Tích phân ngẫu nhiên ITO và toán tử ngẫu nhiên trong không gian Banach

đại học quốc gia h nội
trờng đại học khoa học tự nhiên







Nguyễn Thịnh







Tích phân ngẫu nhiên Ito v toán tử
ngẫu nhiên trong không gian Banach










Luận án tiến sĩ Toán học

Hà Nội-2006

đại học quốc gia h nội
trờng đại học khoa học tự nhiên





Nguyễn Thịnh




Tích phân ngẫu nhiên Ito v toán tử
ngẫu nhiên trong không gian Banach

Chuyên nghành: Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học
Mã số: 62 46 15 01



Luận án tiến sĩ Toán học




Ngời hớng dẫn khoa học:
PGS.TSKH. Đặng Hùng Thắng








Hà Nội-2006

Mục lục
Lờicamđoan 1
Lờicảmơn 2
Mụclục 3
Mởđầu 5
1 Độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss v tích phân ngẫu nhiên Wiener
vô hạn chiều 11
1.1 Biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach . . . . 12

1.2 Độ đo véc tơ v tích phân của hm nhận giá trị toán tử đối với
độđovéctơ 14
1.2.1 Độđovéctơ 14
1.2.2 TíchphânBochner 16
1.2.3 Tích phân của một hm nhận giá trị toán tử đối với
mộtđộđovéctơ 16
1.3 Độ đo véc tơ ngẫu nhiên v tích phân ngẫu nhiên của hm tất
địnhđốivớiđộđovéctơngẫunhiên 18
1.4 ĐộđovéctơngẫunhiênGauss 20
1.5 Tích phân ngẫu nhiên Wiener đối với độ đo véc tơ ngẫu nhiên
Gaussđốixứng 24
1.6 Martingale nhận giá trị trong không gian Banach . . . . . . 25
3
2 Tích phân ngẫu nhiên Ito vô hạn chiều v công thức Ito 27
2.1 Tích phân ngẫu nhiên của hm ngẫu nhiên nhận giá trị toán
tửđốivớiđộđovéctơngẫunhiênGauss 27
2.2 Biến phân bình phơng của độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss
đốixứng 41
2.3 QuátrìnhItovcôngthứcIto 46
3 Toán tử ngẫu nhiên giữa các không gian Banach 58
3.1 Khái niệm của toán tử ngẫu nhiên bị chặn, ví dụ v các tính
chấttổngquát 58
3.2 Các điều kiện để một toán tử ngẫu nhiên l bị chặn . . . . . 65
3.3 Nguyên lý bị chặn đều không có hiệu lực cho toán tử ngẫu
nhiênbịchặn 71
3.4 Tháctriểncủatoántửngẫunhiênbịchặn 75
Về các nghiên cứu tiếp theo 83
Kếtluận 93
Tiliệuthamkhảo 96
Phụlục 100

4
Mở đầu
Trong hơn ba thế kỷ qua, với công lao đóng góp của nhiều thế hệ các nh
toán học, giải tích toán học đã trở thnh một lĩnh vực toán học lớn với những
chuyên ngnh nh: phép tính vi tích phân, phơng trình vi phân, phơng
trình đạo hm riêng, lý thuyết các toán tử tuyến tính, Nó cung cấp cho
nhiều ngnh khoa học v kỹ thuật một công cụ hết sức đắc lực để xử lý v
tính toán các mô hình tất định.
Tuy nhiên, chúng ta đang sống trong một thế giới chịu nhiều tác động của
nhân tố ngẫu nhiên. Phần lớn các hệ động lực, các quá trình trong tự nhiên
l các hệ động lực ngẫu nhiên v quá trình ngẫu nhiên. Thnh thử để phản
ánh thực tế đúng đắn hơn, ngoi việc nghiên cứu các mô hình tất định, việc
nghiên cứu các mô hình ngẫu nhiên l một tất yếu v cần thiết.
Trong vi chục năm gần đây, một mặt do nhu cầu phát triển nội tại của
toán học, mặt khác nhằm cung cấp một ngôn ngữ, một công cụ cho phép mô
tả, phân tích, dự báo v điều khiển các mô hình ngẫu nhiên, giải tích ngẫu
nhiên đã ra đời với các lý thuyết về độ đo ngẫu nhiên, tích phân ngẫu nhiên,
phơng trình vi phân ngẫu nhiên, toán tử ngẫu nhiên, điểm bất động ngẫu
nhiên, hệ động lực ngẫu nhiên Trong các hớng nghiên cứu của giải tích
ngẫu nhiên, việc nghiên cứu giải tích ngẫu nhiên vô hạn chiều cũng đợc
nhiều tác giả quan tâm do sự phát triển nội tại của giải tích ngẫu nhiên cũng
nh do sự xuất hiện của nhiều bi toán thực tiễn đòi hỏi cách tiếp cận vô hạn
chiều. Cần chú ý rằng để nghiên cứu giải tích ngẫu nhiên trên không gian
vô hạn chiều, ngời ta cần phải có những phơng pháp mới v dụng cụ mới
khác so với việc nghiên cứu giải tích ngẫu nhiên hữu hạn chiều. Bởi lẽ rằng
những phơng pháp v dụng cụ cơ bản của xác suất trên không gian hữu hạn
chiều khi mở rộng sang không gian vô hạn chiều thì không còn hiệu lực nữa.
Về mặt lịch sử, tích phân ngẫu nhiên đầu tiên trong lý thuyết xác suất l
tích phân của một hm tất định đối với chuyển động Brown do Wiener đa
ra vo năm 1923. Tích phân ny đợc gọi l tích phân Wiener. Tích phân

