Tự chọn : Phương pháp giải bài toán bằng cách lập phương trình

GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH
I. Mục tiêu
- Làm cho học sinh nắm được nguyên tắc giải bài toán bằng cách lập phương trình
- Học sinh có kỹ năng biết chọn ẩn số , biểu diễn các số liệu có trong bài toán , biết dựa vào các quan hệ
của bài để lập phương trình của bài toán .
- Rèn cho học sinh có kó năng phân tích bài toán , tổng hợp , tính cẩn thận trong suy nghó và trình bày lời
giải của bài toán .
II. Quy trình giảng dạy .
A. Nhắc lại kiến thức cơ bản :
Tóm tắt quá trình giải ( Theo sách giáo khoa lớp 8 )
Bước 1 : Lập phương trình
- Chọn ẩn và xác đònh điều kiện cho ẩn
- Biểu thò số liệu chưa biết qua ẩn
- Tìm mối liên quan giữa các số liệu để lập phương trình
Bước 2 : Giải phương trình
Bước 3 : Chọn kết quả thích hợp và trả lời
Dựa vào cơ sở trên , xây dựng nên quy trình giải dạng toán trên sẽ được thực hiện qua các
bước sau nhằøm giúp cho học sinh biết tìm hiểu nội dung bài toán , biết phân tích các mối
liên hệ có trong bài toán để từ đó biết lập phương trình của bài toán . Sau đây là hệ thống
các công việc mà học sinh cần phải làm khi tiến hành giải bài toán bằng cáh lập phương
trình :
Câu hỏi 1 : Bài toán thuộc dạng nào ?
Câu hỏi 2 : Bài toán này có bao nhiêu đại lượng tham gia? Đó là những đại lượng nào , các đại lượng
đó có liên quan với nhau bởi công thức nào ?
Câu hỏi 3 : Trong các số liệu của bài toán , số liệu nào đã biết , số liệu nào chưa biết ?
Câu hỏi 4 : Trong các số liệu chưa biết đó chung có liên quan gì với nhau ?
Câu hỏi 5 : Bài toán yêu cầu tìm số liệu nào ?
- Trong các số liệu chưa biết ta chọn số liệu nào là ẩn ? Xác lập điều kiện của ẩn ?
Câu hỏi 6 : Trong bài toán còn những số liệu nào chưa biết ?
Câu hỏi 7 : Em hãy dùng ẩn số và các số liệu đã biết để biểu thò các số liệu đó qua ẩn?
Câu hỏi 8 : Trong các mối quan hệ giữa các số liệu chưa biếât , còn mối quan hệ nào mà ta chưa dùng

