SKKN Phương pháp giải bài toán bằng cách lập phương trình ở THCS

Lời nói đầu
Dạng toán Giải bài toán bằng cách lập phơng trình ở chơng trình đại
số các lớp 8 và 9 ở trờng trung học cơ sở là một dạng toán tơng đối khó đối với
học sinh. Do đặc trng của loại này thờng là loại toán có đề bài bằng lời văn và
thờng đợc xen trộn nhièu dạng ngôn ngữ (ngôn ngữ thông thờng, ngôn ngữ toán
học, vật lý).
Hầu hết các bài toán có các dự kiện ràng buộc nhau, ẩn ý dới dạng lời
văn, buộc học sinh phải có suy luận tốt mới tìm đợc sự liên quan giữa các đại lợng dẫn đến việc lập phơng trình hoặc hệ phơng trình mà thực chất các vấn đề
khoa học giải toán là giải phơng trình.
Trong phân phối chơng trình toán ở trờng trung học cơ sở thì đến lớp 8
học sinh mới đợc học về khái niệm phơng trình và các phép biến đổi tơng đơng các phơng trình. Nhng việc giải phơng trình đà có trong chơng trình toán
từ lớp 1 với mức độ và yêu cầu tuỳ theo từng đối tợng học sinh.
ở lớp 1, 2 phơng trình đợc cho dới dạng: Điền số thích hợp vào ô trống:
-2=5
ở lớp 3 đợc nâng dần dới dạng: x + 3 – 2 = 10
ë líp 4, 5, 6 cho dới dạng phức tạp hơn nh:
x:3=4:2
x . 3 + 5 = 11; (x – 15). 7 = 21
ë lớp 7, 8, 9 ngoài những mối liên hệ nh trên bài toán còn cho dới dạng
lời văn có các dữ kiện kèm theo.
Vì vậy muốn giải đợc loại toán này học sinh phải suy nghĩa để thiết lập
mối quan hệ dẫn đến việc lập phơng trình (hệ phơng trình).
Một đặc thù riêng của loại toán này là hầu hết các bài toán đều đợc gắn
liền với nội dung thực tế. Chính vì vậy mà việc chọn ẩn số thờng là những số liệu
có liên quan đến thực tế. Do đó khi giải toán học sinh thờng mắc sai lầm là thoát
ly thực tế... Từ những lý do đó mà học sinh rất ngại làm loại toán này. Mặt khác,
cũng có thể trong quá trình giảng dạy do năng lực, trình độ của giáo viên mới
chỉ dạy cho học sinh ở mức độ truyền thụ tinh thần của sách giáo khoa mà cha
biết phân loại toán, cha khái quát đợc cách giải cho mỗi dạng. Kỹ năng phân
tích tổng hợp của học sinh còn yếu trong quá trình đặt ẩn số, mối liên hệ giữa
1

các dữ liệu trong bài toán, dẫn đến lúng túng trong việc giải loại toán này.
Chính vì vậy, muốn giải bài toán bằng các lập phơng trình hay hệ phơng
trình thì điều quan trọng là phải biết diễn đạt những mối liên hệ cho trong bài
thành những quan hệ toán học. Do vậy, nhiệm vụ của ngời thầy giáo không phải
là giải bài tập cho học sinh mà vấn đề đặt ra là ngời thầy phải dạy cho học sinh
cách giải bài tập. Do đó khi hớng dẫn cho học sinh giải loại toán dựa vào quá
trình biến thiên của các đại lợng (tăng, giảm, thêm, bớt...) làm sáng tỏ mối quan
hệ giữa các đại lợng, dẫn đến lập đợc phơng trình dễ dàng. Đây là bớc quan
trọng và khó khăn đối với học sinh.
Trong thời gian giảng dạy ở trêng trung häc c¬ së, qua häc hái kinh
nghiƯm cđa các thầy giáo lớp trớc và các đồng nghiệp trong nhóm là đề tài này.
Đợc sự hớng dẫn tận tình của thầy giáo Trịnh Khang Thành, tôi mạnh dạn viết
đề tài này với mong muốn đợc trao đổi cùng với đồng nghiệp những kinh nghiệm
trong quá trình giảng dạy về dạng toán Giải bài toán bằng cách lập phơng
trình.
Nội dung chính của đề tài gồm:

Chơng I:

Phơng pháp nghiên cứu và yêu cầu về giải một bài toán.

Chơng II: Phân loại các bài toán và các giai đoạn giải bài toán bằng
cách lập phơng trình.
Chơng III: Những loại toán và hớng dẫn học sinh giải.
Chơng IV: Phần thực nghiệm.
Do trình độ có hạn nên đề tài này không tránh đợc những sai sót rất mong
các thầy giáo lợng thứ và chỉ bảo để bản thân tôi rút đợc kinh nghiệm trong
giảng dạy và áp dụng.

Thái Bình, ngày tháng năm 200
Tác giả

Chơng I

2


Phơng pháp nghiên cứu và yêu cầu giải một bài toán
I. Phơng pháp nghiên cứu:

Dựa vào phân phối chơng trình chung của Bộ giáo dụ - đào tạo ban hành
về chơng trình toán bậc THCS ở lớp 8 có tất cả 25 tiết nghiên cứu về phơng trình
bậc nhất một ẩn và giải bài toán bằng cách lập phơng trình. ở lớp 9 có 36 tiết
nghiên cứu về phơng trình bậc hai một ẩn. Trong chơng trình sách giáo khoa ở cả
hai lớp trên có 74 bài tập.
Một trong các phơng pháp hớng dẫn học sinh giải loại toán trên là dựa vào
quy tắc chung: Giải bài toán bằng cách lập phơng trình. Nội dung quy tắc gồm
các bớc:
Bớc 1: Lập phơng trình (gồm các công việc)
- Chọn ẩn số, chú ý ghi rõ đơn vị và đặt điều kiện cho ẩn.
- Dùng ẩn số và các số đà biết, đà cho trong bài toán để biểu thị số liệu
khác nhau có liên quan, diễn giải các bộ phận hình thành phơng trình (hệ phơng
trình).
Bớc 2: Giải phơng trình (hệ phơng trình)
Tuỳ thuộc vào từng dạng phơng trình mà chọn cách giải cho thích hợp và
ngắn gọn.
Bớc 3: Nhận định kết quả, thử lại và trả lời.
- Chú ý so sánh với điều kiện đặt ra cho ẩn xem có thích hợp không? sau
đó trả lời kết quả (có kèm theo đơn vị).

Mặc dù đà có quy tắc trên xong ngời giáo viên trong quá trình hớng dẫn
giải loại toán này cần cho học sinh vận dùng theo sát yêu cầu về giải một bài
toán nói chung.
II. Yêu cầu về giải một bài toán.

