Hướng dẫn học sinh giải phương trình không mẫu mực

Sở Giáo dục - đào tạo hà Nội
Phòng giáo dục - đào tạo thanh oai
---------- * * * -----------

Đề tài sáng kiến kinh nghiệm
Tên đề tài
Hớng dẫn học sinh giải phơng trình
"không mẫu mực"
------------
Họ tên: Nguyễn Thị Bích Huệ
Giáo viên: Trờng THCS Thanh Cao
Thanh Oai - Hà Nội

Năm học 2009 - 2010
1
Cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam
Độc lập Tự do Hạnh phúc
-----***-----
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm
sơ yếu lí lịch
Họ và tên : Nguyễn Thị Bích Huệ
Ngày tháng năm sinh : 25/05/1973
Năm vào ngành :1996
Chức vụ và đơn vị công tác : Giáo viên Trờng THCS Thanh Cao
Thanh Oai - Hà Nội
Trình độ chuyên môn : Đại học toán
Hệ đào tạo : Từ xa
Bộ môn giảng dạy : Toán 9
Khen thởng : Giáo viên giỏi cơ sở .
Các đề tài sáng kiến kinh nghiệm đã đợc công nhận
1 . Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử

2 . Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức.
3. Phát triển t duy lôgic qua một số bài toán suy luận. (đạt cấp tỉnh)
2
Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến ban giám hiệu và các thầy cô
giáo dạy toán, các em học sinh trờng THCS Thanh Cao - huyện Thanh Oai -
TP Hà Nội cùng các bạn bè, đồng nghiệp đã cung cấp cho tôi nhiều tài liệu quý
báu để tôi hoàn thành đề tài.
Để hoàn thành nội dung nghiên cứu tôi đã tham khảo, sử dụng trong đề
tài rất nhiều ý kiến đánh giá, tài liệu nghiên cứu của các chuyên gia giáo dục,
các nhà nghiên cứu trên nhiều lĩnh vực. Ngời viết xin đợc vô cùng cảm ơn.
Xin chân thành cảm ơn hội đồng khoa học các cấp đã dành thời gian
đọc, đánh giá đề tài. Rất mong nhận đợc ý kiến đóng góp cho đề tài đợc
hoàn thiện hơn.
Xin đợc chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 12 tháng 4 năm 2010
Ngời viết
Nguyễn Thị Bích Huệ
3
Mục lục
STT Nội dung trang
1
A. Mở đầu 1
2
Tên đề tài 1
3
B.Quá trình thực hiện đề tài 3
4
I. khảo sát thực tế 3
5

II. Những biện pháp thực hiện 3
6
III.Nội dung chủ yếu của đề tài 4
7
1. Phơng pháp đa về phơng trình tích 4
8
2. Phơng pháp áp dụng BĐT 14
9
3. Phơng pháp chứng minh nghiệm duy nhất 20
10
4. Phơng pháp đa về hệ phơng trình 25
11
Một số bài tập tự luyện 33
12
C. Kết quả thực hiện có so sánh đối chứng 34
13
D. Tài liệu tham khảo 35
14
E. Những kiến nghị sau khi thực hiện đề tài 36
Chữ viết tắt dùng trong đề tài:
1. BĐT: Bất đẳng thức
2. ĐK: Điều kiện
3. GPT: Giải phơng trình.
4
4. PT: Phơng trình
5. SGK: Sách giáo khoa.
6. TXĐ: Tập xác định.
7. TM: Thoả mãn
8. THCS: Trung học cơ sở
9. VP: Vế phải

