hình ARMA thu được thành công lớn khi áp dụng cho các
chuỗi thời gian xuất phát từ các lĩnh vực khoa học tự nhiên và kỹ
thuật nhưng thất bại khi áp dụng cho các chuỗi thời gian kinh tế và
tài chính. Nguyên nhân chính là giả thiết về mặt toán học phương
sai của các chuỗi thời gian tài chính không thay đổi theo t hời gian là
không phù hợp. Vì vậy mô hình ARMA có thể dự báo được kỳ vọng
nhưng thất bại khi dự báo phương sai của chuỗi thời gian tài chính

như dãy lợi nhuận của một tài sản (cổ phiếu). Đã có nhiều ví dụ thể
hiện rõ sự không phù hợp của mô hình ARMA đối với chuỗi thời gian
tài chính.
Mặc dù mô hình ARMA tỏ ra không phù hợp với chuỗi thời gian
tài chính nhưng những kỹ thuật mà nó cung cấp là một cơ sở rất quan
trọng và mang lại nhiều gợi ý cho các công trình nghiên cứu về chuỗi
thời gian sau Box-Jenkins. Chính Box-Jenkins là những người đầu tiên
đưa ra các kỹ thuật lấy sai phân để khử khuynh hướng tất định nhằm
tăng khả năng dừng của một chuỗi thời gian. Với những vận dụng
sáng tạo khái niệm khuynh hướng này, những người nghiên cứu đi
sau Box - Jenkins đã cho ra đời hai lớp mô hình rất quan trọng đối
với chuỗi thời gian tài chính. Đó là mô hình cộng tích, Cointegration
(Granger,1981) và mô hình phương sai có điều kiện thay đổi tự hồi quy
ARCH. Mô hình ARCH là cống hiến mang tính khai phá của Engle,
nó có thể giải thích sự bất thường của phương sai mà chỉ sử dụng
những thông tin quá khứ của bản thân nhiễu. Mô hình ARCH và một
số mở rộng của nó sẽ được tác giả lần lượt trình bày trong các chương
tiếp theo của luận văn.
1.3. Lợi suất cổ phiếu
Trong thực tế, có rất nhiều dữ liệu tài chính như chuỗi lợi suất cổ
phiếu được coi như một là chuỗi thời gian . Tuy vậy, việc nắm bắt được
các đặc trưng của chuỗi thời gian tài chính là điều rất khó khăn. Trong
7
mục này tác giả sẽ trình bày một số tính chất đặc trưng của lợi suất và
cố gắng minh họa điều đó bằng những ví dụ.
• Chuỗi lợi suất có phần đuôi nặng hơn chuỗi có phân phối chuẩn.
So sánh đồ thị mật độ của chuỗi lợi suất với mật độ phân phối
chuẩn có cùng trung bình và phương sai, ta có thể thấy rằng
chuỗi lợi suất có phân bố cao hơn và gầy hơn nhưng có phần
đế rộng hơn so với mật độ phân bố chuẩn.

