Một số phương pháp song song giải hệ phương trình vi phân

Mục lục
Mở đầu 1
Chơng 1
Tổng quan về các phơng pháp Runge-Kutta
1.1. Các khái niệm cơ bản của phơng pháp Runge-Kutta (RK) .8
1.1.1. Tính ổn định của phơng pháp Runge-Kutta (RK) 10
1.1.2. Cấp chính xác của phơng pháp Runge-Kutta 12
1.2. Các phơng pháp Runge-Kutta hiển (ERK) 13
1.3. Các phơng pháp Runge-Kutta dạng trùng khớp 16
1.4. Các phơng pháp lặp song song dạng Runge-Kutta (PIRK) 19
1.4.1. Sự ổn định của các phơng pháp PIRK 22
1.4.2. Sự hội tụ của các phơng pháp PIRK 23
1.4.3. Một số phơng pháp PIRK khác 23
1.5. Kết luận 25
Chơng 2
Các phơng pháp lặp song song dự báo-hiệu chỉnh
Dạng Runge-Kutta liên tục
2.1. Các phơng pháp hiệu chỉnh RK liên tục 28
2.2. Các phơng pháp PIRKC 32
2.2.1. Tốc độ hội tụ 35
2.2.2. Miền ổn định 36
2.3. Các thử nghiệm số 37
2.3.1. So sánh với các phơng pháp song song 39
2.3.1.1. Bài toán hai vật thể 40
2.3.1.2. Bài toán Fehlberg 41
2.3.1.3. Bài toán chuyển động của vật thể rắn không có tác động
của ngoại lực 41
2.3.2. So sánh với các phơng pháp tuần tự 42
2.4. Kết luận 43

i

Chơng 3
Các phơng pháp lặp song song
Giả Runge-Kutta hai bớc
3.1. Các phơng pháp hiệu chỉnh giả Runge-Kutta hai bớc (các phơng
pháp PTRK) 45
3.2. Các phơng pháp lặp song song giả RK hai bớc (các phơng pháp
IPIPTRK) 50
3.2.1. Các điều kiện cấp cho công thức dự báo 51
3.2.2. Tốc độ hội tụ 53
3.2.3. Miền ổn định 54
3.3. Các thử nghiệm số 56
3.3.1. So sánh với các phơng pháp song song 59
3.3.1.1. Bài toán hai vật thể 60
3.3.1.2. Bài toán Fehlberg 60
3.3.1.3. Bài toán chuyển động của vật thể rắn không có tác động
của ngoại lực 61
3.3.2. So sánh với các phơng pháp tuần tự 62
3.4. Kết luận 63
Chơng 4
Các phơng pháp lặp song song dự báo-hiệu chỉnh
Dạng Runge-kutta hai bớc một liên tục
4.1. Các phơng pháp dự báo-hiệu chỉnh dạng Runge-Kutta hai bớc một
liên tục 65
4.2. Các phơng pháp lặp song song dự báo-hiệu chỉnh dạng Runge-Kutta
hai bớc một liên tục ( các phơng pháp TBTPIRKC) 68
4.2.1. Tốc độ hội tụ 70
4.2.2. Miền ổn định 71
4.3. Các thử nghiệm số 73
4.3.1. So sánh với các phơng pháp song song 75
4.3.1.1. Bài toán hai vật thể 75

ii
4.3.1.2. Bài toán Fehlberg 75
4.3.1.3. Bài toán chuyển động của vật thể rắn không có tác động
của ngoại lực 76
4.3.2. So sánh với các phơng pháp tuần tự 77
4.4. Kết luận 77
Kết luận của luận án 79
Danh mục các công trình đã công bố 80
Tài liệu tham khảo 82

iii
Danh mục các ký hiệu và chữ viết tắt

1. Các ký hiệu

:= định nghĩa

xấp xỉ số
d
\ không gian véctơ thực - chiều d
^ tập các số phức

^ tập các số phức với phần thực âm
()j
f
đạo hàm bậc của hàm j
f

J Jacobian của
f

T
Q
ma trận chuyển vị của Q
1
Q

ma trận nghịch đảo của Q

,
d
I
I
ma trận đơn vị, ma trận các thành phần bằng 1 (cấp ) xdd
i
e thành phần thứ i của véctơ cơ sở
xrs
0,0 véc tơ không, ma trận không (kích thớc rxs)
QA tích tenxơ của ma trận Q với ma trận
A

()
A

phổ của ma trận
A

()
A

bán kính phổ của ma trận
A

(/)
f
y

bán kính phổ của ma trận Jacobian của hàm (), ,
d

fy fy\
.

chuẩn max
Re( )z phần thực của số phức z
Im( )z phần ảo của số phức z

2. Các chữ viết tắt

ERK
(Explicit Runge-Kutta method) phơng pháp Runge-Kutta hiển
IRK (Implicit Runge-Kutta method)
phơng pháp Runge-Kutta ẩn

iv
IPIPTRK (Improved parallel-iterated pseudo two-step Runge-Kutta methods)
các phơng pháp lặp song song giả Runge-Kutta hai bớc cải tiến
IVPs
(Initial Value Problems) các bài toán giá trị đầu (bài toán Cauchy)
ODEs (Ordinary differential equations) các phơng trình vi phân thờng
PIRK (Parallel-iterated Runge-Kutta method) phơng pháp lặp song song
dạng Runge-Kutta
PIRKC (Parallel-iterated Runge-Kutta method with continuous output
formulas) các phơng pháp lặp song song dạng Runge-Kutta liên tục
PTRK (Pseudo Two-step Runge-Kutta method) các phơng pháp giả hai bớc
dạng Runge-Kutta
PC (Predictor-corrector method) phơng pháp dự báo-hiệu chỉnh
Runge-
Kutta
TBTRKC (Continuous twostep-by-twostep Runge-Kutta method) các phơng

pháp dạng Runge-Kutta hai bớc một liên tục
TBTPIRKC (Twostep-by-twostep PIRK-type PC methods with continuous
output formulas) các phơng pháp lặp song dạng Runge-Kutta hai
bớc một liên tục














v
Danh mục các bảng
Bảng 1.1. Cấp chính xác của các phơng pháp Runge-Kutta hiển15
Bảng 1.2. Một số phơng pháp Runge-Kutta dạng trùng khớp20
Bảng 2.1. Các cặp ổn định (
re
()m