Wiener có thể nhìn nhận nh l tích phân của một hm tất định thực đối với
1
độ đo ngẫu nhiên Wiener - một độ đo ngẫu nhiên giá trị thực sinh bởi chuyển
động Brown. T tởng về độ đo ngẫu nhiên giá trị thực lần đầu tiên xuất
hiện trong công trình của Bochner. Các tác giả nh Urbanik-Woyczynski,
Hoffman-Jorgensen, Okazaki, Rosinski, Đ.H.Thắng, lần lợt đa ra
những khái niệm về độ đo ngẫu nhiên ngy cng tổng quát hơn v xét tích
phân của các hm tất định thực đối với những độ đo ngẫu nhiên đó.
Chơng 1 có tiêu đề "Độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss v tích phân ngẫu
nhiên Wiener vô hạn chiều". Chơng ny sẽ trình by một cách tóm lợc
nhất để lm quen với định nghĩa, các kết quả cơ bản về độ đo véc tơ ngẫu
nhiên Gauss đối xứng với giá trị trong không gian Banach vô số chiều. Các
kết quả ny sẽ đợc sử dụng thờng xuyên ở chơng 2.
Nhu cầu của toán học cũng nh thực tiễn đòi hỏi phải thực hiện quá trình
lấy tích phân không chỉ cho các hm tất định m cả cho các hm ngẫu nhiên.
Năm 1942 nh toán học Ito đã xây dựng quá trình tích phân cho một hm
ngẫu nhiên phù hợp đối với chuyển động Brown. Tích phân ny đợc gọi l
tích phân ngẫu nhiên Ito. Tích phân Ito v công thức Ito đóng một vai trò đặc
biệt quan trọng trong giải tích ngẫu nhiên tơng tự nh tích phân Riemann v
công thức Newton-Leibniz trong giải tích cổ điển. Giải tích cổ điển nghiên
cứu vi tích phân trong không gian hữu hạn chiều, giải tích ngẫu nhiên nghiên
cứu phép tính vi tích phân ngẫu nhiên. Sự khác nhau cơ bản giữa giải tích
cổ điển v giải tích ngẫu nhiên thực chất nằm ở sự khác nhau của công thức
đạo hm hm số hợp, trong môi trờng ngẫu nhiên công thức ny mang tên
Ito. Vi tích phân ngẫu nhiên Ito ngy cng đóng vai trò quan trọng, mô tả
ngy cng đúng v sát nhiều mô hình trong thực tế v có nhiều ứng dụng
thiết thực. Một trong những ứng dụng đáng chú ý của nó gần đây có thể kể
đến đó l nó trở thnh công cụ quan trọng trong nghiên cứu toán ti chính,
nh việc định nghĩa v nghiên cứu các mô hình Black-Scholes, Merton, Hull
and White,

Có nhiều hớng nghiên cứu mở rộng tích phân Ito. Một số tác giả muốn
xây dựng loại tích phân ngẫu nhiên m không cần giả thiết phù hợp, nh tích
2
phân Ogawa, tích phân Stratonovich, tích phân Skorokhod. Một hớng mở
rộng khác l xây dựng tích phân của hm ngẫu nhiên đối với các quá trình
ngẫu nhiên tổng quát hơn. Chẳng hạn lý thuyết về tích phân ngẫu nhiên của
các hm ngẫu nhiên khả đoán đối với một semimartingale đã đợc nhiều tác
giả ở Mỹ v Pháp quan tâm; lý thuyết về tích phân ngẫu nhiên đối với các
quá trình Brown phân thứ đợc một số tác giả quan tâm vì những dụng mới
của nó trong toán ti chính.
Chơng 2 có tiêu đề "Tích phân ngẫu nhiên Ito vô số chiều v công thức
Ito". Chơng ny dnh cho việc xây dựng tích phân Ito của hm ngẫu nhiên
giá trị toán tử đối với độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss, xây dựng một quá trình
ngẫu nhiên vô hạn chiều X
t
, kiểu Ito rất tổng quát v thiết lập công thức Ito
tơng ứng.
Giả sử X,Y l các không gian Banach. Cho trớc Z l độ đo ngẫu nhiên
Gauss đối xứng X-giá trị với độ đo covariance Q (đợc định nghĩa bởi
Đ.H.Thắng). Chúng tôi định nghĩa quá trình ngẫu nhiên X
t
Y -giá trị có dạng
X
t
= X
0
+

t
0

a(s, ) ds +

t
0
b(s, )ãdQ
s
+

t
0
c(s, )ãdZ
s
(0 t T)
v gọi đó l quá trình Ito Y -giá trị đối với độ đo ngẫu nhiên Z.Đểđịnh
nghĩa đợc quá trình ny, chúng tôi đã phải xây dựng khái niệm tích phân
ngẫu nhiên của một hm ngẫu nhiên L(X, Y )-giá trị đối với độ đo Z. Kết
quả quan trọng trong chơng ny l việc chứng minh công thức Ito vô số
chiều (Định lý 2.3.2). Để chuẩn bị cho việc thiết lập công thức ny, luận
án đã sử dụng công cụ tích tensor để lm rõ tác động của một toán tử song
tuyến tính lên một toán tử hạch v nghiên cứu biến phân ton phơng của độ
đo Z. Công thức biến phân ton phơng ny viết một cách hình thức có dạng
dZ

dZ = dQ.
Trong trờng hợp Z l độ đo Wiener X-giá trị v các không gian X, Y l
hữu hạn chiều ta thu đợc công thức Ito hữu hạn chiều (Hệ quả 2.3.4). Chú
ý rằng công thức ny cũng l mới vì cho tới nay ngời ta mới xét trờng hợp
công thức Ito hữu hạn chiều với quá trình Wiener nhiều chiều với các thnh
3
phần độc lập (tức l với độ đo ngẫu nhiên Wiener với độ đo covariance Q

