Mô hình phân tích ổn định thành giếng khoan phục vụ tối ưu hóa quỹ đạo giếng và dự báo khả năng xuất hiện cát trong khai thác dầu khí

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ

PHẠM THỊ BA LIÊN

MƠ HÌNH PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH THÀNH
GIẾNG KHOAN PHỤC VỤ TỐI ƢU HÓA QUỸ
ĐẠO GIẾNG VÀ DỰ BÁO KHẢ NĂNG XUẤT
HIỆN CÁT TRONG KHAI THÁC DẦU KHÍ

LUẬN VĂN THẠC SĨ

HÀ NỘI - 2011


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ

PHẠM THỊ BA LIÊN

MƠ HÌNH PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH THÀNH GIẾNG
KHOAN PHỤC VỤ TỐI ƢU HÓA QUỸ ĐẠO GIẾNG
VÀ DỰ BÁO KHẢ NĂNG XUẤT HIỆN CÁT TRONG
KHAI THÁC DẦU KHÍ
Ngành
: Cơ học kỹ thuật
Chuyên ngành : Cơ học kỹ thuật
Mã số
: 60.52.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ

HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN THẾ ĐỨC

HÀ NỘI - 2011


1

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ............................................................................................................... 3
Chƣơng 1: MƠ HÌNH PHÂN BỐ ỨNG SUẤT QUANH LỖ GIẾNG KHOAN 5
1.1. Ứng suất tại một điểm .............................................................................. 5
1.2. Phân tích ứng suất trong khơng gian hai chiều ........................................ 8
1.3. Phân tích ứng suất trong không gian ba chiều ....................................... 11
1.4 Ứng suất trong hệ tọa độ trụ .................................................................. 16
1.5. Ứng suất quanh lỗ khoan nghiêng ......................................................... 18
1.6. Ứng suất tại thành lỗ khoan trong trƣờng ứng suất bất đẳng hƣớng ..... 21
1.7. Sự thay đổi của ứng suất ........................................................................ 23
Chƣơng 2: TIÊU CHUẨN PHÁ HỦY ĐẤT ĐÁ................................................ 26
2.1. Tiêu chuẩn Coulomb ............................................................................. 26
2.2. Tiêu chuẩn Mohr .................................................................................... 29
2.3. Tiêu chuẩn Mohr- Coulomb................................................................... 29
2.4. Tiêu chuẩn Hoek-Brown ........................................................................ 30
2.5. Tiêu chuẩn Drucker-Prager .................................................................... 30
2.6. Tiêu chuẩn Mogi .................................................................................... 30
2.7. Tiêu chuẩn Mogi-Coulomb .................................................................... 31
2.8. Tiêu chuẩn Mogi-Coulomb mở rộng ..................................................... 34
2.9. Tiêu chuẩn Lade sửa đổi ........................................................................ 36
Chƣơng 3: MỘT SỐ KẾT QUẢ TÍNH TỐN NGHIÊN CỨU ....................... 37
3.1. Ảnh hƣởng của sự thay đổi tiêu chuẩn phá hủy trong dự báo mất ổn định
thành giếng và tối ƣu hóa quỹ đạo giếng ...................................................... 37

3.2. Kiểm định một số tiêu chuẩn phá hủy truyền thống trên cơ sở dữ liệu
khoan ............................................................................................................. 46
3.3. Tính tốn phục vụ thiết kế giếng khai thác cho một mỏ tại Việt Nam .. 57
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ............................................................................. 64
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................... 65
Phụ lục: LƢỢC ĐỒ VÀ CHƢƠNG TRÌNH TÍNH TỐN ............................... 67


2

A.1. Lƣợc đồ tính tốn với tiêu chuẩn Mohr-Coulomb ................................ 67
A.2. Lƣợc đồ tính tốn với tiêu chuẩn Mogi-Coulomb ................................ 68
A.3. Lƣợc đồ tính tốn với tiêu chuẩn Lade sửa đổi..................................... 69
A.4. Chƣơng trình tính tốn .......................................................................... 70
DANH MỤC BẢNG BIỂU .......................................................................... 79
DANH MỤC HÌNH VẼ ................................................................................ 80


3

MỞ ĐẦU
Ổn định địa cơ học đã trở thành vấn đề đƣợc xem xét thƣờng xuyên trong
phát triển mỏ từ khâu thăm dị đến khâu khai thác dầu khí. Mất ổn định địa cơ
học thƣờng gặp khi khoan tại vùng nƣớc sâu, khoan các mỏ có áp suất cao nhiệt
độ cao và khi khoan các giếng ngang, độ nghiêng lớn hay nhiều nhánh ([1]-[3]).
Một vấn đề khác đòi hỏi phân tích ổn định địa cơ học liên quan đến sự xuất hiện
cát khi khai thác ([4]-[6]). Khai thác chất lƣu vỉa chứa với lƣu lƣợng lớn (áp
suất chảy đáy giếng thấp) gây ra sự sụp đổ thành hệ và cát có thể chảy lẫn trong
chất lƣu khai thác. Nghiên cứu ổn định địa cơ học cũng có ý nghĩa trong việc dự
báo khả năng sụt lún bề mặt, gãy nứt ống chống, ống khai thác – một vấn đề có

