SKKN dạy một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị trong chương trình toán THCS

Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị
1. PHẦN I:ĐẶT VẤN ĐỀ
Toán học là môn khoa học cơ bản, có liên quan đến nhiều ngành, nhiều
lĩnh vực khác nhau. Dạy toán học nhằm trang bị cho học sinh một hệ thống tri
thức khoa học phổ thông cơ bản tạo điều kiện cho các em được hình thành và
phát triển các phẩm chất, năng lực trí tuệ, đồng thời trang bị cho các em hệ
thống tri thức đảm bảo đủ để nghiên cứu và khám phá thế giới xung quanh.
Trong chương trình toán bậc trung học cơ sở, hai chủ đề lớn của môn đại
số đó là “Số” và “Hàm số”. Khái niệm ”Hàm số” xuyên suốt chương trình môn
đại số ở phổ thông, bắt đầu từ lớp 7 và nó là kiến thức trọng tâm của môn đại
số. Với các khái niệm hàm bậc nhất, bậc hai và các dạng đồ thị tương ứng,
phần hàm số được phân lượng thời gian không nhiều.Tuy vậy bài tập về hàm
số thì thật là nhiều dạng và không thể thiếu trong các kỳ kiểm tra, kỳ thi. Khái
niệm hàm số là khái niệm trừu tượng mà thời gian luyện tập lại không nhiều,
nên kết quả của học sinh không cao.
Qua thực tế giảng dạy nhiều năm ở bậc THCS và tìm hiểu về tâm lý của
đối tượng học sinh tôi thấy các bài tập về đồ thị và hàm số học sinh còn rất
lúng túng chính vì vậy tôi xin trình bày một số kinh nghiệm của bản thân đã
tích luỹ khi giảng dạy: “Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị”. Trong quá
trình giảng dạy tôi cố gắng làm sáng tỏ khái niệm hàm số, đồ thị và đưa ra một
số dạng bài tập về hàm số và các bài tập có liên quan.
Bằng cách sắp xếp các dạng toán, phương pháp truyền thụ phù hợp với
đối tượng học sinh, phát huy tính tích cực của học sinh, chú ý sửa sai cho các
em, tôi đã giúp học sinh hiểu đây là là phần bài tập có thuật giải rõ ràng, chính
xác , có nhiều nội dun ứng dụng phong phú. Hàm số còn được coi là công cụ
giải quyết một số bài toán khác như tìm cực trị, giải phương trình, giải bất
phương trình, sau đây là nội dung đề tài.
PHẦN II:NỘI DUNG ĐỀ TÀI
MỘT SỐ VẤN ĐỀ LÝ THUYẾT CƠ BẢN
I/ Các hàm số trong chương trình THCS:
2

Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị
1. Hàm số bậc nhất:
a. Định nghĩa: Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y
= ax + b, trong đó a, b là các hằng số xác định a
≠
0, x
∈¡
b. Tính chất:
+ Tập xác định:
¡
+ Tính biến thiên;
a > 0 thì hàm số đồng biến trong R
a < 0 thì hàm số nghịch biến trong R
c. Đồ thị:
+ Đồ thị hàm số y = ax + b (a
≠
0, x
∈¡
) là đường thẳng đi qua điểm
A(0,b) và điểm B(
b
a
−
; 0)
+ Khi b = 0 thì đồ thị hàm số y = ax là đường thẳng đi qua gốc toạ độ và
điểm E(1; a).
2. Hàm số bậc hai:
a. Định nghĩa: Hàm số bậc hai là hàm số được cho bởi công thức
y = ax
2

+ bx + c với a, b, c là các hằng số (a
≠
0, x
∈¡
)
b. Tính chất:
- Tập xác đinh R
- Tính biến thiên:
+ a > 0 Hàm số đồng biến trong (
2
b
a
−
;
+∞
) và nghịch biến trong (
−∞
;
2
b
a
−
)
+ a < 0 Hàm số nghịch biến trong (
2
b
a
−
;
+∞

) và đồng biến trong (
−∞
;
2
b
a
−
)
b. Đồ thị:
3
Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị
Đồ thị hàm số y = ax
2
+ bx + c (a
≠
0, x
∈¡
) là Parabol (P) có đỉnh là
D(
2
b
a
−
;
4a
∆
) nhận đường thẳng x =
2
b
a

