Nghiên cứu về hệ thống hàng đợi và các công cụ mô phỏng hệ thống hàng đợi

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ






LÊ THỊ ÁNH TUYẾT






NGHIÊN CỨU VỀ HỆ THỐNG HÀNG ĐỢI
VÀ CÁC CÔNG CỤ MÔ PHỎNG HỆ THỐNG HÀNG ĐỢI








LUẬN VĂN THẠC SĨ CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

HÀ NỘI – 2013



ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ



LÊ THỊ ÁNH TUYẾT



NGHIÊN CỨU VỀ HỆ THỐNG HÀNG ĐỢI
VÀ CÁC CÔNG CỤ MÔ PHỎNG HỆ THỐNG HÀNG ĐỢI

Ngành: Công nghệ thông tin
Chuyên ngành: Công nghệ phần mềm
Mã số: 60 48 01 03


LUẬN VĂN THẠC SỸ


Người hướng dẫn khoa học: TS. LÊ QUANG MINH






HÀ NỘI - 2013



LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này là do tôi thực hiện được hoàn thành trên cơ sở tìm
kiếm, thu thập, nghiên cứu, tổng hợp phần lý thuyết và các phương pháp kĩ thuật được
trình bày bằng văn bản trong nước và trên thế giới. Các tài liệu tham khảo đều được
nêu ở phần cuối của luận văn. Luận văn này không sao chép nguyên bản từ bất kì một
nguồn tài liệu nào khác.
Nếu có gì sai sót, tôi xin chịu mọi trách nhiệm.

Hà Nội, tháng 09 năm 2013

Học viên thực hiện




Lê Thị Ánh Tuyết



MỤC LỤC
Chương 1 GIỚI THIỆU 1
1.1. Mục tiêu và phạm vi nghiên cứu 2
1.2. Phương pháp nghiên cứu 2
1.3. Kết quả đạt được 3
1.4. Cấu trúc luận văn 3
Chương 2 TỔNG QUAN VỀ LÝ THUYẾT HÀNG ĐỢI 4
2.1. Vai trò của lý thuyết hàng đợi 4
2.2. Khái quát về hệ thống hàng đợi 4
2.2.1. Các thành phần cơ bản của một hệ thống hàng đợi 4
2.2.2. Các biến chính của một hệ thống hàng đợi 6
2.2.3. Kí hiệu Kendall A / B / m / K / n / D 8
2.2.4. Luật Little 10
2.3. Một số mô hình hàng đợi cơ bản 11
2.3.1. Hệ thống hàng đợi cổ điển M/M/1 11
2.3.2. Hệ thống hàng đợi M/M/1/K 12
2.3.3. Hệ thống hàng đợi M/M/m 14
2.3.4. Hệ thống hàng đợi M/M/m/K 16
Chương 3 MỘT SỐ CÔNG CỤ MÔ PHỎNG HỆ THỐNG HÀNG ĐỢI 18
3.1. Các hướng tiếp cận mô phỏng 18
3.2. Ngôn ngữ mô phỏng GPSS 18

3.2.1. Giới thiệu về ngôn ngữ GPSS 18
3.2.2. Những điểm nổi bật của ngôn ngữ GPSS World 19
3.2.3. Các ứng dụng của công cụ mô phỏng GPSS World 20
3.2.4. Một số khái niệm trong GPSS World 20
3.2.5. Các thực thể trong GPSS 22
3.2.6. Cú pháp lệnh GPSS 24
3.2.7. Các khối cơ bản trong GPSS 25
3.2.8. Một số hàm thư viện 31
3.2.9. Các bước phân tích và mô phỏng bài toán trên GPSS World 31
3.3. Petri Nets và một số công cụ mô phỏng dựa trên lý thuyết Petri Nets 33
3.3.1. Các ứng dụng của Petri Nets 33
3.3.2. Lý thuyết Petri Net 34
3.3.3. Các mạng Petri ngẫu nhiên 38
3.3.4. Các bước phân tích và mô phỏng bài toán trên Petri Nets 41


3.3.5. Một số công cụ dựa trên lý thuyết Petri Nets 42
3.4. So sánh giữa Petri Nets và GPSS 45
Chương 4 ỨNG DỤNG CÔNG CỤ MÔ PHỎNG VÀO MÔ PHỎNG HỆ THỐNG HÀNG ĐỢI
THỰC TẾ 47
4.1. Mô phỏng hệ thống hàng đợi không ưu tiên 47
4.1.1. Phát biểu bài toán 1 47
4.1.2. Phân tích bài toán 1 47
4.1.3. Phân tích kết quả của bài toán bằng lý thuyết hàng đợi 49
4.1.4. Mô phỏng bài toán bằng công cụ GPSS World 50
4.1.5. Mô phỏng bài toán bằng mô hình Petri Net 52
4.2. Mô phỏng bài toán hàng đợi có ưu tiên 61
4.2.1 Phát biểu bài toán 2 61
4.2.2. Phân tích bài toán 2 61
4.2.3. Phân tích kết quả bài toán bằng lý thuyết hàng đợi 63

4.2.4. Mô phỏng bài toán bằng GPSS World 63
4.2.5 Mô phỏng bài toán bằng mô hình Petri Net 65
4.3. Đánh giá các kết quả mô phỏng 71
Chương 5 KẾT LUẬN 73
5.1. Kết luận 73
5.2. Hạn chế và kiến nghị 74
PHỤ LỤC 77



DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT
Ký hiệu
Tiếng Anh
Giải thích theo tiếng Việt
CEC
Current Event Chain
Chuỗi sự kiện hiện tại
FEC
Future Event Chain
Chuỗi sự kiện tương lai
GPSS
General Purpose Simulation
System
Hệ thống mô phỏng mục đích chung
GPSS/PC
General Purpose Simulation
System/Personal Computer
Hệ thống mô phỏng mục đích chung
trên máy tính cá nhân
FIFO

