phương pháp đổi biến số
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (703.47 KB, 8 trang )
1
1.Tìm nguyên hàm bằng phƣơng pháp đổi biến số.
Tính I =
dxxuxuf )(')].([
bằng cách đặt t = u(x)
Đặt t = u(x)
dxxudt )('
I =
dttfdxxuxuf )()(')].([
BÀI TẬP
Bài 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau
1. I
1
=
(+ 1)
3 2
3
2. I
2
=
2+2
3
3.
3
=
+2.
3
4.
5
=
.
(1+
3+2)
5.
6
=
2+1
Giải:
1. Đặt t =
3 2
3
= > x =
3
3
2
=> dx = -
3
2
2
I = -
3
2
3
3
2
+ 1.
2
=
3
4
5
3
6
=
3
4
5
4
4
7
7
+
=
3
4
(
32
7
3
7
5
(32)
4
3
4
) + C
2. Đặt t =
2+ 2
3
=> x=
3
2
2
3.
=
e
x
dx
e
2x
3.e
x
+2
đặt t = e
x
=> dt = e
x
dx
=
dt
t
2
3t+2
=
1
(2)
= ln
2
1
+ = ln
2
1
+
4. I
4
=
.
(1+
3+2)
Đặt t =
3+ 2 => ln x =
2
2
3
;
=
2
3
5. Đặt t = tan
2
; => dx =
2
1+
2
TÍNH NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
BẰNG PHƢƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
2
Sin x =
2
1+
2
Cos x =
1
2
1+
2
Bài 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: ( tự luyện )
1.
dxx )15(
2.
5
)23( x
dx
3.
dxx
25
4.
12x
dx
5.
xdxx
72
)12(
6.
dxxx
243
)5(
7.
xdxx .1
2
8.
dx
x
x
5
2
9.
dx
x
x
3
2
25
3
10.
2
)1( xx
dx
11.
dx
x
x
3
ln
12.
dxex
x 1
2
.
13.
xdxxcossin
4
14.
dx
x
x
5
cos
sin
15.
gxdxcot
16.
x
tgxdx
2
cos
17.
x
dx
sin
18.
x
dx
cos
19.
tgxdx
20.
dx
x
e
x
21.
3
x
x
e
dxe
22.
dx
x
e
tgx
2
cos
23.
dxx .1
2
24.
2
4 x
dx
25.
dxxx .1
22
26.
2
1 x
dx
27.
2
2
1 x
dxx
28.
1
2
xx
dx
29.
xdxx
23
sincos
30.
dxxx .1
31.
1
x
e
dx
32.
dxxx .1
23
2. Tính tích phân bằng phƣơng pháp đổi biến số
Phƣơng pháp: Một số dạng thường dùng phương pháp đổi biến số :
1.
f x g x dx
, trong đó :
'g x f x
. Đặt
t g x
2.
f u x v x dx
, trong đó :
'u x v x
. Đặt
t u x
3.
,
m
f x f x dx
, đặt
m
t f x
4.
1
ln ,f x dx
x
, đặt
lntx
5.
22
,f x a x dx
, đặt
sinx ta
hoặc
cosx ta
3
6.
22
,f x x a dx
, đặt
sin
a
x
t
7.
22
,f x x a dx
, đặt
tanx ta
Bài 1. Tính các tích phân sau
1.
2
2
+4
2
3
5
2.
2
1
5
2
3.
5
2
0
Giải:
1. I=
2
2
+4
2
3
5
Đặt t =
2
+ 4 => x
2
= t
2
– 4 => xdx = tdt
Đổi cận x =
5 => t = 3;
x = 2
3 => t = 4
I =
2
4
4
3
=
2
4
4
3
=
1
4
2
+2
|
3
4
=
1
4
5
3
2. =
2
1
5
2
Đặt t =
1 => e
x
= t
2
+1 => e
x
dx = 2tdt
Đổi cận x = ln 2 => t = 1; x = ln5 => t = 2
J = 2
2
+1
2
1
= 2
2
+ 1
2
1
= 2
3
3
+ |
1
2
=
20
3
3. =
5
2
0
Đặt t = sin x => dt = cos x dx
Đổi cận: x = 0 => t = 0; x =
2
=> t = 1
= (1
2
)
2
1
0
=
1 2
2
+
4
=
8
15
1
0
Bài 2. Tính các tích phân sau: ( tự luyện )
1.
2
32
3
sin xcos xdx
2.
2
23
3
sin xcos xdx
4
3.
2
0
sin
13
x
dx
cosx
3.
4
0
tgxdx
4.
4
6
cot gxdx
5.
6
0
1 4sin xcosxdx
6.
1
2
0
1x x dx
7.
1
2
0
1x x dx
8.
1
32
0
1x x dx
9.
1
2
3
0
1
x
dx
x
10.
1
32
0
1x x dx
11.
2
3
1
1
1
dx
xx
12.
1
2
0
1
1
dx
x
13.
1
2
1
1
22
dx
xx
14.
1
2
0
1
1
dx
x
15.
1
22
0
1
(1 3 )
dx
x
16.
2
sin
4
x
e cosxdx
17.
2
4
sin
cosx
e xdx
18.
2
1
2
0
x
e xdx
19.
2
32
3
sin xcos xdx
20.
2
sin
4
x
e cosxdx
21.
