Dãy số và một số phương pháp giải toán về dãy số

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
- - - - - - - - - - - - - - - - - -
Đặng Thị Thảo
DÃY SỐ VÀ MỘT SỐ PHƯƠNG
PHÁP GIẢI TOÁN VỀ DÃY SỐ
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số: 60.46.40
Người hướng dẫn khoa học
GS. TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU
HÀ NỘI - NĂM 2011
MỤC LỤC
Mở đầu 3
1 Dãy số 5
1.1 Định nghĩa và các định lý cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Một vài dãy số đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Một số bài toán áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Một số phương pháp giải bài toán về dãy số 18
2.1 Một số phương pháp giải bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số 18
2.1.1 Phương pháp quy nạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.2 Phép thế lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.3 Phương pháp sử dụng phương trình sai phân, tính chất
của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.4 Kỹ thuật tuyến tính hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2 Một số phương pháp giải bài toán tìm giới hạn của dãy số . . . . 38
2.2.1 Giới hạn của dãy số lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2.2 Giới hạn của dãy trung bình Cesaro . . . . . . . . . . . . . 41
2.2.3 Giới hạn của dãy phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3 Một số phương pháp giải bài toán về dãy số trong số học . . . . . 48
2.3.1 Phương pháp quy nạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.3.2 Nguyên lý Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3.3 Dãy số sinh bởi phần nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.4 Một số phương pháp ước lượng tổng và tích của một số dãy số . . 55
2.4.1 Phương pháp sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.4.2 Phương pháp đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.4.3 Sử dụng số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
1
3 Một số phương pháp thiết lập bài toán mới về dãy số 64
3.1 Xây dựng dãy số hội tụ sinh bởi các đại lượng trung bình . . . . . 64
3.1.1 Trường hợp cùng chỉ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.1.2 Trường hợp lệch chỉ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.1.3 Phối hợp ba dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.2 Xây dựng dãy số là nghiệm của một họ phương trình . . . . . . . 79
Kết luận 86
Tài liệu tham khảo 87
2
MỞ ĐẦU
Đề tài về dãy số thuộc một lĩnh vực rất khó và rộng (xem [1] - [8]), sử dụng
nhiều kiến thức khác nhau của toán học. Mục tiêu của luận văn này nhằm đề
cập đến một số vấn đề cơ bản của dãy số liên quan đến chương trình toán bậc
phổ thông. Nội dung chủ yếu của đề tài "Dãy số và một số phương pháp giải
toán về dãy số" là hệ thống một số phương pháp giải toán về dãy số và một số
cách xây dựng bài toán mới về dãy số. Đó là một số phương pháp giải bài toán
xác định số hạng tổng quát của dãy số, bài toán tìm giới hạn của dãy số, bài
toán về dãy số trong số học và bài toán ước lượng tổng và tích của dãy số. Và
một số cách thiết lập bài toán mới về dãy số như thiết lập dãy số từ các đại
lượng trung bình, dãy số là nghiệm của họ phương trình. Để giải quyết được
những bài toán này, ta cần những kiến thức tổng hợp về tính chất dãy số, giới
hạn của dãy số, Mục tiêu của luận văn là hệ thống phương pháp và xây dựng
bài toán minh họa, tổng quát về các vấn đề đã nêu ở trên.

Nội dung của luận văn gồm phần Mở đầu, Kết luận và được phân thành ba
chương, đề cập đến các vấn đề sau.
• Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản của dãy số gồm một số định
nghĩa, định lý, một vài dãy số đặc biệt và một số bài toán áp dụng.
• Chương 2 hệ thống một số phương pháp giải toán về dãy số. Với bài toán
xác định công thức tổng quát của dãy số hệ thống các phương pháp như
quy nạp, phép thế lượng giác, sử dụng phương trình sai phân, tính chất
của hàm số, kỹ thuật tuyến tính hóa. Với bài toán tìm giới hạn của dãy số,
xét các dạng bài toán dãy số dạng lặp, dãy trung bình Cesaro, dãy phân
tuyến tính. Với bài toán về dãy số trong số học có các phương pháp như
quy nạp, nguyên lý Dirichlet, dãy sinh bởi phần nguyên. Với bài toán ước
lượng tổng và tích của dãy số, hệ thống các phương pháp như sai phân,
đại số, sử dụng số phức.
3
• Chương 3 trình bày một số cách thiết lập bài toán mới về dãy số như thiết
lập dãy số từ các đại lượng trung bình (trung bình cộng, trung bình nhân,
trung bình điều hòa), dãy số là nghiệm của họ phương trình.
Tác giả xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến GS.TSKH.
Nguyễn Văn Mậu. Thầy đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo cho học trò trong quá
trình học tập, nghiên cứu và giúp tác giả hoàn thành được luận văn này.
Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy giáo, cô giáo Khoa
Toán - Cơ - Tin học và seminar Phương pháp Toán sơ cấp của trường Đại học
Khoa học Tự Nhiên- Đại học Quốc gia Hà Nội đã nhận xét, góp ý cho bản luận
văn này.
Xin bày tỏ tình cảm chân thành tới gia đình, bạn bè đã quan tâm, động viên
và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập tại trường.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song trong quá trình thực hiện không tránh
khỏi những sơ suất vì vậy tác giả rất mong được các thầy cô giáo, các bạn đồng
nghiệp góp ý để bản luận văn được hoàn thiện hơn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 25 tháng 11 năm 2011
Học viên
Đặng Thị Thảo
4
CHƯƠNG 1
DÃY SỐ
Chương này giới thiệu những khái niệm cơ bản về dãy số, đó là các định
nghĩa, định lý và một số dãy số đặc biệt. Những kiến thức này em xem và trình
bày lại trong [1], [2].
1.1 Định nghĩa và các định lý cơ bản
Định nghĩa 1.1. Dãy số là một hàm số từ N
∗
(hoặc N) vào một tập hợp số
(N, Q, R, C) hay một tập con nào đó của các tập hợp trên. Các số hạng của dãy
số thường được kí hiệu là u
n
, v
n
, x
n
, y
n
thay vì u(n), v(n), x(n), y(n). Bản thân dãy
số được kí hiệu là {x
n
}.
Nhận xét 1.1. Vì dãy số là một trường hợp đặc biệt của hàm số nên nó cũng
có các tính chất của một hàm số.
Định nghĩa 1.2. Dãy số {u
n

