SKKN CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU

ĐỀ TÀI :
CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU
I- ĐẶT VẤN ĐỀ
Tốn học là mơn khoa học các em học sinh đã được làm quen ngay từ
khi bắt đầu học từ trường tiểu học. Nó là bộ môn khoa học dễ gây hứng thú
cho các em, gây sự tò mò khám phá kiến thức để phát triển trí tuệ của các
em. Song bên cạnh đó cũng cịn khơng ít học sinh học sinh bị ức chế khi học
bộ mơn tốn, thậm trí gây chán nản trong học tập, sợ hãi khi bước vào học
giờ Toán. Đặc biệt mơn hình học các em bắt đầu làm quen từ bậc trung học
cơ sở các em lại càng cảm thấy khó khăn khi phải làm bài tập chứng minh
hình học, không biết bắt đầu bài chứng minh từ đâu, thậm trí gây hoang
mang cho các em. Là giáo viên dạy mơn tốn đã nhiều năm, đã tiếp xúc với
nhiều thế hệ học trò, qua thực tế giảng dạy, qua chấm bài của học sinh và
trao đổi với đồng nghiệp tôi đã đúc kết ra kinh nghiệm, muốn gây được sự
hứng thú cho học sinh khi học bộ mơn Tốn nói chung và làm bài tập hình
chứng minh nói riêng. Người giáo viên dạy bộ mơn Tốn khi truyền thụ
kiến thức cho các em phải để tự các em khám phá kiến thức trên cơ sở được
sự dẫn dắt của giáo viên để các em hiểu ngay được kiến thức cần truyền thụ
tại lớp. Ngoài ra để nhớ kiến thức được lâu biết vận dụng kiến thức đã học
vào giải quyết các bài tập ứng dụng thì người giáo viên phải biết trang bị
cho trị của mình phương pháp học bộ mơn Tốn như thế nào để kiến thức
Thầy trang bị đến đâu các em chiếm lĩnh đến đó, biết tích luỹ vào kho kiến
thức của mình từ đó khi làm các bài tập biết lấy ra kiến thức cần sử dụng để
giải quyết các yêu cầu của bài toán cho phù hợp và có hiệu quả nhất. Có
như vậy mới gây được sự hứng thú cho các em mỗi khi học mơn Tốn cũng
như các bộ mơn khác, gây cho các em sự phấn khởi khi bước tới trường và
phát triển trí tuệ cho các em. Sau đây tơi trình bày cách dạy cho học sinh
giải quyết các bài tập hình học chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau.
Người viết: Ngô Công Văn- Hiệu trưởng trường THCS Cộng Hiền

1

II- GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ :
Khi học hình học nếu chúng ta chỉ học thuộc lòng các tiên đề, các
định nghĩa, các định lý mà Thầy cung cấp cho mà không biết vận dụng các
tiên đề, các định nghĩa, các định lý vào giải quyết các bài tập thì việc học
của chúng ta chỉ là học vẹt không mang lại hiệu quả gì thậm trí gây hoang
mang cho bản thân. Muốn vận dụng được các tiên đề, định nghĩa, định lý
vào trong quá trình giải các bài tập chứng minh ta cần phải nghiên cứu các
phương pháp chứng minh. Ở đây ta phân loại các phương pháp chứng minh
theo kết luận của định lý chứ không theo cách thức chứng minh ( trực tiếp,
gián tiếp). Ta dựa vào tính chất của kết luận mà phân loại bài tập, như loại
bài tập chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau, hai đường
thảng song song .v.v., Chúng ta sẽ nghiên cứu phương pháp chứng minh cho
từng loại và những định lý cần dùng đến đem qui nạp và chỉnh lý, sau này
khi làm bài tập, gặp phải những bài tập cùng loại ta có thể từ những phương
pháp và những định lý đã nghiên cứu cho thấy những phương pháp và định
lý thích hợp để ứng dụng. Cho nên việc nghiên cứu các phương pháp chứng
minh là một cơ hội tốt để chúng ta luyện tập và vận dụng các định lý đã học
vào giải quyết các bài tập khắc sâu trí nhớ cho học sinh, nó giúp ích nhiều
cho việc học tập bộ mơn hình học.
- Bài tập về chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau có nhiều, trước tiên ta
nghiên cứu phương pháp chứng minh loại bài tập này. Những định lý có thể
dùng để chứng minh loại bài tập này có nhiều chúng ta đã được học trong
sách giáo khoa chúng ta không thể nhắc lại hết được, các định lý tuy nhiều
song thường dùng nhiều nhất trong chứng minh vẫn khơng ngồi các định lý
cơ bản sau:
1) Lợi dụng trường hợp bằng nhau của tam giác để chứng minh 2 đoạn
thẳng bằng nhau, ta ghép hai đoạn thẳng đó vào 2 tam giác H
bằng nhau.

