ý thuyết các quyền chọn tổng hợp trong toán tài chính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC
NGUYỄN HỮU HẢI
LÝ THUYẾT CÁC QUYỀN CHỌN TỔNG HỢP
TRONG TOÁN TÀI CHÍNH
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội - 2014
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC
NGUYỄN HỮU HẢI
LÝ THUYẾT CÁC QUYỀN CHỌN TỔNG HỢP
TRONG TOÁN TÀI CHÍNH
Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
Mã số : 60 46 15
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Trần Hùng Thao
Hà Nội - 2014
Mục lục
Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
Danh sách các hình và bảng biểu . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
1 Tổng quan về Quyền chọn và mô hình định giá Quyền chọn 1
1.1 Quyền chọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Các loại Quyền chọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Quyền chọn Mua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.2 Quyền chọn Bán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Chiến lược phòng ngừa rủi ro với Quyền chọn . . . . . . . . . 5
1.3.1 Chiến lược sử dụng Quyền chọn Mua . . . . . . . . . 6
1.3.2 Chiến lược sử dụng Quyền chọn Bán . . . . . . . . . . 8
1.4 Mô hình Black-Scholes và công thức Black - Scholes . . . . . 9

1.4.1 Mô hình Black -Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.2 Công thức Black - Scholes cho giá Quyền chọn Mua . 12
1.4.3 Công thức Black - Scholes cho giá Quyền chọn Bán . . 15
1.5 Phương pháp mác-tin-gan định giá Quyền chọn . . . . . . . . 17
1.5.1 Độ đo tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5.2 Thay đổi độ đo - định lý Girsanov . . . . . . . . . . . 18
1.5.3 Định giá với mô hình Black- Scholes . . . . . . . . . . 20
2 Các Quyền chọn tổng hợp 24
2.1 Quyền chọn châu Á . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.1 Một vài khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.2 Giá Quyền chọn Mua châu Á dạng trung bình hình học 26
2.1.3 Giá Quyền chọn Mua châu Á dạng trung bình số học . 30
2.1.4 Một bất đẳng thức giữa Quyền chọn châu Âu và Quyền
chọn châu Á . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 Quyền chọn trong giỏ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.1 Một số khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.2 Giá của một Quyền chọn Mua trong giỏ . . . . . . . . 36
i
MỤC LỤC ii
2.3 Quyền chọn Quanto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3.2 Giá của một Quyền chọn Mua Quanto . . . . . . . . . 39
2.4 Phương pháp Monte Carlo định giá Quyền chọn . . . . . . . . 41
2.4.1 Phương pháp Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4.2 Thuật toán Monte Carlo định giá Quyền chọn Mua
châu Âu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4.3 Thuật toán Monte Carlo định giá Quyền chọn Mua
châu Á . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4.4 Kỹ thuật giảm phương sai trong phương pháp Monte
Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Kết luận và hướng nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Phụ lục 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Phụ lục 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Lời mở đầu
Toán học tài chính đã ra đời hơn 100 năm qua, được đánh dấu bởi công trình
của Louis Bachelier về Lý thuyết đầu cơ tài chính. Xuất phát từ thực tiễn Toán
học tài chính đã ra đời và đó là khoa học sử dụng các công cụ toán học để
nghiên cứu các vẫn đề thị trường tài chính nhằm đưa ra các định giá cho các
sản phẩm tài chính nói chung. Thị trường Quyền chọn là một trong số những
thị trường tài chính quan trọng. Đối với một thị trường phái sinh tài chính nói
chung, thị trường Quyền chọn nói riêng thì vấn đề định giá các sản phẩm phái
sinh hay định giá Quyền chọn luôn là đề tài được nhiều nhà khoa học quan
tâm.
Đã có nhiều công tr ình của các nhà khoa học về định giá Quyền chọn. Đặc
biệt, vào năm 1973, trong một tạp chí về kinh tế chính trị, hai nhà kinh tế kiêm
toán học Mỹ là Fisher Black và Myron Scholes đã công bố một bài báo quan
trọng về định giá Quyền chọn. Kể từ đó đã ra đời mô hình Black - Scholes để
định giá tài sản không rủi ro trong một thị trường với thời gian liên tục. Cũng
từ đó mô hình đó cùng với công thức Black - Scholes đã tác động có tính chất
cách mạng đến thị trường chứng khoán tại Mỹ. Người ta thấy rõ sự đơn giản
và hiệu quả của mô hình này để định giá chứng khoán và các hợp đồng Quyền
chọn có kể đến các yếu tố ngẫu nhiên tác động lên thị trường.
Với những hợp đồng Quyền chọn không chỉ đơn thuần viết trên một loại
tài sản cơ sở, mà được viết trên sự tổng hợp tài sản cở sở theo một nghĩa nào
đó. Thí dụ như Quyền chọn được viết trên tập hợp n cổ phiếu S
1
, ,S
n
với các

trọng số α
1
, ,α
n
khác nhau. Quyền chọn dạng này được gọi là Quyền chọn
theo giỏ (Basket option). Đối với Quyền chọn theo giỏ thì tài sản cơ sở không
mang dáng điệu của phân phối logarit - chuẩn như trong Quyền chọn châu Âu.
Chính vì vậy mà không tồn tài một công thức đóng kiểu Black - Scholes cho
giá Quyền chọn theo giỏ này. Không chỉ có Quyền chọn theo giỏ mà tài sản cơ
sở của một số Quyền chọn tổng hợp khác như Quyền chọn châu Á hay Quyền
chọn Quanto cũng không mang dáng điệu của phân phối logarit - chuẩn. Chính
vì lẽ đó đã dẫn đến khó khăn cho việc định giá các loại Quyền chọn tổng hợp
này. Để khắc phục khó khăn đó các nhà khoa học đã tìm cách xấp xỉ tài sản cơ
iii
MỤC LỤC iv
sở của các Quyền chọn tổng hợp bởi biến logarit - chuẩn. Với mục đích để có
thể sử dụng được các ước lượng trong mô hình định giá Black - Scholes. Đây
cũng chính là nội dung chính của luận văn.
Bố cục của luận văn gồm 2 chương và phụ lục:
Chương 1. Trình bày tổng quan về các hợp đồng Quyền chọn, chiến lược sử
dụng Quyền chọn để phòng ngừa rủi ro trong đầu tư và mô hình định giá
Quyền chọn Black - Scholes. Sự tồn tại một độ đo mác-tin-gan hay còn gọi
là độ đo xác suất rủi ro trung tính được khẳng định bởi định lý Girsanov cho
chúng ta thấy một cách tiếp cận khác để định giá các sản phẩm phái sinh nói
chung (cụ thể ở đây là các Quyền chọn).
Chương 2. Trình bày các Quyền chọn được viết trên sự tổng hợp các tài sản
cơ sở như Quyền chọn châu Á, Quyền chọn theo giỏ và Quyền chọn Quanto.
Chúng ta gọi chúng là các Quyền chọn tổng hợp vì lẽ đó. Chúng là một lớp các
hợp đồng tài chính quan trọng trong toán tài chính và được sử dụng rộng rãi
trong thực tế. Phần tiếp theo của chương tr ình bày phương pháp Monte Carlo