−
là trực đối xứng.
MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP
DẠNG 1: TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ
1/ Đinh nghĩa:
Tập xác định của hàm số y = f(x) là tập các giá trị của x để biểu thức f(x)
có nghĩa.
Vì vậy :
- Nếu f(x) là đa thức thì hàm số có tập xác định x
∈
R
- Nếu f(x) có dạng phân thức thì hàm số có tập xác định:
 x
∈
R biểu thức trong căn
≥
0
2/ Ví dụ:
+ Ví dụ 1: Hàm số y = 5x – 70 có TXĐ: R
+ Ví dụ 2: Hàm số y =
3 2
5
x
x
−
−
có TXĐ
{ }
5x R x∈ ≠
+ Ví dụ 3: Hàm số y =

4 1x +
có TXĐ:
1
4
x R x
 
∈ ≥ −
 
 
3/ Bài tập: Tìm tập xác định của hàm số:
a) y =
2
2 1 1x x− − +
b) y =
2
1 2 5
3 3
x x
x x
+ +
−
− +
c) y =
2
4 2x x− + −
DẠNG II: TÌM TẬP GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ
+ Tập giá trị của hàm số : y = f(x)
là tập giá trị của y sao cho phương trình f(x) = y có nghiệm x
∈
X

1/ Cách giải:
+ Cách 1: có thể dựa vào tính chất thứ tự trong Q để đánh giá các giá trị của y.
4
Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị
+ Cách 2: Tìm điều kiện để phương trình f(x) = y có nghiệm trong tập xác
định.
2/ Ví dụ:
+ Ví dụ 1: Tìm miền giá trị của hàm số y = 2x – 5 với x
[ ]
1;1∈ −
Giải
Ta có x
1 2 2 2 5 7 7x x y≥ − ⇒ ≥ − ⇒ − ≥ − ⇒ ≥ −
1 2 2 2 5 3 3x x x y≤ ⇒ ≤ ⇒ − ≤ − ⇒ ≤ −
Vậy miền giá trị của hàm số y = 2x – 5 với x
[ ]
1;1∈ −
là y
[ ]
7; 3∈ − −
+ Ví dụ 2 : tìm miền giá trị của hàm số y =
6 7x x− + −
Giải
Áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có:
6 7 6 7 1 1x x x x y− + − ≥ − + − = ⇒ ≥
Vậy miền giá trị của hàm số y =
6 7x x− + −
với x
∈
R là y

∈
R, y
≥
1.
+ Ví dụ 3: Tìm miền giá trị của hàm số y = x
2
– 2x + 3 với x
[ ]
2;3∈
Giải
Hàm số y = x
2
– 2x + 3 có a = 1 > 0 nên đồng biến với x
≥
1
Vậy với x
[ ]
2;3∈
ta có y(2)
≤
y(3)
⇒

3 6y≤ ≤
Vậy miền giá trị của hàm số y = x
2
– 2x + 3 với x
[ ]
2;3∈
là

[ ]
3;6
+ Ví dụ 4: Tìm miền giá trị của hàm số y = x
2
–4
Giải
- TXĐ của hàm số là R
- Xét phương trình x
2
- 4
x
+ 3 = y
⇒
2
( 2) 1x y− = +
Phương trình có nghiệm y+1
≥
0
⇔
y
≥
-1
3/Ứng dụng:
ứng dụng 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất cảu hàm số;
5
Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của y = 2x – x
2
– 4
Giải

Ta có y = 2x - x
2
– 4
= - (x
2
– 2x + 1) – 3
= - (x – 1)
2
– 3
≤
3 dấu = xảy ra khi và chỉ khi x= 1
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là Max y = -3 tại x =1
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y =
2
2
6
2
x x
x x
+ +
+ +
(1)
Giải
Hàm số có tập xác định : R vì x
2
+ x + 2 = (x +
1
2
)
2

+
7
4

≥

7
4
Giả sử y là một giá trị của hàm số
⇒
Phương trình
2
2
6
2
x x
x x
+ +
+ +
= y có
nghiệm
⇔
(y - 1)x
2
+ (y – 1)x + 2y – 6 = 0 (2) Có nghiệm
+ Xét y = 1 phương trình (2) vô nghiệm
+ Xét y
≠
1 Phương trình (2) có nghiệm
0⇔ ∆ ≥

⇔
(y –1)
2
– 4(y – 1)(2y – 6)
≥
0
⇔
(y – 1)(23 – 7y)
≥
0
⇔

23
1
7
y< ≤
Vậy giá trị của hàm số là
23
1
7
y< ≤
+ Với y =
23
7
ta có x =
1
2
−
vậy hàm số có giá trị lớn nhất là
Max y =