First In First Out
Đến trước ra trước
P/T net
Place/ Transition Network
Mạng Place / Transition
PLUS
Programming Language Under
Simulation
Ngôn ngữ chương trình dựa trên mô
phỏng
PN
Petri Net
Mạng Petri
SNA
System Numeric Attribute
Thuộc tính số hệ thống
SPN
Stochastic Petri Nets
Các mạng Petri ngẫu nhiên




DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 2.1. Các tham số đặc trưng của hệ thống hàng đợi 7
Bảng 2.2. Các thành phần trong kí hiệu Kendall 9
Bảng 2.3. Một số phân phối xác suất liên quan đến A và B trong mô tả Kendall 9
Bảng 3.1. Một số khối cơ bản làm việc với giao tác 25
Bảng 3.2. Một số khối cơ bản làm việc với thiết bị 28
Bảng 3.3. Một số khối cơ bản làm việc với QUEUE 29

Bảng 3.4. Một số khối cơ bản điều khiển dịch chuyển của giao tác 29
Bảng 3.5. Các thành phần cơ bản của một Petri Net 34
Bảng 3.6. Một vài giải thích của Transitions và Places 35
Bảng 3.7. Một số kí hiệu được sử dụng trong các khái niệm 37
Bảng 3.8. So sánh một số công cụ Petri Net 42
Bảng 3.9. So sánh giữa Petri Nets và GPSS 45
Bảng 4.1. Các giá trị tham số đầu vào của t1 - thực nghiệm 1.1 55
Bảng 4.2. Các giá trị tham số đầu vào của t8 - thực nghiệm 1.1 55
Bảng 4.3. Các giá trị tham số đầu vào của t5 - thực nghiệm 1.1 56
Bảng 4.4. Các giá trị tham số đầu vào của t6 - thực nghiệm 1.1 56
Bảng 4.5. Các giá trị tham số đầu vào của t1 - thực nghiệm 1.2 57
Bảng 4.6. Các giá trị tham số đầu vào của t5 - thực nghiệm 1.2 58
Bảng 4.7. Các giá trị tham số đầu vào của t6 - thực nghiệm 1.2 58
Bảng 4.8. So sánh các kết quả đạt được đối với 3 phương pháp 60
Bảng 4.9. Các giá trị tham số đầu vào của t1 - thực nghiệm 2.1 67
Bảng 4.10. Các giá trị tham số đầu vào của t2 - thực nghiệm 2.1 68
Bảng 4.11. Các giá trị tham số đầu vào của t1 - thực nghiệm 2.2 69
Bảng 4.12. Các giá trị tham số đầu vào của t2 - thực nghiệm 2.2 69
Bảng 4.13. So sánh các kết quả đạt được đối với 3 phương pháp 71
Bảng 4.14. So sánh kết quả tính toán theo lý thuyết với kết quả mô phỏng trên GPSS
và Petri Nets trong 240h. 72



DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ
Hình 2.1. Các thành phần cơ bản của một hệ thống hàng đợi 5
Hình 2.2. Kí hiệu biểu đồ thời gian cho các hệ thống hàng đợi một kênh phục vụ 6
Hình 2.3. Biểu đồ số khách hàng đến và rời khỏi hệ thống theo thời gian 7
Hình 2.4. Mô hình hàng đợi M/M/1 11
Hình 2.5. Sơ đồ tốc độ chuyển trạng thái thống M/M/1 11

Hình 2.6. Mô hình hệ thống M/M/1/K 13
Hình 2.7. Sơ đồ tốc độ chuyển trạng thái hệ thống M/M/1/K 13
Hình 2.8. Mô hình hệ thống M/M/m 14
Hình 2.9. Sơ đồ tốc độ chuyển trạng thái hệ thống M/M/m 15
Hình 2.10. Mô hình hệ thống M/M/m/K 16
Hình 3.1. Mối quan hệ giữa các đối tượng 19
Hình 3.2. Minh họa một segment 27
Hình 3.3. Mô hình một chương trình mô phỏng hệ thống hàng đợi đơn giản 32
Hình 3.4. Minh họa chương trình mô phỏng trong GPSS World 33
Hình 3.5. Minh họa các thành phần cơ bản của một Petri Net 34
Hình 3.6. Petri Net mô phỏng sản xuất/tiêu thụ sản phẩm 36
Hình 3.7. Petri Net mô phỏng hàng đợi M/M/1 39
Hình 3.8. Đồ thị reachability tương ứng 39
Hình 3.9. Petri Net mô phỏng hàng đợi M/M/1/K 40
Hình 3.10. Petri Net mô phỏng hàng đợi M/M/m/K 41
Hình 4.1. Mô tả các điều kiện bài toán 1 47
Hình 4.2. Sơ đồ thuật toán bài toán 1 48
Hình 4.3. Mô hình M/M/2/7 49
Hình 4.4. Mô hình bài toán 1 theo Petri Net 52
Hình 4.5. Cửa sổ kết quả trên các transition - thực nghiệm 1.1 56
Hình 4.6. Cửa sổ kết quả trên các place - thực nghiệm 1.1 57
Hình 4.7. Cửa sổ kết quả trên các transition - thực nghiệm 1.2 59
Hình 4.8. Cửa sổ kết quả trên các place - thực nghiệm 1.2 59
Hình 4.9. Mô tả các điều kiện bài toán 2 61
Hình 4.10. Sơ đồ thuật toán bài toán 2 62
Hình 4.11. Mô hình bài toán 2 theo Petri Net 65
Hình 4.12. Cửa sổ kết quả trên các transition - thực nghiệm 2.1 68
Hình 4.13. Cửa sổ kết quả trên các place - thực nghiệm 2.1 68
Hình 4.14. Cửa sổ kết quả trên các transition - thực nghiệm 2.2 70
Hình 4.15. Cửa sổ kết quả trên các place - thực nghiệm 2.2 70

