Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của động học các quần thể được mô tả bởi phương trình vi phân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN





TỐNG THÀNH TRUNG





NGHIÊN CỨU DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA
ĐỘNG HỌC CÁC QUẦN THỂ ĐƯỢC MÔ TẢ
BỞI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN





LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2011
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN




TỐNG THÀNH TRUNG




NGHIÊN CỨU DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA
ĐỘNG HỌC CÁC QUẦN THỂ ĐƢỢC MÔ TẢ
BỞI PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN




Chuyên ngành: Phƣơng trình vi phân và tích phân
Mã số : 62 46 01 05




LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
1. GS. TS. Nguyễn Hữu Dƣ

2. TS. Trịnh Tuấn Anh




HÀ NỘI - 2011
Mục lục
Lời cam đoan i
Bảng ký hiệu iii
Mở đầu 1
1 Kiến thức chuẩn bị 6
1.1 Lý thuyết toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1 Toán tử đóng và toán tử compact . . . . . . . . . . 6
1.1.2 Phổ của toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Khái niệm và một số tính chất của hàm hầu tuần hoàn . . 9
1.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 Một số tính chất của hàm hầu tuần hoàn . . . . . 11
1.3 Lý thuyết phổ của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.1 Phổ của hàm bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.2 Phổ của hàm hầu tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.3 Một số tính chất của phổ hàm số . . . . . . . . . . 18
1.4 Nửa nhóm liên tục mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.1 Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.2 Một số tính chất của C
0
−nửa nhóm . . . . . . . . . 21
1.4.3 Nửa nhóm liên tục đều và nửa nhóm compact . . . 24
ii
MỤC LỤC
1.4.4 Định lý bao hàm phổ . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.5 Tính ổn định của phương trình vi phân . . . . . . . . . . . 26
1.5.1 Tính ổn định của phương trình vi phân tuyến tính 27
1.5.2 Tính ổn định của phương trình vi phân phi tuyến . 33
2 Dáng điệu tiệm cận và bán kính ổn định 36
2.1 Hệ Lotka-Von Foerster không thuần nhất . . . . . . . . . . 36
2.1.1 Giới thiệu bài toán và một số kết quả của H.Inaba 36
2.1.2 Một số mô hình dân số . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2 Dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ Lotka-Von Foerster . . 45
2.2.1 Những kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2.2 So sánh với những kết quả đã biết . . . . . . . . . 54
2.3 Bán kính ổn định của quần thể có cấu trúc tuổi . . . . . . 57
2.3.1 Bán kính ổn định của hệ dương liên tục vô hạn chiều 57
2.3.2 Bán kính ổn định của hệ Lotka-Von Foerster . . . 59
3 Dáng điệu động học của các quần thể thú-mồi 64
3.1 Sơ lược lịch sử và ý nghĩa sinh học của bài toán . . . . . . 64
3.2 Động học của quần thể thú mồi Holling kiểu II . . . . . . 72
3.2.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.2.2 Sự bền vững của hệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.2.3 Tính ổn định tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.2.4 Sự tồn tại nghiệm tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . 83
3.3 Mô hình thú-mồi trong môi trường tuần hoàn . . . . . . . 87
3.3.1 Giới thiệu mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.3.2 Sự bền vững của hệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.4 Mô hình thú-mồi với hệ số hằng . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.4.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
iii
MỤC LỤC
3.4.2 Các kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.4.3 Ví dụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.4.4 Vài lời bình luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

Kết luận và kiến nghị 115
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Kiến nghị về những nghiên cứu tiếp theo . . . . . . . . . . . . . 116
Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án 117
Tài liệu tham khảo 119
iv
Bảng ký hiệu
N Tập các số tự nhiên
Z Tập số nguyên
Q Tập các số hữu tỷ
R Tập các số thực
R
∗
+
Tập các số thực dương
C[a, b] Không gian các hàm số liên tục trên [a, b]
AP (R, X) Không gian các hàm hầu tuần hoàn
AAP (R
+
, X) Không gian các hàm hầu tuần hoàn tiệm cận trên R
+
L(X, Y) Không gian các toán tử tuyến tính liên tục
từ không gian Banach X đến không gian Banach Y
L(X) := L(X, X) Không gian các toán tử tuyến tính liên tục
từ không gian Banach X vào chính nó
L
1
(0, T, E) Không gian các hàm từ [0, T ] vào E, khả tích Lơ-be
L
1

(0, ω) Không gian các hàm số trên [0, ω], khả tích Lơ-be
L
∞
(0, ω, R
+
) Không gian các hàm f đo được và esssup f < ∞
trên [0, ω] và lấy giá trị trên R
+
C
0
(R
+
, E) Không gian các hàm liên tục f(t), hội tụ tới 0 khi t → +∞
và lấy giá trị trên E
C(R, X) Không gian các hàm liên tục trên R và lấy giá trị trên X
BUC(R
+
, X) Không gian các hàm liên tục đều và bị chặn
trên R
+
và lấy giá trị trên X
v
Bảng ký hiệu
BC(R, X) Không gian các hàm liên tục và bị chặn trên R
và lấy giá trị trên X
intR
2
+
Phần trong của tập R
2