dạng dQ = Rdt, trong đó R l ma trận đơn vị).
Trong giải tích cổ điển (không ngẫu nhiên) ta đã biết tích phân l một loại
toán tử tuyến tính đặc biệt v rất quan trọng. Lý thuyết toán tử tuyến tính
(tất định) đã đợc phát triển thnh một lý thuyết đồ sộ trong giải tích hm v
đã đợc áp dụng rất hiệu quả để nghiên cứu trong lý thuyết phơng trình vi
phân v phơng trình đạo hm riêng. Tơng tự nh vậy, tích phân ngẫu nhiên
l một loại toán tử ngẫu nhiên đặc biệt v rất quan trọng. Một toán tử ngẫu
nhiên A từ X vo Y l một phép tơng ứng mỗi x X một biến ngẫu nhiên
Ax nhận giá trị trong Y . Phép tơng ứng ny thoả mãn điều kiện tuyến tính
v liên tục theo một nghĩa xác suất no đó. Nh vậy khái niệm toán tử ngẫu
nhiên l một sự mở rộng "ngẫu nhiên" (hay sự ngẫu nhiên hoá) một cách rất
tự nhiên của khái niệm toán tử tuyến tính tất định. Toán tử ngẫu nhiên giữa
các không gian Hilbert đợc nghiên cứu hệ thống đầu tiên bởi Skorokhod v
đợc phát triển bởi Đ.H.Thắng. Theo sự hiểu biết của chúng tôi thì lý thuyết
về toán tử ngẫu nhiên mới đang ở giai đoạn đầu của sự phát triển v còn
nhiều vấn đề bỏ ngỏ. Nếu nh lý thuyết toán tử tuyến tính (tất định) đã trở
thnh một lâu đi đồ sộ, honh tráng trong giải tích, có rất nhiều ứng dụng
trong toán học cũng nh thực tiễn thì có cơ sở để hy vọng v tin tởng rằng
trong tơng lai lý thuyết toán tử ngẫu nhiên cũng sẽ có một hình hi, vị trí
xứng đáng v tầm quan trọng lớn lao trong giải tích ngẫu nhiên.
Chơng 3 có tiêu đề "Toán tử ngẫu nhiên giữa các không gian Banach".
Trong chơng ny chúng tôi dnh sự quan tâm cho lớp các toán tử ngẫu
nhiên bị chặn. Đó l một lớp con của lớp các toán tử ngẫu nhiên bị chặn
nhng lại l sự mở rộng rất gần gũi các toán tử tuyến tính tất định. Chúng tôi
đã thiết lập các điều kiện để một toán tử ngẫu nhiên l bị chặn. Một trong
những kết quả chính khá thú vị trong chơng ny l chỉ ra rằng nguyên lý
bị chặn đều (Định lý Banach-Steinhaus) cho họ các toán tử tuyến tính tất
định vẫn đúng cho họ các toán tử ngẫu nhiên (bị chặn theo nghĩa xác suất)
nhng đã không còn đúng cho họ các toán tử ngẫu nhiên bị chặn (bị chặn
4

theo nghĩa h.c.c.) (xem ví dụ 3.3.3 của luận án). Nếu nhìn tích phân Wiener
nh một toán tử ngẫu nhiên thì tích phân Ito, tích phân Ogawa, tích phân
Stratonovich v tích phân Skorokhod đều có thể xem nh l một cố gắng để
thác triển miền xác định của tích phân Wiener từ tập các hm tất định bình
phơng khả tích lên một lớp no đó các hm ngẫu nhiên có quỹ đạo bình
phơng khả tích. Chúng tôi đa ra một kiểu thác triển v chứng minh đợc
rằng một toán tử ngẫu nhiên bị chặn từ X sang Y (v chỉ có nó) mới có thể
thác triển miền xác định của nó lên ton bộ các biến ngẫu nhiên nhận giá trị
trong X đồng thời bảo ton các tính chất tuyến tính v liên tục của nó (Định
lý 3.4.5). Một hệ quả thú vị của định lý ny l: không thể thác triển miền xác
định của tích phân Wiener từ tập các hm tất định bình phơng khả tích lên
tất cả các hm ngẫu nhiên có quỹ đạo bình phơng khả tích.
Trong quá trình nghiên cứu hon thnh luận án, ngoi những kết quả đã
công bố, chúng tôi cũng tìm ra một số kết quả thú vị khác về toán tử ngẫu
nhiên tổng quát (không nhất thiết bị chặn). Nhng những kết quả đó cha
thnh một hệ thống hon chỉnh v mạch lạc nên chúng tôi chỉ mới trình by
ở những buổi seminar nhỏ.
Phần phụ lục nhỏ cuối luận án có tiêu đề "Về các nghiên cứu tiếp theo".
Trong chơng ny, chúng tôi đa ra một số vấn đề m chúng tôi cha giải
quyết hon chỉnh v kèm theo một số kết quả đã đạt đợc. Chúng tôi dnh
những vấn đề đó cho nghiên cứu sau luận án.
Các kết quả chủ yếu của luận án đã đợc báo cáo trong các hội nghị:
1. Hội nghị Khoa học của trờng Đông về Xác suất-Thống kê, Vinh
(2003),
2. Hội nghị nghiên cứu Khoa học Trờng Đại học Khoa học Tự nhiên
(2004),
3. Hội nghị Ton quốc về Xác suất Thống kê tại Ba Vì (2005).
V đợc công bố trong các công trình [1-5] đợc liệt kê trong "danh mục
các công trình đã công bố của tác giả liên quan đến luận án".
5

Chơng 1
Độ đo v éc tơ ngẫu nhi ên Gauss và tích
phân ngẫu nhiên Wiener vô hạ n chiều
Việc nghiên cứu tích phân ngẫu nhiên Ito cho hm ngẫu nhiên nhận giá trị
toán tử đối với độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss nhận giá trị trong không gian
Banach m chúng tôi đề cập đến trong chơng 2 có thể xem nh l sự mở
rộng tích phân của hm tất định đối với độ đo ngẫu nhiên Gauss (tích phân
Wiener vô số chiều) đợc định nghĩa bởi Đ.H.Thắng cho tích phân của các
hm ngẫu nhiên đối với độ đo ngẫu nhiên Gauss. Mặt khác đây cũng l việc
mở rộng vô hạn chiều cho tích phân Ito, do đó nó cần sự hỗ trợ từ rất nhiều
các kết quả khá trừu tợng trong không gian Banach, nh l: toán tử hạch,
tích tensor của 2 không gian Banach, hình học trong không gian Banach, độ
đo véc tơ, tích phân đối với độ đo véc tơ, độ đo véc tơ ngẫu nhiên v tích
phân ngẫu nhiên của hm tất định đối với độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss.
Trong chơng ny chúng tôi trình by một cách tóm lợc nhất khái niệm v
một số tính chất của độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss, khái niệm đợc sử dụng
thờng xuyên sau ny.
Cho X l không gian Banach, (T,) l một không gian đo đợc v
(, F, P) luôn l một không gian xác suất cơ sở.
Định nghĩa 1.5.1.
Một hm Z : L
X
0
(, F, P) đợc gọi l một độ đo ngẫu nhiên
Gauss đối xứng X-giá trị nếu
6
1. Với mỗi dãy (A
n
) các tập rời nhau trong thì Z(A
1