1

Chương 1
GIỚI THIỆU
Trong các hoạt động kinh tế xã hội nói chung và các hoạt động kinh doanh dịch vụ hay
phục vụ nói riêng thì điều làm cho các nhà quản lý phải đau đầu đó là làm sao để đánh
giá được hiệu quả hoạt động của hệ thống, cũng như làm thế nào để dự báo được sự
phát triển của hệ thống để có được những đầu tư về cơ sở vật chất cũng như nguồn
nhân lực một cách phù hợp. Do đó, thường phát sinh các câu hỏi như “cần cung cấp
bao nhiêu thiết bị để có độ trễ thấp hơn mức có thể chấp nhận được theo qui định?”
hay “ trung bình thời gian đợi của khách hàng cũng như trung bình thời gian đáp ứng
của hệ thống, hiệu suất sử dụng dịch vụ như thế nào?”. Đi tìm câu trả lời cho các câu
hỏi này sẽ được dựa trên các tính toán phức tạp theo các yếu tố như chính trị, kinh tế
và kỹ thuật. Nhưng chúng đều có một điểm chung đó là: trong mỗi trường hợp thì thời
gian yêu cầu dịch vụ sẽ xảy ra và thời gian yêu cầu này sẽ nắm giữ dịch vụ không thể
dự đoán được, ngoại trừ biện pháp thống kê. Tuy nhiên, các nghiên cứu của “Lý thuyết
hàng đợi” [4,11,14,15,17] hay còn gọi là “ Lý thuyết phục vụ đám đông” sẽ cung cấp
cho chúng ta các công thức toán học để giải quyết vấn đề này.
Trên thực tế, các hệ phục vụ đám đông thường có đặc thù phức tạp và việc tư
vấn cho các nhà quản lý, nhà hoạch định chính sách về các hệ thống này là vô cùng
cần thiết sao cho khi hệ thống được đưa vào sử dụng phải đạt hiệu suất cao nhất có thể.
Nên chúng ta phải tính toán, thiết lập thật rõ ràng, kỹ lưỡng, để các đặc tả về chúng
phải sát với thực tiễn nhất trong điều kiện cho phép.
Để làm được điều đó chúng ta cần xây dựng mô hình toán học cho từng hệ
thống; mô tả quá trình làm việc của các thành phần trong hệ thống; sự tương tác qua
lại giữa chúng theo thời gian và trong không gian, để giảm chi phí tối đa cho các hoạt
động đặc tả hệ thống. Vấn đề ở đây là: cần có sự đơn giản hóa nhưng chính xác các
đặc điểm của hệ thống phục vụ đám đông dưới dạng mô hình. Dùng phương pháp luận
nào, phương pháp nào? Xem xét phương án nào là khả thi nhất, tối ưu nhất?
Và để giải quyết các vấn đề trên, chúng ta có thể: tìm kiếm và giải quyết bằng

các mô hình toán học, hoặc tìm ra các giải thuật và sử dụng các ngôn ngữ lập trình
(C++, Pascal, Java,…) xây dựng chương trình để đưa ra các kết quả cần thiết, hoặc mô
phỏng bằng các công cụ mô phỏng (GPSS, Petri Nets, MatLab,…). Nhưng việc sử
dụng các công thức toán học mà lý thuyết hàng đợi cung cấp để tính toán, cũng như
mô phỏng hệ thống bằng cách sử dụng các ngôn ngữ lập trình truyền thống là khá
phức tạp, khó khăn. Vì khi lập trình chúng ta phải quản lý các sự kiện theo một mô
hình nhiều sự kiện xảy ra đồng thời và cần xây dựng các hàm ngẫu nhiên sinh các sự
kiện.
2

Chính vì vậy, đã xuất hiện các ngôn ngữ mô phỏng chuyên dụng như: ngôn ngữ
lập trình GPSS (General Purpose Simulation System)[10,14,18,19], thuộc loại ngôn
ngữ lập trình hướng đối tượng, một ngôn ngữ mô phỏng các hệ thống rời rạc, được
nhận định là hiệu quả nhất hiện nay. GPSS dự đoán các hành vi trong tương lai của các
hệ thống hàng đợi. Các đối tượng của ngôn ngữ này được sử dụng tương tự như các
thành phần chuẩn của một hệ thống hàng đợi, như là các yêu cầu, các thiết bị phục vụ,
hàng đợi… Với tập hợp đầy đủ các thành phần như vậy cho phép xây dựng các mô
phỏng phức tạp trong khi vẫn đảm bảo những thuật ngữ thông thường của hệ thống
hàng đợi. Ngoài ra còn phải kể đến một công cụ mô phỏng nữa cũng khá hiệu quả nhờ
tính trực quan và đặc biệt có sự kết hợp cơ sở toán học, đã đem lại các kết quả tính
toán chính xác, đó là Petri Nets [5,6,8,9,12,13].
Vấn đề nghiên cứu và ứng dụng ngôn ngữ mô phỏng GPSS và Petri Nets rất
phổ biến và phát triển tại Liên bang Nga, cũng như một số quốc gia khác. Tuy nhiên, ở
Việt Nam vấn đề này chưa phát triển. Trên cơ sở các nghiên cứu đã có, luận văn đã tập
trung vào các mục tiêu và các vấn đề cần giải quyết sau:
1.1. Mục tiêu và phạm vi nghiên cứu
Luận văn tập trung nghiên cứu về các mô hình hàng đợi cũng như một số kiến thức cơ
bản trong “ Lý thuyết hàng đợi” và tìm hiểu hai công cụ mô phỏng hàng đợi là GPSS
và Petri Nets.
Với mục tiêu chính là hiểu được các thành phần cơ bản của một hệ thống hàng