+
ρ(A) Tập các điểm chính quy hay tập giải của toán tử A
R(λ, A)
n
= (λI −A)
−n
Lũy thừa bậc n của toán tử giải R(λ, A)
σ(A) Tập phổ của toán tử A
σ
0
(A) Phổ biên của toán tử A
σ
b
(f) Tập phổ Bohr của hàm f
Sp(f) Phổ Beurling của hàm số f
σ(f) Tập phổ Carleman của hàm f
N(T −λI) Không gian riêng ứng với giá trị riêng λ
của toán tử T
L
R
(Y, U) Tập hợp {A ∈ L(Y, U) : A
C
(Y) ⊆ U},
trong đó A
C
là C− thác triển tuyến tính của A
L
+
(Y, U) Tập hợp {A ∈ L(Y, U) : A ≥ 0}
R(f) Miền giá trị của hàm f

TrA Tổng các tất cả các phần tử trên đường chéo chính
của ma trận vuông A
detA Định thức của ma trận A
supp f Bao đóng của tập tất cả các giá trị x thuộc miền xác định
của f mà f(x) = 0.
vi
Mở đầu
Những năm 70 của thế kỷ 20 đã trôi qua và có thể nói những năm đó
được đặc trưng bằng sự bùng nổ các công trình nghiên cứu mô hình toán
học trong sinh thái học. Minh chứng cho điều này là hiện nay trên toàn thế
giới có tới hàng chục tạp chí chủ yếu đăng các công trình về toán sinh thái.
Ngoài ra, số lượng các công trình về toán sinh thái được công bố trong các
tạp chí chuyên ngành (thực vật học, động vật học, thủy sinh vật học, nông
học, ) ngày càng tăng. Tất nhiên, ta có thể giả định: chính sự quan tâm
đặc biệt ngày càng rộng rãi trong quần chúng tới các vấn đề sinh thái học
phù hợp với hiện tượng bùng nổ đó. Song đó chỉ là một mặt của vấn đề.
Mặt khác của vấn đề là ở chỗ sinh thái học là một lĩnh vực của sinh vật
học, phương pháp toán học đã xâm nhập vào đó sâu sắc đến mức mà hiện
nay ta có thể nói tới sự xuất hiện một môn khoa học mới: Toán-Sinh thái.
Đối tượng nghiên cứu chủ yếu của Toán-Sinh thái là hệ sinh thái, còn
phương pháp nghiên cứu là toán học. Hiện nay ta có thể chia các mô hình
toán học trong sinh thái thành hai nhóm lớn: Các mô hình giải tích và
các mô hình mô phỏng. Trong các mô hình giải tích người ta sử dụng một
phương thức hình thức hóa toán học nào đó để mô tả đối tượng sinh thái
và sau đấy sử dụng các kĩ thuật giải tích toán học để rút ra kết luận đặc
thù hoặc các tính chất chung của chúng. Đối với các mô hình mô phỏng
thì lý thuyết xác suất và máy tính điện tử là công cụ nghiên cứu cơ bản
và cần thiết. Các mô hình Lotka-Vollterra cổ điển có thể xem là những ví
1
Mở đầu

dụ điển hình về các mô hình giải tích.
Mô hình phổ biến nhất trong Toán-Sinh thái phải kể đến là mô hình
quần thể gồm hai loài khác nhau, một trong hai loài là thức ăn cho những
cá thể của loài kia. Tác động qua lại giữa các loài dạng này rất phổ biến
trong tự nhiên và được gọi là mối quan hệ "thú-mồi".
Một trong những vấn đề trung tâm của sinh thái học nói chung (của
Toán-Sinh thái nói riêng) là vấn đề ổn định, sự bền vững và các tính chất
của hệ sinh thái trong lân cận các trạng thái cân bằng. Mặt khác, các giới
hạn ổn định của hệ sinh thái xác định tải trọng tối đa của hệ sinh thái,
vượt qua giới hạn đó sẽ dẫn đến sự diệt vong hay sự bùng nổ của hệ sinh
thái. Chúng ta luôn gặp vấn đề ổn định khi xem xét các vấn đề đánh giá
giới hạn ô nhiễm môi trường, vấn đề xét các hậu quả hay thậm chí giải
quyết vấn đề về khả năng thực hiện các phương sách hoạt động kinh tế -
tự nhiên. Tất cả những đánh giá đó chỉ trực quan và xác thực khi chúng
là những đại lượng số.
Mặt khác, trong giai đoạn qua, lý thuyết ổn định toán học phát triển
hết sức mạnh mẽ và có rất nhiều ứng dụng trong khoa học và kĩ thuật.
Trong lý thuyết đó, định nghĩa ổn định đã được phát biểu một cách hoàn
toàn chặt chẽ và nhiều kết quả đạt được liên quan đến điều kiện cần và
đủ để hệ ổn định. Song vấn đề là ở chỗ lý thuyết đó không nghiên cứu
bản thân các đối tượng cụ thể mà nghiên cứu các mô hình toán học của
chúng. Vì vậy, nếu ta có một mô hình toán học tương đối "tốt" (theo nghĩa
tính phù hợp và sự mô tả đầy đủ) của một quần xã sinh học hay của hệ
sinh thái (chẳng hạn, bằng các thuật ngữ của phương trình vi phân hoặc
sai phân) thì ta có thể trả lời câu hỏi về tính ổn định của một quần xã
thực bằng cách nghiên cứu mô hình của chúng với các phương pháp thông
thường của lý thuyết ổn định. Tất nhiên, các tình huống thực tế phức tạp
hơn nhiều so với những điều ta mô tả. Nhưng ý nghĩa vẫn không thay đổi.
2
Mở đầu

