Về các bài toán không Elliptic của phương trình đạo hàm riêng

??
iil
BO BAI HOC VA
TRUNG
HOC
CHUIEK NGHIEP
!rirU?oT3g Dpi hgc
TÌn^
hg^
Ha
npi
\
;
/
\
VL
GAG BAI
'TCAI^
iJIONG KC^ItTIC
QUA IHTJOMÌ IRINH DAO HAM Rl£Jì(}
(Lu^
van Ihó
tien
si Toen
-
ly)
•i
+++
•|V*ii'>i *.
,
ti

* ^W-*!^
iP^^^ar-
HA NOI
1981
ti
u
11
II
"H
II
11
U
11
II
H
II
II
II
M
a
11
II
II
M
11
il
11
t(
[)
11

11
It
II
II
11
11
ti
II
11
II
11
11
II
11
ti
11
II
II
il
il
II
11
11
11
ti
il
H
1)
;i
11

11
li
!f
li
U
il
II
li
ti
11
ti
II
11
li
11
il
II
11
11
ti
U
11
II
11
11
il
11
II
MUC
LUC

sS^trong
Mo» dau
Chu?c*n;_4
I : Bei
i:OGn
bién
trong
mien
gio'i
han.
il.
EhiPn^^
Isf hi^u
va
Iret
qua
can
thiet.
'I
•
llt)
mien
phv thugr
tha^
s6
2.
Toan
tu» At
5.
Toan

ti ma rgng
4.
Mài
toan bien
tron ,
hg mien
bien thién»
i":*
Bai toan bien
tron^
mil^^n ^ió'i hpn
:
lj>.
Bai toan bien
voi
ve
phai cua
phcPon^
t-rlnli
khóng tro^.«
1 • y&t bài
toan
15
15
15
17
18
19
22
36

36
56
39
47
2.
Ahong
ciia^-
H
'
(G^)
3.
Bài toan bién
troni^:
mien giói
hgn.
Chu?o^2;
II,
Bai toan bien
dSi vó'à ptoo'ng trlnli
elliptic
G!^^/
oien tren
Dien cua
mien
Si • ihU'Cng triiih
elliptic
B\:':y
bicn« '+7
%2*
Dang di^u

cua
hàm
C(t) vói t
e
g^n
0
49
H3.
vi
dii.
67
ChLJo'i^
III»
Cac
bài
to6n khong
elliptic
d8i vó'i
hg
phiJo^^
trlnh Bixctso 73
§1.
D^t
bòi toan. 73
2.
ijieu
j.;ièn
ellipoic
cua bai toan
75

§3«
Bài toan
khong
elliptic
thiì
rihat-
85
È^^0
Bai toan
Idiong
elliptic
thiJ
hai.
94
Tei
liSu them Idiao
:
109
ÌSAN__MO_DAU
M-^ic
dlch
cue ban
lu^
vèn
này
giành
cho
vi^c
nghién
cu'u

càc bài toan bién
khòng
elliptic doi vói
xxxgt
vài
l&p
phupoìig trlnh va
hg
pbiTomg trlnh d«io
hàm rieng
ti^en
tlnh.
TyU?ó'c
het chung toi xin trlnh bay
mpt
càch van tat
qua trlnh nghien
ci5u va du?a
vào
nhlkLg djjih
nghia
va
khai
ni§m
toan hgc ca ban
ma
chung ta se su?
djuig
ve
sau»

Gria
sii Qt
là
m§t
mien
kln,
gioì ngi
trong khong gian
Oclit
R^,
vói bién T
là
m§t
da
t«p
du
tro'n (n-l)
chieu.
Ky hi§u X = (x^, ,x^)
là tga
dg
cua cac
diem
trong R ,
x'
là
t^a
dg céc
diem trén
r

Troni^
Or
ta
xét
pbuio^
trlnh
dgo
hàm rieng
t^yen
tinh
cap 2m vói esc h$
so
tro^
v6
h^n
t
UCx.D)
-
Z ^^Cx)
D^uu)
X
foc;
CO-I)
Tpén tién T
cho
m.
dieu icl§n bién tuyen
tinh
-
4

-
Ti-ong
do
B-(2:,D)
là càc bieu
thiic
vi phan
tvyen
tinh cap
m
(
4 2nt-l)
vói
h^
s8 du
tro^
trén bién P
J
Phifcmg
trlnh
(o-l)
d\ig>c
goi là
thu§c lo«ii ellip
tsii diSm X é
R^
neu ;
L^(z,
n =
5.

a^(x)
i"^
^
0 (0-3)
vói
m^i
vócto^
I =
(
^^, ,
1^)
khàc
khong, trong
dò
Già sur
pbLfoìig
trlnh
(o-l) thugc lo^i
ellip
t$ii
diéms^thuSc
bién
^
# Ta
thyPc hijn lièn
tiep cac
phóp
bien
dSi tpa do
:

chiiyln g8c
t^a
d§ deix
diemS ^^
sau dò
qu^
0
•
*
•
cac
truc tO|i dg
de sao cho
truc x^ hupoìig
theo
phteotig
cua
Vécto» phép
tuyen trong dSi
vói P tsi
diem
S
Ta chu y
rèng tlnh elliptic cua
h^
phiro^
trlnh
(o-l)
khong thay
doi sau cac phep bien doi

tg>a d9
trén day. Sau day de
don
giàn
C8C Isy hi§u
ta co the già thiet
ngay
ràng
phu»o?ng
trlnh
(o-l)
va càc dieu
ki§n
bién
(o-2) duep^c
viet trong
h?
tpa
d§
dia
phuotog tfii
diemS^
BUy gicf
trong
niia
khong gian
R^
= ^ x- ^^ ^ ^
Ta
xet