đợi, một số mô hình hàng đợi cơ bản và nắm được các công cụ mô phỏng GPSS và
Petri Nets. Để từ đó vận dụng vào giải quyết các bài toán thực tế.
1.2. Phương pháp nghiên cứu
Sau khi xác định rõ mục đích nghiên cứu của mình và nhận thức được tầm quan trọng
của phương pháp nghiên cứu trong việc góp phần thành công trong nghiên cứu, tôi đã
lựa chọn và phối hợp nhiều phương pháp nghiên cứu khác nhau phù hợp với khả năng
cũng như yêu cầu của đề tài, bao gồm các phương pháp nghiên cứu sau:
- Phương pháp phân tích, tổng hợp: nghiên cứu các tài liệu có liên quan tới vấn đề
hệ thống hàng đợi và công cụ mô phỏng hệ thống hàng đợi, phân tích để rút ra các vấn
đề cốt lõi, sau đó tổng hợp và xâu chuỗi lại để có cái nhìn tổng thể về vấn đề đang
nghiên cứu.
- Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: tìm hiểu thực trạng áp dụng, sử dụng các công
cụ mô phỏng hệ thống hàng đợi. Từ đó, đưa ra các đánh giá hiệu quả của sử dụng các
công cụ này trong việc mô phỏng hệ thống hàng đợi.
3

- Phương pháp thực nghiệm: thực nghiệm nhằm xác định tính khả thi, hiệu quả của
từng công cụ mô phỏng, bằng cách cài đặt và chạy thực nghiệm các công cụ mô phỏng
trên hai hệ thống điển hình cho hai lớp hệ thống hàng đợi: có ưu tiên và không ưu tiên.
1.3. Kết quả đạt được
Từ việc nghiên cứu “ Lý thuyết hàng đợi và các công cụ mô phỏng hệ thống hàng đợi”
luận văn đã tập trung làm rõ các thành phần cơ bản của một hệ thống hàng đợi cũng
như một số kết quả chính của các mô hình hàng đợi cơ bản. Đồng thời vận dụng các
kiến thức lý thuyết có được, sử dụng hai công cụ mô phỏng GPSS và Petri Nets vào
việc giải quyết bài toán hàng đợi có ưu tiên và không ưu tiên trong thực tiễn. Từ các
kết quả thu được đưa ra những phân tích đánh giá và rút ra bài học.
1.4. Cấu trúc luận văn
Luận văn được trình bày trong năm chương với nội dung chính của mỗi chương
như sau:
Chương 1 – Giới thiệu

Giới thiệu về bối cảnh nghiên cứu, mục tiêu, phạm vi nghiên cứu và phương pháp
nghiên cứu, tóm lược các kết quả đạt được.
Chương 2 - Tổng quan về lý thuyết hàng đợi
Trình bày cơ sở lý thuyết về hệ thống hàng đợi, bao gồm: các yếu tố của hệ thống hàng
đợi (dòng vào, dòng ra, hàng đợi, kênh phục vụ), luật Little, các mô hình hàng đợi cơ
bản và các thông số về hiệu suất của hệ thống.
Chương 3 – Một số công cụ mô phỏng hệ thống hàng đợi
Nêu lên các hướng tiếp cận mô phỏng: toán học, lập trình và sử dụng các công cụ mô
phỏng có sẵn. Đồng thời, giới thiệu hai công cụ mô phỏng GPSS World, Petri-Nets và
đưa ra một số so sánh, đánh giá hai công cụ này.
Chương 4 - Ứng dụng công cụ mô phỏng vào mô phỏng hệ thống hàng đợi thực tế
Ứng dụng hai công cụ mô phỏng GPSS World và Petri-Nets vào mô phỏng hai bài
toán thực tế về hệ thống hàng đợi ưu tiên và hệ thống hàng đợi không ưu tiên. Từ bài
toán cụ thể đó: phân tích, tính toán, tiến hành mô phỏng và đánh giá kết quả thu được.
Chương 5 - Kết luận
Tóm lược kết quả chính của luận văn, rút ra kết luận và nêu định hướng phát triển
trong thời gian tới.
4

Chương 2
TỔNG QUAN VỀ LÝ THUYẾT HÀNG ĐỢI
Chương này tập trung vào tìm hiểu tổng quan về lý thuyết hệ thống hàng đợi: giới
thiệu về lý thuyết hàng đợi, vai trò và ứng dụng của lý thyết hàng đợi, các yếu tố của
hệ thống hàng đợi gồm: dòng yêu cầu đầu vào, hàng đợi, kênh phục vụ, dòng yêu cầu
đầu ra, các thông số mô tả về hệ thống; luật Little và một số mô hình hàng đợi cơ bản.
2.1. Vai trò của lý thuyết hàng đợi
Lý thuyết hàng đợi là một nhánh của xác suất thống kê, được ứng dụng trong nhiều
lĩnh vực khác nhau như: mạng truyền thông, các hệ thống máy tính, hệ thống nhà
máy Lý thuyết hàng đợi tập trung trả lời các câu hỏi như: trung bình thời gian đợi
trong hàng đợi, trung bình thời gian phản hồi của hệ thống (thời gian đợi trong hàng

