Một số vấn đề trong lí thuyết mở rộng hệ động lực

- 1 -
ti
tf'
-P
A U
Càc qua
trình
ti^n dinh hOU
han
chi^u trong m$t h$ thóhg có
l|lp
thtJdng Oiitfc mò
ta
b^i
citc phudng
trình
òtònòm
có dang :
A
=
f(X),x € M
(1)
trong
dò M
là
m$t
da
t^p
kha vi n
chié^u
nào do,

fsM —9
K".
Phiidng
trình (1) là
càch vi^t dia phtidng
cù&.
m$t
td&x tiii^ng
toàn
cijic
-
truSng
vectd trèn M,
ttfc
là
nh^t
càt
X:M
—9 TM cùai
phàn
thd ti^p xùc
(TM,p,M).
V3i
mpt so già thi^t
( bao
dàm
si/
tdn
t^i,
duy

nhà^t va kéo dai nghifm cùa phtfdng
trình vi phàn),
triidng
vectd
này sinh
ra mpt dòng pha trèn
M,
tt^c
là
nhóm m$t
tham
sfìi
càc
phép
bi^n d5i
FI
:M —»
M,
t
e
K,
CÙB
khóng qian
pha- Dòng pha
l^i
xàc
dinh
mpt phàn
td,
tCfc

là
si/
phàn hoach
M thành
càiC.
quy
dao
cÙA
dòng
<M,n) va
cho ta
bCfc
tranh pha
cùa
hf.
Mfìri lièn h$
giùfa
mpt phtidng trình
ótónóm
v3i dòng pha
va
phàn
tc3 tufdng ùhg
cho phép
sCf
dyng
nhié?u phiidng phàp va
k^t
qua
cùa

càc ngành
toàn
hpc
khàc
nhu"
t6p>ò,
hình
hpc,
v.v.,.
trong
vi^
nghièn cuu
càc
tinh chSrt
dinh
tinh ciia
hf.
E>ò
là npi dung
cùa ly thuy^t h#
dpng
li/c.
Khifi
d^u
b^i
càc nhà toàn hpc Poincaré,
M.
Lyapunov ttf
cuòi
th^

k^
triiSc,
trong
th^
ki?
này, ly
thuy^t h#
dpng
li/c dà phàt
tridV»
m^nh
m@
trong càc c6ng trình
cùa nhi#u
nhà toàn hpc, trong
dò co
D.
Birkhoft, A-
Andronov,
S-
Pontriaghin,
V-
Anosov,
P»
Hartman,
M-
Grobman,
S- Smale,
va
thu

tSUt^c nhiiìu
k^t
qua dep
d^,
trB thành
mpt
ly tbuy^t
dpc
làp,
tiidng dó^i hoàfì chfnh
trong
vi#c mó
ta càc
dt^c triihg
dinh tinh
eòa phifdng
trình
ótónòm.
Tuy nhièn, trong ly
thuy^t
cung
nhii
càc
uhq
dyng
,
ta
thuBng g$p
hdn càc phiidng trình
khóng

ótónóm dang :
X =
F(x,t),
X €
M,
t e
(R
(2)
- 2 -
O
day, do
ve? phi[i
khóng
bStt bi^n
dói v8i
càc di eh chuyèn
cùa bié^n
t nèn
nghi^m eòa
phiidng trình (2) khóng
xàc
dinh trèn li
ed
phàn
td
cung
nhii
nhòm càc phép
bi^n
d^i.

Di^u
này
gay
khò
khan
cho
vifc
àp dyng càc phiidng phàp nghièn
cuU cùa
h^
dpng
li/c
cho
tri^ng hcjp
khóng
ótónóm-
D^
khS^c
phyc
dié?u
này, mpt trong càc
hù6ng co hi#u
qua là
ti€?p
c^n
phiidng trình khóng ótónóm theo quan
di^m m&
rpng
hf
dpng

Ixjlc -
mpt phiidng
hii3ng
bà't
d^u
hình thành ro
net
tu'
nhuhg
nàm 60.
Ch^ng
han, xét
h$£
X =
g(x,y)
1.
(3)
y
=
f(y)
trong
dòyeB,
(x»y) eM
v8i B
va M
là hai da tap kha vi nào
dò-
Co th#
xem (3)
nhii

mó hình mpt
hf vàt
ly, tronq dò x mó
tai
tr^ng
thai
ben
trong
eòa
mpt dÓi
tii<Jng
nào dò dang
^^(^c
nghièn
cÙiAf con
y
bi^u
thi
tr^ng
thài
ciSa
mói
triidng xung
quanh.
Sé
có
hf
(3)
n^u
già thi@^t

mói
trtidng chiù
si/
tàc dpng cùa càc dinh
lu^Lt
trong
ti/
nhièn
triidng
khóng thay
d^i
theo
thdi
gian,
con
inh hiii^ftig
tr^
lai
cùa
dÓi
tiidng
nghièn
ctìti
v6i mói
tru^ng
xung
quanh là
rat
nhò, có
th^

bò qua
dudc.
Ta cung di
d^n
h$
(3)
n^u
xét
hf
dpng
li/c
trong mpt
làn
c^n
Óng
M ci5a
mpt da
t^p
bà't
bi^n
B nào dò cùa
h$
này- Theo ngón
nguf
toàn
cyc,
ta có mpt phàn th8
trdn
(M,p,B) va
hai

tru?3ng
vectd
X:
N
—>
TM
va
Y:B
—9
TB thòa
mifn
p^(X(m))
=
Y(p(m)>, V m
e
M- Trong tpa dp dia phiidng,
triidng
vectd X
(SìJ<}c bi^u di^n bSng h$
<3),
con triiBng
Y ~
h&x
phiidng
trình
thii
hai
cùa
hf.
Già s£f (M,n) va (B,p)

là càc dòng pha
ttidng £fng
v8i càc
tru^ng
X
va
Y.
Khi
dò,
ành
x^
p:
M —9
B là
5
-
dóhg càTu
dòng (M,n)
lèn (B,p) tiic làs
p(n^m)) =
p*(p(m))
V m
€ M, teff?
va
ta nói dòng
CM,n)
là
m^
rpng cùa dòng
(B,p)

