PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN

www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP
~ 1 ~

CHUYÊN ĐỀ. PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN
Biên soạn: Trần Thị Thu Ngân – SĐT: 01667872256
Cựu học sinh trường THCS Lý Tự Trọng – TP Lào Cai
Cựu học sinh trường THPT Chuyên Đại học Sư phạm.



I. PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG
Phương trình trùng phương là phương trình có dạng
 
42
00ax bx c a   
.
Phương pháp giải: Đặt
2
xy
, điều kiện
0y 
ta đưa được phương trình bậc hai
2
0ay by c  
.
Giải phương trình này tìm giá trị của
y
rồi từ đó tìm được nghiệm
x
của phương trình đã cho.

Ví dụ. Giải phương trình
42
13 36 0xx  
.
Giải.
Đặt
2
xy
, điều kiện
0y 
. Ta được phương trình bậc hai đối với ẩn
y
như sau:
2
13 36 0yy  
.
Giải phương trình trên:
 
2
13 4.1.36 169 144 25 0       
. Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
1
13 5
4
2
y


(nhận, thỏa mãn điều kiện) và
2

13 5
4
2
y


(nhận, thỏa mãn điều kiện)
 Với
1
4yy
, ta có
2
4x 
. Suy ra
2x 
.
 Với
2
9yy
, ta có
2
9x 
. Suy ra
3x 
.
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm
 
3; 2;2;3S   
.

II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN CÓ HỆ SỐ ĐỐI XỨNG
Phương trình bậc bốn có hệ số đối xứng là phương trình có dạng
 
4 3 2
00ax bx cx bx a a     

Phương pháp giải: Phương trình đã cho không nhận
0x 
là nghiệm nên chia cả hai vế cho
2
x
ta được:
 
2
2
11
0*a x b x c
xx
   
    
   
   

www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP
~ 2 ~

Đặt ẩn phụ
1
yx

x

suy ra
2 2 2 2
22
11
22y x x y
xx
      
, thế vào phương trình
 
*
ta được phương
trình mới
2
20ay by c a   
.
Giải phương trình này tìm giá trị của
y
rồi từ đó tìm được nghiệm
x
của phương trình đã cho.

Ví dụ. Giải phương trình
4 3 2
10 27 110 27 10 0x x x x    
.
Giải.
Phương trình đã cho không nhận
0x 

là nghiệm nên chia cả hai vế cho
2
x
ta được:
 
2
2
11
10 27 110 0 *xx
xx
   
    
   
   

Đặt ẩn phụ
1
yx
x

suy ra
2 2 2 2
22
11
22y x x y
xx
      
, thế vào phương trình
 
*

ta được phương
trình mới
2
1 0 27 13 0 0yy  
. Giải phương trình này ta có nghiệm
1
5
2
y 
và
2
26
5
y 
.
 Với
1
5
2
yy  
, ta có
2
1
15
2 5 2 0
2
2
2
x
x x x

x
x



       



.
 Với
2
26
5
yy
, ta có
2
1
1 26
5 26 5 0
5
5
5
x
x x x
x
x




      



.
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm
11
2; ; ;5
25
S

  


.


III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN CÓ HỆ SỐ ĐỐI XỨNG LỆCH
Phương trình bậc bốn có hệ số đối xứng lệch là phương trình có dạng
 
4 3 2
00ax bx cx bx a a     

Phương pháp giải: Phương trình đã cho không nhận
0x 
là nghiệm nên chia cả hai vế cho
2
x
ta được:
 

2
2
11
0*a x b x c
xx
   
    
   
   

Đặt ẩn phụ
1
yx
x

suy ra
2 2 2 2
22
11
22y x x y
xx
      
, thế vào phương trình
 
*
ta được phương
trình mới
2
20ay by c a   
.

www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP
~ 3 ~

Giải phương trình này tìm giá trị của
y
rồi từ đó tìm được nghiệm
x
của phương trình đã cho.

Ví dụ. Giải phương trình
4 3 2
3 4 5 4 3 0x x x x    
.
Giải.
Phương trình đã cho không nhận
0x 
là nghiệm nên chia cả hai vế cho
2
x
ta được:
 
2
2
11
3 4 5 0 *xx
xx
   
    
   
   

Đặt ẩn phụ
1
yx
x

suy ra
2 2 2 2
22
11
22y x x y
xx
      
, thế vào phương trình
 
*
ta được phương
trình mới
2
3 4 1 0yy  
. Giải phương trình này ta có nghiệm
1
1y 
và
2
1
3
y 
.
 Với

1
1yy
, ta có
2
1 1 5
1 1 0
2
x x x x
x

       
.
 Với
2
1
3
yy
, ta có
2
1 1 1 37
3 3 0
36
x x x
x

      
.
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm
1 37 1 5 1 5 1 37
; ; ;

6 2 2 6
S

   





.


