Mô hình hóa rủi ro tín dụng và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
—————————————–
NÔNG NGỌC LAM
MÔ HÌNH HÓA RỦI RO TÍN DỤNG
VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Hà Nội - 2014
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
—————————————–
NÔNG NGỌC LAM
MÔ HÌNH HÓA RỦI RO TÍN DỤNG
VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
Mã số: 60 46 0106
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS.TRẦN TRỌNG NGUYÊN
Hà Nội - 2014
LỜI NÓI ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Rủi ro tín dụng là ngôn từ thường được sử dụng trong hoạt động cho vay
của ngân hàng hoặc trên thị trường tài chính. Đó là khả năng không chi
trả được nợ (cả gốc và lãi)của người đi vay đối với người cho vay khi đến
hạn phải thanh toán. Thông thường người cho vay phải chịu rủi ro khi
chấp nhận một hợp đồng cho vay tín dụng. Bất kỳ một hợp đồng cho vay
nào cũng có rủi ro tín dụng.
Mức độ rủi ro tín dụng cao hay thấp phụ thuộc vào nhiều yếu tố khách
quan và chủ quan của mục đích vay vốn cũng như hoạt động của người vay
vốn. Đối với rủi ro tín dụng mức độ thiệt hại được lượng hóa phụ thuộc

vào hai nhân tố:
- Xác suất xảy rủi ro tín dụng
- Tổn thất khi xảy ra sự kiện tín dụng.
Thông tin thị trường cũng đóng vai trò rất quan trọng trong việc xác định
giá các phái sinh tín dụng, sự hiểu biết ít về thị trường rất có thể làm suy
yếu khả năng của các nhà đầu tư để dự đoán diễn biến thị trường và phí
bảo hiểm tăng thêm sẽ phụ thuộc sự thiếu hiểu biết này.
Chính vì vậy, tôi lựa chọn mô hình hóa rủi ro tín dụng và ứng dụng để
làm đề tài nghiên cứu của luận văn.
2. Mục đích nghiên cứu
Trọng tâm của luận văn này, chúng ta tìm hiểu về hai phương pháp chính
để phân tích tín dụng: các mô hình dạng cấu trúc (structural models) và
các mô hình dạng rút gọn (Reduced from models) và ứng dụng để định
1
giá CDS, CDO và các tín dụng phái sinh khác.
Ngoài ra, chúng ta cũng xem xét hai phương pháp trên trong điều kiện
thông tin không đầy đủ, khi đó việc kết hợp hai phương pháp structural
models và Reduced form models sẽ giúp khắc phục những hạn chế và lựa
chọn được những đặc tính tốt nhất của hai phương pháp:
- Tính kinh tế và sự hấp dẫn trực quan của phương pháp cấu trúc
- Tính dễ sử dụng và phù hợp thực nghiệm của phương pháp dạng rút gọn.
3. Cấu trúc của luận văn
Luận văn này gồm các phần như sau.
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Đưa ra một số khái niệm về trái phiếu, một số đặc điểm chung của trái
phiếu, các khái niệm về Arbitrage, độ đo xác suất trung hòa rủi ro, khái
niệm về chênh lệch tín dụng, CDS, CDO và một số kiến thức về giải tích
ngẫu nhiên.
Chương 2: Mô hình hóa rủi ro tín dụng và ứng dụng:
Giới thiệu hai mô hình dạng cấu trúc và dạng rút gọn; ứng dụng trong