1. Yêu cầu 1:
Lời giải không phạm sai lầm và không có sai sót mặc dù nhỏ.
Muốn cho học sinh không mắc sai phạm này giáo viên phải làm cho
học sinh hiểu đề toán và trong quá trình giải không sai sót về kiến thức, phơng
pháp suy luận, kỹ năng tính toán, ký hiệu, điều kiện của ẩn. Phải rèn cho học
sinh có thói quen đặt điều kiện cho ẩn số và xem xét đối chiếu kết quả với
điều kiện của ẩn đà hợp lý cha.
3


Ví dụ 1: (Tài liệu ôn thi tốt nghiệp 1995 1996)
Tỷ số giữa tuổi em và tuổi anh bằng 0,5. Sau 3 năm nữa tỷ số sẽ tăng
thêm 0,1. Hái ti anh vµ em hiƯn nay?
NÕu gäi ti em lµ x(x > 0, x ∈ N). NÕu ti em là x thì tuổi anh là 2x
(phân tích).
Theo bài ra ta có phơng trình:

x+3
= 0,5 + 0,1 = 0,6
2x + 3

<=> x + 3 = 0,6 (2x + 3)
<=> x = 6 (thoả mÃn điều kiện đà đặt)
=> Tuổi em hiện nay là 6, tuổi anh là 12.
2. Yêu cầu 2:

Lời giải bài toán lập luận phải có căn cứ chính xác. Trong quá trình
thực hiện từng bớc có logic chặt chẽ với nhau, có cơ sở lý luận chặt chẽ, đặc
biệt phải chú ý đến việc thoả mÃn điều kiện nêu trong giả thiết. Xác định ẩn
khéo léo, mối quan hệ giữa ẩn và dữ kiện đà cho làm nổi bật đợc ý phải tìm.
Nhờ mối tơng quan giữa các đại lợng trong bài toán thiết lập đợc phơng trình
(hệ phơng trình) từ đó tìm đợc giá trị của ẩn số. Muốn vậy giáo viên cần làm
cho học sinh hiểu đợc đâu là ẩn số? đâu là dữ kiện? đâu là điều kiện? điều
kiện có đủ để xác định đợc ẩn không? Từ đó mà xác định đợc hớng đi, xây
dựng đợc cách giải.
Ví dụ 2: (Toán phát triển đại số 9 1996 Nguyễn Ngọc Đạm Trơng Công Thành NXB Giáo dục).
Hai cạnh của một khu đất hình chữ nhật hơn kém nhau 4m. Tính chu vi
cđa khu ®Êt ®ã nÕu biÕt diƯn tÝch cđa nó bằng 1200m2.
Hớng dẫn: ở đây bài toán hỏi chu vi của hình chữ nhật, học sinh thờng
có xu thế bài toán hỏi gì thứ gọi đó là ẩn số. Nếu gọi chu vi của hình chữ nhật
là ẩn số thì bài toán đi vào bế tắc khó có lời giải. Giáo viên cần hớng dẫn học
sinh phát triển sâu trong khả năng suy diễn để từ đó đặt vấn đề. Muốn tính
chu vi hình chữ nhật ta cần gì? => (cạnh hình chữ nhật). Từ đó gọi chiều rộng
khu đất hình chữ nhật là x (x> 0). Từ đó ta có phơng trình.
x(x + 4) = 1200 <=> x2 + 4x + 1200 = 0
4


Giải phơng trình ta có:

x1 = 30
x2 = -34

Giáo viên giúp học sinh từ điều kiện để loại nghiệm x 2 chØ lÊy x1 = 30
=> chiỊu dµi lµ 30 + 4 = 34 vµ chu vi lµ: 2(30 + 34) = 128m
(ở bài toán này nghiệm x2 = - 34 có giá trị tuyệt đối bằng chiều dài hình

chữ nhật, học sinh dễ mắc sai sót coi đó cũng là kết quả của bài toán.
3. Yêu cầu 3:
Lời giải phải đầy đủ và mang tính toàn diện. Hớng dẫn học sinh không
đợc bỏ sót khả năng chi tiết nào, không thừa nhng cũng không thiếu. Rèn cho
học sinh cách kiểm tra lại lời giải đà đầy đủ cha? Kết quả của bài toán đà là
đại diện phù hợp với mọi cái nói chung. Nếu thay đổii điều kiện bài toán rơi
vào trờng hợp đặc biệt thì kết quả vẫn luôn luôn đúng.
Ví dụ 3: (Bài ôn luyện toán 9 NXB Hà Nội)
Một tam giác có chiều cao bằng ắ cạnh đáy. Nếu chiều cao tăng thêm
3dm và cạnh đáy giảm đi 2 dm thì diện tích của nó tăng thêm 12 dm 2. Tính
chiều cao và cạnh đáy.
Lu ý học sinh: Dù có thay đổi chiều cao, cạnh đáy của tam giác thì diện
tích (S) của nó luôn đợc tính theo công thức:
S=

1
(cạnh đáy . chiều cao)
2

Từ đó gọi chiều dài cạnh đáy (lúc đầu) là x(x > 0, dm) thì chiều cao sẽ
là

3
x (lúc đầu).
4

=> S lúc đầu là
=> S sau là:

1

3
x. x
2
4

1
3
(x-2) . ( x + 3)
2
4

Theo bài ra ta có phơng trình:

1
3

( x 2). x + 3
2
4


Giải phơng trình ta tóm đợc: x = 20 thoả mÃn điều kiện => chiều cao
5


của tam giác là

3
x 20 = 15dm
4

4. Yêu cầu 4:
Lời giải bài toán phải đơn giản
Bài giải phải đảm bảo đợc 3 yêu cầu trên. Không sai sót, có lập luận,
mang tính toàn diện và phù hợp kiến thức, trình độ học sinh, đại đa số học
sinh hiểu và làm đợc.
Ví dụ 4: (Bài toán cổ)
Vừa gà vừa chó
Bó lại cho tròn
Một trăm chân chẵn.
Hỏi có mấy gà, mấy chó?
Với bài toán này nếu giải nh sau:
Gọi số gà là x(x>0), x N) thì số chó là 36x x.
Gà có 2 chân => Số chân gàn là 2x chân
Chó có 4 chân => Số chân chó là 4(36 x) chân
Theo bài ra ta có phơng trình: 2x + 4(36 – x) = 100
Gi¶i ra ta cã: x = 22 => gµ = 22 con => sè chã có là 36 22 = 14 con
Thì bài toán ngắn gọn dễ hiểu. Nhng học sinh giải theo cách dùng 2 ẩn
(x, y) hoặc gọi số chân gàn là x => số chân chó là 100 x.
=> Phơng trình:

x 100 x
+
= 36
2
4

Kết quả cũng là gàn 22 con, chó 14 con nhng đà vô tình biến bài giải
khó hiểu hơn hay không hợp với trình độ của học sinh.
5. Yêu cầu 5:

Lời giải phải trình bày khoa học.
Đó là lu ý đến mối liên hệ giữa các bớc giải trong bài toán phải logic,
chặt chẽ với nhau, các bớc sau đợc suy ra từ các bớc trớc nó, đà đợc kiểm
6


nghiệm, chứng minh là đúng, hoặc những điều đà biết từ trớc.
Ví dụ 5: (Toán phát triển đại 9 Nguyễn Ngọc Đạm Trơng Công
Thành NXB Giáo dục 1996).
Chiều cao của một tam giác vuông bằng 9,6m và chia cạnh huyền thành
2 đoạn hơn kém nhau 5,6m. Tính độ dài cạnh huyền của tam giác.
A
B

h
b'

H

c

C


Theo hình vẽ ta có:
Bài toán yêu cầu tìm độ dài BC khi đà biết AH.
Trớc khi giải cần kiểm tra kiến thức học sinh để củng cố công thức
h2 =b.c <=> AH 2 = BH . HC.
Để từ đó: Gọi BH có độ dài là x(x > 0) => HC có độ dài là x + 5, 6.
Theo công thức (đà biết ở phần hình học) ta có phơng trình:

x (x + 5, 6) = (9,6)2
Giải phơng trình ta có x = 7, 2 = 20m
6. Yêu cầu 6:
Lời giải bài toán phải rõ ràng đầy đủ (có thể nên thử lại).
Lu ý đến việc giải các bớc lập luận, tiến hành không chồng chéo nhau,
phủ định lẫn nhau, kết quả phải đúng. Mn vËy cÇn rÌn cho häc sinh cã thãi
quen sau khi giải xong cần thử lại kết quả và tìm hết các nghiệm của bài toán,
tránh bỏ sót, nhất là đối với phơng trình bậc 2, hệ phơng trình.
Ví dụ 6: (Toán phát triển đại 9 Nguyễn Ngọc Đạm Trơng Công
Thành NXB Giáo dục 1996).
Độ dài cạnh huyền của một tam giác vuông là 25, còn tổng độ dài hai
cạnh góc vuông là 35. Tìm độ dài mỗi cạnh góc vuông của tam giác?
Hớng dẫn: Gọi độ dài các cạnh góc vuông của tam giác là x, y (x,y > 0).
Ta có hệ phơng trình:

x + y = 35

(1)

x2 + y2 = 252 = 625

(2)

Rót y tõ phơng trình (1) thay vào phơng trình (2) ta có phơng trình: x27


35x + 330 = 0.
Giải phơng trình bậc 2 này ta tìm đợc x1 = 20; x2 = 15
Đến đây học sinh hay hoang mang và ra hái kết quả (thực chất trong bài
toán tam giác vuông này là 1) không biết lấy kết quả nào?

Giáo viên cần xây dựng cho học sinh có thói quen đối chiếu kết quả với
điều kiện đầu bài nếu đảm bảo thì các nghiệm đều hợp lý. Một bài toán không
nhất thiết chỉ có duy nhất một kết quả và đợc kiểm chứng lại bằng việc thử lại
tất cả các kết quả đó với yêu cầu của bài toán.

Chơng II: Phân loại bài toán
Giải toán bằng cách lập ph ơng trình và các giai đoạn giải
một bài toán
I. Phân loại các bài toán giải bằng cách lập phơng trình
và hệ phơng trình.

Trong 74 bài tập ở lớp 8 và lớp 9 giải bài toán bằng cách lập phơng
trình và hệ phơng trình có thể phân loại nh sau:
1. Loại toán về chuyển động
2. Loại toán có liên quan đến số học.
3. Loại toán về năng suất lao động (tỷ số phần trăm).
4. Loại toán về công việc làm chung, làm riêng (toán quy về đơn vị).
5. Loại toán về tỷ lệ chia phần (thêm, bớt, tăng, giảm, tổng, hiệu, tỷ số
của chúng).
6. Loại toán có liên quan hình học.
7. Loại toán có chứa tham số.
8. Loại toán có nội dung vật lý, hoá học.
II. Các giai đoạn giải bài toán bằng cách lập phơng trình
và hệ phơng trình.

1. Phần giai đoạn:
- Với bài toán bậc nhất một ẩn số: Là dạng bài toán sau khi xây dựng
phơng trình, biến đổi tơng đơng về dạng.
8

ax + b = 0 (a ≠ 0)
- Víi bµi toán giải bằng phơng trình bậc 2 là dạng toán sau khi xây
dựng phơng trình, biến đổi tơng đơng đa vỊ d¹ng:
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
- Với bài toán: Giải bài toán bằng hệ phơng trình bậc nhất 2 ẩn là dạng
sau khi xây dựng biến đổi tơng đơng về dạng nguyên (nh mẫu số) cã d¹ng:
ax + by = c
a’x + b’y = c’
Trong đó a, b, a, b không đồng thời bằng 0.
Để đảm bảo 6 yêu cầu về giải một bài toán và 3 bớc trong quy tắc giải
bài toán bằng cách lập phơng trình (hệ phơng trình) nh phần I đà trình bày thì
giải bài toán loại này có thể chia thành 7 giai đoạn cụ thể rõ hơn 3 bớc trong
quy tắc giải bài toán bằng cách lập phơng trình ( hệ phơng trình).
* Giai đoạn 1: Đọc kỹ đề bài, phân tích hết giả thiết kết luận của bài
toán giúp học sinh hiểu bài toán cho những dữ kiện gì? cần tìm gì? (có thể mô
tả bằng hình vẽ đợc không?)
* Giai đoạn 2: Nêu rõ các vấn đề liên quan để lập phơng trình. Tức là
chọn ẩn số thế nào cho phù hợp, điều kiện thế nào của ẩn cho thoả mÃn.
* Giai đoạn 3: Lập phơng trình, dựa vào các quan hệ giữa ẩn số và các
đại lợng đà biết, đa vào các công thức, tính chất để xây dựng phơng trình, biến
đổi tơng đơng để đa phơng trình đà xây dựng về phơng trình ở dạng đà biết,
đà giải đợc.
* Giai đoạn 4: Giải phơng trình (bớc 2). Vận dụng các kỹ năng giải phơng trình đà biết để tìm nghiệm của phơng trình.
* Giai đoạn 5: Nghiên cứu nghiệm của phơng trình để xác định lời giải
của bài toán, với thực tiễn xem có phù hợp không?
* Giai đoạn 6: Trả lời bài toán, kết luận nghiệm của bài toán xem có
mấy nghiệm, sau khi đà thử lại.
* Giai đoạn 7: Phân tích biện luận cách giải. Phần này thờng mở rộng
cho học sinh tơng đối khá, giỏi. Sau khi giải xong có thể gợi ý cho học sinh

biến đổi bài toán đà cho thành bài toán khác, ta có thể:
- Giữ nguyên ẩn số thay đổi các yếu tố khác (dữ kiện và giả thiÕt).
9