Chù
y
ràng
n^u
y=«>Cy ,t)
là
nghifm eòa
phiidng trình
thtf
hai
o
eòa (3) thòa
man diéfu kifn
ban
dStus ^(y ,0)»y
thì phiidng trình
thii nhàt
có
d^ng:
A = g(x,9?(y^,t>
)
=
F(x,t)
tCfc
là ta
nh|in diidc
phiidng trình vi phàn
d^ng
(2).
Càc phiidng trình

tuy^n
tinh
thuiTn nhà't y/Si h$ só
bien thièn
thu?3ng
xuà't
hifn nhcf
phtidng trình trong
bi^n
phàn: E)Ói v3i
phiidng trình <i),
già sCf
x là
di€?m
tùy y trèn
M,
ky
hifu
x(t) là
nghifm xuàt
phàt
tìi
x,
tCfc
là x(0)
=
x.
Phiidng trình trong
big^n
phàn eòa (1) dpc theo

nghifm
x(t) có dang:
?
-
A^^-
(t)
?
,
?
e
K'
df
à day
A, - (t)
=
5-^
(x(t))
I -
X
UÀ
Khi dò
h^
{
f
= A
" (t) ?
(4)
X e M, ? €
K"
X

=
(X)
cho ta mpt
m^
rpng dòng, mpt
triidng hdp
rièng
eòa
(3).
Ngoài càc phiidng trình vi phàn, mpt
só
l3p
rà't
rpng càc
phi/dng
trình tich phàn,
phi/dng
trình
d^i
só va
mpt
só
phiidng
-
4 -
trình
lo^i
khàc cung
gSn
bò

chat che v8i
khài
ni$m ma
rpng
h$
dpng
Ixjtc
(xem
ch^ng
h^n,
£16]).
Vi
vlLy,
ly
thuy^t
này dà
diidc
nhi^u
nhà toàn hpc quan tàm nghièn
cOfU
trong càc nàm gàn
day
(xem phàn tài
lifu
tham khao
eòa
[17]).
Ban
lu^n
àn này nhSm góp phan nghièn

cin.i
mpt
sÓ khi
a
c^nh
eòa ly
thuy^t tSing
quàt
v^
mij
rpng
h#
dpng
li/c.
Npi dung
lu|in
àn
dtii;?c
chia thành 3
chiidng-
—
Chiidng
I trình
bay
mpt
só
khài
nifm va kè't
qua dà
bi^t sd

dtf<?c
dung
tri/c ti^p
trong càc
chtfdng
sau.
—
Chifdng
II
d^
c^p
dèn
vectd
<ì^c triing
eòa
m^
rpng
tuy^n
tinh-
Nhif
ta
dà:
bi8^t,
dói v8i eàe
hf
vi
phàn,
ly
thuy^t só
mu

dite triihg C21]
dòng vai trò
rat
quan
trpng
trong
vi$c
nghièn
culi
càc tinh
chat ti$m càn
eòa
nghifm,
^^c bift
trong càc
vàn
dd"
ó'n
dinh.
Trong
[2]
dà
trình bay
ly
thuy^t
vectd
d^c
triihg
- dang
t^ng

quàt eòa
só
rou
dlic
triing - cho phép giai
quy^t
mpt
só
trii3ng hdp
t8i
h^n
khi ly
thuy^t só
mu
dàc trurig
tò ra
con chiia
dò tinh
t^,
Trong
C25],
V-M-
Mil lionshikov
d^
dinh
nghla va
nghièn
cCfta
càc tinh
chàTt

eòa
sÓ
mu
dàc truhg
eòa mpt hp càc
ti/
dà'ng càu
eòa phàn
thd
vectd. Phàt
tri^n
y
tu^ng
CÒÈ.
càc tàc
giai
trèn, trong
ehiidng II
eòa
lu^Ln
àn này
sé
xày
dvmg
vectd
d|ic
triihg
eòa
m^
rpng

tuy^n
tinh
va
nghièn
culi
tinh
ehà^t di^n
hình
eòa
nò-
BSrkQ càch
khao
sàt
thèm càc tinh
ehatt
eòa
X-chu^Tn
(do
Bogdanov
dtila
ra trong
C15]) va sCf
dyng ky
thu|Lt
eòa ly thuyè't
- 5 -
phàn
thS
chinh,
két

qua chò
yé^u
dà thu
diidc
là dinh ly
chtjfhg
tò
ràng
: V m
e
IN, càc thành phàn eòa vectd
dàc triiVig càp m
eòa
me?
rpng
tuyén
tinh
là
càc hàm Baire
va
do dò lièn tye trèn mpt tàp
trù
mlit ki^u
G,
trong khóng gian tham
bi^n-
Unq
dyng
di^u
này,

chSng
h^n
cho
h^
(4), ta
ké^t lufln Oilf^c
rSng càc
thSnh
phàn eòa
vectd
df^iC triihg
eòa
h^
vi phàn
tuyè'n
tinh dang (4) lièn tye trèn
t|lp
C trù
m$.t,
ki#u
G.
trong
M.
Khi
m=0,
ta
nh^n dl/cjc
càc
k^t
qua eòa V-M-

Millionshikov.
- Chiidng
III lièn quan
d[én
càc phàn th3 con
bàt
bién.
Bài
toàn
ve?
càe
aa
t^p
bà't
bi#^n eòa h$
dpng
li/e
dà có
li
eh
SLT
khà
dàis
Xuà't phàt
tCf vi^c
nghièn
ciifu
dang
di$u
eòa mpt ành

x^
f
eòa
da
t^p
M vào chinh nò, xung quanh mpt
di#m bàt
dpnq eòa
f,
vàn
d&
da tap
bàt bi^n
dà
dl/dc
de'
c|lp
dté'n
trong
eóng
trình
eòa nhi^u
tàc
già
(xem phàn tài
li^u
tham khao eòa
L5]).
Trang bòi
canh

eòa ly
thuy^t
m^
rpng
h$
dpng
li/c,
I.U-
Bronnnstein va
V.F-
Cherny
(C17],[18])
dà
chiing
minh
si/
tón
t^i
va
d^c
triing hòa
dtfdc
càc phàn thd con bàt
bi^n
eòa mò rpng phi
tuy@'n
gàn, theo
nghla
Lipschitz
trèn toàn cyc,

mèS
rpng
tuy^n
tinh thòa
man diéu
kifn tàch Oift^c
mu. Có
th^
có hai nhàn xét
VE?
k^t
qua này:
ThCf
nhàt
là,
dói v3i càc
h$
vi phàn,
si/
tàch
dX/dc càp
ffi > O
dS di/cje
chf
ra
va
nghièn
culi
trong ly
thuy^t

vectd
dàc
truhg (khi
m=0
là
dié?u ki^n
tàch
dtidc
mu).
Di^u
này cho phép
dx/a
ra khài
ni^m
tàch
dl/dc cSTp
m
>
O dói v8i
ma
rpng
tuy^n
tinh
d^
có
^i/
phàn
bi^t
"min"
hdn càc phàn th3 con bàt