định giá CDS, CDO và các tín dụng phái sinh khác.
Chương 3: Các mô hình tín dụng với thông tin không đầy đủ
Xem xét hai mô hình trong điều kiện thông tin không đầy đủ, định giá
chênh lệch tín dụng đối với trái phiếu và ước lượng các mô hình.
2
LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của
TS Trần Trọng Nguyên- trường Đại học Kinh tế Quốc dân Hà Nội. Thầy
đã dành nhiều thời gian giúp đỡ, giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt
quá trình làm luận văn. Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người
thầy của mình.
Qua đây, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo trong Khoa
Toán- Cơ- Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc
gia Hà Nội đã trực tiếp giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong
suốt quá trình học tập
Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và tất cả mọi người đã quan tâm, tạo
điều kiện, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, Tháng 12 năm 2013.
3
Mục lục
Lời nói đầu 1
1 Kiến thức chuẩn bị 6
1.1 Một số khái niệm cơ bản liên quan đến trái phiếu . . . . . . 6
1.1.1 Khái niệm về trái phiếu . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2 Một số đặc điểm chung của trái phiếu . . . . . . . . 6
1.2 Độ chênh thị giá và định giá trung hòa rủi ro . . . . . . . . 8
1.3 Chênh lệch tín dụng, CDS, CDO . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Một số kiến thức về giải tích ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . 12
1.4.1 Quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.2 Tích phân ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Mô hình hóa rủi ro tín dụng và ứng dụng 19
2.1 Các mô hình tín dụng dạng cấu trúc (Structural models) . . 20
2.1.1 Rủi ro đầu tiên đối với đối tượng đơn . . . . . . . . 20
2.1.2 Phương pháp Copula cho rủi ro tương quan . . . . 22
2.1.3 Các mô hình nhân tố đối với sự vỡ nợ . . . . . . . . 24
2.1.4 Định giá hoán đổi rủi ro tín dụng . . . . . . . . . . 27
2.1.5 Chênh lệch tín dụng đối với trái phiếu rủi ro . . . . 30
2.1.6 Định giá các đợt thanh toán nợ thế chấp . . . . . . 32
4
2.2 Các mô hình tín dụng dạng rút gọn (Reduced form models) 35
2.2.1 Các mô hình dựa trên cường độ . . . . . . . . . . . 35
2.2.2 Mô hình cường độ của quá trình affine . . . . . . . . 37
2.2.3 Định giá một trái phiếu rủi ro . . . . . . . . . . . . 41
2.2.4 Mô hình tương quan giữa các rủi ro . . . . . . . . . 46
2.2.5 Định giá hoán đổi rủi ro tín dụng . . . . . . . . . . 49
2.2.6 Định giá lại các lớp CDO . . . . . . . . . . . . . . . 51
3 Các mô hình tín dụng với thông tin không đầy đủ 55
3.1 Mô hình cấu trúc với thông tin không đầy đủ . . . . . . . . 55
3.1.1 Sự quan sát đơn đối với lọc không đầy đủ . . . . . . 56
3.1.2 Sự quan sát nhiều thời điểm . . . . . . . . . . . . . 58
3.1.3 Định giá với thông tin không đầy đủ . . . . . . . . 59
3.2 Các mô hình dạng rút gọn với thông tin không đầy đủ . . . 60
3.2.1 Quá trình xu hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.2.2 Mối liên hệ với các mô hình cấu trúc . . . . . . . . 62
3.2.3 Định giá theo thông tin không đầy đủ . . . . . . . . 64
3.3 Các phương pháp ước lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.3.1 Ước lượng các mô hình cấu trúc . . . . . . . . . . . 65
3.3.2 Ước lượng các mô hình dạng rút gọn . . . . . . . . . 66
Kết luận 72
Phụ lục 72

Tài liệu tham khảo 77
5
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trước khi tìm hiểu về các mô hình để phân tích tín dụng, chúng ta cần
nắm được một số kiến thức cơ bản về trái phiếu, và hai phái sinh tín dụng
phổ biến đó là hợp đồng hoán đổi tín dụng (CDS) và nghĩa vụ nợ có thế
chấp (CDO).
1.1 Một số khái niệm cơ bản liên quan đến trái
phiếu
1.1.1 Khái niệm về trái phiếu
Trái phiếu (bond) là một loại chứng khoán, loại hợp đồng quy định
người phát hành trái phiếu có nghĩa vụ phải hoàn trả cho người chủ sở
hữu trái phiếu (trái chủ) một khoản tiền nhất định, bao gồm cả gốc và lãi
tại các thời điểm đã được ấn định trước trong hợp đồng. Có thể coi trái
phiếu là loại hợp đồng đi vay giữa chủ thể phát hành và trái chủ.
1.1.2 Một số đặc điểm chung của trái phiếu
(a) Coupon của trái phiếu
Khoản lãi định kỳ trái chủ được lĩnh gọi là coupon của trái phiếu. Trái
phiếu không trả lãi định kỳ (không có coupon) gọi là " trái phiếu zero
6
coupon ". (Gọi tắt là "trái phiếu zero"). Trái phiếu zero coupon hoặc có
coupon cố định không có các điều kiện kèm theo gọi là trái phiếu đơn giản
(Straight, Vanilla, Bullet Bond).
(b) Lãi suất coupon
Lãi suất coupon (lãi suất cuống phiếu- coupon rate) của trái phiếu là mức
lãi suất (tính theo mệnh giá) mà người phát hành phải chi trả định kì. Lãi
suất coupon có thể cố định hoặc thay đổi theo các điều kiện thỏa thuận
trước.
(c) Mệnh giá trái phiếu