IV. PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN CÓ HỆ SỐ ĐỐI XỨNG TỈ LỆ
Phương trình bậc bốn có hệ số đối xứng tỉ lệ là phương trình có dạng
 
4 3 2 2
00ax bx cx kbx k a a     

Phương pháp giải: Phương trình đã cho không nhận
0x 
là nghiệm nên chia cả hai vế cho
2
x
ta được:
 
2
2
2
0*
kk

a x b x c
xx


    





Đặt ẩn phụ
k
yx
x

suy ra
22
2 2 2 2
22
22
kk
y x k x y k
xx
      
, thế vào phương trình
 
*
ta được
phương trình mới
2

20ay by c ka   
.
Giải phương trình này tìm giá trị của
y
rồi từ đó tìm được nghiệm
x
của phương trình đã cho.

Ví dụ. Giải phương trình
4 3 2
2 21 34 105 50 0x x x x    
.
Giải.
www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP
~ 4 ~

Nhận xét. Ta thấy
105
5
21
k  

và
2
50
2
k
nên phương trình đã cho thỏa mãn là phương trình bậc bốn có
hệ số đối xứng tỉ lệ. Áp dụng phương pháp giải trên cho phương trình này!
Phương trình đã cho không nhận

0x 
là nghiệm nên chia cả hai vế cho
2
x
ta được:
 
2
2
25 5
2 21 34 0 *xx
xx
   
    
   
   

Đặt ẩn phụ
5
yx
x

suy ra
2 2 2 2
22
25 25
10 10y x x y
xx
      
, thế vào phương trình
 

*
ta được
phương trình mới
2
2 2 1 54 0yy  
. Giải phương trình này ta có nghiệm
1
6y 
và
2
9
2
y 
.
 Với
1
6yy
, ta có
2
5
6 6 5 0 3 14x x x x
x
        
.
 Với
2
9
2
yy
, ta có

2
5 9 9 161
2 9 10 0
24
x x x x
x

       
.
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm
9 16 1 9 1 6 1
;3 14;3 14;
44
S



  



.


V. PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN CÓ DẠNG
4 3 2
0ax bx cx dx e    
với
2
2

ed
ab


Phương pháp giải: Phương trình đã cho không nhận
0x 
là nghiệm nên chia cả hai vế cho
2
x
ta được:
 
2
2
0*
ed
a x b x c
ax bx
   
    
   
   

Đặt ẩn phụ
d
yx
bx

suy ra
2
2 2 2 2 2

2 2 2 2
2. 2. 2.
d b e b e b
y x x x y
b x d ax d ax d
         
, thế vào phương
trình
 
*
ta được phương trình bậc hai theo ẩn
y
.
Giải phương trình mới tìm giá trị của
y
rồi từ đó tìm được nghiệm
x
của phương trình đã cho.

Ví dụ. Giải phương trình
4 3 2
10 2 4 0x x x x    
.
Giải.
www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP
~ 5 ~

Nhận xét. Ta thấy trong phương trình đã cho có
2
2

4
1, 2,
1
ed
bd
ab
    
. Áp dụng phương pháp giải
phương trình dạng này vào phương trình đã cho.
Đặt ẩn phụ
2
2yx
suy ra
2 4 2
44y x x  
thay vào phương trình đã cho và biến đổi về dạng theo
phương pháp giải ta có:
       
2
4 2 3 2 2 2 2
4 4 2 6 0 2 2 6 0x x x x x x x x x           

  
22
6 0 2 3 0y xy x y x y x       
  
2
22
2
2 2 0

2 2 3 2 0
3 2 0
xx
x x x x
xx

  
      

  

.
Giải các phương trình bậc hai trên tìm ra nghiệm của phương trình đã cho.
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm
3 17 3 1 7
1 3; ; 1 3;
22
S



    



.


VI. PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN CÓ DẠNG
42

x ax bx c  

Phương pháp giải:
TH1. Nếu
2
40b ac   
biến đổi đưa phương trình về dạng
2
4
2
b
x a x
a




.
TH2. Nếu
2
40b ac   
ta chọn số thực
k
sao cho:
       
 
2
22
4 2 2 2 2 2 2 2 2
22x x k k x k k x k k ax bx c x k a k x bx c k


                 


Ta chọn
k
sao cho
 
 
22
4 2 0b a k c k   
.

Ví dụ. Giải phương trình
42
3
73
4
x x x  
.
Giải.
 