Vì lẽ đó, nghiên cứu những mô hình toán học cho hệ sinh thái và sử dụng
các phương pháp toán học để phân tích tính ổn định của chúng là rất cần
thiết.
Trong luận án này, chúng tôi quan tâm chủ yếu đến một số mô hình
thú-mồi trong hệ sinh thái. Mục đích của luận án là nghiên cứu dáng điệu
tiệm cận của nghiệm, sự tồn tại nghiệm dương, nghiệm tuần hoàn, hầu
tuần hoàn, tính bị chặn của nghiệm, sự bền vững, tính ổn định và bán
kính ổn định của hệ. Bản luận án là tổng hợp các kết quả nghiên cứu chính
trong các bài báo, các báo cáo tại các xemina (seminar), các hội nghị Toán
học của tác giả. Nội dung cơ bản của luận án được chia thành ba chương.
Chương 1 trình bày các kiến thức chuẩn bị. Chúng tôi tổng hợp một
số kiến thức cơ bản đã biết để sử dụng trong các nghiên cứu ở các chương
sau.
Chương 2 nghiên cứu dáng điệu và bán kính ổn định của quần thể có
cấu trúc tuổi được mô tả bằng hệ Lotka-Von Foerster tuyến tính. Các kết
quả chính của chương này được công bố trong các công trình [1, 4].
Chương 3, chúng tôi xét dáng điệu nghiệm của hai dạng mô hình quần
thể thú-mồi phi tuyến. Đó là mô hình quần thể thú mồi với hàm đáp
ứng Holling kiểu hai (có cải tiến) và quần thể thú-mồi với hàm đáp ứng
Beddington-DeAngelis. Chúng tôi chỉ ra điều kiện đủ cho sự phát triển bền
vững của các loài trong mô hình và tính ổn định tiệm cận của hệ. Hơn nữa,
như một hệ quả của sự phát triển bền vững, đó là điều kiện đủ cho sự tồn
tại nghiệm tuần hoàn dương bị chặn. Các kết quả của chương này được
công bố trên các công trình [2, 3, 5].
Các kết quả chính của luận án là tổng hợp các nghiên cứu của tác giả,
được trình bày trong các bài báo [1, 2, 3, 4, 5] và đã được báo cáo toàn bộ
hoặc từng phần ở các hội nghị khoa học và xêmina sau:
- Xêmina của Bộ môn Giải tích, Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường đại
3
Mở đầu

học Khoa học Tự nhiên (ĐHKHTN), Đại học Quốc gia (ĐHQG) Hà Nội.
- Xêmina "Phương trình vi phân" của liên trường ĐH - Viện nghiên cứu:
Trường ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội - Đại học Sư phạm Hà Nội - Viện Toán
học Việt Nam.
- Xêmina "Những ứng dụng toán học trong hệ sinh thái và môi trường"
của Bộ môn Toán sinh, Trường ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội.
- Hội nghị Khoa học ngành Toán - Cơ - Tin học nhân kỷ niệm 50 năm
thành lập khoa, Hà Nội 10-2006.
- Hội nghị khoa học lần thứ XVII, Trường Đại học Mỏ địa chất Hà Nội,
2006,
- Hội nghị Toán học Toàn quốc, lần thứ 7, Quy Nhơn, tháng 8 năm 2008.
- Hội nghị Khoa học Trường ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội, năm 2010.
Luận án được hoàn thành tại Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường
ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội dưới sự hướng dẫn, sự động viên khích lệ lớn
lao của GS. TS. Nguyễn Hữu Dư và TS. Trịnh Tuấn Anh. Tôi xin bày tỏ
lòng biết ơn sâu sắc tới hai thầy hướng dẫn GS. TS. Nguyễn Hữu Dư và
TS. Trịnh Tuấn Anh, những người đã dành nhiều tình cảm, công sức dạy
dỗ, hướng dẫn tôi nghiên cứu khoa học và hoàn thành bản luận án này.
Trong quá trình học tập nghiên cứu để hoàn thành luận án, tác giả đã
nhận được rất nhiều sự giúp đỡ quý báu của các Thầy cô giáo trong Khoa
Toán - Cơ - Tin học, Trường ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội. Tác giả xin cảm
ơn sự giúp đỡ của các Thầy cô.
Trong thời gian làm luận án tôi đã học hỏi được rất nhiều kiến thức
bổ ích cũng như nhận được nhiều tình cảm sâu sắc từ tập thể các Thầy
cô, các thành viên của các xêmina "Giải tích và ứng dụng", "Những ứng
dụng toán học trong hệ sinh thái và môi trường" tại Khoa Toán - Cơ -
Tin học, Trường ĐHKHTN cũng như xêmina liên trường, Trường đại học
Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Hà Nội - Đại học Sư phạm Hà Nội - Viện Toán
4
Mở đầu