Mệnh giá trái phiếu (Face value, Par value, Nomial value) là số tiền ghi
trên trái phiếu và được trả cho trái chủ khi đáo hạn. Như vậy có thể coi
mệnh giá trái phiếu là khoản tiền gốc trái chủ đã cho chủ thể phát hành
trái phiếu vay.
(d) Kỳ hạn của trái phiếu
Kỳ hạn của trái phiếu (Maturity, Redemption) là khoảng thời gian mà tại
thời điểm cuối (Thời điểm đáo hạn) hợp đồng cho vay chấm dứt. Tại thời
điểm này người phát hành trái phiếu sẽ thu hồi trái phiếu và thanh toán
cả gốc lẫn lãi cho trái chủ. Kỳ hạn của trái phiếu thường được tính theo
năm. Hầu hết trái phiếu đều có kỳ hạn hữu hạn. Một số ít có kỳ hạn vô
hạn, gọi là các "trái phiếu vĩnh cửu ", (" trái phiếu Consol").
(e) Lợi tức trái phiếu.
Để đo lường khả năng sinh lời của trái phiếu người ta sử dụng thước đo
gọi là " lợi tức " của trái phiếu (Yields). Trên thị trường trái phiếu thay
vì niêm yết giá, người ta thường thông báo lợi tức của trái phiếu và lợi tức
7
thường được tính cho kỳ hạn 1 năm. Có nhiều loại lợi tức của trái phiếu,
tùy thuộc vào mục đích sử dụng mà ta chọn loại lợi tức phù hợp. (như lợi
tức danh nghĩa, lợi tức hiện hành, lợi tức cho đến khi đáo hạn, lợi tức cho
đến khi đáo hạn sớm, ).
1.2 Độ chênh thị giá và định giá trung hòa rủi ro
Trong mục này, để định giá các sản phẩm tài chính, ta cố định một
không gian xác suất đầy đủ (Ω, F, P) và một lọc {G
t
: t ≥ 0} của các σ
đại số con của F mà nó biểu thị thông tin của nhà đầu tư. Giả sử kí hiệu P
là độ đo xác suất tự nhiên chúng ta quan sát từ thị trường tài chính. Dưới
đây là các định nghĩa và nhận xét, mà có thể tìm thấy chứng minh trong
các cuốn sách về tài chính,ví dụ: Duffie ( 2001). Dynamic Asset Pricing
Theory, Third Edition. Princeton University Presss.

Định nghĩa 1.1. Arbitrage (Ac-bit) Một arbitrage là 1 chiến lược đầu tư
mà với vốn đầu tư bằng không ở thời điểm 0 và đạt lợi nhuận ròng lớn hơn
không với xác suất dương.
Định nghĩa 1.2. (Độ đo trung hòa rủi ro) Độ đo xác suất Q được gọi là
1 độ đo trung hòa rủi ro cho quá trình giá X, nếu X là 1 martingale theo
Q (Q- martingale).
Định nghĩa 1.3. (Quá trình lãi suất ngắn hạn) Quá trình lãi suất ngắn
hạn r là 1 quá trình mà với vốn đầu tư ban đầu 1 đô la chúng ta có thể
thu lại e

t
0
r
s
ds
đô la tại thời điểm t.
Chú ý 1.1. Với giả thiết không có độ chênh thị giá, một sự đầu tư tại thời
8
điểm t làm cho tài sản không rủi ro có thể tích lũy được e

T
t
r
s
ds
tại thời
điểm T>t.
Giả thiết 1.1. Giá của 1 chứng khoán bất kỳ ở đây là no-arbitrage trong
thị trường
Nhận xét 1.1. Với giả thiết 1.1, Quá trình giá chứng khoán đã điều chỉnh

(bao gồm thị giá và cổ tức nếu có) là 1 Q- martingale sau khi chiết khấu
e
−

t
0
r
s
ds
.
Nhận xét 1.2. (Định giá trung hòa rủi ro) Với giả thiết 1.1, giá của một
chứng khoán bất kỳ bằng tổng tất cả các thu hoạch kỳ vọng đã chiết khấu
(expected deflated payoffs) trong tương lai với độ đo trung hòa rủi ro Q, ở
đó quá trình chiết khấu cho bởi ξ
t
= e
−

t
0
r
s
ds
1.3 Chênh lệch tín dụng, CDS, CDO
Định nghĩa 1.4. (Chênh lệch tín dụng) Chênh lệch (lợi tức) tín dụng của
một trái phiếu zero coupon (" trái phiếu zero") là sự chênh lệch giữa lợi
tức trên trái phiếu rủi ro và lợi tức trên trái phiếu không rủi ro với cùng
một mệnh giá và kì hạn.
Giả sử giá tại thời điểm t của trái phiếu zero rủi ro với mệnh giá 1 là
B