23
7
tại x =
1
2
−
+ Chú ý: ở ví dụ 2 có thể ra dưới dạng; Tìm x
∈
R để hàm số
y =
2
2
6
2
x x
x x
+ +
+ +
nhận giá trị nguyên y = 1 +
2
4
2x x+ +
6
Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị
Khi đó học sinh hay chọn cách giải: nên y
∈
Z
⇔
x
2

+ x + 2 nhận giá trị là
ước nguyên của 4.
Sai lầm trong lời giải ở chỗ x
∈
R nên x
2
+ x + 2 có thể nhận giá trị
không nguyên. Vì vậy lời giải trên làm mất nghiệm của bài toán.
+ Cách giải từ việc có miền giá trị
23
1
7
y< ≤
ta chỉ ra y
∈
Z
⇔
y = 2 hoặc
y = 3
Giải phương trình
2
2
6
2
x x
x x
+ +
+ +
= 2
⇔

x
2
+ x - 2 = 0
⇔
x = 1; x = -2

2
2
6
2
x x
x x
+ +
+ +
= 3
⇔
2x
2
+ 2x = 0
⇔
x = 0; x = -1
Vậy x
{ }
2; 1;0;1∈ − −
thì y
∈
Z
Ứng dụng 2: Gải phương trình f(x) = g(x) (1)
Nhiều phương trình phức tạp có thể giải đơn giản hơn bằng cách căn cứ vào
miền giá trị của hai hàm số y = f(x) và y = g(x) trên tập xácc định D chung của

chúng:
Nếu
( )
( )
f x m
g x m
≥


≥

với
∀
x
∈
D thì f(x) = g(x)
⇔

( )
( )
f x m
g x m
≥


≥

(2)
Nếu
∃

x
0

∈
D thoả mãn (2) thì x
0
là nghiệm của phương trình (1)
Ví dụ 1: Giải phương trình 6x – x
2
– 2 =
1 2 2 3 4 13x x x x− + − + − + −
(1)
+ Tập xác định : R
+ ta có VT = 6x – x
2
– 2 = 7 – (x – 3)
2

≤
7 dấu = xảy ra khi và chỉ khi
x=3
VP =
1 2 2 3 4 13x x x x− + − + − + −

≥
7 dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi
13
2
4
x≤ ≤

+ Vậy phương trình (1)
2
6 2 7
1 2 2 3 4 13 7
x x
x x x x

− − =

⇔

− + − + − + − =



⇔
x = 3
7
Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị
Kết luận phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = 3
Ví dụ 2:
Giải phương trình –16x
4
+ 72x
3
– 81x
2
+ 28 = 16(x -
2x −
) = 0 (3)

Ta có VT = –16x
4
+ 72x
3
– 81x
2
+ 28 – 16
2
2
7 9
28
4 4
x x
 
 
− − ≤
 
 ÷
 
 
 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 0 hoặc x =
9
4
Đặt
2x −
= t
≥
0 =>x = t
2

+ 2 ta có VP = 16(t
2
– t + 2)
= 16
2
1 7
28
2 4
t
 
 
− + ≥
 
 ÷
 
 
 
Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi t =
1 1 9
2
2 4 4
x x⇔ = + ⇔ =

Vậy phương trình (3)
28
9
28
4
VT
x

VP
=

⇔ ⇔ =

=

Kết luận nghiệm của phương trình là
9
4
x =
4/ Bài tập:
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất ( nếu có) của hàm số y = x
2
– 3x + 1 trên
đoạn:
a.
[ ]
3;1−
b.
[ ]
0;2
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =
2 2
2 2
3 8
a b a b
b a b a
 
 

+ − +
 ÷
 ÷
 
 
Bài 3: Gọi x, y là nghiệm của hệ phương trình
2 2 2
1
2 1
x y a
x y a
+ = +


+ = +

Tìm a để xy có gia trị lớn nhất.
Bài 4: Giải phương trình
a.
2 2 2
3 6 7 5 10 14 4 2x x x x x x+ + + + + = − −
b.
2
2 4 6 11x x x x− + − = − +
8
Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị
DẠNG III: XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC HÀM SỐ
1/ Khi biết tính chất đồ thị hàm số
Ta đã biết giữa hàm số và đồ thị có tương ứng 1-1 nên ta sẽ xác định được
công thức hàm số khi biết tính chất của đồ thị tương ứng.

a. Xác định hàm số bậc nhất y = ax + b biết đồ thị là đường thẳng d
có tính chất:
+ Đi qua điểm A(x
1
; y
1
) và điểm B(x
2
; y
2
)
Giải
Vì A(x
1
; y
1
)
∈
d nên ax
1
+ b = y
1
B(x
2
; y
2
)
∈
d nên ax
2