bài toan bién sau day
t
T.
a,^o)
D%&)
=o , ^,^0 (0-4)
-
5-
Te
ky hi^u X» =
(x^
,
,Xj^_^)
,
Si
C^^^-w^n-W
là
céc
t^a
dy
cua càc
dilm
trén sieu phang
x^ =
o.
Sau khi
thj^c hi§n
phep bien doi
Jourier
theo cac bien

x* =
(xqf,Xjj^^
(x*
—> $ )t ^^^ cBch hlnh thu'c
ta
dim
bài toan bién
(o-4)
-
(o-3)
ve bài toan trén
n&a dufoìig
thang
x^»
o :
I-
^.w^,"
Cr'J5/^c5',x„) = D (0-6)
ip
CJ
^y-^'^)
trong do
-u-C^'/^n)
là bien doi
Jourier
cua hàm
u(x» ,x^)
theo bien
x* x
C^*"*'^-'1^

Ky hi§u j làkhéng
gian càc
nghi§m
cua
phifoìig
trlnh
(o-6) gioì
n$i khi
x^—>
co
(vói
5^
^ o)«
T^ong
tru?òiig
h^
n
^
3
thl
tu? dieu
ki§n
elliptic cua
phu?oìag tr\xih (o-l)
suy
*a
chieu cu©
^
bang
m

(xem
^17] chu»o:ng
X). Con doi
vói
triPÒ'ng
hg^
n
si
2 thl
phai
già thiet bo sung thém dieu
ki^n
là
j
chieu
cua é
phai bang
m (ti5c
là
bang
so càc dieu
''il'WBKrlt",
- 6 -
kifn
bién)
Ta nói
ring
bài toan
(o-l)
-

(o-2)
thoe man dieu
ki§n Sopirò
- Lopatinski
t»!
diems 6 ^ 9
neu bài toan
(o-&) - (0-7)
vói m©i S
9^
0
va
vói
m9i
vécto'
a(^) ^
C^')
co nghi$m dny nhat trorjg ^.
Tpon^
nhutig truoìng
h^'p
khàc
nhau,
di^u kzi^n
Sapiro - Lopatinski
co
the
duyc aio t» éxjhrx
ixkiTk^
à^^

tuo>ng du'o'ng kh&c
nliau.
Dieu
ki§n
này
dgic trung
cho
mgt
loTp
cac bài toan bién
dSi
vói
ph^o^ig
trlnh
(ho^c h§ phu?olig
trlnh)
loti
ellip
du?«>X5
gpi là
;"bài tdàn
elliptic" (xem
[16J
,
117J
)
§ÌSÈ-SSèiÌ_Si:l « ^^^ "^^^^
(0-1) - (0-2)
du?j)^c
gpi

là bài toan ellip tic trong mien
Oc
neu tìaoa
man
cac dieu
ki^n
sau day
j
0
*
i)
Tlsn
tu' vi phan
L(x,I))
là elliptic deu
t^i
mpi
dièmx € a
li) Bei toan
(o-l)
- (o-2) thoa
man
dieu
kign
Sepiro - Lopatinski
tui m©i
diem
s^é
r.
*^

0
•
lìbu?ng VI
du
dcm
gian ve
Ifcài
toan elliptic
iacee
bài toan
Dirichfee va IJoi
man doi vói
pbu?oìig
trlnh
loót-xong
Bài toan
d^o
hàm nghiéng dSi
vói
phu?o^
trlnh này
trong
R^
X
l!i
- 6
U^
r'
- 7 -
vói

M>^
,
và^'là hu?ó'ng
tiep xuc
vói
bién P, khong thóe
man
dieukién Sapiré
- Lopatinski tei
m^i
diem bién ,
neu n
»
2 thl bài
toàn nay luon luon là
bài toan elliptic
(xem
chLfo^tlO,
[17]
)•
Bài toan
(o-l)
-
(o-2) siiilx
ra
mpt
toan
tiJ r
U =
(L,

B^
, ,B^)
làmSt
tdàn tu?
ti^ren
tinh
gioì n§i :
^. C®(G)
vào
c^C^)^C!C^^^^C^Cr)
tri
S80
cho
: vó'i m»i wct)
6
C^U^)
thl
B5ng thol
toan tu?
Ucó
the
mó rpng
thành
m^t
toan
ti tuyen tinh
gioì n§i tJ
khong
^isn
Sololep

H^(G)
vào
tich
tn^c
tiep càc khong gian
Sélciàp t
trong
dò S>
S^
:::
max(2m,
m^+i, ,
m^
+ 1)
Ngu
bài toan
(o-l)
- (o-2) là elliptic thl U
dxXffc
gpi là toan tu'
elliptic*
£gt
qua co» ban cua
1;^
tliuyet
bài toan bién elliptic
-
e -
là
vi^c chu'ng minh sy? tu?o'ng

du?o^-
cua càc ket
lulin
sau
day (xem
chUloTig
10 [173
> va Li 5]
)
I.
U s
CL)6i,
B^^)
là toan
ttf
elliptic.
II.
U -
co
thè
mo'
rpng
thành
mpt
toan
tiS? Kéte
tb
H^^(Cì)
vlo%^^\a,
V ) ,