L

- Ví dụ A:
GT:

F

Lấy hai cạnh AB và
E

M 5
4

G

2
1

Người viết: Ngơ Công Văn- Hiệu trưởng trường THCS Cộng Hiền
3
B
D

2
C


AC của ABC làm cạnh
dựng các hình vng
ABCF, ACGH ra phía

ngồi tam giác. Dựng
AD ⊥ BC, kéo dài DA
gặp FH tại M
FM = MH

KL:

-Suy xét: Trong bài ra có nhiều góc vng, các cạnh của hình vuộng lại
bằng nhau. Vì 2 = 3 ( do đều phụ với 1). Những đại lượng bằng nhau đó ta
phải lợi dụng. Nếu dựng FK ⊥ với DM sẽ có ∆ AFK = ∆ BAD, FK = AD.
Tương tự dựng HL ⊥ DM được HL = AD, cuối cùng chỉ cần chứng minh ∆
FMK = ∆ HML là được.

Chứng minh:
Chứng minh
Dựng FK ⊥ DM,
HL ⊥ DM

Lý do
Từ một điểm ở ngoài đoạn thẳng dựng đường
thẳng vng góc với đường thẳng đó)

Từ 2 + 1 = 90 0

Vì 3 góc kề bù nhau có 1 góc bằng 90 0

3+1 = 90 0

Vì hai góc nhọn của tam giác vng

Có 2 = 3

Cùng phụ với góc 1

Có FKA = ADB

Cùng bằng 90 0

FA = KS

Hai cạnh của hình vng

Nên ∆ AFK = ∆ BAD

Trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

=> FK =AD

Hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau.

Tương tự HL = AD

Theo cách chứng minh trên

=> HK = HL

Cùng bằng AD

Người viết: Ngô Công Văn- Hiệu trưởng trường THCS Cộng Hiền

3


Ta có FKM = HLM

Cùng bằng 90 0

4=3

Góc đối đỉnh

=> ∆ FMK = ∆ HML

Trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

=> FM = MH

Hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau.

2- Dùng đoạn thẳng thứ 3 làm trung gian.(Để chứng minh 2 đoạn thẳng
bằng nhau ta dùng đoạn thẳng thứ ba làm trung gian)
VD2 : Nếu một tứ giác nội tiếp trong đường trịn có hai đường chéo vng
góc với nhau thì đường thẳng đi qua giao điểm của đường chéo và vng
góc với một cạnh của tứ giác sẽ chia đôi cạnh đối diện với A
cạnh đó.
5

B
G

GT

Cho Tứ giác ABCD nội
tiếp trong đường trịn (0)

4

B

AC ⊥ BD. Qua E dựng

1
3

GE ⊥ CD.
AG = GB

KL

E

2

D

F

C

Suy xét: Tam giác ABC là tam giác vuông ta phải chứng minh AG = GB

nghĩa là G là điểm giữa của cạnh huyền. Ta phải biết rằng điểm giữa của
cạnh huyền cách đều ba đỉnh của tam giác vuông. Nên lấy GE làm trung
gian. Muốn chứng minh GE = AG cần phải : 4 = 5, từ đó 4= 1, 5 =2 và 1,2
đều phụ với 3 ta suy ra 1 = 2 nên 4 = 5 có thể chứng minh được:
Chứng minh
1 + 3 = 90 0

Lý do
Hai góc nhọn tam giác vuông

2+ 3 = 90 0
Nên 1 = 2

Cùng phụ với 3

Nhưng 1 = 4, 2 = 3

2 góc đối đỉnh, nội tiếp cùng chắn

 4= 5

một cung.

