Một số vấn đề xung quanh dạng đại số của giả thuyết cổ điển về lớp cầu

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-------------------

NGÔ ANH TUẤN

MỘT SỐ VẤN ĐỀ
XUNG QUANH DẠNG ĐẠI SỐ CỦA
GIẢ THUYẾT CỔ ĐIỂN VỀ LỚP CẦU

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – Năm 2013


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-------------------

NGÔ ANH TUẤN

MỘT SỐ VẤN ĐỀ
XUNG QUANH DẠNG ĐẠI SỐ CỦA
GIẢ THUYẾT CỔ ĐIỂN VỀ LỚP CẦU

Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS. TSKH. Nguyễn Hữu Việt Hưng

Hà Nội – Năm 2013


Lời cảm ơn
Tôi cảm ơn sâu sắc GS. TSKH. Nguyễn Hữu Việt Hưng, người đã truyền đạt
nhiều bài học quí báu và tạo những điều kiện tốt nhất để tôi học tập và nghiên
cứu.
Tôi xin chân thành cảm ơn PGS. TS. Lê Minh Hà, TS. Võ Thị Như Quỳnh và
TS. Phan Hồng Chơn đã nhiệt tình giúp đỡ, góp ý và cung cấp cho tôi nhiều tài
liệu phong phú.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô trong Bộ môn Đại số-Hình học-Tơpơ
đã giúp đỡ và có những lời khun q giá trong việc nghiên cứu Khoa học. Tơi
cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy, cô trong Khoa Toán-Cơ-Tin học, trường Đại
học Khoa học Tự nhiên Hà Nội.
Cuối cùng, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến gia đình tơi, những người ln ủng
hộ và giúp đỡ để tôi yên tâm làm việc.

i


Bảng kí hiệu
F2

Trường với 2 phần tử

Vk

2- nhóm abel sơ cấp hạng k

BVk

Khơng gian phân loại của nhóm Vk

GLk = GL(Vk ) Nhóm tuyến tính tổng qt của Vk
H∗ (X)

Đồng điều của không gian tôpô X với hệ số F2

H ∗ (X)

Đối đồng điều của không gian tôpô X với hệ số F2

A

Đại số Steenrod (modulo 2)

Ext∗ (F2 , F2 )
A

Đối đồng điều của đại số Steenrod

A
T or∗ (F2 , F2 )

Đồng điều của đại số Steenrod

ii

Mở đầu
s
Xét đồng cấu Hurewicz H : π∗ (S 0 ) ∼ π∗ (Q0 S 0 ) → H∗ (Q0 S 0 ), trong đó Q0 S 0 là
=
một thành phần liên thơng của khơng gian vịng lặp vơ hạn Ω∞ S ∞ = limn Ωn S n

với tôpô compact mở. Giả thuyết cổ điển về lớp cầu dự đoán rằng chỉ có các
phần tử với bất biến Hopf bằng 1 và các phần tử với bất biến Kervaire bằng 1
nằm trong ảnh của đồng cấu Hurewicz. (Xem Curtis [8], Snaith-Tornehave [34],
Wellington [35].)
Trong cơng trình [22], Lannes và Zarati xây dựng các đồng cấu
ϕk : Extk,k+i (F2 , F2 ) → (F2 ⊗ Dk )∗ ,
i
A
A

s
như là một phân bậc liên kết của đồng cấu Hurewicz H : π∗ (S 0 ) ∼ π∗ (Q0 S 0 ) →
=
0
H∗ (Q0 S ). Ở đây, Dk là đại số Dickson gồm tất cả các phần tử của F2 [t1 , . . . , tk ]

bất biến dưới tác động của GLk . Các phần tử với bất biến Hopf bằng 1 và bất biến
Kervaire bằng 1 được đại điện bởi các chu trình vĩnh cửu nào đó tương ứng trong
Ext1,∗ (F2 , F2 ) và trong Ext2,∗ (F2 , F2 ), mà ở đó ϕ1 và ϕ2 khác 0 (xem Adams [2],
A
A
Browder [6], Lannes-Zarati [22]). Từ đó, Nguyễn H. V. Hưng đã đưa ra giả thuyết
nói rằng đồng cấu Lannes-Zarati bị triệt tiêu tại mọi phần tử có gốc i dương, với

k > 2 (xem [11]). Giả thuyết này được biết đến như là dạng đại số của giả thuyết
cổ điển về lớp cầu.
Trong [31], Singer xây dựng đối ngẫu của đại số lambda theo lý thuyết bất
biến. Gọi Γk = Dk [Q−1 ] là địa phương hóa của Dk bằng cách làm nghịch đảo Qk,0
k,0
i

k−1
và Γ∧ là môđun con của Γk , sinh bởi các đơn thức γ = Qi0 Qi1 . . . Qk,k−1 , với
k
k,0 k,1
i0 ∈ Z, i1 , . . . , ik−1 ≥ 0 và i0 + degγ ≥ 0. Singer đã chỉ ra rằng Γ∧ = ⊕k Γ∧ là một
k

đối đại số vi phân và đẳng cấu với đối ngẫu của đại số lambda, Λ, được xây dựng
năm 1966 bởi 6 tác giả [5]. Vì vậy, Hk (Γ∧ ) ∼ T orA (F2 , F2 ).
=
k

Sau đó, Nguyễn H. V. Hưng [13] đã xây dựng một biểu diễn ở cấp độ dây chuyền
cho đối ngẫu của đồng cấu Lannes-Zarati vào năm 2001. Cụ thể, ông khẳng định
iii


rằng phép nhúng Dk ⊂ Γ∧ là một biểu diễn ở cấp độ dây chuyền của đối ngẫu
k
của đồng cấu Lannes-Zarati. Trên cơ sở định lý này, giả thuyết về sự triệt tiêu của
+
đồng cấu Lannes-Zarati với k > 2 tương đương với giả thuyết nói rằng nếu q ∈ Dk
A

thì [q] = 0 trong T ork (F2 , F2 ) với k > 2. Do đó, hình thức tương đương nói trên