), Z(A
2
), ,
Z(A
n
) l các biến ngẫu nhiên X-giá trị độc lập v đối xứng;
2. Với mỗi dãy (A
n
) các tập rời nhau trong thì
Z



n=1
A
n

=


n=1
Z(A
n
) h.c.c theo tôpô chuẩn của X;
3. Với mỗi A thì Z(A) l biến ngẫu nhiên có phân bố Gauss đối
xứng.
Cho Z l độ đo ngẫu nhiên Gauss đối xứng X-giá trị. Hm tập Q xác
định trên đợc gọi l độ đo đặc trng của Z nếu Q(A) l toán tử
covariance của Z(A).
Chú ý rằng toán tử covariance của biến ngẫu nhiên X-giá trị L

2
X
()
l một phần tử trong không gian hạch N(X

,X) L(X

,X), đợc ký hiệu
l [,] v đợc xác định nh sau:
[,](a)=


()

(),a

dP() a X

. (1.1)
Định lý 1.5.3. Nếu X l không gian Banach loại 2 thì tồn tại một hằng số
C chỉ phụ thuộc vo không gian X sao cho với mỗi độ đo ngẫu nhiên Gauss
đối xứng X-giá trị Z ta có
EZ(A)
2
CQ(A) C|Q|(A)
trong đó Q l độ đo covariance v |Q| l biến phân của độ đo véc tơ Q.
Ví dụ 1.5.7 (Độ đo véc tơ ngẫu nhiên Wiener).
Cho trớc một toán tử R G(X) v l độ đo hữu hạn dơng trên (T,).
Lúc đó, tồn tại một độ đo ngẫu nhiên Gauss đối xứng X-giá trị W sao cho
mỗi A , toán tử covariance của W(A) l (A)R. Chúng ta gọi W l độ

đo ngẫu nhiên Wiener X-giá trị với tham số (, R).
7
Chơng 2
Tích phân n gẫu nhiên Ito vô hạn chiều
và công thức Ito
2.1 Tích phân ngẫu nhiên của hàm ngẫu nhiên nhận giá
trị toán tử đối với độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss
Đặt S l khoảng thực [0,T], l -đại số các tập Borel của S. Trong suốt
luận án ny, ta luôn giả sử rằng Z l một độ đo ngẫu nhiên Gauss đối xứng
X-giá trị trên S với độ đo covariance Q v độ đo Q có biến phân |Q| giới
nội.
Đặt L(X, Y ) l không gian các hm tuyến tính liên tục từ X vo Y .Tasẽ
xây dựng tích phân ngẫu nhiên Ito dạng

f ã dZ ,vớif l một hm ngẫu
nhiên phù hợp L(X, Y )-giá trị.
Từ độ đo Z ta xác định một họ tăng dần các -đại số F
t
A nh sau: F
t
l
-đại số sinh bởi các biến ngẫu nhiên X-giá trị Z(A) với A A [0,t].
Giả sử E l một không gian Banach no đó. Đặt M
1
(S, Z, E) l tập các hm
ngẫu nhiên xác định trên S, E-giá trị, f(t, ) thoả mãn:
1. f(t, ) phù hợp đối với Z,tứclf (t, ) l biến ngẫu nhiên F
t
-đo đợc
với mỗi t S.

2.

S
Ef(t, )
2
d|Q|(t) < .
8
Đặt M
2
(S, Z, E) l tập các hm ngẫu nhiên trên S, E-giá trị, f(t, ) sao cho
f(t, ) phù hợp đối với Z v P

:

S
f(t, )
2
d|Q|(t) <

=1.
Đặt M
0
(S, Z, E) l tập các hm đơn giản f M
1
(S, Z, E) có dạng
f(t, )=
n

i=0
f

i
()1
A
i
(t), (2.1)
trong đó: A
0
= {0}, A
i
=(t
i1
,t
i
] với 0=t
0
<t
1
<t
2
< ããã <t
n
= T ,
f
i
l F
t
i1
-đo đợc (1 i n)vf
0
l F

0
-đo đợc. Trong chơng ny ta
chủ yếu nghiên cứu các không gian hm ngẫu nhiên L(X, Y )-giá trị, để cho
thuận tiện ta ký hiệu M
0
:= M
0
(S, Z, L(X, Y )), M
1
:= M
1
(S, Z, L(X, Y ))
v M
2
:= M
2
(S, Z, L(X, Y )).
M
1
l không gian Banach với chuẩn của f M
1
đợc xác định nh sau:
f
2
:=

S
Ef(t, )
2
d|Q|(t).

M
2
l không gian Frechet space với chuẩn Frechet ã
s
của f M
2
l:
f
s
:= E

1
1+


f
2
d|Q|

1/2


f
2
d|Q|

1/2

.
Bổ đề 2.1.1. M

0
trù mật trong M
1
(với chuẩn ã)vM
0
trù mật trong M
2
(với chuẩn Frechet ã
s
).
Từ nay, để thuận tiện, nếu f L(X, Y ) v x X thì ta viết f ã x thay vì
viết f(x).
Đối với hm ngẫu nhiên đơn giản thì ta định nghĩa tích phân một cách thông
thờng, tức l nếu f M
0
có dạng (2.1) thì ta định nghĩa

S
f ã dZ =

T
0
f(t) ã dZ (t)=
n

i=1
f
i
ã Z(A
i

).
Bổ đề 2.1.2. Giả sử X, Y l các không gian Banach loại 2. Lúc đó tồn
tại một hằng số K>0 chỉ phụ thuộc vo không gian X sao cho với mọi
9
f M
0
, N, C > 0 thì những khẳng định sau l đúng.
E




f ã dZ



2
K

E f
2
d|Q|. (2.2)
P





T
0

f ã dZ



>C

P


T
0
f(t)
2
d|Q|(t) >N

+
KN
C
2
. (2.3)
Nếu X, Y l các không gian Banach loại 2 thìtừBổđề2.1.1vbấtđẳng
thức (2.2) ta định nghĩa đợc tích phân cho lớp hm M
1
nh l một ánh xạ
tuyến tính liên tục f