đến không ? Em hãy nhắc lại quan hệ ấy .
Câu hỏi 9 : Dựa vào mối quan hệ ấy , em hãy lập phương trình của bài toán
• Từ câu hỏi thứ 4 giáo viên có thể hướng dẫn học sinh kẻ bảng để biểu thò các số liệu
có liên quan trong bài toán . Để điền đúng các giá trò trong bảng GV có thể hướng dẫn
học sinh điền các giá trò đã biết vào trong bảng , còn các giá trò chưa biết là các ô trống
ở trong bảng . Phần chọn ẩn số là sự lựa chọn một trong các số liệu chưa biết thể hiện
ở trong bảng , nhưng thông thường bài toán yêu cầu tìm gì thì chọn số liệu ấy làm ẩn .
Nhưng cũng có khi một số bài toán nên chọn ẩn số gián tiếp thì lời giải có phần đơn
giản hơn , tôi sẽ trình bày chi tiết cách giải các bài toán bằng cách chọn ẩn số gián tiếp
thông qua các ví dụ 4,5 . Từ câu hỏi thứ 6 trở đi GV vừa hỏi học sinh và vừa yêu cầu
học sinh điền tiếp các số liệu chưa biết khác vào trong bảng , khi nào điền hết các số
liệu ở trong bảng thì GV mới thực hiện câu hỏi 8 . Như vậy phần phân tích bài toán đã
hoàn thành .
• Tiếp đó GV gọi học sinh căn cứ vào bảng để trình bày lại phần lập phương trình của
bài toán cho hoàn chỉnh .
Sau khi học sinh lập được phương trình của bài toán ,giáo viên nên kiểm tra và sửa chữa
phần trình bày của học sinh .Rồi sau đó gọi một vài em lên giải phương trình của bài
toán .Trong thời gian này giao viên tranh thủ kiểm tra việc làm bài của các học sinh
khác.Trong quá trình hướng dẫn học sinh giải bài toán bằng cách lập phương trình , tôi
thường xuyên nhắc đi nhắc lại hệ thông câu hỏi trên, và đã tập cho hocï sinh thói quen biết
xem xét và phân tich bài toán để từ đó biết giải dạng toán trên.
MỘT SỐ VÍ DỤ ÁP DỤNG
Ví dụ 1:
Một dội máy kéo dự đònh mỗi ngày cày 40ha đất. Nhưng khi thực hiện mỗi ngày cày được 52 ha đất. Vì
vậy không những cày xong trước thời hạn 2 ngày mà còn cày thêm 4 ha nữa .Tính diện tích ruộng mà đội
phải cày theo kế hoạch đã đònh .
Hướng dẫn (Hệ thống câu hỏi đã nêu ở trên tôi không nhắc lại nữa ,trong phần này tôi
chỉ nêu cách trả lời từng câu hỏi theo hệ thống câu hỏi đã nêu ở trên )
@ Trả lời câu hỏi 1 :Đây là dạng toán về công việc
@ Trả lời câu hỏi 2 : Các dữ kiện của bài toán liên quan với nhau theo công thức : Khối

lượng công việc = Năng suất × thời gian làm việc
( Năng suất ở đây là số ha đất phải cày trong một ngày )
Các đại lượng tham gia trong bài toán là : Khối lượng công việc dự đònh ,khối lượng
công việc thực hiện , năng suất dự đònh , năng suất thực hiện, thời gian thực tế làm và thời
gian dự đònh làm .
@ Trả lời câu hỏi 3 : Năng suất dự đònh là 40 ha, năng suất thực tế là 52 ha.
Số liệu chưa biết là : Khối lượng công việc dự đònh và thực tế ; thời
gian dự đònh , thời gian thực tế
@ Trả lời câu hỏi 4 : Khối lượng công việc thực tế hơn khối lượng công việc dự đònh là 4
ha, Thời gian dự đònh hơn thời gian thực tế là 2 ngày
• Phần trả lời các câu hỏi tiếp sau tiến hành cùng một lúc với kẻ bảng như sau
Khối lượng công việc Năng suất Thời gian
Dự đònh
x 40 ha
40
x
Thực hiện
x + 4 52 ha
52
4x
+
@ Trả lời câu hỏi 5 : Tìm diện tích ruộng phải cày theo dự đònh , do vậy ta chọn diện tích
ruộng phải cày theo dự đònh là x ( x > 0 ;ha )
@ Trả lời câu hỏi 6 và 7 : Diện tích ruộng mà đội đã cày được là x+ 4 (ha)
Thời gian đội dự đònh cày là
40
x
( ngày)
Thời gian đội đã cày là
52

4+x
( ngày)
@ Trả lời câu hỏi 8 : Thời gian dự đònh nhiều hơn thực tế là 2 ngày chưa dùng đến
@ Trả lời câu hỏi 9 : Theo bài ra ta có phương trình
2
52
4x
40
x
=
+
−
GV gọi học sinh lên trình bày bước lập phương trình và giải phương trình . Sau đó hướng
dẫn học sinh trả lời bài toán .
Ví dụ 2 : Tàu thủy chạy trên một khúc sông dài 80 km .Biết thời gian đi ngược dòng nhiều hơn thời gian
đi xuôi dòng là 1 giờ 40 phút . Tính vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng . Biết rằng vận tốc dòng nước là
4 km/h.
@Trả lời câu hỏi 1:Toán chuyển động đều có liên quan đến vận tốc của dòng nước
Trả lời câu hỏi 2: Công thức QĐ = VT . TG
Cụ thể là : QĐ = VT
xd
. TG
xd
, QĐ = VT
nd
.TG
nd
; có 7 đại lượng tham gia trong bài toán
này :vận tốc thật của ca nô, vận tốc của dòng nước , vận tốc ca nô đi xuôi dòng ,vận tốc ca nô đi ngược
dòng ,thời gian đi xuôi dòng ,thời gian đi ngược dòng , quãng đường