,
im
()m

) cho các phơng pháp PIRKC
cấp
p
khác nhau. 38
Bảng 2.2. Các giá trị NCD/
cho bài toán (2.3.2) nhận đợc bằng các
phơng pháp song song PC cấp
khác nhau .40
seq
N
p
Bảng 2.3. Các giá trị / cho bài toán (2.3.3) nhận đợc bằng các
phơng pháp song song PC cấp
khác nhau . 41
NCD N
seq
p
Bảng 2.4. Các giá trị NCD/
cho bài toán (2.3.4) nhận đợc bằng các
phơng pháp song song PC cấp
seq
N
p
khác nhau ..42
Bảng 2.5. So sánh với các phơng pháp tuần tự cho bài toán (2.2.3)43
Bảng 3.1. Các nhân tố hội tụ cho các phơng pháp song song PC cấp
p
khác
nhau. .58
Bảng 3.2. Các cặp ổn định (

()
re
m

, ()
im
m

) cho các phơng pháp IPIPTRK
cấp
p
khác nhau. .58
Bảng 3.3. Các giá trị
cho bài toán (2.3.2) của các phơng pháp
song song PC cấp
/
seq
NCD N
p
khác nhau với
p
r bộ xử lý . 60
Bảng 3.4. Các giá trị
cho bài toán (2.3.3) của các phơng pháp
PC song song cấp
/
seq
NCD N
p
khác nhau61

Bảng 3.5. Các giá trị cho bài toán (2.3.4) của các phơng pháp
PC song song cấp
/
seq
NCD N
p
khác nhau . .61

vi
Bảng 3.6. So sánh với các phơng pháp tuần tự cho bài toán (3.3.3). .62

Bảng 4.1. Các cặp ((), ()
re im
m )m


cho các phơng pháp TBTPIRKC
cấp
p
.74
Bảng 4.2. Các giá trị
cho bài toán 2.3.2 nhận đợc bằng các
phơng pháp PC song song
/
seq
NCD N
p
75
Bảng 4.3. Các giá trị
cho bài toán 2.3.3 nhận đợc bằng các

phơng pháp PC song song
/
seq
NCD N
p
..76
Bảng 4.4. Các giá trị
cho bài toán 2.3.4 nhận đợc bằng các
phơng pháp PC song song cấp
/
seq
NCD N
p
.. 77
Bảng 4.5. So sánh với các mã tuần tự với bài toán Fehlberg 2.3.3 .78

vii
Mở đầu

Nhiều bài toán trong các lĩnh vực khoa học và kỹ thuật đợc qui về việc
tìm nghiệm hệ phơng trình vi phân thỏa mãn một số điều kiện nào đó (điều
kiện ban đầu, điều kiện biên, v.v). Đa số các hệ phơng trình vi phân mô tả
những hệ cơ học, vật lý học, hoá học, sinh học v.v rất phức tạp, không có hy
vọng giải đúng mà thông thờng chúng ta phải giải bằng các phơng pháp gần
đúng. Các phơng pháp số là các phơng pháp có hiệu quả nhất khi giải gần
đúng các hệ phơng trình vi phân này (xem trong [1, tr. 145-150]. Các phơng
pháp Runge-Kutta là các phơng pháp số khá hoàn hảo mà các phơng pháp
khác không có nh cấp chính xác cao, tính ổn định rất tốt, hơn nữa nó có khả
năng song song hóa cao. Vì thế phơng pháp RK đợc sự quan tâm nghiên
cứu của nhiều nhà toán học trong lĩnh vực giải số phơng trình vi phân. Chính
vì vậy trong khuôn khổ của luận án này chúng tôi nghiên cứu và xây dựng các
phơng pháp song song dạng Runge-Kutta để giải các bài toán giá trị ban đầu
(IVPs) không cơng của hệ phơng trình vi phân dạng

'
()t
y
= (, ())
f
tyt , y,
f
, = , (1)
d
\
0

()yt
0
y
0
,ttT
0
hoặc dạng thuần nhất

'
()t
y
= (())
f
yt , y,
f
, = ,
d
\
0
()yt
0
y
00
.ttT
Khi xét bài toán Cauchy (IVPs) (1) chúng ta thờng giả thiết hàm vế
phải
(, )
f
ty là Lipschitz liên tục. Ta có định nghĩa sau.
Định nghĩa Ký hiệu

{
}
d
00
(, )| t , ty t T y= \ , hàm (, )
f
tyđợc gọi là
Lipschitz liên tục nếu:
i)
0
L
>sao cho thì ***(, ),(, ) ,ty ty******(, ) (, )
f
ty fty Ly y

,
ii) Hàm
(, )
f
ty xác định và liên tục với (, )ty

.
Điều kiện i) ở định nghĩa trên gọi là điều kiện Lipschitz.
Runge (1895) đã mở rộng phơng pháp Euler bằng cách thêm vào một
bớc Euler vào điểm giữa của đoạn tích phân, trong khi đó Kutta (1901) đã

1
xây dựng phơng pháp cấp 3, cấp 4 nổi tiếng trong đó đánh giá thêm hàm vế
phải tại điểm giữa và điểm cuối của bớc tích phân (xem trong [7, tr. 45 46])
Các phơng pháp Runge-Kutta tổng quát

s

nấc để giải bài toán (1)
đợc xác định nh sau

, i
,
1
(
,

,Y
j
s
ij
ni n n n j
j
yh aftch
=
=+ +

1, ,s)Y
=
, (2)

, (3) =
1
1
(Y
j

s
nn jn n
j
yyhbftch
+
=
++

,
,
)
j
trong đó ma trận
x
()
ij s s
A
a= , các véctơ
s

chiều và là = ( )
i
cc ()
i
b= b
các ma trận và các véctơ tham số của phơng pháp.
là các véctơ nấc
biểu diễn xấp xỉ lời giải chính xác tại các điểm
,
,

,
Y
ni
, 1, ,
ni
tchi+=s
nn
yyt
,
()Y
ni n i
yt ch+ (),
nn
yyt
11
(), ht
1nn
t
+
=

+
+

là độ dài bớc.
Nếu
A
là ma trận tam giác dới chặt thì phơng pháp (2)-(3) gọi là
phơng pháp Runge-Kutta hiển (ERK), ngợc lại là phơng pháp Runge-
Kutta ẩn (IRK).