} được gọi là dãy số tăng (giảm) nếu với mọi n
ta có u
n+1
≥ u
n
(u
n+1
≤ u
n
). Dãy số tăng hoặc giảm được gọi chung là dãy đơn
điệu.
Dãy số {u
n
} được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số thực M sao cho với mọi
n ∈ N ta có u
n
≤ M.
Dãy số {u
n
} được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số thực m sao cho với mọi
n ∈ N ta có u
n
≥ m.
Một dãy số vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới được gọi là dãy bị chặn.
Định nghĩa 1.3. Dãy {u
n
} được gọi là một dãy tuần hoàn (cộng tính) nếu tồn
tại số nguyên dương l sao cho
u
n+l

= u
n
, ∀n ∈ N. (1.1)
5
Số nguyên dương l nhỏ nhất để dãy {u
n
} thỏa mãn (1.1) được gọi là chu kỳ cơ
sở của dãy.
Dãy {u
n
} được gọi là một dãy phản tuần hoàn (cộng tính) nếu tồn tại số
nguyên dương l sao cho
u
n+l
= −u
n
, ∀n ∈ N. (1.2)
Số nguyên dương l nhỏ nhất để dãy {u
n
} thỏa mãn (1.2) được gọi là chu kỳ cơ
sở của dãy.
Ví dụ 1.1. Chứng minh rằng dãy số {u
n
} tuần hoàn cộng tính chu kỳ 2 khi và
chỉ khi dãy có dạng
u
n
=
1
2

[a + b + (a − b)(−1)
n+1
], a, b ∈ R.
Giải. Giả sử u
0
= b, u
1
= a. Theo giả thiết, dãy số {u
n
} tuần hoàn chu kỳ 2 nên
ta có
u
n+2
= u
n
, ∀n ∈ N.
- Nếu n = 2k + 1 thì u
n
= u
2k+1
= a =
1
2
[a + b + (a − b)(−1)
2k+2
].
- Nếu n = 2k thì u
n
= u
2k

= b =
1
2
[a + b + (a − b)(−1)
2k+1
].
Vậy
u
n
=
1
2
[a + b + (a − b)(−1)
n+1
], n ∈ N.
Ngược lại, nếu u
n
có dạng
u
n
=
1
2
[a + b + (a − b)(−1)
n+1
], a, b ∈ R, n ∈ N
thì với mọi n ∈ N ta có
u
n+2
=

1
2
[a + b + (a − b)(−1)
n+3
] =
1
2
[a + b + (a − b)(−1)
n+1
] = u
n
.
Suy ra u
n
là dãy tuần hoàn chu kỳ 2.
Ví dụ 1.2. Chứng minh rằng mọi dãy số {u
n
} phản tuần hoàn cộng tính chu
kỳ r đều có dạng
u
n
=
1
2
(v
n
− v
n+r
) với v
n+2r

= v
n
. (1.3)
Giải. Ta có u
n+r
= −u
n
với ∀n ∈ N và v
n
là dãy tuần hoàn cộng tính chu kỳ 2r.
Chọn u
n
= v
n
, ta có
1
2
(v
n
− v
n+r
) =
1
2
(u
n
− u
n+r
) =
1

2
(u
n
+ u
n
) = u
n
.
6
Ngược lại , ta thấy mọi dãy xác định theo (1.3) đều là dãy phản tuần hoàn chu
kỳ r. Thật vậy
u
n+r
=
1
2
(v
n+r
− v
n+2r
) =
1
2
(v
n+r
− v
n
) = −u
n
.

Ta có điều phải chứng minh.
Nhận xét 1.2. Dãy tuần hoàn chu kỳ 1 khi và chỉ khi đó là dãy hằng.
Định nghĩa 1.4. Dãy {u
n
} được gọi là một dãy tuần hoàn nhân tính nếu tồn
tại số nguyên dương s (s > 1) sao cho
u
sn
= u
n
, ∀n ∈ N. (1.4)
Số nguyên dương s nhỏ nhất để dãy {u
n
} thỏa mãn (1.4) được gọi là chu kỳ cơ
sở của dãy.
Dãy {u
n
} được gọi là một dãy phản tuần hoàn nhân tính nếu tồn tại số
nguyên dương s (s > 1) sao cho
u
sn
= −u
n
, ∀n ∈ N. (1.5)
Số nguyên dương s nhỏ nhất để dãy {u
n
} thỏa mãn (1.5) được gọi là chu kỳ cơ
sở của dãy.
Ví dụ 1.3. Chứng minh rằng dãy {u
n

} tuần hoàn nhân tính chu kỳ 2 khi và chỉ
khi dãy có dạng
u
n
=

α
n
tùy ý với n lẻ,
u
2k+1
với n = 2
m
(2k + 1), m ∈ N
∗
, k ∈ N.
Giải. Nhận thấy với mọi n ∈ N đều có thể viết dưới dạng n = 2
s
(2k + 1), với
mọi s ∈ N. Do đó
u
n
= u
2
s
(2k+1)
= u
2k+1
.
Vì vậy

u
n
=

α
n
tùy ý với n lẻ,
u
2k+1
với n = 2
m
(2k + 1), m ∈ N
∗
, k ∈ N.
Ngược lại, dễ thấy {u
n
} xác định như trên là dãy tuần hoàn nhân tính chu kỳ 2.
Ví dụ 1.4. Chứng minh rằng dãy {u
n
} phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ 2 khi
và chỉ khi dãy có dạng
u
n
=