T
t
và thời điểm đáo hạn của nó là T, khi đó chênh lệch tín dụng tại thời
điểm t được cho bởi:
S(t, T ) = −

T
t
r
s
ds + log(B
T
t
)
T − t
(1)
Để tính toán chênh lệch tín dụng (1), chúng ta sẽ xây dựng một mô hình
để tính toán giá B
T
t
, điều này sẽ được trình bày trong những phần sau.
9
Hoán đổi rủi ro tín dụng và Hợp đồng ghi nợ có thế chấp là 2 sản phẩm
tín dụng rất phổ biến, việc định giá chúng sẽ là trọng tâm của mục này.
Sau đây là một số định nghĩa:
Định nghĩa 1.5. Hợp đồng hoán đổi rủi ro tín dụng(Credit Default Spred-
CDS) là một hợp đồng phái sinh tín dụng trong đó bên mua sẽ thanh toán
một khoản tiền định kỳ cho bên bán, và đổi lại sẽ nhận được khoản bồi
thường nếu công cụ tài chính cơ sở bị mất khả năng thanh toán.
Ví dụ 1.1.

Nhà đầu tư mua một CDS từ ngân hàng A, tổ chức tham chiếu cho CDS
là tổ chức B. Nhà đầu tư phải trả phí định kỳ cho ngân hàng A, và nếu
B mất khả năng thanh toán các khoản nợ như chậm trả lãi suất coupon
hoặc không trả lãi suất coupon, nhà đầu tư sẽ nhận được khoản thanh
toán một lần từ ngân hàng A và hợp đồng CDS chấm dứt. Nếu nhà đầu
tư sở hữu nợ hoặc cổ phần của B, CDS được coi là công cụ hữu hiệu để
phòng chống rủi ro tài chính và rủi ro kinh doanh của B. Nhưng nhà đầu
tư có thể mua CDS mà không sở hữu nợ của B, vì mục đích đầu cơ hoặc
đánh cược về khả năng mất thanh toán của B để kiếm tiền, hoặc phòng
ngừa rủi ro cho các khoản đầu tư vào các công ty khác mà khả năng có
thể tương đương với B.
Định nghĩa 1.6. (Chênh lệch CDS) Chênh lệch CDS là chi phí cho mỗi
năm để phòng hộ rủi ro của bên bán CDS (công ty hoặc tổ chức phát hành
có chủ quyền).
10
Hình vẽ 1.1, minh họa cho dòng tiền của 1 CDS đơn giản. Trong đó A
là giá trị thực của chứng khoán quy định, U là chênh lệch CDS, R là giá
trị thu hồi, τ là thời điểm vỡ nợ, T là kì hạn của trái phiếu.
Theo giả thiết 1.1, giá của chênh lệch CDS thỏa mãn giá thị trường của
hợp đồng CDS bằng 0. Tức là, Giá thị trường hiện tại của sự bảo hộ dựa
trên hợp đồng sẽ bằng giá của thị trường hiện tại của các chi trả chênh
lệch CDS.
ve 1.jpg
Hình 1.1: Dòng tiền của 1 CDS đơn giản. Trong đó A là giá trị thực của chứng khoán
quy định, U là chênh lệch CDS, R là giá trị thu hồi, τ là thời điểm vỡ nợ, T là kì hạn
của trái phiếu.
Định nghĩa 1.7. Hợp đồng ghi nợ có thế chấp (CDO) là một loại chứng
khoán được bảo đảm bằng tài sản, được cấu trúc với nhiều " lớp" (tranche)
và phát hành bởi các bên bán CDS, được đảm bảo bằng các nghĩa vụ nợ bao
gồm trái phiếu và các khoản vay. Mỗi lớp cung cấp một mức độ khác nhau

của rủi ro và hoàn vốn để đáp ứng nhu cầu của nhà đầu tư. Giá trị và các
thanh toán của CDO có nguồn gốc từ một danh mục đầu tư các tài sản
11
cơ sở thu nhập cố định. Chứng khoán CDO được chia thành các lớp rủi ro
khác nhau, hoặc các phân ngạch, theo đó các phân ngạch "cao cấp" được
coi là chứng khoán an toàn nhất. Các khoản thanh toán tiền lãi và vốn gốc
được thực hiện theo thứ tự thâm niên, do đó các phân ngạch ít thâm niên
hơn được chào với thanh toán cuống lãi (và lãi suất) cao hơn hoặc giá thấp
hơn để bù đắp cho rủi ro tín dụng bổ sung.
Một cách đơn giản, một CDO có thể được coi như một lời hứa chi trả
các dòng tiền cho nhà đầu tư theo một trình tự quy định, dựa trên lượng
tiền mặt mà CDO này thu thập từ nhóm các trái phiếu hoặc nhóm các
tài sản khác mà nó sở hữu. Nếu tiền mặt được thu thập bởi CDO này là
không đủ để chi trả cho tất cả các nhà đầu tư của nó, những người trong
các lớp thấp bị thiệt hại đầu tiên.
1.4 Một số kiến thức về giải tích ngẫu nhiên
1.4.1 Quá trình ngẫu nhiên
Định nghĩa 1.8. Cho (Ω, F, P) là một không gian xác suất.
Một quá trình ngẫu nhiên (X
t
), t ≥ 0 là một hàm hai biến X(t, ω) xác
định trên tích R
+
× Ω lấy giá trị trong R, và là một hàm đo được đối
với σ-trường tích B
R
+
× F, trong đó B
R
+