+ b = y
2

Ta có hệ phương trình
1 1
2 2
ax b y
ax b y
+ =


+ =

Giải hệ phương trình ta có a, b
Kết luận công thức hàm số.
Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b có đồ thị là đường thẳng d đi qua điểm
A(1; 1) và điểm B(-1; 2)
Giải
Vì A(x
1
; y
1
)
∈
d nên ax
1
+ b = y
1
, B(x
2

; y
2
)
∈
d nên ax
2
+ b = y
2
Ta có hệ phương trình:
1 1
2 2
ax b y
ax b y
+ =


+ =

gải hệ phương trình đó ta có a, b
Kết luận công thức hàm số.
Ví dụ: xác định hàm số y = ax + b có đồ thị là đường thẳng d đi qua điểm A(1;
1) và điểm B(-1; 2)
Giải
Vì A(1; 1)
∈
d nên a1 + b = 1, B(-1; 2)
∈
d nên a(-1) + b = 2
9
Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị

Ta có hệ phương trình:
1
1
2
2 3
2
a
a b
a b
b

= −

+ =


⇔
 
− + =


=


Kết luận hàm số cần tìm là y = -
1 3
2 2x
+
b. Đồ thị đi qua điểm A(x
1

; y
1
) và song song với đường thẳng d’ có
phương trình y = a
1
x + b
1
(a
≠
0)
Giải
Vì A(x
1
; y
1
)
∈
d nên ax
1
+ b = y
1
Vì d song song với d’ nên a = a
1
=> b = y
1
– ax
1
Kết luận hàm số cần tìm là y = a
1
x + y

1
– ax
1
Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b có đồ thị đi qua điểm A(1;
1
2
) và song
song với đường thẳng d’ có phương trình y = 2x -
1
2
Giải
Vì A(1;
1
2
)
∈
d nên a + b =
1
2
Vì d song song với d’ nên a = 2 => b = -
3
2
Kết luận hàm số cần tìm là y = 2x -
3
2
c. Đồ thị hàm số đi qua điểm A(x
1
; y
1
) và vuông góc với đường thẳng d’

có phương trình y = a
1
x + b
1
(a
≠
0)
Giải
Vì A(x
1
; y
1
)
∈
d nên ax
1
+ b = y
1
Vì d vuông góc với d’ nên aa
1
= -1
⇒
a =
1
1
a
−

⇒
b = y

1
+
1
1
a
x
1
10
Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị
Kết luận hàm số cần tìm là y =
1 1
1 1
1 1
y x
a a
−
+ +
Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b có đồ thị đi qua điểm A(1; 1) và vuông góc
với đường thẳng d có phương trình y = -
1
2
x +
3
2
Giải
Vì A(1; 1)
∈
d nên a + b = 1
Vì d vuông góc với d’ nên aa
1

= -1
⇒
a = 2
⇒
b = -1
Kết luận hàm số cần tìm là y = 2x – 1
d. Đồ thị qua điểm A(x
1
; y
1
) và tiếp xúc với
Parabol (P): y = a’x
2
+ b’x + c’ (a’
≠
0)
Giải
Vì A(1; 1)
∈
d nên ax
1
+ b = y
1
(1)
Vì d tiếp xúc với Parabol (P): y = a’x
2
+ b’x+c’ nên phương trình hoành
độ giao điểm : ax + b = a’x
2
+ b’x+c’ có nghiệm kép

 a’x
2
+ (b’ – a)x = c’ – b = 0 có nghiệm kép

∆
= (b’ – a)
2
– 4a’(c’ – b) = 0 (2)
Giải hệ hai phương trình (1) và (2) để tìm a và b. Kết luận công thức hàm
số.
Ví dụ: xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị là đường thẳng d đi qua điểm
A(1;2)
∈
d nên –a + b = 2 (1)
Vì d tiếp xúc với Para bol (P): y=x
2
+1 nên phương trình hoành độ giao
điểm : ax+b=x
2
+1 có nghiệm kép
<=> x
2
-ax+1-b=0 có nghiệm kép
<=>
∆
=(b’-a)
2
– 4a’(c’-b)=0 (2)
Ta có hệ phương trình:
2 2 2

2 2 2
0
2
4 4 4( 2) 4 ( 2) 0
a b b a b a
b
a
a b a a a
− + = = + = +
=
  

⇔ ⇔ ⇔
   
= −
+ = + + = + =

  
Vậy hàm số cần tìm là y=-2x
11
Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị
III/1.2 Xác định hàm số bậc hai y = ax
2
+ bx + c có đồ thị là Parabol (P)
a. Đi qua 3 điểm phân biệt A(x
1
,y
1
), B(x
2