α
n
tùy ý với n lẻ,

−u
2k+1
với n = 2
2m+1
(2k + 1), m ∈ N
∗
, k ∈ N,
u
2k+1
với n = 2
2m
(2k + 1), m ∈ N
∗
, k ∈ N.
7
Giải. Nhận thấy với mọi n ∈ N đều có thể viết dưới dạng n = 2
s
(2k + 1), với
mọi s ∈ N. Do đó
u
n
= u
2
s
(2k+1)
=

u
2k+1
nếu s = 2m, m ∈ N

∗
,
−u
2k+1
nếu s = 2m + 1, m ∈ N
∗
.
Vì vậy
u
n
=



α
n
tùy ý với n lẻ,
−u
2k+1
với n = 2
2m+1
(2k + 1), m ∈ N
∗
, k ∈ N,
u
2k+1
với n = 2
2m
(2k + 1), m ∈ N
∗

, k ∈ N.
Ngược lại, dễ thấy {u
n
} xác định như trên là dãy phản tuần hoàn nhân tính chu
kỳ 2.
Nhận xét 1.3. i) Dãy phản tuần hoàn chu kỳ l là dãy tuần hoàn chu kỳ 2l.
ii) Dãy phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ s là dãy tuần hoàn nhân tính chu kỳ
s
2
.
Định nghĩa 1.5. Ta nói dãy số {x
n
} có giới hạn hữu hạn a khi n dần đến vô
cùng nếu với mọi ε > 0, tồn tại một số tự nhiên N
0
(phụ thuộc vào dãy số x
n
và
ε) sao cho với mọi n > N
0
ta có |x
n
− a| < ε.
lim
n→+∞
x
n
= a ⇔ ε > 0, ∃N
0
∈ N : ∀n > N

0
, |x
n
− a| < ε.
Ta nói dãy số {x
n
} dần đến vô cùng khi n dần đến vô cùng nếu với mọi số
thực dương M lớn tùy ý, tồn tại một số tự nhiên N
0
(phụ thuộc vào dãy số x
n
và M) sao cho với mọi n > N
0
ta có |x
n
| > M.
lim
n→+∞
x
n
= +∞ ⇔ ∀M > 0, ∃N
0
∈ N : ∀n > N
0
, |x
n
| > M.
Dãy số có giới hạn hữu hạn được gọi là dãy hội tụ. Dãy số không có giới hạn
hoặc dần đến vô cùng khi n dần đến vô cùng gọi là dãy phân kỳ.
Định lý 1.1 (Tổng, hiệu, tích, thương các dãy hội tụ). Nếu {x

n
}, {y
n
} là các dãy
hội tụ và có giới hạn tương ứng là a, b thì các dãy số {x
n
+ y
n
}, {x
n
−y
n
}, {x
n
y
n
}
và

x
n
y
n

cũng hội tụ và có giới hạn tương ứng a +b, a −b, a.b,
a
b
· (Trong trường
hợp dãy số thương, ta giả sử y
n

và b khác không)
Định lý 1.2 (Chuyển qua giới hạn trong bất đẳng thức). Cho dãy số {x
n
} có
giới hạn hữu hạn l, nếu ∃N
0
∈ N : ∀n > N
0
ta có a ≤ x
n
≤ b thì a ≤ l ≤ b .
8
Định lý 1.3 (Định lý kẹp). Cho ba dãy số {x
n
}, {y
n
}, {z
n
} trong đó x
n
và z
n
có cùng giới hạn hữu hạn a và N
0
∈ N : ∀n > N
0
ta có x
n
≤ y
n

≤ z
n
. Khi đó y
n
cũng có giới hạn là a.
Định lý 1.4 (Sự hội tụ của dãy đơn điệu). Một dãy tăng và bị chặn trên hay
một dãy giảm và bị chặn dưới thì hội tụ. Nói ngắn gọn hơn, một dãy đơn điệu
và bị chặn thì hội tụ.
Định lý 1.5 (Về dãy các đoạn thẳng lồng nhau). Cho hai dãy số thực {a
n
},
{b
n
} sao cho
a) ∀n ∈ N, a
n
≤ b
n
;
b) ∀n ∈ N, [a
n+1
, b
n+1
] ⊂ [a
n
, b
n
];
c) b
n

− a
n
→ 0 khi n → ∞.
Khi đó tồn tại duy nhất số thực a sao cho ∩[a
n
, b
n
] = {a}.
Định lý 1.6 (Bolzano-Weierstrass). Từ một dãy bị chặn luôn có thể trích ra
một dãy con hội tụ.
Định nghĩa 1.6. Dãy x
n
được gọi là dãy Cauchy nếu ∀ε > 0, ∃N
0
∈ N : ∀m, n >
N
0
, |x
m
− x
n
| < ε.
Định nghĩa 1.7 (Tiêu chuẩn Cauchy). Dãy số {x
n
} có giới hạn hữu hạn khi và
chỉ khi nó là dãy Cauchy.
1.2 Một vài dãy số đặc biệt
Cấp số cộng
Định nghĩa 1.8. Dãy số {u
n

} hoặc (u
n
) (hữu hạn hoặc vô hạn) thỏa mãn điều
kiện
u
1
− u
0
= u
2
− u
1
= . . . = u
n+1
− u
n
= . . .
được gọi là một cấp số cộng.
Khi dãy số {u
n
} lập thành một cấp số cộng thì hiệu d = u
1
−u
0
được gọi là công
9
sai của cấp số đã cho.
Với d > 0 ta có cấp số cộng tiến và d < 0 ta có cấp số cộng lùi.
Ví dụ 1.5. Dãy các số tự nhiên lẻ: 1, 3, 5, . . . , 2n −1, . . . là một cấp số cộng với
công sai d = 2.