định giá Quyền chọn châu Âu và châu Á cùng với một số kỹ thuật giảm phương
sai khi sử dụng phương pháp Monte Carlo như kỹ thuật biến điều khiển và kỹ
thuật đại diện đối nhau. Chương trình thuật toán Monte cho giá Quyền chọn
châu Âu và Quyền chọn châu Á dạng trung bình số học được viết trên ngôn
ngữ lập trình C/C++.
Phụ lục 1. Giải thích thêm về mô hình Black - Scholes
Phụ lục 2. Phương trình đạo hàm riêng Black - Scholes.
Dù đã cố gắng nhưng do thời gian và kiến thức có hạn nên luận văn không
tránh khỏi những sai sót ngoài ý muốn. Tác giả luôn mong muốn đón nhận
được những ý kiến đóng góp từ Thầy cô và bạn đọc.
Hà Nội - 2014
Học viên
Nguyễn Hữu Hải
Danh sách các hình và bảng biểu
Hình 1.1: vị thế người mua Quyền chọn Mua
Hình 1.2: vị thế người bán Quyền chọn Mua
Hình 1.3: vị thế người mua Quyền chọn Bán
Hình 1.4: vị thế người bán Quyền chọn Bán
Hình 1.5: sự biến thiên giá cổ phiếu theo mô hình (1.4)
Hình 1.6: giá Quyền chọn Mua châu Âu viết trên cổ phiếu S, khi giá thực thi
tăng dần
Hình 1.7: giá Quyền chọn Mua châu Âu với sự thay đổi của độ biến động
Hình 1.8: giá Quyền chọn Mua châu Âu tỷ lệ thuận với thời gian đáo hạn của
hợp đồng
Bảng 2.1: giá cổ phiếu của Công ty FPT lúc đóng cửa từ 26/03/2013 đến
09/05/2013
Hình 2.1 : thuật toán Monte Carlo cho giá Quyền chọn Mua châu Âu
Hình 2.2 : thương pháp Monte Carlo cho giá Quyền chọn Mua châu Âu với
S
0

= 100,r = 0.05,σ = 0.2 và cỡ mẫu n = 10000
Hình 2.3: thuật toán Monte Carlo cho giá Quyền chọn Mua châu Á dạng trung
bình số học
Hình 2.4: giá Quyền chọn Mua châu Á sử dụng phương pháp Monte Carlo với
S
0
= 100,r = 0.05,σ = 0.2,T = 1 và cỡ mẫu n = 10000
Hình 2.5: giá Quyền chọn Mua châu Âu với S
0
= 100,r = 0.05,σ = 0.2 và cỡ
mẫu n = 10000 sử dụng phương pháp Monte Carlo với biến điều khiển
v
Lời cảm ơn
Trước khi trình bày nội dung của luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc tới thầy PGS.TS. Trần Hùng Thao người đã trực tiếp hướng dẫn tận tình
chu đáo em trong suốt thời gian hoàn thành luận văn.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến tập thể các thầy cô giáo
trong Khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học khoa học tự nhiên - ĐHQG Hà Nội
đã dạy bảo em tận tình trong suốt thời gian em học tập tại khoa.
Nhân dịp này, em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo
trong bộ môn Toán - Trường ĐH Nông Nghiệp HN cũng như gia đình, bạn bè
đã cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt thời gian học tập và hoàn thành
luận văn.
Hà Nội - 2014
Học viên
Nguyễn Hữu Hải
vi
Chương 1
Tổng quan về Quyền chọn và mô hình
định giá Quyền chọn

1. Quyền chọn
2. Các loại Quyền chọn
3. Chiến lược phòng ngừa rủi ro với Quyền chọn
4. Mô hình Black-Scholes và công thức Black - Scholes
5. Phương pháp mác-tin-gan định giá Quyền chọn
Định lý Girsanov.
1.1 Quyền chọn
Quyền chọn (Option) là một hợp đồng tài chính giữa hai bên người mua
và người bán đối với một số tài sản tài chính nào đó (thường là cổ phiếu, trái
phiếu, tiền, vàng và các loại tài sản trừu tượng khác như chỉ số chứng khoán
hay lãi suất). Trong đó người mua có quyền (không phải nghĩa vụ) mua hoặc
bán một số lượng tài sản tài chính vào một ngày trong tương lai với giá cả được
thỏa thuận vào ngày hôm nay.
Mức giá cố định mà người mua hợp đồng Quyền chọn có thể mua hoặc bán
tài sản gọi là giá thực thi. Quyền chọn mà người nắm giữ hợp đồng chỉ được
thực thi hợp đồng vào thời điểm đáo hạn ghi trong hợp đồng đó là Quyền chọn
kiểu châu Âu. Còn loại hợp đồng Quyền chọn ít hạn chế hơn đó là Quyền chọn
kiểu châu Mỹ. Đối với Quyền chọn kiểu này thì người nắm giữ hợp đồng có
thể thực thi Quyền tại bất kỳ thời điểm nào trước ngày đáo hạn.
Trong một hợp đồng Quyền chọn có hai bên. Bên mua Quyền chọn và bên
bán Quyền chọn. Bên mua Quyền chọn phải trả cho bên bán Quyền chọn một
1
CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ QUYỀN CHỌN VÀ MÔ HÌNH ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN 2
số tiền còn được gọi là phí Quyền chọn.
a) Bên bán Quyền chọn: là bên phát hành Quyền chọn, sau khi thu phí
Quyền chọn thì bên bán có nghĩa vụ sẵn sàng giao dịch (mua hoặc bán) tài
sản cơ sở đã thỏa thuận trong hợp đồng với bên mua khi bên mua thực hiện
quyền trong thời gian thỏa thuận. Đối với bên bán Quyền chọn thì lợi nhuận
tối đa là phí Quyền chọn, còn lỗ thì không giới hạn. Trên thị trường có hai loại
người bán Quyền chọn đó là người bán Quyền chọn Mua (Seller Call Option)