@Trả lời câu hỏi 3 : Quãng đường là 80 km , vận tốc dòng nước là 4 km/h
Số liệu chưa biết là :Vận tốc thật của canô ,vận tốc canô đi xuôi dòng ,vận tốc canô đi ngược dòng
,thời gian ca nô đi xuôi dòng ,thời gian ca nô đi ngược dòng
@ Trả lời câu hỏi 4: V
xd
=V
t
+ V
dn
,V
nd
= V
t
- V
dn
,thời gian đi xuôi dòng và ngược dòng hết
8 giờ 20 phút =25/3 giờ, TG
xd
=QĐ : V
xd
, TG
nd
= QĐ : V
nd
• Hướng dẫn học sinh kẻ bảng và điền các giá trò thích hợp vào bảng .
Quãng
đường
Vận tốc
thật của ca
nô

Vân tốc
dòng nước
Vận tốc đi của
ca nô
Thời gian
Đi xuôi dòng 80 km x 4 km/h x + 4 (km/h)
4x
80
+
(giờ)
Đi ngược dòng 80 km x 4 km/h x – 4 (km/h)
4x
80
−
( giờ)
@Trả lời câu hỏi 5 :
Bài toán yêu cầu tìm vận tốc thật của ca nô .Do vậy ta chọn vận tốc thật của ca nô
là ẩn số
Gọi vận tốc thật của ca nô là x (x>4,km/h) (vận tốc canô > vận tốc dòng nước
@ Trả lời câu hỏi 6 :
Các số liệu cần biểu diễn qua ẩn là : Vận tốc ca nô đi xuôi dòng , vận tốc ca nô đi ngược
dòng,thời gian đi xuôi dòng ,thời gian đi ngược dòng
@ Trả lời câu hỏi 7:
Vận tốc ca nô đi xuôi dòng là x +4 (km/h)
Vận tốc ca nô đi ngược dòng là x - 4 (km/h)
Thời gian ca nô đi xuôi dòng là
4 + x
80
( giờ)
Thời gian ca nô đi ngược dòng là

4 - x
80
( giờ)
@ Trả lời câu hỏi 8:
Thời gian đi ngược dòng nhiều hơn thời gian đi xuôi dòng là 1 giờ 40 phút là chưa
dùng đến , dựa vào quan hệ này mà ta rút ra phương trình của bài toán
@ Trả lời câu hỏi 9:
Theo bài ra ta có phương trình

3
5
4x
80
4 - x
80
=
+
−
Giáo viên hướng dẫn học sinh lập phương trình và giải phương trình của bài toán
Ví dụ 3: Lúc 6 giờ sáng , một xe máy khởi hành từ A đến B . Sau đó 1 giờ một ô tô cũng
xuất phát từ A đến B với vận tốc trung bình lớn hơn vận tốc trung bình của xe máy 20km/h .
Cả hai xe đến B đồng thời vào lúc 9 giờ 30 phút sáng cùng ngày . Tính quãng đường AB .
Bài toán thuộc dạng toán chuyển động đều , trong bài bày thời gian đi của mỗi xe
đều đã biết . Thời gian đi của xe máy là 9g30’ – 6 g = 3 g 30’ = 3,5 giờ ; của ô tô là 9g30’ –
6 g – 1 g = 2,5 g . G V hướng dẫn học sinh phân tích bài toán thông qua việc kẻ bảng kết
hợp việc điền các số liệu với các câu hỏi như đã nêu để cuối cùng điền được đầy đủ bảng
sau :
Quãng đường vận tốc Thời gian
Xe máy x
53