của dạng đại số của giả thuyết về lớp cầu chỉ ra một con đường chứng minh giả
thuyết đó mà khơng cần dùng tới sự xác định tường minh của nhóm Extk (F2 , F2 ).
A
Nhắc lại rằng, cho tới nay nhóm Extk (F2 , F2 ) mới chỉ được xác định tường minh
A
cho các bậc đồng điều k ≤ 5.
Dạng đại số của giả thuyết về các lớp cầu đã được chứng minh trong các trường
hợp riêng sau đây:
(1) Đồng cấu Lannes-Zarati thứ k triệt tiêu trên mọi phần tử phân tích được
trong Extk (F2 , F2 ) với k > 2 (xem Hưng-Peterson [16].)
A
(2) Đồng cấu Lannes-Zarati thứ k triệt tiêu trên ảnh của đồng cấu chuyển của
Singer với k > 2 (xem Hưng-Nam [15].)
(3) Đồng cấu Lannes-Zarati thứ 3 và thứ 4 triệt tiêu trên mọi phần tử có gốc
dương (xem Nguyễn H. V. Hưng [14] và [11].)
(4) Gần đây, Nguyễn H. V. Hưng, Võ T. N. Quỳnh, và tác giả luận văn này đã
chứng minh trong [18] rằng đồng cấu Lannes-Zarati thứ 5 triệt tiêu trên mọi phần
tử có gốc dương.
Luận văn được chia làm 3 chương.
Trong chương 1, chúng tơi trình bày các kiến thức cơ bản bao gồm đại số
Steenrod, lý thuyết bất biến và đại số lambda.
Trong chương 2, chúng tôi trình bày cách xây dựng đồng cấu Lannes-Zarati
và nói về dạng đại số của giả thuyết cổ điển về các lớp cầu. Đồng thời, chúng tơi
cũng trình bày lại cơng trình của Nguyễn H. V. Hưng [13] nói về biểu diễn ở cấp
độ dây chuyền của đối ngẫu của đồng cấu Lannes-Zarati.
Trong chương 3, chúng tơi trình bày về các toán tử squaring và ứng dụng trong
nghiên cứu đồng cấu Lannes-Zarati. Cụ thể, trong Tiết 3.2 chúng tơi trình bày
lại cơng trình của Nguyễn H. V. Hưng [14] nói rằng tốn tử squaring cổ điển giao

hốn thơng qua đồng cấu Lannes-Zarati với toán tử squaring trên đối ngẫu của hệ
sinh tối tiểu của đại số Dickson xem như một A-môđun. Trong Tiết 3.3 chúng tơi
trình bày lại chứng minh của Nguyễn H. V. Hưng cho sự triệt tiêu của đồng cấu
Lannes-Zarati thứ 3 và thứ 4. Cuối cùng, Tiết 3.4 dành cho việc trình bày cơng
trình gần đây của Nguyễn H. V. Hưng, Võ T. N. Quỳnh, và tác giả luận văn cho
sự triệt tiêu của đồng cấu Lannes-Zarati thứ 5.
iv


Mục lục
Bảng kí hiệu

ii

1

1

Kiến thức chuẩn bị
1.1

1
2

1.1.2
1.2

Đại số Steenrod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cấu trúc của đại số Steenrod . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Lý thuyết bất biến và đại số lambda . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.1
1.2.2
1.2.3

Một mở rộng của đại số lambda . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.4

Các bất biến của GLs và đối ngẫu của Θ . . . . . . . . . . 13

1.2.5
2

Lý thuyết bất biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Phức dây chuyền Γ∧ M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Các bất biến của GLs và đối ngẫu của Λ

. . . . . . . . . . 14

Dạng đại số của giả thuyết cổ điển về các lớp cầu
2.1 Đồng cấu Lannes-Zarati và dạng đại số của giả thuyết cổ điển về
các lớp cầu

2.1.1
2.2

17

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Đồng cấu Lannes-Zarati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.2 Dạng đại số của giả thuyết cổ điển về các lớp cầu . . . . . . 22
Biểu diễn ở cấp độ dây chuyền của đối ngẫu của đồng cấu LannesZarati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3 Toán tử squaring và đồng cấu Lannes-Zarati
3.1

33

Các toán tử squaring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.1.1
3.1.2
3.1.3

3.2

Toán tử squaring cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Toán tử squaring Kameko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Toán tử squaring trên đối ngẫu của đại số Dickson . . . . . 37

Tính giao hoán của các toán tử squaring qua đồng cấu Lannes-Zarati 38
v

3.3

Chứng minh dạng đại số của giả thuyết về lớp cầu trong trường hợp
k=3, 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.4

Chứng minh dạng đại số của giả thuyết về lớp cầu trong trường hợp
k=5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Kết luận

55

Tài liệu tham khảo

56

vi


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong luận văn này, chúng tôi làm việc với vành hệ số là trường F2 gồm hai
phần tử là 0 và 1.

1.1

Đại số Steenrod

Trong mục này, chúng tơi trình bày sơ lược về đại số Steenrod trên trường F2 .
Chúng tôi viết mục này dựa theo các tài liệu [27] và [29].
Đại số Steenrod là đại số sinh bởi các toán tử đối đồng điều
Sq k : H n (X) → H n+k (X),
là các phép biến đổi tự nhiên trên đối đồng điều của không gian tôpô X, xác định
với mọi n, k ≥ 0. Các toán tử này giao hoán với phép treo và do đó chúng được
gọi là các tốn tử đối đồng điều ổn định.
Năm 1950, Cartan đã chứng minh
k

Sq k (xy) =

Sq i (x)Sq k−i (y),
i=0

với x, y ∈ H ∗ (X). Công thức này được gọi là công thức Cartan.
Năm 1952, Adem đã chứng minh rằng tất cả các quan hệ trong đại số Steenrod
đều được sinh ra từ tập các quan hệ sau, gọi là các quan hệ Adem,
[a/2]
a

b

Sq Sq =
i=0

b−i−1
Sq a+b−i Sq i , a < 2b,

a − 2i
1


trong đó, hệ số nhị thức được lấy theo modulo 2.
Năm 1953, Serre chỉ ra rằng đại số Steenrod có một cơ sở cộng tính được gọi
là cở sở chấp nhận được.
Milnor [29] đã nghiên cứu một cách sâu sắc cấu trúc của đại số Steenrod. Ông
đã chứng minh rằng đại số Steenrod là một đại số Hopf, phân bậc, có bổ sung, đối
giao hốn, liên thơng, và đối ngẫu của nó là một đại số đa thức.