Hình 1.2: Biểu đồ phân bố lợi suất hàng tuần và phân phối chuẩn
Hình 1.3: Biểu đồ lợi suất hàng tuần
8
• Mặc dù những biến động của tập các giá trị lợi suất ta không
quan sát được nhưng chúng có những tính chất đặc trưng là xu
hướng bầy đàn. Tức là lợi suất có thể biến động cao trong những
thời kì này và thấp trong các thời kì khác.
Nhìn vào biểu đồ 1.3 ta thấy, lợi suất hàng tuần của cổ phiếu IBM
cao vào giai đoạn (2000-2003) và (2007-2009)- khi cuộc khủng
hoảng kinh tế bắt đầu. Trong suốt từng thời kì những sự thay
đổi lớn thường được xuất hiện theo sau những sự t hay đổi lớn.
Lợi suất IBM tương đối ổn định (ít có sự thay đổi lớn) trong giai
đoạn (2003-2007)
• Những biến động của lợi suất có tính chất đòn bẩy. Điều đó có
nghĩa là độ biến động của lợi suất thường xuất hiện để tác động
trở lại sự tăng hay giảm của giá cả.
• Lợi suất biến động theo thời gian theo cơ chế liên tục, tức là ít có
các bước nhảy của độ biến động lợi suất
• Lợi suất không phân kì đến vô vùng, nghĩa là lợi suất biến thiên
trong một miền xác định nào đó. Về mặt toán học thì lợi suất tài
sản thường là một chuỗi dừng.
Chương 2
Mô hình ARCH
Các mô hình kinh tế truyền thống thường giả định rằng phương
sai ở các thời kì dự báo là bất biến. Tuy nhiên, trong thực tế điều này
không thật sự đúng đắn. Vì thế Robert Engle đã đề xuất một mô hình
mới để phù hợp với các quá trình có gia số độc lập mà ở đó phương sai
có thể thay đổi theo thời gian nhưng vẫn thỏa mãn phương sai không
có điều kiện là hằng số. Mô hình này được ông giới thiệu lần đầu tiên
vào năm 1982 [15] và được gọi là mô hình phương sai có điều kiện của

sai số thay đổi tự hồi quy (ARCH).
2.1. Cấu trúc của mô hình
Cho {X
t
} là chuỗi thời gian
Định nghĩa 2.1. Mô hình phương sai có điều kiện của sai số thay đổi tự hồi
quy bậc p, kí hiệu ARCH(p) là mô hình có dạng
X
t
= g(F
t−1
; b) + a
t
, a
t
= ε
t
.σ
t
σ
2
t
= Var
(
a
t
|F
t−1
)
= h(a

t−1
; ; a
t−p
; α)
Trong đó g(F
t−1
; b) là hàm của F
t−1
và vectơ tham số b; F
t−1
là tập
hợp các thông tin có được cho tới thời điểm t − 1; p được gọi là bậc
của mô hình ARCH
10
Var
(
a
t
|F
t−1
)
là phương sai của a
t
với điều kiện F
t−1
và là hàm xác
định không âm, phụ thuộc vào thời gian và tham số α
ε
t
là dãy độc lập cùng phân phối với trung bình = 0, phương sai =1

a
t
được gọi là cú sốc hay phần dư của X
t
tại thời điểm t
Định nghĩa 2.2. Mô hình ARCH được gọi mô hình tuyến tính bậc p, kí
hiệu ARCH(p) nếu
σ
2
t
= α
0
+
p
∑
i=1
α
i
a
2
t−i
; α
0
> 0; α
i
≥ 0, ∀i ≥ 1 (2.1.1)
Định nghĩa 2.3. Mô hình ARCH được gọi là mô hình tuyến tính bậc vô
cùng, kí hiệu ARCH(∞) nếu
σ
2

t
= α
0
+
∞
∑
i=1
α
i
a
2
t−i
; α
0
> 0; α
i
≥ 0, ∀i ≥ 1
Mô hình ARCH(p) tuyến tính được sử dụng rộng rãi trong việc
mô hình hóa chuỗi tài chính vì có khả năng nắm bắt các tính chất của
biến động và thể hiện nó một cách đơn giản .
2.2. Tính chất
2.2.1. Sự biểu diễn tự hồi quy và hiệp phương sai dừng
Giả sử a
t


F
t−1
∼ N


0; σ
2
t

tức là phân bố của a
t
với điều kiện F
t−1
là phân bố chuẩn có trung bình 0 và phương sai σ
2
t
. Đặt η
t
= a
2
t
− σ
2
t
.
Ta có Eη
t
= 0 và η
t
là không tương quan (Tsay, 2005, trang 107). Khi
đó phương trình (2.1.1) có dạng
a
2
t
= α