- Giữ nguyên dữ kiện, thay đổi các yếu tố khác (ẩn số và giả thiết)
nhằm phát triển t duy toán học cho học sinh.
- Giải bài toán bằng cách khác tìm cách giải hay nhất.
2. Ví dụ minh hoạ cho các giai đoạn giải bài toán bằng cách lập phơng trình.
Ví dụ 1: (Đại số lớp 8 Nguyễn Duy Thuận NXB Giáo dục 1995)
Nhà bác Điền thu hoạch đợc 480 kg cà chua và khoai tay khối lợng
khoai gấp 3 lần khối lợng cà chua. Tính khối lợng mỗi loại.
Hớng dẫn giải:
* Giai đoạn 1:
Giả thiết

Khoai + cà chua = 480
Khoai = 3 lần cà chua

* Giai đoạn 2: Thờng là điều cha biết đợc gọi là ẩn số. ở bài này cả số lợng cà chua và số lợng khoai đều cha biết nên có thể coi một trong hai loại
(hoặc cả 2 loại).
Cụ thể: Gọi số lợng khoai là x(x > 0kg) thì số lợng cà chua là 480 x
(hoặc số lợng cà chua là y) => x + y = 480
* Giai đoạn 3: Lập phơng trình
Vì số lợng khoai bằng 3 lần số lợng cà chua. Do đó mối quan hệ sẽ là
khoai = 3. cà chua. Ta có phơng trình:
x = 3(480 – x) (*)
hc

x = 3y

x + y = 489 (**)

* Giai đoạn 4: Giải phơng trình:
Tiếp theo cách lập phơng trình dẫn đến giải phơng trình bậc nhất (*)
hay hệ phơng trình (**).
Giải (*) ta đợc x = 360kg
Giải (**) ta cũng đợc x = 360kg, y = 120kg bằng cách thay x = 3y vào
x + y = 480.
* Giai đoạn 5: Đối chiếu nghiệm đà giải với ®iỊu kiƯn ®· ra xem møc
10


độ thoả mÃn hay không thoả mÃn. ở đây x = 360 > 0 nên thoả mÃn.
Từ đó => số cà chua: 480 360 = 120kg.
Thử lại:

Số khoai : 360kg
Sè cµ chua : 120kg => Khoai = 3 cµ chua (đúng)

* Giai đoạn 6: Trả loài và đáp số.
Vậy số lợng khoai đà thu là 360kg.
Số lợng cà chua đà thu là 120kg.
* Giai đoạn 7: Nên cho học sinh nhiều cách giải khác nhau do việc
chọn ẩn số khác nhau đà đến xây dựng phơng trình khác nhau, từ đó tìm cách
giải hay nhất, ngắn gọn nhất. Nh đà trình bày ở trên, từ việc đặt ẩn số khác
nhau đến xây dựng phơng trình khi là phơng trình bậc nhất một ẩn, khi là hệ
phơng trình bậc nhất hai Èn. Nhng cã thÓ lu ý cho häc sinh tốt nhất là đa về
phơng trình đơn giản nhất, dễ giải nhất.
- Có thể từ bài toán này xây dựng hoặc giải các bài toán tơng tự.
Ví dụ:

+ Thay lời văn và tình tiết bài toán: giữ nguyên số liệu, ta có bài toán
mới Một phân số có tổng tử vµ mÉu sè lµ 480. BiÕt r»ng mÉu gÊp 3 lần tử.
Tìm phân số đó.
+ Thay số liệu giữ nguyên lời văn.
+ Thay kết luận thành giả thiết và ngợc lại ta có bài toán Tuổi cha gấp 3
lần tuổi con, biết rằng tuổi của con là 12. Tìm tổng số tuổi cua cha và con.
Bằng cách đó có thể xây dựng cho học sinh có thói quen tập hợp các
dạng bài toán tơng tự và cách giải tơng tự. Đến khi gặp bài toán học sinh sẽ
nhanh chóng tìm ra cách giải.
Chơng III: Những loại toán và hớng dẫn học sinh giải
Phân loại dạng toán
I. Dạng toán chuyển động:
Bài toán 1: (Sách ôn thi tốt nghiệm NXB Giáo dụ 1990)
Nhà Nam và Lan cùng nằm trên đờng quốc lộ và ở cách nhau 7m. Nếu
Nam và Lan đi xe đạp cùng lúc và ngợc chiều nhau thì sau 1/4 giê hä gỈp
11


nhau. Tính vận tốc của mỗi ngời? Biết rằng vận tèc cđa Lan b»ng 3/4 vËn tèc
cđa Nam.
Híng dÉn häc sinh: Đây là bài toán chuyển động ngợc chiều khi 2 ngời
gặp nhau tại M tức là 2 ngời đà ®i hÕt qu·ng ®êng AB = 7m. Mµ vËn tèc cña
Lan b»ng 3/4 vËn tèc cña Nam, nh vËy cã mối quan hệ nh thế nào với cả 2 ngời trong khi thời gian đi của cả 2 ngời nh nhau => học sinh sẽ hiểu đề bài và
tự đặt đợc ẩn số và lập phơng trình về mối tơng quan giữa ẩn số và một đại lợng khác.
A

M

B

* Lời giải:
Cách 1: Gọi vận tốc của Nam là x(x > 0,km/h) thì vận tốc của Lan là
3/4x. Nh vậy Au 1/4h Nam đi đợc quÃng đờng là 1/4x. Sau 1/4h Lan đi đợc
quÃng đờng là 3/4x . 1/4h cả 2 ngời đi đợc quÃng đờng AB. Vậy ta có phơng
trình:
1
3 1
x+ . x =7
4
4 4

<=>

(1)

1
3
x + x = 7 <=> 7x = 7 . 16 <=> x = 16
4
16

x tho¶ mÃn điều kiện của bài toán và phơng trình (1)
Cách 2: Gọi quÃng đờng của Nam đi sau 1/4h là x(km, 0< x < 7).
Qu·ng ®êng cđa Lan ®i sau 1/4h lµ y(km, 0 < y < 7).
Theo bµi ra ta cã:

x+y=7

(1)

VËn tèc cđa Nam sÏ lµ: x : 1/4 = 4x
VËn tèc cđa Lan sÏ lµ: y : 1/4 = 4y
Theo bµi ra ta cã:

4x 1
=
4y 3

(2)

Tõ (1) vµ (2) ta có hệ phơng trình:

x+y=7
x 4
=
y 3

(1)
(2)

Giải hệ phơng trình ta tìm đợc x = 4, y = 3 thoả mÃn điều kiện và phơng
trình (1).