Trong (2)-(3) để xác định đợc các
ta phải giải
,
Y
ni
.
s
d phơng trình (hầu
hết là phi tuyến) kích thớc
.
s
d , vì thế cần phải thực hiện một khối lợng tính
toán rất lớn, đặc biệt là trong trờng hợp phơng pháp Runge-Kutta ẩn. Chính
vì vậy trớc đây khi các phơng tiện tính toán (chủ yếu là máy tính điện tử)
cha phát triển, các phơng pháp Runge-Kutta cha phải là phổ biến và cha
đợc quan tâm nghiên cứu nhiều. Sau khi Butcher (1976) xây dựng đợc kỹ
thuật tính toán rất hiệu quả bằng cách ánh xạ ma trận Runge-Kutta
A
về dạng
chuẩn tắc Jordan (xem trong [9], [7, tr. 48-50]), thì tình hình đã thay đổi và
các phơng pháp IRK đợc quan tâm nghiên cứu nhiều và trở nên thông dụng
hơn. Một CODE tự động viết bằng ngôn ngữ FORTRAN77 có cấp chính xác
bằng 5 dựa trên giải pháp của Butcher và phơng pháp IRK Radau IIA có tên
là RADAU5 đã ra đời (xem trong [29]). Khi giải trực tiếp bài toán (2)-(3)
bằng phơng pháp lặp Newton cải tiến, để khắc phục các tính toán với chi phí
cao khi sử dụng phân tích
L
U , nhiều tác giả đã dựa trên kỹ thuật của Butcher

2

để xây dựng các phơng pháp Runge-Kutta hiệu quả với các hạn chế khác
nhau lên cấu trúc của ma trận
A
nh: ma trận
A
có dạng tam giác dới (các
phơng pháp đờng chéo ẩn (DIRKs)), các phần tử trên đờng chéo chính
bằng nhau (các phơng pháp đờng chéo ẩn đơn (SDIRKs)); ma trận
A
chỉ
có một điểm phổ sao cho nó đồng dạng với ma trận có

trên đờng chéo
chính và -

trên đờng chéo phụ (các phơng pháp ẩn đơn (SIRKs)), v.v,
(xem trong [7, tr. 49-51]).
Một trong những lớp phơng pháp Runge-Kutta có cấp chính xác cao
và tính ổn định tốt là lớp phơng pháp Runge-Kutta dạng trùng khớp.
Sự trùng khớp là kỹ thuật có từ lâu đợc ứng dụng rộng rãi trong giải tích số.
ý tởng cơ bản của kỹ thuật này bao gồm một hàm đợc chọn (thờng là đa
thức) và tập các điểm trùng khớp, sau đó yêu cầu tại các điểm trùng khớp hàm
đợc chọn có dáng điệu biến đổi giống nh hàm cha biết mà chúng ta đang
cố gắng xấp xỉ số. Sự tự do trong lựa chọn véctơ
c cho phép xây dựng đợc
các phơng pháp IRK dạng trùng khớp
s

nấc với cấp chính xác cao và tính
ổn định rất tốt nh phơng pháp Gauss-Legendre của Butcher có cấp chính

xác
2
s
, Randau IA và Randau IIA của Axelsson và Ehle có cấp chính xác
21
s
, phơng pháp Lobatto IIIA, IIIB, IIIC của Ehle và Chipman có cấp
chính xác
22
s
với các thành phần của véctơ c là các nghiệm khác nhau của
đa thức Legendre (xem trong [2], [28], [29]).
Cùng với sự phát triển của khoa và học công nghệ, các mô hình toán
học cũng ngày càng phức tạp do sự phức tạp của dữ liệu, do kích thớc dữ liệu
của bài toán quá lớn, do yêu cầu về độ chính xác cao và tốc độ xử lý nhanh
đặc biệt khi phải giải quyết các bài toán trong chế độ thời gian thực. Chính vì
thế các phơng pháp số kinh điển trớc đây đợc xây dựng và nghiên cứu để
sử dụng trên các máy tính truyền thống chỉ có một bộ xử lý tỏ ra không còn
hữu hiệu và đáp ứng đợc các yêu cầu của khoa học tính toán hiện đại.
Từ khi máy tính song song xuất hiện với một sức mạnh tính toán lớn,
tình hình đã thay đổi đáng kể, rất nhiều phơng pháp song song dạng Runge-
Kutta có hiệu quả, độ chính xác cao và tính ổn định tốt đã đợc ra đời.

3
Việc xây dựng và nghiên cứu các phơng pháp tính toán hữu hiệu- các
phơng pháp song song trên các máy tính hiệu năng cao đã trở thành nhu cầu
cấp thiết trong giải tích số nói chung và trong giải tích số của phơng trình vi
phân nói riêng. Hầu hết các phơng pháp song song dạng Runge-Kutta đợc
xây dựng và nghiên cứu trong những năm gần đây đều bắt nguồn từ các
phơng pháp Runge-Kutta ẩn (IRK) để giải bài toán (1). Trong số các công

trình tiêu biểu phải kể đến các công trình của các nhà toán học lớn nh
Bellen, Burrage, Butcher, Cash, Chu, Houwen, Gear, Jacson, Jacson, Lie,
Miranker, Nosett, Iserles, v.v qua các công trình [3], [4], [5], [6], [7], [8],
[11], [12], [13], [30], [31], [32], [33], [35], [36], [37], [38], [39], [42]. ở Việt
Nam GS Nguyễn Hữu Công là một trong những ngời đầu tiên nghiên cứu và
đã đạt đợc nhiều kết quả đáng kể trong lĩnh vực này.
Chúng ta viết lại phơng pháp (2)-(3) dới dạng tích tenxơ nh sau

,
T
1
F
nn n
yyhI
+
=+ (b ) (Y ) F
nn n n
R
hA I y
=
)(Y Y ( ) (Y ) e . (4)
Có hai cách khác nhau để xây dựng các phơng pháp giải bài toán (4). Trong
cả hai trờng hợp (4) đợc sử dụng làm phơng trình dự báo-hiệu chỉnh (PC)
mà lời giải của nó đợc xấp xỉ bằng một phơng pháp lặp.
Trong cách thứ nhất, không giải trực tiếp (4) mà sử dụng phơng pháp
lặp từng bớc một với số lần lặp cố định. Trong cách thứ hai, (4) đợc giải
trực tiếp bằng phơng pháp lặp Newton cải tiến, các hệ phơng trình (chủ yếu
không tuyến tính) trên mỗi bớc lặp Newton đợc giải bằng quá trình lặp song
song. Khi giải phơng trình hiệu chỉnh (4) bằng phơng pháp Newton cải tiến
ta xây dựng lợc đồ lặp (xem trong [34, tr 1-14]) nh sau

11
,
1, , ,
()() ()
))
()(YY(Y
jj j
nn n n
I
AhJ R j m


= = (5)
trong đó
là Jacobian của hàm vế phải
n
J
f
tại và là giá trị khởi tạo
của quá trình xử lý lặp đợc xác định bằng công thức dự báo. Nếu áp dụng các
phơng pháp giải trực tiếp - phơng pháp Newton cải tiến thì giá tính toán
thông thờng quá cao khi
n
t
0()
Y
n
s
d lớn, do giá của việc phân tích

L
U cao. Dựa trên
kỹ thuật của Butcher, để giảm giá tính toán phân tích
L
U trên mỗi bớc lặp ta

