phương pháp tính tích phân
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (643.45 KB, 6 trang )
1
ĐỊNH LÍ 1: Nếu hàm số
y F x
là nguyên hàm của hàm số
y f x
thì hàm số
y F x c
cũng là nguyên hàm của hàm số
y f x
.
Khi đó ta có:
f x dx F x c
với
c
là hằng số.
ĐỊNH LÍ 2: Cho các hàm số
,u u x v v x
xác định trên
K
. Khi đó ta có:
1.
u v dx udx vdx
2.
kvdx k vdx
, với
k
là hằng số.
Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp
Hàm số
Nguyên hàm
Hàm số
Nguyên hàm
1
xc
k
kx c
x
1
1
1
xc
ax b
1
1
1
ax b c
a
1
x
ln xc
1
ax b
1
ln ax b c
a
1
2 x
xc
1
2 ax b
1
ax b c
a
sin x
cosxc
sin ax b
o
1
csa
a
x b c
cosx
sin xc
cos ax b
1
sin ax b c
a
2
1
sin x
tanxc
2
sin
1
ax b
n
1
ta a
a
x b c
2
1
cos x
cot xc
2
cos
1
ax b
o
1
cta
a
x b c
x
e
x
ec
ax b
e
1
ax b
ec
a
TÍNH NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN SỬ
DỤNG BẢNG CÔNG THỨC
2
x
a
1
ln
x
ac
a
x
a
1
ln
x
ac
a
Trong đó:
c
là hằng số.
PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
◙ PHƯƠNG PHÁP 1 : Đổi biến số.
Dấu hiệu nhận biết khi dùng phương pháp đổi biến số.
1.
f x g x dx
, trong đó :
'g x f x
. Đặt
t g x
2.
f u x v x dx
, trong đó :
'u x v x
. Đặt
t u x
3.
,
m
f x f x dx
, đặt
m
t f x
4.
1
ln ,f x dx
x
, đặt
lntx
5.
22
,f x a x dx
, đặt
sinx ta
hoặc
cosx ta
6.
22
,f x x a dx
, đặt
sin
a
x
t
7.
22
,f x x a dx
, đặt
tanx ta
◙ PHƯƠNG PHÁP 2 : Từng phần
Khi không có dấu hiệu nào của đổi biến số, ta dùng công thức từng phần.
Công thức của từng phần :
udv uv vdu
Một số dấu hiệu cơ bản khi dùng phương pháp từng phần.
1.
sin xfx xd
, đặt
sin x
u f x
dxdv
2.
cos xfx xd
, đặt
cos x
u f x
dxdv
3.
x
fxe dx
, đặt
x
u f x
dv de x
4.
sin
x
de xx
, đặt
sin
x
xdx
ue
dv
5.
cos
x
de xx
, đặt
cos
x
xdx
ue
dv
6.
ln
x
dxe x
, đặt
ln
x
ux
dv e dx
3
7.
ln xf x xd
, đặt
lnux
dv f dxx
A. TÍCH PHÂN
Công thức Newton – leibnizt:
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
Tích phân từng phần:
bb
b
a
aa
udv uv vdu
Định lí quan trọng:
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
với
a c b
ba
ab
f x dx f x dx
Bài 1. Tính nguyên hàm của các hàm số sau:
1. f(x) = x
2
– 3x + 1/x
2. f(x) =
2.
4
+3
2
3. f(x) =
+
3
+
4
4. f(x) =
(
2
1)
2
2
5. f(x) = 2. Sin
2
2
6. f(x) = tan
2
x
7. f(x) = cos
2
x
8. f(x) =
1
2
+
2
9. f(x) = e
x
(e
x
– 1)
10. f(x) =
cos2
2
.
2
11. f(x) = 2 sin 3x. cos2x
12. f(x) = e
3x+1
13. f (x) =
1
2
4
14. f(x) =
1
2
3
15. f(x) = e
x
( 2+
2
)
Bài 2. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thỏa mãn điều kiện cho trước:
a) f(x) = x
3
– 4x +5; F(1) = 3
b) f(x)= 3 – 5 cos x; F() = 2
c) f(x) =
35
2
; F(e) = 1
d) f(x) =
2
+1
; F(1) = 3/2
e) f(x) =
3
1
2
; F(-2) =0
f) f(x) = x
+
1
; F(1) =-2
g) f(x) = sin2x.cosx; F’(
3
) = 0
Bài 3. Tính các tích phân sau:
1.
1
3
0
( 1)x x dx
2.
2
2
1
11
()
e
x x dx
xx
2.
3
1
2x dx
3.
2
1
1x dx
4.
2
3
(2sin 3 )x cosx x dx
5.
1
0
()
x
e x dx
6.
1
3
0
()x x x dx
7.
2
1
( 1)( 1)x x x dx
8.
2
3
1
(3sin 2 )x cosx dx
x
9.
1
2
0
( 1)
x
e x dx
10.
2
2
3
1
()x x x x dx
11.
2
1
( 1)( 1)x x x dx
12.
3
3
1
x 1 dx( ).
13.
2
2
2
-1
x.dx
x
5
14.
2
e
1
7x 2 x 5
dx
x
15.
x2
5
2
dx
x2
16.
2
2
1
x 1 dx
x x x
( ).
ln
17.
2
3
3
6
x dx
x
cos .
sin
18.
4
2
0
tgx dx
x
.
cos
19.
1
xx
xx
0
ee
ee
dx
20.
1
x
xx
0
e dx
ee
.
21.
2
2
1
dx
4x 8x
22.
3
xx
0
dx
ee
ln
.
23.
2
0
dx
1xsin
24. (ĐH-B-2003)
2
4
0
1 2sin
1 sin2
x
dx
x
25.
4
2
0
sin 2
4 cos
x
dx
x
26. (ĐH-A-2006)
4
22
0
sin2
cos 4sin
x
dx
xx
27.
ln3
3
0
1
x
x
e dx
e
28.
2
3
3
sin cos
sin cos
x x dx
xx
29.
1
3
2
0
1
x dx
x
30.
3
22
4
sin
os 1 cos
xdx
c x x
6
31.
1
0
1
x
dx
e
32. (ĐH-D-2005)
2
sin
0
cos cos
x
e x xdx
33.
6
0
sin 2 cos3x xdx
; 34.
2
3
cos cos5x xdx
35.
4
3
0
sin xdx
; 36.
3
4
0
cos x
37.
1
3
0
1
xdx
x