học Việt Nam. Tôi xin cảm ơn các chủ trì xêmina GS.TS. Nguyễn Hữu Dư,
GS.TSKH. Nguyễn Đình Công, PGS.TS. Đặng Đình Châu và tất cả các
thành viên của các xêmina trên.
Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu, Ban Chủ
nhiệm Khoa Toán - Cơ - Tin học, Phòng Sau đại học và các phòng ban
chức năng của Trường ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội, Trường ĐH Hoa Lư và
Trường ĐH Kinh tế quốc dân đã tạo các điều kiện thuận lợi cho tác giả
hoàn thành nhiệm vụ học tập, công tác và nghiên cứu.
Luận án sẽ không thể hoàn thành nếu thiếu sự cảm thông, quan tâm
chăm sóc và sự ủng hộ nhiệt tình của những người thân trong gia đình tác
giả. Đây là món quà tinh thần xin được tặng tất cả những người thân yêu
nhất.
5
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Để thuận tiện trong nghiên cứu ở các chương sau, trong chương này,
chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản về lý thuyết
toán tử tuyến tính, lý thuyết hàm hầu tuần hoàn, lý thuyết phổ hàm số,
lý thuyết nửa nhóm và một số khái niệm cơ bản về lý thuyết ổn định của
phương trình vi phân.
1.1 Lý thuyết toán tử tuyến tính
1.1.1 Toán tử đóng và toán tử compact
Định nghĩa 1.1.1. Một toán tử tuyến tính
A : D(A) ⊂ X → Y,
với X, Y là hai không gian Banach, được gọi là toán tử đóng nếu đồ thị của
nó:
G(A) = {(x, Ax) : x ∈ D(A)}
là tập đóng trong X × Y.
6
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Nhận xét 1.1.1. A là toán tử đóng khi và chỉ khi ∀{x
n
} ⊂ D(A), lim
n→∞
x
n
= x
và lim
n→∞
Ax
n
= y thì x ∈ D(A), Ax = y.
Định nghĩa 1.1.2. Cho M là không gian con của X. Một toán tử P được
gọi là phép chiếu từ X vào M nếu nó là toán tử tuyến tính liên tục từ X
vào M và P
2
= P.
Nhận xét 1.1.2. Nếu P là phép chiếu thì Q = I − P cũng là phép chiếu và
Im P = ker Q và ker P = Im Q.
Định nghĩa 1.1.3. Toán tử tuyến tính K ∈ L(X, Y) (không gian các toán
tử tuyến tính liên tục từ không gian Banach X đến không gian Banach Y)
được gọi là toán tử compact nếu K(S
1
) là compact tương đối trong Y, trong
đó, S
1
là hình cầu đóng đơn vị của X.
Ví dụ 1.1.1. Mọi toán tử hữu hạn chiều K ∈ L(X, Y) đều là toán tử
compact.
Ví dụ 1.1.2. Giả sử k : [a, b] × [a, b] → R là hàm liên tục. Khi đó toán tử

tuyến tính:
K : C[a, b] → C[a, b]
Kf(t) =
b

a
k(t, s)f(s)ds
là compact.
Chứng minh. Nhờ định lý chuyển qua giới hạn dưới dấu tích phân ta suy ra
Kf(t) là hàm liên tục. Hơn nữa, vì k liên tục trên tập compact [a, b] ×[a, b]
nên nó bị chặn. Vì vậy
Kf = sup
t∈[a,b]


(Kf)(t)