1.1.1

Định nghĩa và tính chất

Đại số Steenrod, A, là đại số phân bậc, liên kết, có đơn vị trên trường F2 sinh
bởi các toán tử Sq i , i ≥ 0, bậc i, Sq 0 = 1 và thỏa mãn các quan hệ sau, được gọi
là các quan hệ Adem,
[a/2]
a

b

Sq Sq =
i=0

b−i−1
Sq a+b−i Sq i , a < 2b,
a − 2i

(1.1)

trong đó, hệ số nhị thức được lấy theo modulo 2, kí hiệu [x] dùng để chỉ phần
nguyên của x, là số nguyên lớn nhất không vượt quá x.
Cho I = (i1 , . . . , ik ) là một bộ gồm k số nguyên dương. Ta nói I là dãy chấp
nhận được nếu ij ≥ 2ij+1 với 1 ≤ j ≤ k − 1. Một tích các tốn tử Sq i1 . . . Sq ik
được gọi là một đơn thức có độ dài k và có bậc là i1 + · · · + ik . Đơn thức Sq I được
gọi là đơn thức chấp nhận được nếu I là một dãy chấp nhận được.
Mệnh đề 1.1 (Mosher-Tangora [27]). Tập hợp tất cả các đơn thức chấp nhận
được là một cơ sở cộng tính của đại số Steenrod A, xem như không gian véctơ trên
F2 .
Chứng minh. Chứng minh {Sq I }, với I lấy trên các dãy chấp nhận được, là một
hệ độc lập tuyến tính có thể xem [27].
Ta sẽ chứng minh {Sq I }, với I là dãy chấp nhận được, là một hệ sinh của A.
Thật vậy, với bất kì một dãy J = (j1 , . . . , jk ) (không nhất thiết là một dãy chấp
nhận được), ta định nghĩa moment m(J) = s js s. Ta thấy rằng, khi J không
phải là một dãy chấp nhận được, thì bắt đầu từ phải qua trái ta áp dụng quan
hệ Adem cho cặp đầu tiên js , js+1 , với js < 2js+1 , lúc này Sq J sẽ được phân tích
thành tổng các đơn thức có moment nhỏ hơn m(J). Vì hàm moment bị chặn dưới
nên quá trình này sẽ dừng lại sau hữu hạn bước và do đó {Sq I }, với I chấp nhận
được, là một hệ sinh của A.
2


Định lý 1, chương 3, trong [27] đã nêu ra một vài tính chất của tốn tử Steenrod
như sau:
(1) Sq i (x) = 0 nếu i > deg(x).
(2) Sq 0 là ánh xạ đồng nhất.
(3) Sq i (x) = x2 nếu i = deg(x).
Ta biết rằng đối đồng điều hệ số F2 của không gian xạ ảnh thực vô hạn chiều

P (∞) là vành đa thức một biến F2 [x]. Tác động của các toán tử Steenrod trên
vành đối đồng điều này được mô tả qua mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.2 (Mosher-Tangora [27]). Với mỗi u ∈ H 1 (P (∞); F2 ), ta có Sq i (uj ) =
j
i

uj+i .

Chứng minh. Trước hết, ta thấy với j = 1, mệnh đề hiển nhiên đúng.
Giả sử mệnh đề đúng với mọi k ≤ j và mọi i ≤ k. Ta chứng minh mệnh đề
cũng đúng với j + 1. Thật vậy, theo cơng thức Cartan, ta có
i

Sq k (uj )Sq i−k (u).

Sq i (uj+1 ) = Sq i (uj u) =
k=0

Do tính chất Sq i (x) = 0 nếu i > deg(x), nên ta thấy
Sq i (uj+1 ) = Sq i−1 (uj )Sq 1 (u) + Sq i (uj )Sq 0 (u).
j
i−1

Mặt khác, theo giả thiết quy nạp, ta có Sq i−1 (uj ) =
j
i

uj+i−1 và Sq i (uj ) =

uj+i . Do đó, ta có

Sq i (uj+1 ) =
=

j
j
+
i−1
i

uj+i+1

j + 1 j+i+1
u
.
i

Vậy mệnh đề cũng đúng với j + 1. Ta có điều cần chứng minh.
Ta nói rằng Sq i là phân tích được nếu Sq i =

0
at Sq t , với mỗi at là tích

của một dãy các tốn tử Sq và ta nói rằng Sq i là khơng phân tích được nếu khơng
tồn tại một quan hệ như vậy. Ví dụ Sq 1 là khơng phân tích được; Sq 2 là khơng
phân tích được vì Sq 1 Sq 1 = 0; Sq 3 là phân tích được vì theo quan hệ Adem
Sq 3 = Sq 1 Sq 2 .
k

Mệnh đề 1.3 (Mosher-Tangora [27]). Các toán tử Sq 2 là khơng phân tích được,

k
và đại số Steenrod được sinh bởi Sq 0 và Sq 2 , với k ≥ 0.
3


Chứng minh. Trước tiên ta chứng minh Sq i là khơng phân tích được nếu và chỉ
nếu i là một lũy thừa của 2. Thật vậy, gọi α là phần tử sinh của H 1 (P (∞); Z2 )
k

k

(P (∞) là không gian xạ ảnh thực vô hạn chiều), ta có Sq 2 (α2 ) = α2
vì α

2k+1

2k

khác 0 nên Sq khơng phân tích được; nếu khơng α
t
2k
t<2k at Sq (α ) = 0, đây là điều vô lý.

2k+1

k+1

. Khi này,
k

k

= Sq 2 (α2 ) =

Để chứng minh chiều ngược lại, ta đặt i = a + 2k với 0 < a < 2k và đặt b = 2k .
Sử dụng quan hệ Adem, ta có
Sq a Sq b =
Ta nhận thấy

b−1
a

b−1
Sq a+b +
a

c>0

b−c−1
Sq a+b−c Sq c .
a − 2c

= 1; do đó Sq i = Sq a+b là phân tích được.
k

Từ đây, ta thấy ngay là đại số Steenrod được sinh bởi Sq 0 và Sq 2 , với k ≥ 0.

1.1.2

Cấu trúc của đại số Steenrod

Cho A là một đại số phân bậc có đơn vị. Khi đó, A được gọi là một đại số
Hopf nếu A được trang bị
(i) một toàn cấu đại số phân bậc (được gọi là phép bổ sung) : A → F2 ;
(ii) một đồng cấu đại số phân bậc (được gọi là phép đối nhân) ψ : A → A ⊗ A;
(iii) các hợp thành
ψ

1⊗

∼
=

A −→ A ⊗ A −→ A ⊗ F2 −→ A,
ψ

⊗1

∼
=

A −→ A ⊗ A −→ F2 ⊗ A −→ A
là các ánh xạ đồng nhất;
(iv) và ψ có tính chất kết hợp: (1 ⊗ ψ) ◦ ψ = (ψ ⊗ 1) ◦ ψ.
Ta nói ψ có tính chất giao hốn nếu
T ◦ ψ = ψ,
trong đó T : A ⊗ A → A ⊗ A là đồng cấu hoán vị T (a ⊗ b) = b ⊗ a.
Định lý 1.4 (Milnor [29]). Đại số Steenrod A là một đại số Hopf, với phép bổ
sung

: A → F2 được xác định bởi


1, nếu deg(θ)=0,
(θ) =

0, nếu deg(θ)>0,
4


và phép đối nhân ψ : A → A ⊗ A được cho bởi
k
k

Sq i ⊗ Sq k−i .