bi^n
eòa
m^
rpng phi
tuy^n
gàn
m&
rpng
tuy^n
tinh dò.
ThCf
hai là, xuà't phàt
tCf
y
tii^g xàp xf h$
vi phàn phi
tuy§^n bang
h^
tuyè'n tinh
nhd
phép
xàTp
xi'
thCf
nhà't,
dié^u ki$n
nhò eòa
h§
sÓ Lipschitz
thiidng ehf di/dc

thòa man trong
-
6
làn
clLn
eòa
nghi$m dùhg
-
Vi v$y sé hdp ly
hdn
n^u
thay doi dòi
hòi
v^
si/
gàn
b£ng
nhau theo nghla Lipschitz trèn toàn cyc
bang
dòl
hòi
mB
rpng phi
tuy^n gà'n
theo nghla Lipschitz
v8i
m^
rpng
tuyé^n
tinh

chi*
trong mpt làn càn nào dò
eòa nhàt c3it
khóng. Do
dò trong §1 eòa chtfdng III
sé (Stia
ra dinh nghla
m&
rpng
tuy^n
tinh thòa
man diè^u ki^n
tàch
diidc
(suy rpng)
va
khao sàt càc
phàn th3 con bàt
bién
eòa
m^
rpng phi
tuy^n
gàn chung- Trong §2
trình
bay
eàe khài
ni$m
r—phàn
th8 va

r—eàf'u
x^
eòa
mpt phàn th3
nhàm chCrhg
minh
si/
tón tai
va dlic triihg
hóa
dtitjc
càc
i—phàn
th6
con bàt
bi^n
eòa mò rpng phi
tuy^n
gàn
m^
rpng
tuy^n
tinh thòa
man diéu ki$n
hyperbolic (suy rpng)- Càc
k&t
qua eòa
I-U.
Bronstein
va

V.F- Cherny cho
trii^ng hdp m5f
rpng
tuy^n
tinh
hyperbolic (theo nghla mu)
sé dxidc
suy ra
tCf k&t auà
trèn khi
làry
r
=
00-
Npi
dung eòa
lu|ln
àn dà
diidc
trình
bay
t^i
xèmina "Phifdng
trình vi phàn"
eòa
lièn
trvft5ng
dai hpc do giào
sii
Vu Tuàn (Dai

hpc Su' pham I) chò
tri,
tai hpi nghi khoa
hpc
hàng nàm cùa khoa
Toàn,
Dai hpc Tong
h<?p Ha
npi, hpi nghi
quóe
t^
v^
ly
thuy^t
dinh tinh phiidng trình vi phàn Szeged
(Hungary) thàng
B/88
va
dà
hoàc
sé
dl/<?c
cóng
bó
trong
C3],
C22],
C14J,
[1].
- 7 -

B^n
lu|ln
àn
^ii<}c
hoàn thành v8i
si/
giup
d^
h^t
siifc
t^n
tinh
eòa
nhufhg
giào vièn
hu3ng
dàn là cÓ Giào
sti Ti^n
sy
IHoàng
Hgu
Dudn^
va
Phó
Tié^n
sy
Tran
Vàn Nhung, Tàc
già'
biè't

dn sàu sà'c
v€?
si/
giup
d9
dó-
Nhàn
dip
này, tàc già cung
xin bay
tò
long
cam dn
chàn
thành t3i càc thành vièn trong xèmina "Phiidng
tri ni i
vi phàn"
va
t^
giai
tich,
khoa Toàn - Cd - Tin hpc
vÈ? nhOhg
y
ki^n
dòng góp
quy
bau
dói v8i npi dung
lu^Ln

àn, cung
nhii nhiJng
sy*
dpng
vièn,
khi
eh
1^
dói v3i tàc già trong
qua
trình
làm
vx#c-
Hà
npi, ngày thàng 4 nàm
1989
- 8 -
CHUON6
I
MOT
90 CAU
TRUC TOPO
CAN THIET
§l.Phàn
th8
va
phàn th3 vectd.
I-1-1.Phàn
th8 tong quàt - càc
djnh

nghla
[34]
Phàn
thS
là mpt bp ba
(X,p,B)
trong dò X
va
B là hai khóng
gian
tòpo,
con
p
:
X-»B
là ành
x^
lièn
tye va
lèn,
tCfc
là
p(X)=B,
Khi dò X
dgl-
khóng gian toàn
th^,
con
B là
day eòa

phàn
th3.
V3i
m^i
b
e
B,
t|ip
h<?p
p'"*(b)
= CxeX
:
p(x)=b>
=X^
dgl.
th8 t»i diem
b
eòa
phàn th3-
Bia
su'
(X,p,B) va (X',p',B')
là hai phàn
thS-
C|LP
(#,^)
càc ành
x^
lièn tye
$ :X —•

X'
va ^
:B
—»
B'
sao cho
bi^u (Sa
X
—
9
X'
"i
i"-
B
9
B'
giao hoàn, dgl -
cà'u x^
eòa phàn th3
(X,p,B)
vào phàn thd
(X',p',B').
Do
ip dìidc
xàc dinh duy nhàt
hÒx $ va diéU ki#n
giao
hoàn eòa
bi^u dò
nèn có

th^
ky
hi^
eàu
xa
phàn th8
(*,^)
ehf
bang
mpt
chìi
$-
Ph^m
trù có càc
v|it
là phàn thd,
con
eàu
xa
là cà'u
x^
phàn
th8
dtidc
ky
hi$u
là Bun-
N^u
B
=

B'
va ^ == Id
thì
$ diidc
gpi là
B-càu
xa.
N^u
them
vào dò, tón
t^i
$"
va i
cung là B-càu
x^ sX'—»
X thi ta nói
$
là
B-dSTng
eàu cùa càc phàn th3 trèn-
-
9 -
Ky
hifu
Bun B
dùng
d^
ehf ph^m
trù có càc vàt là càc
phàn

th8 day
B,
con
eàu
x^
giù'a chùng
là
B-càu
x^.
Phàn
th3
(X',p',B)
dgl.
phàn
th3 con eòa
phàn
thS (X,p,B)
né'u
X' là
khóng gian
con eòa X
va
p'-p
| X'.
Tong
Whitney
eòa hai
phàn
th3
(X,p,B) va (X',P'.B)

trong
Bun
B là
phàn
th8 (X
e
X',p
e
p',B),
& day
X
®
X'
= f(x,x')
: X
e
X, X'
€
X',
p(x)=p'(x')}
(p
e
p')(x,x')
=
p(x) =
p'(x')
v3i
(x,x')
e X e X'
nhii

v|iy
(p
e
p'
)"*
=
X^
x
X^
(b
e
B).
Nhòm
tòpo5
Là mpt tàp
h(;?p
G
y/iia
là
nhòm,
vù'a
la
khóng gian
tòpo
sao cho ành
x^
tCf
e x G
—9
S xàc

dinh
b&i (s,l)
lièn
tye.
Già
su'
G là
nhòm
tòpo
nào dò,
G-khóng gian phai
X là
khóng gian
tòpo
X,
trèn
dò tàc
dpng phài
eòa
nhòm
G,
t(ic
là ành
xa lièn
tye X x G
—•
X
« dàt tiidng
ùhg
(x,s)

sao cho :
i)
V
X
e X
va
s,t
e
6, ta có x(st)
=
(xs)t
ii) V
X e
X có
xl =
X,
^
day
1 là ddn
vi eòa
nhòm G.
G-khóng gian
trai dhJ(}c
dinh nghla
tLfdng
ti/
G—khóng
gian là G-khóng gian trai
hoàc
phai.