x
,
3,5 g
tô x
52
x
,
2,5 g
Quan hệ về vận tốc của hai xe ta có phương trình sau :
20
53
x
52
x
=−
,,
Phần trình bày bài làm học sinh làm tương tự như các ví dụ trên .
Hoặc GV có thể hướng dẫn học sinh đặt ẩn số gián tiếp đó là chọn vận tốc của xe
máy là x ; rồi hướng dãn học sinh điền đầy đủ vào bảng sau :
Quãng đường vận tốc Thời gian
Xe máy 3,5x x 3,5 g
tô 2,5(x + 20) x + 20 2,5 g
Vì cùng đi trên một quãng đường nên ta có phương trình : 3,5 x = 2,5 (x + 20)
Trong hai cách làm trên thì cách thứ 2 cách giải sẽ đơn giản hơn .
Ví dụ 4 : (ví dụ 3SGK trang 78) Hai đội dân công cùng sửa một con mương hết 24
ngày . Mỗi ngày phần việc làm được của đội I bằng
2
1
1
phần việc đội II làm được . Hỏi

nếu mỗi đội làm một mình thì mỗi đội sẽ sửa xong con mương trong bao nhiêu ngày ?
Bài toán thuộc dạng toán công việc , nhưng khối lượng công việc được coi là 1 đơn vò
công việc ( Thực chất có thể coi khối lượng công việc là a , trong quá trình biến đổi đại
lượng này sẽ bò triệt tiêu và không ảnh hưởng gì đến kết quả , để cho tiện lợi và thống nhất
với khái niệm phân số ở lớp 6 ta coi khối lượng công việc là 1 đơn vò công việc được biểu
thò bởi số 1 ). Tôi xin trình bày lại cách lập phương trình của bài toán ở SGK để các bạn
tham khảo và đồng thời hướng dẫn học sinh chọn ẩn số gián tiếp để tiện việc so sánh .
Cách làm ở SGK : Gọi số ngày mà một mình đội II phải làm để sửa xong con mương là x ,
ta có bảng số liệu sau
Đội I Đội II Cả hai đội
Số ngày x 24
Phần việc làm trong 1
ngày
x2
3
x
1
2
3
=⋅

x
1
24
1
Từ điều kiện của bài ta có phương trình :
24
1
x2
3

x
1
=+
Cách làm khác : Hướng dẫn học sinh trả lời các câu hỏi như các ví dụ trên
Khối lượng công việc = Phần việc làm trong một ngày × Số ngày làm việc , mà ở
đây khối lượng công việc được biểu thò bằng 1 , phần việc làm trong một ngày của mỗi đội
chính là năng suất của đội đó . Do vậy năng suất của cả hai đội là 1/24 công việc . Nếùu
chọn số ngày làm xong công việc của mỗi đội làm ẩn số thì ta thấy trong bảng số liệu thấy
khuyết số ngày của đội I, song thực tế số ngày của đội I không liên qua đến dữ kiện nào
của bài cho nên người ta bỏ qua . Chính điều này làm cho học sinh không thấy thoả mãn
với những gì mà thầy cô giáo hướng dẫn ở trên . Nếu chọn ẩn số gián tiếp nó sẽ tránh được
các thiếu sót ở trên . Dựa trên công thức trên ta gọi năng suất của đội II là x thì thời gian
của mỗi đội được biểu thò bằng công thức 1 : năng suất . Với suy nghó đó ta hường dẫn học
sinh lập bảng như sau .
Kl công việc Năng suất Thời gian làm
xong công việc
Làm chung
Thời gian
KL công việc đã làm
Đội I 1 1,5x 1 : 1,5x 24 24 . 1,5x = 36x
Đội II 1 x 1:x 24 24x
Dựa vào điều kiện của bài ta có phương trình : 36x + 24x = 1
Giải phương trình ta được x =
60
1
Vậy thời gian một mình đội II làm xong công việc là 1 :
60
1
= 60 ( ngày)
Vậy thời gian một mình đội I làm xong công việc là 1 :