và người bán Quyền chọn Bán (Seller Put Option).
b) Bên mua Quyền chọn: là bên nắm giữ Quyền chọn, phải trả cho bên bán
phí Quyền chọn để được "quyền" mua hoặc bán một tài sản cơ sở nào đó. Đối
với bên mua thì trong thời hạn của hợp đồng có 3 sự lựa chọn. Thứ nhất thực
hiện hợp đồng Quyền chọn nếu giá trên thị trường biến động theo xu hướng
có lợi cho họ. Thứ hai bán hợp đồng Quyền chọn cho bên thứ 3 trên thị trường
để hưởng chêch lệch. Thứ ba là để Quyền chọn tự động hết hiệu lực mà không
cần thực hiện một giao dịch mua bán nào trên thị trường. Trường hợp này xảy
ra khi giá trên thị trường biến đổi theo hướng bất lợi cho họ. Cũng như bên bán
Quyền chọn thì trên thị trường cũng có hai loại người mua Quyền chọn đó là
người mua Quyền chọn Mua (Buyer Call Option) và người mua Quyền chọn
Bán (Buyer Put Option)
Giá Quyền chọn (tức phí Quyền chọn) thay đổi theo thời gian và theo giá
tài sản cơ sở. Giá Quyền chọn phải phản ánh được cơ hội đem lại lợi nhuận
cho bên mua Quyền chọn. Do đó nếu giá tài sản cơ sở biến động mạnh và thời
gian đáo hạn càng dài thì giá Quyền chọn càng cao.
1.2 Các loại Quyền chọn
Một Quyền chọn cho phép chủ sở hữu nó có quyền được mua tài sản với
giá thực thi trước hay vào đúng ngày đã ấn định trong hợp đồng gọi là Quyền
chọn Mua (Call option) đơn giản ta gọi là (Call). Một Quyền chọn cho phép
chủ sở hữu nó có quyền được bán tài sản với giá thực thi trước hay vào đúng
ngày đã ấn định trong hợp đồng gọi là Quyền chọn Bán (Put option) hay còn
gọi là (Put).
1.2.1 Quyền chọn Mua
Hợp đồng Quyền chọn Mua là một hợp đồng tài chính diễn ra giữa hai bên.
Nó cho phép người nắm giữ hợp đồng "quyền" được mua một số lượng tài
CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ QUYỀN CHỌN VÀ MÔ HÌNH ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN 3
sản nhất định với một mức giá ấn định trước gọi là giá thực thi (strike price
or exerise price) vào trước hay vào thời điểm đáo hạn của hợp đồng. Đổi lại,
người mua hợp đồng (holder) phải trả cho người bán hợp đồng một khoản tiền

(call premium).
Nếu giá tài sản cơ sở tăng như dự đoán thì người mua hợp đồng sẽ thu được
một khoản lời trong khi chi phí đầu tư là một khoản nhỏ (phí hợp đồng) hơn
là phải bỏ ra một khoản tiền lớn mua toàn bộ tài sản đó. Trong trường hợp
này người ta nói hợp đồng Quyền chọn Mua có lãi (in-the-money call option).
Ngược lại hợp đồng Quyền chọn Mua bị lỗ (out-of-the-money call option).
Đối với người bán hợp đồng này thì họ thu được một khoản lời đúng bằng phí
hợp đồng. Nhưng khi người mua thực hiện hợp đồng thì người đó lỗ không
giới hạn. Nếu giá tài sản cơ sở biến đổi theo xu hướng bất lợi cho người mua
hợp đồng thì họ không nhất thiết phải thực thi hợp đồng, tự cho hợp đồng hết
hiệu lực. Khi đó họ lỗ một khoản bằng phí mua Quyền chọn.
Đối với hợp đồng Quyền chọn Mua. Người mua Quyền chọn lúc nào cũng
kỳ vọng giá tài sản cơ sở tăng trong khi người bán thì lại kỳ vọng điều ngược
lại. Xuất phát từ những nguồn thông tin khác nhau, các phân tích và đánh giá
khác nhau cho nên dẫn tới nảy sinh những kỳ vọng khác nhau giữa người mua
và người bán. Điều đó dẫn tới việc Quyền chọn (call và put) như thế diễn ra.
Vị thế của người mua, người bán và phí Quyền chọn được mô tả như hình
dưới đây
Hình 1.1: Vị thế người mua Quyền chọn Mua Hình 1.2: Vị thế người bán Quyền chọn Mua
Trong hình 1.1 cho thấy vị thế người mua Quyền chọn Mua (tức người nắm
giữ Quyền chọn Mua) thua lỗ tối đa đúng bằng khoản phí Quyền chọn mà họ
đã bỏ ra để mua cái "Quyền" được mua tài sản nào đó. Trong khi đó lãi đối với
họ là vô hạn tuỳ theo mức độ tăng giá của tài sản cơ sở. Ngược lại trong hình
1.2 lại mô tả vị thế của người bán Quyền chọn mua. Người này thua lỗ là vô
hạn tuỳ theo sự tăng giá của tài sản cơ sở và họ lãi tối đa đúng bằng khoản phí
Quyền chọn mà họ nhận được từ người mua Quyền chọn.
CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ QUYỀN CHỌN VÀ MÔ HÌNH ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN 4
Thí dụ 1.1. (Thí dụ về hợp đồng Quyền chọn kiểu châu Âu)
Giả thử ta đang nắm giữ một hợp đồng Quyền chọn Mua một cổ phẩn của
hãng XZ và hợp đồng sẽ đáo hạn sau 20 ngày kể từ ngày hôm nay. Giả thử

giá thực thi ghi trong hợp đồng là 90 đô la đối với một cổ phiếu. Nếu giá thị
trường hôm nay là 85
1
2
đô la, ta sẽ nghĩ rằng hợp đồng chẳng đáng mua là mấy
bởi giá thực thi vượt quá cao so với giá thị trường hiện tại. Cũng có khả năng
đến ngày đáo hạn giá thị trường lại tăng cao, chẳng hạn là 98 đô la vào lúc đáo
hạn. Khi đó ta thực thi hợp đồng để kiếm một khoản lợi nhuận là
98 đô la −90 đô la = 8 đô la.
Tuy nhiên lợi nhuận thực sự không phải là 8 đô la mà chỉ là 8 −4.5 = 3,5 đô
la. Bởi vì giá thực thi là 90 đô la cao hơn giá thị trường vào ngày đầu tiên ( tức
20 ngày trước ngày đáo hạn) và cao hơn một khoản là 4,5 đô la. Nếu ta xem tỷ
số
3.5
4.0
= 0.875. Có thể xem số 87,5% là tỷ lệ lãi đầu tư khi mua hợp đồng ấy.
Như vậy là lãi lớn.
Nhưng giả thử rằng, không may đến ngày đáo hạn giá thị trường của mỗi cổ
phiếu của hãng XZ chỉ là 89,5 đô la thôi. Như vậy bản hợp đồng Quyền chọn
Mua này thực chất chẳng đáng mua và sự đầu tư là hoàn toàn thất bại. Điều đó
nói rằng có sự rủi ro và không chắc chắc của việc mua hợp đồng Quyền chọn
Mua.
Thí dụ 1.2.(Thí dụ về hợp đồng Quyền chọn kiểu châu Mỹ)
Giả thử chúng ta nắm giữ một hợp đồng Quyền chọn Mua kiểu Mỹ đối với
một cổ phần của hãng IBM và sẽ hết hạn trong 15 ngày kể từ ngày hôm nay.
Giả thử rằng giá thực thi ghi trong hợp đồng là 105 đô la. Nếu giá thị trường
hôm nay đối với cổ phiếu IBM là 107 đô la. Chúng ta có thể chờ đến ngày đáo
hạn với hy vọng trong 15 ngày tới đây giá cổ phiểu IBM trên thị trường sẽ cao
hơn 107 đô la.
Nhưng, giả thử rằng sang tuần tới , cổ phiếu của IBM bỗng nhiên nhảy lên