≤ (b −a) sup
a≤t,s≤b
|k(t, s)|f. (∗)
7
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Từ đó ta suy ra K là toán tử tuyến tính liên tục. Vì k liên tục đều trên
tập compact nên với mỗi  > 0, tồn tại δ > 0 sao cho nếu |t − t

| < δ thì
|k(t, s) −k(t

, s)| < /(b −a). Do đó,

|Kf(t)−Kf(t

)| =





b
a
k(t, s)f(s) ds −

b
a
k(t

, s)f(s) ds




<  nếu f ∈ S
1
,
trong đó S
1
là hình cầu đóng đơn vị trong C[a, b]. Điều đó chứng tỏ họ
{Kf} : f ∈ S
1
liên tục đồng bậc. Theo định lý Arzela-Ascoli, họ này

compact tương đối. Vậy K là toán tử compact.
1.1.2 Phổ của toán tử tuyến tính
Định nghĩa 1.1.4. Cho A : D(A) ⊂ X → Y là một toán tử tuyến tính.
Tập
ρ(A) = {λ ∈ C : ∃(λI −A)
−1
và (λI −A)
−1
liên tục}
được gọi là tập các điểm chính quy hay tập giải của A.
Tập σ (A) = C\ρ(A) được gọi là tập phổ của A.
Sau đây chúng tôi nêu một số tính chất phổ của toán tử compact.
Mệnh đề 1.1.1. Cho T là toán tử compact và λ ∈ C\{0}. Nếu λI −T là
ánh xạ một - một thì miền giá trị của λI −T là đóng.
Chứng minh. Xem trong [7].
Mệnh đề 1.1.2. Nếu T là toán tử compact, {λ
n
} là một dãy các giá trị vô
hướng đôi một khác nhau và {x
n
} là một dãy các vectơ khác vectơ không
sao cho (T −λ
n
I)x
n
= 0 với mỗi n = 1, 2, . . . thì λ
n
→ 0 khi n → ∞.
Chứng minh. Xem trong [7].
8

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Định lý 1.1.1. Giả sử X là một không gian Banach, L(X) là không gian
các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào chính nó. Khi đó, nếu T ∈ L(X)
là toán tử compact và λ là một số khác không thì N(T − λI) là một không
gian con hữu hạn chiều của X.
Chứng minh. Xem trong [2].
Định lý 1.1.2. Giả sử X là một không gian Banach và T ∈ L (X) là toán
tử compact. Nếu λ thuộc tập phổ σ(T) của T và λ = 0 thì λ là một giá trị
riêng của T.
Chứng minh. Xem trong [2].
Định lý 1.1.3. Giả sử X là một không gian Banach. Nếu T ∈ L(X) là
toán tử compact thì σ(T) không có điểm tụ khác không và tập hợp σ(T)
nhiều nhất là đếm được.
Chứng minh. Xem trong [2].
1.2 Khái niệm và một số tính chất của hàm
hầu tuần hoàn
1.2.1 Định nghĩa
Định nghĩa 1.2.1. Tập các số thực S là trù mật tương đối trong R nếu
tồn tại số dương l sao cho [α, α + l] ∩S = ∅, với mọi α ∈ R.
Ví dụ 1.2.1.
i) Tập các số nguyên Z là trù mật tương đối trong R.
ii) Mọi tập trù mật trong R là trù mật tương đối trong R.
9
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Định nghĩa 1.2.2. (Định nghĩa hàm hầu tuần hoàn theo nghĩa Bohr)
Hàm liên tục f : R → X được gọi là hầu tuần hoàn nếu với mỗi  > 0, tập
−chu kỳ
K(, f) := {τ ∈ R : sup
t∈R
f(t + τ) − f(t) ≤ }

là trù mật tương đối trong R.
* Không gian các hàm hầu tuần hoàn xác định trên R và lấy giá trị trên
X được kí hiệu là: AP (R, X).
Định nghĩa 1.2.3. Hàm liên tục f : R → X được gọi là hàm tựa tuần
hoàn nếu tồn tại hàm liên tục
F : R
n
→ X,
(t
1
, t
2
, . . . , t
n
) −→ F (t
1
, t
2
, . . . , t
n
)
(với n là số tự nhiên khác 0 nào đó) tuần hoàn theo từng biến và F (t, t, . . . , t) =
f(t), ∀t ∈ R.
Định nghĩa 1.2.4. Một tập S các số thực được gọi là có cơ sở nguyên hữu
hạn nếu tồn tại một tập con hữu hạn M ⊂ S sao cho phần tử bất kỳ s ∈ S
có thể biểu diễn dưới dạng s = n
1
b
1
+ ···+ n

m
b
m
, ở đó n
j
∈ Z, b
j
∈ M, j =
1, . . . , m.
Ví dụ 1.2.2.
i) Mọi hàm tuần hoàn đều là hàm hầu tuần hoàn.
ii) Đa thức lượng giác P (t) =

n
k=1
a
k
e
iλ
k
t
(a
k
∈ X, λ
k
∈ R) là hàm hầu
tuần hoàn.
iii) Với a, b bất kỳ, a, b ∈ X, các hàm f : R → X, trong đó f(t) =
a sin t + b sin
√