S
f ã dZ =

T

0
f(t, ) ã dZ (t) từ M
1
vo L
2
Y
().
Tơng tự, nếu X, Y l các không gian Banach loại 2 thì từ bất đẳng
thức (2.3) v Bổ đề 2.1.1, ta có thể định nghĩa tích phân ngẫu nhiên

f ã dZ cho hm ngẫu nhiên f M
2
nh l một ánh xạ tuyến tính liên tục
f

S
f ã dZ =

T
0
f(t, ) ã dZ (t) từ M
2
vo L
0
Y
().
Với 0 t T , ta định nghĩa

t
0

f(s) ã dZ(s)=

T
0
f(s)1
{st}
ã dZ (s).
Định lý 2.1.9. Giả sử |Q| không có nguyên tử. Nếu f M
2
thì quá trình
I(t)=

t
0
f(s) ã dZ (s) có bản sao liên tục. Hơn nữa tồn tại hằng số K>0
sao cho với mọi C, N > 0 ta có các khẳng định sau.
P

sup
0tT




t
0
f(s)ãdZ (s)

>C


K
C
2
E

T
0
f(t)
2
d|Q|(t), f M
1
.
P

sup
0tT




t
0
f(s)ãdZ (s)



>C

P


T
0
f(t)
2
d|Q|(t) >N

+
KN
C
2
,
f M
2
.
2.2 Biến phân bình phơng của độ đo véc tơ ngẫu nhiên
Gauss đối xứng
Đối với quá trình Wiener thực, công thức biến phân bình phơng của nó
đợc miêu tả bởi công thức dW
2
t
= dt. Trong chơng ny ta sẽ chứng tỏ
dZ (t)

dZ(t)=dQ(t).
10
Trớc tiên, khi quan sát giá trị của 2 vế của công thức trên ta nhận thấy rằng

vế trái nhận giá trị trong không gian tích tensor X

X trong khi vế phải thì
lại nhận giá trị trong không gian Banach N(X

,X). Tuy nhiên
Định lý 2.2.2. Nếu X l không gian phản xạ thì không gian X

X đẳng
cấu với không gian N(X

,X) qua ánh xạ J : X

X N(X

,X) đợc xác
định bởi
J(u)(a)=


i=n
(x
n
,a)y
n
(a X

)
nếu u =

n=1
x
n
y
n
.
Từ nay ta luôn giả thiết rằng X l không gian phản xạ. Lúc đó với mỗi
T N(X

,X) X

X v B(X, X; Y ) L(X

X, Y ), ta định nghĩa
tác động của lên T l (J
1
T ) v đợc ký hiệu l ã T , giá trị của nó nằm
trong không gian Banach Y .
Giả sử : 0=t
0
<t
1
< ããã <t
n
= T l một phân hoạch của S =[0,T].
Ký hiệu Z
i
:= Z
t

i
Z
t
i1
v f
i
:= f
t
i1
.
Định lý 2.2.5 (Biến phân bình phơng của độ đo véc tơ ngẫu nhiên
Gauss). Giả sử X l không gian phản xạ, X, Y l các không gian Banach
loại 2 v Z l một độ đo ngẫu nhiên Gauss đối xứng X-giá trị trên [0,T] với
độ đo covariance Q thoả mãn |Q| không có nguyên tử. f(t, ) l một hm
ngẫu nhiên B(X, X; Y )-giá trị phù hợp với Z v thoả mãn

T
0
Ef(t, )
2
d|Q|(t) < .
Lúc đó ta có,
n

i=1
f
i
(Z
i

Z
i
)

T
0
f(t) ã dQ(t) theo xác suất
khi || =max
i
|Q|(A
i
) 0.
Ta mô tả Định lý 2.2.5 bởi công thức
dZ (t)

dZ(t)=dQ(t).
11
Nếu W l quá trình Wiener X-giá trị với tham số (, R) thì ta có
dW (t)

dW (t)=R ã d(t).
2.3 Quá trình Ito và công thức Ito
Định nghĩa 2.3.1. Giả sử X, Y l các không gian Banach loại 2, X l không
gian phản xạ, Z l độ đo ngẫu nhiên Gauss đối xứng X-giá trị với độ đo
covariance Q v |Q| l biến phân của độ đo Q.
Quá trình ngẫu nhiên Y -giá trị X
t
đợc gọi l quá trình Ito Y -giá trị đối với
Z nếunócódạng
X

t
= X
0
+

t
0
a(s, ) ds +

t
0
b(s, ) ã dQ(s)+

t
0
c(s, ) ã dZ
s
,
trong đó a
t
l quá trình ngẫu nhiên Y -giá trị phù hợp với Z, b
t
l quá trình
ngẫu nhiên B(X, X; Y )-giá trị phù hợp với Z, c
t
l quá trình ngẫu nhiên
L(X, Y )-giá trị phù hợp với Z v thoả mãn
P{ :

T

0
a(t, ) dt < }=1,
P{ :

T
0
b(t, ) d|Q|(t) < }=1,
P{ :

T
0
c(t, )
2
d|Q|(t) < }=1.
Trong trờng hợp ny ta nói X
t
có vi phân Ito dX
t
cho bởi
dX
t
= adt+ b ã dQ
t
+ c ã dZ
t
.
Định lý 2.3.2 (công thức Ito tổng quát vô hạn chiều).
Giả sử X,Y, E l các không gian Banach loại 2, X phản xạ, Z l một độ đo
ngẫu nhiên Gauss đối xứng X-giá trị trên [0,T] với độ đo covariance Q v
X

t
l một quá trình Ito Y -giá trị đối với Z,
dX
t
= adt+ b ã dQ
t
+ c ã dZ
t
.
12
Cho g :[0, ) ì Y E l một hm khả vi liên tục đối với biến thứ nhất v
khả vi liên tục cấp 2 đối với biến thứ hai (khả vi mạnh). Đặt Y
t
:= g(t, X
t
).
Lúc đó Y
t
sẽ l một quá trình Ito E-giá trị đối với Z v
dY
t
=

g
t
+
g
x
a

dt +

g
x
b +
1
2

2
g
x
2
c
2

ã dQ
t
+

g
x
c

ã dZ
t
,
trong đó c L(X, Y ), c
2
l kí hiệu của ánh xạ từ X ì X vo Y ì Y đợc
định nghĩa bởi c