Già
su'
X
va
Y là hai G - khóng gian. Anh
x^
h:
X
—9
Y
dgl-
G-cà'u
x^ néu
h(xs)
=
h(x)s v3i mpi x
e
X
va s «e
G.
"1
Càc
di^m X va x'
eòa G-khóng gian X nào
dò
dgl
G-tiidng
diidng néu toh
t^i
phan

tÙ
s
€
G sao cho xs
=
x' .
Ro ràng
day
là quan
h$ tiidng
dxidng.
L3p
ttfdng
diidng
chCfa
x
€
X theo quan
h#
này,
tue
là
t^Lp
hdp
[xs, s
e
G> ky
hi^u b«^i xG
dgl quy
d^o

eòa
x-
IO
-
T|lp
hdp
tàt ca càc quy dao x6, x
e
X v8i
tòpo thi/dng diit^c
ky
hi$u
là X mod 6.
Phàn th8
(X,p,B)
dgl. 6-phàn th8
n^u
X là G-khóng gian
va
toh
tai
dóhg
phói f : X mod G —* S sinh ra dang cà'u:
(l,f)2 a(X) = (X,n,X
mod G)
—>
(X,p,B).
Già
su
19

=
(X,p,B) là G-phàn th8 có
thS
là
G-khÓng
gian F.
Khi dò
r?
là dgl- tam
thiidng
n^u
có
G-dlTng
eàu
h:(X,p,B)
—* (BxF,pr
,B)
7)
dgl. tàm
thifdng dia phi/dng néu
Vb e
B.
tón tai làn
c|Ln
U
eòa b trong B
va
G-dà'ng eàu phàn thd
hiOiU) —9 r)\U
trong dò

0(U)
là phàn thd tich (Ux
F,pr,U).
MÒi
h
nhii
v^y
dgl-
mpt
bgTn
dò trèn U
eòa
phàn th3
7?
Atlas
eòa
B
phàn th3
r)
(v8i day B
va thS
là G-khóng gian F)
là hp tùy y
d^ng
[(h.
,V.
)>,
i
e
3,

^? day
[V.
},i
e 3
là phò
m^
eòa
B,
con h
là bàn dò trèn
V eòa
>)-
Phò
tV.
J
dgl.
k^t
hdp
v3i
V
l.
V
' '
•
atlas
[(h
,V
)>-
t
i

Già
su*
[(h
,V^)>,
i e
3
là mpt atlas
eòa
G-phàn th3
y).
V3i
bà't ky
i,j
€ 3
tón
t^i
ành
x^
diide
xàc dinh duy nhà't g : V n
V —>
G sao cho
h,(b,y)
= h
(b,g. (b)y) v8i mói
diè'm (b,y)
e (V
J
J
^

i
j
'
i
n
V.) X F. Càc ành
x^
g. . này eò càc tinh
chat
sau:
i)
Q . (b)
=
g (b)g
(b)
VbeVnVnV
ii)
g
(b)
= 1«=G VbeV
V
iii)
g
(b)
= g
(b)""*
V b
e
V n V
11

Hp càe ành
xag:V
nV
—»G,i,j€Jcó
càe tinh
chat
ij
t
j
i) - iii) dgl
h#
hàm
chuyé'n eòa
G-phàn
thS r)
trong atlas
lih
,V. >
1.1.2
Djnh ly [34]
Già
sCf tv
>,
i
e J
là phò
mÒ
eòa khóng gian B, G là nhòm
tòpo,
F là 6 - khóng gian

va {g >
là
h^
hàm
chuyèn
dòi v8i phò
CV.}-
Khi dò
toh
t^i
duy nhàt ( chinh xàc
d^n
mpt phép
B-dàhg
eàu
) G-phàn thd
rj
v8i th8 F có atlas
[(h ,V )} sac
cho
hf
hàm
chuyé'n tiidrig
ùhg v3i atlas này trùng v3i
h§ [g
>-
1-1,3-
Phàn thd vectd
-
càc djnh nghla [34]

Phàn th3 (X,p,B) dgl- phàn thd vectd
thyc
n
chiéu né^u mÒi
th8
X^
eòa
nò (b
€
B) có cà'u trùc eòa mpt khóng gian vectd n
b
nhiè'u
trèn IR
va
thòa
man di#u ki^n
tàm thiidng dia phiidng- Vdi
mói b
€
B,
toh
t^i
làn càn V
va
V-dSTng
c^u
phàn th3
h:Vx[R'*'
—•
p (V) sao cho v3i mói x

e
V,
h^n
ch^
xxK —»
D (X) eòa ành
x^
h là
dl^ng
eàu eòa eàe khóng gian vectd-
Càu
xa eòa phàn th8 vectd
(X,p,B)
vào phàn thd vectd
(X',p',B')
là eàu
x^
phàn thd
{L.^p)
sao cho han
eh^
L:p"*(b)
—> (p')'*(^(b))
là
tuy^n
tinh-
B-eàu
x^
vectd eòa phàn th8 vectd (X,p,B) vào phàn th8
vectd

(X',p',B')
là B-càu
x^
L: X
—»
X' sao cho
h^.i
che'
LlX^
:
X^
—9
X;
tuy^n
tinh V b e
B.
• b b b
V3i khóng gian B cho
trù8c,
ky
hi^u
VB - dùng
d^
ehf
ph^m
trù có càc
v|lt
là eàe phàn thd vectd trèn
B,
con eàu

xa
gii?a
- 12 -
chùng là càc B - eàu
x^-
Già
s^ (X,p,B)
là phàn th3 vectd
va
X^
là tàp con eòa khóng
gian X sao cho p(X
)=Bvà(X
,p|X,B) cung là phàn th3 vectd
o o
'
o
con
phép nhùng X
e
X là B-càu xa vectd. Khi dò
(X^,p|X^,B)
dgl.
phàn thd vectd con eòa phàn thd vectd
(X,p,B).
Metric Riemann trèn phàn th3 vectd
(X^pjB)
là ành xa lièn
tye gs X
e