Người viết: Ngô Công Văn- Hiệu trưởng trường THCS Cộng Hiền

4


- Bắc cầu
 AG = GE

Hai cạnh của tam giác chắn 2 góc
bằng nhau.

Tương tự GB = GE

Theo cách chứng minh trên.

AB = GB
3-Lợi dụng tam giác cân (Để chứng minh 2 đoạn thẳng bằng nhau)
Ta ghép 2 đoạn thẳng đó vào 2 cạnh của một tam giác và chứng minh cho
tam giác chứa hai đoạn thẳng đó là tam giác cân.
VD3: Cho (0) và đường thẳng xy ở ngoài đường trịn đó. Từ O hạ OA ⊥ xy,
từ A kẻ 1 cát tuyến bất kỳ cắt đường tròn tại B và C, tiếp tuyến của đường
tròn tại B và C cắt xy ở D và E. Chứng minh: AD = AE.

GT

Cho (0) và đường thẳng

C

xy ở ngồi đường trịn

O

OA và xy
BD, CE là tiếp tuyến tại
KL

B, C
DA = AE

B
x

D

A

E y

Suy xét : Ta có OA ⊥ DE, nếu OD = OE thì DA = AE. Muốn chứng minh
OB = OE ta có thể lợi dụng góc vng giữa tiếp tuyến và bán kính OBD =
OCE, bán kính OB = OC và dùng trường hợp bằng nhau của hai tam giác
vng. Nhưng giữa OBD và OCE ngồi hai cặp đại lượng bằng nhau ở trên
cịn có cặp đại lượng thứ 3 nào bằng nhau nữa khơng? Đó chính là mấu chốt
của bài này. Đây cũng là điều khó nhất. Sau khi nghiên cứu ta thấy tứ giác
ODAB và tứ giác ODEA nội tiếp được nên suy ra được ODB = OAB = OFC
Người viết: Ngô Công Văn- Hiệu trưởng trường THCS Cộng Hiền

5


Chứng minh
Nối CD, OE,OB,OC

Lý do
Cho hai điểm kẻ được một đường thẳng

Ta có : OBD = OCE = 90 0

- Hai góc vng ( Tính chất tiếp tuyến)

OAD = OAE = 90 0

Hai góc vng

Tứ giác ODAB nội tiếp

Bài tốn quĩ tích

=> ODB = OAB = OEC

Góc nội tiếp cùng chắn một cung

Ta có : OB = OC

- Bán kính

=> ∆ OBD = ∆ OCE

- Trường hợp bằng nhau (GCG)
Hai cạnh tương ứng của 2 tam giác bằng

=> OD = OE

nhau

OA = AE

Tính chất đường cao của tam giác cân.

4- Lợi dụng Hình bình hành ( để chứng minh hai đoạn thẳng bằng
nhau) ta có thể ghép hai đoạn thẳng đó vào hai cạnh đối diện của hình bình
hành hoặc 2 đoạn tạo nên đường chéo hình bình hành để kết luận chúng
bằng nhau.
VD4: Cho ∆ ABC cân, AB = BC, trên AB lấy điểm D, trên AC kéo dài lấy
điểm E sao cho BD = CE, nối A với E cắt BC tại F. Chứng minh rằng BF =
A

FE.
GT

Cho ∆ ABC, AB = AC

D

BD = CE
KL

DE cắt BC tại F
DF = FE

C
B

F
E

S`uy xét: Dựng DG // AE, nếu chứng minh được tứ giác DGEC là hình bình
hành thì DE và BC nhất định cắt nhau tại F là trung điểm của DE. Muốn
chứng minh cho DGEC là hình bình hành chỉ cần có DG = CE là đủ. Vì
Người viết: Ngô Công Văn- Hiệu trưởng trường THCS Cộng Hiền

6


DG //CE mà giả thiết cho DB = CE trước tiên phải chứng minh DGB = B.
Ta đã biết DGB = ACB, Chứng minh được B = ACB, nên B = DGB có thể
thành lập được.
Chứng minh
Lý do
- Đựng DG // AE, nối DC, GE Kẻ 1 đường thẳng qua một điểm song
song vớiđường thẳng đã cho.
- Thì DGB = ACB

( 2 góc đồng vị)

- Ta có B = ACB

-Tính chất tam giác cân.