12


4:

1
= 16km / h

4

3:

VËn tèc cđa Nam lµ:

1
= 12km / h
4

Bài toán 2: (Đại số 9 Ngô Hữu Dũng)
Một tàu thuỷ chạy trên một khúc sông dài 80km cả ®i lÉn vỊ mÊt 8h20’.
TÝnh vËn tèc cđa tµu thủ khi nớc yên lặng. Biết rằng vận tốc của dòng nớc là
4km/h.
* Hớng dẫn học sinh: Trong bài này cần lu ý học sinh xác định vận tốc
thực của tàu thuỷ khi ngợc dòng và xuôi dòng khác nhau.
- Khi tàu xuôi dòng vận tốc của tàu bằng vận tốc thực + vận tốc dòng nớc.
- Khi tàu ngợc dòng vËn tèc cđa tµu b»ng vËn tèc thùc – vËn tốc dòng
nớc.
* Lời giải:
Gọi vận tốc của tàu thuỷ khi nớc yên lặng và x(x > 4, km/h). Do vậy
khi xuôi dòng vận tốc của tàu là x + 4, khi ngợc dòng vận tốc của tàu là x 4.
Thời gian tàu đi từ A -> B xuôi dòng là 80/x+ 4
Thời gian tàu đi từ B -> A ngợc dòng là 80/x 4.
1
3

Thời gian tàu xuôi (đi) và ngỵc (vỊ) mÊt 8h20’ = 8. h =

25

h . VËy ta có
3

phơng trình:
80
80
25
+
=
x+4 x4 3

<=> 5x2 96x 80 = 0

Giải phơng trình bậc 2 ta có: = 2 . 704 = (52)2 => ∆' = 25
=> x1 = 20, x2 = - 0,8 (lo¹i)
VËy x = 20 thoả mÃn đề bài và phơng trình. Vậy vận tốc của tàu thuỷ
khi yên lặng là 20km/h.
Tóm lại: Với 3 lời giải trên giáo viên đà hình thành cho học sinh làm
quen với việc giải bài toán bằng cách lập phơng trình và hệ phơng trình. ở đây
mới cố gắng nêu 2 cách giải đại diện cho các dạng phơng trình bậc nhất, phơng trình bậc 2 và hệ phơng tr×nh.
13


+ Trong dạng toán chuyển động, học sinh cần nhớ và nắm chắc các đại
cơng quÃng đờng, vận tốc và thời gian liên quan với công thức S = vt. Do đó
khi giải nên chọn 1 trong 3 đại lợng trên là ẩn số và điều kiện luôn luôn dơng.
Sau đó áp dụng công thức S = vt hoặc điều kiện của bài toán để xây dựng phơng trình (hệ phơng trình).
+ Cần lu ý trong dạng toán chuyển động cũng có thể chai ra nhiều dạng
nhỏ và cần lu ý.
- Nếu chuyển động trên cùng một quÃng đờng thì vận tốc và thời gian

có tỷ lệ nghịch với nhau.
- Nếu thời gian chuyển động đến chậm hơn dự định (bài 9 sách đại 8
Nguyễn Duy Thuận) thì cách lập phơng trình nh sau:
Thời gian dự định đi với vận tốc ban đầu + thời gian đến chậm = Thời
gian của chuyển động sau khi giảm vận tốc + thời gian chuyển động đi với
vận tốc ban đầu.
- Nếu thời gian của chuyển động đến nhanh hơn dự định (bài 2 sách đÃ
dẫn) thì cách lập phơng trình làm ngợc lại phần trên.
+ Nếu chuyển động trên đoạn ®êng kh«ng ®ỉi tõ A => B råi tõ B => A
biÕt tỉng thêi gian thùc tÕ cđa chun ®éng (ví dụ chơng 3) thì cách lập phơng
trình nh bài toán đà trình bày. Nghĩa là tổng thời gian của chuyển động về.
+ Nếu hai chuyển động ngợc chiều nhau (VÝ dơ 1 ch¬ng 3) sau mét thêi
gian hai chun động nhau thì có thể lập phơng trình S = S1 + S2 + ...
II. Dạng toán có liên quan số học:
Bài 1: (Bài 1 trang 80 sách đại 8 Nguyễn Duy Thuận NXB
Giáo dục 1995).
Mẫu số của một phân số lớn hơn tử số của nó là 3. Nếu tăng cả tử và
mẫu thêm 2 đơn vị thì đợc phân số 1/2 . Tìm phân số đà cho?
+ Hớng dẫn học sinh:
- Để tìm một phân số tức là ta phải tìm những thành phần nào? (tử,
mẫu?)
- Biết tử số ta có thể tìm đợc mẫu số không? và ngợc lại.
- Sau khi tăng cả tử và mẫu 2 đơn vị ta có phân số mới nào?
+ Lời giải: ở đây nh đà trình bày ở phần trên, ta thấy rằng các thành
phần của tử số và mẫu số của phân số đà cho đều cha biết. Nghĩa là tơng đơng
14


nhau về giá trị ẩn số. Nh vậy ta có thĨ gäi bÊt kú tư sè hay mÉu sè lµ ẩn số
cách chọn ẩn nào sẽ dẫn đến cách giải khác. Ngoài ra nếu gọi cả 2 thành phần

trên là ẩn số sẽ dẫn đến cách giải bài toán bằng cách lập hệ phơng trình. Nhng
ta sẽ chọn cách giải đơn giản nhất. Muốn vậy cần đặt ẩn đơn giản nhất. ở đây
là phân số nên thờng tử số nhỏ hơn mẫu số (bài toán cũng đà cho). Vậy ta nên
chọn tử là ẩn số.
Thật vậy: Gọi tử số của phân số đà cho là x(x 0) thì mẫu số của phân
số là x + 3.
Sau khi tăng tử số sẽ là: x + 2
Sau khi tăng mẫu số sÏ lµ: x + S + 2 = x + 5
Theo bài ra ta có phơng trình

x+2 1
(1) (ĐK x ≠ - 5)
=
x+5 2

=> 2(x + 2) = x + 5 => x = 1
Thoả mÃn điều kiện của bài và của phơng trình (1)
Vậy phân số đà cho là:

1
1
=
1+ 3 4

Bài 2: (Bài 2 sách đại 9 Ngô Hữu Dũng NXB Giáo dục 1995)
Hai số hơn kém nhau 12 đơn vị. Nếu chia số lớn cho 5 và số nhỏ cho 7
thì đợc thơng thứ nhất hơn thơng thứ 2 là 4 đơn vị. Tìm 2 số đó.
+ Hớng dẫn học sinh:
Với loại toán này học sinh lúng túng cách biểu diễn thơng. Nhiều em
coi thơng thứ nhất là thơng của số nhỏ và 7, thơng thứ 2 là thơng của số lớn và