Ví dụ 1.6. Dãy −3, 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25 là một cấp số cộng với công sai d = 4.
Tính chất 1.1. Nếu {u
n
} là một cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ hai, mỗi số
hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của
hai số hạng đứng kề nó trong dãy, tức là
u
k
=
u
k−1
+ u
k+1
2
·
Tính chất 1.2 (Số hạng tổng quát của một cấp số cộng). Nếu một cấp số cộng
có số hạng đầu là u
1
và công sai d thì số hạng tổng quát u
n
của nó được tính
theo công thức sau
u
n
= u
1
+ (n − 1)d.
Tính chất 1.3 (Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng). Giả sử {u
n
} là

một cấp số cộng. Với mỗi số nguyên dương n, gọi S
n
là tổng của n số hạng đầu
tiên của nó (S
n
= u
1
+ u
2
+ . . . + u
n
). Khi đó, ta có
S
n
=
(u
1
+ u
n
)n
2
·
Cấp số nhân
Định nghĩa 1.9. Dãy số {u
n
}(hữu hạn hoặc vô hạn) có {u
n
} = 0, ∀n ∈ N thỏa
mãn điều kiện
u

1
u
0
=
u
2
u
1
= . . . =
u
n+1
u
n
= . . .
được gọi là một cấp số nhân.
Khi dãy số {u
n
} lập thành một cấp số nhân thì thương q =
u
1
u
0
được gọi là công
bội của cấp số đã cho.
Ví dụ 1.7. Dãy số {u
n
} với u
n
= 2
n

là một cấp số nhân với số hạng đầu với
u
1
= 2 và công bội q = 2.
10
Ví dụ 1.8. Dãy −2, 6, −18, 54, −162 là một cấp số nhân với số hạng đầu u
1
= −2
và công bội q = −3.
Tính chất 1.4. Nếu {u
n
} là một cấp số nhân thì kể từ số hạng thứ hai, bình
phương mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số nhân hữu hạn) bằng tích
của hai số hạng đứng kề nó trong dãy, tức là
u
2
k
= u
k−1
u
k+1
.
Tính chất 1.5 (Số hạng tổng quát của một cấp số nhân). Nếu một cấp số nhân
có số hạng đầu là u
1
và công bội q = 0 thì số hạng tổng quát u
n
của nó được
tính theo công thức sau
u

n
= u
1
q
n−1
.
Tính chất 1.6 (Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân). Giả sử {u
n
} là
một cấp số nhân với công bội q = 1 thì S
n
được tính theo công thức
S
n
=
u
1
(1 − q
n
)
1 − q
·
Nhận xét 1.4. Theo định nghĩa ta có:
i) Nếu {u
n
} là một cấp số cộng và a > 0 thì dãy {v
n
} với v
n
= a

u
n
, ∀n ∈ N lập
thành một cấp số nhân.
ii) Nếu {u
n
} là một cấp số nhân với số hạng dương và 0 < a = 1 thì dãy {v
n
} với
v
n
= log
a
u
n
, ∀n ∈ N lập thành một cấp số cộng.
Nhận xét 1.5. Nếu |q| < 1 thì {u
n
} được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Tổng
của cấp số nhân lùi vô hạn được tính theo công thức
S =
u
1
1 − q
·
Chú ý 1.1. Đối với các dãy số {u
n
} xác định theo công thức truy hồi
u
n+1

= au
n
+ b, a, b ∈ R,
11
có thể xem như một cấp số suy rộng (khi a = 1 ta thu được một cấp số cộng,
khi b = 0 ta thu được một cấp số nhân).
Cấp số điều hòa
Định nghĩa 1.10. Dãy số u
n
thỏa mãn điều kiện
u
n
=
2u
n−1
u
n+1
u
n−1
+ u
n+1
được gọi là cấp số điều hòa.
Ví dụ 1.9. Chứng minh rằng dãy số {u
n
}(u
n
= 0, ∀n ∈ N) lập thành một cấp số
điều hòa khi và chỉ khi
u
n+1

=
1
2
u
n
−
1
u
n−1
, ∀n ∈ N
∗
. (1.6)
Giải. Ta có
(1.6) ⇔
1
u
n+1
=
2
u
n
−
1
u
n−1
⇔
2
u
n
=

1
u
n+1
+
1
u
n−1
⇔ u
n
=
2u
n−1
u
n+1
u
n−1
+ u
n+1
,
tức {u
n
} là một cấp số điều hòa.
Dãy Fibonacci
Dãy số Fibonacci rất đặc biệt này được một người Ý tên là Leonardo Fibonacci
công bố năm 1202 và được biến hóa hầu như vô tận. Chính điều đó, đã thu hút
được rất nhiều sự quan tâm cũng như làm chúng ta say mê nghiên cứu, khám
phá các tính chất của nó.
Vậy dãy số Fibonacci là dãy số như thế nào?
Ban đầu, ông Fibonacci xét bài toán sau:
Giả sử có một cặp thỏ mắn đẻ cứ cuối mỗi tháng lại sinh ra một cặp mới.