112 đô la. Khi đó với một hợp đồng kiểu Mỹ ta có thể thực thi ngay lập tức và
kiếm lời 7 đô la mỗi cổ phiếu. Sau khi khấu trừ đi một khoản phí hợp đồng,
chẳng hạn 4.5 đô la thì lãi thực sự của người nắm giữ hợp đồng trên mỗi cổ
phiếu là 7 −4.5 = 2.5 đô la. Tỷ lệ lãi khi đầu tư sẽ là
2.5
4.5
= 0.555
Đó là sợi suất khi đầu tư mua hợp đồng Quyền chọn Mua.
CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ QUYỀN CHỌN VÀ MÔ HÌNH ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN 5
1.2.2 Quyền chọn Bán
Trên thị trường ngoài sự xuất hiện của hợp đồng Quyền chọn Mua (call
option) thì có sự xuất hiện của loại hợp đồng Quyền chọn khác đó là hợp đồng
Quyền chọn Bán (put option). Nó là một hợp đồng tài chính giữa hai bên. Theo
đó người mua hợp đồng (holder) bán cho người bán hợp đồng một lượng tài
sản nhất định với giá cả đã được ấn định trước trong hợp đồng vào trước hoặc
đúng thời điểm đáo hạn (expiration date) ghi trong hợp đồng. Đổi lại người
mua hợp đồng phải trả cho người bán một khoản gọi là phí Quyền chọn.
Cần chú ý rằng trong hợp đồng Quyền chọn Bán thì người nắm giữ hợp
đồng lại chính là người có quyền bán tài sản. Người nắm giữ hợp đồng sẽ có
lợi khi thị trường cổ phiếu có xu hướng xuống giá mạnh. Khi đó người nắm
giữ hợp đồng quyết định thực thi quyền bán và người bán hợp đồng buộc phải
mua tải sản đã ghi trong hợp đồng. Ngược lại người viết hợp đồng (tức người
có nghĩa vụ mua tài sản đã ghi trong hợp đồng nếu người nắm giữ hợp đồng
yêu cầu thực hiện hợp đồng) sẽ thu được khoản lãi khi giá cổ phiếu tăng hoặc
giảm nhẹ hơn khoản phí hợp đồng nhận được.
Hợp đồng Quyền chọn Bán được xem như một công cụ được nhà đầu tư bảo
hiểm cho tài sản của mình, khi nhà đầu tư dự đoán giá cổ phiếu sẽ tụt xuống
trong tương lai và đồng thời không muốn bán hẳn số tài sản đó hoặc để đầu
cơ thu lợi trước dự đoán đó. Trong trường hợp nào đi chăng nữa thì rủi ro của
người nắm giữ hợp đồng cũng chỉ giới hạn trong phí hợp đồng.

Vị thế của người mua, người bán và phí Quyền chọn được mô tả như hình
dưới đây:
Hình 1.3: Vị thế người mua Quyền chọn Bán Hình 1.4: Vị thế người bán Quyền chọn Bán
1.3 Chiến lược phòng ngừa rủi ro với Quyền chọn
Trong quá trình đầu tư chứng khoán các nhà đầu tư luôn phải chịu một mức
độ rủi ro nhất định. Điều mà các nhà đầu tư quan tâm là tìm kiếm một giải
CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ QUYỀN CHỌN VÀ MÔ HÌNH ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN 6
pháp hạn chế rủi ro phù hợp cho mình. Dựa trên những đặc tính hấp dẫn của
Quyền chọn thì việc kết hợp giữa cổ phiếu và Quyền chọn một cách nào đó
cũng là một chiến lược phòng ngừa rủi ro cho nhà đầu tư. Điều hấp dẫn đáng
nói của Quyền chọn đó là có khả năng tạo ra nhiều chiến lược đa dạng để
phòng ngừa rủi ro cho nhà đầu tư. Đa dạng tới mức gần như nhà đầu tư nào
cũng có thể tìm được một chiến lược đáp ứng mức rủi ro phù hợp với mình và
phù hợp với dự báo của thị trường.
Tuỳ thuộc vào khẩu vị rủi ro và mức độ lợi nhuận của nhà đầu tư mà họ đưa
ra chiến lược phòng ngừa phù hợp. Dưới đây là các chiến lược phòng ngừa cơ
bản. Để thuận lợi và đơn giản trong việc diễn đạt ta đưa ra một số ký hiệu quy
ước như sau:
C
t
là giá Quyền chọn Mua hiện tại
P
t
là giá Quyền chọn Bán hiện tại
S
t
là giá cổ phiếu hiện tại
T là thời điểm đáo hạn
S
T

là giá cổ phiếu lúc đáo hạn
X là giá thực hiện
π là lợi nhuận của chiến lước
N
c
số Quyền chọn Mua
N
p
số Quyền chọn Bán
N
s
số cổ phiếu,
với quy ước N
c
,N
p
,N
s
> 0 tức là nhà đầu tư mua Quyền chọn hay cổ phiếu
ngược lại N
c
,N
p
,N
s
< 0 là nhà đầu tư bán Quyền chọn hay cổ phiếu.
1.3.1 Chiến lược sử dụng Quyền chọn Mua
Một trong trong những chiến lược phổ biến nhất của dưới kinh doanh Quyền
chọn chuyên nghiệp là mua cổ phiếu và bán Quyền chọn Mua đối với một loại
cổ phiếu. Chiến lược này nhà đầu tư gọi đó là chiến lược bán một Quyền chọn

Mua có phòng ngừa. Vì nhà kinh doanh Quyền chọn đang nắm giữ cổ phiếu
nên nếu người mua Quyền chọn Mua thực hiện Quyền chọn thì nhà kinh doanh
Quyền chọn chỉ giao cổ phiếu mà không phải mua trên thị trường một mức giá
khá cao. Nhìn theo một quan điểm khác nếu người sở hữu cổ phiếu mà không
bán Quyền chọn thì sẽ gặp phải rủi ro đáng kể khi cổ phiếu xuống giá. Bằng
cách bán một Quyền chọn mua đối với cổ phiếu đó, người nắm giữ cổ phiếu
sẽ giảm được rủi ro đáng kể khi trên thị trường cổ phiếu đó xuống giá. Vì lúc
này khoản lỗ sẽ được bù đắp bởi khoản phí bán Quyền chọn Mua. Khi đó lợi
CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ QUYỀN CHỌN VÀ MÔ HÌNH ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN 7
nhuận từ việc mua cổ phiếu là
N
s
(S
T
−S
t
),N
s
> 0
, và lợi nhuận từ việc bán Quyền chọn Mua là
N
c
(Max(0,S
T
−X)−C
t
),N
c
< 0.
Vậy cho thấy lợi nhuận của chiến lược là