- DBB = B

-Tính chất bắc cầu.

- DG = DB

-2 cạnh đối diện của 2 góc bằng nhau

trong tam giác.

Mà CE = DB

-Theo giả thiết.

DG = CE
Vì DG //CE

Theo cách dựng

=>Tứ giác DGEC là hình bình Tứ giác có 1 cặp cạnh đối song song và
bằng nhau.

hành.
 Vậy DF = FE

Tính chất đường chéo hình bình hành.

5- Lợi dụng đường thẳng đi qua điểm giữa của 1 cạnh của tam giác và
song song với cạnh thứ hai thi đi qua điểm giữa cạnh thứ ba. ( Định lí
đường trung bình của tam giác )
VD: Cho tam giác ABC có AB = AC , trên AB lấy D trên AC lấy E sao cho
BD = CE. Nối AE cắt BC tại F. Chứng minh DF = FE.
A

GT

∆ ABC , AB = AC

D ∈ AB, E ∈ AC, BD = CE
KL

D

DE cắt BC tại F
DF = EF

1

3

4

2

B

G
C

F
E

Người viết: Ngô Công Văn- Hiệu trưởng trường THCS Cộng Hiền

7


Chứng minh

Dựng DG //BC

Lý do
Dựa vào phép dựng hình

Ta có : A = 2 = 3 = 4

Tính chất tam giác cân và góc đồng vị của hai
đường thẳng song song.

Nên AG = AD

- Tính chất 2 cạnh đối diện của với hai góc
bằng nhau của một tam giác.

mà AC = AB

- Giả thiết

nên GC = DB

- Hiện hai cặp đoạn thẳng bằng nhau

Mà CE = DB

- Giả thiết

Suy ra GC = CE

- Tính chất bắc cầu

DF = FE

- Tính chất trong tam giác đường thẳng đi qua
điểm giữa một cạnh song song với cạnh thứ
hai thì đi qua điểm giữa cạnh thứ ba

6) Lợi dụng đoạn thẳng bằng nhau cho trước rồi biến đổi :
Ta dựa vào tính chất 1(gấp hai đoạn thẳng bằng nhau lên cùng một số lần,
hoặc cùng chia hai đoạn thẳng bằng nhau ra cùng một số lần thì được các
đoạn thẳng mới bằng nhau.( hoặc tổng hay hiệu hai cặp đoạn thẳng bằng
nhau tương đối một bằng nhau) từng đơi một thì bằng nhau.
Biến đổi các đoạn thẳng bằng nhau cho trước ta sẽ chứng minh được định lí.
7) Lợi dụng đại lượng bằng nhau trong đường trịn.
- Từ định lí “ Khoảng cách từ tâm đến hai dây cung bằng nhau thì bằng
nhau” “ Hai dây cung bằng nhau, tạo góc ở tâm bằng nhau, hay hai góc nội
tiếp bằng nhau thì hai dây cung tương ứng bằng nhau...vv..”
Cuối cùng xin đưa ra một số bài tập quan trọng để các em học sinh vận
dụng các phương pháp chứng minh trên vào giải quyết bài tập.
Bài 1: Cho hình bình hành ABCD, E và F là trung điểm của BC và AD.
Chứng minh rằng AF và DE chia AC thành ba phần bằng nhau.
Người viết: Ngô Công Văn- Hiệu trưởng trường THCS Cộng Hiền