5, dẫn đến kết quả sai.
+ Lời giải: Theo 4 cách ở bảng sau:
Cách
1

2
3

Quá trình
Cha tính thơng
Tính thơng
Cha tính thơng

Số lớn
x

Số nhỏ
x 12

x
5

x − 12
7

x + 12

TÝnh th¬ng

x x − 12

−
= 4 (*)
5
7

x

x
15

x 12 x
=4
5
7

y

x
7

Cha tính thơng

Phơng trình xây dựng

x – y = 12

(1)


x

5

4

TÝnh th¬ng

x y
− =4
5 5

x

y – x = 12 (1)

y
5

Cha tính thơng

y
5

y

Tính thơng

x
5

y x

=4
5 7

(2)

(2)

Từ 4 cách chọn ẩn khác nhau ta dẫn đến xây dựng 4 phơng trình (hay
hệ phơng trình) khác nhau và có 4 cách giải khác nhau nhng vẫn cùng một kết
quả. Giải phơng trình.
Ta ®ỵc:

=> 7x – 5x + 60 = 140
=> 2x + 60 = 140
=> x = 40 thoả mÃn điều kiện bài toán

Vậy số lớn là 40 số nhỏ là 40 12 = 28
Bài 3: (Bài 2 sách đại 9 Ngô Hữu Dũng NXB Giáo dục 1989)
Tìm 2 số biết tổng là 17 và tổng các bình phơng của chúng là 157.
* Hớng dẫn học sinh:
Đây là bài toán đa về phơng trình bậc 2. Cũng có thể có 2 cách giải
theo đặt ẩn khác nhau:
* Lời giải: Theo bảng sau:
Cách

1

2

Quá trình

Số thứ nhất

Cha bình phơng
Bình phơng
Cha bình phơng

x(x 0)

Số thứ hai

7

x2

(17
x)2

x(x 0)

y(y 0)

Phơng trình xây dựng

x2 + (17 x)2 = 157
()
x + y = 17

Bình phơng

x2 + y2 = 157
x2
y2
Giải phơng tr×nh (*) ta cã <=> 2x2 – 34 + 132 = 0
<=> x2 – 17x + 66 = 0
∆ = 25, ∆ = 5 => x1 = 11; x2 = 6

Cả 2 nghiệm x1, x2 đều thoả mÃn điều kiện bài toán. Vậy số thứ nhất
phải tìm là 11, số thứ hai là 6.
Chú ý: Với dạng toán có liên quan đến số học cần cho học sinh hiểu
mối quan hệ giữa các đại lợng đặc biệt giữa hàng đơn vị, hàng chục, hàng
16


trăm... biểu diễn dới dạng chính tắc của nó.
ab = 1a + b
abc = 100a + 10b + c

Khi ®ỉi chỗ vị trí các chữ số hàng trăm, chục, đơn vị ta cũng biểu diễn
tơng tự nh vậy. Dựa vào đó đặt điều kiện cho ẩn số phải phù hợp.
III. Dạng toán về năng suất lao động:
(Tỷ số phần trăm)
Ví dụ 1: (Ôn thi tốt nghiệp THCS NXB Giáo dục 1990)
Trong 2 tháng đầu 2 tổ sản xuất đợc 400 chi tiết máy, trong tháng sau tổ
1 vợt mức 10%, tổ 2 vợt mức 15% nên cả 2 tổ sản xuất đợc 448 chi tiết máy.
Tính xem trong tháng đầu mỗi tổ sản xuất đợc bao nhiêu chi tiết máy.
* Hớng dẫn học sinh:
- ĐÃ biết năng suất chung của 2 tổ trong tháng đầu đợc 400 chi tiết
máy. Nếu biết 1 trong 2 tổ sẽ tính đợc đợc tổ kia (chọn ẩn).
- Giả sử đà biết năng suất của tháng đầu có thể tính đợc tổng chi tiết

máy sản xuất trong tháng sau.
- Tính năng suất của từng tổ tháng sau để xây dựng phát triển.
* Lời giải:
Cách 1: Gọi x là số chi tiết máy tổ 1 sản xuất trong tháng đầu (x Z+,
x < 400, x > 0). Nh vậy tổ 2 sản xuất đợc 400 x chi tiết máy.
Tháng sau tổ 1 đà làm đợc

10
x chi tiết máy.
100

Tổ 2 đà làm đợc (400 x).

15
chi tiết máy
100

Do đó cả 2 tổ đà vợt 48 chi tiết máy.
Theo bài ra ta có phơng trình:
x.

10
15
+ (400 − x).
= 48
100
100

<=> 10x + 6000 – 15x = 4800
<=> 5x = 1200 <=> x = 240

Thoả mÃn điều kiện đề ra. Vậy tháng dần tổ 1 sản xuất đợc 240 chi tiÕt
17


máy, tổ sản xuất 400 240 = 160 chi tiÕt m¸y.
C¸ch 2: Gäi sè chi tiÕt m¸y tỉ 1 sản xuất đợc trong tháng đầu là x(xZ,
0 < x < 400)
Số chi tiết máy tổ 2 sản xuất trong tháng đầu là y(y Z, 0 < y < 400).
Do ®ã ta cã x + y = 400 (1)
Trong tháng sau tổ 1 làm đợc x
Tổ 2 làm đợc y

10
chi tiết máy.
100

15
chi tiết máy.
100

Do đó ta có phơng trình:
x

10
15
+y
= 48 (2)
100
100

Từ đó ta có hệ phơng trình:

x + y = 400 (1)
10 x 15 y
+
= 48 (2)
100 100

Gi¶i hƯ phơng trình ta có: x = 240; y = 160
Thoả mÃn điều kiện đề bài => kết luận
Ví dụ 2: (Bài 2 - Đại 9 Ngô Hữu Dũng Trần Kiều NXB Giáo
dục 1996).
Dân số của thành phố Hà Nội sau 2 năm tăng từ 2.000.000 lên
2.048.288 ngời. Tính xem hàng năm trung bình dân số tăng bao nhiêu phần
trăm.
* Hớng dẫn học sinh:
ĐÃ biết số ngời của năm đầu và 2 năm sau, học sinh dễ nhầm lÉn lÊy sè
sau trõ ®i sè tríc, sau ®ã chia cho 2 năm lấy trung bình từ đó tính phần trăm
dẫn đến kết quả sai.
* Lời giải:
Gọi số phần trăm dân số tăng mỗi năm của Hà Nội và x% (x > 0). Dân
số năm đầu của Hà Nội tăng là: 2.000.000.
Sau năm đầu dân số Hà Nội là:
18

x
= 20.000 x
100

2.000.000 + 20.000x = 20.000 (x + 100)
Năm thứ hai dân số Hà Nội tăng là:
20.000 (x + 100).