là σ- trường các tập Borel trên
R
+
= [0; ∞)
Định nghĩa 1.9. (Bộ lọc)
Một họ các σ- trường con F
t
, t ≥ 0 của F; F
t
⊂ F, được gọi là 1 bộ lọc
thỏa mãn các điều kiện thông thường nếu:
(i) Đó là 1 họ tăng theo t, tức là F
s
⊂ F
t
nếu s<t
12
(ii) Họ đó là liên tục phải, tức là F
t
= ∩
ε>0
F
t+ε
(iii) Nếu A ∈ F và A = 0 thì A ∈ F
0
(do đó A nằm trong mọi F
t
)
Một không gian xác suất (Ω, F, P) trên đó ta gắn thêm một bộ lọc (F
t

),
được gọi là không gian xác suất được lọc và ký hiệu là (Ω, F, (F
t
), P).
Định nghĩa 1.10. (Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với bộ lọc).
Cho không gian xác suất được lọc (Ω, F, (F
t
), P), một quá trình ngẫu nhiên
X = (X
t
), t ≥ 0 được gọi là thích nghi với bộ lọc (F
t
)
t≥0
nếu với mỗi
t ≥ 0, X
t
là F
t
đo được.
• Thời điểm Markov và thời điểm dừng
Cho một không gian xác suất được lọc (Ω, F, (F
t
), P).
Một biến ngẫu nhiên τ được gọi là 1 thời điểm Markov nếu với mọi t ≥ 0, ta
có: {ω ∈ Ω : τ(ω) ≤ t} ∈ F
t
Một thời điểm Markov τ được gọi là thời điểm dừng nếu τ là hữu hạn h.c.c,
tức là: P {ω ∈ Ω : τ (ω) < ∞} = 1
• Kỳ vọng có điều kiện lấy đối với một σ -trường

Định nghĩa 1.11. Cho (Ω, F, P) là một không gian xác suất, G là một
σ- trường con của F, X là một biến ngẫu nhiên. ( Tức là một ánh xạ đo
được từ (Ω, F) vào (R, B
R
).
Biến ngẫu nhiên Y được gọi là kỳ vọng có điều kiện của biến ngẫu nhiên
X đối với σ-trường G nếu:
(i) Y là biến ngẫu nhiên đo được đối với G
(ii) Với mọi tập A∈ G thì ta có:

A
Y dP =

A
XdP
Ký hiệu: Y = E(X|G).
13
• Xác suất có điều kiện
Định nghĩa 1.12. Xác suất có điều kiện P(A|G) của một biến cố A ∈ F
là một biến ngẫu nhiên xác định bởi:
P(A|G) = E(1
A
|G)
* Một số tính chất của xác suất có điều kiện (h.c.c)
(a) P(Ω|G) = 1
(b) ∀A ∈ F : P(
A|G) = 1 −P(A|G)
(c) ∀A
1
; A

2
; ; ∈ F rời nhau từng đôi một thì:
P

∞

n=1
A
n
|G

=
∞

n=1
P(A
n
|G)
• Martingale.
Định nghĩa 1.13. Cho một quá trình ngẫu nhiên X = (X
t
), t ≥ 0 thích
nghi với bộ lọc (F
t
) và E|X
t
| < ∞ với mọi t ≥ 0
Với s,t là hai số thực không âm sao cho s ≤ t, khi đó:
(a) Nếu E(X
t

|F
s
) ≤ X
s
thì X gọi là Martingale trên. (supermartingale )
(b) Nếu E(X
t
|F
s
) ≥ X
s
thì X gọi là Martingale dưới. (submartingale )
(c) Nếu E(X
t
|F
s
) = X
s
thì X gọi là Martingale.
• Khai triển Dood-meyer.
Nếu X = (X
t
), t ≥ 0 là một martingale dưới đối với F
t
, khả tích (tức là:
E|X
t
| < ∞ với mọi t ≥ 0 ), thì X có thể khai triển:
X
t