X
—9 \R
sao cho Vb
e
B, ành xa
glX^xX^
là tich
vò
•
b
o
hù3ng
trèn
thS
X .
SO
||x||
= 4
g(x
,x
) dgl
ehuà'n
eòa x e X,
g(x,y)
thiidng
dMi$c
thay
bang
<x,y>-
N§ù

B là paracompact thì
trèn
(X,p,B) toh
tai metric Riemann.
Hàm
thi/e
lièn tye || .
||
xàc dinh trèn X dgl
chugTn
trèn phàn
th3 vectd
n^u
h^n
ch^
eòa
nò trèn
X^(b
€
B) là
chu^n.
b
1,1.4,
Djnh
ly. [17]
Già
su'
(X,p,B) là phàn th8 vectd
vdx
day compact,

at
B
—9
B
là dòng
phói,
(L,©-)
là
d^ng
eàu eòa phàn thd (X,p,B) vào
d^ng
eàu nò trong
ph^m
trù VB,
(9^,e)
là cà'u
x^
eòa phàn th6 trèn vào
chinh no trong
ph^m
trù Bun, hdn
nùà pi
X
—^
X thòa man
diè\i
ki^n
Lipschitz theo nghla 3
\
> Os

||^(x)
-
??(y)||
<
X||x
- y|| V
x,y
€
X, p(x)
=
p(Y).
N^u
Lip
p
<
||L'^||"*
thì (L
+
p,ay
là
daTng
cà'u trong
ph^m
trù Bun
va
ta có càe bàt
dà'ng
thùe:
Lip
[(L + ^) J

<
[||L''||-'
- Lip
(^)l-'
f
-1 -lì
IlL'Mr*-
^iP^^)
Lip
l(L+^)
- L
I
< —
||L-^||-*-
Lip(^)
13 -
§2.
MÒ rpng nhòm càe phép
bii^n
dòi -
Già
si^
T là nhóm tópó. Tàc dpng
o
eòa T trèn
T-khÓng
gian X
dgl nhóm càe phép
bi^n
dòi

va dtfdc ky bi^u
là
(X,T,cy)
Già
s€f (X,T,n) va (B,T,p)
là hai nhóm càc phép
biè^n
dÒi-
Anh
x^
lièn tye p:X
—9
B dgl. dòng
eàu va
ky
hi$u
bòi
ps(X,T,n)
—»
(B,T,p)
n^u
p(n(x,t))
=
p(p(x),t),
xeX,
t
e
T.
N^u
thèm vào dò p(X)

=
B thì ta nói ràng (X,T,n) là
mÒ
rpng eòa
(B,T,p) bang
dòr/g
eàu p hay p:(X,T,n)
—9 (B,T,p)
là mÒ rpng
eòa
nhòm càc phép
bié^n
dòi (sau này gpi tà't là mÒ rpng) .
Già
sCf (X,p,B)
là phàn
thS
vectd, (X,T,n)
va (B,T,p)
là hai
nhóm tópó eàe phép
bi^n
dòi, thèm vào dò p:
(X,T,n) —9 (B,T,p)
là dóhg eàu. Ta gpi
mÒ
rpng ps
(X,T,n) —9 (B,T,p)
là
tuy^n tinh

né^u
Vb
€
B,
t
€
T,
ành xa
ohx^
—9
X
tuyén
tinh,
Ò day
• b
t.
p <b>
n*^=njtxX.
Mò
rpng (nói chung phi
tuyé^n) (X,T,X) —»
(B,T,p) dgl
mò rpng Lipschitzian
n^u
V t
e
T,
eàu
x^
X*^:

X
—9
X
eòa
phàn th3
Riemann
(X,p,B)
thòa mah
diéu ki^n
Lipschitz
va
sup
ÌLÌP
(XS:
|t| <
t^l
< 00 v3i
moi
t >0-
Gi^
sCf (X,T,\) va (X,T,)u)
là hai
mÒ
rpng Lipschitzian eòa
(B,T,p),
bào toàn nhàt càt khóng
e
eòa phàn thd vectd
(X,p,B)
ttfe

là
X^©^)
- MN©^^) =
^p\t.>'
^ ^y ^^ là
vectd khóng eòa
khóng gian
tuy^n
tinh X , e e
B-
Cho t > O,
^ >
o, ta nói
e
o o
(X,T,X)
va (X,T,/j)
là
(t^,£^)
- gàn nhau theo nghla Lipschitz
n^u
có
:
- 14 -
sup
|LÌP
(X'
-
f/)z
|t| <

t^J
<
^^
Gi^
si^
P
va
P là càe
ti/
dòng
eàu chi^u eòa (X,p,B)
(
tCfc
1
2
là càc eàu xa
tuy^n
tinh eòa phàn
thS
vectd
(X,p,B)
vào chinh nò
sao cho P = P - P ) thòa man P +
P^
=
15P (X) = X
(1
=
1,2),
iti

121-
L
Kcr P = X - Kcr P
=
X .
KhÒng
h^n
ch^
tong quàt, có
th^
coi
P
1221
1
va
P là càe phép
ehièu vuòng
góc,
khi dò
||P^||
=
||P^||
=
1.
X^
va
X sé là
hai
phàn thd vectd con
eòa

X.
2
Già sCf W
là phàn thd vectd con
eòa (X,p,B)
va h > O, Ky
hi^us
C(W,h) = |a
+
b,
a
e
W,
b
j.
W,
pia)
=
p{b), ||b|| <
h||a||l
Do P
va
P là càe phép
chi@^u
vuóng góc nèn s
1
2
C(X^,h)
=
|M

e
X:
IJP^J
<
h||P^
)j|
C(X^,h)
=
|K
e X:
||P^J <
h||P^J|}
§3-
X —
chu^n
trèn khóng gian
tuy^n
tinh [15]
Già
su'
A là khóng gian
tuy^n
tinh n
chi^u
trèn
trodng K
v8i
phàn
tù^
khóng là

© va
A là tàp
Od^c
sap
thCf ty
bòi quan
hf "^".
1-3.1.
Dinh nghras
Anh xa X: A
—•
A dgl
X-chu^n
trèn A
nèu
nò thòa
man
hai
di^u ki^ns
1)
Xtca) ^
X(a),
V
e e
K,
a
e
A.
ii)
\{a -^

a' }
^
max
{:X(a),X(a')>,
a,a'
^A.
-
IS
-
1,3.2,
Tinh
chat
eòa
X-chu^n.
a)
Néfu e
?*
O
thì X(ca)
=
X(a)
b)
X(0) ^
X(a) ,V e
e
IR, a
e
A
e)
X(a +a