đợi cộng thời gian phục vụ), nghĩa là sự sử dụng của các thiết bị phục vụ, phân phối số
lượng khách hàng trong hàng đợi, phân phối khách hàng trong hệ thống.
Một hệ thống hàng đợi có thể mô tả như sau: một trung tâm dịch vụ và một mật
độ khách hàng. Thông thường, trung tâm phục vụ có thể chỉ phục vụ một giới hạn
khách hàng, nếu khách hàng mới đến và các dịch vụ đã sử dụng hết, khách hàng này
phải vào hàng đợi và đợi cho đến khi dịch vụ trở nên có sẵn hoặc ngay lập tức rời đi.
Vì vậy, 3 yếu tố chính của trung tâm dich vụ là: một mật độ khách hàng, các thiết bị
phục vụ và hàng đợi.
2.2. Khái quát về hệ thống hàng đợi
Giới thiệu các thành phần của hệ thống hàng đợi: đầu vào, đầu ra, kênh phục vụ,
nguyên tắc phục vụ, và các lý thuyết liên quan như hàm phân phối thời gian đến, hàm
phân phối thời gian phục vụ, phục vụ ưu tiên hay không ưu tiên. Đồng thời, trình bày
một số kết quả quan trọng của các hàng đợi cơ bản.
2.2.1. Các thành phần cơ bản của một hệ thống hàng đợi
Một hệ thống hàng đợi gồm các thành phần cơ bản [11] sau:
- Tiến trình vào, tiến trình ra khỏi hệ thống (được coi như đầu vào và đầu ra của
hệ thống hàng đợi)
- Phân phối thời gian phục vụ
- Số kênh phục vụ
- Khả năng của hệ thống
- Qui mô (kích thước) khách hàng
- Nguyên tắc phục vụ


5

Hình 2.1. Các thành phần cơ bản của một hệ thống hàng đợi
Trong đó:
Tiến trình vào
Tiến trình vào (gọi tắt là dòng vào) là dòng các yêu cầu đến hệ thống hàng đợi, đòi hỏi
thỏa mãn một yêu cầu nào đó được đặc trưng bởi tốc độ đến (arrival rate), ký hiệu là
λ. Do dòng các yêu cầu đầu vào là một biến ngẫu nhiên, nó được đặc trưng bởi phân
phối xác suất của hai lần đến liên tiếp của các khách hàng và được kí hiệu là A(t).
A(t) = P[thời gian giữa các khách hàng đến < t ] (2.1)
Dòng vào này có thể tuân theo luật phân phối đều (D), hoặc luật phân phối mũ (M),
hay luật phân phối Erlangian (Er).
Tiến trình ra
Tiến trình ra (gọi tắt là dòng ra) là dòng các yêu cầu ra khỏi hệ thống hàng đợi. Được
đặc trưng bởi tốc độ ra (departure rate), ký hiệu là .
Phân phối thời gian phục vụ
Ở đây thời gian phục vụ là độ dài thời gian mà khách hàng sử dụng các dịch vụ. Phân
phối xác suất của nó được kí hiệu là B().
B()=P[thời gian phục vụ < ] (2.2)
















5. Qui mô khách
hàng
4. Khả năng của hệ
thống
3. Số các kênh phục vụ
Tiến trình ra
1.Tiến trình vào
6. Nguyên tắc phục
vụ
2. Phân phối thời gian
phục vụ
6

Số kênh phục vụ
Kênh phục vụ bao gồm con người cùng với các thiết bị kĩ thuật hoạt động tại một vị trí
nào đó. Thường được mô tả trong biến m. Đặc điểm quan trọng nhất của kênh phục vụ
là thời gian phục vụ 
n
. Đó là thời gian kênh phục vụ phải tiêu phí để phục vụ khách
hàng thứ n. Thời gian phục vụ cũng là một đại lượng ngẫu nhiên tuân theo một quy
luật phân phối xác suất nào đó.
Khả năng của hệ thống: gồm kích thước hàng đợi và khả năng phục vụ của các kênh
phục vụ, kí hiệu: K.
Nguyên tắc phục vụ

Mô tả thứ tự khách hàng được lấy ra khỏi hàng đợi và được phép vào sử dụng dịch vụ.
Chẳng hạn, một số hàng đợi theo nguyên tắc phục vụ đến – trước – phục vụ - trước
(first-come- first-serve viết tắt: FCFS), hay đến – sau – phục vụ - trước (last-come-
first-serve viết tắt LCFS), hay thứ tự phục vụ ngẫu nhiên… Ngoài ra, khách hàng có
thể được chia thành các nhóm với độ ưu tiên của mỗi nhóm khác nhau, đó là các hệ
thống hàng đợi có ưu tiên.
2.2.2. Các biến chính của một hệ thống hàng đợi
Đối với một hệ thống hàng đợi chúng ta quan tâm đến các tham số đặc trưng được kí
hiệu và định nghĩa [11, trang 29 ] như sau.








Hình 2.2. Kí hiệu biểu đồ thời gian cho các hệ thống hàng đợi một kênh phục vụ
Trong sơ đồ này:
- Đường kẻ ngang dưới đại diện cho hàng đợi, đường kẻ ngang trên đại diện cho
cơ sở dịch vụ hay kênh phục vụ.
- Mũi tên hướng từ dưới lên chỉ vào đường kẻ ngang hàng đợi (hoặc kênh phục
vụ) chỉ ra rằng một khách hàng đã vào hàng đợi (hoặc kênh phục vụ).

n+1

Kênh phục vụ
Hàng đợi

n

C
n

C
n+1

C
n+2


n+2

C
n

C
n+1

C
n+2

C
n-1

C
n

C
n+1

C
n+2

w
n

𝓍
n

𝓍
n+1

𝓍
n+2

t
n+1

t
n+2

Thời gian
S
n

7

- Mũi tên hướng từ đường kẻ ngang hàng đợi (hoặc kênh phục vụ) đi ra, chỉ ra
rằng một khách hàng đã đi ra khỏi hàng đợi (hoặc kênh phục vụ).

- Khách hàng C
n+1
đến trước khi khách hàng C
n
vào dịch vụ và chỉ khi khách
hàng C
n
dời khỏi dịch vụ thì khách hàng C
n+1
mới vào dịch vụ (dĩ nhiên hai sự
kiện này có thể xảy ra đồng thời).
- Khách hàng C
n+2
vào hệ thống và nhận thấy kênh phục vụ “rảnh” ngay lập tức
xuyên qua hàng đợi vào ngay kênh phục vụ (w
n+2
=0).
Ngoài ra, trong hệ thống hàng đợi chúng ta còn quan tâm đến các thông số khác như số
khách hàng đến và rời khỏi hệ thống trong một khoảng thời gian, hay số khách hàng
trung bình trong hệ thống, hoặc trong hàng đợi, hệ số sử dụng của hệ thống.