,y
2
), C(x
3
,y
3
)
Lời giải
Vì A(x
1
,y
1
)
∈
(P) nên ax
1
2
+ bx
1
+ c = y
1
(1)
Vì B(x
2
,y
2
)
∈
(P) nên ax
2

2
+ bx
2
+ c = y
2
(2)
Vì C(x
3
,y
3
)
∈
(P) nên ax
3
2
+ bx
3
+ c = y
2
(3)
Giải hệ gồm 3 phương trình (1), (2), (3) ta tìm được a, b, c
Kết luận công thức hàm số
Ví dụ: Xác định hàm số bậc hai y = ax
2
+ bx + c có đồ thị là Parabol (P) đi
qua 3 điểm phận biệt A(-1;6), B(0;3), C(3;6).
Lời giải
Vì A(-1;6)
∈
(P) nên a-b+c=6 (1)

Vì B(0;3)
∈
(P) nên c = 3 (2)
Vì C(3;6)
∈
(P) nên 9a+3b+c = 6 (3)
Ta có hệ phương trình
3 3 3
6 3 1
9 3 6 9 3 3 2
c c c
a b c a b a
a b c a b b
= = =
  
  
− + = ⇔ − = ⇔ =
  
  
+ + = + = = −
  
Vậy công thức hàm số cần tìm là: y = x
2
– 2x + 3
b. (P) có mặt phẳng toạ độ đỉnh D(x
0
, y
0
) và đi qua điểm A(x
1

, y
1
)
Lời giải
Vì A(x
1
, y
1
)
∈
(P) nên ax
1
2
+ bx
1
+ c = y
1
(1)
Vì (P) có toạ độ đỉnh D(x
0
, y
0
) nên
0
2
b
x
a
−
=

(2);
2
0
4
2
4 4
b ac
y
a a
−∆ −
= ⇒ − = −
(3)
Giải hệ gồm 3 phương trình (1), (2), (3) ta tìm được a, b, c
Kết luận công thức hàm số.
Ví dụ: xác định hàm số bậc hai y = ax
2
+ bx + c có đồ thị là Parabol (P) đi
qua điểm A(-1;2) và có đỉnh là D(1; 2).
Lời giải:
Vì A(1; 2)
∈
(P) nên a+ b+ c = 2 (1)
Vì (P) có toạ độ đỉnh D(1;-2) nên
12
Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị
1
2
b
a
−

=
(2);
2
4
2 2
4 4
b ac
a a
−∆ −
= − ⇒ − = −
(3)
Ta có hệ phương trình
2
2
2
2 1
1 2 0 2
2
1
4 8 0
4
2
4
a b c
a b c a
b
a b b
a
c
b ac a

b ac
a


− + =

− + = =


−
  
= ⇔ + = ⇔ = −
  
  
= −
− − =



−
− = −


Vậy hàm số cần tìm có công thức y = x
2
– 2x – 1
c. (P) có toạ độ đỉnh D(x
0
, y
0

)
và tiếp xúc với đường thẳng d: y = a’x+b’
Lời giải:
Vì (P) có toạ độ dỉnh D(x
0,
y
0
) nên phương trình hoành độ :
ax
2
+ bx + c = a’x+b’ có nghiệm kép
⇔
ax
2
+(b-a)x +c-b’ = 0 có nghiệm kép
⇔
∆
= (b-a’)-4a(c-b’) = 0 (3)
Giải hệ gồm 3 phương trình (1), (2), (3) ta tìm được a, b, c.
Ví dụ1: xác định hàm số bậc hai y = ax
2
+ bx + c có đồ thị là Parabol (P) nhận
D(1;1) là đỉnh và tiếp xúc với đường thẳng d: y = 2x – 2.
Lời giải :
Vì (P) có toạ độ đỉnh D(1;1) nên
1
2
b
a
−

=
;
2
4
1 1
4 4
b ac
a a
−∆ −
== ⇒ − =
(2)
Vì (P) tiếp xúc với đường thẳng d: y = 2x – 2 nên phương trình hoành độ
ax
2
+ bx+c = 2x-2 có nghiệm kép.
⇔
ax
2
+ (b-2)x+c+2 = 0 có nghiệm kép.
⇔
∆
= (b-2)2 –4ac(c+2) = 0 (3)
Ta có hệ phương trình
2
2
2 2
2
( 2) 4 ( 2) 0
4 8 4 4 0 2 0 1
1 2 0 12 4 0 2