2t (∀t ∈ R) hoặc f(t) = ae
it
+ be
i
√
2t
(∀t ∈ R) là
10
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
những hàm hầu tuần hoàn. (Các hàm này không là hàm tuần hoàn
nếu a, b = 0).
Định nghĩa 1.2.5. Hàm liên tục f : R
+
→ X là hầu tuần hoàn tiệm cận
nếu tồn tại hàm f
ap
∈ AP (R, X) và f
0
∈ C(R
+
, X) sao cho lim
t→+∞
f
0
(t) = 0
và f(t) = f
0
(t) + f
ap
(t), ∀t ∈ R

+
.
Ví dụ 1.2.3. Hàm
f(t) =
1
t
2
+ 1
+ cos
√
2t + sin 3t
là hàm hầu tuần hoàn tiệm cận.
* Không gian các hàm hầu tuần hoàn tiệm cận trên R
+
lấy giá trị trên X
kí hiệu là AAP (R
+
, X).
* Các định nghĩa hàm tuần hoàn tiệm cận, tựa tuần hoàn tiệm cận cũng
được định nghĩa tương tự như định nghĩa 1.2.5.
1.2.2 Một số tính chất của hàm hầu tuần hoàn
Tính chất 1.2.1. Nếu f : R → X là hàm hầu tuần hoàn thì f là hàm liên
tục đều trên R.
Chứng minh. Xem trong [29].
Tính chất 1.2.2. Nếu f ∈ AP (R, X) thì tập giá trị của f, R(f) := {x ∈
X : ∃t ∈ R : x = f(t)} là compact tương đối trong X.
Chứng minh. Xem trong [29].
Tính chất 1.2.3. Giả sử f
n
: R → X, n = 0, 1, 2 là dãy các hàm hầu tuần

hoàn và hội tụ đều đến hàm f trên R. Khi đó f là hàm hầu tuần hoàn.
Chứng minh. Xem trong [29].
11
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Tính chất 1.2.4. Cho x = f(t) là hàm hầu tuần hoàn lấy giá trị trên không
gian Banach X và hàm y = g(x) liên tục trên R(f) với giá trị trong không
gian Banach X
1
. Khi đó g[f(t)] là một hàm hầu tuần hoàn với giá trị trong
X
1
.
Chứng minh. Xem trong [29].
Tính chất 1.2.5. Nếu f ∈ AP (R, X) và f

tồn tại thì f

∈ AP (R, X) khi và
chỉ khi f

là liên tục đều.
Chứng minh. Xem trong [9].
Tính chất 1.2.6. (Định lý Bochner) Cho f : R → X là hàm liên tục. Khi
đó điều kiện cần và đủ để f là hàm hầu tuần hoàn là họ hàm H = {f
h
} =
{f(t + h)}, −∞ < h < ∞, là compact tương đối trong C(R, X).
Chứng minh. Xem trong [29].
Tính chất 1.2.7. Tổng của hai hàm hầu tuần hoàn là hàm hầu tuần hoàn.
Tích của một hàm hầu tuần hoàn f : R → X với một hàm số hầu tuần

hoàn φ(t) là một hàm hầu tuần hoàn.
Chứng minh. Xem trong [29].
Tính chất 1.2.8. (Định lý giá trị trung bình) Với mọi hàm hầu tuần hoàn
f thì giá trị trung bình
lim
T →∞
1
2T
T

−T
f(t)dt =: M{f}
tồn tại và giới hạn
lim
T →∞
1
2T
T +α

−T −α
f(t)dt =: M{f}
đều theo α.
12
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Chứng minh. Xem trong [29].
Với hàm hầu tuần hoàn f bất kỳ và với mọi λ ∈ R thì hàm f(t)e
−iλt
là hầu tuần hoàn, do đó với mọi λ ∈ R, a(λ, f) = M{f(t)e
−iλt
} được xác

định. Khi đó, ta có tính chất sau:
Tính chất 1.2.9. Hàm a(λ, f) là khác không trên tập nhiều nhất là đếm
được các giá trị của λ.
Chứng minh. Xem trong [29].
1.3 Lý thuyết phổ của hàm số
1.3.1 Phổ của hàm bị chặn
Định nghĩa 1.3.1. (Phổ Beurling) Ta gọi tập phổ Beurling của hàm f ∈
BUC(R, X) là tập hợp được kí hiệu và xác định như sau :
Sp(f) := {ξ ∈ R : ∀ > 0, ∃ϕ ∈ L
1
(R), supp Fϕ ⊂ (ξ −, ξ + ), ϕ ∗f = 0},
trong đó
Fϕ(t) :=
+∞