ψ(Sq ) =
i=0

Hơn nữa, ψ giao hoán.
Theo [29], tồn tại một tự đẳng cấu χ trên A, được gọi là đẳng cấu phản đối
xứng (phản đồng cấu), thỏa mãn các điều kiện sau:
k
k

Sq i χ(Sq k−1 ),

χ(Sq ) =

χ(θ1 θ2 ) = χ(θ2 )χ(θ1 )

i=1

và χ(Sq 0 ) = 1.
Cũng theo [29], A∗ , đối ngẫu của đại số Steenrod A, là đại số đa thức trên
trường F2 sinh bởi các phần tử ξi với i ≥ 0, bậc 2i − 1, trong đó ξ0 = 1 và ξn là
n−1

n−2

đối ngẫu của đơn thức Sq 2 Sq 2 . . . Sq 1 theo cơ sở chấp nhận được.
Theo Milnor [29] A∗ cũng là một đại số Hopf. Đối nhân và phản đồng cấu trong
A∗ được cho bởi cơng thức sau:
k

k−1
2i
ξk−i

∗

µ (ξk ) =

⊗ ξi ,

i

2
ξk−i χ(ξi ).

χ(ξk ) =

i=0

i=0

r
r
A∗ có một cơ sở cộng tính gồm các đơn thức ξ11 . . . ξkk .

Với R = (r1 , . . . , rk ) là một bộ gồm k số ngun khơng âm, ta kí hiệu Sq(R) =
r
r
Sq(r1 , . . . , rk ) là đối ngẫu của đơn thức ξ11 . . . ξkk theo cơ sở gồm các đơn thức của

A∗ . Khi đó, bậc của Sq(r1 , . . . , rk ) là r1 + 3r2 + · · · + (2k − 1)rk , và ta có kết quả
sau đây.
Định lý 1.5 (Milnor [29]). Tập tất cả các phần tử Sq(R) là một cơ sở cộng tính
của đại số Steenrod A, xem như một F2 -khơng gian véctơ.
Cơ sở của A nói trong Định lý 1.5 được gọi là cơ sở Milnor.

1.2

Lý thuyết bất biến và đại số lambda

Chúng tơi trình bày mục này dựa theo bài báo của William M. Singer [31].

5

1.2.1

Lý thuyết bất biến

Ta gọi Ps = F2 [t1 , . . . , ts ] là đại số đa thức trên trường F2 với s phần tử sinh,
mỗi phần tử sinh có chiều 1. Nhóm tuyến tính tổng qt GLs ≡ GLs (F2 ) tác động
tự nhiên trên không gian véctơ gồm các phần tử chiều 1 của Ps . Ta mở rộng tác
động này cho toàn vành đa thức bằng cách xem GLs tác động như một nhóm của
các tự đẳng cấu đại số.
Cho Ts ⊆ GLs là nhóm con bao gồm tất cả các ma trận tam giác trên với các
phần tử bằng 1 trên đường chéo chính. Vành bất biến PsTs đã được xác định bởi
Huỳnh Mùi [26]. Ông chỉ ra rằng PsTs là một đại số đa thức
PsTs = F2 [V1 , . . . , Vs ]

(1.2)

trên các phần tử Vk có chiều 2k−1 . Vk được cho bởi công thức
(λ1 t1 + · · · + λk−1 tk−1 + tk )

Vk =

(1.3)

λ

trong đó tích lấy trên tất cả các λ = (λ1 , . . . , λk−1 ) với λi ∈ F2 .
Vành bất biến PsGLs đã được mô tả bởi Dickson [9]. Ông đã chỉ ra rằng PsGLs
cũng là một đại số đa thức
PsGLs = F2 [Qs,0 , . . . , Qs,s−1 ]

(1.4)

trên các phần tử sinh Qs,i có chiều 2s − 2i . Phần tử Qs,0 được cho bởi công thức
(λ1 t1 + · · · + λs ts )

Qs,0 =

(1.5)

λ

trong đó tích lấy trên tất cả λ = (λ1 , . . . , λs ) với λi ∈ F2 mà λ = (0, . . . , 0). Từ
cách xác định của Vk ta thấy
Qs,0 = V1 . . . Vs .

(1.6)

Dickson đã mô tả Qs,i quy nạp theo s như sau
Qs,i = Vs Qs−1,i + Q2
s−1,i−1 ,

(1.7)

với 0 ≤ i < s và qui ước rằng Qs−1,s−1 = 1 (s ≥ 1), Qs,i = 0 nếu i < 0 hoặc
i > s.

6


Cho S(s) ⊂ Ps là tập con nhân tính sinh bởi tất cả các dạng tuyến tính khác

0 trong Ps . Cho Φs là địa phương hóa: Φs = (Ps )S(s) . Khi đó, GLs tác động trên
Φs như một nhóm các tự đẳng cấu đại số. Từ (1.2), (1.4) và (1.5) ta có
∆s = (Φs )Ts = F2 [V1±1 , . . . , Vs±1 ],

(1.8)

Γs = (Φs )GLs = F2 [Q±1 , Qs,1 , . . . , Qs,s−1 ].
s,0

(1.9)

(k ≥ 2)

(1.10)

Nếu ta đặt
v1 = V1 , vk = Vk /V1 V2 . . . Vk−1
sao cho
k−2

2
Vk = v1

k−3

2
v2

(k ≥ 2),

. . . vk−1 vk

(1.11)

thì (1.8) được viết lại như sau
±1
±1
∆s = (Φs )Ts = F2 [v1 , . . . , vs ].

(1.12)

Với mỗi cặp số nguyên không âm p, q mà p + q = s ta định nghĩa một đẳng cấu
đại số ψp,q : ∆s → ∆p ⊗ ∆q như sau


vi ⊗ 1,
1 ≤ i ≤ p,
ψp,q (vi ) =

1 ⊗ vi−p , p + 1 ≤ i ≤ s.

(1.13)

Ta qui ước rằng ∆0 = F2 ; ψs,0 (x) = x ⊗ 1; ψ0,s (x) = 1 ⊗ x.
Ta đặt ∆ = ⊕s≥0 (∆s ); lúc này, kết hợp các ánh xạ 1.13 ta thu được đối tích
ψ : ∆ → ∆ ⊗ ∆ mà với đối tích này ∆ trở thành một đối đại số.
Tương tự, ta đặt Γ = ⊕s≥0 (Γs ). Ta sẽ chỉ ra rằng Γ là một đối đại số con của
∆.
Mệnh đề 1.6 (Singer [31]). ψp,q (Γs ) ⊆ Γp ⊗ Γq ; do đó, Γ là một đối đại số con
của ∆.