2
2
4 4 0 4 4 0
4
1
4
b ac c
b ac a b a b a
b
a b a b b
a
c
b ac a b ac a
b ac
a


− − + =


− − − + = + = =


−

  
= ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = −
   
   
=

− + = − + =




−
− =


Vậy hàm số cần tìm có công thức y = x
2
– 2x + 2.
13
Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị
III.2 Xác định công thức hàm số khi biết phương trình hàm:
Ví dụ1: Tìm f(x) của hàm số biết f(1+
1
2
) = x
2
– 1 và f(0) = 0
Giải:
+ Với x
≠
0 ta đặt
1
1 t
x
+ =
rồi rút x theo t ta có

1
1
x
t
=
−
Thay vào công thức ban đầu ta có f(t) = (
1
1t −
)
2
– 1
2
(2 )
( )
( 1)
t t
f t
t
−
⇒ =
−
Vì tương ứnghàm số không phụ thuộc vào ký hiệu nên coi f(x) =
2
(2 )
( 1)
x x
x
−
−

+ Với x = 0 thay vào công thức vừa tìm được ta có f(0) = 0
Vậy hàm số cần tìm là f(x) =
2
(2 )
( 1)
x x
x
−
−
Ví dụ 2: Tìm biểu thức f(x) của hàm số biết
2
1
( ) 2 ( )f X f x
x
+ =
với x
≠
0
Từ công thức thay x bởi
1
x

ta có
2 2
1 1 1 1 1
2 2 ( )
1
f f f f x
x x x x
x

 
 ÷
       
+ = ⇒ + =
 ÷
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
 ÷
 
+ Ta có hệ điều kiện với f(x) như sau:
2
2
4
2
2
2
1
1
( ) 2 ( )
( ) 2
2
( )
3
1 1
1 2
( ) 2 ( )
4 ( ) 2
f x f x
f x f x
x

x
x
f x
x
f f x
f x f
x x
x x


 
+ =
+ =
 ÷


−
   
⇔ ⇒ =
 
 
 
 
+ =
+ =
 ÷
 ÷
 
 
 



Vậy công thức hàm số là
4
2
2
( )
3
x
f x
x
−
=
BÀI TẬP:
Bài1: xác định biểu thức f(x) biết:
a/
2
2
1 ( 1)
x x
f
x x
 
=
 ÷
− −
 
và f(1) = 0
14
Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị

b/
2
4 8
1 3 4 1
x x
f
x x x
−
 
=
 ÷
− − +
 
với x
≠
1 và f(1) = 0
c/
2
2
10 4 5
2 4 ( 4)
x x x
f
x x x
− −
 
=
 ÷
− − +
 

và f(2) = -1
Bài2: Xác định biểu thức f(x) và g(x) biết
a/
(2 1) 2 (2 1) 2
2 1
f x g x x
x x
f g x
x x
+ + + =



   
+ =
 ÷  ÷

− −
   

b/
2 2
(3 1) (6 1) 3
( 1) (2 3) 2
f x g x x
f x x g x x x
− + − =


+ + + = +


DẠNG IV: ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1/ Nhắc lại về đồ thị hàm số:
a/ Định nghĩa: Đồ thị Hàm số y = f(x) là tập hợp các điểm trên mặt
phẳng toạ độ có toạ độ (x; f(x)) với x
∈
TXĐ
b/ Đồ Thị Hàm số bậc nhất y = ax + b (a
≠
0) là một đường thẳng.
Cách vẽ:
- Lấy 2 điểm có toạ độ thoả mãn công thức hàm số.
Chẳng hạn A(0, b) và B(-
b
a
; 0)
- Vẽ đường thẳng đi qua A và B
c/ Đồ thị hàm số bậc hai: y = ax
2
+ bx + c (a
≠
0) là Parabol (P) có:
+ Đỉnh D
;
2 4
b
a a
−∆
 
−

 ÷
 
+ Trục đối xứng: x =-
2
b
a
+ bề lõm quay lên trên khi a>0 ; bề lõm quay xuống dưới khi a<0
d/ Đồ thị hàm giá trị tuyệt đối: y
x với x
≥
0
Chẳng hạn: y =
x =
15
Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị
-x với x
≤
0
Đồ thị hàm số thuộc hai tia phân giác
của các góc vuông I và II (hình 1d) 0 x
hình 1d
e/ Đồ thị hàm phần nguyên: y =
[ ]
x
trong đó
[ ]
x
là kí hiệu số nguyên lớn
nhất không vượt quá x
+ Đồ thị hàm số y =