thể gây nên những hậu quả kinh tế vô cùng lớn. Trong một số trƣờng hợp, mất
ổn định địa cơ học có thể đƣợc cố tình tạo ra, ví dụ biện pháp gây nứt vỡ vỉa
bằng thủy lực tạo đƣờng dẫn cho dầu thơ vào giếng khoan - khi đó, nghiên cứu
mất ổn định địa cơ học cũng là một công việc cần thiết để có thể đƣa ra những
thiết kế quy trình cơng nghệ gây nứt vỡ vỉa tối ƣu.
Trong số những vấn đề liên quan đến ổn định địa cơ học trong khai thác
dầu khí thì mất ổn định thành lỗ giếng khoan là hiện tƣợng xảy ra thƣờng xuyên
nhất và đƣợc quan tâm nhiều nhất. Nghiên cứu ổn định thành lỗ khoan đóng vai
trị cốt lõi, quyết định thành công của nhiều nhiệm vụ quan trọng trong thăm dị
và khai thác dầu khí nhƣ:
 Dự báo khả năng mất ổn định giếng khoan nhằm đƣa ra giải pháp
giảm thiểu hiện tƣợng sụp đổ thành lỗ khoan, kẹt cần khoan, mất
dung dịch khoan cũng nhƣ tối ƣu quỹ đạo khoan.
 Dự báo khả năng khai thác lẫn cát trong q trình khai thác và đƣa
ra giải pháp phịng tránh.
Ngày nay, trên toàn thế giới, đầu tƣ vào các nghiên cứu liên quan đến
phân tích ổn định thành lỗ khoan trong cơng nghiệp dầu khí đang tăng trƣởng
mạnh mẽ. Lý do chính thúc đẩy q trình này là nhiều cơng ty khai thác dầu khí
đang phải chuyển hoạt động khai thác tới các vùng nƣớc sâu (đòi hỏi các giếng
khoan dài và công nghệ khoan với tốc độ cao) hay hƣớng tới sử dụng các dạng
giếng khoan ngang, độ nghiêng lớn hoặc nhiều nhánh. Trên thực tế, trong hai
thập kỷ gần đây, địa cơ học dầu khí đã trở thành lĩnh vực thƣơng mại tăng
trƣởng nhanh nhất về đầu tƣ kỹ thuật trong khu vực dịch vụ KHCN dầu khí.
Mặc dù đƣợc quan tâm nghiên cứu rộng rãi thế giới, trình độ và điều kiện nghiên
cứu vấn đề này ở Việt Nam hiện nay cịn nhiều hạn chế. Tình trạng này gây khó


4

khăn cho chúng ta trong việc tiếp cận, làm chủ các công nghệ khoan-khai thác

tiên tiến cũng nhƣ dự báo những rủi ro liên quan đến mất ổn định. Với lý do này,
đề tài đề xuất mục tiêu nhằm bƣớc đầu nghiên cứu và áp dụng các phƣơng pháp
phân tích ổn định trong một số nhiệm vụ quan trọng của thiết kế khai thác dầu
khí: tối ƣu quỹ đạo giếng và dự báo khả năng khai thác dầu khí có cát.
Các kết quả chính đạt được của luận văn là:
 Tổng quan phƣơng pháp và xây dựng chƣơng trình tính tốn dựa
trên các mơ hình giải tích phân tích ổn định thành lỗ khoan thơng
dụng.
 Sử dụng chƣơng trình phân tích ổn định tự xây dựng trong nghiên
cứu tối ƣu hóa quỹ đạo giếng và dự báo khả năng xuất hiện cát
trong khai thác dầu khí.
Luận văn gồm 3 chương:
Chương 1: Mơ hình ứng suất quanh lỗ khoan.
Trình bày một số khái niệm cơ bản về trạng thái ứng suất và
phƣơng pháp mơ hình hóa trạng thái ứng suất quanh lỗ khoan.
Chương 2: Các tiêu chuẩn phá hủy.
Mô tả một số tiêu chuẩn phá hủy đất đá, qua đó lựa chọn các tiêu
chuẩn có tính đại diện cho chƣơng trình phân tích ổn định.
Chương 3: Một số kết quả tính tốn nghiên cứu và áp dụng.
Trình bày một số kết quả kiểm định và sử dụng chƣơng trình trong
phân tích ổn định thành hệ giếng phục vụ công tác khoan, khai thác dầu
khí.
Phần cuối cùng của luận văn trình bày kết luận và hƣớng phát triển tiếp
theo của đề tài.