π = N
s
(S
T
−S
t
) + N
c
(Max(0,S
T
−X)−C
t
).
Bây giờ ta phân tích trường hợp đơn giản mua một cổ phiếu và bán một Quyền
chọn Mua tức N
s
= 1,N
c
= −1. Do đó lợi nhuận lúc này là
π = S
T
−S
t
−Max(0,S
T
−X)+C
t
.
- Nếu giá cổ phiếu vào thời điểm đáo hạn không cao hơn giá thực hiện X
thì người nắm giữ Quyền chọn sẽ không thực hiện Quyền chọn. Vì vậy mà lợi

nhuận của người bán Quyền chọn là một khoản phí Quyền chọn C
t
. Tuy nhiên
do giá cổ phiếu giảm nên người nắm giữ cổ phiếu chịu một khoản lỗ tương
ứng là S
T
−S
t
. Vậy lợi nhuận của nhà đầu tư trong trường hợp này là
π = S
T
−S
t
+C
t
.
- Nếu giá cổ phiếu tại thời điểm đáo hạn cao hơn giá thực hiện thì lúc đó
người nắm giữ Quyền chọn yêu cầu thực hiện hợp đồng. Lúc này người bán
Quyền chọn chịu khoản lỗ tỷ lệ thuận với mức chênh lệch giữa giá thị trường
và giá thực hiện và số lượng Quyền chọn trong hợp đồng.
Tóm lại, lợi nhuận của chiến lược mua cổ phiếu và bán Quyền chọn Mua là
lợi nhuận của chiến lược thực hiện hai vi thế song song với phương trình lợi
nhuận là
π = S
T
−S
t
−S
T
+ X +C

t
= X −S
t
+C
t
Bây giờ ta xét một thí dụ nhà đầu tư sử dụng Quyền chọn cho mục đích đầu
cơ kiếm lời của mình. Nhưng chiến lược này cũng mang lại thiệt hại lớn cho
nhà đầu tư nếu nhận định trị trường của nhà đầu tư thiếu chính xác.
Thí dụ1.3. Giả thử cổ phiếu IBM đang niêm yết trên thị trường là 86 đô la
mỗi cổ phiếu. Nhà đầu tư phán đoán cổ phiếu IBM sẽ tăng trong vài tháng
tới. Ta xét hai chiến lược đâu tư sau: thứ nhất nhà đầu tư bỏ ra một khoản tiền
8.600 đô la để mua 100 cổ phiểu IBM, thứ hai là nhà đầu từ sẽ dùng khoản
tiền 8.600 đô la để mua 1.912 Quyền chọn Mua cổ phiếu IBM loại đáo hạn 5
CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ QUYỀN CHỌN VÀ MÔ HÌNH ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN 8
năm tháng sau , nó đang chào bán với giá thực thi 90 đô la và phí Quyền chọn
là 4.5 đô là mỗi Quyền chọn Mua.
Nếu đúng như dự đoán giá cổ phiếu IBM tăng lên 100 đô là vào thời điểm 5
tháng sau thì khi đó lợi nhuận từ chiến lược mua cổ phiếu là 100∗(100−86) =
1.400 đô la, trong khi đó lợi nhuận của chiến dịch mua Quyền chọn Mua là
1.912 ∗10 −8.600 = 10.520 đô la. Như vậy lợi nhuận từ chiến lược sử dụng
Quyền chọn gấp hơn 7.5 lần chiến lực đầu tư mua cổ phiếu.
Ngược lại, nếu diễn biến thị trường có xu hướng xấu đi, tức giá cổ phiếu
IBM trượt giá xuống 80 đô la trong 5 tháng tới. Lúc đó nhà đầu tư sẽ lỗ
100 ∗(86 −80) = 600 đô la với chiến lược mua cổ phiếu, còn với chiến lược
mua Quyền chọn thì nhà đầu tư lỗ 8.600 đô la dùng mua 1.912 Quyền chọn
Mua.
Như vậy cho thấy nếu nhà đầu tư nhận định xu hướng biến đổi của giá cổ
phiếu IBM thiếu chính xác thì sẽ dẫn đến thiệt hại lớn khi sử dụng chiến lược
Quyền chọn để đầu cơ.
1.3.2 Chiến lược sử dụng Quyền chọn Bán

Chiến lược mua cổ phiếu và bán Quyền chọn Mua sẽ hạn chế được phần nào
rủi ro cho người nắm giữ cổ phiếu khi thị trường cổ phiếu xuống giá. Trong
một thị trường lên giá, hầu hết cổ phiếu sẽ được mua lại bằng cách thực hiện
các Quyền chọn. Một chiến lược để nhận được sự bảo vệ khi thị trường xuống
giá mà vẫn có thể chia lợi nhuận khi thị trường lên giá đó là mua Quyền chọn
Bán bảo vệ, tức nhà kinh doanh mua cổ phiếu và mua Quyền chọn Bán. Quyền
chọn Bán cung cấp một giá bán tối thiểu cho cổ phiếu. Ta có lợi nhuận từ việc
mua Quyền chọn Bán là
N
p
(Max(0,X −S
T
) −P
t
),N
p
> 0.
Do vậy lợi nhuận của chiến lược mua cổ phiếu và mua Quyền chọn Bán là
π = N
s
(S
T
−S
t
) + N
p
(Max(0,X −S
T
) −P
t

).
Ta xét trường hợp mua một cổ phiếu và một Quyền chọn Bán tức N
s
= N
p
= 1
thì phương trình lợi nhuận lúc này là
π = S
T
−S
t
+ Max(0,X −S
T
) −P
t
. (1.1)
- Nếu giá cổ phiếu lúc đáo hạn không nhỏ hơn giá thực hiện thì người nắm
giữ Quyền chọn Bán không thực hiện Quyền chọn. Do vậy phương trình lợi
CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ QUYỀN CHỌN VÀ MÔ HÌNH ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN 9
nhuận là π = S
T
−S
t
−P
t
. Phương trình lợi nhuận cho thấy lợi nhuận từ việc
thị trường cổ phiếu lên giá sẽ bị trừ đi phí mua Quyền chọn Bán.
- Nếu giá cổ phiếu lúc đáo hạn nhỏ hơn giá thực hiện, lúc này người nắm
giữ Quyền chọn yêu cầu thực hiện Quyền chọn. Phương trình lợi nhuận của
người mua cổ phiếu ở trường hợp này là