4
sử dụng ánh xạ
để nhận đợc hệ phơng trình tuyến tính
với ma trận hệ số có dạng
() ()
Y( )
j
n
QIU=
j
n
1
n
I
QAQhJ

(Q không suy biến). Từ đó bằng
cách chọn
Q
sao cho là dạng đờng chéo hoặc dạng tam giác, khi đó
hệ phơng trình sau khi thực hiện ánh xạ có thể chia thành các hệ con có kích
thớc nhỏ hơn
1
QAQ

s
d và có thể giải song song. Trong [28] các phơng pháp RK
kiểu Gauss-Legendre hoặc kiểu Radau đều có ma trận Butcher với chỉ một giá
trị riêng thực. Vì thế ta có thể đa đến các hệ phơng trình phức kích thớc

hoặc các hệ phơng trình thực với kích thớc 2

d
d.
Cách thứ hai, không giải trực tiếp các phơng trình trong (4) mà xây
dựng lợc đồ lặp sau đây (xem trong [34])

, (6)
00
1
1
()
Ye
()
()(Y) )(e )
nn n
yhBIF hIFy
n


=+ +

j
(C

(7)
1
1
,
1, , ,
jj
nn n n
yhBIF hABIF
jm



=+ +
=
() () ( )
Ye ()(Y)(())(Y)

, (8)
1
()
(b ) (Y )
T
nn
m
yy h IF
n


=+

trong đó
B
và C là các ma trận tự chọn hợp lý và là số nguyên dơng cố
định. Các phơng pháp này gọi là phơng pháp lặp với số lần lặp cố định.
m
Khi nghiên cứu các phơng pháp (6)-(8) ta thờng cố gắng xây dựng
các dự báo
có cấp chính xác cao để giảm số lần tính toán hàm vế phải.
Trong trờng hợp
0()
Y
n
0
B
C== chúng ta nhận đợc lớp các phơng pháp lặp
song song dạng RK (các phơng pháp PIRK)
.( 1)
s
m
+
nấc với số lần tính toán
hàm vế phải
1
*
s
m=+. Khi
B
là ma trận đờng chéo ta nhận đợc lớp các
phơng pháp đờng chéo (xem [34, tr. 4-13]).
D

Với sự ra đời của máy tính song song và các phần mềm tính toán tự
động có hiệu quả, các phơng pháp song song dạng Runge-Kutta đang trở
thành các phơng pháp số có hiệu quả trong lĩnh vực giải tích số của phơng
trình vi phân và khoa học tính toán hiện đại.

5
Xây dựng các phơng pháp song song dạng Runge-Kutta mới có hiệu
quả đang là mối quan tâm lớn của nhiều nhà toán học trong lĩnh vực giải tích
số của phơng trình vi phân. Luận án của chúng tôi cũng không nằm ngoài
mục đích trên là nghiên cứu và xây dựng các phơng pháp song song dạng
Runge-Kutta mới có hiệu quả nhằm góp phần vào lĩnh vực nghiên cứu thời sự
này. Ngoài 2 phần mở đầu và kết luận, luận án đợc trình bày thành bốn
chơng.
Chơng 1 dành cho việc trình bày tổng quan các phơng pháp RK, giới
thiệu các khái niệm và các kết quả nghiên cứu chính về các phơng pháp RK
cần thiết cho các chơng sau.
Chơng 2 đề xuất phơng pháp lặp song song dự báo-hiệu chỉnh dạng
Runge-Kutta liên tục. Xuất phát từ việc khảo sát lợc đồ lặp song song
dự báo-hiệu chỉnh dựa trên phơng pháp hiệu chỉnh Runge-Kutta dạng trùng
khớp giải bài toán (1), bằng cách sử dụng các xấp xỉ số liên tục làm các giá trị
dự báo trên mỗi nấc trong quá trình lặp, chúng tôi nhận đợc các phơng pháp
lặp song song dự báo-hiệu chỉnh dạng RK liên tục với các dự báo có cấp chính
xác cao (Định lý 2.2). Các thử nghiệm số cho thấy phơng pháp mới của
chúng tôi hiệu quả hơn so với các phơng pháp song song và các phơng pháp
tuần tự DOPRI5 và DOP853 có trong các tài liệu.
Chơng 3 trình bày phơng pháp lặp song song giả RK hai bớc. Từ
một phơng pháp
s
nấc giả RK hai bớc có cấp chính xác
*

p
với w nấc ẩn
(xem trong [22]), chúng tôi áp dụng một xử lý lặp song song dự báo-hiệu
chỉnh cấp chính xác cao theo phơng thức
. Kết quả chúng tôi
nhận đợc phơng pháp song song dự báo-hiệu chỉnh gọi là các phơng pháp
lặp song song giả Runge-Kutta hai-bớc (IPIPTRK) với công thức dự báo cải
tiến (cấp chính xác cao). Phơng pháp mới sử dụng số bộ xử lý tối u bằng
. Các thử nghiệm số cho thấy phơng pháp lặp song song giả RK
hai bớc (IPIPTRK) hiệu quả hơn các phơng pháp song song và tuần tự
DOPRI5 và DOP853 đã biết.
()
m
PE CE E
2
*
/wp
Trong chơng cuối chúng tôi đề xuất phơng pháp lặp song song dự
báo-hiệu chỉnh dạng RK hai bớc một liên tục. Điểm xuất phát là các phơng

6
pháp lặp song song dự báo-hiệu chỉnh dựa trên véctơ trùng khớp của các
phơng pháp hiệu chỉnh RK liên tục. Trên bớc thứ
, công thức tính liên tục
không chỉ đợc sử dụng cho việc dự báo các giá trị nấc trong các phơng pháp
lặp dự báo-hiệu chỉnh mà còn sử dụng để tính các giá trị tại bớc thứ
n
2n
+
.

Trong trờng hợp đó quá trình tính toán có thể thực hiện hai bớc một. Kết
quả là các phơng pháp lặp song song dạng RK hai bớc một liên tục (các
phơng pháp TBTPIRKC) cho ta quá trình tích phân nhanh hơn. Các thử
nghiệm số cho thấy các phơng pháp TBTPIRKC có hiệu quả hơn so với các
phơng pháp lặp song song dạng RK (PIRK) và các phơng pháp Runge-
Kutta tuần tự DOPRI5 và DOP853 đã biết.
Các kết quả của luận án đã đợc trình bày tại các seminar của Bộ môn
Toán học tính toán Khoa Toán- Cơ-Tin học trờng Đại học khoa học Tự
nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội. Các kết quả của này đợc trình bày trong
chơng 2
, chơng 3 và chơng 4.
Luận án đợc hoàn thành tại trờng Đại học Vinh và Khoa Toán- Cơ-
Tin học trờng Đại học khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, dới sự
hớng dẫn của GS TSKH Nguyễn Hữu Công và GS TSKH Phạm Kỳ Anh. Tác
giả xin bày tỏ lòng biết ơn và kính trọng sâu sắc đối với các thầy giáo hớng
dẫn của mình, những ngời thầy tận tuỵ và có một niềm say mê lớn lao dành
cho khoa học.
Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo, các bạn
đồng nghiệp trong khoa Toán- Cơ-Tin học trờng ĐHKHTN, Đại học Quốc
gia Hà Nội, Khoa Toán và Khoa CNTT Đại học Vinh đã dành cho tác giả sự
động viên và nhiều sự giúp đỡ quí báu.
Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Ban Giám
hiệu, Phòng đào tạo Sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa Toán- Cơ-Tin học
trờng ĐHKHTN, Đại học Quốc gia Hà Nội, Ban Giám hiệu và các phòng
chức năng của trờng Đại học Vinh, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả
hoàn thành nhiệm vụ.