−∞
e
−ist
ϕ(s)ds,
ϕ ∗f(t) :=
+∞

−∞
ϕ(t −s)f(s)ds.
Ví dụ 1.3.1. Cho f(t) = ae
iλt
trong đó λ ∈ R, a ∈ X. Khi đó ta có Sp(f) =
{λ}.
Chứng minh. Ta có ∀µ = λ, µ ∈ R, ∃ϕ ∈ L
1

(R) sao cho: supp Fϕ ⊂ [µ −
, µ + ] với  > 0 nào đó và λ /∈ [µ −, µ + ].
13
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Đặt ψ(t) = ϕ ∗f(t) =
+∞

−∞
ϕ(t − s)f(s)ds. Suy ra
ψ(t) = a
+∞

−∞
ϕ(t −s)e
iλs
ds = −a
+∞

−∞
ϕ(ξ)e
iλ(t−ξ)
dξ
= −ae
iλt
+∞

−∞
ϕ(ξ)e
−iλξ
dξ = −ae

iλt
Fϕ(λ) = −ae
iλt
· 0 = 0.
Do đó, Sp(f) ⊂ {λ}.
Mặt khác, trong lý luận trên ta lấy µ = λ và ϕ ∈ L
1
(R) sao cho Fϕ(λ) = 1
thì ψ(s) = ae
iλs
= 0. Vậy Sp(f) = {λ}.
Chú ý 1.3.1. Tương tự như ví dụ trên, ta dễ dàng chứng minh được kết
quả sau:
Nếu f(t) =
N

k=1
a
k
e
iλ
k
t
, trong đó λ
k
∈ R, ∀k = 1 , 2, ··· , N
thì Sp(f) = {λ
1
, λ
2

, ··· , λ
N
}.
Ví dụ 1.3.2. Cho f là hàm tuần hoàn chu kỳ 2π và chuỗi Fourier của nó
là

k∈Z
f
k
e
2iπkt
. Khi đó, Sp(f) = {2kπ : f
k
= 0}.
Chứng minh. +) Sp(f) ⊂ {2kπ : f
k
= 0}.
Thật vậy, ∀λ /∈ {2kπ : f
k
= 0} suy ra λ = 2k
0
π, k
0
∈ Z hoặc λ = 2k
0
π mà
f
k
0
= 0, trong đó f

k
là hệ số Fourier thứ k của f.
∀ > 0, giả sử ϕ ∈ L
1
(R) là hàm liên tục lấy giá trị phức sao cho:
supp Fϕ(ξ) ⊂ [λ −, λ + ].
Đặt
u(t) = f ∗ϕ(t) =
+∞

−∞
f(t − s)ϕ(s)ds.
14
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Do f là hàm tuần hoàn nên tồn tại một dãy đa thức lượng giác
P
n
(t) =
N(n)

k=1
a
n,k
e
2ikπt
hội tụ đều tới f với mọi t ∈ R, sao cho lim
n→∞
a
n,k
= f

k
.
Ta có:
u(t) = f ∗ϕ(t) = lim
n→∞
P
n
∗ ϕ(t),
= lim
n→∞
N(n)

k=1
a
n,k
e
2ikπt
∗ ϕ(t),
= lim
n→∞
N(n)

k=1
a
n,k
e
2ikπt

+∞
−∞

e
−2ikπs
ϕ(s)ds,
= lim
n→∞
N(n)

k=1
a
n,k
e
2ikπt
Fϕ(2kπ) = 0.
Vậy
λ /
∈
Sp(
f
)
. Do đó
Sp(
f
)
⊂ {
2
πk
:
f
k


= 0
}
.
+) Đảo lại, ∀λ ∈ {2πk : f
k
= 0} và với  > 0 đủ nhỏ ta có thể chọn hàm
ϕ ∈ L
1
(R) sao cho Fϕ(ξ) = 1; ∀ξ ∈

λ −

2
, λ +

2

và Fϕ(ξ) = 0, ∀ξ /∈
[λ −, λ + ]. Lý luận tương tự như trên ta có:
W (t) = f ∗ ϕ(t) = lim
n→∞
P
n
(t) ∗ϕ(2kπ),
= lim
n→∞
N(n)

k=1
a

n,k
e
2ikπt
Fϕ(2kπ),
= lim
n→∞
a
n,k
0
e
2ik
0
πt
.
Do lim
n→∞
a
n,k
0
= f
k
0
nên W = 0 , suy ra λ ∈ Sp(f).
Vậy ta có Sp(f) = {2πk : f
k
= 0}.
Định nghĩa 1.3.2. (Phổ Carleman) Tập hợp σ(f) gồm tất cả ξ ∈ R sao
15
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
cho phép biến đổi Fourier-Carleman của f


f(z) =







∞

0
e
−zt
f(t)dt nếu Rez > 0
−
∞

0
e
zt
f(−t)dt nếu Rez < 0
không có thác triển giải tích quanh lân cận của iξ, được gọi là tập phổ
Carleman của hàm f.
Định lý 1.3.1. Nếu f ∈ BUC(R, X) thì tập phổ Beurling của f trùng với
tập phổ Carleman của nó, tức là Sp(f) = σ(f).
Chứng minh. Xem trong [39].
Ví dụ 1.3.3. Cho f(t) = ae
iλt
với λ ∈ R và a ∈ X. Khi đó ta có σ(f) = {λ}.