+
.+a )
*^
max
[X(a),X(a),.^.,X(a )J
1 2 m
11 'n
d)
N^u
e
?^
O
va
X(a) > X(a ) V
i =
1,2,
,m
thì
X(ca
=c
a
+ +C
a )
=
X(a)
11 m m
tt)
N^u
X(a ), X(a
), ,

X(a ) dói mpt khàc nhau thì
h$
12 Tri
vectd fa ,a
, ,a
> dpc làp
tuyéTn
tinh.
12 m
I,3,3•
Di nh nghra
Già ^Ù a
= (a ,a , . .
.
,a ) là mpt có
sÒ eòa
A
diXitfc
sa'p
x0'p
12
n
theo
thCf
ti/
tàng dan eòa
X—chuSfn:
X(a )
=
X(a

)=, =
X(a )
12
n
(tCf
nay
v^
sau, khi nói ed
sÒ,
ta
luón hi#u
la ed
EÒ
da
diidc
sà'p
xfiTp thù ti/)
-
Cd SÒ này dgl. X-cd sÒ
n^u
V a
e
A
bi^u di^n dii(^c dii3i
dang
a = ca
-*-ca
+.
+ca
v8i l<i <i

<-,.
< i < n
li2t
li.
12 j
1 2 j
va e
^
O thì ta
d^u
eò X(a)
=
X(a ).
1,3.4.
Djnh
ly (si/ tòn tai
eòa
X-có
sÒ)
Già SLf et
= (a -a , , ,a ) là mpt
ed
sÒ bàt ky cùa A- Khi
12 rt
dò tòn tai ma
tran
C eò
d^ng
tam giàe
dùdi

vdi càc phàn
t^
trèn
dùdng
ehéo bang 1 sao cho
a'
=
aC
là X-cd sÒ cùa
A.
1.3.5.
Djnh
ly
Già
si^
(a ,a
,.
,a ) là mpt
\~có
sÒ eòa A, Khi dò:
12
n
(a'
,a'
,
. -
-a'
) là X-cd
sÒ
eòa A khi

va
ehf khi X(a ) = X(a' )
1 2 n
LÌ
Vi=l,2, ,n«
- 16 -
§4.
Càc hàm Baire
va
tinh
chSrt
[4]
1,4-1-
Djnh nghla
Cho X là mpt khóng gian tópó. f là hàm xàc dinh trèn X,
liry
già tri trong IR.
f dgl. hàm Baire l3p O
n#u
f lièn
tye,
f dgl. hàm Baire 13p 1
néfu
tòn
t^i
day hàm
f^,f^, ,f^
lièn tye trèn X sao cho f(x) =
lim
f (x) Vx

e
X
Mpt càch tong quàt, f dgl. hàm Baire
Idp k+1 néTu
tòn tai
day hàm f
«f
,
,f ,
v3i f là hàm Baire
13D
k,
Vi
e
IN sao
12
n'
V
cho f(x)
=
lim f(x)
VxeX.
n
n
—^
00
Ky
hi^u H(X)=[fsX
—>(R,
tlà

hàm Baire
Idp
k
>
1.4.2.
Djnh ly
Già
s^
f là hàm Baire
Idp
tùy y trèn khóng gian
tÓpÓ
X.
Khi dò tòn tai tàp C
e
X trù màt khàp
nSi,
kié'u
G^
(
tcfc
là giao
défm dii<5c
càc tàp
mò
trong X) sao cho f
JC
là hàm
1 icn
tyc-

§5,
Vài kèt qua
b^
sung.
1-5.1.
Bò
dè^
[5]
N^u
A:E
—»
E' là
d^ng
eàu
giijfa
hai khóng gian Banaeh
va
ps U —9
E'
là ành
x^
Lipschitz vdi
L(^)
<
=•
m<A)
(m(A)
=
|A~*|~*)
v8i

U
là tàp
lòi
trong E thì ành xa h = A
+ p
là ddm
ành- Hdn
ni?a,
n^u
E
=
E
®E,E'
=E'
eE',
A^A'
eA'
thì
U
12
1
2
1 2
=>
E (ò)
e
E (6) sé kéo theo h(U)
=»
E'(ò) ®
E'(ò),

trong dò:
12 12
E(ò)
là hình eàu ddn
vi
bàn kinh ó trong E va
:
- 17 -
(m(A
) - 2
L(^))
ó.
«-^^
,_.
"/^.tvr
i=l,2
ngoài ra,
h~
là ành xa Lipschitz v3i L(h) <
(m(A) - L(^))
1.5,2.
Bò
dg.
[17]
Già ^ù
(X,d) là khóng gian metric dò, A là khóng gian
tópó f :XxA
—9
X là ành
x^

lièn tye sao cho Va
e
A, f : X
—9
X
a
xàc dinh bòi f(x)=
f(x5a),
x e X thòa man
diè'u ki#n
Lipschitz.
Già
^Ù 3
X: O < X < 1 sao cho Lip(f )
<
X Va
e
A,
a
Khi dò,
n^u
ky
hi^u
x là
dié^m
bàt dpng eòa ành xa co f : X
—»
X thi ành
x^
A

3
a
(—»
x
e X lièn tye.
a
s
-
-
18
CHUONG
II
VEC
TO DAC
TRUNB CUA
MO
RON6
TUYEN TINH
,
VA CAC
TINH CHAT
DIEN HINH
§1,
Bò
sung
v#
X-chu^n
II.
1.1, Djnh nghla
Cd

SÒ (a
,a
a
)
eòa
A dgl. có
sÒ
X-chuà'n
tàc
n^u
mpi
12
n -•
ed
SÒ
(a',a'
, ,a'
) bà't ky eòa A, ta
d^u
có X(a. )
^
X(a'. )
1
2
n
V
i.
Vi=l,2, ,n
11,1.2.
BÒ

dg
Già
sCf a
-
(a,a
, ,a
) là mpt có sÒ
X-chu2fn
tà'i:
cùa
A,
N^u
a
€
A sao cho
h$ [a, ,a ,a , ,a ,a}
dpc
l§p tuyé^n
tinh
thì X(a)
>
X(a.
).
k
Ch£fng
minh-
Ky
hi^u ó
•<ó
-<-, <6

là tàt cà eàe già
tri
khàc nhau
X
Z
8
eòa
t^p
hdp
i X(a ),
i=l,2, ,n> va n
là sÒ càc phàn
tÙ
trong
{a
,a
, ,a
} có
X-cbu^n
^
6
Khi dò,
n^u
X(a)
-< X(a ) thì ehf
có hai
trùKng
hdp:
a)ò
<X(a)-<ò.