Chứng minh. Mệnh đề 1.6 được suy ra từ công thức sau
q

j

j

Q2 −2 Q2
p,0
p,i−j ⊗ Qq,j

ψp,q (Qs,i ) =

(1.14)

j≥0

với mỗi i, 0 ≤ i < s. Ta sẽ chứng minh công thức (1.14) bằng quy nạp theo s. Ta
thấy rằng công thức đúng với s = 1. Giả sử công thức đúng với s − 1, ta sẽ chứng
7


minh công thức cũng đúng cho s. Thật vậy,
ψp,q (Qs,i ) = ψp,q (Vs Qs−1,i + Q2
s−1,i−1 )

(do (1.7))

= ψp,q (Vs )ψp,q (Qs−1,i ) + ψp,q (Q2
s−1,i−1 )

= ψp,q (Vs )ψp,q−1 (Qs−1,i ) + ψp,q−1 (Qs−1,i−1 )2
s−2

2
= (v1

s−p−1

2
. . . vp

2
⊗ v1

s−p−2

q−1 −2j

Q2
p,0

. . . vs−1−p vs−p ).(

j

Q2
p,i−j ⊗ Qq−1,j )

j≥0
q

k+1

Q2 −2
p,0

+

k+1

2
Q2
p,i−k−1 ⊗ Qq−1,k

(do giả thiết quy nạp)

k≥0
s−p−1

Q2
p,0

=

q−1 −2j

Q2
p,0

j

Q2
p,i−j ⊗ Vq Qq−1,j

j≥0
q

k+1

Q2 −2
p,0

+

q

Q2 −2
p,0

k+1

k+1

2
Qp,i−k−1 ⊗ Q2
q−1,k

(do (1.6) và (1.11))

k≥0

q

j

j

Q2 −2 Q2
p,0
p,i−j ⊗ Qq,j

=

(đổi biến j=k+1).

j≥0

Vậy công thức (1.14) đúng cho s và mệnh đề đã được chứng minh.
Singer định nghĩa Γ∧ là môđun con của Γs = Ds [Q−1 ] sinh bởi tất cả các đơn
s,0
s
i

s−1
thức γ = Qi0 . . . Qs,s−1 với i1 , . . . , is−1 ≥ 0, i0 ∈ Z và i0 + degγ ≥ 0.
s,0

Bổ đề 1.7 (Singer [31]). ψs−1,1 (Γ∧ ) ⊆ Γ∧ ⊗ Γ1 .
s−1
s
Chứng minh. Ta lấy γ = Qi0 . . . Qis −1 ∈ Γ∧ . Mặt khác, Qs,i = Qs−1,0 Qs−1,i vs +

s,0
s,s−1
s
Q2
s−1,i−1 với 0 ≤ i < s. Do đó γ được viết như tổng của các phần tử có dạng
2i +k +k2 +···+ks−1 +2(i1 −k1 )

0
Qs−1,0 1

k +2(i2 −k2 )

1
Qs−1,1

k

+2(i

s−2
...Qs−1,s−2 s−1

−ks−1 ) i0 +k1 +···+ks−1
vs
.

Ta thấy

(2i0 + k1 + k2 + · · · + ks−1 + 2(i1 − k1 )) + dimγ − (i0 + k1 + · · · + ks−1 ) ≥ 0.
Điều đó có nghĩa là mỗi phần tử trong khai triển thành tổng của γ đều nằm trong

Γ∧ . Vì vậy ta có kết luận của bổ đề.
s−1
Bổ đề 1.8 (Singer [31]). Cho γ =

j
j
v11 . . . vss ∈ Γ∧ . Khi đó ta có j1 ≥ 0 trong
s

mọi đơn thức xuất hiện trong khai triển của γ theo các biến v1 , . . . , vs .
Chứng minh. Đây là hệ quả trực tiếp của Bổ đề 1.7.
Ta gọi
s−1

Is = {(i0 , . . . , is−1 ) | 0 ≤ i1 , . . . , is−1

(2s − 2k )ik }

và 0 ≤ i0 +
k=0

8


và
Js = {(j1 , . . . , js ) | 0 ≤ j1

và jk−1 ≤ 2jk }.

Ánh xạ Φ : Is → Js được xác định bởi Φ(i0 , . . . , is−1 ) = (j1 , . . . , js ) trong đó

s−k−1

jk = 2s−k (i0 + · · · + ik−1 ) +

(2s−k − 2l )ik+l .

(1.15)

l=0

Ánh xạ ψ : Js → Is được xác định bởi ψ(j1 , . . . , js ) = (i0 , . . . , is−1 ) trong đó
i0 = j1 − j2 − · · · − js ,

ik−1 = 2jk − jk−1

(k ≥ 2).

(1.16)

Bằng tính tốn đơn giản ta có kết quả phát biểu trong bổ đề sau.
Bổ đề 1.9 (Singer [31]). Φ : Is → Js là một song ánh và ψ là ánh xạ ngược của
nó.
j
j
Ta lấy một cơ sở của ∆s là một tập gồm các đơn thức sau {v11 . . . vss |

j1 , . . . , js ∈ Z} và sắp xếp cơ sở này theo thứ tự từ điển ngược. Ta có bổ đề
sau.
Bổ đề 1.10 (Singer [31]). Cho (j1 , . . . , js ) = Φ(i0 , . . . , is−1 ). Khi đó trong ∆s ta
có

i

j
s−1
j
Qi0 Qi1 . . . Qs,s−1 = v11 . . . vss + các đơn thức nhỏ hơn.
s,0 s,1

Chứng minh. Ta có
i

i

s−1
s−2
Qi0 . . . Qs,s−1 = V1i0 V2i0 . . . Vsi0 +···+is−1 Qi1
s,0
s−1,1 . . . Qs−1,s−2

+ các đơn thức nhỏ hơn
i +···+is−2

s−3
Qi1
s−2,1 . . . Qs−2,s−3

i +···+is−2

1
Vs−2

1
= V1i0 V2i0 . . . Vsi0 +···+is−1 Vs−1

i

+ các đơn thức nhỏ hơn
= ...
1
= V1i0 V2i0 . . . Vsi0 +···+is−1 Vs−1

i +···+is−3

+ các đơn thức nhỏ hơn
i +···+is−2

0
= V1i0 V2i0 +i1 . . . Vs−1

Vsi0 +···+is−1

+ các đơn thức nhỏ hơn
j
j
= v11 . . . vss + các đơn thức nhỏ hơn.

9

. . . V2i1 Qi1
1,1

(1.17)


1.2.2

Phức dây chuyền Γ∧ M

Cho M là một A-môđun trái bất kỳ. Trong mục này ta sẽ xây dựng phức dây
chuyền Γ∧ M .
Định nghĩa một ánh xạ tuyến tính trên F2 như sau
π : ∆2 → A
p q
v1 v2 → Sq p+1 Sq q+1 .