2
(x
1
,x
2
)=(cx
1
,cx
2
) (x
1
,x
2
X)vu v l phép tác động
hợp thnh của các ánh xạ u v v.
Ta xét một trờng hợp riêng của Định lý 2.3.2 bằng cách thay độ đo ngẫu
nhiên Gauss đối xứng X-giá trị bởi độ đo ngẫu nhiên Wiener X-giá trị W
với các tham số (, R) ( l độ đo Lebesgue). Trong trờng ny dQ = Rdt.
Vì vậy quá trình Ito X
t
đối với độ đo ngẫu nhiên Wiener X-giá trị W sẽ có
dạng
dX
t
= adt+ b ã dW
t
,
trong đó a(s, ) l hm ngẫu nhiên phù hợp Y -giá trị v b(s, ) l hm ngẫu
nhiên phù hợp L(X, Y )-giá trị xác định trên [0,T].TừĐịnhlý2.3.2tanhận
đợc

Hệ quả 2.3.3.
Giả sử X, Y, E l các không gian Banach loại 2, X l không gian phản xạ,
W l độ đo ngẫu nhiên Wiener X-giá trị xác định trên ([0,T], B[0,T]) với
các tham số (, R) v X
t
l một quá trình Ito Y -giá trị với vi phân
dX
t
= adt+ b ã dW
t
.
Cho g :[0, ) ì Y E l một hm khả vi liên tục đối với biến thứ nhất v
khả vi liên tục cấp 2 đối với biến thứ hai (khả vi mạnh). Đặt Y
t
:= g(t, X
t
).
Lúc đó Y
t
sẽ l một quá trình Ito E-giá trị đối với Z v
dY
t
=

g
t
+
g
x
a +

1
2


2
g
x
2
b
2

ã R

dt +

g
x
b

ã dW
t
. (2.4)
13
Ta tiếp tục xét một trờng hợp riêng của Bổ đề 2.3.3 khi X, Y, E l các
không gian hữu hạn chiều.
Giả sử X = R
n
, Y = R
d
, E = R

k
, R =(r
i,j
) một ma trận xác định
không âm cấp n ì n.GọiW l một độ đo ngẫu nhiên Wiener X-giá trị xác
định trên ([0,T], B[0,T]) với các tham số (, R). Lúc đó (A)R chính l
ma trận covariance của véc tơ ngẫu nhiên n chiều W(A),vớiA B[0,T].
Giả sử X
t
l quá trình Ito d-chiều với
dX
t
= adt+ b ã dW
t
,
trong đó a =(a
i
(t)) l hm ngẫu nhiên phù hợp d-chiều, b =(b
i,j
(t)) l
matrận ngẫu nhiên phù hợp d ì n chiều thoả mãn
P{ :

T
0
|a
i
(t, )| dt < } =1,
P{ :

T
0
|b
i,j
(t, )|
2
dt < } =1.
Lúc đó ta có hệ quả sau.
Hệ quả 2.3.4 (Công thức Ito nhi ều chiều).
Nếu g(t, x):[0, ) ì R
d
R
k
l hm thoả mãn điều kiện của Bổ đề 2.3.3
v Y
t
= g(t, X
t
) thì Y
t
l quá trình Ito k-chiều v
dY
t
=

g
t
+
g
x

ì a +
1
2
d

i=1
d

j=1

2
g
x
i
x
j
(b ì R ì b

)
i,j

dt
+
g
x
ì b ì dW
t
(2.5)
trong đó (ì) l ký hiệu tích của các ma trận, b

l ma trận chuyển vị của b
v b
i,j
l phần tử dòng i cột j của ma trận b.
Đặc biệt, nếu W l quá trình Wiener với các thnh phần độc lập thì ma
trận covariance R trở thnh ma trận đơn vị v thay vo (2.5) ta thu đợc công
thức Ito thông thờng m ta đã biết.
14
Chơng 3
Toán tử ngẫu nhiên giữa các không gian
Banach
Toán tử ngẫu nhiên l một khái niệm ngẫu nhiên hoá rất tự nhiên của khái
niệm toán tử trong giải tích hm. Một toán tử ngẫu nhiên từ X vo Y khi tác
động lên một phần tử trong miền xác định X thì ảnh của nó (output) không
phải l một phần tử cố định trong Y nh trong khái niệm toán tử nữa m l
một phần tử ngẫu nhiên trong không gian Y . Một câu hỏi tự nhiên đợc đặt
ra đó l: các tính chất cơ bản của lý thuyết toán tử (tất định) trong môi trờng
ngẫu nhiên sẽ nh thế no, liệu nó có thể áp dụng cho các toán tử ngẫu nhiên
hay không? Trong chơng ny chúng tôi nghiên cứu về toán tử ngẫu nhiên,
trong đó tập trung vo những vấn đề cơ bản nh: nghiên cứu tính bị chặn,
nguyên lý bị chặn đều v mở rộng miền xác định.
3.1 Khái niệm của toán tử ngẫu nhiên bị chặn, ví dụ và các
tính chất tổng quát
Giả sử X, Y l các không gian Banach khả ly.
Định nghĩa 3.1.1. 1. Một ánh xạ từ X vo L
Y
0
() đợc gọi l một ánh xạ
ngẫu nhiên từ X vo Y .
2. Một toán tử ngẫu nhiên từ X vo Y l một ánh xạ ngẫu nhiên từ X vo

Y có tính chất tuyến tính v liên tục ngẫu nhiên. Tức l:
15
Với mỗi x
1
,x
2
X,
1
,
2
R ta có
A(
1
x
1
+
2
x
2
)=
1
A(x
1
)+
2
A(x
2
) h.c.c.,
v p-lim
xx