= M
t
+ A
t
Trong đó M
t
là một martingale đối với (F
t
) liên tục phải và A
t
là một quá
trình tăng và thích nghi với (F
t
)
• Quá trình Gauss.
14
Một quá trình ngẫu nhiên X = (X
t
, t ≥ 0) được gọi là một quá trình
Gauss, nếu mọi tổ hợp tuyến tính có dạng:
Z =

N
i=1
α
i
X
t
i
; α

i
∈ R
là một biến ngẫu nhiên chuẩn (biến ngẫu nhiên Gauss).
• Quá trình Wiener.
Định nghĩa 1.14. Một quá trình ngẫu nhiên X = (X
t
, t ≥ 0) được gọi là
một quá trình Weiner tiêu chuẩn hay một chuyển động Brown, nếu X là
một quá trình Gauss sao cho:
(i) E(X
t
) = 0∀t, tức là X
t
qui tâm.
(ii) Hàm tương quan R(t, s) = min(t, s)
Trong trường hợp tổng quát, một quá trình Weiner với tham số phương sai
σ là một quá trình Gauss qui tâm và hàm tương quan là:
R(t, s) = σ
2
min(t, s)
• Quá trình Poisson.
Định nghĩa 1.15. (Quá trình đếm)
Quá trình đếm (N
t
); (t ≥ 0) là một quá trình ngẫu nhiên, với thời gian
liên tục, lấy giá trị nguyên dương và có bước nhảy tại các thời điểm ngẫu
nhiênT
0
; T
1

, T
2
, sao cho:
T
0
= 0; 0 ≤ T
1
< T
2
< ··· và lim
n→∞
T
n
= ∞
Khi đó, có thể viết: N
t
=
∞

n=0
n.1
[T
n
,T
n+1
)
Định nghĩa 1.16. (Quá trình Poisson)
Một quá trình đếm (N
t
); (t ≥ 0) được gọi là quá trình Poisson nếu:

(i) N
0
= 0
15
(ii){N
t
, t ≥ 0} có số gia độc lập.
(iii) ∀s, t ≥ 0, ta có: P {N
t+s
− N
s
= n} = e
−λt
(λt)
n
n!
; n = 0, 1, 2,
Từ đó, ta có E(N
t
) = λt. Số λ > 0 được gọi là cường độ của quá trình
Poisson.
• Quá trình Markov.
Định nghĩa 1.17. Một quá trình ngẫu nhiên (X
t
, t ≥ 0) được gọi là một
quá trình Markov nếu với mọi thời điểm bất kỳ 0 ≤ t
1
, t
2
< ··· < t

n−1
< t
n
ta có:
P {X
t
n
≤ x
n
|X
t
1
= x
1
, X
t
2
= x
2
, , X
t
n
= x
n−1
}
= P {X
t
n
≤ x
n

|X
t
n−1
= x
n−1
}
1.4.2 Tích phân ngẫu nhiên
(1) Tích phân I-tô
• Định nghĩa:
Tích phân I-tô của quá trình ngẫu nhiên f(t, ω) là giới hạn trên theo nghĩa
bình phương trung bình sau đây nếu nó tồn tại:
I =

b
a
f(t, ω)dW t = l.i.m
max[t
i+1
−t
i
]→0

f(t
i
, ω)[W
t
i+1
− W
t
i

]
• Các tính chất quan trọng của tích phân I-tô
(a) E
t

0
f(s, ω)dW
s
= 0; t ∈ [a, b]
(b) E|
t

0
f(s, ω)dW
s
|
2
= E
t

0
f
2
(s, ω)dW
s
(c) Bản thân tích phân I-tô X
t
=
t


0
f(s, ω)dW
s
là một martingale đối với
σ -trường F
W
t
16
(2) Vi phân ngẫu nhiên I-tô và công thức I-tô.
• Vi phân I-tô
Giả sử X = (X
t
, t ≥ 0) là một quá trình ngẫu nhiên sao cho:
(a) Hầu hết quỹ đạo t → X là liên tục
(b) Hầu chắc chắn X có biểu diễn: X
t
= X
0
+
t