8


Bài 2: Đường kính AB của một đường trịn tâm O và dây cung AC hợp
thành một góc 30 0 , tiếp tuyến tại C cắt AB kéo dài ở D. Chứng minh AC =
DC
Bài 3: Trên một đường tròn tâm O lấy một điểm B, dựng tiếp tuyến BC,

dựng OC ⊥ OA cắt AB và tiếp tuyến B lần lượt ở D và C. Chứng minh BC
= CD.
Bài 4: Cho ∆ ABC vuông. Lấy một cạnh tam giác vuông làm đường kính
dựng đường trịn cắt cạnh huyền tại 1 điểm. Chứng minh rằng tiếp tuyến tại
điểm đó chia đơi cạnh góc vng kia.
Bài 5: Cho ABC , dựng ∆ ASD, ∆ ACE ra phía ngồi tam giác ABC. Lấy
AD, AE làm hai cạnh hình bình hành ADF. Chứng minh ∆ FBC đều.
Bài 6: Cho ∆ ABC đường cao BD và CE, gọi F là trung điểm BC, từ F dựng
FG ⊥ DE. Chứng minh DG = GE.
Bài 7: Cho ∆ ABC, đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Đường kính của
đường trịn ngoại tiếp là AF. Chứng minh rằng nếu HF cắt BC tại G thì HG
= GF.

II- KẾT LUẬN
Trên đây là một số phương pháp chứng minh hai đoạn thẳng bằng
nhau. Là người giáo viên đã dạy toán nhiều năm và qua sự trao đổi với đồng
nghiệp để các em học sinh say mê với môn học Tốn và có hiệu quả cao thì
người giáo viên dạy học lĩnh hội kiến thức trên cơ sở học sinh khám phá xây
Người viết: Ngô Công Văn- Hiệu trưởng trường THCS Cộng Hiền

9


dựng đồng thời phải làm cho học sinh hiểu biết, vận dụng thành thạo. Có
như vậy kiến thức của thầy truyền thụ mới đọng lại trong học sinh nếu
không “ Chữ thầy lại trả thầy” có như vậy thì chất lượng giờ dạy tốn mới
cao và mới phát triển trí tuệ cho các em, giúp cho các em niềm đam mê khi
học toán.
Trên đây là một phần nhỏ kinh nghiệm dạy Tốn nói chung và dạy bài
tốn chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau nói riêng của bản thân đã qua

thực tiễn nhiều năm và đã đạt hiệu quả cao. Rất mong được sự tham gia góp
ý của đồng nghiệp để sáng kiến có chất lượng, hiệu quả cao./.
Cộng Hiền, ngày 2 tháng 1 năm 2009
Người viết

Ngô Công Văn

Người viết: Ngô Công Văn- Hiệu trưởng trường THCS Cộng Hiền

10


TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. SGK Toán 7,8,9
2. SGV Toán 7, 8, 9
3. STK Tốn 8

Người viết: Ngơ Cơng Văn- Hiệu trưởng trường THCS Cộng Hiền

11


Mục lục:
Đặt vấn đề: ............................................Trang 1
Giải quyết vấn đề ..................................Trang 1
Kết luận .................................................Trang 8

Người viết: Ngô Công Văn- Hiệu trưởng trường THCS Cộng Hiền

12


CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

Người viết: Ngô Công Văn- Hiệu trưởng trường THCS Cộng Hiền

13


BẢN CAM KẾT

I. TÁC GIẢ:
Họ và tên : Ngô Công Văn
Ngày, tháng, năm sinh: 1960
Đơn vị : Trường THCS Cộng Hiền
Điện thoại:.

.Di động............................................

E-mail: .......................................................................................................
II. SẢN PHẨM:

TÊN SẢN PHẨM: SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM :

CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU
III. CAM KẾT
Tôi xin cam kết sáng kiến kinh nghiệm này là sản phẩm của cá nhân tôi. Nếu có xảy ra tranh chấp về
quyền sở hữu đối với một phần hay toàn bộ sản phẩm sáng kiến kinh nghiệm, tơi hồn tồn chịu trách nhiệm trước

lãnh đạo đơn vị, lãnh đạo Sở GD&ĐT về tính trung thực của bản Cam kết này.

Cộng Hiền, ngày 08 tháng 2 năm 2009
Người cam kết
(Ký, ghi rõ họ tên)

Ngô Công Văn

Người viết: Ngô Công Văn- Hiệu trưởng trường THCS Cộng Hiền

14


Người viết: Ngô Công Văn- Hiệu trưởng trường THCS Cộng Hiền

15