π = S
T
−S
t
+ X −S
T
−P
t
= X −S
t
−P
t
.
Quyền chọn trong trường hợp này như một công cụ bảo hiểm cho cổ phiếu.
Đối với thị trường xuống giá thì tổn thất của nhà đầu tư được bù đắp phần nào
bởi việc thực hiện Quyền. Trong một thị trường lên giá thì bảo hiểm là không
cần thiết và mức lợi nhuận do cổ phiếu tăng giá sẽ bị giảm đi một phần đó là
phí mua Quyền chọn Bán để bảo vệ. Như vậy, Quyền chọn Bán ấn định một
mức lỗ tối đa khi cổ phiếu xuống giá nhưng lại khiến cho nhà đầu tư lợi nhuận
ít hơn khi cổ phiếu tăng giá. Nó tương tự như một hợp đồng bảo hiểm tài sản.
Thí dụ 1.4. Giả thử ông A đang nắm giữ một số cổ phần chứng khoán của
công ty dầu khí OCean. Ông ta biết rõ hoạt động của công ty này. Hiện tại
công ty này đang bán 90 đô la đối với một cổ phiếu và ông này tin rằng giá cổ
phiếu trên thị trường của công ty sẽ có nhiều thay đổi. Do đó ông ta bắt đầu
bán các cổ phiếu này đi để cho mục đích tài chính khác của mình.
Để thực hiện kế hoạch của mình ông ta bắt đầu một chương trình mua một
số hợp đồng Quyền chọn Bán, loại đáo hạn vào khoảng 2 tháng nữa với giá
thực thi là 85 đô la. Với kế hoạch này ông ta phải bỏ ra một khoản chi phí 2.5
đô la để mua một hợp đồng Quyền chọn Bán đối với một cổ phiếu của mình.
Chiến lược này bảo vệ cho ông trong khả năng cổ phiếu tụt giá vì một khi giá

cổ phiếu thấp xuống trong tương lai sẽ gây sức ép phải thực thi Quyền Bán.
Điều đó sẽ cho phép ông ta thu được ít nhất 85 đô la cho mỗi Quyền chọn Bán.
Như vậy ông ta được đảm bảo một giá trị tối thiểu cho các cổ phiếu mà ông
ấy bán. Nếu giá cổ phiếu dừng ở mức trên 85 đô la, thì việc thực thi các Quyền
Bán chẳng có ý nghĩa gì đối với ông ta. Số tiền phí 2.5 đô la cho mỗi Quyền
chọn Bán xem như một loại phí bảo hiểm đảm bảo cho ông ta có khả năng bán
được cổ phiếu với mức giá trên hoặc bằng 85 đô la cho mỗi cổ phiếu.
1.4 Mô hình Black-Scholes và công thức Black - Scholes
1.4.1 Mô hình Black -Scholes
Ta xem S
t
là giá cổ phiếu tại thời điểm t. Vì giá cổ phiếu chịu nhiều tác
động ngẫu nhiên của thị trường, nên ta có thể xem S
t
là một quá trình ngẫu
CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ QUYỀN CHỌN VÀ MÔ HÌNH ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN 10
nhiên với thời gian liên tục S
t
= S(t,ω).
Mô hình Black - Scholes được mô tả bởi phương trình vi phân ngẫu nhiên
dS = Sµdt + σSdW, (1.2)
trong đó µ,σ là các hằng số, còn W là chuyển động Brown.
Bây giờ ta sẽ tìm hiểu tại sao dẫn đến phương trình vi phân nói trên. Ta giả
thử có một thị trường M hoạt động liên tục, có lãi suất không đổi, không chia
cổ tức trước thời điểm đáo hạn, không có chi phí giao dich và không trao đổi
chứng khoán. Ký hiệu S
t
là giá cổ phiếu tại thời điểm t, dS
t
là lượng giá cổ

phiếu thay đổi trong thời gian nhỏ [t,t +dt]. Một cách tự nhiên là ta có thể giả
thử độ thay đổi tương đối về giá là dS
t
/S
t
tỷ lệ thuận với độ dài dt với hệ số tỷ
lệ µ nào đó:
dS
t
S
t
∼ µdt (1.3)
Bên cạnh đó, còn phải kể đến tác động của các yếu tố ngẫu nhiên trong thị
trường lên tỷ lệ đó nữa. Các yếu tố ngẫu nhiên ấy tạo nên một loại "nhiễu"
còn gọi là nhiễu ngẫu nhiên. Nhiễu ngẫu nhiên phổ biến nhất là nhiễu có phân
phối chuẩn, được gọi là tiếng ồn trắng Gauss, hay còn gọi là nhiễu trắng Gauss,
được thể hiện qua vi phân ngẫu nhiên dW
t
của chuyển động Brown W
t
với một
hệ số tỷ lệ σ nào đó. Do đó ta đặt
dS
t
S
t
= µdt + σdW
t
(1.4)
Hệ thức này cho thấy σ càng lớn thì tác động ngẫu nhiên càng lớn, cho nên

σ được gọi là độ biến động (volatility) của giá cổ phiếu S
t
. Ở đây cả µ và σ
là hằng số. Sau này người ta mở rộng mô hình xem cả µ và σ phụ thuộc vào t
một cách ngẫu nhiên.
Thí dụ 1.4. Xét một cổ phiểu S với giá được niêm yết ngày hôm nay (t = 0)
trên thị trường cổ phiếu là 90 đô la. Ta xem cấu trúc của quá trình giá cổ phiếu
S
t
thay đổi thế nào trên một số mốc thời gian. Ta giả định là dt = 1/365 (theo
tỷ lệ xích hàng năm), độ dịch chuyển của cổ phiếu là µ = 0,4 và độ biến động
σ = 0,2.
Khi đó theo phương trình (1.4) ta có
dS
t
S
t
= µdt + σdW
t
,
CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ QUYỀN CHỌN VÀ MÔ HÌNH ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN 11
hay
dS
t
S
t
= 0,4(
1
365
) + 0, 2dW

t
Ta xem dW
t
như một biến ngẫu nhiên chuẩn với trung bình 0 và phương sai
là dt, tức là dW
t
∼ N(0,
√
dt
2
). Do vậy ứng với trường hợp này thì phương sai
của dW
t
là dt = 1/365.
Bước 1, ta có S
0
= 90, giá trị của d W chọn từ dW ∼ N(0,1/365), chọn
dW = −0,05. Thì ta có
dS
90
= 0,4(
1
365
) + 0, 2.(−0,05)
dS = 90.[0,4(
1
365
) + 0, 2.(−0,05)]
= −0,8013
S