0
+
p
∑
i=1
α
i
a
2
t−i
+ η
t
(2.2.1)
Như vậy a
2
t
là một quá trình tự hồi quy bậc p (AR(p)). Tính chất này
rất hữu ích trong việc xác định bậc p phù hợp với mô hình ARCH cũng
11
giống như việc xác định các giá trị quan trọng khác là trung bình và
phương sai.
Định lí 2.1. Quá trình ARCH(p) có hiệp phương sai dừng nếu và chỉ nếu
tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng 1 −
p
∑
i=1
α
i
z
i

= 0 nằm ngoài
đường tròn đơn vị. Khi đó, phương sai (không điều kiện) của dãy phần dư a
t
là
Var
(
a
t
)
= E

a
2
t

=
α
0
1 −
p
∑
i=1
α
i
Chứng minh 2.1.
.
Đặt W

t
=


a
2
t
; a
2
t−1
; ; a
2
t−p

; b

=
(
α
0
; 0; ; 0
)
và
A =







α
1

α
2
α
p
0
1 0 0 0
0 1 0 0

0 0 1 0







là ma trận cấp (p + 1).(p + 1)
Khi đó E
(
w
t
|
F
t−1
)
= b + Aw
t−1
Thực hiện một cách liên tiếp ta có:
E
(

w
t
|
F
t−k
)
= b + AE
(
w
t−1
|
F
t−k
)
= b + A
(
b + AE
(
w
t−2
|
F
t−k
))
= b + Ab + A
2
(
(b + AE
(
w

t−3
|
F
t−k
))
=
=

I + A + A
2
+ + A
k−1

b + A
k
w
t−k
.
Biểu thức này độc lập với t nên với mọi giá trị của t ta đều có cùng một
phương sai. Giới hạn của biểu thức E
(
w
t
|
F
t−k
)
khi k tiến ra vô cùng
tồn tại khi và chỉ khi các giá trị riêng của A nằm phía trong đường tròn
đơn vị hay các nghiệm của phương trình đặc trưng nằm ngoài vòng

tròn đơn vị (Anderson (1994) trang 177 [7])
12
Khi đó lim
k→∞
E
(
w
t
|
F
t−k
)
=
(
I − A
)
−1
b. Vì vậy
E

a
2
t

=
α
0
1 −
p
∑

i=1
α
i
2.2.2. Moment không có điều kiện
Moment của ARCH(p) có thể tìm được bằng cách sử dụng luật kì
vọng có điều kiện. Cho X và Y là các biến ngẫu nhiên, khi đó
E
(
X
)
= E
(
E
(
X
|
Y
))
Với giả thiết a
t


F
t−1
∼ N

0; σ
2
t


ta có
E
(
a
t
)
= E
(
E
(
a
t
|
F
t−1
))
= 0
Theo chứng minh ở mục 2.2.1 , với mỗi quá trình dừng ARCH(p) ta
có Var
(
a
t
)
= E

a
2
t

=

α
0
1 −
p
∑
i=1
α
i
. Những moment bậc cao của a
t
có
thể không tồn tại, và nếu có tồn tại thì công thức của chúng là tương
đối phức tạp ngay cả với những quá trình có bậc thấp. Engle (1982)
[15] đã chứng minh rằng với mô hình ARCH(1) moment cấp 2m tồn
tại nếu và chỉ nếu α
m
1
m
∏
j=1
(
2j −1
)
< 1 (2.2.2).
Engle cũng đã đưa ra công thức tính moment cấp 4 của a
t
là
E

a

4
t

=
3α
2
0
(
1 + α
1
)
(
1 − α
1
)