x
= 200( x + 100)
100

Theo bài ra ta có phơng trình:
20.000 (x + 100) + 200(x + 100) = 2.048.288
<=> x2 + 200x 241,44 = 0
Giải phơng trình bậc 2 ta đợc x1 = 1,2; x2 = -201,2 (loại)
Vậy số phần trăm tăng dân số trung bình của Hà Nội 1,2%.
Tóm lại: Với dạng toán liên quan đến tỷ số phần trăm học sinh thờng
ngại và khó giải, giáo viên cần gợi mở dần dần để học sinh hiểu rõ bản chất
của logic và nội dung bài toán để dẫn tới mối liên quan xây dựng phơng trình
và giải nh các dạng toán khác.
IV. Dạng toán về công việc làm chung, làm riêng.
(Toán qui về đơn vị)
Bài 1: (Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THCS, Sở GD ĐT Hải Hng 1996)
Hai máy xúc đất, nếu làm chung thì mất 6 ngày sẽ làm xong công việc
đợc giao. Nếu làm riêng thì máy 1 phải làm lâu hơn máy 2 là 5 ngày. Hỏi mỗi
máy nếu làm riêng thì mất bao nhiêu ngày sẽ hoàn thành công việc đà đợc
giao.
* Lời giải:
Gọi x là số ngày mà máy 1 phải làm một mình để hoàn thành công
trình (x > 5).
Máy 2 làm riêng mất số ngày là x 5.
Mỗi ngày máy 1 làm đợc

1
1
công việc, máy 2 làm
công việc.
x
x5

Cả 2 máy trong một ngày đợc

1
công việc.
6

Theo bài ra ta có cách giải sau:
Cách

Quá trình

Máy 1

19

Máy 2

Phơng trình
xây dựng


1

2

x( x > 5)

x5

1
x

1
x5

x( x > 5)

Làm riêng xong công việc

y( y > 5)

xy=5

1
x

1
y

1 1 1
+ =
x y 6

Phần công việc trong 1ngày
Làm riêng xong công việc
Phần công việc trong 1ngày

1
1
1
+
= (*)
x x5 6

Giải phơng trình (*) ta có x2 – 17x + 30 = 0
<=> x1 = 15, x2 = 2 (loại)
Vậy máy 1 làm riêng mất 15 ngày, máy 2 làm riêng mất:
15 5 = 10 ngày
Bài 2: (Ôn luyện thi tốt nghiệp THCS Sở GD-ĐT Hải Hng 1996)
Hai vòi nớc cùng chảy vào 1 bể không có nớc trong 12 giờ thì đầy bể.
Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 4 giờ và vòi thứ 2 chảy trong 6 giờ thì đầy

2
5

bể. Hỏi mỗi vòi nếu chảy một mình thì phải mất bao lâu mới đầy bể.
* Lời giải:
Gọi x là thời gian vòi 1 chảy một mình đầy bể (x > 0)
y là thời gian vòi 2 chảy một mình đầy bể (y >0)
Sau mỗi giờ vòi 1 chảy là
=>

1

1
1
+ =
y
x
12

1
1
vòi 2 chảy là
y
x

(1)

Trong 4h vòi 1 chảy

6
4 6 2
1
, vòi 2 chảy => + =
y
x y 5
x

(2)

Tõ (1) vµ (2) ta cã hƯ phơng trình:
1
1

1
+ =
y
x
12
4 6 2
+ =
x y 5

Giải hệ phơng trình ta đợc x = 20, y = 30 thoả mÃn điều kiện đà nêu.
Vậy vòi 1 chảy riêng hết 20h, vòi 2 chảy riêng hết 30h.
20


ở bài toán này mấu chốt là cho học sinh hiểu đầu bài biết đặt đúng ẩn,
từ đó tính thời gian của 1h và lập đợc phơng trình.
V. Dạng toán về tỷ lệ chia phần (thêm, bớt, tăng, giảm, tổng hiệu, tỷ số
của chúng).
Bài 1: (Bài 5 sách đại số 8 – Ngun Duy Thn – NXB gi¸o dơc
1995)
HTX Hång Châu có 2 kho thóc. Kho thứ nhất nhiều hơn kho thø hai
100 tÊn. Nõu chuyÓn tõ kho thø nhÊt sang kho thứ 2 60 tấn thì lúc đó số thãc
ë kho thø nhÊt

12
sè thãc ë kho thø hai. TÝnh số thóc ở mỗi kho lúc đầu.
13

* Lời giải: Hớng dẫn học sinh theo bảng sau:
Cách

1

2

Quá trình
Cha chuyển

Kho 1
x + 100

Kho 2
x(x > 0)

§· chun

x + 40

x + 60

Cha chun

x(x > 0)

y (y > 0)

ĐÃ chuyển

x - 60

y + 60

Phơng trình xây dựng
x + 40 =

12
(x + 60) (*)
13

x y = 100
x 60 =

12
(y + 60)
13

Giải phơng trình (*) ta cã x = 200 tho¶ m·n.
Vëy kho 2 lúc đầu có 200 tấn thóc.
Kho 1 lúc đầu có 300 tấn thóc.
Bài 2: (Bài 5 Sách đại số 9 Ngô Hữu Dũng Trần Kiều NXB
Giáo dục 1996)
Một đội xe cần phải chuyên chở 120 tấn hàng khi làm việc cho 2 xe
phải điều đi nơi khác nên mỗi xe phải chở thêm 16 tấn hàng. Hỏi đội xe có
bao nhiêu xe.
* Lời giải:
Gọi x là số xe của đội lúc đầu ( x z+). Theo dự định mỗi xe phải chở
120
tấn hàng. Nhng khi lµm viƯc chØ cã (x – 2) xe chë. Thực tế mỗi xe phải
x

chở

120
tấn hàng.
x2

21


Theo bài ra ta có phơng trình:
120
120
= 16 <=> x2 2x 15 = 0
x2
x

Giải ra ta đợc x1 = 15, x2 = - 3 (loại)
Vậy đội có 5 xe ô tô lúc đầu.
VI. Dạng toán có liên quan hình học
Bài 1: (Bài 2 Sách đại số Ngô Hữu Dũng Trần Kiều NXB
Giáo dục 1996)
Một khu vờn hình chữ nhật có chu vi là 280m. Ngời ta làm một lối đi
xung quanh vờn (thuộc đất của vờn) rộng 2m, diện tích đất còn lại để trång
trät lµ 4256m2. TÝnh kÝch thíc cđa vên?
* Híng dÉn học sinh:
Đối với dạng toán có liên quan đến hình học để học sinh dễ hiểu cần vẽ
hình và vận dụng kiến thức hình học để tìm lời giải.
A