Nếu mỗi cặp mới đó cũng lại đẻ sau một tháng và nếu không có con nào bị chết
cả thì sau một năm có bao nhiêu cặp thỏ?
Và đó là tiền thân của dãy số được xác định bằng cách liệt kê các phần tử
như sau:
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 . . .
Trong đó các phần tử nằm trong dãy số này luôn luôn bằng tổng của 2 số liền
trước nó. Nếu lấy tổng hay hiệu của các số liên tiếp chúng ta sẽ được một dãy
số tương tự.
12
Định nghĩa 1.11. Dãy số Fibonacci là dãy số được định nghĩa bởi
f
0
= 0, f
1
= 1, ∀n ∈ N, f
n+2
= f
n+1
+ f
n
.
Dãy số Fibonacci có rất nhiều tính chất thú vị và xuất hiện một cách tự nhiên
trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Chúng ta có công thức sau để tìm số hạng tổng
quát của dãy số Fibonacci:
Công thức Binet.
f
n
=

1+

√
5
2

n
−

1−
√
5
2

n
√
5
·
Nói chung, các dãy số xác định bởi công thức truy hồi f
n+2
= f
n+1
+f
n
(với f
0
, f
1
bất kỳ) được gọi là dãy Fibonacci mở rộng.
Dãy Farey
Định nghĩa 1.12. Dãy Farey F
n

với mỗi số nguyên dương n là tập hợp các
phân số tối giản dạng
a
b
với 0 ≤ a ≤ b ≤ n và (a, b) = 1 sắp xếp theo thứ tự tăng
dần.
Ví dụ 1.10.
F
5
=

0
1
,
1
5
,
1
4
,
1
3
,
2
5
,
1
2
,
3

5
,
2
3
,
3
4
,
4
5
,
1
1

.
Ngoại trừ F
1
, F
n
có số lẻ các phần tử và
1
2
luôn nằm ở giữa. Gọi
p
q
,
p

q


và
p

q

là các số hạng liên tiếp trong dãy Farey thì
pq

− qp

= −1 và
p

q

=
p + p

q + q

·
Số các số hạng N(n) trong dãy Farey được tính theo công thức
N(n) = 1 +
n

k=1
ϕ(k) = 1 + φ(n).
1.3 Một số bài toán áp dụng
Bài toán 1.1. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để dãy số {a
n

} lập thành
một cấp số cộng là dãy đã cho phải thỏa mãn hệ thức
2a
m+n
= a
2m
+ a
2n
, ∀m, n ∈ N. (1.7)
13
Giải.
Điều kiện cần. Giả sử dãy {a
n
} là một cấp số cộng với công sai d. Khi đó
a
n
= a
0
+ (n − 1)d, ∀n ∈ N
∗
.
Vậy nên
2a
m+n
= 2[a
0
+ 2(m + n − 1)d]
và
a
2m

+ a
2n
= a
0
+ (2m − 1)d + a
0
+ (2n − 1)d = 2[a
0
+ 2(m + n − 1)d].
Do đó, ta có điều cần chứng minh.
Điều kiện đủ. Giả sử dãy {a
n
} thỏa mãn điều kiện (1.7). Ta chứng minh
dãy {a
n
} là một cấp số cộng với công sai d = a
1
− a
0
.
Thay m = 0 vào (1.7) ta được
2a
n
= a
0
+ a
2n
.
Suy ra
a

2n
= 2a
n
− a
0
. (1.8)
Tương tự cho n = 0 ta được
a
2m
= 2a
m
− a
0
. (1.9)
Thay (1.8) và (1.9) vào (1.7) ta thu được
2a
m+n
= 2a
m
+ 2a
n
− 2a
0
hay
a
m+n
= a
m
+ a
n

− a
0
. (1.10)
Thay m = 1 và (1.10), ta có
a
n+1
= a
n
+ a
1
− a
0
.
Vậy {a
n
} là một cấp số cộng.
Bài toán 1.2. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để dãy các số dương {a
n
}
lập thành một cấp số nhân là dãy đã cho phải thỏa mãn hệ thức
a
2
m+n
= a
2m
a
2n
, ∀m, n ∈ N. (1.11)
14
Giải. Đặt ln a

n
= b
n
, ∀n ∈ N, khi đó a
n
= e
b
n
và (1.11) có dạng
e
2b
m+n
= e
b
2m
+b
2n
, ∀m, n ∈ N
hay
2b
m+n
= b
2m
+ b
2n
, ∀m, n ∈ N. (1.12)
Theo bài toán 1.1 thì (1.12) chính là điều kiện cần và đủ để dãy {b
n
} lập thành
cấp số cộng với công sai d = b

1
− b
0
.
Theo nhận xét 1.4 ta có điều phải chứng minh.
Bài toán 1.3. Cho dãy số {u
n
} là một cấp số suy rộng thỏa mãn điều kiện
u
n+1
= au
n
+ b, a, b ∈ R.
Tính tổng
S
n
= u
1
+ u
2
+ . . . + u
n
.
Giải. Ta có
u
2
+ u
3
+ . . . + u
n+1

= a(u
1
+ u
2
+ . . . + u
n
) + nb
và
S
n+1
= u
1
+ u
2
+ . . . + u
n
+ u
n+1
= u
1
+ a(u
1
+ u
2
+ . . . + u
n
) + nb.
Mặt khác
u
n+1

− nb − u
1
= (u
1
+ u
2
+ . . . + u
n
)(a − 1).
Vậy nên, nếu a = 1 thì
S
n
=
u
n+1
− nb − u
1
a − 1
·
Theo quy nạp, ta có
S
n
=
a
n
u
1
+
a
n

− 1
a − 1
b − nb − u
1
a − 1
·
Nếu a = 1 thì u
n
là một cấp số cộng với công sai b. Do đó
S
n
=
(u
1
+ u
n
)n
2
=
[2u
1
+ (n − 1)b]n
2
·
15
Bài toán 1.4 (VMO, 1994, Bảng B). Cho dãy số Fibonacci {u
n
}, (n = 1, 2, . . .)
được xác định bởi
u