1 −3α
2
1

Trong Tsay (2005)[24], tác giả đã trình bày một cách chứng minh đơn
giản như sau:
Cho mô hình ARCH(1) thỏa mãn (2.2.2), ε
t
∼ N
(
0; 1
)
. Ta có
E


a
4
t
|
F
t−1

= E

ε
4
t
σ
4
t
|
F
t−1

= σ
4
t
E

ε
4
t
|
F

t−1

= σ
4
t
E

ε
4
t

= 3

α
0
+ α
1
a
2
t−1

2
= 3

α
2
0
+ 2α
0
α

1
a
2
t−1
+ α
2
1
a
4
t−1

(ε
t
là độc lập cùng phân phối)
Vì vậy,
13
E(a
4
t
) = E(E

a
4
t
|
F
t−1

) = 3E


α
2
0
+ 2α
0
α
1
a
2
t−1
+ α
2
1
a
4
t−1

= 3

α
2
0
+ 2α
0
α
1
E

a
2

t−1

+ α
2
1
E

a
4
t−1

= 3

α
2
0
+ 2α
0
α
1
E

a
2
t

+ α
2
1
E


a
4
t

= 3

α
2
0
+ 2α
0
α
1
α
0
1 − α
1
+ α
2
1
E

a
4
t


Từ đó, E


a
4
t

=
3α
2
0
(
1 + α
1
)
(
1 − α
1
)

1 −3α
2
1

với điều kiện 0 ≤ α
2
1
<
1
3
vì E

a

4
t

xác định dương.
Bằng những biến đổi đại số đơn giản ta tìm được độ nhọn (không có
điều kiên) của ARCH(1) là
K
α
=
E

(
a
t
− E
(
a
t
))
4

[
Var
(
a
t
)]
2
=
3α

2
0
(
1 + α
1
)
(
1 − α
1
)

1 −3α
2
1

.
(
1 − α
1
)
2
α
2
0
= 3
1 − α
2
1
1 −3α
2

1
> 3
Do đó, a
t
nặng đuôi hơn phân bố chuẩn. Tính chất này vẫn đúng cho
mô hình ARCH tổng quát. Các công thức cho các mô hình ARCH bậc
càng cao thì càng phức tạp hơn và sẽ không được thảo luận ở đây.
2.3. Ước lượng
Nếu a
t
|
F
t−1
∼ N

0; σ
2
t

thì hàm hợp lí của a
t
là
f
(
a
t
|
F
t−1
)

=
1
√
2πσ
t
e

−a
2
t
2σ
2
t

Đặt α =

α
1
; α
2
; ; α
p


,T là độ dài của chuỗi và
σ
2
t
= α
0

+ α
1
a
2
t−1
+ + α
p
a
2
t−p
Phương sai có điều kiện σ
2
t
được tính đệ quy. Hàm hợp lí (có điều
kiện) của mô hình ARCH(p) là
f

a
p+1
, , a
T


α, a
1
, , a
p

=
T

∏
t=p+1
1
√
2πσ
t
e
−a
2
t
2σ
2
t
14
Lấy logarit cơ số tự nhiên của hàm hợp lí (có điều kiện) của quá trình
ARCH(p) ta thu được
l = −
T
∑
t=p+1

1
2
ln
(
2π
)
+
1
2

ln

σ
2
t

+
1
2

a
2
t
σ
2
t

(2.3.1)
Giải phương trình đạo hàm bậc 1 của (2.3.1) cho ta ước lượng hợp lí
cực đại của vectơ tham số α. Engle (1982) [15] đã đưa ra biểu thức
của ma trận thông tin Fisher . Với điều kiện chuẩn các khối ngoài
đường chéo của ma trận thông tin là
T
∑
t=p+1
E

1
2σ
4

t
∂σ
2
t
∂α
∂σ
2
t
∂g

. Ở đây α
là vectơ tham số của phương saiđiều kiện, g = g
(
F
t−1
, b
)
là hàm trung
bình. Theo định nghĩa của Engle (1982)[15], quá trình ARCH(p) là đối
xứng, tức là mô hình ước lượng phương sai có điều kiện của những
cú sốc dương (tích cực) và âm (tiêu cực) là như nhau. Với mọi quá
trình ARCH(p) chính quy và đối xứng t hì các khối ngoài đường chéo
bằng 0 (Engle,1982). Điều này có nghĩa là những ước lượng và kiểm
định của α và g
(
F
t−1
, b
)
có thể được tiến hành một cách riêng biệt.