5

Chƣơng 1: MƠ HÌNH PHÂN BỐ ỨNG SUẤT QUANH LỖ GIẾNG
KHOAN

1.1. Ứng suất tại một điểm
Nếu một vật rắn chịu tác dụng của tải trọng phân bố đều, thì ứng suất đơn
giản là lực chia cho diện tích tác dụng. Ví dụ đối với vật rắn hình trụ đồng nhất
có mặt cắt ngang A chịu nén theo chiều dọc một lực phân bố đều F nhƣ hình
1.1 (a), ứng suất theo phƣơng đứng trong hình trụ đƣợc định nghĩa là
σ

F
A

(1.1)

Hình 1.1: Định nghĩa ứng suất

Trong cơ học đơn vị của ứng suất là N m2 hay Pa . Các đơn vị khác là:

psi = 6.895 kPa ,
kg cm 2 = 98.1 kPa ,

bar = 100 kPa .
Thêm vào đó, ứng suất đƣợc quy ƣớc là dƣơng khi nén và âm khi kéo (lƣu
ý điều này ngƣợc với quy ƣớc trong một số ngành nghiên cứu liên quan đến đàn
hồi). Ứng suất luôn liên quan đến mặt phẳng cắt. Để minh họa điều này hãy xem
xét mặt cắt A' trong hình 1.1 (b). Ở đây, diện tích A' là lớn hơn và lực tác dụng
khơng vng góc với mặt cắt. Lực tác dụng này có thể phân tích thành 2 thành
phần (xem hình 1.2): Fn vng góc với mặt cắt và Fs song song với mặt cắt.
Thành phần:

n 

Fn
A'

(1.2)


6

gọi là ứng suất pháp tuyến của mặt cắt còn thành phần :
Fs
A'



(1.3)

là ứng suất tiếp tuyến của mặt cắt.
Nhƣ vậy, diện tích mặt cắt và hƣớng của lực là các yếu tố quan trọng để
xác định trạng thái ứng suất. Hai thành phần ứng suất sẽ tác dụng lên mặt cắt và
độ lớn của mỗi phần phụ thuộc vào hƣớng của mặt cắt.

Hình 1.2: Phân tích lực

Để xác định ứng suất tại một điểm, chia mặt cắt A' thành các phân tố mặt
cắt A' chịu tác dụng của tải trọng F nhƣ thấy trên hình 1.3. Phân tố lực F
đƣợc phân tích thành hai thành phần Fn và Fs . Các thành phần lực này sẽ
thay đổi theo hƣớng của phân tố mặt cắt A' .

Hình 1.3: Ứng suất tại một điểm

Tại mỗi điểm trong miền A' , mỗi thành phần ứng suất đƣợc định nghĩa
là giá trị tới hạn của tải trọng trung bình trên một đơn vị diện tích khi A' tiến
đến 0:
 n  lim
A 0
'

  lim
A' 0

Fn
A'

Fs
A'

(1.4)
(1.5)


7

Công thức trên xác định ứng suất tại một điểm. Để miêu tả đầy đủ trƣờng
ứng suất tại một điểm, cần thiết xác định những ứng suất theo 3 hƣớng trực giao,
theo 3 mặt của hình lập phƣơng vơ cùng bé. Trên mỗi mặt của hình lập phƣơng
có ứng suất pháp tuyến và ứng suất tiếp tuyến. Xem xét mặt phẳng vng góc
với phƣơng x (gọi là mặt phẳng x ), ứng suất pháp đƣợc ký hiệu là  x , trong đó
chỉ số dƣới x để chỉ thành phần trực giao tác động lên mặt phẳng x . Ứng suất
tiếp tuyến tác dụng theo phƣơng bất kỳ nằm trong mặt phẳng này và vì vậy
đƣợc phân tách thành hai thành phần  xy và  xz trong đó chỉ số dƣới thứ nhất chỉ

mặt phẳng tác động và chỉ số dƣới thứ hai chỉ phƣơng tác dụng của nó (Hình
1.4).

Hình 1.4: Các thành phần ứng suất

Tƣơng tự nhƣ vậy, thành phần ứng suất liên quan đến mặt vng góc với
trục y đƣợc ký hiệu là  y ,  yx và  yz ; thành phần ứng suất liên quan đến mặt
vng góc với trục z đƣợc ký hiệu là  z ,  zx và  zy . Do vậy tại một điểm bất kỳ
có 9 thành phần ứng suất và có thể biểu diễn dạng ten sơ nhƣ sau:

  x  xy  xz 


 yx  y  yz 



 zx  zy  z 

(1.6)

Do vật thể đƣợc giả sử là đứng yên nên các lực và mô men tác động lên
vật thể sẽ ở trạng thái cân bằng. Xem xét một hình vng nhỏ trên mặt phẳng
x  y với các ứng suất tác động lên nó nhƣ thấy trên Hình 1.6. Với lực ứng với
các thành phần ứng suất trực giao ở trạng thái cân bằng, điều kiện mô men quay
bằng không cần có,

 xy   yx
Tƣơng tự, cũng có thể thấy rằng:

(1.7)


8

 yz   zy và  xz   zx

(1.8)

Hình 1.5: Các thành phần ứng suất trong khơng gian ba chiều

Hình 1.6: Các thành phần ứng suất trong khơng gian hai chiều

Do sự bằng nhau của từng cặp ứng suất tiếp nên số thành phần độc lập
của tensơ ứng suất (1.6) sẽ giảm từ 9 xuống 6, bao gồm 3 thành phần ứng suất
pháp và 3 thành phần ứng suất tiếp:
  x  xy  xz 


 yx  y  yz 


 zx  zy  z 

1.2. Phân tích ứng suất trong khơng gian hai chiều
Xét thành phần ứng suất tiếp và ứng suất pháp của một phân tố hình
vng rất nhỏ nhƣ hình 1.6. Pháp tuyến của mặt phẳng phân tố nghiêng một góc
 so với trục x đƣợc biểu diễn nhƣ hình 1.7. Tam giác trong hình vẽ ở trạng
thái cân bằng, vì vậy khơng có lực nào nữa tác dụng lên chúng. Do hệ lực cân
bằng nên có biểu thức sau:

9

   x cos2    y sin 2   2 xy sin  cos
1
2

  ( y   x ) sin 2   xy cos 2

(1.9)
(1.10)

Hình 1.7: Các thành phần ứng suất trong mặt phẳng xiên

Các phƣơng trình trên chứng tỏ rằng nếu biết 3 thành phần ứng suất nằm
trong mặt phẳng trực giao thì thành phần ứng suất tiếp và ứng suất pháp trên mặt
phẳng nghiêng bất kỳ đều xác định đƣợc. Để thu đƣợc thành phần ứng suất pháp
tuyến khi khơng có ứng suất tiếp tuyến, cho  =0 trong phƣơng trình (1.10), ta
đƣợc kết quả là:
tan 2 

2τ xy
σx  σy

(1.11)

Trong đó  là góc nghiêng của mặt phẳng. Phƣơng trình (1.11) giải ra
đƣợc hai giá trị của  ( 1 và  2 tƣơng ứng với hai phƣơng trong trƣờng hợp
khơng có ứng suất tiếp). Hai phƣơng đó gọi là phƣơng ứng suất chính và mặt

phẳng đó gọi là mặt phẳng chính. Ứng suất pháp tuyến theo các phƣơng chính,
 1 và  2 gọi là ứng suất chính theo các phƣơng 1 và  2 :
1
1
σ1  (σ x  σ y )  τ 2  (σ x  σ y ) 2
xy
2
4

(1.12)

1
1
σ 2  (σ x  σ y )  τ 2  (σ x  σ y ) 2
xy
2
4

(1.13)


10

Chỉ số dƣới sử dụng với quy ƣớc rằng  1   2 . Vì vậy trong phân tích
ứng suất phẳng, ứng suất pháp lớn nhất theo phƣơng 1 và ứng suất pháp nhỏ
nhất theo phƣơng  2 , ứng với ứng suất tiếp bằng khơng. Các trục chính luôn
trực giao với nhau.
Nếu hệ thống trục đƣợc định hƣớng là trục x song song với ứng suất lớn
nhất và trục y - song song với ứng suất chính khác thì ứng suất pháp tuyến ,
ứng suất tiếp tuyến  theo phƣơng nghiêng một góc  đối với trục x trở thành:

1
2

1
2

  ( 1   2 )  ( 1   2 ) cos 2
1
2

  ( 1   2 ) sin 2

(1.14)
(1.15)

Biểu diễn mối quan hệ giữa  và  trên đồ thị sẽ thu đƣợc vịng trịn với
bán kính ( 1   2 ) / 2 và tâm tại điểm có ( 1   2 ) / 2 . Vòng tròn này đƣợc gọi
là vịng trịn Mohr ( hình 1.8a). Một điểm trên vòng tròn Mohr cho biết độ lớn
của ứng suất tiếp, ứng suất pháp của mặt phẳng nghiêng một góc  với chiều
của ứng suất chính lớn nhất  1 ( hình 1.8b).

Hình 1.8: Vịng trịn Mohr và các thành phần ứng suất trong mặt phẳng.

Nhìn vào hình vẽ thấy ứng suất tiếp lớn nhất tại vị trí ( 1   2 ) / 2 khi

   / 4  45o and   3 / 4  135o . Một trƣờng hợp đặc biệt phát sinh khi
 1   2 thì tâm vịng trịn Mohr sẽ nằm tại gốc tọa độ. Trong trƣờng hợp này,
khơng có ứng suất tại các mặt phẳng có ứng suất tiếp lớn nhất và trạng thái ứng
suất đƣợc gọi là ở điều kiện cắt thuần túy. Điều kiện này là cơ sở cho một số tiêu

11

chuẩn phá hủy trong nghiên cứu đàn hồi kim loại. Vịng trịn Mohr là cơng cụ
hữu ích cho việc phân tích các điều kiện cho sự phá hủy đất đá nhƣ đƣợc trình
bày trong chƣơng tiếp sau.
1.3. Phân tích ứng suất trong khơng gian ba chiều
Phân tích trạng thái ứng suất phẳng chỉ xét cân bằng trong mặt phẳng theo
phƣơng x , y và 3 thành phần ứng suất độc lập biểu diễn trạng thái ứng suất tại
một điểm bất kỳ.
Phân tích ứng suất khơng gian sử dụng 6 thành phần ứng suất (3 thành
phần ứng suất pháp, 3 thành phần ứng suất tiếp) để miêu tả trạng thái ứng suất
của một điểm. Những thành phần ứng suất này phụ thuộc vào hƣớng của khối
lập phƣơng, Vì vậy hƣớng mà các thành phần ứng suất pháp có giá trị nhỏ nhất
hay lớn nhất cần phải đƣợc xem xét. Điều này xảy ra khi các thành phần ứng
suất tiếp tuyến bằng khơng. Các phƣơng đó là các phƣơng ứng suất chính và
tenso ứng suất tại một điểm có dạng đơn giản là :

1 0 0 


   0 2 0 
0 0  
3


(1.16)