Mệnh đề 1.11 (Singer [31]). Γ2 ⊂ kerπ.
Chứng minh. Ta sẽ sử dụng mô tả của Γ2 trong (1.9) để chỉ ra rằng π(Qr Qs ) = 0
2,0 2,1
với mọi r ∈ Z và s ≥ 0 bằng quy nạp theo s. Với s = 0 ta có điều khẳng định vì
Sq 2r+1 Sq r+1 = 0 trong đại số Steenrod A.
Mặt khác ta nhận thấy
π(

Q2,1
1
1
γ) = π(γ( + )) = απ(γ)
Q2,0
v1 v2

với α : A → A là phép đạo hàm thỏa mãn α(Sq k ) = Sq k−1 (xem [20].) Do đó, từ
giả thiết quy nạp ta có điều phải chứng minh.
Ta định nghĩa ánh xạ tuyến tính ∂ : ∆s ⊗ M → ∆s−1 ⊗ M bằng công thức
j

j
j
s−1
j
∂(v11 . . . vss ⊗ x) = v11 . . . vs−1 ⊗ Sq js +1 x.

(1.18)

Từ Bổ đề 1.7 ta thấy ngay là ∂(Γ∧ ⊗ M ) ⊆ Γ∧ ⊗ M .
s−1
s
Ta định nghĩa phức dây chuyền Γ∧ M bằng cách đặt (Γ∧ M )s = Γ∧ ⊗ M và vi
s
phân là hạn chế của (1.18) tới Γ∧ ⊗ M . Ta chú ý là hợp thành ∂.∂ = 0 suy ra từ
s
Mệnh đề 1.6 và Mệnh đề 1.11.
Mệnh đề 1.12 (Singer [31]). Tồn tại một đẳng cấu tự nhiên H0 (Γ∧ M ) = F2 ⊗A M .
Chứng minh. Xét phức dây chuyền
. . . −→ Γ∧ ⊗ M −→ Γ∧ ⊗ M −→ 0,
0
1
ta thấy từ phức này H0 (Γ∧ M ) = ker(∂0 )/Im(∂1 ). Mặt khác, ta có ker(∂0 ) = Γ∧ ⊗
0
M và từ định nghĩa của ∂1 ta suy ra H0 (Γ∧ M ) = Γ∧ ⊗ M/A+ M = F2 ⊗A M .
0

Mệnh đề 1.13 (Singer [31]). Nếu 0 −→ M −→ N −→ P −→ 0 là một dãy khớp
ngắn của các A-mơđun thì 0 −→ Γ∧ M −→ Γ∧ N −→ Γ∧ P −→ 0 là dãy khớp ngắn
của các phức dây chuyền.
10


Chứng minh. Mệnh đề này là hiển nhiên vì với mỗi s ≥ 0 thì Γ∧ là một mơđun tự
s
do.
Mệnh đề 1.14 (Singer [31]). Với bất kì một dãy khớp ngắn của các A-môđun
0 −→ M −→ N −→ P −→ 0, thì ta có dãy khớp dài sau
. . . −→ Hs (Γ∧ N ) −→ Hs (Γ∧ P ) −→ Hs−1 (Γ∧ M ) −→ . . . −→ H0 (Γ∧ P ) −→ 0.
Chứng minh. Mệnh đề này là hệ quả trực tiếp của Mệnh đề 1.13.
Mệnh đề 1.15 (Singer [31]). Hs (Γ∧ A) = 0 nếu s > 0.
Chứng minh. Nếu Sq I = Sq i1 . . . Sq ip là một đơn thức chấp nhận được trong A
thì ta gọi l(I) = p là độ dài của nó. Ta xác định một lọc tăng trên Γ∧ A bằng cách
đặt
Fp (Γ∧ A)s = Γ∧ ⊗ Span{Sq I |I chấp nhận được; l(I) ≤ p − s}.
s
Khi này Fp (Γ∧ A) là một phức con của Γ∧ A với mỗi p ≥ 0. Ta gọi E 0 Γ∧ A là
0
không gian phân bậc liên kết: với mỗi p ≥ 0, Ep Γ∧ A = Fp Γ∧ A/Fp−1 Γ∧ A là
is−1
một phức dây chuyền. Một đơn thức y = Qi0 . . . Qs,s−1 ⊗ Sq k1 . . . Sq kp−s trong
s,0

Fp (Γ∧ A)s /Fp−1 (Γ∧ A)s được gọi là chấp nhận được nếu Sq k1 . . . Sq kp−s chấp nhận
được trong A, và nếu js > 2k1 − 2; trong đó, js = i0 + i1 + · · · + is−1 . Bây giờ ta
sẽ xác định một lọc tăng trên E 0 Γ∧ A bằng cách đặt



E Γ∧ A,
 0
s < q,



is−1
(Gq E0 Γ∧ A)s = Span{y = Qi0 . . . Qs,s−1 ⊗ Sq I |y chấp nhận được},
s,0





0,
s > q,

s = q,

với mọi q ≥ 0. Khi đó Gq E0 Γ∧ A là một phức con của E 0 Γ∧ A. Ta kiểm tra thấy


F 2 ,
s = q = 0,
Gq E0 Γ∧ A
Hs
=

Gq−1 E0 Γ∧ A

0,
trường hợp còn lại.
Từ đây ta suy ra kết luận của mệnh đề.
A
Định lý 1.16 (Singer [31]). Tồn tại một đẳng cấu tự nhiên Hs (Γ∧ M ) ∼ T ors (F2 , M ).
=

Chứng minh. Các tính chất của hàm tử M −→ Hs (Γ∧ M ) (s = 0, 1, 2, . . . ) cho bởi
A
Mệnh đề 1.12, 1.14, và 1.15 cũng là các tính chất của hàm tử M −→ T ors (F2 , M ).

Mà ta biết rằng hàm tử sau được đặc trưng bởi các tính chất này. Định lý được
chứng minh.
11


1.2.3

Một mở rộng của đại số lambda

Cho L là một không gian véctơ phân bậc trên trường F2 với cơ sở bao gồm
tất cả phần tử có dạng {λk | k ∈ Z, k ≥ −1}, với degλk = k. Gọi T ens L là đại
số liên kết tự do sinh bởi L. Lúc đó, T ens L là một đại số song bậc nếu ta viết
bidegλk = (1, k). Trong (T ens L)2 = L ⊗ L, ta định nghĩa một họ các phần tử
thuần nhất
λ(p, q) =
j≥0

p
λ2q+j−1 λp+q−j−1

j

(p, q ≥ 0)

(1.19)

và định nghĩa Θ là đại số song bậc đạt được bằng cách lấy T ens L chia thương
cho quan hệ λ(p, q) = 0 (p, q ≥ 0). Các quan hệ này có hai loại. Những quan hệ
chứa λ−1 xuất hiện trong các quan hệ λ(p, 0) = 0:
λ−1 λ−1 = 0,
p−1