III.
Bài toan
(o-l)
- (o-2)
co u»&c ltf^:ng
trén
nghi^m :
«•^«»-^(.)
' ^
l«^"^c.)
4.
"%"»„— ;
irj
"-("<^;r^
vói
mpi
\K ^ W i<r) ,
C - là bang
38
khong
phy.
thupc
Vige
su?
dyng
càc
phu?otig
phàp
giei
tich hàm de

nghién
ciiu
3^
thuyet
phi^oiig
trlnh elliptic
co
the xem
nhuP du?9'c
bat dau vào
nhiing
nam
thii
ba mu?Gl, sau
sy?
ra
dc?i
cua
ly thuyet
càc
klioiig
gian
Solòlép ^^^
•
le thiyet
do dà
uib
va
khà narig
àp

dyiig
cac
phu'o^
phàp cua toan
h9c
hién dei
de giei
quyet
càc bài toan
du?9"'c dèt
ra cua
phifoìig
trlnh deo hàm riéng noi chung
va
cua ly
thi;oret phiroìig
trini
va h§ phLfong
trlnh
loei
ellip nói riéng.
K&a
1937»
I»^*
Pètropski
dà
diia ra
d^nh
nghià
tóxig

quàt
cua
h$ phu?oiig
trlnh
logi
ellip
va
da
chiing
minh
du'p'c
0
*
f
*
•
#
tinh
giai
tich
cua
ngtii§m
tro^
cua no.
- 9 -
N&m
1948,
A.V.
Bixaze da
xay dycng du?9'c mgt

vi
dji j m§t
hg elliptic theo
iigbia
Iètr8pski,
nhu'ng
dSi vói nò
bài
toan
Birichlé
khong
co
tinh
Néte.
Ve
sau nhàm
m^^c
dlch
Miai thac
thém y nghia cua van de do Bixatse de ra, tao
sia
Sac.R.S
^ ^- ^^^^ ^^
^v^^
^^^ ^^
3^^^
^Ì3^gjji
nhu'ng
dieu
ki^n

nào dò d8i
vói
cac
he
s8 cua dgo hàm
b^c
thSp
cua hg
pbu'o'ng
trlnh thl bài toan
Dirichlé co
tinh Néte
,
(
[KP]
).
Dóng
góp nhieu cong
lao
trong
vi#c
phàt trién ly
tht^et
bài toan vi phan elliptic hai chieu dò là
nhupng
nhà toan hpc
I.N.VéKua,
B.V.
Boiecski,
A.I«

Vonpec
Vi$c
n^iién
cu'u
bài toan elliptic nhieu chieu
tong
quSt bit
dau
tìs
càc cong trlnh cua
Sapirò,
Lopa
tiuski#
Coi^
lao cua càc tàc già này là
da
du?a ra dieu
kign du
de bài toan co
tinh
Kéte,
ma
sau này
ngieol
te
da
iSy
dieu
ki|n
dò

làm dàc trimg
cho m$t
ló'p
bài toan
biSn d&i vói
pbu?o^
trlnh
va
hg
pbu?oìag
trlnh
logi
ellip
-
dò là bài toan bién elliptic da
duVc <ii.nh
nghià
ó'
trén.
Tiep sau nhu'ng cong trlnli cua Sapiro - Lopatinski,
nhieu tao
già iciiàc (chang hgn Hof
man der
)
da tiep
t^ic
di sau nghién cu?u cac tinh chat cua càc bài toan tong
quàt. Ket qua dàng lu?u y là hp da du?a ra
nhlJng tPo^c lu?gìig
dSi

vói nghi^m
cua bài toan, trong
dò
dàng ke nhat là
u?ó'c lLC9ìig
trén
nghigm dSi vói
bài toan elliptic trong
h|
khong gian Sololep
d^ng
(o-6).
(Xem
[17J
, [16J
,
[15] )
UÓ'c lu?©Tig
(0-8) cho
phép
xàc
dj.nh du?p'c tinb
tro^
cua
nghiém
cue bài toan theo
ve phftl
cua
pb^ong
trlnh va

- 10 -
dieu
ki^n
bién, dong
tbòl
cung suy
ra da?9'c
tinh
hUu
ben
chieu cua
KerD,
tinh dóng cua
LaU.
Cho
d%n
bay
giò» vige ngbièn
cu'u càc bài toan
bién elliptic co the xem
nhu?
hoàn hao
vói nhling kSt qua
dep de khong nhu?ng dSi
vói
bài
toén
vi phan
iaà
ca

dSi
vói bài toan
già
vi phan. (Xem
Agqpanoliy-ic DSJ
,
p7J
»
^l^^j
Hièn nay,
vSn
de dang
du'9'c
nghién cu?u nhieu là
càc
bài toan khong elliptic.
Viéc
nghién
cu!u
càc bài toàn
khong elliptic này
ngu?òl
te
thteoi}g
xét theo hai xu
hu?óìag 1
Xu huióìog thii nhSt
là xét càc bài toàn bién doi
vci
cac

phi^oìig
trlnh
hoàc he
pbu?ong
trliih lo«i
ellip
trong mien
G,
suy bien trén
ràpt
da tap con nào dò cua
383aien,
hoèc
trén
mvt
phan nào dò cua bién cua mien. Ve
càc bài toàn bien doi vói
phu?oiig
trlnh loci ellip cap
hai
s\jy
bien
co
tbé xem trong cu8n sàch cua M.M.SmirnSp
8 •
Nhu'ng
dàc
biét lu?u
y là
nhijng

ket
qiia
nghién
ciiu
cua
O.A.Dleinhie,
Ratskèvich
ve
phiJ?o^ng
trlnh dgo hàm
riéng
cSp
hai
vói deng
d^c
tru?ng khong
àm
(xem
r7j
)
Càc
phu?o^
trlnh elliptic cap cao
sxjy
bien
mol
diTp'c
chu
y
trong

nhiing
nam sàu mu?ol
tró^
lei
day, trong
do
co
càc ket qua cua
M.I.Visio
va
V.V.arusin
[^]
,
A.V.
luScxikop [5)
• càc tàc
già
này da xét
m^t
vài
lóp
phtJ?oìig
trlnh elliptic cap 2m
si-^^
bien t2?én bién cua mien
theo pbu'o'ng phàp phap
ti^en,
trong dò da chi
ra
nhu'ng