1
= u
2
= 1, u
n+2
= u
n+1
+ u
n
với mọi n = 1, 2, , . .
Hãy tìm số nguyên dương m sao cho
u
m
2k
+ u
m
2k+1
=
m−1

s=1
s.u
s−1
2k
.u
s−1
2k+1
với mọi k = 1, 2, 3, . .
Giải.
+) Từ giả thiết thì số m cần tìm phải thỏa mãn với k = 1, lúc đó

u
m
2
+ u
m
3
=
m−1

s=1
s.u
s−1
2
.u
s−1
3
hay
1 + 2
m
=
m−1

s=1
s.2
s−1
. (1.13)
Đặt tổng ở vế phải của (1.13) là S thì ta có 2S =
m−1

s=1

s.2
s
.
Từ đó ta có
S = 2S − S =
m−1

s=1
s.2
s
−
m−1

s=1
s.2
s−1
= (m −1).2
m−1
−
m−1

s=1
2
s−1
(s − (s − 1))
= (m − 1).2
m−1
− (2
m−1
− 1) = (m − 2).2

m−1
+ 1. (1.14)
Từ (1.13) và (1.14) ta có
1 + 2
m
= (m − 2).2
m−1
+ 1 ⇒ m = 4.
+) Với m = 4 sử dụng hệ thức đã biết của dãy Fibonacci
u
2
2k+1
− u
2
2k
= u
2k
.u
2k+1
+ 1, ∀k = 1, 2, 3, . . . .
Ta có
u
4
2k+1
+ u
4
2k
− 2u
2
2k+1

.u
2
2k
= u
2
2k
.u
2
2k+1
+ 2u
2k
.u
2k+1
+ 1
16
hay
u
4
2k+1
+ u
4
2k
= 1 + 2u
2k
.u
2k+1
+ 3u
2
2k
.u

2
2k+1
, ∀k = 1, 2, 3, . . . .
Vậy m = 4 là số duy nhất thỏa mãn điều kiện đề bài.
Bài toán 1.5 (THTT/ T12/ 410). Với số nguyên dương n lớn hơn 2, tìm số các
hàm số
f : {1, 2, . . . , n} → {1, 2, 3, 4, 5}
thoả mãn tính chất
|f(k + 1) −f(k)| ≥ 3 với k ∈ {1, 2, . . . , n}.
Giải. Ta sử dụng nhận xét sau đây: Nếu hàm số f thoả mãn điều kiện bài ra
thì với mọi n > 2 cho trước ta luôn có f(n) = 3. Thật vậy, nếu f(n) = 3 thì suy
ra f(n − 1) ≤ 0 hoặc f(n − 1) ≥ 6, điều này là vô lí.
Ký hiệu a
n
, b
n
, d
n
, e
n
là số các hàm f : {1, 2, . . . , n} → {1, 2, 3, 4, 5} thoả mãn
tính chất đã cho ứng với f(n) tương ứng lần lượt bằng 1,2,4,5.
Khi đó thì a
2
= e
2
và b
1
= d
2

= 1, nên
a
n+1
= e
n
+ d
n
, b
n+1
= e
n
, e
n+1
= a
n
+ b
n
, d
n+1
= a
n
.
Tiếp theo, ta cần tính tổng S = a
n
+ b
n
+ d
n
+ e
n

. Ta có a
2
= e
2
và b
2
= d
2
. Bằng
phương pháp quy nạp, ta có a
n
= e
n
và b
n
= d
n
. Do vậy,
a
n+2
= e
n+1
+ d
n+1
= a
n+1
+ b
n+1
= a
n+1

= a
n
.
Do vậy, {a
n
} chính là dãy Fibonaci {F
n
} với cách chọn F
0
= 0, F
1
= 1. Tiếp theo,
ta thấy a
2
= 2 = F
2
và a
3
= e
2
+ d
2
= 3 = F
3
. Do đó, a
n
= F
n
với n ≥ 2. Suy ra
S = 2(a

n
+ b
n
) = 2e
n+1
= 2F
n+1
với n ≥ 2.
17
CHƯƠNG 2
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI
TOÁN VỀ DÃY SỐ
Các bài toán về dãy số có nội dung khá đa dạng. Ở đây ta quan tâm đến
mấy dạng chính sau:
1) Các bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số(bản chất đại số).
2) Các bài toán tìm giới hạn của dãy số(bản chất giải tích).
3) Các bài toán về dãy số trong số học.
4) Các bài toán ước lượng dãy số.
Các phương pháp cơ bản để giải các bài toán dãy số trên khá đa dạng. Chúng
ta đi xét cụ thể một số phương pháp đó.
2.1 Một số phương pháp giải bài toán tìm số hạng
tổng quát của dãy số
2.1.1 Phương pháp quy nạp
Nguyên lý quy nạp
Nếu khẳng định S(n) thỏa mãn hai điều kiện sau:
a) Đúng với n = k
0
(số tự nhiên nhỏ nhất mà S(n) xác định).
b) Từ tính đúng đắn của S(n) đối với n = t (hoặc đối với mọi giá trị của
n, k

0
≤ n ≤ t) suy ra tính đúng đắn của S(n) đối với n = t + 1, thì S(n) đúng với
mọi n ≥ k
0
.
Giả sử khẳng định T (n) xác định với mọi n ≥ t
0
. Để chứng minh T (n) đúng
với mọi n(n ≥ t
0
) bằng quy nạp, ta cần thực hiện hai bước.
18
a. Cơ sở quy nạp.
Thực hiện bước này tức là ta thử xem sự đúng đắn của T (n) với n = t
0
, nghĩa
là xét T (t
0
) có đúng hay không?
b. Quy nạp.
Giả sử khẳng định T(n) đã đúng với n = t, (t ≥ t
0
) (hoặc đối với mọi n, (t
0
≤
n ≤ t)). Trên cơ sở giả thiết này mà suy ra tính đúng đắn của T (n) đối với
n = t + 1, tức T (t + 1) đúng.
Nếu cả hai bước trên đều thỏa mãn, thì theo nguyên lý quy nạp, T (n) đúng
với mọi n ≥ t
0