0
h(t, ω)ds +
t

0
f(s, ω)dW
s
trong đó h và f là các quá trình ngẫu nhiên đo được dần sao cho các tích
phân trong biểu diễn tồn tại, thì ta nói rằng X là quá trình I-tô và có vi

phân I-tô dX.
Vi phân I-tô dX là một biểu thức hình thức được viết như sau:
dX
t
= h(t, ω)dt + f(t, ω)dW
t
hay dX = hdt + fdW
• Công thức I-tô
Cho X là một quá trình I-tô với dX = hdt+fdW, giả sử: g(t, ω) : R
2
→ R
là một hàm hai biến khả vi liên tục theo biến thứ nhất t, hai lần khả vi
liên tục theo biến thứ hai x.
Khi đó quá trình ngẫu nhiên Y
t
= g(t, X
t
) là một quá trình I-tô có vi phân
I-tô cho bởi:
(I
1
) dY
t
=
∂g
∂t
(t, X
t
)dt +
∂g

∂x
(t, X
t
)dX
t
+
1
2
∂
2
g
∂x
2
(t, X
t
)f
2
(t, ω)dt
Đó là công thức I-tô, (I
1
)có dạng tương đương sau:
(I
2
) Y
t
= g(0, X
0
) +
t


0
∂g
∂s
(s, X
s
)ds+
+
t

0
∂g
∂x
(s, X
s
)dX
s
+
1
2
t

0
∂
2
g
∂x
2
(s, X
s
)f

2
(s, ω)ds
17
* Chú ý:
(a) Trong các công thức (I
1
) và (I
2
) thì dX coi như đã biết và ta có thể
thay dX = hdt + fdW
(b) Trong khi thực hiện các tính toán trên các vi phân, ta có thể áp dụng
các quy tắc sau:
dt.dt = 0; dt.dW = dW.dt = 0; dW.dW = dt
18
Chương 2
Mô hình hóa rủi ro tín dụng và ứng
dụng
Nếu chúng ta giả sử thông tin là đầy đủ, dữ liệu thị trường tiết lộ thông
tin về khả năng không chi trả của con nợ. Có hai mô hình cơ bản để mô
tả sự mất khả năng chi trả.
Phương pháp cấu trúc: lần đầu tiên được giới thiệu bởi Merton dựa trên
Mô hinh Black và Scholes- đoạt giải Nobel về định giá quyền chọn châu
Âu cho mô hình hóa rủi ro của các đối tượng riêng lẻ. Phương pháp được
mở rộng hơn nữa bởi các công trình gần đây để mô hình hóa rủi ro của
nhiều đối tượng và cấu trúc tương quan liên quan, bằng cách giới thiệu
khái niệm thuận tiện của Copula.
Một cách tiếp cận dễ xử lý được gọi là các mô hình Dạng rút gọn (Reduced
form), nó làm theo cường độ của sự xuất hiện các sự kiện rủi ro. Theo cách
thiết lập affine , nhiều sản phẩm có thể được định giá bằng cách sử dụng
công thức tường minh và các thông số có thể được ước tính từ các dữ liệu

lịch sử thị trường bằng cách sử dụng phương pháp moments tổng quát hay
công thức " Quasi- likehood " (Tựa hợp lý).
19
2.1 Các mô hình tín dụng dạng cấu trúc (Structural
models)
2.1.1 Rủi ro đầu tiên đối với đối tượng đơn
Theo thiết lập trong chương 1, xét mô hình Black- Sholes tiêu chuẩn
cho quá trình tài sản V của 1 đối tượng tham chiếu thỏa mãn:
dV
t
V
t
= µdt + σdB
t
với V
0
> 0, trong đó B
t
là một chuyển động Brown tiêu chuẩn bắt đầu từ
0 và điều khiển bởi bộ lọc {G
t
: t ≥ 0}. Khi đó:
V
t
= V
0
.e
mt+σB
t
trong đó m = µ −

1
2
σ
2
Với thông tin đầy đủ về phân phối của rào cản rủi ro D, thời điểm không
trả được nợ của đối tượng được cho bởi:
τ = inf{t > 0 : V
t
< D}
Để tính toán xác suất không trả được nợ, trước hết chúng ta đưa ra một
mệnh đề sau:
Mệnh đề 2.1. Giả sử M
t
= max
0≤s≤t
B
s
khi đó với t>0 và
a ≤ b, b ≥ 0
P

B
t
∈ da, M
t
∈ db

=
2(2b −a)
√

2πt
3
exp

−
(2b −a)
2
2t

dadb (2)
20
Chứng minh: Dựa theo nguyên tắc phản xạ
P (B
t
≤ a, M
t
≥ b) = P (B
t
≥ 2b −a, M
t
≥ b)
= P (B
t
≥ 2b −a)
=
1
√
2πt

∞

2b−a
e
−x
2
/2t
dx
Đạo hàm công thức theo a và b, suy ra công thức (2) 
Hệ quả 2.1. Với t>0, b>0
P (M
t
∈ db) =