2
2
2
2
4 2 2
2
2
33

1
13
2 6 3 0
31
2
2
7 3 1 3
1
42
2 6 1 0
37
13
2
3
x
xx
xx
x x x x x
xx
xx
x




  



  



         




  




   






Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm
3 3 3 7
;
23
xx
  

.
www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP
~ 6 ~

VII. PHƯƠNG TRÌNH CÓ DẠNG
    
x a x b x c x d e    
với
a b c d  

Phương pháp giải: Đặt biến phụ
  
y x a x b  
hoặc
  
y x c x d  
hoặc
 
2
y x a b x  
rồi thay
vào phương trình đã cho, biến đổi và có phương trình bậc hai theo ẩn
y
.
Giải phương trình mới tìm giá trị của
y
rồi từ đó tìm được nghiệm
x
của phương trình đã cho.

Ví dụ. Giải phương trình
    
1 2 3 4 15 0x x x x     
.

Giải.
Nhận xét. Ta thấy
1 4 2 3  
nên áp dụng phương pháp giải dạng này!
         
  
22
1 2 3 4 15 0 1 4 2 3 15 0 5 4 5 6 15 0x x x x x x x x x x x x                   
Đặt
2
54y x x  
, thay vào phương trình đã cho ta đươc phương trình
 
2
3
2 15 0 2 15 0
5
y
y y y y
y


        



.
 Với
3y 
, ta có

22
5 21
5 4 3 5 1 0
2
x x x x x

        
.
 Với
5y 
, ta có
22
5 4 5 5 9 0x x x x       
(vô nghiệm).
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm
5 21
2
x


.


VIII. PHƯƠNG TRÌNH CÓ DẠNG
    
2
x a x b x c x d ex    
với
ab cd e

Phương pháp giải: Viết lại phương trình đã cho về dạng:
         
2 2 2 2
x a x b x c x d ex x a b x ab x c d x cd ex
  
            
  
  
  

 Xét
0x 
xem có là nghiệm của phương trình hay không.
 Với
0x 
chia cả hai vế của phương trình cho
2
x
, ta được:
ab cd
x a b x c d e
xx
  
      
  
  
.
Đặt
ab cd
y x x

xx
   
đưa về phương trình bậc hai đối với ẩn
y
.

Ví dụ. Giải phương trình
    
2
2 3 4 6 30x x x x x    
.
Giải.
www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP
~ 7 ~

Nhận xét. Ta thấy
2 .6 3. 4
nên áp dụng phương pháp giải dạng này!
Viết lại phương trình đã cho về dạng:
     
  
2 2 2 2
2 6 3 4 30 8 12 7 12 30x x x x x x x x x x          
  
  

 Với
0x 
không là nghiệm của phương trình.
 Với

0x 
chia cả hai vế của phương trình cho
2
x
, ta được:
 
12 12
8 7 30 *xx
xx
  
    
  
  
.
Đặt
12
yx
x

, thay vào phương trình
 
*
ta được phương trình mới
  
8 7 3 0yy  

22
2
15 56 30 15 26 0
13

y
y y y y
y


        



.
 Với
2y 
, ta có
2
12
2 2 12 0x x x
x
      
(vô nghiệm)
 Với
13y 
, ta có
2
1
12
13 13 12 0
12
x
x x x
x

x


       



.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm
12x 
hoặc
1x 
.


IX. PHƯƠNG TRÌNH CÓ DẠNG
   
44
x a x b c   

Phương pháp giải: Đặt
2
ab
yx


phương trình đã cho trở thành
44
22
b a a b

y y c

   
   
   
   
đưa
phương trình về dạng phương trình trùng phương.
Hằng đẳng thức áp dụng:
 
4
4 3 2 2 3 4
4 6 4m n m m n m n mn n    
.

Ví dụ. Giải phương trình
   
44
2 6 82xx   
.
Giải.
Đặt
4yx
phương trình trở thành
   
42
2 2 82yy   
áp dụng hằng đẳng thức trên, khai triển và rút
gọn ta được phương trình
42

24 25 0tt  
. Giải phương trình trùng phương này ta được
1t 
hoặc
1t 
.
 Với
1t 
, ta có
4 1 4 1 3xx      
.
 Với
1t 
, ta có
4 1 4 1 5xx     
.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm
3x 
hoặc
5x 
.
www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP
~ 8 ~

X. PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN TỔNG QUÁT
4 3 2
0ax bx cx dx e    
.
Phương pháp giải:
Cách 1. Đặt

4
b
xt
a
  
đưa về phương trình dạng
42
t t t
  
  
.
Cách 2. Viết lại phương trình dưới dạng:
   
2
2 4 3 2 2 2 2
4 4 4 4 4 0 2 4 4 4a x bax cax dax ac ax bx b ac x adx ac          

Thêm vào hai vế của phương trình đại lượng
 
22
22k ax bx k
(với
k
là hằng số tìm sau).
Khi đó
   
 
2
2 2 2 2
2 4 4 2 2 4ax bx k b ac ak x bk ad x ac k        

.
Ta chọn
k
sao cho
 
  
2
/ 2 2
2 4 4 4 0
x
bk ad b ac ak k ac       
.