-
11 -
dieu
ki§n cp
the de cho toàn
tiJS
cua bài toàn
co
tinh
Néte
.trong nh^ng
khong gian hàm
4u?ong uiig
- dò là
nhSng
khéng
gian Sololep - Slobodetski co
tr9ng liCpng du?9'c
ch©n mst
càch
thich hpp thy thu9c
vào
dang pbLSo'ng
trlnh.
Ngoài ra ta cung chu y den còxig
tx'lnh cua
a.Greyioonat
va
1
.irisverd

(xem
[6]
), xét bài toàn bién dSi
v&i
phu?o^
trinh
elliptic
Buy
olin.
vod phmi chiìih
CVB
pbiioiig ti*lnh
chiia thJpa
s8
^%)
, 0 < 6 <
1,
ffe:)
- là hàm du
tron,
trift
tiéu cap 1 trén bién
cua
uàen.
Xu
hu'óìig thii
hai ta
thu»oìig
thay là xét càc bài
toàn bién d5i

vói phiroìag
trlnh
h0e.c h9 Jiitoo^ng
trlnh
lopi elip
libu'ng khong thoà man
diBu ki|n
Sapiro-Lopatin-
ski tgx nhiJng diém
bién nào dò,
hogc
toàn hg bién cua
mien. Nhu'ng ket qua trong
linh vg'c
này dàng chu y nhat
là càc cong trlnh cua
B.R.V'eibesa
-
Y»T.
Grltosin
nghién
cu?u
ló^
càc "bài toàn khong
Bliptlc
deu"
trong khong
gian
Sébolép,
(xem)

^14]
), cua
N.L.TSpmaxian
[11] ,
Ll2] , P5] )»
cua
R.S.Sac
(
[lOj
), nghién
ci5u
càc
he pbL?o'ng
trlnh elliptic cap hai trong
lóp
hàm du
troto.
Phu'o^g
phàp cua càc tàc
già nìxy
nói chung là
duPa
bài toàn dang xét ve càc
i^bupcng
trlnh
i'redliCihyi
, càc
phu?C/tig
trlnh
tich

phan
ky
di,
hogc pbu'o*ng
trlnh vi
^ksK
tich phan
Isy di
trén bién cua
mien.
Nhln
chung trong càc
linli vgCc dufp^c
nghién
ciiu
ve càc bài toàn khòng
elliptic
con libieu
v§n
de càn phai
giei quyet.
Niilm
góp phan vào
vi^c
giai quyet càc van de
trén,
tror^
ban
luàn
àn này trlnh

bay
càc ket qua
nhèn
du'p'c
ve
vi§c
nghién
cu'u mgt
vài
lóp
bài toén khòng ellip-
tich.
-
12 -
N9Ì diing
cong trlnh
gonibe
chuPo^
j
Tpong chu'oìig
I, xét bài toàn
(o-l)-(o-2)
trong
mien gioì nei
G,
vói già
thiet
nhui
sau :
Ti^ong

mien
gioì nei
G,
chu'a
m^b
n
h9
mien
\Gf^}
vói
bien
\^^] php thugc tro^i
vào
tham
so t
e Co,lJ
theo
nghie
S.G.Krein
[1] sao cho
G^
n G ngbia
là
Mii
t
—•
0
thl
G.
—•-

G.
B^ng
tbòl
trong moi
mien"G^,
t
É-
(o,1]
ta
SÌ51
su? bài toàn
L(x,D)u
=
f (x)
^^ ^t
^°"^^
B.(x,D)u
=
g^(x)
2c e
r^
(0-10)
(j
=
1,2, ,m)
là elliptic
va doìa
trj.
(vói m€>i
t

€ (05I3
chi
trù? t§ti
t
=
o thl bài toàn khòng
du'p^c già
tìiiet là eliptic.
Nhu?
v§y
ta co thè xét bài toén
(o-l)-(o-2)
(tic là bài
toàn (0-9) • (0-10)
tio*»^
G^)nha'
là
"gioì
ben"
cua
mpt
hp
càc bài toan elliptic
(o-9)(o-l0) phy thu^c
vào tham s8
t
t
(0,1] khi t
—^
0. Ta

cmig chu'ng miiili du'p'c
ràng
vói
già
thiet nhu'
trèn dSi vói
bài toàn
(o-9).(o-l0)
thl bài
todwn (o-l).(o-^)
cung
se
giai
du'p'c dcìi
tri
va
trong
trijòìig hpp
ve phai
ì(«) va
g^C^)
(Ò =
1|2f; ,m)
thupc
trong
nhiing
khòng gian Sòbòlep xàc dinh nào dò thl
nghi^m
CUE
bài toàn cung

du'9'c tini
trong
mgt kliòng
gian
Sòbòlép
tuPoìig
ling.
à day ta
cujig
chu y rang tinh
chSt
nghiSm cua
hp càc bài toàn
(o-9)-(o-ie) vói
t€-
(0,1]
da du'g'c
nghién
ciiu
do càc tàc già
S.G.Jirein,
L.A.Kotko,
L.A.IvanSp
(xem
LU •
[2} va
[3j
).
N§i dung chu?o^g
II, ta xét bài toan bién dSi

vói
m§t laj) pbu'oiig
trlnh elliptic clip 2m
djmg
(o-l),
svy
%•
-
13
-
bien trèn bién
Cua
mien. Ts
co
the xem bài toàn xét
tron^
chifoìig nsy nhuP m$t
vi du u'ng
dwng
ly
thiQret nh^n du'p'c tror
chuPo^
I,
' " "
NSi dunj cbuPo'ng
III, xét
mgt lóp
càc "bài toàn
khòng elliptic deu" doi
vói