⋅
60
1
51,
= 40 ( ngày)
Ví dụ 5 : Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B mất 4 giờ và ngược dòng từ B đến
A mất 5 giờ . Tính khoảng cách giữa hai bến , biết vận tốc của nước chảy là 2 km/h .
Ở bài này nếu chọn ẩn số trực tiếp khi lập phương trình sẽ khó , vì nộâi dung để lập
phương trình lại là số liệu không thể hiện trong bài . Đó là quan hệ giữa vận tốc của ca nô
khi đi xuôi dòng và đi ngược dòng . Với bài này thì vậân tốc khi đi xuôi dòng hơn vận tốc đi
ngược dòng bằng 2 lần vận tốc của dòng nước , cho nên V
xd
- V
nd
= 4 km/h . Do vậy nếu
chọn quãng đường AB là x thì phương trình phải lập sẽ là :
4
5
x
4
x
=−
. Như vậy cách giải
bằng cách chọn ẩn số trực tiếp là khó đối với học sinh , cho nên nhiều giáo viên hướng dẫn

học sinh giải bằng cách chọn ẩn số gián tiếp . Việc phân tích cách giải tôi làm tương tự như
ví dụ 2 cho nên tôi không tiện viết ra mà chỉ tập trung phân tích mối liên quan giữa các số
liệu để dẫn đến việc lập phương trình .
Ta biết QĐ = V
xd
× TG
xd
= V
nd
× TG
nd
, mà V
xd
= V
t
+ V
dn
= V
t
+ 2 và V
nd
= V
t
– V
dn
=
V
t
– 2 . Mà thời gian đi xuôi dòng hay ngược dòng đã biết , vì vậy để tìm QĐ ta phải tìm
V

xd
hoặc V
nd
. Mà hai đại lượng này lại liên quan đến vận tốc của ca nô khi nước yên lặng
( Vận tốc thực của ca nô) Do vậy chọn vận tốc của ca nô đi khi nước yên lặng là x (km/h ,
x > 2 ) . Hướng dẫn học sinh lập bảng như sau :
Thời gian đi V
t
V
dn
Vận tốc đi Quãng đường
Xuôi dòng 4 x 2 x + 2 4(x + 2)
Ngược dòng 5 x 2 x - 2 5(x – 2)
Vì ca nô cùng đi trên một đoạn đường nên ta có phương trình
4(x + 2) = 5( x – 2) . Giải phương trình ta được x = 18 ( km/h)
Quãng đường AB là 4(18 + 2) = 80 (km) .
Ví dụ 5 : Lan mua hai loại hàng và phải trả tổng cộng 120000 đ , trong đó tính cả 10000 đ
tiền thuế giá trò gia tăng (VAT) , biết thuế VAT đối với loại hàng thứ nhất là 10% và đối
với lạo hàng thứ hai là 8% . Hỏi không kể thuế VAT thì Lan phải trả mỗi loại hàng là bao
nhiêu tiền ?
Biết a là giá tiền của loại hàng , b% là tiền thuế VAT thì số tiền để mua hàng tính cả
thuế là a + b%.a . Do vậy từ điều kiện của bài thì số tiền để mua hai loại hàng là 120000 đ
– 10000 đ = 110000 đ . Cho nên các đại lượng tham gia trong bài toán là : số tiền để mua
mỗi loại hàng ; số tiền thuế để trả cho mỗi loại hàng .Do vậy ta có thể kẻ bảng gồm 4 ô
chưa biết , trong đó ta có thể chọn số tiền trả cho việc mua loại hàng thứ nhất là x , rồi sau
đó ta biểu thò các đại lượng chưa biết khác thông qua việc điền các số liệu vào bảng sau :
Số tiền mua hàng số tiền thuế VAT