ì.
t+i
b) X(a) - <5. v3i i nào dò thòa
man
n < k
t
i
Trong
cà hai
triidng
hdp,
so
sành
càe
vectd
tiidng
ùhg eòa ed sÒ
oe'
=
(a, ,a
,a,a
,, ,a, ,a,
,, ,a
) va có
sÒ
:
1
n.
n.
-1

k-l
k+1
n
l.
L
(a,,,*,a ,a
,a
,.,,«a a •a
)
1 '
n.
n.
+1
'
n.
+2
' '
k
' k+i ' ' n
i
t
\
ta
thày
X(a) <
X(a^^^),
va
càc vectd
con
l^i

eòa a'
tS^u
có
i
X-chu^n
khóng
l8n
hdn
X-ehuIfn
cùa càc
vectd
tùdng
ùhg eòa
a,a
- 19 -
II.l,3,Mfnh
de?.
Mpt ed SÒ eòa A là X-cd sÒ khi
va
ehf khi nò là ed sÒ
X—ehuà*n
tà'e
Chiing minh.
Già
su'
(a ,a , . ,a ) là mpt
X-có
sÒ
va
(a'

,a:
,
- . ,
,a'
) là
12n 12 n
mpt ed
SÒ
bàt ky eòa A. Ta càn chùhg minh ràng
^^\^
-
X(a^)
Vk=l,2, n-
Ky
hi$u:
E = E V (a.
,a,
, ,a
) - khóng gian con
eòa
t
k
K+l
Ti
sinh bòi
h$
vectd
<a ,a
, ,a
}

E^
= E V
(a^,a^, ,a;)
Khi dò, dim E
=n-k+l,
dim E
=k,
do vày 3
a **
O,
ae
E n E .
12
1
£
a
e
E nèn a =
ca.
+
+ e
a vdi it nhàt mpt
e ^
O. Tu'
1 k
k
n n
t
dinh nghla cùa
X-có

sÒ,
suy ra X(a)
^
X(a )
a
e
E nèn a
=
ca'
••• ,.,
+
e'a'
2 11 k
k
(1)
Tinh
chat
e) eòa
X-chu3fn
cho ta: X(a)
3?
X(a'
) (2)
TCf (1>
va
(2) suy ra X(a
) ^ XCa')
k k
Ngi/dc
l^i?

già
sCf
(a ,a ,,, .
,a
) là
ed
sÒ
X-chuà'n
tàc
va
a
12
n
€A:a = ca +ca
+ +ca,
e
s^O
va
1
5
i < i
lv2v
kt.
k 1 2
12
k
<-,-<
i.
<
n.

Càn
còX(a) =X(a
)
Xét tàp
hdp
{a
, ,a. ,a.
,-,.,a
,a)
O^
thày h#
này
1
V,
i.
n
k-l k+l
dpc
l|lp
tuyen
tinh.
Ap dyng
bé?
d^
11,1.2,
suy ra
X(a) ^ X(a
).
\
Do dò X(a)

=
X(a. )
.a
'•k
- 20
Sau
day,
vdi mpt ed sÒ
X-chu^n
tàc dà cho (a ,a
, ,a
),
'
' ^
1 2 n
ta ky
hi^u:
X. = X(a
)
'
k k
E
= <a €
A : X(a)
^
X
>
k
*^
E**

=EV(a,a, ,a)
k 1
2
k
X(V)=
max X(b).
beV
Dinh nghla X(V) là dùng dàn vi
tìi
tinh chat e) eòa
X-chu^n
suy ra ành
x^
XsA —9
A ehf
nh^in nhi^u
nhà't là
n+1
già tri khàc
nhau.
11.1
- 4 - EÒ
de'
i) dim E
>
k
né?u
k <
n,
dim E

~
n.
k
r
ii) dim E,
=
k
<a»
X.
-<
X,
k k
k+l
iii)
X(E*) =
X^
k k
iv) X(V)
>
X v8i mpi V
e G
(A), V
?^
E*
k k k
(Ò
day
G (A) là
dta
t^p

Grassmann càc khóng gian con k
chiéu
eòa
A)
ChCfng
minh,
i)
va
iii) ro ràng
tCf
dinh nghla.
ii)
N^u
X
=X,
thì
a.
"S
E -
Nhii
vày
E,
chù'a
it nhàt là
k k+l k+l k
^
k
eàe
phàn
tÙ

{a
,a
, ,a, ,a.
>,
suy ra dim E
>
k+l.
*
1
2
k
• k+l
k
Ngifdc
l^i,
già
s£f X
>
K'
^^*
a
e
A, a
«
£,''=>
a=c
a
+
k+l k
*:

1 1
ca
+ +ca,
+e,
a + +ca v8i it nhàt mpt trong
2 2 k fc k+l k+l n n
•*- ^
càe SÒ
c^
,,,-,c
phài khàc
O-
(a
,a
,, ,a ) là X-cd sÒ nèn
k+l n 1 2 n
X(A)
>
X(a^
) >
Xiaì.
Nhtf v^y,
a
«
E . Suy ra
E,
= E°và
dim E
k+l k
^' ^ k

kk k
»
k.
L^p
lu|in tifdng
ti/,
ta cung
ehÙhg
minh
dùdc
ÌV).D
- 21
II .
1,5,
Mfnh
dÉF.
X
=
inf X(V).
k
•
V^3^(A)
k
Chiing
minh-
Theo
dinh nghla
eòa
E°,
ta có

E*
e
G^(A5
va X(E^) =
X^^-
Suy ra
inf
A(V)
^
X .
M|it
khàc theo bÒ
de
11,1.4-,
v8i
VeG
(A)
JC
mpi V
€
G (A), V
?*
E°
ta
di^u
có X(V)
>
X -
k k
K

Do
vliy X -
inf X(V) .
o
VeG,
(A)
k
§2.
Vectd djic
trùng eòa mÒ rpng
tuyé^n
tinh.
Già
sCf
(X,t,n)
—9 (B,t,p)
là mpt mÒ rpng
tuy^n
tinh trong
dò
B là khóng gian metric dò, T
= 2
v3i tópó
rÒi rac holic
K-
Khi dò càe nhóm
bi^n
dÓi
n va
p sé sinh ra mpt hp dang eàu

{(nSpS,
t
e
T
)^
eòa phàn
thS
vectd
(X,p.,B)
vào chinh nò sao
cho có
bi^u
dò
Qiao
hoàn.
X
1
B
n'
»
t
p
.
X
i'
. B
Ky
hi§u
n(t,b) là
h^n

ehé^
eòa
H^
trèn X
, tù'e
là
b
n(t,b)
= nMp"*(b) :
x^
_> X
t^
'
b p b
- 22
11.2,1-
Djnh nghla,
Vdi
? €
p'*(b),
b
€
B,
dàt
X (?)
= lim
In
||n(t,b)?
N^u
X