Trong đó,  1 là ứng suất pháp lớn nhất,  2 là ứng suất pháp trung gian,

 3 là ứng suất pháp nhỏ nhất (  1 ≥  2 ≥  3 ). Kết quả là có 3 ứng suất chính và
các hƣớng chính cần chỉ rõ để trạng thái ứng suất tại một điểm đƣợc xác định.
Trong phân tích trạng thái ứng suất khơng gian, các hƣớng trong không gian
đƣợc xác định bởi các cosin chỉ phƣơng.

x  cos x ; y  cos y ; z  cos z

(1.17)

Trong đó:  x ,  y và  z là các góc giữa các hƣớng chọn tƣơng ứng với
các trục x, y, z. Véc tơ   (x , y , z ) là các véc tơ đơn vị theo các phƣơng đã
chọn.

2  2  2  1
x
y
z

(1.18)

Các ứng suất chính có thể đƣợc tìm bằng cách giải phƣơng trình sau đây :


12

σx  σ p

τ xy

τ xz

τ xy

σy σp

τ yz

τ xz

τ yz

σz  σ p

0

(1.19)

mà từ đó nhận đƣợc phƣơng trình bậc ba

σ 3  I1σ 2  I 2 σ p  I 3  0
p
p

(1.20)

Trong đó:

I1  σ x  σ y  σ z
2
2

2
I 2  σ x σ y  σ y σ z  σ z σ x  τ xy  τ yz  τ zx

(1.21)

I 3  σ x σ y σ z  2τ xy τ yz τ zx  σ τ  σ τ  σ τ
2
x yz

2
x zx

2
z xy

Hình 1.9: Các cosin chỉ phƣơng

I 1 , I 2 và I 3 là các bất biến của trạng thái ứng suất tại một điểm. Giải
phƣơng trình (1.20) nhận đƣợc ba giá trị ứng suất chính là các giá trị thực và
theo quy ƣớc  1 >  2 >  3 .
Các vectơ đơn vị 1x , 1 y và 1z xác định trục chính tƣơng ứng với ứng
suất chính  1 thu nhận từ phƣơng trình:

1x ( x   1 )  1 y xy  1z xz 0,
1x xy  1 y ( y   1 )  1z yz  0,
1x xz  1 y yz  1z ( z   1 )  0.

(1.22)

13

Tƣơng tự nhƣ trên thì các trục chính tƣơng ứng với ứng suất chính  2 và

 3 cũng đƣợc xác định từ phƣơng trình:

2x ( x   2 )  2 y xy  2 z xz 0,
2 x xy  2 y ( y   2 )  2 z yz  0,

(1.23)

2 x xz  2 y yz  2 z ( z   2 )  0.

3x ( x   3 )  3 y xy  3 z xz 0,
3 x xy  3 y ( y   3 )  3 z yz  0,

(1.24)

3 x xz  3 y yz  3 z ( z   3 )  0.
Từ phƣơng trình (1.20) đến (1.24), xác định đƣợc ứng suất chính và
phƣơng chính của trạng thái ứng suất ba chiều. Nếu sử dụng hệ trục tọa độ sao
cho trục x song song với trục chính thứ nhất, trục y song song với trục chính thứ
hai và trục z song song với trục chính thứ 3 thì tensơ ứng suất có dạng phƣơng
trình (1.16). Trong hệ trục này, ứng suất pháp và ứng suất tiếp tại một điểm
đƣợc xác định từ phƣơng trình:
2
2
2 2
1 12  2 2  3 3  0,
2

2
2
2 2
1 12  2 2  3 3   2   2 .
2

(1.25)

Vòng trịn Mohr cho trạng thái ứng suất khơng gian có thể đƣợc thiết lập
từ phƣơng trình (1.25). Xem xét mặt phẳng trong phân tố lập phƣơng nhƣ hình
1.10. Đối với mặt phẳng này 3  0 , vì vậy các thành phần ứng suất pháp và ứng
suất tiếp trên mặt phẳng không phụ thuộc vào  3 mà chỉ phụ thuộc vào thành
phần  1 và  2 . Khi đó, mối quan hệ giữa  và  đƣợc biểu diễn bởi vòng tròn
từ  1 đến  2 nhƣ hình vẽ. Nếu mặt phẳng vng góc với phƣơng của ứng suất

 1 thì 1  0 và mối quan hệ giữa  và  đƣợc biểu diễn bởi vòng tròn  2 -  3 .
Tƣơng tự nhƣ vậy nếu mặt phẳng vng góc với phƣơng của ứng suất  2 thì

2  0 và mối quan hệ giữa  và  đƣợc biểu diễn bởi vòng tròn  1 -  3 . Đối
với các phƣơng khác thì điều kiện ứng suất nằm trong vùng gạch đậm.


14

Hình 1.10: Vịng trịn Mohr ứng suất biểu diễn trạng thái ứng suất không gian

* Ứng suất bát diện (octahedral stress)
Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến nghiêng đều với 3 trục chính có cosin chỉ
phƣơng:

1  2  3 

1
3

(1.26)

gọi là mặt phẳng bát diện, do nó song song với một mặt của một bát diện có các
đỉnh nằm trên các trục chính. Thành phần ứng suất pháp tuyến và tiếp tuyến của
mặt phẳng này gọi là ứng suất pháp bát diện  oct và ứng suất tiếp bát diện  oct .