λ−1 λp−1 +
j=−1

p
λj−1 λp−j−1 + λp−1 λ−1 = 0 (p > 0),
j

còn các phần tử sinh {λk | k ≥ 0} xuất hiện trong λ(p, q), với q > 0.
Ta gọi Λ là đại số con của Θ được sinh bởi các phần tử {λk | k ≥ 0}. Như vậy
Λ được xác định bởi quan hệ λ(p, q) = 0 với p ≥ 0 và q > 0. Định nghĩa này giống
với định nghĩa gốc trong [5] nhưng tích được viết theo thứ tự ngược với tích viết
trong [5].
Trong [5], với mỗi s ≥ 1, một cơ sở của Λs là {λj1 . . . λjs | 0 ≤ j1 , j1 ≤
2j2 , . . . , js−1 ≤ 2js }.
Ta định nghĩa một đồng cấu d : Θ → Θ bởi
dx = λ−1 x + xλ−1 .
Ánh xạ d là một đạo hàm và vì λ−1 λ−1 = 0 nên ta có d.d = 0.
Theo Singer [31] tồn tại duy nhất một đạo hàm χ : T ens L → T ens L thỏa

mãn điều kiện: χ(λk ) = λk+1

(k ≥ −1).

Bổ đề 1.17 (Singer [31]). χλ(p, q) = λ(p + 1, q).
Chứng minh. Ta có
χλ(p, q) =
=
=

p
j≥0 j
p
j≥0 j

j≥0

p
j

(χ(λ2q+j−1 )λp+q−j−1 + λ2q+j−1 χ(λp+q−j−1 ))

(χ(λ2q+j−1 )λp+q−j−1 + λ2q+j−1 χ(λp+q−j−1 ))
(λ2q+j λp+q−j−1 + λ2q+j−1 λp+q−j )
12


=
=

p
p
p
λ2q−1 λp+q + p [ k−1 + k ]λ2q+k−1 λp+q−k +
k=1
0
p+1
p+1
λ2q+k−1 λp+q−k + p+1
λ2q−1 λp+q + p
k=1
k
p+1
0

p
p

λ2q+p λq−1

λ2q+p λq−1

= λ(p + 1, q).
Vậy bổ đề được chứng minh.

Các bất biến của GLs và đối ngẫu của Θ

1.2.4

Mục đích của phần này là xây dựng một ánh xạ tuyến tính ks : Γs → (Θs )∗ .

Ta định nghĩa ánh xạ tuyến tính trên F2 , ks : ∆s → (L⊗s )∗ bởi
i
i
ks (v11 . . . vss ), λj1 ⊗ · · · ⊗ λjs = δi1 ,j1 . . . δis ,js

với mỗi s ≥ 1 và ta gọi k0 : ∆0 → (L⊗0 )∗ là ánh xạ đồng nhất trên F2 . Với
ψp,q : ∆s → ∆p ⊗ ∆q được định nghĩa ở (1.13), ta có
ks (γ), αβ = (kp ⊗ kq )ψp,q (γ), α ⊗ β

(1.20)

với α ∈ L⊗p , β ∈ L⊗q , γ ∈ ∆s .
Bổ đề 1.18 (Singer [31]). Với mọi γ ∈ Γ2 và mọi số nguyên p, q ≥ 0 ta có
k2 (γ), λ(p, q) = 0.
Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh bổ đề cho trường hợp γ = Qa Qb , với
2,0 2,1
a, b là các số nguyên và b ≥ 0. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo b. Trước
2a a
hết với b = 0, ta có k2 (Qa ), λ(p, q) = k2 (v1 v2 ), j≥0 p λ2q+j−1 λp+q−j−1 =
2,0
j
j≥0

p
j

cho γ =

δ2a,2q+j−1 δa,p+q−j−1 =
Qa Qb

2,0 2,1

3(a−q)+2
2(a−q)+1

= 0. Giả sử bổ đề 1.18 được chứng minh

với b ≥ 0 cố định và mọi giá trị của a, p, và q. Ta định nghĩa ánh

xạ ρ : ∆2 → ∆2 như sau
ρ(δ) =

Q2,1
1
1
δ = ( + )δ
Q2,0
v1 v2

với mỗi δ ∈ ∆2 . Ta dễ dàng kiểm tra thấy biểu đồ sau giao hoán:
k

∆2 − − (L ⊗ L)∗
−2→


ρ
χ∗
k

∆2 − − (L ⊗ L)∗ ,
−2→

13


với χ là đạo hàm của T ens L được nhắc đến ở mục trước. Lúc này, nếu ta gọi
γ = Qa Qb thì do giả thiết quy nạp và tính giao hốn của biểu đồ trên, ta có
2,0 2,1
b+1
k2 (Qa−1 Q2,1 ), λ(p, q) = k2 ρ(γ), λ(p, q)
2,0

= χ∗ k2 (γ), λ(p, q)
= k2 (γ), χλ(p, q)
= k2 (γ), λ(p + 1, q)
= 0.
Vậy bổ đề được chứng minh.
Bổ đề 1.18 được khái quát thành mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.19 (Singer [31]). Cho β ∈ L⊗s nằm trong idean hai phía của T ens L
sinh bởi các phần tử λ(p, q), khi đó ta có ks (γ), β = 0 với mọi γ ∈ Γs .
Chứng minh. Ta giả sử β = α1 α2 α3 với α1 ∈ L⊗r , α2 = λ(p, q) ∈ L⊗2 , và α3 ∈
L⊗s−r−2 , với r nào đó. Từ đẳng thức (1.20), Mệnh đề 1.6, và Bổ đề 1.18 ta suy ra
điều phải chứng minh.

1.2.5

Các bất biến của GLs và đối ngẫu của Λ

Từ Mệnh đề 1.19, ta thấy hạn chế của ks : ∆s → (L⊗s )∗ tới Γs cho ta ánh xạ

sau
ks : Γs → (Θs )∗ ,
ta cho hợp thành với phép chiếu tự nhiên (Θs )∗ → (Λs )∗ để thu được ánh xạ tuyến
tính sau
ls : Γ∧ → (Λs )∗ .
s
Mệnh đề 1.20 (Singer [31]). ls là một đẳng cấu với mỗi s ≥ 0.
Chứng minh. Ta lấy một cơ sở của (Λs )∗ là cơ sở đối ngẫu với cơ sở chấp nhận
được và cho nó một thứ tự từ điển ngược. Như ta đã biết, tập tất cả các đơn thức
is−1
i0
γ = Qs,0 . . . Qs,s−1 , với i0 ∈ Z, i1 , . . . , is−1 ≥ 0 và i0 + degγ ≥ 0, là một cở sở của
Γ∧ . Từ cách xác định của ls ta tính được
s
i

s−1
ls (Qi0 . . . Qs,s−1 ) = (λj1 . . . λjs )∗ + các phần tử cơ sở nhỏ hơn
s,0

14


với (j1 , . . . , js ) = Φ(i0 , . . . , is−1 ), trong đó Φ là song ánh được nhắc đến trong Bổ
đề 1.9. Đẳng thức này cho ta điều cần chứng minh.
Bằng cách đồng nhất Γ∧ với (Γ∧ F2 )s ta thu được vi phân ∂ : Γ∧ → Γ∧ được
s
s
s−1
định nghĩa như ở công thức (1.18). Rõ ràng vi phân này thu được bằng cách hạn

chế tới Γ∧ của ánh xạ ∂ : ∆s → ∆s−1 cho bởi
s

 j1
js−1
v1 . . . vs−1
j1
js
∂(v1 . . . vs ) =

0

nếu js = −1,

(1.21)

nếu js = −1.