.
Ta xét một số bài toán mà sử dụng phương pháp quy nạp để tìm số hạng
tổng quát của dãy số.
Bài toán 2.1. Xác định số hạng tổng quát của dãy số {u
n
} cho bởi hệ thức sau
u
1
=
1
2
, u
n+1
=
1
2 − u
n
, ∀n ≥ 1.
Giải. Nhận thấy một số số hạng đầu tiên là
u
1
=
1
2
, u
2
=
2
3
, u

3
=
3
4
·
Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh dãy số đã cho có số hạng tổng quát
u
n
=
n
n + 1
, ∀n ≥ 1. (2.1)
Thật vậy, theo trên thì (2.1) đã đúng tới n = 3.
Giả sử (2.1) đúng tới n, khi đó
u
n+1
=
1
2 − u
n
=
1
2 −
n
n + 1
=
n + 1
n + 2
·
Vậy (2.1) đúng với n + 1 nên (2.1) đúng với mọi n ∈ N

∗
.
Bài toán 2.2. Cho dãy {u
n
} xác định bởi công thức
u
1
= 5, u
2
= 19, u
n
= 5u
n−1
− 6u
n−2
, n ∈ N
∗
, n ≥ 3.
Tìm số hạng tổng quát u
n
.
19
Giải. Ta có u
1
= 5 = 3
2
− 2
2
, u
2

= 19 = 3
3
− 2
3
, u
3
= 65 = 3
4
− 2
4
.
Từ đó ta đưa ra giả thiết số hạng tổng quát u
n
có dạng
u
n
= 3
n+1
− 2
n+1
. (2.2)
Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp. Khi n = 1, n = 2 thì công thức (2.2)
đúng.
Giả sử (2.2) đúng khi n = k−1 và n = k với k ≥ 3, k ∈ N tức là ta có u
k−1
= 3
k
−2
k
và u

k
= 3
k+1
− 2
k+1
.
Khi đó
u
k+1
= 5u
k
− 6u
k−1
= 5(3
k+1
− 2
k+1
) − 6(3
k
− 2
k
) = 9.3
k
− 4.2
k
= 3
k+2
− 2
k+2
.

Vậy u
n
= 3
n+1
− 2
n+1
với mọi n ∈ N
∗
.
2.1.2 Phép thế lượng giác
Nhiều dãy số có công thức phức tạp có thể trở thành các dãy số đơn giản
nhờ phép thế lượng giác. Để áp dụng được thủ thuật này, điều cần thiết là biết
các công thức lượng giác và một chút nhạy cảm toán học.
Bài toán 2.3. Cho dãy số (u
n
) xác định bởi công thức

u
1
=
1
2
u
n
= 2u
2
n−1
− 1, ∀n ≥ 2.
Xác định công thức tổng quát của dãy (u
n

).
Giải. Từ công thức truy hồi của dãy ta liên tưởng đến công thức nhân đôi của
hàm số côsin.
Ta có:
u
1
=
1
2
= cos
π
3
⇒ u
2
= 2 cos
2
π
3
− 1 = cos
2π
3
·
⇒ u
3
= 2 cos
2
2π
3
− 1 = cos
4π

3
⇒ u
4
= cos
8π
3
. . .
Ta chứng minh u
n
= cos
2
n−1
π
3
. Thật vậy
20
. Với n = 2 ta có u
2
= cos
2
2−1
π
3
= cos
2π
3
(đúng).
. Giả sử
u
n−1

= cos
2
n−2
π
3
,
ta có
u
n
= 2u
2
n−1
− 1 = 2 cos
2
2
n−2
π
3
− 1 = cos
2
n−1
π
3
·
Vậy
u
n
= cos
2
n−1

π
3
, ∀n ≥ 1.
Dạng 1: Để xác định công thức tổng quát của dãy số (u
n
):

u
1
u
n
= 2u
2
n−1
− 1, ∀n ≥ 2.
ta làm như sau:
. Nếu |u
1
| ≤ 1, ta đặt u
1
= cos α. Khi đó u
n
= cos 2
n−1
α.
. Nếu |u
1
| > 1, ta đặt u
1
=

1
2

a +
1
a

(trong đó a = 0 và cùng dấu với u
1
).
Khi đó u
2
=
1
2

a
2
+ 2 +
1
a
2

− 1 =
1
2

a
2
+

1
a
2

⇒ u
3
=
1
2

a
4
+
1
a
4

. .
Ta chứng minh được u
n
=
1
2

a
2
n−1
+
1
a

2
n−1

, ∀n ≥ 1, trong đó a là nghiệm (cùng
dấu với u
1
) của phương trình: a
2
− 2u
1
a + 1 = 0. Vì phương trình này có hai
nghiệm tích bằng 1 nên ta có thể viết công thức tổng quát của dãy như sau
u
n
=
1
2

u
1
−

u
2
1
− 1

2
n−1
+


u
1
+

u
1
2
− 1

2
n−1

.
Chú ý:
Dựa vào dạng 1 ta có thể tìm công thức tổng quát của dãy số {u
n
} được xác
định bởi

u
0
= c
u
n+1
= au
2
n
− b, ∀n ≥ 0, ab = 2.
bằng cách đặt u

n
= bv
n
ta có v
n+1
= 2v
2
n
− 1.
Bài toán 2.4. Xác định công thức tổng quát của dãy số (u
n
):

u
1
=
√
3
2
u
n
= 4u
3
n−1
− 3u
n−1
, ∀n ≥ 2.
21
Giải. Ta có u
1

=
√
3
2
= cos
π
6
⇒ u
2
= 4 cos
3
π
6
− 3 cos
π
6
= cos 3
π
6
⇒ u
3
=
cos
3
2
π
6
. .
Bằng quy nạp ta chứng minh được u
n