1
= 90 −0,8013 = 89,1987,
như vậy giá cổ phiếu S tại thời điểm t = 1/365 là S
1
= 89,1987 đô la.
Bước 2, với S
1
= 89,1987, ta Chọn dW = 0,12. Thì ta có
dS
89,1987
= 0,4(
1
365
) + 0, 2.0, 12
dS = 89,1987.[0,4(
1
365
) + 0, 2.0, 12]
= 2,2385
S
2
= 89,1987 + 2,2385 = 91,4372,
như vậy giá cổ phiếu S tại thời điểm t = 2/365 là S
2
= 91,4372 đô la.
Bước 3, với S
2
= 91,4372, ta chọn dW = 0, 08. Lúc đó ta có
dS
91,4372

= 0,4(
1
365
) + 0, 2.0, 08
dS = 91,4372.[0,4(
1
365
) + 0, 2.0, 08]
= 1,5632
S
3
= 91,4372 + 1,5632 = 93,0004,
như vậy giá cổ phiếu S tại thời điểm t = 3/365 là S
3
= 93,0004 đô la.
CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ QUYỀN CHỌN VÀ MÔ HÌNH ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN 12
Bước 4, với S
3
= 93,0004, ta chọn dW = −0, 07. Lúc đó ta có
dS
93,0004
= 0,4(
1
365
) + 0, 2.(−0,07)
dS = 93,0004.[0,4(
1
365
) + 0, 2.(−0,07)]
= −1,2000

S
4
= 93,0004 −1,2000 = 91,8004
như vậy giá cổ phiếu S tại thời điểm t = 4/250 là S
4
= 91,8004 đô la.
Hình 1.5: Sự biến thiên của giá cổ phiếu theo mô hình (1.4)
1.4.2 Công thức Black - Scholes cho giá Quyền chọn Mua
Nếu ta gọi V (S,t) là giá của Quyền chọn Mua (call option) tại thời điểm
hiện tại t với giá chứng khoán vào thời điểm đáo hạn T là S
T
, giá thực thi của
Quyền chọn là X. Khi đó
Nếu S
T
≥ X thì lợi nhuận sẽ là S
T
−X ≥ 0, khi đó nhà đầu tư sẽ mua call
với giá thực thi X.
Nếu S
T
< X thì nhà đầu tư không cần thực thi hợp đồng vì không bắt buộc
phải mua, vì nếu mua sẽ lỗ. Do vậy lợi nhuận sẽ là
max(0,S
T
−X)
Để cho gọn ta ký hiệu đại lượng ấy là (S
T
−X)
+

và được gọi là phần dương
của (S
T
−X). Bản thân nó là một biến ngẫu nhiên, nên ta tính giá trị trung
bình của nó bởi kỳ vọng toán E[(S
T
−X)
+
].
CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ QUYỀN CHỌN VÀ MÔ HÌNH ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN 13
Mệnh đề 1.1. Giá Quyền chọn Mua V (S,0) tại thời điểm hôm nay (t = 0) của
một hợp đồng Quyền chọn viết trên cổ phiếu S, với giá thực thi X vào thời điểm
đáo hạn T được cho bởi công thức
V (S,0) = e
−rT
E[(S
T
−X)
+
], (1.5)
trong đó S
T
là giá chứng khoán tại thời điểm Quyền chọn đáo hạn T .
Ở đây, các nhà đầu tư cho rằng giá Quyền chọn Mua có thể bị chiết khấu
với tốc độ r theo luật mũ, nên giá trị thực sự của Quyền chọn Mua vào thời
điểm hiện tại t = 0 là
V (S,0) = e
−rT
E[(S
T

−X)
+
]
Có thể hiểu rằng giá Quyền chọn V (S,t) là giá trung bình chiết khấu với hệ số
chiết khấu r.
Ta xét một Quyền chọn Mua kiểu châu Âu với giá thực thi X, thời điểm
đáo hạn T với lãi suất không rủi ro r và S
t
là giá chứng khoán tại thời điểm
t ∈[0,T ]. Khi đó giá V (S,t) của Quyền chọn Mua tại thời điểm hiện tại t được
xác định bởi công thức nổi tiếng dưới đây mà ta gọi là công thức Black - Sc-
holes:
V (S,t) = S
t
N(d
1
) −Xe
−r(T −t)
N(d
2
),
trong đó N là ký hiệu cho hàm phân bối chuẩn tắc N(0,1)
N(x) =
1
√
2π

x
−∞
e

−u
2
/2
du
và d
1
,d
2
được xác định bởi
d
1
=
1
σ
√
T −t
[ln
S
t
X
+ (r + σ
2
/2)(T −t)]
d
2
= d
1
−σ
√
T −t

Nếu chọn thời điểm ban đầu t = 0 thì giá Quyền chọn Mua V trở thành
V (S,0) = S
0
N(d
1
) −Xe
−rT
N(d
2
)
trong đó,
d
1
=
1
σ
√
T
[ln
S
0
X
+ (r + σ
2
/2)T ]
d
2
= d
1
−σ

√
T .
CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ QUYỀN CHỌN VÀ MÔ HÌNH ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN 14
Bây giờ ta xét một thí dụ về một hợp đồng Quyền chọn Mua châu Âu viết
trên một cổ phiếu S với giá cổ phiếu của ngày hôm nay (t = 0) được niêm yết
trên thị trường là 90 đô la và thời điểm đáo hạn của hợp đồng là sau 1 năm kể
từ ngày hôm nay (tức T = 1) . Ta sẽ quan sát giá của Quyền chọn này thay đổi
thế nào khi ta giả thử giá thực thi của hợp đồng này tăng dần.
Hình 1.6: Giá Quyền chọn châu Âu viết trên cổ phiếu khi giá thực thi tăng dần
Bảng số liệu ở hình 1.6 cho thấy giá của một Quyền chọn Mua châu Âu (call
option) giảm dần khi mà giá thực thi của hợp đồng tăng dần lên.
Hình 1.7: Giá một Quyền chọn Mua châu Âu với sự thay đổi của độ biến động
Số liệu trong hình 1.7 là kết quả ta đang xét một Quyền chọn Mua châu Âu
với giá thực thi 105 đô la loại đáo hạn sau một năm và giá cổ phiếu được niêm
yết trên thị trường hôm nay là 90 đô la. Kết quả cho thấy giá Quyền chọn tăng
theo sự tăng lên của độ biến động thị trường. Điều đó cho thấy giá Quyền chọn
phán ảnh đúng như ý nghĩa của hệ số độ biến động σ trên thị trường.
Kết quả trong hình 1.8 dưới đây cho chúng ta thấy rằng giá một Quyền chọn
CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ QUYỀN CHỌN VÀ MÔ HÌNH ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN 15
Mua châu Âu (call option) tỷ lệ thuận theo thời gian đáo hạn của hợp đồng.
Hợp đồng có thời gian đáo hạn càng dài thì giá Quyền chọn Mua càng tăng
cao.
Hình 1.8: Giá Quyền chọn Mua châu Âu tỷ lệ thuận theo thời gian đáo hạn của hợp đồng
Ngày nay mô hình Black - Scholes đã được mở rộng theo nhiều hướng khác
nhau nhằm phản ánh chính xác hơn những diễn biến của thị trường chứng
khoán. Tuy nhiên mô hình cổ điển trên vẫn còn nguyên giá trị của nó, vẫn
được sử dụng rộng rãi ở nhiều nơi. Công thức Black - Scholes được trình bày
một cách cụ thể hơn ở mục 1.5 chương này hoặc có thể tìm hiểu thêm ở [2].
1.4.3 Công thức Black - Scholes cho giá Quyền chọn Bán
Công thức Black -Scholes nói trên đã cho chúng ta được công thức định