7
Chơng 1

Tổng quan về Các phơng pháp Runge-Kutta
Trong chơng này chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản và kết quả
nghiên cứu chính của các phơng pháp Runge-Kutta cần thiết cho các chơng
sau. Trong phần thứ nhất chúng tôi đa ra các khái niệm cơ bản của phơng
pháp Runge-Kutta tổng quát. Phần thứ hai trình bày các kết quả nghiên cứu
chính về các phơng pháp Runge-Kutta hiển (ERK). Phần thứ ba trình bày các
khái niệm các phơng pháp Runge-Kutta ẩn dạng trùng khớp, các điều kiện
cấp
, C( s )
B
(s) và một số kết quả đã biết. Các khái niệm và các kết quả
nghiên cứu chính về các phơng pháp lặp song song dạng Runge-Kutta đợc
trình bày trong phần bốn.
1.1 Các khái niệm cơ bản của phơng pháp Runge-Kutta (RK)
Các phơng pháp Runge-Kutta trình bày sau đây là để giải số bài toán giá trị
đầu không cơng (IVPs) cho hệ phơng trình vi phân cấp một (nh đã nói
trong phần mở đầu) dạng

=
'
()ty
(, ())
f
tyt
, , y
f
, = ,
d
\
0

()yt
0
y
0
,ttT
0


(1.1.1)
hoặc dạng thuần nhất

=
'
()ty
(())
f
yt
, , y
f
, = ,
d
\
0
()yt
0
y
0
.ttT
0

(1.1.2)
Không mất tổng quát, để thuận tiện trong tính toán, biểu diễn và chứng minh,
nhiều khi chúng ta chỉ xét bài toán giá trị đầu cho các hệ phơng trình vi phân
thờng dạng thuần nhất.
Phơng pháp số đơn giản nhất giải bài toán (1.1.1)-(1.1.2) là các
phơng pháp Euler. Các phơng pháp Euler là phơng pháp một bớc, có độ
chính xác không cao. Cấp chính xác của các phơng pháp Euler đều bằng
một. Các phơng pháp Euler ẩn là
A

ổn định còn miền ổn định của các
phơng pháp Euler hiển là rất hạn chế.
Runge (1895) đã mở rộng các phơng pháp Euler bằng cách thêm vào

8
đánh giá hàm vế phải
f
kiểu Euler ở giữa đoạn lấy tích phân, Kutta (1901)
đã xây dựng các phơng pháp cấp 3 và cấp 4 nổi tiếng bằng cách thêm các
đánh giá hàm vế phải
f
tại điểm giữa và điểm cuối của bớc lấy tích phân.
Trong các phơng pháp số, các phơng pháp Runge-Kutta là các
phơng pháp có nhiều tính chất khá hoàn hảo nh cấp chính xác cao, tính ổn
định tốt, đặc biệt chúng tiềm ẩn tính song song hoá cao khi xử lý trên máy
tính song song mà các phơng pháp khác không có.
Chúng ta xét phơng pháp Runge-Kutta tổng quát
s
nấc để giải bài

toán (1.1.1), hoặc (1.1.2) nh đã nói trong phần mở đầu đợc xác định nh sau
(1.1.3) ,
,
1
( , ) 1, , ,

YY
s
ij
ni n n j n j
j
yh aftch i s
=
=+ + =

,
j

, (1.1.4)
1,
1
= ( , )Y
s
nn jnjn
j
yyhbftch
+
=
++

trong đó ma trận
x
()
ij s s
A
a= , các véctơ
s

chiều và là = ( )c
is
c ()b
is
b=
các ma trận và các véctơ tham số của phơng pháp.
là các véctơ nấc
biểu diễn xấp xỉ lời giải chính xác tại các điểm
,
,
,
Y
ni
, 1, ,
ni
tchi+=s
nn
yyt
,
()Y
ni n i
yt ch+

(),
nn
yyt
11
(),

ht
+
+

1nn
t
+
=

s
#
là độ dài bớc.
Phơng pháp (1.1.3)-(1.1.4) đợc biểu diễn bằng bảng Butcher nh sau
1
s
c
c
#
hay

1
11
1
s

ss
a
a
aa
"
#
"
1 s
bb
"
c
A




T
b
Trong các phơng pháp RK dạng (1.1.3)-(1.1.4) để tính các xấp xỉ
trung gian
ta phải giải các hệ phơng trình với độ phức tạp tính toán lớn.
Nếu (1.1.3)-(1.1.4) là phơng pháp Runge-Kutta ẩn để xác định các

chúng ta phải giải hệ phơng trình (thông thờng là phi tuyến) gồm
,
Y
ni
,
Y
ni

.
s
d
phơng trình kích thớc
.
s
d vì thế đối với phơng pháp IRK độ phức tạp tính

9
toán rất lớn. Đặt


()
()
.
,
,1 ,
.
1,1 ,
, . . .,
(,)(,),. . ., (,)
T
TTsd
nn ns
T
TT
nn n n nsns
Ft h ft ch ft ch
=
+=+ +

YY Y
ecY Y Y
\
Khi đó ta có thể biểu diễn phơng pháp (1.1.3)-(1.1.4) dới dạng tích
tenxơ nh sau

, (1.1.5)
d
()( ,
nn n
yhAIFt h=+ +Ye e cY)
n
)
n
Y

, (1.1.6)
1d
()(,
T
nn n
yyhIFth
+
=+ +bec
trong đó
là tích Kronecker,
d
I
là ma trận đơn vị thuộc .
d

R

1.1.1. Tính ổn định của phơng pháp Runge-Kutta (RK)

Để nghiên cứu tính ổn định (tuyến tính) của phơng pháp Runge-Kutta
(1.1.3)-(1.1.4), ta dựa vào phơng trình thử , trong đó biến đổi
trên nửa mặt phẳng trái (
'
() ()yt yt