Hình 1.11: Mặt phẳng bát diện và ứng suất bát diện


15

1
I
σ oct  ( 1   2   3 )  1
3
3
1
 oct  ( 2   3 ) 2  ( 3   1 ) 2  ( 1   2 ) 2
3

(1.27)

hay

 oct 

2
2
2
( 12   2   3   1 2   2 3   3 1 )
3

(1.28)

và có thể biểu diễn thơng qua các bất biến :

 oct

1
2 2

( I1  3I 2 ) 2
3

(1.29)

* Ứng suất lệch (deviatoric stress)
Công thức (1.27) cho thấy ứng suất pháp bát diện hiển nhiên là ứng suất
trực giao trung bình (  m ) mà nó khơng phụ thuộc vào hệ tọa độ, hay nói cách
khác là một bất biến có giá trị bằng I1/3. Ứng suất trực giao trung bình cịn đƣợc
gọi là ứng suất thủy tĩnh. Ứng suất này chủ yếu gây ra nén ép hoặc giãn nở
đồng đều. Tƣơng phản với nén ép hay giãn nở đồng đều là sự biến dạng bóp
méo đƣợc xác định bởi ứng suất xiên đƣợc gọi là ứng suất lệch. Các ứng suất
lệch đƣợc xác định bởi công thức:

 sx

s   s xy
 s xz


s xy
sy
s yz

s xz   x   m
 xy
 xz 
 

s yz     xy
 y  m
 yz 
s z    xz
 yz
 z  m 
 


(1.30)

Phƣơng chính của ứng suất lệch trùng với phƣơng chính của ứng suất.
Các ứng suất lệch chính s1 , s2 , s3  có thể đƣợc tính từ các ứng suất chính và ứng
suất thủy tĩnh theo cơng thức sau:

s1   1   m  (2 1   2   3 ) / 3,
s2   2   m  (2 2   1   3 ) / 3,

(1.31)

s3   3   m  (2 3   1   2 ) / 3
Trong đó s1  s2  s3 .
Nhiều tiêu chuẩn phá hủy quan tâm đến sự biến dạng bóp méo. Do các
tiêu chuẩn phá hủy bắt buộc phải không phụ thuộc vào hệ tọa độ, các bất biến


16

của ứng suất lệch cần phải có mặt trong các tiêu chuẩn này. Các bất biến này
thƣờng đƣợc ký hiệu là J 1 , J 2 , J 3 và đã đƣợc xác định bằng:

J1   x   y   z  0,
2
2
2
J 2  ( s x s y  s y s z  s z s x )  s xy  s yz  s zx ,

(1.32)

2
2
2
J 3  s x s y s z  2s xy s yz s zx  s x s yz  s y s zx  s z s xy .

Sử dụng phƣơng trình trên, có thể thu nhận đƣợc biểu diễn sau cho ứng

suất tiếp bát diện:
1
2

 oct  (2 J 2 / 3) .

(1.33)

1.4 Ứng suất trong hệ tọa độ trụ
Một hệ tọa độ trụ là phù hợp nhất để phân tích ứng suất quanh giếng
khoan. Hệ tọa độ Đề các ( x, y, z ) và hệ tọa độ trụ ( r ,  , z ) đƣợc minh họa trên
hình 1.12. Chuyển đổi giữa các hệ tọa độ đƣợc thực hiện theo phƣơng trình:
r  ( x 2  y 2 )1/ 2 arctan y / x 

(1.34)

x  r cos , y  r sin 

(1.35)

Hình 1.12: Chuyển đổi giữa hệ tọa độ trụ và tọa độ Đề Các : (a) Góc quay quanh trục z' ; (b)
Ứng suất trong hệ tọa độ trụ.

Trong hệ tọa độ trụ tensơ ứng suất tại mỗi điểm là:


17

 σr


 τ rθ
τ
 rz

τ rθ
σθ
τ θz

τ rz 

τ θz 
σz 


(1.36)

Trong đó:  r là ứng suất hƣớng tâm,   là ứng suất tiếp tuyến và  z là
ứng suất dọc trục.
Lƣu ý rằng ký hiệu  sẽ đƣợc sử dụng cho tất cả các thành phần ứng suất
từ đây trở về sau. Các ứng suất này có liên hệ với các ứng suất trong hệ trục tọa
độ Đề Các qua phƣơng trình chuyển ứng suất sau [3] :
 σx

 σ yx
σ
 zx

σ xy
σy
σ xy

σ xz   λxx'
 
σ yz  =  λ yx'

σ z   λzx'


λxy'
λ yy'
λxy'

λxz'   σ x'

λ yz'   σ yx'

λzz'   σ zx'


σ xz'   λ
  xx'
σ yz'   λ yx'
σ z'   λzx'


σ xy'
σ y'
σ xy'

λxy'

λ yy'
λxy'

T

λxz' 

λ yz'  (1.37)
λzz' 


Trong đó các thành phần ứng suất ở bên phải trong biểu thức này giả thiết
đã biết, đó là các ứng suất trong hệ tọa độ ( x, , y , , z , ) lệch so với hệ tọa độ
( x, y, z ) .