Ví dụ. Giải phương trình
4 3 2
16 57 52 35 0x x x x    
.
Giải.
 
2
4 3 2 4 3 2 2 2 2
16 57 52 35 0 16 64 7 52 35 8 7 52 35x x x x x x x x x x x x x               
.
Ta thêm vào phương trình hằng số
k
thỏa mãn:
     
2
2 2 2 2 2 2
8 2 8 7 52 35 2 8x x k x x k x x k x x k         

 
   
2
2 2 2
8 2 7 51 16 35x x k k x k x k        

Ta chọn
k
sao cho
   
 
 
 
2
/ 2 2
26 8 2 7 35 0 1 2 55 431 0 1
x
k k k k k k k             
.
Phương trình đã cho tương đương với:
 
 
 
 
2
2
2
2
2

22
11 141
8 1 3 2
11 5 0
2
8 1 9 2
8 1 3 2 5 7 0
11 141
2
x
x x x
xx
x x x
x x x x x
x





   

  

      



       








.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm
11 141
2
x


hoặc
11 141
2
x


.


www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP
~ 9 ~

XI. SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN
Các loại máy tính sử dụng: fx-570MS; fx-570ES; fx-570ES PLUS; fx-570VN PLUS; fx-570 Vinacal; fx-570
Vinacal plus;… Và các dòng máy có cùng chức năng.

Ví dụ. Giải phương trình

4 3 2
16 57 52 35 0x x x x    
.
Các bước sử dụng máy tính cầm tay để giải phương trình bậc bốn.
Bước 1. Nhập phương trình vào máy tính.
[ALPHA] [X] [^] 4 [-] 1 6 [ALPHA] [X] [^] 3 [+] 5 7 [ALPHA] [X] [^] 2 [-] 5 2 [ALPHA] [X] [-] 3 5
Bước 2. Nhấn các phím theo thủ thuật để giải phương trình.
 Đối với máy fx-570MS: [SHIFT] [SOVLE] [=] [SHIFT] [SOVLE]
 Đối với máy fx-570ES, fx-570ES PLUS, fx-570VN PLUS, fx-570 Vinacal; fx-570 Vinacal plus;…
và các dòng máy có cùng chức năng: [SHIFT] [SOVLE] [=]
Bước 3. Sử dụng bộ nhớ của máy tính. Sau khi máy tính hiện ra kết quả, thao tác nhấn phím:
[AC] [ALPHA] [X] [SHIFT] [STO] [A] (ở bước này ta đã nhớ kết quả vào biến A)
Bước 4. Thực hiện lại Bước 1 và Bước 2.
Tuy nhiên ở bước này, sau khi nhấn [SHIFT] [SOVLE] nên nhập vào đó một giá trị bất kì của
x
rồi sau đó
nhấn [=] [SHIFT] [SOLVE] (Đối với máy fx-570MS ) và nhấn [=] (Đối với máy fx-570ES, fx-570ES PLUS,
fx-570VN PLUS, fx-570 Vinacal; fx-570 Vinacal plus;… và các dòng máy có cùng chức năng).
Khi nhập giá trị vào như vậy thì máy tính sẽ thực hiện dò nghiệm của phương trình xung quanh giá trị đó.
Bước 5. Thực hiện lại Bước 3, nhưng sử dụng biến khác:
[AC] [ALPHA] [X] [SHIFT] [STO] [B]
Bước 6. Sử dụng máy tính, tính tổng và hiệu của hai nghiệm để từ đó tìm ra mối liên hệ.
[ALPHA] [A] [+] [ALPHA] [B] [=] (máy tính hiện kết quả: 11)
[AC] [ALPHA] [A] [x] [ALPHA] [B] [=] (máy tính hiện kết quả -5)

Thu được từ máy tính ta có hai nghiệm của phương trình đã cho chính là hai nghiệm thỏa mãn
12
11xx
và
12

5xx 
hay chính là nghiệm của phương trình
2
11 5 0xx  
. Có được điều này rồi thì ra chỉ cần biến đổi
phương trình đã cho để xuất hiện nhân tử
2
11 5xx
.