giá một hợp đồng Quyền chọn Mua kiểu châu Âu. Liệu có tồn tại hay không
một công thức kiểu Black - Scholes cho giá Quyền chọn Bán châu Âu. Dẫn
dắt dưới đây sẽ trả lời cho câu hỏi nói trên. Ta giả thử rằng bạn cần bán một
Quyền chọn Mua có bảo kê. Nói cách khác bạn muốn mua cổ phiếu với giá
S và bán một Quyền chọn Mua với giá C. Bạn lo ngại giá cổ phiếu giảm sút
nên bạn mua một Quyền chọn Bán với giá P cùng thời hạn và giá thực thi như
Quyền chọn Mua. Với một kế hoạch như vậy thì giá vị thế của bạn ngày hôm
nay thế nào, chúng ta phân tích như sau.
Chúng ta biết rằng giá vị thế ngày hôm nay của bạn là
S + P −C
Giả thử giá thực thi chung cho cả Quyền chọn Bán và Quyền chọn Mua là X.
Khi đó ta có giá vị thế ngày hôm nay như sau:
CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ QUYỀN CHỌN VÀ MÔ HÌNH ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN 16
a) Nếu giá cổ phiếu S ≤ X thì giá đó là X. Trong trường hợp này bạn giao
cổ phiếu cho người mua Quyền Mua, còn Quyền bán của bạn không có giá trị
gì.
b) Nếu giá cổ phiếu S < X thì giá vị thế vẫn bằng X. Ở trường hợp này bạn
giao cổ phiếu cho người bán Quyền Bán, còn Quyền Mua của Bạn thì không
giá trị gì.
Dù xảy ra tình huống nào đi nữa thì giá vị thế ngày hôm nay của bạn đều bằng
nhau và bằng X. Nói cách khác bạn ở một vị thế tất định, nên ta suy ra
(S + P −C)e
rτ
= X,
trong đó r là lãi suất không rủi ro, còn τ là khoảng thời gian từ hôm nay t đến
lúc đáo hạn T , tức τ = T −t. Do đó ta có
C −P = S −e
−rτ
X (1.6)
Hệ thức (1.6) được gọi là công thức cặp đôi Mua - Bán (Put - Call parity). Hệ

thức này cho thấy có mối liên hệ giữa giá Quyền chọn Mua và giá Quyền chọn
Bán châu Âu. Cũng từ hệ thức này cho thấy tồn tại một công thức kiểu Black
- Scholes cho giá Quyền chọn Bán châu Âu.
Bây giờ ta sử dụng công thức cặp đôi Mua - Bán nói trên để định giá cho
một hợp đồng Quyền chọn Bán châu Âu dựa trên một cổ phiếu với các giả
thiết như trên. Hệ thức cặp đôi Mua - Bán có thể được viết lại như sau
P = C −S +e
−rτ
X.
Giá Quyền chọn Mua C được tính theo công thức Black - Scholes, nên ta được
P = SN(d
1
) −e
−rτ
XN(d
2
) −S + e
−rτ
X
Ta có N(d
1
) + N(−d
1
) = N(d
2
) + N(−d
2
) = 1. Do vậy
P = −SN(−d
1

) −e
−rτ
XN(d
2
) (1.7)
trong đó,
d
1
=
1
σ
√
τ
[ln
S
t
X
+ (r + σ
2
/2)τ]
d
2
= d
1
−σ
√
τ
τ = T −t
Đây chính là công thức Black -Scholes cho Quyền chọn Bán châu Âu.
CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ QUYỀN CHỌN VÀ MÔ HÌNH ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN 17

1.5 Phương pháp mác-tin-gan định giá Quyền chọn
Mác-tin-gan ra đời đã có nhiều thay đổi lớn trong toán học nói chung và với
toán tài chính nói riêng. Mác-tin-gan đã cung cấp cho chúng ta một cách thức
tiếp cận khác đối với lĩnh vực toán tài chính. Bây giờ chúng ta giới thiệu cách
sử dụng mác-tin-gan để tiếp cận việc định giá một hợp đồng Quyền chọn.Trong
việc định giá Quyền chọn, ta phải thay đổi độ đo xác suất P sang một độ đo
khác. Bởi vì bản thân giá cổ phiếu S
t
chưa phải là mác-tin-gan dưới độ đo ban
đầu.
1.5.1 Độ đo tương đương
Định nghĩa 1.1. Giả thử (Ω,P,F ) là không gian xác suất. Một độ đo xác suất
Q trên (Ω,F ) được gọi là liên tục tuyệt đối theo P nếu
A ∈ F ,P(A) = 0 ⇒ Q(A) = 0
Q được gọi là tương đương với P nếu
A ∈ F ,P(A) = 0 ⇔ Q(A) = 0.
Định lý dưới đây khẳng định sự tồn tại một độ đo Q liên tục tuyệt đối theo
độ đo P cho trước.
Định lý 1.1. Xét (Ω,P,F ) là một không gian xác suất và Q là một độ đo xác
suất trên (Ω,F ). Khi đó Q liên tục tuyệt đối theo P khi và chỉ khi tồn tại một
biến ngẫu nhiên không âm Z sao cho
∀A ∈ F ,Q(A) =

A
Z(ω)dP(ω) (1.8)
Z ở trong định lý nói trên được gọi là mật độ hay còn gọi là đạo hàm Radon -
Nikodyn của Q theo P và kí hiệu Z =
dQ
dP
.

Quá trình đạo hàm Radon - Nikodyn Z
t
được định nghĩa là
Z
t
= E(Z|F
t
),0 ≤t ≤ T, (1.9)
có thể viết như
dQ
dP



F
t
= Z
t
.
Thì Z
t
là P−mác-tin-gan. Thật vậy với mọi 0 ≤ s < t ≤ T ta có
E(Z
t
|F
s
) = E

E(Z|F
t

)|F
s

= E(Z|F
s
) = Z
s