=
0()
R
e
<
). Giả sử
()
1
I
zA

tồn tại, khi đó sự ổn
định của phơng pháp Runge-Kutta (1.1.3)-(1.1.4) phụ thuộc vào hàm
ổn định
()
1
():1
T
R
zzIzA

=+ b e. Thật vậy áp dụng phơng pháp Runge-
Kutta (1.1.5)-(1.1.6) vào phơng trình thử (xét cho trờng hợp vô hớng chỉ
có một phơng trình) ta có

Ye Y e Y
nn n n
yhA yzA
n

=+ = + , :zh

=
(1.1.7)

. (1.1.8) bY bY
T
nn nn
yyh yz

=+ =+
T
n
n
Từ (1.1.7) ta có
()
1
Y
n
I

zA y

= , thay vào (1.1.8) ta nhận đợc
() ()
11
1
(1 ) ( )

TT
n
nn n
y yzIzAey zIzAeyRzy

+
=+ =+ =bb
n
,
()
1
():1
T
R
zzIzA

=+ b e gọi là hàm ổn định của phơng pháp kiểu Runge-
Kutta (1.1.3)-(1.1.4). Ta có các định nghĩa sau:

10
Định nghĩa 1.1.1. Giá trị
0

z

C đợc gọi là điểm ổn định của phơng pháp
Runge-Kutta (1.1.3)- (1.1.4) nếu
0
1()Rz
<
.

Định nghĩa 1.1.2. Miền ổn định của phơng pháp Runge-Kutta (1.1.3)-
(1.1.4) đợc xác định nh sau

{
}
1:|()
stab
zRz

=
<^S .
Định nghĩa 1.1.3.
a) Nếu thì phơng pháp Runge-Kutta (1.1.3)-(1.1.4) đợc
gọi là
stab


^ S
A
ổn định.
b) Phơng pháp Runge-Kutta (1.1.3)-(1.1.4) đợc gọi là

L
ổn định
nếu nó là
A

ổn định và 0
R
z
=
() khi
z
=

( 0
R

=() ).
c) Phơng pháp Runge-Kutta (1.1.3)-(1.1.4) đợc gọi là ổn định tuyệt
đối (
A
ổn định mạnh) nếu nó là
A

ổn định và 1()
R

<.
d) Giá trị lớn nhất
để cho
1()Rz

<
với mọi nằm trong khoảng
đợc gọi là biên ổn định của phơng pháp.
z
, 0()

Định lý 1.1.1. Hàm ổn định
()
R
z của phơng pháp Runge-Kutta (1.1.3)-
(1.1.4) đợc xác định nh sau


det( )
()
det( )
eb
T
IzAz
Rz
IzA
+
=

.

Nhận xét nếu phơng pháp Runge-Kutta là hiển (ERK) thì
det 1
I
zA=(), khi đó hàm ổn định của nó là một đa thức () ()

R
zPz= , vì thế
đối với phơng pháp ERK không có ổn định tuyệt đối, hơn nữa cấp chính xác
lớn nhất của phơng pháp Runge-Kutta hiển
s

nấc là
s
(xem trong [7, tr.
87]). Nếu áp dụng vào phơng trình thử ta có hàm ổn định của các phơng
pháp Runge-Kutta có dạng

= (1 +
1
(
n
yt
+
)
1!
z
+
2
2!
z
+ . . . +
!
p
z
p

)
1
)((
p
n
Oyt h
+
+
).

11
Từ đó ta có hàm ổn định
R
(z) có dạng

R
(z) = (1 +
1!
z
+
2
2!
z
+ . . . +
!
p
z
p
)
1

()
p
Oz
+
+
Nếu phơng pháp Runge-Kutta có
s
p
=
thì

R
(z) = 1 +
1!
z
+
2
2!
z
+ . . . +
!
p
z
p
. (1.1.9)
Nếu phơng pháp Runge-Kutta là ẩn (IRK) thì hàm ổn định là một phân
thức dạng
()
()

Pz
Qz
, và là các đa thức của , vì thế các phơng pháp
Runge-Kutta ẩn có tiềm năng ổn định tuyệt đối.
()Pz ()Qz z
Dạng tổng quát của hàm ổn định là

()
() , , ,
()
k
m
p
z
R
zk
qz
ms
=
(1.1.10)
trong đó
k
p
và tơng ứng là các đa thức bậc và bậc của . Nếu cấp
của xấp xỉ này so với
là k
m
q k m
z
z

e m
+
, thì (1.1.10) đợc gọi (, cặp xấp xỉ.
Ehle (1969) đã phỏng đoán rằng một phơng pháp kiểu Runge-Kutta có hàm
ổn định là cặp xấp xỉ
(, là
)km
)ks
A
- ổn định khi và chỉ khi 2
s
ks
)
điều này
đợc chứng minh bởi Wanner (1978). Ehle (1969) đã chứng minh rằng cặp
xấp xỉ
1(,
s
s và 2(,)
s
s cho ta các phơng pháp Runge-Kutta
L

ổn định
(xem trong [7, tr. 87]).

1.1.2. Cấp chính xác của phơng pháp Runge-Kutta

Trong mục này chúng ta xét cấp chính xác của các phơng pháp Runge-
Kutta tổng quát. Việc xây dựng phơng pháp có cấp chính xác cao và giảm

thiểu số lần tính toán hàm vế phải là thử thách chung khi xây dựng các
phơng pháp RK giải các bài toán (1.1.1). Vì vậy việc nghiên cứu cấp chính
xác là yêu cầu cần thiết khi xây dựng các phơng pháp RK có hiệu quả.
Định nghĩa 1.1.4. Phơng pháp Runge-Kutta (1.1.3)-(1.1.4) có cấp chính
xác
p
nếu
1
)
p
11
() (
nn
yt y Oh
+
++
= với
1
(
n
yt )
+
là nghiệm chính xác của bài
toán (1.1.1).

12
Thay vào phơng trình (1.1.4) các giá trị xấp xỉ tơng ứng bằng các giá
trị chính xác
= ,
n

y ()
n
yt
,
(Y
ni n i
yt ch)
=
+ , ta có

=
11
()
nn
yt y
++

1
()()
nn
yt yt
+

1
(, ())
s
ini ni
i
h b f t ch y t ch
=

+

.+
1
()
p
Oh
+
=

Định nghĩa 1.1.5. Phơng pháp Runge-Kutta (1.1.3)-(1.1.4) có cấp chính
xác trung gian (cấp chính xác nấc)
nếu q
,
()Y
ni ni
yt ch
+

1
()
q
Oh
+
= với
mọi
, ( ). 1, 2, , is=
()
nn
yyt=

Trong thực hành tính toán, cấp xấp xỉ trung gian (cấp chính xác nấc)
của phơng pháp lặp RK có vai trò rất quan trọng khi chúng ta cần giải các
bài toán cơng. Cấp chính xác nấc lớn nhất của một phơng pháp Runge-
Kutta
s
nấc là
s
(xem trong [7, tr. 80]). Trong phần 1.4 chúng tôi sẽ trình
bày các phơng pháp RK có cấp chính xác cao và chỉ ra rằng nếu cấp chính
xác nấc càng cao thì số lần tính toán hàm vế phải càng nhỏ, đó là các phơng
pháp lặp song song dạng Runge-Kutta đã đợc quan tâm nghiên cứu của
nhiều nhà toán học trong lĩnh vực giải số phơng trình vi phân.