10. VT: vế trái
Phần A: Mở đầu
1. Tên đề tài:
Hớng dẫn học sinh giải phơng trình "không mẫu mực"
2. Lí do chọn đề tài:
5
a) Cơ sở lý luận:
+ Quan điểm về đổi mới phơng pháp dạy học và phơng pháp dạy học tích cực.
+ Quan điểm đổi mới phơng pháp dạy học:
Luật giáo dục quy định "Phơng pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực,
tự giác chủ động, t duy sáng tạo của ngời học, bồi dỡng cho ngời học năng lực tự
học, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vơn lên".
Với mục tiêu giáo dục là "Giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí
tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính
năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con ngời Việt Nam xã hội chủ nghĩa,
xây dựng tính cách và trách nhiệm công dân, chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học
lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc".
+ Phơng pháp dạy học tích cực:
Giúp học sinh phát huy tính tích cực tự giác chủ động sáng tạo rèn luyện
thói quen và khả năng tự học, tinh thần hợp tác kỹ năng vận dụng kiến thức vào
những tình huống khác nhau trong học tập và trong thực tiễn tạo niềm tin, niềm
vui hứng thú trong học tập.
b) Cơ sở thực tiễn:
Toán học là một môn khoa học nói chung nhng lại giữ một vai trò rất chủ
đạo trong nhà trờng cũng nh đối với các ngành khoa học khác. Là một giáo viên
giảng dạy bộ môn toán tôi nhận thấy cần thiết phải cải tiến phơng pháp nhằm nâng
cao chất lợng dạy học. Một trong những vấn đề rất cơ bản của đại số khối THCS là
việc nắm đợc các phơng trình sơ cấp đơn giản và cách giải những phơng trình đó
đối với những đối tợng là học sinh đại trà. Ngoài ra mở rộng các phơng trình khó
hơn, phức tạp hơn đối với đối tợng học sinh khá giỏi.

- Với rất nhiều những chuyên đề đợc đề cập đến khi dạy Đại số cấp 2 và ph-
ơng trình đại số tôi mạnh dạn tập trung suy nghĩ sâu về phơng trình không mẫu
mực.
- Bởi vì trong quá trình học toán các học sinh có thể gặp đâu đó những bài
toán mà đầu đề có vẻ "lạ" không bình thờng, những bài toán không thể giải bằng
cách áp dụng trực tiếp các quy tắc, các phơng pháp quen thuộc.
6
Những bài toán nh vậy đợc gọi là "Không mẫu mực" có tác dụng không nhỏ
trong việc rèn luyện t duy toán học và thờng là sự thử thách đối với các học sinh
trong các kỳ thi học sinh giỏi, thi vào các lớp chuyên toán... Đơng nhiên quen
thuộc hay "Không mẫu mực" chỉ là tơng đối, phụ thuộc vào trình độ của ngời giải
toán, có bài toán là "không mẫu mực" với ngời này nhng lại là quen thuộc đối với
ngời khác.
Chuyên đề "Phơng trình không mẫu mực" giúp học sinh luyện tập đợc nhiều bài
toán giải phơng trình "không mẫu mực" và một số phơng pháp giải loại phơng
trình đó.
3. Phạm vi và thời gian thực hiện
- Đề tài này của tôi đợc thực hiện trong quá giảng dạy và bồi dỡng học sinh giỏi
lớp 9 cũng nh ôn luyện vào lớp 10 năm học 2009-2010.
- Thời gian: 14 tiết trong đó có 2 tiết kiểm tra.
4. Phơng pháp nghiên cứu:
+ Phơng pháp nghiên cứu lý thuyết: Đọc sách tham khảo tài liệu.
+ Phơng pháp nghiên cứu thực tiễn:
- Quan sát trực tiếp các đối tợng học sinh để phát hiện ra những vấn đề mà
học sinh thấy lúng túng khó khăn.
- Kiểm tra học sinh, để tìm hiểu trình độ và nhận thức của học sinh.
- Dạy học thực tiễn trên lớp để rút ra kinh nghiệm
B. Quá trình thực hiện đề tài
I. Khảo sát thực tế
1. Tình trạng thực tế trớc khi thực hiện đề tài.