[ ]
x
với
1 3x
− ≤ <
có dạng bậc thang như (hình 1e)
-1 với
1 0x− ≤ <
y = 0 với
0 1x
≤ <
3
1 với
1 2x≤ <
2
2 với
2 3x
≤ <
1
-1
0 1 2 3
-1
f/ Nhận xét:
+ Đồ thị hàm số y = f(x) và y = f(-x) đối xứng nhau qua trục tung.
+ Hàm số y = f(
x
) có f(x) = f(-x) với mọi x nên có đồ thị nhận truc tung
làm trục đối xứng. Vì vậy khi vẽ chỉ cần:
• Vẽ đồ thị y = f(x) với x
≥

0
• Lấy đối xứng phần vừa vẽ qua trục tung.
+
y
= x không phải là hàm số nên ta không yêu cầu học sinh vẽ đồ thị
hàm số mà chỉ vẽ đường biểu diễn mối quan hệ.
2/ Ví dụ:
Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số y = x
2
– 4x+3
+ TXĐ : x
∈
R
+ Tính biến thiên: Hàm số đồng biến với x>2
Nghịch biến với x<2
Có giá trị nhỏ nhất là y = -1 khi x = 2
+ Bảng giá trị: x …0 1 2 3 4…
16
y
x
Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị
y …3 0 -1 0 3…

3
2

1 1 2 3 4
Nhận xét: Đồ Thị Hàm số là Parabol (P) có đỉnh D(2; -1) đối xứng qua
đường thẳng x = 2, bề lõm quay lên trên.
Ví dụ2 : Vẽ đồ thị hàm số: y = 2x -

x
+ Ta khử dấu giá trị tuyệt đối bằng cách xét các khoảng giá trị của biến
x với x
≥
0
y = 2x-
x
=
3 x với x < 0
+ Bảng giá trị; x …0 1 -1…
y …3 1 -3…
Ví dụ 3: Vẽ đồ thị hàm số y=
2
x 2 x 2− + +
Ta có y=
2
2
x 2x 2víi x 0
-x 2x 2víi x<0

− + + ≥


− +


Nên đồ thị là hai nhánh Parabol
y=-x
2
+2x+2 với x

0≥
y=-x
2
-2x+2 với x<0
Đồ thị:
3
2
17
-3
x
y
y
x
0
Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị
-2 -1
1
1 2 3
0
-1
Nhận xét : đồ thị hàm số y = -x
2
+ 2
x
+ 2 nhận trục tung làm trục đối
xứng.
3/ ứng dụng : Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:
Nhận xét: Điểm thấp nhất( cao nhất) trên đồ thị là điểm có tung độ nhỏ
nhất (lớn nhất), tại đó hàm số nhận giá trị nhỏ nhất ( lớn nhất)Vì vậy khi tìm
giá trị lớn nhất ( nhỏ nhất) của hàm số ta có thể vẽ đồ thị của hàm số rôi tìm

điểm cao nhất( thấp nhất của đồ thị .
Ví dụ1: Tìm giá trị nhỏ nhất cua hàm số y =
1 2x x− + −
Giải
2x – 3 (x>2)
Ta có y = 1 (1
≤
x
≤
2)
-2x + 3 (x<1)
Đồ thị hàm số gồm các phần đường thẳng y = 2x – 3 (x>2);
y = 2x + 3 (x<1) và đoạn y = 1 (1
≤
x
≤
2)
Nên đồ thị hàm số là hai nhánh Parabol y = -x
2
+2x+2 với x
≥
0
và y = -x
2
+2x+2 với x<0
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là Max y = 3 khi x = 1 hoặc x = -1
Ví dụ 3: Tìm giá lớn nhất của hàm số : y = - x
2
- 2
1x −

+ 1
Giải
-x
2
– 2x + 3 (x
≥
1)
Ta có y =
-x
2
+ 2x+ 1 (x < 1)
Nên đồ thị hàm số là 2 nhánh Parabol y = -x
2
– 2x + 3 với (x
≥
1) và
18
Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị
y =-x
2
+ 2x+ 1 với (x < 1)

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là Max y = 0 khi x= 1
4/ Bài tập
Bài 1: Cho hàm số y =
2 2
4 4 4 4 1x x x x ax− + + + + +

a.Xác định a để hàm số luôn đồng biến
b. Xác định a để đồ thị hàm số đi qua điểm B(1;6). Vẽ đồ thị của hàm

số với a vừa tìm được.
Bài 2: Vẽ đồ thị hàm số y =
2 2 2
4 4 6 9 3 2 1x x x x x x− + + + + − + +