Engle đã đề xuất một quy trình ước lượng của mô hình ARCH mà ở
đó tham số b của
(
F
t−1
, b
)
là ước lượng ban đầu theo bình phương bé
nhất của phần dư a
t
. Khi đó ước lượng hiệu quả

α của α được tìm ra
bằng phương pháp ước lượng hợp lí cực đại ( MLE). Uớc lượng hiệu
quả của b được xây dựng bằng cách sử dụng

α . Từ đó ta thu được
một tập hợp mới gồm các số dư của a
t
. Các bước này được lặp đi lặp
lại cho đến khi hội tụ và cho ta các ước lượng hợp lí cực đại của b và α.
Sự ước lượng mô hình ARCH(p) được nói ở trên là dựa vào giả
thiết phần dư a
t
có phân phối chuẩn. Tuy nhiên giả thuyết này có thể
không đúng và l không còn được biểu diễn như trên. Weiss (1986)[25]
đã chỉ ra rằng, thậm chí khi điều kiện phân phối chuẩn bị vi phạm,
miễn là hai moment đầu tiên được chỉ ra chính xác, việc ước lượng
tham số là phù hợp và tiệm cận chuẩn. Do đó ước lượng các tham số
có thể vẫn thực hiện được bằng cách cực đại l và được gọi là ước lượng

tựa hợp lí cực đại (QMLE) . Đối với phân phối có điều kiện đối xứng,
QMLE là gần chính xác như MLE, nhưng với phân phối không đối
15
xứng thì sự khác biệt là tương đối lớn.
2.4. Kiểm định hiệu ứng ARCH
Bollerslev (1994) [12] nhấn mạnhrằngkiểmđịnhhiệu ứng ARCH(p)
được xây dựng như một kiểm định đuôi vì các tham số của quá trình
ARCH(p) phải lớn hơn 0 . Một cách t hường được sử dụng để kiểm
định hiệu ứng ARCH(p) làphương pháp kiểm định nhân tử Lagrange
( LM ).
H
0
: α
1
= α
2
= = α
p
= 0
H
1
: α
2
1
+ α
2
2
+ + α
2
p

> 0
Theo giả thiết vô hiệu, σ
2
t
= α
0
là hằng số. Thống kê ξ, được cho bởi:
T f
0

z

z

z

−1
z

f
0
f
0

f
0
= TR
2
Trong đó z
t

=

1, a
2
t−1
, , a
2
t−p

, z

=

z

1
, , z

T

và f
0
là véc tơ cột của

a
2
t
α
0
−1


.
R
2
là bình phương mối tương quan bội giữa f
0
và z, T là kích thước
mẫu. Theo giả thết, ξ là tiệm cận theo một phân phối χ-bình phương
với p bậc tự do. Engle (1982 ) [15] cho rằng đây là một bài kiểm định
tiệm địa phương mạnh nhất, tương tự như kiểm định khả năng hợp
lí và kiểm định Wald. Ý tưởng của bài kiểm định rất đơn giản, nếu có
hiệu ứng ARCH thì những cú sốc a
t
sẽ dự đoán được (ví như những
cú sốc lớn được theo sau bởi những cú sốc lớn) ngược lại nó sẽ biến
đổi một cách ngẫu nhiên và không thể dự đoán được . Nếu chúng ta
có thể mô hình hóa biến động một cách thích hợp , thì những gì còn
lại không giải thích được trong mô hình (như là các số dư) sẽ xuất
hiện như một quá trình ngẫu nhiên . Chúng ta có thể sử dụng kiểm
định để kiểm tra hiệu ứng ARCH trước khi cố gắng mô hình hóa biến
động , và sau đó thực hiện kiểm định lại mô hình mà ta vừa lắp vào