0
Ax = Ax
0
.
3. Họ các biến ngẫu nhiên (u
i
,i I) đợc gọi l bị chặn theo xác suất
nếu lim
t
sup
iI
P {u
i
>t} =0, v đợc gọi l bị chặn h.c.c.
nếu tồn tại một biến ngẫu nhiên thực k() sao cho với mọi i I thì
u
i
() k() h.c.c.
Mệnh đề 3.1.2. Một ánh xạ tuyến tính ngẫu nhiên A từ X vo Y l một toán
tử ngẫu nhiên khi v chỉ khi tập các biến ngẫu nhiên {Ax, x B} bị chặn
theo xác suất, trong đó B l hình cầu đơn vị của X.
Định nghĩa 3.1.3. Toán tử ngẫu nhiên A đợc gọi l bị chặn nếu họ
{Ax, x B} bị chặn h.c.c., tức l tồn tại một biến ngẫu nhiên thực k() sao
cho với mỗi x B thì Ax() k() h.c.c.
Chúng ta xét một số ví dụ về toán tử ngẫu nhiên bị chặn v toán tử ngẫu
nhiên không bị chặn.
Ví dụ 3.1.4. Cho T
1
, , T
n

L(X, Y ) v
1
, ,
n
l các biến ngẫu nhiên
thực. Lúc đó ánh xạ ngẫu nhiên A từ X vo Y đợc định nghĩa bởi
Ax()=
n

k=1

k
()T
k
x
l toán tử ngẫu nhiên bị chặn.
Ví dụ 3.1.5. Giả sử K(s, t, ) l hm ngẫu nhiên với các quỹ đạo l hm
liên tục xác định trên hình vuông đơn vị [0, 1] ì [0, 1] .Vớimỗihm
x(t) C[0, 1] ta định nghĩa
Ax(t, )=

1
0
K(t, s, )x(s)ds.
Lúc đó A l toán tử ngẫu nhiên bị chặn.
16
Ví dụ 3.1.6. A l một ánh xạ tuyến tính ngẫu nhiên từ L
2
[0, 1] vo C[0, 1]
đợc xác định bởi

Ax(t)=

t
0
x(s)dW (s).
Lúc đó A l toán tử ngẫu nhiên nhng không bị chặn.
3.2 Các điều kiện để một toán tử ngẫu nhiên là bị chặn
Định lý 3.2.1. Một toán tử ngẫu nhiên A từ X vo Y l bị chặn nếu v chỉ
nếu tồn tại ánh xạ T : L(X, Y ) sao cho
Ax()=T()x h.c.c. (3.1)
ánh xạ T : L(X, Y ) thoả mãn T () đo đợc v nếu L(X, Y ) l
không gian khả ly thì T l biến ngẫu nhiên L(X, Y )-giá trị, tuy nhiên nói
chung ánh xạ T không l biến ngẫu nhiên L(X, Y )-giá trị.
Nhận xét. Nếu A l một toán tử ngẫu nhiên bị chặn từ X vo Y thì
k()=T () l biến ngẫu nhiên nhỏ nhất (h.c.c.) thoả mãn:
Ax() k()x h.c.c. x X. (3.2)
V từ nay ta sẽ kí hiệu A thay cho T () .
Hệ quả 3.2.4. Cho X l không gian Banach với cơ sở Shauder (e
n
), (e

n
) l
cơ sở tơng ứng trên X

v A l một toán tử ngẫu nhiên từ X vo Y . Lúc đó
A l bị chặn khi v chỉ khi tồn tại một tập D với xác suất 1 sao cho với mọi
D, x X, chuỗi

k=1
(x, e

k
)Ae
k
() hội tụ trong Y .
Định lý 3.2.5. Giả sử X = l
p
(1 p<) v A l một toán tử ngẫu nhiên
từ X vo Y
1. Điều kiện cần cho tính bị chặn của A l
sup
n
Ae
n
< h.c.c. (3.3)
17
2. Với p>1:A bị chặn nếu


n=1
Ae
n

q
< h.c.c., (3.4)
với (e
n
) l cơ sở chuẩn tắc của l

p
v q l số liên hợp của p.
Nói chung (3.4) không l điều kiện cần, tuy nhiên nếu Y hữu hạn chiều
thì điều kiện (3.4) cũng l điều kiện cần.
3. Với p =1: điều kiện (3.3) cũng l đủ cho tính bị chặn của A.
3.3 Nguyên lý bị chặn đều không có hiệu lực cho toán tử
ngẫu nhiên bị chặn
Nguyên lý bị chặn đều l một định lý rất cơ bản v quan trọng trong giải
tích hm. Nguyên lý đó phát biểu rằng một họ các toán tử bị chặn điểm thì
sẽ bị chặn đều, ta sẽ chỉ ra rằng tính chất đó vẫn đúng cho các toán tử ngẫu
nhiên (bị chặn theo xác suất) nhng không đúng cho các toán tử ngẫu nhiên
bị chặn (bị chặn h.c.c.).
Mệnh đề 3.3.1. Giả sử {A
i
,i I} l một họ toán tử ngẫu nhiên từ X vo
Y sao cho với mỗi x X thì họ {A
i
x, i I} bị chặn theo xác suất. Lúc đó
họ {A
i
x, i I,x B} cũng bị chặn theo xác suất, trong đó B l hình cầu
đơn vị của X.
Mệnh đề 3.3.2. Giả sử A
n
l dãy toán tử ngẫu nhiên từ X vo Y sao cho với
mỗi x X thì tồn tại p-lim
n
A
n
x = Ax. Lúc đó ánh xạ ngẫu nhiên x Ax

l một toán tử ngẫu nhiên.
Bây giờ ta xét {A
i
,i I} l một họ toán tử ngẫu nhiên bị chặn. Giả sử
với mỗi x X, họ các biến ngẫu nhiên {A
i
x, i I} bị chặn h.c.c. Câu hỏi
đợc đặt ra l liệu có suy ra đợc họ {A
i
x, i I,x X} có bị chặn h.c.c.
không?. Ta đa ra một ví dụ sau đây cho thấy điều ny l không đúng.
18
Ví dụ 3.3.3. Đặt X = l
p
(1 <p<2) v H l không gian Hilbert vô hạn
chiều. Theo Định lý yếu Dvoretzksky-Rogers, tồn tại một dãy (y
n
) H sao
cho


n=1
|(y
n
,y)|
p
< y H v


n=1

y
n

p
= .
Với mỗi x X đặt
x =


n=1

n
y
n
(x, e
n
).
Ký hiệu I l hình cầu đơn vị của không gian X v B l hình cầu đơn vị của
H.Vớimỗix H ta xác định một ánh xạ tuyến tính ngẫu nhiên A
x
từ H
vo R nh sau
A
x
y =(x, y).
Ta chứng minh đợc (A
x
,x I) l họ các toán tử ngẫu nhiên bị chặn
(A
x