2
4
sin
cosx
e xdx
22.
2
1
2
0
x
e xdx
23.
2
32
3
sin xcos xdx
24.
2
23
3
sin xcos xdx
25.
2
0
sin
13
x
dx
cosx
5
26.
4
0
tgxdx
27.
4
6
cot gxdx
28.
6
0
1 4sin xcosxdx
29.
1
2
0
1x x dx
30.
1
2
0
1x x dx
31.
1
32
0
1x x dx
32.
1
2
3
0
1
x
dx
x
33.
1
32
0
1x x dx
34.
2
3
1
1
1
dx
xx
35.
1
1 ln
e
x
dx
x
36.
1
sin(ln )
e
x
dx
x
37.
1
1 3ln ln
e
xx
dx
x
38.
2ln 1
1
e
x
e
dx
x
39.
2
2
1 ln
ln
e
e
x
dx
xx
40.
2
2
1
(1 ln )
e
e
dx
cos x
41.
2
1
11
x
dx
x
42.
1
0
21
x
dx
x
43.
1
0
1x x dx
44.
1
0
1
1
dx
xx
45.
1
0
1
1
dx
xx
46.
3
1
1x
dx
x
46.
1
1 ln
e
x
dx
x
47.
1
sin(ln )
e
x
dx
x
48.
1
1 3ln ln
e
xx
dx
x
49.
2ln 1
1
e
x
e
dx
x
50.
2
2
1 ln
ln
e
e
x
dx
xx
51.
2
2
1
(1 ln )
e
e
dx
cos x
52.
1
23
0
5
x x dx
6
53.
2
4
0
sin 1 cos
x xdx
54.
4
2
0
4 x dx
55.
4
2
0
4 x dx
56.
1
2
0
1
dx
x
57.
dxe
x
0
1
32
58.
1
0
dxe
x
59.
1
3
0
x
dx
(2x 1)
60.
1
0
x
dx
2x 1
61.
1
0
x 1 xdx
62.
1
2
0
4x 11
dx
x 5x 6
63.
1
2
0
2x 5
dx
x 4x 4
64.
3
3
2
0
x
dx
x 2x 1
65.
6
66
0
(sin x cos x)dx
66.
3
2
0
4sin x
dx
1 cos x
67.
4
2
0
1 sin 2x
dx
cos x
68.
2
4
0
cos 2xdx
69.
2
6
1 sin 2x cos2x
dx
sin x cos x
70.
1
x
0
1
dx
e1
.
71.
dxxx )sin(cos
4
0
44
72.
4
0
2sin21
2cos
dx
x
x
73.
2
0
13cos2
3sin
dx
x
x
74.
2
0
sin25
cos
dx
x
x
75.
0
2
2
32
22
dx
xx
x
76.
1
1
2
52xx
dx
7
77.
2
32
0
cos xsin xdx
78.
2
5
0
cos xdx
79.
4
2
0
sin 4x
dx
1 cos x
80.
1
32
0
x 1 x dx
81.
2
23
0
sin 2x(1 sin x) dx
82.
4
4
0
1
dx
cos x
83.
e
1
1 ln x
dx
x
84.
4
0
1
dx
cos x
85.
e
2
1
1 ln x
dx
x
86.
1
5 3 6
0
x (1 x ) dx
87.
6
2
0
cosx
dx
6 5sin x sin x
88.
3
4
0
tg x
dx
cos2x
89.
4
0
cos sin
3 sin 2
xx
dx
x
90.
2
0
22
sin4cos
2sin
dx
xx
x
91.
5ln
3ln
32
xx
ee
dx
92.
2
0
2
)sin2(
2sin
dx
x
x
93.
3
4
2sin
)ln(
dx
x
tgx
94.
4
0
8
)1(
dxxtg
95.
2
4
2sin1
cossin
dx
x
xx
96.
2
0
cos31
sin2sin
dx
x
xx
97.
2
0
cos1
cos2sin
dx
x
xx
98.
2
0
sin
cos)cos(
xdxxe
x
99.
2
1
11
dx
x
x
100.
e
dx
x
xx
1
lnln31
101.
4
0
2
2sin1
sin21
dx
x
x
102.
1
2
0
1 x dx
8
103.
1
2
0
1
dx
1x
104.
1
2
0
1
dx
4x
105.
1
2
0
1
dx
x x 1
106.
1
42
0
x
dx
x x 1
107.
2
0
1
1 cos sin
dx
xx
108.
2
2
2
2
0
x
dx
1x
109.
2
22
1
x 4 x dx
110.
2
3
2
2
1
dx
x x 1
101.
3
2
2
1
9 3x
dx
x
112.
1
5
0
1
(1 )
x
dx
x
113.
2
2
2
3
1
1
dx
xx
114.
2
0
cos
7 cos 2
x
dx
x
115.
1
4
6
0
1
1
x
dx
x
116.
2
0
cos
1 cos
x
dx
x
117.
0
1
2
22xx
dx
118.
1
0
311 x
dx
119.
2
1
5
1
dx
x
xx
120.
8
2
3
1
1
dx
xx
121.
7
3
3
2
0
1
x
dx
x
122.
3
52
0
1x x dx
123.
ln2
x
0
1
dx
e2
124.
7
3
3
0
1
31
x
dx
x
125.
2
23
0
1x x dx
126.
32
5
2
4xx
dx