(?)
bull
h^n
thì ta
d|it
ti^p
i^-*+a)
^
||n(t,b)? Il
e
X
(?)t
o
}
Mpt càch tÒng quàt,
n^u
X^(?
)
,
- - ,
,X ^(?
)
hOU
h^n
thì
dàts
X (?)
=
rnr
jL^

in /iin(t,b)?
-*
l—^+00
j ^
X^(?)t
-X
(?)
(In.
t)
j-2
'-
}
O day In
t
* In(ln.t)
;
In O s=
-oo,
i+l V
N^u
X (?)
=
± 00 thì ta
dàt
X
(?)=0
Màt
khàc,
vói
m là mpt sÒ

ti/
nhièn tùy y
có
dinh, xét :
A
=
T
U
^-CD-
+<i*
vdi
thii
ti/ ti/
nhièn thì
t^ip
hdps
A
={
(e ,c , ,c
),
e.
€ Ay
vói
thCf
ti/
tCf dié?n
là
t^p
có
thti tv

O 1
m V
1
hoàn
toàn,
Khi dò có ành xa
X^"**(b,,)i
X
—•A
xàc dinh bòi:
b m
X*"^(b,?)
=
(
X^(?),
X (?), ,X (?)), ?
^
X^
O
1
m o
<m>
X (b,?
) dg
1.
vectd
dàc trifng càp
m
t^i
? eòa mÒ rpng

tuye-n
tinh
p.
<m>
BÒ
déF
sau
day
sé chùng tò X
(b,.)
là mpt
X-chuSTn
trèn
\-
- 23 -
11
.2.2,
BÒ
d^
i>
X^^'^b,?)
=
X*'"^b,c?)
vói ?
€
X^,
c=const ^ O
b
{
ii)

X^'"\b,?+T?)
^ ma>A{
X^^'^b,?),
X^'^^bjTj)
\
v8i
?,?)
e X,
,ì7)
I
Chùng minh-
E)^
ddn giàn càch trình
bay,
v8i b
e
B
cò
dinh, ta
vi^t
n\?),
X*'"^?),
Xj^(?)
thay cho n(t,b)?,
X^'^^b,?)
va
Xj^(b,?).
>
x^(c?)=
m;:

-i—
m
||nSe?)||
=
TI¥
-i-fin|c|-«-in un*-? Il]
e ?tf O
nèn
Inlcl e
T
1 im ln|c|
= O
t—^+00
con TTnT
-4—
In ||n*'?
||
t—#
+ 00
?^^C?)-
V^y
X^Ce?)
-
X^(?)
Già
su'
dà có X.(c?)
=
X (?) V
j =

0,l, ,h.
Khi
dò
\+i^^^
= Tua
YTT"^
^" riln'(c?)
i~ ^•^00
k + l
*-
X_(e?)t
<ln
t)
k-l
-X^(c?)
]-
^rm
_-J—-
rin|c|+ri|n'?li e ^
t—++00
fc +
1 ^ L
-X^(?)t
^^Vi^^
•X^(c?)
]y
"•+00 k + l
L
-X (?)t -X
(?)

(ln^_^t)
j
==X^^^(?)
il) Khóng màrt tinh tòng quàt, già
s^
X^'^N^
)
^
X^'^^T))
,
tri/3e héft
ta có:
- 24 -
X
(?-M()) = TuS
-i-
Inljn^?*??)»
< lim
-^ ln(|in*^?
||
+ ||n*'(T7)
||)
t—.»+oo
t
—•+00
ì.
<
TTSr
-i-
lnJ2max<||n'?||,||n%|lH

« TTST
-i-
inrmax<||n'?||,lln*ì7lly]
t—#
+
00
>•
-•
=
TTSr
max[-^
in||n^?t|,-|
ln||n%||]|
=
max
max
I
TT^
-^
in||n'?||,
ITST
-L-
inljnSlI
|
Vi—^-t-OO
t—•
+
00
J
|x^(?),

X^(17)
} =
X^(i7).
do
X*"'^?)
^
X*"*Ny)).
Nhù
v^y
X
(?+7)) <
X
(7)),
nghla là
X^**\?+Ì7)
S^
X*^^(I7)-
Già
su
dà cò
X*-*'(?+r))
^
X^^^T?)
Vj =
0,l, ,k
<
m.
N^u
vdi
j

nào dò < k
ma
X.
(?+T7)
<
X
(77) thì ta có ngay
^o • ^o
X*-'^?+7))
-C
X'^*(7))
Vj >
j^,
tue
là dà có
x'''**N?-»->7)
-=
X
(rj).
Do vày, ehf
con
phài xét
' trùdng hdp X(?+y))
=
X.(T7)
Vj=0,l,
. . -
,k,
E)e
X

(?+T7) ^X
(r>),
có hai khà
nàng:
a)
X,(?)
=
X.(17)
Vj=0,l, ,k va
X^
(?)
<
X,
(y>)
j ì
k+t k+l
Trong
triidng hdP
này.
\^ ff-^>?>= ^^^ In ^ tl"[lln'(?-^r?)||e "^
t—«+00
k + l
L
?^^c?+^)t
(In^
t)
k-l
\(?+r))
]^
t—^•^0O

k+l
^ *-
-^^<f>t
.(In^
t)
k-l
-x^(?)
25
+ JlnSlle ""
(In.
t)
*= Il
k-l
- ^"^ In ^
t
^"[^
"»a><(lln'?
Ile
•"
dn^
t)
t^
+ OO
k + l
*-
l
*^"*
-X (ì7)t -\ (17)
||n*-r>||e "" (In
t)

*^
k-l
}]
<
lim
max|^-_L-^
InflInVlIe "
t—•+00
^
k + l
^
lincile ** (lnj^_^t) "^
j
max
[x,^^(?),
V^tr,)
}
=
X^^^(r,)
b)
3
Kk sao cho
\ (?)
=
\ (r,) Vj=0,l, ,l va \ (?)
J
J'
l+i
V,(T»
Khi dò v8i tf > O dò nhò,

3
t sao cho Vt > t
d^u
có:
o
o
TT;
^mllln^lle (In
t)
^
|<\
(r,)-^
l +
1
^ ^ * J l+l
Do
X.(?)
=
X.(T7)
Vj=0,l, ,,l
nèn:
Tjr^ln[l!n'?l|.
(ln^_^t) ^
]
<x^^^(^) _,
,
X (7?)t
V(r>)
X
(r))-é:

hay
||n?||
< e
(ln^_^t) ^ (In^t) ^"^^
, Vt > t (1)