2
πt
exp

−
b
2
2t

db
Hệ quả 2.2. Nếu chúng ta định nghĩa T
b
= inf{t ≥ 0 : B
t
+ µt ≥ b} với
b>0. Khi đó:
P (T
b

∈ dt) =
b
√
2πt
3
e
−
(b−µt)
2
2t
dt
Chứng minh: Dựa vào phép biến đổi độ đo và biết rằng:
{T
b
> t} = {sup
0≤s≤t
B
s
+ µs < b} 
Giả sử D không phụ thuộc B
t
, bằng cách biến đổi độ đo xác suất vỡ nợ
vào thời điểm T đối với D là:
F (T |D) = P [min
0≤s≤T
V
s
< D|D]
= P [min
0

≤ s ≤ T (ms + σB
s
) < log(D/V
0
)|D]
= Φ

log(D/V
0
) −mT
σ
√
T

+

D
V
0

2m
σ
2
Φ

log(D/V
0
) + mT
σ
√

T

Khi đó:
F (T ) =


Φ

log(d/V
0
) −mT
σ
√
T

+

D
V
0

2m
σ
2
Φ

log(D/V
0
) + mT
σ

√
T

dG(d) (3)
21
Trong thực hành, có thể đưa ra G(d) là phân phối đều [0, αV
0
], trong đó
0 < α ≤ 1 hoặc đơn giản chỉ đưa ra G(d) là 1 tập hợp điểm tại 0 < A < V
0
ve 2.jpg
Hình 2.1: Đường sống sót trung hòa rủi ro 1- F(t) với các giá trị khác nhau của α: 0.15,
0.20, 0.25
Hình vẽ 2.1: Đường sống sót trung hòa rủi ro 1- F(t) với các giá trị
khác nhau của α: 0.15, 0.20, 0.25. Phân phối của rào cản rủi ro G trong
bảng bên trái là 1 tập hợp điểm tại d = 0.5V
0
, trong khi nó là 1 phân phối
đều trên [0.1V
0
, 0.9V
0
] trong bảng bên phải. Lãi suất phi rủi ro được đặt
là r=0.05.
2.1.2 Phương pháp Copula cho rủi ro tương quan
Thực tế, chúng ta có nhiều đối tượng liên quan đến kết quả của chúng
ta, vì thế cấu trúc tương quan rủi ro của các đối tượng được quan tâm lớn.
Phương pháp đầu tiên là cho chuyển động Brown điều khiển các quá trình
tài sản của những đối tượng có tương quan. Như có thể thấy trong phần
trước, sự xem xét đương nhiên này dẫn tới kết quả là nhu cầu tính toán

các hàm phân phối tích lũy của các biến ngẫu nhiên chuẩn nhiều chiều
với ma trận tương quan Σ mà không có lời giải tường minh, khi đó cần sử
dụng phép xấp xỉ.
Một cách khác để chỉ rỗ cấu trúc tương quan là thông qua phương pháp
22
Copula.
Đầu tiên chúng ta xác định các copula con như một lớp của các hàm n-
tăng cơ sở với các biên, khi đó chúng ta xác định các subcopula như các
subcopula với miền xác định I
n
.
Định nghĩa 2.1. Một subcopula n- chiều là một hàm C’ với những tính
chất sau:
1. DomC

= S
1
× S
2
× × S
n
, với mỗi S
k
là một tập con của I chứa 0
và 1.
2. C

có đáy và n- tăng.
3. C


có phân phối biên duyên C

k
, k = 1, 2, , n thỏa mãn C

k
(u) = u với
mọi u trong S
k
.
Chú ý rằng với mỗi u thuộc DomC

, 0  C

(u)  1 vì vậy C

cũng là
tập con của I.
Định nghĩa 2.2. Một copula n-chiều là một n-subcopula C mà miền xác
định là I
n
. Một cách tương đương , n- copula là một hàm C từ I
n
tới I
với những tính chất sau:
1. Với mọi u trong I
n
, C (u) = 0 nếu ít nhất một tọa độ của u là 0 và nếu
tất cả tọa độ của u là 1 trừ u
k

, khi đó C (u) = u
k
.
2. Với mọi a và b trong I
n
được xác định a  b , V
C
([a, b])  0 .
Các copula thường dùng là copula chuẩn và t-copula. Thông thường,
nếu (X
1
, , X
n
) có hàm phân phối tích lũy đa biến F, với phân phối tích
lũy biên duyên F
1
, , F
n
. Copula tương ứng có thể định nghĩa bởi:
C(x
1
, , x
n
) = F (F
−1
1
(x
1
), , F
−1

n
(x
n
))
23