h^
phueSng
trlnh Bixatze
ma
càc tàc già trong [9]
, L10J di tù'ng
nghién
ctfu.
Bang
pbuyo'Tig
phàp
du'a
bài
toàii
dang xét ve càc bài toàn elliptic
sau do su'
dving
ly
thiqyet
elliptic co
dièn
ta se du?a ra
nhSng
dieu
ki^n
du
dam
beo cho bài toén co
tlxih.
Néte trong

nhjjng
khòng gian Sòbòlép
tieo'ng
ling.
Khàc
vói nhj^ng
dieu
kifn
du
ma
càc tàc
già tru?ó^c
day
du?e
ra,
ó'
day tè
nh^
dufp'c mpt h§ thiic
day
du mò
ta
oy? lién
h^
giu'a
tat cà càc
h$
s8 (ke cà càc
h§
s8 cua càc

deo
hàm
"b^c
thap) cua
pìxxjsan
trlnh
va
càc dieu
kién biòn dàm
bao cho bài toàn khong
elliptic
co tinli
Nòte*
Bài
toaii
du'a re
a
day
co
the
xép
vào lóp càc "bài toén khòng elliptic deu
ma Veibegg
-
irà
^ruBin
de xét
troiog L143
•
N§i

dun^*
chu?o>ng
III co
thè
xet
tech ròl vo'i
chufoiig
I
va
II,
ti:^
nhién
pbu?a'ng
phàp beo
trùm
trong toàn
bp
ca ba
chu'omg
là
"Phu?oìig
phàp elliptic
hoà",
sJ? dyiig
kSt qua
cua ly
thuyet
elliptic co dien
vi
cac ket qua

mó'i
nh$n du?9^c co the xem nlite
là càc
h§
qua cua ly
thiyet
này.
NSi
dung
00^
ban cua
chu?ouag
I
du'p'c
cong
bS
trong
càc cong trlnh
120] va
[22] , cua
cbuiovig
III du'9'c
còr^g
bS
trong [21]
va [23]
. cua tàc
già.
De ket
luèn

phan
me*
dau
eoa
ben
lugn van
này,
tàc
già ben lu^n
vèn
chàn thànli
cam
cu
nhu'ng thay hpc
cu
cuCi mliih
da
tù'ng
giàng
dH>
e'
khoe Toàn
tru'òlig Bei
hpc
ifeng hpp
ìlà-npi.
Dee bi§t
là m$t
ngifòl h9c
trò,

tàc già vò cung biet
oìri
thay hpc cu cua
minh,
Phò giào
BUS
- 14 -
Ngiyen TtiU?a Hpp
dà
dpy
cho
minh nh'ìing
bài hpc dau tien
cua ly
thuyet
pbu?o^
trlnh deo hàm riéng
va nhu'ng
bài
toàn
cO'
ben cua no, dò là
co'
so-
de tàc
già
hoàn
thàrih npl
•
*

*
M
0
00
dung cue
chii'oììg
III cua ben
lu£n
vgn.
Tac già
biet
oìi
sàu
sàc thay
htc,
phò giào su'
l'h^ui
Ng93
E'Lao
ngu'c;i
da day
cho
minh
càc
pbu?oìag
phàp
hi$n
dpi cue ly thuyet elliptic,
do là
cO'

so-
de tàc
già
hoàn
tuành va s6*m
cong b8 càc ket
qua
trinh
bay trong
cbtfo'ng
I va III
evia
ban
lu£n Van#
Tàc
già
càm
on
càc nhà toàn hpc Lien
2tó,
giào s(t toàii
h^c
S.G.
jirein
va L.A.
iLotko
do chSii tlnh giup
d5,
va cpng
tàc cong

bt nhupng
ket qua ca ban cua tàc
già'trong
ly^
thtQret
càc bài toàn elliptic
troi^
ìMen
bien thién.
CuSi
cung tàc già to long
cem
o^
nhóm nghién
ciiu
phu?c^ng
trlnh deo hàm riéng khoa Toàn,
tru'ò'ng
D^i
hoc tong
h9J)
Hb.
npi,
càc
bàc
thay
h9c va bgn
be xa
gan da
giup do'

uxig
hp de tàc
già som
hoàn
iiiành bàn lufija
vèn này.
+
ìli-
-15-
Chu'o^
1
BAI TOAN
BIM TROl^G MILN
Gioì lìAN
§1.
NHUNGKY Hn,U
VA
KLT QUA^CAII /ffULT j
1.
Hp mien
php thu§c
tham s8
j
Già
su? G là mien giói
n9i
trong khòng gian
R^,
chu'a ben trong nò
m§t hQ

mien con dóng \
G^]
(o^
t^
l)
vói bién
^i,
, sao cho
G^
e
G ,
^Q
- P • ^ia
thiet ràng
vói moi
t^[o,l]
càc
mèt
P.
phyi thugc
trcn vào thams8 t
theo
ii^ia
cv^
Krein
trong [1]
:
G9Ì
(s j,
,s^_.)