Chứng minh. Ta có phép biến đổi Fourier-Carleman của f như sau:
Nếu Rez > 0 thì
I
1
=
∞

0
e
−zt
f(t)dt =
∞

0
e
−zt
ae
iλt
dt
= a

∞
0
e
−(z−iλ)t
dt =
a
−(z − iλ)
e
−(z−iλ)t



∞
0
=
a
z − iλ
.
Tương tự với Rez < 0 ta cũng có:
I
2
= −
∞

0
e
zt
f(−t)dt =
a
z − iλ
.
Do đó,

f(z) không có thác triển giải tích trong lân cận của iλ.
Vậy, σ(f) = {λ}.
Nhận xét 1.3.1. Kết hợp ví dụ 1.3.1 và ví dụ 1.3.3 ta được một ví dụ minh
hoạ cho định lý 1.3.1.
16
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Ví dụ 1.3.4. Giả sử f là hàm tuần hoàn chu kỳ τ thì

σ(f) = {λ
n
=
2πn
τ
: f
n
= 0, n ∈ Z},
trong đó f
n
là hệ số Fourier thứ n của f.
Chứng minh. Xét biến đổi Fourier - Calerman của f với Reλ > 0. Ta có:

f(λ) =
∞

0
e
−λt
f(t)dt =
∞

k=0
(k+1)τ

kτ
e
−λt
f(t)dt
=

∞

k=0
τ

0
e
−kλ(k τ +t)
f(kτ + t)dt =

∞

k=0
e
−λkτ

τ

0
f(t)dt
= (1 −e
−λτ
)
−1
τ

0
e
−λt
f(t)dt.

Tương tự, với Reλ < 0 ta cũng có kết quả như trên. Vậy

f(λ) = (1 −e
−λτ
)
−1
τ

0
e
−λt
f(t)dt, ∀λ ∈ C, Reλ = 0.
Do đó,

f(λ) giải tích trong C\{
2πZ
τ
}.
Nếu λ = λ
n
=
2πn
τ
thì f
n
=
1
τ
τ


0
e
−λ
n
t
f(t)dt là hệ số Fourier thứ n của f.
Vậy σ(f) = {λ
n
=
2πn
τ
: f
n
= 0, n ∈ Z}.
1.3.2 Phổ của hàm hầu tuần hoàn
Định nghĩa 1.3.3. (Phổ Bohr)
Giả sử f là hàm hầu tuần hoàn. Khi đó ta gọi tập hợp
σ
b
(f) := {λ ∈ R : a(λ, f) := lim
T →∞
1
2T
T

−T
e
−iλt
f(t)dt = 0}
là tập phổ Bohr của f.

17
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Mệnh đề 1.3.1. f là hàm tựa tuần hoàn khi và chỉ khi f là hàm hầu tuần
hoàn và tập phổ Bohr σ
b
(f) của f có cơ sở nguyên hữu hạn.
Chứng minh. Xem trong [29].
Định nghĩa 1.3.4. (Phổ của hàm trên nửa đường thẳng)
Cho f ∈ BUC(R
+
, X). Giả sử
ˆ
f là biến đổi laplace của f xác định trên
nửa mặt phẳng phải:
ˆ
f(λ) =

∞
0
e
−λt
f(t)dt, (Reλ > 0).
Khi đó, ta gọi tập tất cả các số thực ξ sao cho
ˆ
f không có thác triển giải
tích quanh lân cận của iξ là phổ của hàm f trên R
+
, kí hiệu Sp
R
+

(f).
1.3.3 Một số tính chất của phổ hàm số
Định lý 1.3.2. Cho f, g
n
∈ BUC(R, X), n ∈ N sao cho g
n
hội tụ đều trên
R đến f khi n → ∞. Khi đó:
1) Tập hợp Sp(f) là đóng.
2) Sp(f(·+ h)) = Sp(f).
3) Nếu α ∈ C\{0} thì Sp(αf) = Sp(f).
4) Nếu Sp(g
n
) ⊂ Λ với mọi n ∈ N thì Sp(f) ⊂ Λ.
5) Nếu A là toán tử đóng, f(t) ∈ D(A), ∀t ∈ R và Af ∈ BUC(R, X) thì
Sp(Af) ⊂ Sp(f).
6) Sp(ψ ∗ f) ⊂ Sp(f) ∩supp Fψ, ∀ψ ∈ L
1
(R, X).
Chứng minh. Xem trong [36], [40] và [41].
18