1.2. Các phơng pháp Runge-Kutta hiển (ERK)

Các phơng pháp Runge-Kutta hiển đợc phát triển cho đến cuối những
năm 60, vì trong thời gian này các công cụ tính toán cha đủ mạnh. Việc
nghiên cứu và xây dựng các phơng pháp RK ẩn (IRK) cha đợc quan tâm
nhiều, do độ phức tạp tính toán của các phơng pháp này quá lớn. Trong các
thập kỷ đó các công trình nghiên cứu chủ yếu tập trung cho các phơng pháp
ERK. Các phơng pháp ERK là các phơng pháp số có hiệu quả nhất khi giải
bài toán không cơng (1.1.1). Việc xây dựng các phơng pháp ERK có cấp
chính xác cao là quá trình xử lý hoàn toàn khác với việc xây dựng các phơng
pháp RK ẩn. Trong trờng hợp bộ hệ số không xác định duy nhất, các phơng
pháp hiển có cấp chính xác nấc cao nhất là
, trong khi đó đối với các phơng
pháp ERK sự hạn chế quá lớn khi mà trong nấc đầu tiên là bớc tính kiểu
r

13

Euler và vì thế cấp chính xác nấc lớn nhất là 1. Butcher (1964) là ngời đầu
tiên cố gắng xây dựng phơng pháp luận cho việc xây dựng các phơng pháp
ERK có cấp chính xác cao và đã chứng minh các kết quả sau đây (xem trong
[7, tr. 88- 89]).

Định lý 1.2.1. Không tồn tại phơng pháp Runge-Kutta hiển
s
nấc có cấp
chính xác
,
p
s= với 5
p
.

Định lý 1.2.2. Không tồn tại phơng pháp Runge-Kutta hiển
s
nấc có cấp
chính xác
p
s+=, ( hoặc 1 = 2
=
), với 6
p
+.
Các phơng pháp ERK có cấp chính xác cao thờng đợc xây dựng
bằng phơng pháp cặp kẹp đôi của một phơng pháp có cấp chính xác cao và
một phơng pháp có cấp chính xác thấp hơn và trong quá trình tính toán có
thể thay đổi bớc lới. Phơng pháp kẹp đôi một phơng pháp ERK
s

nấc
với cấp chính xác
với một phơng pháp ERK w 1()
s
+
nấc có cấp chính xác
lần đầu tiên đợc Sarafyan (1966), Fehlberg (1968) và England (1969)
xem xét (xem trong [7, tr. 89-92]). Hairer đã xây dựng đợc phơng pháp
ERK có cấp chính xác đến 10 (xem trong [27])
1w+
Vậy nếu

c
A


1n
y
+

T
b
là biểu diễn của một phơng pháp kẹp đôi, khi đó

1
c
c
s
+

T
A



1

n
y
+

T

b
,
trong đó
biểu diễn phơng
pháp đánh giá sai số. Trong trờng hợp phơng pháp ERK thì
= 0.
, , . . .,
11 1 1 1 1
, . . ., ()(
,,


b
TT
sss
aa bb==

+++

)
s
+
1
a
1,ss++
Do đó

14


1
T

nn
yy=
+
n
)
bf bf


++

=

+

=
hb
11
1

()(Y) (Y
s
jj j s s
j
là đánh giá sai số địa phơng theo phơng pháp có cấp chính xác thấp hơn.
Các cặp kẹp đôi này thờng đợc biểu diễn dới dạng bảng sau
1
c
s
+

T
A



c

b
T

b

T

Lời giải có thể phát triển theo phơng pháp cấp chính xác cao hoặc cấp
chính xác thấp. Hầu hết các CODEs sẵn có của các phơng pháp ERK đều
dựa trên những công trình rất sớm của Fehlberg (1968), ngời đã xây dựng
các phơng pháp kẹp đôi với các cặp (5, 6), (6, 7), (7, 8) và (8, 9) tơng ứng
với 8, 10, 13 và 17 nấc. Verner (1978) đã xây dựng các cặp (5, 6), (6, 7), (7, 8)
và (8, 9). Cặp (5, 6) của Verner là cơ sở của CODE DVERK đợc sử dụng
cho các bài toán cơng khi không yêu cầu độ chính xác cao. Prince và
Dormand (1981) đã tìm đợc các cặp (5, 6) và (7, 8) với sự đánh giá sai số
đáng tin cậy, sau đó đợc Hairer và Wanner phát triển thành các CODE
DOPRI5 và DOP853 (xem [28]). Cặp (7, 8) có 13 nấc và thích hợp cho việc
đánh giá dung sai (
TO ) của sai số chặt chẽ hơn. Các kết quả xây dựng và
nghiên cứu về các phơng pháp Runge-Kutta hiển đợc liệt kê trong bảng 1.1.
Trong bảng đó chỉ ra các quan hệ giữa số nấc
L
s
và cấp chính xác
p
của các
phơng pháp Runge-Kutta hiển (ERK).

Bảng 1.1. Cấp chính xác của các phơng pháp Runge-Kutta hiển

Cấp
p
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
s
lý thuyết 1 2 3 4 6 7 9 11
12 13
s

thực tế 1 2 3 4 6 7 9 11 - 17
.