,x I) có tính chất bị chặn điểm nhng không bị chặn đều.
Giả sử (A
n
) l một dãy các toán tử ngẫu nhiên bị chặn từ X vo Y sao
cho với mỗi x X tồn tại lim A
n
x = Ax h.c.c. trong chuẩn của không gian
Y . Theo Mệnh đề 3.3.2 thì ánh xạ x Ax l một toán tử ngẫu nhiên. Tuy
nhiên, không nh trờng hợp các toán tử tuyến tính tất định, ta không suy ra
đợc A l toán tử ngẫu nhiên bị chặn. Ta đa ra phản ví dụ sau.
Ví dụ 3.3.4. Giả sử (
k
) l dãy các biến ngẫu nhiên thực độc lập Gauss
chuẩn tắc. Với mỗi n, ánh xạ ngẫu nhiên A
n
từ l
2
vo R đợc xác định bởi
A
n
x =
n

k=1

k
(x, e
k
).
l một toán tử ngẫu nhiên bị chặn v với mỗi x X = l

2
thì tồn tại
lim A
n
x = Ax h.c.c. Tuy nhiên sup
n
|Ae
n
| =sup
n
|
n
| = h.c.c., do đó
A không bị chặn.
3.4 Thác triển của toán tử ngẫu nhiên bị chặn
Nếu A l một toán tử ngẫu nhiên thì miền tác động của nó l các phần
tử tất định thuộc không gian X. Để thác triển miền tác động của nó lên các
19
biến ngẫu nhiên X-giá trị thì ta có một cách tự nhiên đợc dùng phổ biến
trong định nghĩa tích phân nh sau.
Nếu u l một biến ngẫu nhiên đơn giản X-giá trị có dạng
u()=
n

i=1
1
E
i
x
i

(3.5)
thì ta định nghĩa

Au =
n

i=1
1
E
i
Ax
i
. (3.6)
Nếu u l biến ngẫu nhiên X-giá trị bất kỳ thì tồn tại một dãy các biến ngẫu
nhiên đơn giản (u
n
) hội tụ đến u theo xác suất. Nếu

Au
n
cũng hội tụ theo
xác suất đến một biến ngẫu nhiên no đó v giới hạn ny không phụ thuộc
vo cách chọn dãy xấp xỉ u
n
thì ta định nghĩa

Au = p- lim

Au
n

.
Định nghĩa 3.4.1. Một toán tử ngẫu nhiên A từ X vo Y đợc gọi l thác
triển đợc nếu tồn tại một ánh xạ

A từ L
X
0
() vo L
Y
0
() thoả mãn
1. Nếu u l một biến ngẫu nhiên đơn giản X-giá trị có dạng (3.5) thì

A
thoả mãn (3.6)
2. Nếu (u
n
) l dãy các biến ngẫu nhiên đơn giản v p-lim
n
u
n
= u thì
p-lim
n

Au
n
=

Au.

Lúc đó ánh xạ

A đợc gọi l thác triển của A.
Mệnh đề 3.4.2. Nếu toán tử ngẫu nhiên A thác triển đợc thì thác triển đó
l duy nhất v nếu

A l thác triển của A thì

A l ánh xạ tuyến tính liên tục
giữa từ không gian L
X
0
() vo không gian L
Y
0
() theo nghĩa sau:
Với mỗi u, v L
0
X
(), , L
0
() ta có

A(u + v)=

Au +

Av h.c.c.
Nếu p-lim
n

u
n
= u thì p-lim
n

Au
n
=

Au.
Định lý 3.4.3. Nếu A l toán tử ngẫu nhiên bị chặn thì A thác triển đợc.
20
Mệnh đề 3.4.4. Nếu

A l thác triển của toán tử ngẫu nhiên bị chặn A thì

Au()=T()u() h.c.c. (3.7)
trong đó T l ánh xạ xác định nh trong Định lý 3.2.1.
Định lý 3.4.5. Toán tử ngẫu nhiên A có thác triển khi v chỉ khi A bị chặn.
Nhận xét. Cho A l ánh xạ tuyến tính ngẫu nhiên từ L
2
[0, 1] vo R xác định
bởi
Ax(t)=

1
0
x(s)dW (s).
Vì A không bị chặn. nên theo Định lý 3.4.5 ta không thể thác triển miền xác
định của tích phân ngẫu nhiên Wiener

1
0
x(s)dW (s) lêntonbộcáchm
ngẫu nhiên u(t, ) với quỹ đạo trong L
2
[0, 1].
Ta biết rằng giới hạn điểm của một dãy toán tử ngẫu nhiên bị chặn cha
chắc đã l toán tử ngẫu nhiên bị chặn. Định lý sau cho ta một điều kiện đủ
để toán tử giới hạn l một toán tử ngẫu nhiên bị chặn.
Định lý 3.4.6. Cho (A
n
) l một dãy các toán tử ngẫu nhiên bị chặn sao cho
với mỗi x X,tồntạip-lim A
n
x = Ax. Nếu các biến ngẫu nhiên (A
n
) bị
chặn theo xác suất thì toán tử giới hạn A l một toán tử ngẫu nhiên bị chặn.
Chú ý rằng ta đa ra đợc phản ví dụ chứng tỏ điều kiện (A
n
) bị chặn
theo xác suất không l điều kiện cần.
21