la
hft tofi
d§ dia
phupoì-jg
cua càc
diem
s
e
f^
•
T«ii mèi
diem s
€ ^^
ta
di^g
vécto' phàp
tiyen trox}g
doi
vói m£t
f^
,
va
t^a
dg
cua càc diem nam
trén truc này
diep'c 'ky hlgn
là n. Nhu'
v§y
h^

thSng
càc s8
(s^
f
••.,s^_^
,n),
s= (s^, ,c^_^^) tjl
,
ln|<n^,
l^pnén
he t9a dp
trong
mSt làn cén
U nàodó
cu.a mjjt
Ho.
% J)ìbng thò'i
ta
già
thiet rang càc tpa dp
nhy
là
nlil^ni?;
hàm du tron cua
C8C tc,a dg
Dt-
càc
vói Jakobien
ttso^^
u?ng

th^a man
bSt
dgng
ttiiic
:
o<
CK4
JC^.^)
-^ A
<i-^
(>,^^)
Già
su^
A-t
vói
l4tl du bé
seo
cho
m$t
P^^At*^
^
Ta
già
thiet
rhng
l^pons;
he tofi dp
dia
pl^o^ig
(s,n),

fiàlt
r^^^t
di^g^c
xàc
dt-un boi pix^ogug trlixb
:
- 16 -
»t = K(S.i>^t) ,
\^\^C.\ùt\
(,^.2)
T^i^ong
do
KCs,t'j/\t) là
hàm du
ti^rrc tUcC
càc bien s8
cue nò, dong
thcl
ton tei giói
han
:
iC^
i
>CC9jt,At) -
k%<:j
(^,3)
A\^0
^t
là hàm du
trO!n

theo (s,t), thoa man
uóc lu^pìig
ID^
U^it)\
^
et
iS.
«,i,2,
J
(^^4)
deu vói
moi se
n^
khi t
—^ 0,
Itong
nhu'ng ket qua sau
diiy ta chi
can quan tam
den nhu'ng
nien
G^^
vói
t du bé
va
hàm
^CS;t,At) >0 ,
5tP^
,
At >0

(1-5)
Ta
Isy hi^u ,
^6^
^
(^
v
(r^^^^
^
l^tl
=
S^.
Khi
do ta
co
bo de sau
•
»
• •
(
-
Bo_de_1_,1
: Gie su'
^C*)
la barn
s8 tiiuOc
ló^
C^C^&^)
bàiig
0 cung

vói
mpi
dpo
hàm cua nò cho
tól cSp
N
trén
T^
(hoge
trén
^tt^t
)•
%i ^ó co
i:eóc
Itep^
sau day :
5> i
-
17 -
vói moi
1
^
s
^N,
C - là bang
BQ»
TblLt
v§y,
vói G nguyén
thl u'óc

lu?piig
(1-6)
no
dufp'c
do bo de
5 cbu'ong
1
[5] >
con vói s bSt ly thl (1-6)
du'p'c
suy ra
tup dinh
ly
n$i
s^/
(xem dinh ly
npi
si^
§4
[163
).
Bo^de_1r2
:
Voi mei
hàm
fC?)
tH^G^),
c%
^<\_
ta

co :
trong dò
^-^ >o ^
C-là
hing
s8
(Xem bo de 1.
[2]
)
22.2oàn
tu'
k%
(A^t
)
«
C^®^
ClJ ^^
cbu?o^
1
[3j
)
Già
s^'
l'W
là hàm s8
thupc i&p
C^C^)
.
Voi
m£i

hàm
toc)
nhu'
viy
ta
l$p duVc
m^t
hp cac hàm
A^t
^^-^
pi^i thu^c
vào thamso
At ^ac dinh
tren
V (vói
t
eCo,lJ
)
theo
cóiig liiu'c
sau :
Nhu'
Vfiy vói mòi Al
c8 dinh,
A^^
nhu?
mpt
toàn tu?
ành xa hàm so
i'C*)

xàc dinh trén G vào
lUiòng
gian càc hàm
trèn
P^
Ta.
co
bò de sau
j (Xe^bb
de 2
chu'o^
i [5]
)•
T'fctlRii
;•!. "
"rr'.iil'-^:
I
f »
u.,
V.
L^//f^5
- 18 -
;3.
5£_3l-1^2 • Toén tuP
AAÌ
CO
thè
mo'
rgng
thành toan

tJ
lièn
tvLC tu
H^^^CO
"vào
H"^*^
Cr^) vói
mp^.
5> ^
^^ ^^^
,
va co u?ó^c
lu'9^
:
l^'^-^^^H^-Ur,)
^^-^^'^'^^^H^^^^)
0-8)
s^H
vói
m9i Tfc ^ 0^
, C-la
hàn^;
s8.
f\
0
'^ ^
5*
• Togn_tyP_mo^_r§ng i
Cac hàm B8
tro^.

xàc dinh trong
Men
Gj^
tt [o,l] co
the
mó"
r^ngthành
mpt hamsS
xàc
djjih
trong
toàn bS mien G bao toàn
tir'h
trchi.
Ta ky
hi^u
Ra^,
te
LOf1j
là toàn tu'
mo'
rpng
co tinh
chSt
nói trén.
T^iong
[3j
, càc
tàc
già de xcy difng du'fc

toàn
tiJ
R.
bang cach
mo-
rpng
so'
do
x§y dti'ng
toan tu'
me-
rgng cua
i/i.R.Hestenes
tru^o^c
day,
dSng -ttLol
da
chiJng
to
r?'ing
luon luon
co
thè
chpn
càc toàn
ti
R^
gió^i npi
deu
ti>

H^(Gj.)
vào
if
(G)
vói
mpi
té Co,1]
va
o
i
s
^
N,
trone
dò
N
du
ló*n
nào
dò.
N:^hià
là ton
t^i
bang s8
C kliòng
phy thu^c
t
€
[0,1]
va

04
G«
N sao
choj
Bay
già'
ta gPi
S^
làtoaxi
tU'
h§n
che hàm s8 xàc
djjih
trèn G thành hàm s8 xàc dinh trén
G^^
vói
té
[0,1] •
Ho ràng
S^.
là toàn tu' giói
n$i
deu theo t tu?
H^(G)
vào
H^(G^).
Ho^Q n3a
ta chu y
là":
^+;H.