Hình 2.3. Biểu đồ số khách hàng đến và rời khỏi hệ thốngtheo thời gian
Các tham số đặc trưng của hệ thống hàng đợi được tóm tắt trong bảng 2.1 dưới đây:
Bảng 2.1. Các tham số đặc trưng của hệ thống hàng đợi
STT
Ký hiệu
Mô tả
1
C

n

Khách hàng thứ n vào hệ thống
2
τ
n

Thời điểm đến của khách hàng thứ n
3
t
n

Khoảng thời gian giữa khách hàng C
n-1
và C
n
(t
n
= τ
n
- τ
n-1
)
4











5
W
n
Thời gian chờ trong hàng đợi của khách hàng thứ n
6
S
n
Thời gian hệ thống (thời gian đợi + thời gian phục vụ) của khách
hàng thứ n
Số khách hàng
Thời gian t
8

S
n
=W
n
+

n

7
A
n
(t)
Hàm phân phối xác suất thời gian giữa hai khách hàng liên tiếp

(PDF)
A
n
(t)=P[t
n
≤t]
8
A(t)
Giới hạn hàm phân phối xác suất 










Kí hiệu: A
n
(t)

A(t)
9
B(

)
Phân phối thời gian phục vụ
10






Số khách hàng đến trong khoảng thời gian (0,t)
11





Số khách hàng ra khỏi hệ thống trong khoảng thời gian (0,t)
12
N(t)
Số khách hàng ở trong hệ thống tại thời điểm t








 
13
N
q
(t)
Số khách hàng trong hàng đợi tại thời điểm t

14
T

Tổng thời gian phục vụ của toàn bộ hệ thống
15
λ
Tốc độ đến (arrival rate) của khách hàng
16
µ
Tốc độ phục vụ
17

thời gian trung bình sử dụng dịch vụ
18
ρ
Hệ số sử dụng hệ thống







19
p
K

xác suất có K khách hàng trong hệ thống
Hệ thống ở trạng thái dừng (the system in the steady – state) khi 









2.2.3. Kí hiệu Kendall A / B / m / K / n / D
Các thành phần cơ bản của một hàng đợi được mô tả ngắn gọn trong kí hiệu
Kendall[16, trang 14] có dạng: A / B / m / K / n / D.
Ý nghĩa của các ký hiệu trong mô tả Kendall được trình bày trong bảng 2.2.
9

Bảng 2.2. Các thành phần trong kí hiệu Kendall
STT
Ký hiệu
Ý nghĩa
1
A
Kí hiệu cho A(t) - hàm phân phối thời gian của hai khách hàng đến
đến liên tiếp. A có thể nhận một trong các giá trị: M (phân phối mũ),
D (phân phối đều), E
r
( phân phối Erlangian), G (phân phối chung), H
(phân phối siêu mũ)
2
B
Kí hiệu cho B(

) - hàm phân phối thời gian phục vụ. B có có thể

nhận một trong các giá trị: M (phân phối mũ), D (phân phối đều),
E
r
( phân phối Erlangian), G (phân phối chung), H (phân phối siêu
mũ)
3
m
Số lượng kênh phục vụ
4
K
Dung lượng của hệ thống, là số khách hàng lớn nhất mà hệ thống có
thể phục vụ bao gồm cả khách hàng trong hàng đợi và khách hàng
đang được phục vụ.
5
n
Số lượng khách hàng (population size)
6
D
Nguyên tắc phục vụ
Sau đây là bảng các hàm phân phối xác suất của A và B.
Bảng 2.3. Một số phân phối xác suất liên quan đến A và B trong mô tả Kendall
STT
Viết tắt
Hàm phân phối
1
M
t
etA



1)(

2
E
k

 





1
0
!
)(
1
k
j
j
tk
j
tk
etA


, k ≥ 1 là số pha
3
H
k





k
j
t
j
etA
1
j
)1(q)(


Trong đó: μ
j
>0, q
j
>0, j{1 k}, 







Ví dụ: hệ thống hàng đợi M/M/3/20/1500/FCFS, có nghĩa là:
- Thời gian giữa hai khách hàng đến liên tiếp tuân theo luật phân phối mũ
- Thời gian phục vụ tuân theo luật phân phối mũ

10

- Có 3 kênh phục vụ
- Dung lượng hệ thống là 20: tại một thời điểm có thể phục vụ tối đa 3 khách hàng
và 17 khách hàng đợi trong hàng đợi
- Nếu số yêu cầu đến trên 20, thì các yêu cầu trên 20 sẽ không được phục vụ (lost)
- Tổng số các yêu cầu có thể được phục vụ là 1500
- Nguyên tắc phục vụ: đến trước phục vụ trước
Một ví dụ nữa để hiểu rõ hơn về kí hiệu Kendall là hệ thống hàng đợi G/G/1, có nghĩa
là G/G/1/∞/∞/FCFS, hệ thống có:
- Dung lượng hệ thống là vô hạn
- Số lượng khách (population size) là vô hạn
- Nguyên tắc phục vụ: đến trước phục vụ trước
- Một kênh phục vụ
- Thời gian giữa hai khách hàng đến liên tiếp tuân theo luật phân phối G
(General)
- Phân phối thời gian phục vụ theo luật phân phối G
2.2.4. Luật Little
Thời gian đợi trung bình và số khách hàng trung bình trong một hệ thống hàng đợi là
các số liệu quan trọng đối với một người quản lý. Luật Little đưa ra mối liên hệ giữa
hai số liệu này với tốc độ trung bình khách đến hệ thống. Nó là một kết quả chung
được áp ngay cả hàng đợi G/G/1và cũng có thể áp dụng với các hệ thống hàng đợi có
nguyên tắc phục vụ khác không phải là FIFO.
Luật Little [2,7] được phát biểu như sau: “Trong điều kiện trạng thái dừng, số
khách hàng trung bình trong một hệ thống hàng đợi bằng với tốc độ trung bình khách
hàng đến nhân với thời gian trung bình mà một khách hàng sử dụng trong hệ thống”
Nghĩa là:  (2.3)
Trong đó:
- L : số khách hàng trung bình trong một hệ thống hàng đợi
- W: thời gian đợi trung bình trong hệ thống của một khách hàng