Trớc khi thực hiện đề tài này các em học sinh đã đợc trang bị những kiến
thức cơ bản tơng đối đầy đủ của chơng trình bộ môn Toán trong nhà trờng phổ
thông THCS. Quá trình nhận thức của các em ở mức khá có thể hoàn thành các bài
toán bắt buộc trong SGK và có khả năng giải đợc một số bài có tính nâng cao.
Mặc dù vậy khi đứng trớc những bài toán khó, những bài toán "Không mẫu mực"
thì việc tìm ra đờng lối giải gặp phải lúng túng và bế tắc.
2. Số liệu khảo sát trớc khi thực hiện đề tài:
7
Khảo sát về việc giải phơng trình không mẫu mực đối với 30 học sinh đợc
kết quả nh sau:
Trớc khi thực hiện đề tài
Số lợng Tỉ lệ %
Giỏi 1 3,3%
Khá 3 10%
TB 11 36,7%
Dới TB 15 50%
Với bảng số liệu trên việc giải các phơng trình không mẫu mực đối với học
sinh là vấn đề khó khăn, số học sinh đạt điểm khá, giỏi đạt tỉ lệ rất thấp, tỉ lệ học
sinh đạt điểm dới trung bình rất cao.
II. Những biện pháp thực hiện
Qua kinh nghiệm giảng dạy một số năm bồi dỡng học sinh giỏi và thông
qua một số tài liệu tham khảo tôi muốn tổng hợp phân loại từ những bài toán giải
phơng trình cụ thể nhằm đa ra một số phơng pháp giải đối với những phơng trình
"Không mẫu mực" nhằm biến nó trở thành quen thuộc qua đó biết cách suy nghĩ
trớc những phơng trình "Không mẫu mực" khác.
Các phơng pháp giải phơng trình không mẫu mực:
1- Phơng pháp đa về phơng trình tích.
2- Phơng pháp áp dụng bất đẳng thức.
3- Phơng pháp chứng minh nghiệm duy nhất.
4- Phơng pháp đa về hệ phơng trình.

III. Nội dung chủ yếu của đề tài
1. Ph ơng pháp: Đ a về ph ơng trình tích
* Các bớc:
- Tìm TXĐ của phơng trình.
- Dùng các phép biến đổi đại số, đa phơng trình về dạng:
f(x); g(x);......... h(x) = 0 là phơng trình quen thuộc.
Nghiệm của phơng trình là tập hợp các nghiệm của phơng trình:
8
f(x) = 0; g(x) = 0; ........h(x) = 0 thuộc tập xác định.
Đôi khi dùng ẩn phụ thay thế cho một biểu thức chứa ẩn, đa về dạng tính
(với ẩn phụ). Giải phơng trình với ẩn phụ, từ đó tìm nghiệm của phơng trình đã
cho.
Dùng cách nhóm các số hạng hoặc tách các số hạng,.... để đa phơng trình về
dạng quen thuộc mà ta đã biết cách giải:
* Ví dụ:
Bài 1: Giải phơng trình:
(2x
2
- 3x - 1)
3
- (x
2
- 2)
3
- (x
2
- 3x

+ 1)
3

= 0 (1)
Giải:
áp dụng hệ đẳng thức: (a + b)
3
- (a
3
+ b
3
) = 3ab (a+ b)
(1)
( ) ( ) ( )
[ ]
0132132
2
2
222
=++++ xxxxxx
(2x
2
- 3x - 1)
3
- [(x
2
- 2)
3
+ (x
2
- 3x + 1)
3
] = 0

3(x
2
- 2)(x
2
- 3x + 1) (2x
2
- 3x - 1) = 0
x
2
- 2 = 0 (1.1)
x
2
- 3x + 1 = 0 (1.2)
2x
2
- 3x - 1 = 0 (1.3)
Giải (1.1) có nghiệm: x
1
= ; x
2
= -
Giải (1.2) có nghiệm: x
1
= ; x
2
=
Giải (1.3) có nghiệm: x
1
= ; x
2