Việc

chuyển

đổi

đƣợc

thực

hiện

bởi

các

cosin

chỉ

phƣơng (xx' , yy' , z z ' ) . Ví dụ số hạng xx' chỉ cosin góc giữa trục x và trục x' .
Ma trận đầu tiên ở phía bên phải là ma trận quay và ma trận cuối là ma
trận chuyển vị của nó. Việc chuyển từ hệ tọa độ ( x, , y , , z , ) sang tọa độ trụ

r, , z  có thể thu đƣợc bằng một góc quay 

quanh trục z ' nhƣ thấy trên hình

1.12. Ma trận quay tƣơng ứng là:
 cos θ sin θ 0 


  sin θ cos θ 0 
 0
0
1



(1.38)

Tiếp tục với phép nhân ma trận bên vế phải của phƣơng trình chuyển ứng
suất, sử dụng ma trận quay ở trên và thay thế ma trận ở vế trái bởi phƣơng trình
(1.36), ta có cơng thức sau đây cho các thành phần ứng suất trong hệ tọa độ trụ:

18

 r   x ' cos    y ' sin 2   2 x ' y ' sin  cos 
2

    x ' cos 2    y ' sin 2   2 x ' y ' sin  cos 
 z   z'
 r  ( y '   x ' ) sin  cos    x ' y ' (cos 2   sin 2  )

(1.39)

 rz   x 'z ' cos    y 'z ' sin 
 z   y 'z ' cos    x 'z ' sin 
1.5. Ứng suất quanh lỗ khoan nghiêng
Phần này mô tả ứng suất quanh giếng khoan lệch với trƣờng ứng suất
ngang dị hƣớng. Giả thiết rằng ứng suất chính tại chỗ theo phƣơng đứng là  v ,
ứng suất lớn theo phƣơng ngang là  H và ứng suất phụ theo phƣơng ngang là

 h . Các ứng suất đƣợc gắn với hệ tọa độ x' , y' , z ' nhƣ minh họa trên hình

1.13(a). Trục z , song song với  v , trục x , - song song với  H và trục y , - song
song với  h .
Các ứng suất này cần đƣợc chuyển về mô hệ tọa độ x, y, z  khác nhằm
mô tả phân bố ứng suất quanh lỗ khoan thuận tiện hơn. Hình 1.13b cho thấy hệ
tọa độ ( x, y, z ) mà trong đó trục z là song song với trục lỗ khoan, trục x song
song với chiều bán kính thấp nhất của lỗ khoan và trục y là nằm ngang. Chuyển
đổi này có thể thu đƣợc bằng cách quay một góc  quanh trục z , , và sau đó một
góc i quanh các trục y , (hình 1.14).

Hình 1.13: Hệ tọa độ ứng suất tại chỗ


19

Hình 1.14: Hệ chuyển ứng suất cho giếng khoan lệch

Các cosine chỉ hƣớng ứng với trục z có thể đƣợc xác định bởi các chiếu
của một vectơ đơn vị song song với trục z lên các trục x' , y ' , z ' . Kết quả nhận
đƣợc là:

zx '  cos sin i; zy '  sin  sin i; zz '  cosi

(1.40)

với cosin chỉ phƣơng ứng với trục x , kết quả là:

xx'  cos cosi; xy'  sin  cosi; xz'   sin i

(1.41)

Cuối cùng, trục y nằm ngang và tạo các góc  và    / 2 tƣơng ứng
với các trục x , và y , . Do vậy các cosin chỉ phƣơng của trục y là:

yx'   sin  ; yy'  cos ; yz'  0

(1.42)

Chín cosin chỉ phƣơng này tạo thành ma trận quay:
 cos  .cos i sin cos i - sin i 



cos
0 
  sin
 cos  sin i sin  sin i cos i 



(1.43)

và cùng với ten sơ ứng suất:
 H

 0
 0


0

h
0

0

0
v 


(1.44)

20

đƣợc sử dụng nhƣ là phƣơng trình chuyển ứng suất. Vì vậy, ứng suất thành hệ
ban đầu đƣợc biểu diễn trong hệ tọa độ x, y, z  nhƣ sau:
o
 x  ( H cos2    h sin 2  ) cos2 i   v sin 2 i
o
 y   H sin 2    h cos2 

 zo  ( H cos2    h sin 2  ) cos2 i   v sin 2 i
o
 xy  0.5( h   H ) sin 2 cosi

(1.45)

o
 yz  0.5( h   H ) sin 2 cosi
o
 xz  0.5( H cos2    h sin 2    v ) sin 2i

Chỉ số trên "o" chỉ rằng ứng suất ở trạng thái ban đầu (chƣa khoan). Nhƣ
đã đề cập trƣớc đây, khi thi công giếng khoan làm thay đổi ứng suất tại vị trí
giếng khoan. Lời giải ứng suất trong hệ tọa độ hình trụ xung quanh một giếng
khoan theo một hƣớng bất kỳ là [8]:
o
o
o
o