2m

B

A

B

4m

D
M

B
E

C

4m
D

C

D

N

C

Hình b

Hình a

Qua h×nh vÏ ta thÊy nưa chu vi AB + BC = 140m
Nếu vẽ lại hình (hình a) thành (hình b) bài toán dễ nhìn hơn. Ta thấy
diện tích phần lối đi đà đợc vẽ chuyển về một phía. Nếu vẽ thêm chuyển phần
diện tích MECN sang BBCE ta thấy ngay.
AB’ nöa chu vi – 4m = 140 – 4 = 136
Và AD = 4m
Vậy có thể tìm ra diện tích lối đi.
* Lời giải:
Theo hình vẽ ta thấy:
Diện tích lối đi là 136 . 4 = 544m2
Gọi một cạnh ban đầu của hình chữ nhật là x(x > 0), m) thì cạnh thứ hai
22


là 140 x.
Theo bài ra ta có phơng trình:
x(140 – x) = 4256 + 544 = 4800
<=> x2 – 140x + 4800 = 0
Giải phơng trình ta có x1 = 80, x2 = 60 thoả mÃn điều kiện bài toán.
Vậy một cạnh ban đầu của hình chữ nhật là 60m, một cạnh là 80m.
Bài 2: (Bài 2 trang 68 - Đại số 9 Ngô Hữu Dũng Trần Kiều
NXB Giáo dục 1996).
Cho một tam giác vuông nếu tăng các cạnh góc vuông lên 2cm, 3cm thì
diện tích tam giác sẽ tăng thêm 50cm2. Tính 2 cạnh góc vuông của tam giác.
* Lời giải:
Gọi 2 cạnh của tam giác cuông là x(cm), y(cm) (x, y > 0) thì diện tích
của tam giác là

1

xy. Theo bài ra ta có hệ phơng trình:
2

1
1
( x + 2)( y + 3) − xy = 50
2
2
1
1
xy − ( x − 2)( y − 2) = 32
2
2

<=> 3x + 2y = 94
2x + 2y = 68
Gi¶i ra ta cã x = 26, y = 8 thoả mÃn điều kiện của bài.
Vậy 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông là 26cm và 8cm.
Bài 3: (Bài 7 Sách đại 9 Ngô Hữu Dũng Trần Kiều NXB
Giáo dục 1996).
Cho 2 đờng tròn đồng tâm. Tìm bán kính của mỗi đờng tròn. Biết rằng
khoảng cách lớn nhất giữa 2 điểm trên 2 đờng tròn đồng tâm bằng 18cm và
khoảng cách nhỏ nhất giữa 2 điểm trên 2 đờng tròn đó bằng 10cm.
* Hớng dẫn học sinh:
Cần phân tích cho học sinh hiểu đợc khoảng cách giữa 2 điểm lớn trên
2 đờng tròn đồng tâm là tổng 2 bán kính của 2 đờng tròn đó. Khoảng cách
giữa 2 điểm nhỏ nhất là hiệu của 2 bán kính của 2 đờng tròn đó.
23

Híng dÉn häc sinh vÏ h×nh => M, O, N, M thẳng hàng.
* Lời giải: Theo bảng sau ta giải phơng trình (2) ta tìm M, O, N, M đợc
x = 14cm.
Bán kính của đờng tròn nhỏ là 18 14 = 4cm

Quá trình

B.kính
Đ.tròn lớn

B.kính
Đ.tròn nhỏ

Khoảng cách lớn nhất

x

y

Khoảng cách nhỏ nhất
Khoảng cách lớn nhất

x(x > 0)
x

y(y > 0)
18 x

Cách

1
2

M

Phơng trình xây
dựng

x + y = 18 (1)
x y = 10
18 x = x 10
(2)

Khoảng cách nhỏ nhất
x
X - 10
Tóm lại: Dạng toán này ngoài việc hớng dẫn học sinh giải bài toán
bằng cách phơng trình cần lu ý đến học sinh các kiến thức về hình học, các
mối quan hệ trong hình học nh cách tính diện tích hình tam giác, hình chữ
nhật, định lý Pitago, hệ thức lợng trong tam giác vuông và kỹ năng vẽ hình
thành thạo. Từ đó mới thiết lập các mối liên hệ để xây dựng phơng trình.
Trong hình học cần lu ý đến điều kiện của ẩn luôn dơng (diện tích, chu vi,
cạnh...)
VII. Dạng toán có chứa tham số.
Bài 1: (Ôn luyện thi tốt nghiệp THCS Sở GD- ĐT Hải Hng 1996)
Thả một vật rơi tự do, không vận tốc ban đầu từ một tháp cao xuống
đất. Ngời ta ghi đợc quÃng đờng rơi S của một vật theo thời gian t trong bảng
sau:
t(giây)
1

2
3
4
5
S(m)
5
20
45
80
125
a) Chứng minh rằng quÃng đờng vật rơi tỷ lệ với bình phơng thời gian tơng ứng, tính hệ số tỷ lệ đó.
b) Viết công thức biểu thị quÃng đờng vật rơi theo thời gian.
* Lời giải:
a) Dựa vào bảng trên ta có:
5
= 5;
12

20
= 5;
22

45
= 5;
33

24

80
= 5;

42

125
=5
52


VËy

S
5
20 45 80 125
= 2 = 2 = 2 = 2 = 2 =5
2
t
1
2
3
4
5

Do đó hệ số tỷ lệ là 5.
b) Công thức biểu thị quÃng đờng vật rơi theo thêi gian lµ:
S
= 5 hay S = 5t2
t2

Bµi 2: (Bµi 1 Sách đại 9 Ngô Hữu Dũng NXB Giáo dục 1989).
Một hình tròn có diện tích S = 3,14R2 với R là bán kính.
a) Khi R tăng 2 lần thì S tăng thêm hay giảm mấy lần.

Khi R giảm 3 lần thì S tăng hay giảm mấy lần.
b) Khi S tăng 4 lần thì R tăng hay giảm mấy lần.
Khi S giảm 10 lần thì R tăng hay giảm mấy lần.
Gọi R = a thì S1 = 3,14 . a2
a) Nếu R tăng 2 lần thì R1 = 2a.
S2 = 3,14 . (2a)2 = 3,14 . 4a2 = 4 . 3,14a2
=> S2 = 4 . S1 . Vậy diện tích tăng 4 lần.
Nếu R giảm 3 lần th× R3 =

1
1
R1 = .a
3
3

2

S3 = 3,14 .  1 a  = 1 .3,14a 2 = 1 .S1
 
9
9
3
Vậy S giảm đi 9 lần.
b) Nếu S tăng lên 4 lần tức là S4 = 4 . S1 thì
3,14 . R42 = 4 . 3,14 . R12 => R42 = 4. R12 = (2R1)2
=> R4 = 2R1. VËy b¸n kính tăng 2 lần.
Tơng tự, nếu S giảm 16 lần thì bán kính tăng 2 lần.
Tóm lại: Bài toán đà xác định mối tơng quan tỷ lệ giữa độ dài bán kính
và diện tích. Độ tăng của bán kính thì độ tăng của diện tích bằng bình phơng
độ tăng của bán kính và ngợc lại.

VIII. Dạng toán có nội dung vật lý hoá học.
Bài 1: (Bài 5 - Đại sè 8 – Ngun Duy Thn – NXB Gi¸o dơc
25