= cos
3
n−1
π
6
· Thật vậy
. Với n = 2 ta có u
2
= cos 3
π
6
(đúng).
. Giả sử
u
n−1
= cos
3
n−2
π
6
,
ta có
u
n
= 4u
3
n−1
− 3u
n−1
= 4 cos

3
3
n−2
π
6
− 3 cos
3
n−2
π
6
= cos
3
n−1
π
6
·
Vậy
u
n
= cos
3
n−1
π
6
, ∀n ≥ 1.
Dạng 2:
1) Để xác định công thức tổng quát của dãy số (u
n
) xác định bởi


u
1
= p
u
n
= 4u
3
n−1
− 3u
n−1
, ∀n ≥ 2.
ta làm như sau:
. Nếu |p| ≤ 1 thì ∃α ∈ [0; π] : cos α = p. Khi đó bằng quy nạp ta chứng minh được
u
n
= cos 3
n−1
α.
. Nếu |p| > 1, ta đặt u
1
=
1
2

a +
1
a

(trong đó a = 0 và cùng dấu với u
1

).
Bằng quy nạp ta chứng minh được u
n
=
1
2

a
3
n−1
+
1
a
3
n−1

, ∀n ≥ 1. Trong đó a là
nghiệm (cùng dấu với u
1
) của phương trình: a
2
− 2u
1
a + 1 = 0. Vì phương trình
này có hai nghiệm tích bằng 1 nên ta có thể viết công thức tổng quát của dãy
như sau
u
n
=
1

2

u
1
−

u
2
1
− 1

3
n−1
+

u
1
+

u
1
2
− 1

3
n−1

.
2) Từ trường hợp 2 của bài toán trên, ta có cách tìm công thức tổng quát của
dãy số (u

n
)

u
1
= p
u
n
= 4u
3
n−1
+ 3u
n−1
, ∀n ≥ 2.
22
bằng cách đặt u
1
=
1
2

a −
1
a

. Khi đó bằng quy nạp ta chứng minh được
u
n
=
1

2

a
3
n−1
−
1
a
3
n−1

=
1
2

u
1
−

u
2
1
+ 1

3
n−1
+

u
1

+

u
1
2
+ 1

3
n−1

.
Bài toán 2.5. Tìm công thức tổng quát của dãy số u
n
xác định bởi









u
1
=
1
2
u
n

=

2 − 2

1 − u
2
n−1
2
, ∀n ≥ 2.
Giải. Từ công thức truy hồi của dãy, gợi ta nhớ đến công thức lượng giác
sin
2
α + cos
2
α = 1 ⇔ 1 −sin
2
α = cos
2
α.
Ta có u
1
=
1
2
= sin
π
6
⇒ u
2
=


2 − 2

1 − sin
2
π
6
2
=

2(1 − cos
π
6
)
2
= sin
π
2.6
·
Bằng quy nạp ta chứng minh được
u
n
= sin
π
2
n−1
.6
·
Bài toán 2.6 (Trích đề thi Olympic 30- 4- 2003 Khối 11). Cho dãy số (u
n

):



u
1
=
√
3
u
n
=
u
n−1
+
√
2 − 1
1 + (1 −
√
2)u
n−1
, ∀n ≥ 2.
Tính u
2003
.
Giải. Ta có tan
π
8
=
√

2 − 1, suy ra
u
n
=
u
n−1
+ tan
π
8
1 − tan
π
8
u
n−1
·
Mà u
1
=
√
3 = tan
π
3
, suy ra
u
2
=
tan
π
3
+ tan

π
8
1 − tan
π
8
tan
π
3
= tan

π
3
+
π
8

·
Bằng quy nạp ta chứng minh được
u
n
= tan

π
3
+ (n − 1)
π
8

·
23

Vậy
u
2003
= tan

π
3
+ 2002
π
8

= tan

π
3
+
π
4

= −(
√
3 + 2).
Dạng 3:
Để tìm công thức tổng quát của dãy (u
n
):

u
1
= a

u
n
=
u
n−1
+ b
1 − bu
n−1
, ∀n ≥ 2.
ta đặt a = tan α, b = tan β, khi đó ta chứng minh được u
n
= tan[α + (n − 1)β].
Bài toán 2.7. Tìm công thức tổng quát của dãy số (u
n
)



u
1
=
√
3
u
n
=
u
n−1
1 +


1 + u
2
n−1
, ∀n ≥ 2.
Giải. Ta có
1
u
n
=
1 +

1 + u
2
n−1
u
n−1
=
1
u
n−1
+

1 +
1
u
2
n−1
·
Đặt x
n

=
1
u
n
, khi đó ta được dãy (x
n
) được xác định như sau



x
1
=
1
√
3
,
x
n
= x
n−1
+

1 + x
2
n−1
.
Vì x
1
=

1
√
3
= cot
π
3
, suy ra
x
2
= cot
π
3
+

1 + cot
2
π
3
=
cos
π
3
sin
π
3
+
1
sin
π
3

=
1 + cos
π
3
sin
π
3
= cot
π
2.3
·
Bằng quy nạp ta chứng minh được
x
n
= cot
π
2
n−1
.3
⇒ u
n
= tan
π
2
n−1
.3
, ∀n = 1, 2, . . . .
2.1.3 Phương pháp sử dụng phương trình sai phân, tính chất
của hàm số
Để xác định những dãy dạng u

1
= α, au
n+1
+ bu
n
= f
n
, n ∈ N
∗
, u
1
= α, u
2
=
β, au
n+1
+ bu
n
+ cu
n−1
= f
n
, n ≥ 2, u
1
= α, u
2
= β, u
3
= γ, au
n+2

+ bu
n+1
+ cu
n
+
24