=
I là tdàn
ti doìi vi
trong
H^(G^).
}^
hiéu
3:^
=
R^s^
, khi dò
i^
là
mSt
toàn
ti
giói
npi
trong
H^(G)
^ *^^'^
0
4
s
^
N ,
va co
bat dgng
tbic
:

-
19 -
K,,H
ft-^.(^^
^c.u.\^
Il-«„,,.^^^
^
(1-9)
vói
o
< n
^
1 f
^^^
I
^^^ ^ ^
trong
dò
C-là
hlmo
sS (Xem
diiJi
ly
l va
h%
qua 1
Ì3 ctootig
1
[3j
Già

sii L(x,j))
là
toàn
tiJ
vi
phén cSp
2m
vói
he
s8
tro^i
trong
G,
va
^B.(x,lO|
(o =
1,2, ,m)
làcàv
blèu
thu'c
vi
phan
cap
m.
tuo^
li^ig» ^^^ ^2i-1 >(ft
= 1,2, :
vói he
s8
troìi

xàc
diijh
trong
G .
Trong
moi
mien
G^,
t
€ [ó,-i3
ta xét bài
toàn bién
sau day :
L(x,B)u
=:
i'(x)
, ^ ^ ^t (1-1©)
B^(x,B)u
=
g^Cx)
, X e
r^^
(1-11)
(j =
1,2,
•
,m)
Gpi u(t,x)
là
ngbi^mcua

bài
toàn
(l-IO)-(l-ll)
K;f
hi§u
:
il^Ct,x) =
H^ii(t,x)
là
hàm
xtìc
dinh trong
G,
trong
do ff. là
toàn
tup
nxa
reng
de
nhàc
den
trong
3£
.
l^bu'
v^
>U^(t,x) ixhja
mpt
hàm

xéc
dinh trong
[0,1^
^- ^«
Tjion^
càc
cong
trlnia
[1] ,
[PJ va
[5J
vói
-
20 -
mpi
tt
[0,1] , bài toàn
(l-lO)-(l-ll) do-p^c già
thiet là
bài toan elliptic,
do"n
t^i,
dhiis thàl
trong
u'ó'c
lu'p^
tien
nghi$m :
(1-12)
(vói

$>.o , -M-e
H^^'^^C^^^)
),
c(t)
làhàm
s8
php thugc
t €
\P9']]
, giói
npi
deu theo
té
[o,1] ; Céc tàc già
S.G.Li'eiìi,
L.A.lvanop
va
L.A.E:8tku
da
nghién
ctiu
tinh
lien
tue,
tinh kha vi
the9
t, dang
di^u
cua hàm
-Uj.(t,x)

tx'ong [0,1]
; dàng
di^u
cua pho
cuo
bài toàn
(l-lO)-(l-ll)
ph^
thupc té
[0,1] .
Khiing
ket qua tren day
JTRiitSg du?9'c
iìn^
dung dj
n^ién
ctJu
bài toén hon bop
cùa
pbu'o^i^
trlnh
lo%i larabòn
trong mien
kìiòn^*;
phai hlnh
tr^,
bài
toàn
cbiJa dgio
hàm

ttieo
bien "thol gian"
ó'
dieu
kièn
bien,
Dèe biit
brong
i2]
,
voi nbu'.Dg già
thiet
nhiP
trén, L.A.IvanSp da nghien
ciJu trtforig h9p
khi
vói
mpi
già
trj.
tt [o»1]*it^^J 1
bài toan
(l-lO)-»(i-il) là
ellip-
tic,
don tri, dong
tho^i C(t) giói n£i
d'eli
theo t €
Lo»1J-{t

Ifcatt èótà
da
chiìtig
minh
di^p^c ràng ngf^,>
cs vói t
= t
bài
toàn (1-10)-(1-11) cung ton
tai
di^
lilxat nghiém
VÓI fW e
H^ù-)
,
9jCt;
e
H^+^-'^i
(e.;
. Tuy rjhièn
ket qua này
cbjj?a
cho ta biet
reng bài
toàn (1-10)-(1-11)
trong mien
G co phailà
bài toàn elliptic
hay
kliòng !

My.c dicli
chL?o^
này xét bài toàn
du'p'c djt
ra trong
- 21 -
[2] , nbu?ng
khòng
già tbiet
C(t) là
giói
npi deu theo
t. Bài toén nay
se du?p^c iJng
dvng dà
n^ién
oJu
càc lóp
pbu?o'ng trinh
elliptic
si\y
bien nói
chux.ig.
Tjiong
S2,
già
thiet rang khi t
—*•
o dang
di^u

cua
C(t)
co
u'ó'c
lu'pTij
:
(o dyy
xemt^
=
o !).
CQc) .
o
a-""
)
, o i X < ^
(1-13)
-iihi dò
bài toan trong mien
Q du'p'c
xét
r^hu'
là
"gioì
ben"
ci.'B
hp
cfcc
bài toàn elliptic
(l-10)-Cl"1l)
khi

t—^
o,
nò
cuiig
ton tei, duy
rhat nghi§n
trong khòng
gian
Sòbòlép
xàc
diiih vói
càc hàm
^(x) va 4
(:it)
(^
=
1, ,m)
cung
"• ^
0
^
S
0
*
thupc nhjfjug
n.hoi4^
^1HÌ>
Sooolep nao
du tren
G,