=
Vậy phơng trình (1) có 6 nghiệm:
x
1
= ; x
2
= - ; x
3
= ; x
4
= ; x
5
= ; x
6
=
Bài 2: Giải phơng trình:
9
(x
2
- 3x + 2)
3
= x
6
- (3x - 2)
3
(2)
Giải: tơng tự ví dụ 1
(2) [x
2
+(-3x + 2)]

2
- [(x
2
)
3
+ (- 3x + 2)
3
] = 0
3x
2
(- 3x + 2)(x
2
- 3x + 2) = 0
x
2
= 0 x = 0
-3x+21 = 0 x =
x
2
- 3x +2 = 0 phơng trình có 2 nghiệm: x
1
= 1; x
2
= 2
Vậy phơng trình (2) có 4 nghiệm:
x
1
= 0 ; x
2
= ; x

3
= 1; x
4
= 2
Bài 3: Giải phơng trình (x
2
- 4x + 1)
3
= (x
2
- x - 1) - (3x - 2)
3
(3)
Giải: áp dụng hằng đẳng thức:
(a-b)
3
- (a
3
- b
3
) = -3ab(a- b)
(3) [x
2
- x - 1) - (3x - 2]
3
- [(x
2
- x

- 1)

3
- (3x - 2)
3
] = 0
- 3(x
2
- x - 1)(3x - 2) (x
2
- 4x + 1) = 0
Phơng trình (3) có 5 nghiệm:
x
1
= ; x
2
= ; x
3
= ; x
4
= 2+ ; x
5
=
Bài 4: Giải phơng trình:
(x
2
- 3x + 2)
3
+ (-x
2
+ x + 1)
3

+ (-x
2
+ x

+ 1)
3
+ (2x - 3)
3
= 0 (4)
Giải: áp dụng hằng đằng thức:
(a - b)
3
+ (b - c)
3
+ (c - a)
3
= 3(a - b)(b-c)(c-a)
(4) [(x
2
- x + 1) - (2x - 3)]
3
+ [(2x- 3) - (x
2
+ x - 4)]
3
+ [(x
2
+ x - 4) - (x
2
-

3x + 2)]
3
= 0
3(x
2
- 3x + 2)(-x
2
+ x + 1)(2x - 3) = 0
Vậy phơng trình (4) có 5 nghiệm:
10
x
1
= 1; x
2
= 2; x
3
= ; x
4
= ; x
5
= ;
Bµi 5: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
(5)
Gi¶i: (5) ⇔
⇔ +
⇔
⇔ 18 (x + 7) - 18(x+ 4) = (x+ 4)(x + 7)
⇔ x
2
+ 11x - 26 = 0

⇔ (x + 13)(x-2) = 0
Ph¬ng tr×nh (5) cã 2 nghiÖm: x
1
= 13; x
2
= 2
Bµi 6: Gi¶i ph¬ng tr×nh

(6) ⇔
⇔ - ) =
11
⇔ ) = ⇔ 13(x+13) - 13 (x + 1) = 12(x + 1) (x + 13)
⇔ x(x+14) = 0
Ph¬ng tr×nh (6) cã 2 nghiÖm: x
1
= 0; x
2
= -14
Bµi 7: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
(7)
Gi¶i: (7)⇔ +1)+ (
)
⇔ (x + 95)
⇔ x + 95 = 0 v× < 0
VËy (7) cã 1 nghiÖm: x = -95
Bµi 8: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
(8)
Gi¶i:(8)
12
⇔ ) + (

)
⇔ (x - 60)
⇔ x - 60 = 0 v× < 0
VËy (8) cã 1 nghiÖm: x = 60
Bµi 9: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
(9)
Gi¶i:
(9)⇔ +1)+ (
⇔ (x +100)
13
⇔ x +100 = 0 v× > 0
VËy (9) cã 1 nghiÖm: x = -100
Bµi 10: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
(10)
Gi¶i:(10) ⇔ )
) = 0
⇔ (x - 100)
⇔ x - 100 = 0 v× > 0
VËy (10) cã 1 nghiÖm: x = 100
Bµi 11: Gi¶i ph¬ng tr×nh;
(11)
Gi¶i:
(11) ⇔