15
1.3. Các phơng pháp Runge-Kutta dạng trùng khớp (Collocation)
Các phơng pháp Runge-Kutta ẩn (IRK) đã đợc nghiên cứu một cách đầy đủ
trong nhiều công trình (xem trong [7], [10], [28], [29]). Đây là một lớp các
phơng pháp số đợc xây dựng và quan tâm nghiên cứu nhiều trong vài chục
năm nay. Các phơng pháp này có một số tính chất khá hoàn hảo nh cấp
chính xác cao, tính ổn định tốt và hội tụ nhanh. Đó là các lớp các phơng pháp
Gauss-Legendre của Butcher, Randau IA, IIA của Axelsson và Ehle, Lobatto
IIIA, IIIB, IIIC của Ehle và Chipman (xem trong [2, tr. 13], [28]). Mặc dầu
các phơng pháp IRK có những tính chất tốt nh vậy nhng trớc đây vì quá
phức tạp khi phải tính toán lớn trong mỗi bớc để xác định các véctơ xấp xỉ
trung gian (các công cụ tính toán chính nh máy tính cha phát triển) nên
chúng vẫn cha phải là các phơng pháp đợc dùng phổ biến nh những
phơng pháp dạng Adams hoặc công thức sai phân lùi BDF. Sau khi Butcher
(1976, [9]) đa ra một giải pháp khá hữu hiệu để khắc phục tình trạng này thì
các phơng pháp IRK mới bắt đầu trở nên thông dụng hơn. Một chơng trình
máy tính viết bằng ngôn ngữ FORTRAN77 tự động tính toán cho các phơng
pháp có cấp chính xác bằng 5 dựa trên giải pháp của Butcher và phơng pháp
IRK Randau IIA có tên là RADAU5 đã ra đời (xem trong [28], [29]). Sau đây
chúng tôi chỉ trình bày về một lớp các phơng pháp Runge-Kutta ẩn là các
phơng pháp IRK dạng trùng khớp. Các phơng pháp Runge-Kutta ẩn cũng có
thể xem xét tuỳ theo chúng có phải là các phơng pháp trùng khớp hay
không. Lớp các phơng pháp IRK dạng trùng khớp đã đợc quan tâm nghiên
cứu và đạt đ
ợc nhiều kết quả, (xem trong [14], [20]). Sự trùng khớp là ý
tởng có từ lâu đợc ứng dụng rộng rãi trong giải tích số và nó bao gồm một
hàm đợc chọn (thờng là đa thức) và tập các điểm trùng khớp, sau đó yêu

cầu tại các điểm trùng khớp hàm đợc chọn có hành vi biến đổi giống nh
hàm cha biết mà chúng ta đang cố gắng xấp xỉ số (xem trong [41, tr.194-
197]).
Thật vậy chúng ta xây dựng một đa thức
cấp P( t )
s
và tập các điểm
trùng khớp
{
}
1
ni
t c h, i , ,s+=
sao cho

16


'
1
n n ni ni ni
P(t)y,P(tch)f(tch,P(tch),i, ,s=+=++= .
Bằng nội suy và tích phân trên các bớc từ đến chúng ta nhận
đợc các công thức tính các hệ số của ma trận tham số
n
t
1n
t
+
ij

a
A
và các thành
phần
của véctơ tham số bxác định nh sau
j
b

:=
ij
a
0
()
c
i
j
L
xdx

, 1i , ,s
=
,
j
b :=
1
0
()
j
x
dx

L

, 1j , ,s
=
, (1.3.1)
trong đó
1
j
L
( x ), j , ,s= là các đa thức nội suy Lagrange của .
'
P(t)
Bằng cách đó ta nhận đợc phơng pháp Runge-Kutta ẩn
s
nấc với
các thành phần của véctơ
c là các điểm trùng khớp, véctơ bvà ma trận
A
xác
định bởi (1.3.1). Các phơng pháp Runge-Kutta ẩn có thể nhận đợc bằng
cách này thuộc lớp các phơng pháp Runge-Kutta dạng trùng khớp. Giả sử
bây giờ ta xét phơng pháp RK (1.1.3)-(1.1.4) cho bài toán (1.1.1) với
, () ()
f
ty ft= . Quan hệ (1.1.3) có thể hiểu nh là công thức cầu phơng
()
tch
ni
t
n

f
tdt
+

, . Khi đó mỗi một công thức cầu phơng sẽ là chính
xác nếu
1, , is=
f
là đa thức của t cấp nhỏ hơn hoặc bằng 1
s

và ta có

()
tch
ni
t
n
f
tdt
+

.
1
s
ij n j
j
haftch

=
+

Giả sử rằng
()
f
t là đa thức bậc nhỏ hơn hoặc bằng 1
s
và ()
f
t = ,
, khi đó ta có các đẳng thức sau
r
t
1, . . ., 1r=s
1
rr
ni n
tch t r
++



+ +
1
()
s
r
ij n j

j
at ch
=
+


= , .
11
() /() 1, . . ., 1rs=
So sánh các hệ số theo luỹ thừa của
ta dễ dàng nhận đợc các quan hệ sau h


1
1
/
s
ij j j
j
ac c



=
=

,
1, . . . , . s
=
(1.3.2)

17
Nhận xét nếu
, khi đó (1.3.2) chính là điều kiện tổng của hàng.
Điều kiện (1.3.2) là cần và đủ để một phơng pháp IRK là dạng trùng khớp
(xem trong [41, tr. 195-196]). Các phơng pháp: Gauss, Radau IIA và
Lobatto IIIA là các phơng pháp dạng trùng khớp; Radau IA, Lobatto IIIB và
Lobatto IIIC không phải là các phơng pháp dạng trùng khớp.
1 =
Chúng ta có thể xây dựng các phơng pháp IRK dạng trùng khớp bằng
cách lựa chọn véctơ trùng khớp
, sau đó xác định ma trận c
A
, véctơ bằng
các điều kiện cấp. Sau đây chúng tôi trình bày các điều kiện cấp để xác định
ma trận
b
T
A
, véctơ theo véctơ c . Không mất tổng quát, để thuận lợi trong
biểu diễn chúng ta xét trờng hợp vô hớng, các khẳng định trong trờng hợp
vô hớng vẫn đúng cho trờng hợp tổng quát. Khi đó phơng pháp Runge-
Kutta (1.1.3)-(1.1.4) có dạng
b
T
, (1.3.3) ( , )Ye e cY
nn
yhAft h
n
=+ +

n
)
n
. (1.3.4)
1
(,becY
T
nn n
yyhfth
+
=+ +
Để thuận lợi trong biểu diễn và chứng minh, ta có thể viết phân tích
theo chuỗi Taylor của hàm
()
f
x tại
0
x
theo luỹ thừa h dới dạng hình thức
()
'
00
00
() ()
( ) ( ) . . .
1! !
j
j
fx f x
fx h fx h h

j
+= + ++ +
=
00
0
exp ( ) ( )
j
j
dd
hfx h fx
dt dt







=

=

.
Bây giờ nếu thay
bằng giá trị chính xác của véctơ xấp xỉ trung gian
vào (1.3.3) ta có
n
Y
(ec
n

yt h+ )
)()ec
n
yt h+
- -
()e
n
yt
1
'
()(ec
q
n
hAy t h O h
+
+=
.
Bằng khai triển Taylor tại
theo luỹ thừa và nhóm các hệ số ta có
điều kiện cấp
nh sau
n
t h
()Cq

1
j
j
A
j

=
c
c
, với 1, . . . , jq
=
. (1.3.5)

18