-  : tốc độ trung bình khách hàng đến
Một đặc tính quan trọng của luật Little là nếu thông qua đo lường trực tiếp biết được
hai trong ba thông số thì thông số thứ ba có thể được tính toán được nhờ luật Little.
Đây là một đặc điểm vô cùng hữu ích, khi mà để đo tất cả ba thông số có thể khó khăn
trong một số ứng dụng. Luật Little được áp dụng trong nhiều môi trường bao gồm các
ngành công nghiệp sản xuất và dịch vụ, cũng như trong việc đưa ra các quyết định
hàng ngày của mỗi cá nhân.

11

2.3. Một số mô hình hàng đợi cơ bản
Các hệ thống hàng đợi có thể phân loại theo số lượng nguồn đầu vào của chúng là hữu
hạn hay vô hạn, hay căn cứ vào tiến trình vào và ra. Có thể kể đến một số mô hình hệ
thống hàng đợi cơ bản sau:
2.3.1. Hệ thống hàng đợi cổ điển M/M/1
Đây là hệ thống hàng đợi nổi tiếng và đơn giản nhất, mô tả hệ thống như sau:
- Thời gian giữa hai lần đến liên tiếp tuân theo luật phân phối mũ, với tham số .
- Thời gian phục vụ tuân theo luật phân phối mũ, với tham số µ.
- Hệ thống chỉ có một kênh phục vụ đơn và nguyên tắc phục vụ FIFO.
- Hàng đợi có kích thước vô hạn.
Hệ thống hàng đợi M/M/1 được mô hình hóa trong hình 2.4




Hình 2.4 Mô hình hàng đợi M/M/1
Trạng thái hệ thống được đặc trưng bởi số khách hàng trong hệ thống. Điều tạo ra sự
đơn giản của hệ thống M/M/1 là tốc độ đến và tốc độ phục vụ không phụ thuộc trạng
thái. Sơ đồ tốc độ chuyển đổi trạng thái thể hiện trong hình 2.5.

Hình 2.5 Sơ đồ tốc độ chuyển trạng thái hệ thống M/M/1.
2.3.1.1 Các xác suất trạng thái dừng
Gọi P
k
(t): xác suất (phụ thuộc thời gian) có k khách hàng trong hệ thống tại thời điểm
t.
Kí hiệu xác suất trạng thái dừng mà hệ thống là trong trạng thái k (k N) là: p
k







 (2.5)
…
…
0
1
2
k-1
k







Server
Khách đến
tốc độ 
nguyên tắc
phục vụ
Khách ra
tốc độ µ
 hệ số sử dụng
𝓍
thời gian

phục vụ
W thời gian đợi
Hàng đợi (queue)
12

Điều kiện dừng hệ thống hàng đợi M/M/1 là: <µ
Từ các phương trình trạng thái dừng, suy ra các xác suất trạng thái dừng [17, trang 11]
của hệ thống M/M/1 như sau:


 


(2.6)











(2.7)
2.3.1.2 Một số thông số đo hiệu suất
Để có thể đánh giá được hiệu suất hoạt động của hệ thống hàng đợi, chúng ta cần quan
tâm đến một số các thông số như:
 Hệ số sử dụng
Hệ số sử dụng đưa ra các phần thời gian mà các kênh phục vụ bận. Trong trường hợp
M/M/1 hệ số sử dụng ρ:=1- p
0
=



 Số khách hàng trung bình trong hệ thống
Số khách hàng trung bình trong hệ thống là:
























  









(2.8)
Do:










với |x|<1, nên










 Thời gian đáp ứng trung bình
Thời gian đáp ứng trung bình T: là thời gian trung bình một khách hàng chi phí trong
hệ thống, tức là thời gian chờ đợi trong hàng đợi và thời gian được phục vụ.








  





2.3.2. Hệ thống hàng đợi M/M/1/K
Bây giờ chúng ta xem xét trường hợp hệ thống hàng đợi có khả năng lưu trữ hữu hạn.
Cụ thể, chúng ta giả định hệ thống có thể phục vụ nhiều nhất K khách hàng (bao gồm
cả khách hàng trong kênh phục vụ và khách hàng trong hàng đợi) và các khách hàng
đến bị từ chối vào hệ thống sẽ ngay lập tức rời khỏi hệ thống. Khách hàng mới sẽ tiếp
tục đến hệ thống hàng đợi, nhưng chỉ có những khách hàng đến khi hệ thống đang có ít
hơn K khách hàng sẽ được phép vào hệ thống.