−

+
−=






+
+






−
+
1
3
7
8
12
1
2
6
222
xxx
14
⇔ (4 - x

2
)
⇔ (4 - x
2
) = 0 Do > 0 víi ∀x
VËy (11) cã 2 nghiÖm: x
1
= -2; x
2
= 2
Bµi 12: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
5
7
3
5
1
3
6
164
2222
2
+
+
+
=
+
−
+
+
xxxx

x
(12)
Gi¶i: (12) ⇔
0
5
7
3
5
1
3
6
824
2222
2
=
+
−
+
−
+
−
+
−+
xxxx
x
⇔
0
5
7
3

5
1
3
6
8
4
2222
=
+
−
+
−
+
−
+
−
xxxx
⇔
01
5
7
1
3
5
1
1
3
1
6
8

2222
=






−
+
−






−
+
−






−
+
−







−
+
−
xxxx
⇔
( )
020
5
1
3
1
1
1
6
1
2
2
2222
2
=−⇔=







+
+
+
+
+
+
+
−
x
xxxx
x
(v×
x
xxxx
∀>
+
+
+
+
+
+
+
0
5
1
3
1
1
1

6
1
2222
)
VËy (12) cã 2 nghiÖm : x
1
=
2
; x
2
=
2
−
Bµi 13: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
(3x
2
- 11x + 13)(-x
2
- x + 9) + (3x
2
- 8x + 8)(x
2
- 2x - 4)
= - (2x
2
- 7x + 11)(x + 1) (13)
Gi¶i:
(13) ⇔ [(x
2
- 6x + 11)

2
- (2x
2
- 5x + 2)
2
] + [(2x
2
- 5x + 2)
2
- (x
2
- 3x + 6)
2
] +
[(x
2
- 3x + 6)
2
- (x
2
- 4x + 5)
2
] = 0
⇔ (x
2
- 6x + 11)
2
- (x
2
- 4x + 5)

2
= 0
15
⇔ (2x
2
- 10x + 16)(-2x + 6) = 0
⇔ - 4 (x
2
- 5x + 8)(x - 3) = 0
⇔ x - 3 = 0 do x
2
- 5x + 8 = (x -
2
+ > 0 ∀x
V©y (13) cã 1 nghiÖm: x = 3
Bµi 14: Gi¶i ph¬ng tr×nh
(x
2
- 2x + 6)(x
2
- 8x + 4) + (5x + 1)(x +1)(x
2
- 3x - 3)
Gi¶i:
(14) ⇔ [(x
2
- 5x + 5)
2
- (3x + 1)
2

] + [(3x + 1)
2
- (2x)
2
] - [(x
2
- x - 3)
2
- (- 2x)
2
] = 0
⇔ (x
2
- 5x + 5)
2
- (x
2
- x + 3)
2
= 0
⇔ (2x
2
- 6x + 2)(-4x + 8) = 0
⇔ - 4 (x
2
- 3x + 1)(x - 2) = 0
Ph¬ng tr×nh (14) cã 3 nghiÖm: x
1
= ; x
2

= ; x
3
=2
Bµi 15: Gi¶i ph¬ng tr×nh: (x - 2)(x-4)(x+6)(x+8) = -36 (15)
Gi¶i:
(15) ⇔ [(x - 2) (x + 6)] - [(x - 4)(x + 8)] = - 36
⇔ (x
2
+ 4x - 12)(x
2
+ 4x - 32) = -36 (*)
§Æt x
2
+ 4x - 32 = t
(*) ⇔ (t + 10) (t - 10) = - 36
⇔ t
2
- 64 = 0 ⇔

Ph¬ng tr×nh (15) cã 4 nghiÖm:
16
t = 8 ⇔ x
2
+ 4x - 22 = 8
t = - 8 x
2
+ 4x - 22 = -8
⇔ x
2
+ 4x - 30 = 0

x
2
+ 4x - 14 = 0