2
2
  x   y  a 2    x   y 


1  2   
1  3 a4  4 a2  cos 2
r  
 r  

2 
2 
r
r 
 






a2
a2 
a2
  1  3 4  4 2  sin 2  Pw 2

r
r 
r



o
xy

o
o
o
o
2
  x   y  a 2    x   y 

1  2   
1  3 a4  cos 2
  

2  r  
2 
r 
 






a2 
a2
  1  3 4  sin 2  Pw 2

r 

r


o
xy

2
2


o
o a
o a
 z    2( x   y ) 2 cos 2  4 xy 2 sin 2 
r
r


o
z

 r

0
0
4
2
4
2
   x   y 




0 

1  3 a4  2 a2  sin 2    xy 1  3 a4  2 a2  cos 2
  

2 
r
r 
r
r 



 





 a2 
 z    sin    cos  1  2 
 r 





o
xz



o
yz

 a2 
 rz   sin    cos  1  2 
 r 





o
xz

o
yz



(1.46)


21

Trong đó “ a ” là bán kính của giếng khoan, Pw là áp suất trong giếng

khoan và  là hệ số Poisson. Các góc  đƣợc đo chiều kim đồng hồ từ trục x ,
nhƣ thể hiện trong hình 1.14.
Phƣơng trình (1.46) đƣợc thu nhận với giả thiết khơng có chuyển vị dọc
theo trục z , nghĩa là, điều kiện biến dạng phẳng, để xác định  r ,   ,  z và

 r . Các ứng suất tiếp theo phƣơng dọc  z và  rz đƣợc xác định với giả thiết là
các mặt phẳng vuông góc với trục z đều có cùng biến dạng gây ra bởi ứng suất
tiếp theo phƣơng dọc. Phƣơng trình cho ứng suất quanh một lỗ trịn, trong đó lỗ
đƣợc giả thiết là song song với một trục ứng suất chính. Trƣờng ứng suất xung
quanh một lỗ tròn theo hƣớng bất kỳ lần đầu tiên đƣợc công bố bởi Hiramatsu,
Oka và Fairhurst năm 1968 [4].
1.6. Ứng suất tại thành lỗ khoan trong trường ứng suất bất đẳng hướng
Với vật liệu đàn hồi tuyến tính, sự tập trung ứng suất lớn nhất xảy ra tại
thành giếng khoan. Do vậy phá hủy thƣờng xảy ra bắt đầu từ đó. Do vậy, để
phân tích sự ổn định của giếng khoan, cần phải so sánh ứng suất tại thành giếng
khoan với các tiêu chuẩn phá hủy. Các ứng suất này cho các giếng khoan xiên,
ngang và đứng đƣợc trình bày dƣới đây:
* Giếng khoan xiên
Đối với giếng khoan xiên, trƣờng ứng suất trên thành giếng khoan ứng với
r  a trong phƣơng trình (1.46) cho kết quả là:
 r  Pw
o
o
o
o
o
   ( x   y )  2( x   y ) cos 2  4 xy sin 2  Pw ,
o
o
o

 z   zo   [2( x   y ) cos 2  4 xy sin 2 ],
o
o
 z  2( xz sin    yz cos  )

(1.47)

 r  0,
 rz  0

* Giếng khoan đứng
Để xác định ứng suất tại thành giếng khoan đứng, ta đặt góc nghiêng i  0
trong phƣơng trình (1.45). Để đơn giản, trục ngang đƣợc định hƣớng sao cho
song song với  H ,   0 nhƣ thấy trên hình 1.15. Kết quả nhận đƣợc là:


22

 r  Pw
    H   h  2( H   h ) cos 2  Pw
 z   v  2 ( H   h ) cos 2 ,
 z  0,
 r  0,
 rz  0

(1.48)

Hình 1.15: Chuyển đổi ứng suất trong giếng khoan đứng

* Giếng khoan ngang

Để xác định ứng suất trên thành giếng khoan ngang, cho i   / 2 trong
phƣơng trình (1.45), ta nhận đƣợc:
o
 x  
o
 y   H sin 2    h cos2  ,

 zo   H cos2    h sin 2  ,
o
 xy  0,

(1.49)

o
 yz  0.5( h   H ) sin 2
o
 xz  0,

Thế phƣơng trình (1.49) vào phƣơng trình (1.47), ứng suất trên thành
giếng khoan là:


23

 r  Pw
   ( v   H sin 2    h cos 2  )  2( v   H sin 2    h cos 2  ) cos 2  Pw
 z   H cos 2    h sin 2   2v( v   H sin 2    h cos 2  ) cos 2 ,
 z  ( h   H ) sin 2 cos  ,
 r  0
 rz  0

(1.50)
Hình 1.14 minh họa chuyển đổi ứng suất trong một giế ng khoan ngang.
Trong hình này, lƣu ý rằng góc  đƣợc đo ngƣợc chiều kim đồng hồ từ chiều
dƣơng của trục x .

Hình 1.16: Chuyển đổi ứng suất trong giếng khoan ngang

Đối với trƣờng hợp giếng khoan nằm theo phƣơng ứng suất chính thì ứng
suất trên thành giếng khoan là:

 r  Pw ,
   ( v   h )  2( v   h ) cos 2  Pw ,
 z   H  2v( v   h ) cos 2 ,
 z  0,
 r  0,
 rz  0
mà nó thƣờng đƣợc gọi là lời giải Kirsch.
1.7. Sự thay đổi của ứng suất

(1.51)