13

Hệ thống hàng đợi M/M/1/K được mô hình hóa trong hình 2.6




Hình 2.6 Mô hình hệ thống M/M/1/K
Sơ đồ tốc độ chuyển đổi trạng thái thể hiện trong hình 2.7




Hình 2.7 Sơ đồ tốc độ chuyển trạng thái hệ thống M/M/1/K.
Tốc độ vào hệ thống của khách hàng thứ k là








Tốc độ phục vụ khách hàng thứ k là



2.3.2.1. Các xác suất trạng thái dừng
Một lần nữa có thể sử dụng kỹ thuật dựa trên đánh giá của các phương trình luồng để
đi đến xác suất trạng thái dừng p
k
. Tuy nhiên, vì số lượng khách hàng trong hệ thống
bị giới hạn, tiến trình đến là phụ thuộc trạng: nếu có ít hơn K khách hàng trong hệ
thống thì tốc độ đến là λ, ngược lại tốc độ đến là 0. Xác suất trạng thái dừng [17, trang
17] được xác định bởi:



  
  









Với 1 ≤ k ≤ K và 





…
0
1
2
k-2
k-1
k








Khách đến
tốc độ 
nguyên tắc
phục vụ
Khách ra
tốc độ µ
 hệ số sử dụng
𝓍
thời gian

phục vụ

W thời gian đợi
Hàng đợi (queue)
Server
K-1 vị trí
14

2.3.2.2. Một số thông số đo hiệu suất
Ngoài xác suất trạng thái dừng, chúng ta còn quan tâm đến các thông số hiệu suất
[17,trang 17] sau:
 Hệ số sử dụng
Trong trường hợp M/M/1/K hệ số sử dụng 



 Trung bình khách hàng trong hệ thống
Giá trị trung bình khách hàng trong hệ thống :


















  

 
  








Xác xuất từ chối (p
tc
): là xác suất mà một khách hàng đến nhận thấy hệ thống đầy (đã
có K khách hàng trong hệ thống).











 

  



 


2.3.3. Hệ thống hàng đợi M/M/m
Hàng đợi M/M/m (m>1) [16,17] có các phân phối thời gian đến giữa hai khách hàng
liên tiếp và phân phối thời gian phục vụ giống hàng đợi M/M/1, tuy nhiên trong trường
hợp này hệ thống có m kênh phục vụ và hàng đợi độ dài vô hạn. Trạng thái hệ thống
được đặc trưng bởi số khách hàng trong hệ thống. Hệ thống có:
- Tốc độ khách hàng đến λ
k
=λ, k=0,1,2,…
- Tốc độ phục vụ 






- Điều kiện dừng 



Hệ thống hàng đợi M/M/m được mô hình hóa trong hình 2.8

Hình 2.8 Mô hình hệ thống M/M/m
Khách đến
tốc độ 
nguyên tắc
phục vụ
Khách ra
W thời gian đợi
Hàng đợi (queue)
/m
/m
/m
…
Server 1
Server 2
Server m
15

Sơ đồ tốc độ chuyển đổi trạng thái của hệ thống thể hiện trong hình 2.9





Hình 2.9 Sơ đồ tốc độ chuyển trạng thái hệ thống M/M/m
2.3.3.1. Các xác suất trạng thái dừng
Xác suất p
k

là





















Và















  



Xác suất khách hàng đến và phải vào hàng đợi là:
























Do đó:









  











  

Nó thường được kí hiệu là Erlangs C Formula, viết tắt là C(m,


)
2.3.3.2. Đơn vị đo hiệu suất
Số khách hàng trung bình trong hệ thống:
0
1
2
m-1
m




2
m
m



(m-1)
3
16














  





  


2.3.4. Hệ thống hàng đợi M/M/m/K
Hàng đợi này là một biến thể của một hệ thống đa máy và chỉ có tối đa K khách hàng
là được phép ở lại trong hệ thống. Hệ thống hàng đợi M/M/m/K [16] được mô hình
hóa trong hình 2.10.





Hình 2.10 Mô hình hệ thống M/M/m/K
2.3.4.1. Các xác suất trạng thái dừng
Xác suất trạng thái dừng[16,trang 55]:


























Với:
























Để đơn giản biểu thức này thay 


, ta có:























 

























Khách đến
tốc độ 
nguyên tắc
phục vụ
Khách ra
W thời gian đợi
Hàng đợi (queue)
/m
/m
/m
K-m
…
Server 1
Server 2
Server m
17

2.3.4.2. Một số thông số đo hiệu suất
 Trung bình chiều dài hàng đợi






 








 



















 









 Trung bình khách hàng trong hệ thống




  



Và do 



 
Chúng ta có:




 

  




 Trung bình thời gian đáp ứng và thời gian đợi
Thời gian trung bình có thể đạt được bằng cách áp dụng pháp luật của Little, đó là:







  










  



Ngoài các hệ thống hàng đợi M/M/1, M/M/1/K, M/M/m, M/M/m/K đã giới
thiệu trong luận văn, còn có rất nhiều mô hình hệ thống hàng đợi khác như
M/M/m/K/M, M/G/1, M /E

r
/1, E
r
/M/1, M/G/1,G/M/m, G/G/1 được trình bày khá chi
tiết trong các tài liệu [7,11,15,16].
Kết luận
Trong chương 2 luận văn đã làm rõ các thành phần cơ bản của một hệ thống hàng đợi
và một số kết luận quan trọng của lý thuyết hàng đợi như luật Little, kí hiệu Kendall và
của một số hàng đợi cơ bản như M/M/1, M/M/1/K, M/M/m, M/M/m/K.
Tuy nhiên, để vận dụng lý thuyết hàng đợi vào các bài toán về hệ thống hàng đợi
trong thực tế với rất nhiều các ràng buộc là rất khó khăn. Ngày nay, với sự phát triển
của khoa học máy tính, với ưu thế của sự tích hợp các phân phối xác suất toán học vào
trong các phần mềm mô phỏng thì việc xây dựng, thiết lập các mô hình hệ thống hàng
đợi trở nên đơn giản hơn rất nhiều, khắc phục được những hạn chế của phương pháp
toán học thuần túy trong giải quyết bài toán hàng đợi. Chúng ta sẽ thấy được sự hiệu
quả của các công cụ mô phỏng trong hai bài toán thực nghiệm sẽ được trình bày trong
chương 4 của luận văn và để làm được điều đó chúng ta hãy tìm hiểu về hai công cụ
GPSS World và TNET, để có thể sử dụng nó vào mô phỏng các hệ thống hàng đợi
thực tế. Các công cụ này cung cấp các chức năng tiện ích cho người sử dụng trong quá
trình mô phỏng.