Mệnh đề 1.21 (Singer [31]). Biểu đồ sau giao hoán với mỗi s ≥ 1:
l

Γ∧ − −
−s→
s


∂

(Λs )∗


∗
d

ls−1

Γ∧ − − (Λs−1 )∗ .
−→
s−1
Chứng minh. Cho γ =

j
j
v11 . . . vss ∈ Γ∧ . Ta chỉ cần chứng minh
s
j
j
j
j
ls−1 ∂(v11 . . . vss ) = d∗ ls (v11 . . . vss ).

Trường hợp 1: js = −1
Ta có
j
−1
ls−1 ∂(v11 . . . vs ), λk1 . . . λks−1 = δj1 ,k1 . . . δjs−1 ,ks−1 ,

j
j
−1
−1

d∗ ls (v11 . . . vs ), λk1 . . . λks−1 = ls (v11 . . . vs ), λ−1 λk1 . . . λks−1
j
−1
+ ls (v11 . . . vs ), λk1 . . . λks−1 λ−1 .
j
−1
Bổ đề 1.8 cho thấy ls (v11 . . . vs ), λ−1 λk1 . . . λks−1 = 0, do đó mệnh đề được chứng

minh khi js = −1.
Trường hợp 2: js = −1
Khi đó cả vế trái và phải đều bằng nhau và bằng 0.
Vậy mệnh đề được chứng minh.
Bây giờ, ta gom các ánh xạ ls (s ≥ 0) để thu được ánh xạ l : Γ∧ F2 → Λ∗ . Mệnh
đề sau là hệ quả trực tiếp từ Mệnh đề 1.20 và 1.21.
Mệnh đề 1.22 (Singer [31]). l : Γ∧ F2 → Λ∗ là một đẳng cấu của các phức dây
chuyền.
15


Ta gom các ánh xạ ks (s ≥ 0) để tạo thành ánh xạ k : Γ → Θ∗ , ta có mệnh đề
sau đây.
Mệnh đề 1.23 (Singer [31]). k : Γ → Θ∗ là một đồng cấu của các đối đại số phân
bậc.
Ta sẽ trang bị cho Γ∧ F2 cấu trúc của một đối đại số vi phân và chỉ ra rằng l
là một đẳng cấu của các đối đại số vi phân. Ta có thể thấy là Γ∧ F2 không phải là
một đối đại số con của Γ nhưng nó là một đối đại số thương của Γ. Ta sẽ chỉ ra
nhận xét này như sau.
Xét đồng cấu của các đối đại số k : Γ → Θ∗ , cho k hợp thành với phép chiếu
¯
¯

Θ∗ → Λ∗ ta thu được đồng cấu đối đại số k : Γ → Λ∗ . Hạn chế của k tới Γ∧ là
đẳng cấu l : Γ∧ → Λ∗ . Do đó nếu ta định nghĩa Γ− là không gian véctơ
¯
Γ− = ker(k : Γ → Λ∗ )
thì ta có một phân tích tổng trực tiếp:
Γ = Γ∧ ⊕ Γ− .
¯
Mặt khác, ta có k là một đồng cấu của các đối đại số nên Γ− là một đối iđean hai
phía của Γ. Do đó, bằng cách đồng nhất Γ∧ với thương Γ/Γ− ta thu được một cấu
¯
trúc đối đại số trên Γ∧ , và vì k là một đồng cấu đối đại số nên l cũng vậy. Cuối
cùng, ta nhận xét rằng Λ∗ là một đối đại số vi phân, và vì l là một đẳng cấu bảo
tồn vi phân và đối tích nên Γ∧ là một đối đại số vi phân. Ta có định lý sau đây.
Định lý 1.24 (Singer [31]). l : Γ∧ → Λ∗ là một đẳng cấu của các đối đại số vi
phân.

16


Chương 2
Dạng đại số của giả thuyết cổ
điển về các lớp cầu
2.1

Đồng cấu Lannes-Zarati và dạng đại số của
giả thuyết cổ điển về các lớp cầu

2.1.1

Đồng cấu Lannes-Zarati

Cho N là một A-môđun, ta ký hiệu F (N ) là một dải thức tự do của N . Ta biết
rằng các vi phân trong một dải thức tự do có song bậc là (−1, 0). Khi đó, với mỗi
A
k ≥ 0, T ork (M, N ) và Extk (N, P ) là các không gian véctơ phân bậc. Extk (N, P )
A
A

là nhóm đồng điều thứ k của đối phức dây chuyền HomA (F (N ), P ), nó cịn được
biết đến như là nhóm các lớp tương đương của các dãy khớp các A-môđun xuất
phát từ P , kết thúc ở N và đi qua A-môđun trung gian (xem [37]).
Với f ∈ Extr (N, P ) và g ∈ Extk (Q, N ) ta viết f ◦ g ∈ Extr+k (Q, P ) là phép
A
A
A
hợp thành, hay còn gọi là tích Yoneda, của g và f .
Cho N , P là các A-mơđun, lúc đó, N ⊗ P cũng là một A-môđun với tác động
đường chéo. Nếu F (N ) và F (P ) là các giải thức tự do tương ứng của N và P thì
F (N )⊗F (P ) là giải thức A-tự do của N ⊗P (xem [4]). Khi đó, với f ∈ Extr (N, P )
A
và g ∈ Extk (Q, R), tích chéo của f và g được kí hiệu là f ×g ∈ Extr+k (N ⊗Q, P ⊗
A
A
R). Đặc biệt, nếu f ∈ Extk (N, P ) được biểu diễn bởi dãy khớp từ P đến N , ký
A
hiệu Q là ánh xạ đồng nhất trong Ext0 (Q, Q), thì f × Q ∈ Extk (N ⊗ Q, P ⊗ Q)
A
A
17