Tronti Ì3i
ta xét bài toàn
tx'ong ^uien G
trong
truò'ng
bpi'
ve phai f (x) cua
pbu?ong
trlnh
thu§c
khòng
gian
H^'^'^i-nG)
(du?p'c xsy (5y?ng
sau day !)
ch5a
khòng gian
H^(G)
va
ca
nìijng
hàm khòng
tro'n
trong
lan c$n
bién cua
G.
Tom
l^i
nóJi

dun^
chu'oTìg
I nghién cu'u
sgf
ton tei,
dii^r
nhat
va tinli
tro'n cue
nghijm
cua bài toàn
(o-l)(o-2)
(ùfc
là bài toàn (1-10)-(1-11) trong mien G ).
Vói nhiJng
già
thiet du?a ra sau
dèy ^
lóp
bàà
toàn này bao
hàiìirapt l&p
càc bài toàn khòng elliptic.
Vl vsy
nhu'ng ket
qu©
me
chung te
ixhèn du?p-c
cho phép ta nghién

ciu
bài toàn bién
doi
vói
mpt lóp nào dò càc
phufo^ng
trlnh
lo^ii
elip sxxy
bien trèn bién cua mien
ma
trong
chu'o'ng
II cua
ben lu|in
Van ta se de cap den.
- 22 -
*
. .
'
82.
Bai toan bién
^tron(^
^mien^^^iol
han
j
Ta
iihàc
lei :
T^^ong

muc
lil^
se xét bài toàn
trong
mitn
G
= G ssu <ièy :
L(X,JL>)
U(x)
sr Ì<X) ^ ^ %
(2-1)
B^(x,D)
u(x)
=
g^(x)
3C e
r;
(2-2)
(à =
1,2, ,Hi)
/ . •
VÓI L(x,I)) va
B.(x,D)
là càc toan tu' vi
phoji vói
hS s8
tro^n v6
han
ta'ong
G,

cap 2m
va
m^-
(j =
l,2, ,m)
31-4 2ii-1
nhu'
da
nói trong
il.
d
J
Chng
vói bài toan
(p i)(2-2)
, trong moi mien
G^
(t
é
(0,1] ), ta xét bài toén :
L(x,I))u(x) a f
(x)
2:
e
G^
(2-3)
B^(x,Ei)u(x)
s.
g^(:^)
s:

é
r^
(2-4)
Ta
t^ia
thiet
rtng
vói
nioi
té-
(o,l]
bài toàn
(2-3)-(2-4) là bài toàn bién elliptic,
do'n
tri
va
co
U'óc
lu'p'ng
tien
nghipm
(1-12) vói C(t) là hàm sS
php thupc
vào t, o < t
4
1,
dZzìQ thc-i -HjTii
t
—»
o thl

hà^i
s3 C(t)
dt^n ra
vò
hgn
thoa
m^n
u'o'c
lu'p'ng:
C(t)
=
0(t'"'
) (2-3)
- 23 -
trong dò
^
là
heng
s3 ; 0
4 *<
< 1 (2-6)
Già
SL^
f(x)
va g (x)
(j =
1,2, ,m)
là
nhlng
hàm

t.bu$c
khòng
jian C®
(5Q)»
^hi
dò
vói m«i
fi o,
f(x)
e
H^(G.),
g.(x)
€
H^^^^-"''^(G.)
VÓI
moi te
Lo,1}.
!^a
ky
hi^u
u(t,x) là
nghiSm
(duy
nhSt)
cua bài
toén (2-3) - (2-4) trong mien
G,^
ilng vói
càc hàm so f (x)
va

g-;(3c)
(j s
1,2, ,m)
nói trén.
J
Vl
f(x)t
H^(G^)
,
gj(x)e
H^^^"^d(G^)
(ò =
1,2, ,m)
nén
nghi§mu(t,x)e
H^^^(G^)
(vói
s
^
o)
Biit
:
u^(t,x)
=;
Kx.u(t;,x5
Tx.ong
dò
R.^
là
toSn tti

mó^
rpng hàm
so
ti5?
I-i'^*®(G+.)
lén
H'^^^^(G)
,
gioì nSi
deu theo
te [o,ij va
o
i
s
4 N
(Xem §1).
Ho^t ulti
ta
^oi
:
kjii
dò
tx'oij^^
Go.
te
co :
Te
iqf 2ii|u
:
____

- 24 -
Ta thay
vi ^(x) t
H^(i^)
, u^^^^ t
H'*^*^
CG)
nén
FA^W
trH'^G:^)
.
Bang
thol ta
co i
il^
F^t^^
=^
VÓI mei ré
6^
(2-8)
At-^O
i'èSìì-ìiS^ilJ
J ^^^ -^"^^ s :>
1 ta co
igóc lifp^ig
sau
day
:
trong
dò

C(t)
il
k|jR$
hàm cua t
ó'
ti'cng ifó'c liff^ng
(1-12)
ChiJng
minh :
HàmS
F^^Cx)
cìiZig voi
tat ca càc
d«o
hàm cua nò
barjg
0 tren
^L ^^ t vi
v^y
£p
à^io^
bò de 1-1
vói mei
s
:^
1
t£i co ?
'.
•
-; j

1-H
' 1 '
É
. - *
.
*
#
*JLf tinJri gioì nQi
deu cua cac toan tu'
R^
va tu'
u'o'c
IÌJSQTXÌ;
tien
nghipm
(1-12) suy
ra
:
25 -
^ Ct^) H
CG-^)
C)='
'^^V
->
(2-10)
Ko*n nufa ;
t ^
't
Cho
xién

:
^.(fl)\
-i
n«%-
^t»,V.tì
Khi dò
VÓI 3
>1
,
2mrf3-m_;
1 1 >o
, tu' bò de
^^^
(xem 1-8) ta co ;
"^
TP
dò,
nbiàr
u'o'c
lu?p'ng
tiéu nghiim (1-12) suy ra :
IIB^^t 11
^cCH40|«fll^
-,111^,1 J(2-11)