Bài 3: Trong mặt phẳng toạ độ xOy vẽ tập hợp các điểm M(x; y) mà toạ độ (x;
y thoả mãn
1 2 1x y− + − =
.
DẠNG V: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA CÁC ĐỒ THỊ
Cơ sở lý thuyết:
+ Điểm M(x
M
; y
M
)
∈
đồ thị hàm số y = f(x)
⇔
y
M
= f(x
M
).
19
x
y
-1 0 1 3/2 2
-1
-2

-9/4
-4
-5
Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị
+ Vị trí tương đối giữa đồ thị các hàm số y = f(x) và y = g(x) phụ thuộc
vào số điểm chung của hai đồ thị.
Giả sử M(x
M
; y
M
) là một điểm chung của đồ thị các hàm số y = f(x) và
y=g(x).
 M
∈
đồ thị hàm số y = f(x) và M
∈
đồ thị hàm số y = g(x).
 y
M
= f(x
M
) và y
M
= g(x
M
).
 (x
M
; y
M

) là nghiệm của hệ phương trình
( )
( )
y f x
y g x
=


=


 Vậy ví trí tương đối giữa đppf thị hàm số y = f(x) và y = g(x) phụ thuộc
vào số nghiệm của phương trình
( )
( )
y f x
y g x
=


=

1/ Cách giải :
a. bài toán xác định vị trí tương đối giữa đồ thị hàm số y = f(x) và y=g(x),
(f(x) và g(x) có bậc
≤
2)
+ Toạ độ điểm chung (nếu có) của đồ thị các hàm số là nghiệm của hệ:

( )

( )
y f x
y g x
=


=


+ Phương trình hoành độ : f(x) = g(x) (3)
+ Số nghiệm của phương trình (3) quy định vị trí tương đối giữa đồ thị các
hàm số y=f(x) và y = g(x)f(x) và g(x) có bậc
≤
2).
Hai đồ thị cắt nhau
⇔
phương trình (3) có hai nghiệm phận biệt
Hai đồ thị tiếp xúc
⇔
Phương trình (3) có nghiệm kép
Hai đồ thị không cắt nhau
⇔
phương trình (3) vô nghiệm.
• Để biện luận vị trí tương đối giữa các đồ thị ta biện luận số nghiệm của
phương trình (3).
• Để xác định toạ độ điểm chung giữa các đồ thị ta giải phương trình (3)
tìm hoành độ x = x
0
, dựa vào phương trình (1) hoặc (2) để xác định
tung độ tương ứng y = y

0
.
KẾT LUẬN CHUNG:
B. CHÚ Ý: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng (d): y = ax + b và d
1
:
y=(2m-3)x+2 (a.a
1

≠
0)
20
(1)
(2)
Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị
+ d song song với d
1

⇔
a = a
1
; b
≠
b
1
+ d cắt d
1

⇔
a

≠
a
1
+ Đặc biệt d vuông góc với d
1

⇔
a.a
1
= -1
+ d trùng với d
1

⇔
a = a
1
; b = b
1

2/ Ví dụ:
Ví dụ 1: cho đường thẳng d: y = m(x + 2) và d: y = (2m-3)x + 2
a. Biện luận theo m vị trí tương dối của hai đường thẳng
Giải
+ d//d
1

2 3 3
3
2 2 1
m m m

m
m m
= − =
 
⇔ ⇔ ⇔ =
 
≠ ≠
 
+ d cắt d
1

⇔
m
≠
2m-3
⇔
m
≠
3
+ không có giá trị nào của m đẻ d trùng với d
1
b. Tìm các giá trị của m để hai đường thẳng vuông góc. Xác định toạ độ
điểm chung trong từng trường hợp.
Giải
+ d vuông góc với d
1

⇔
m(2m-3) = -1
⇔

2m
2
-3m+1 = 0
⇔
m =1 hoặc m =
1
2
+ với m =1 ta có d: y = x +2 và d
1
: y = -x + 2 vuông góc với nhau.
Toạ độ điểm chung của d và d
1
là nghiệm của hệ
2 2
2 0
y x y
y x x
= + =
 
⇔
 
= − + =
 
Vậy với m=1 hai đường thẳng vuông góc với nhau tại A(0; 2)
+ Với m=
1
2
ta có d: y =
1
1

2
x +
và d
1
: y=-2x+2 vuông góc với nhau.
Toạ độ điểm chung của d và d
1
là nghiệm của hệ
6
1
1
5
2
2
2 2
5
y
y x
y x
y

=


= +
 
⇔
 
 
= − +

=



Vậy với m=
1
2
hai đường thẳng vuông góc với nhau tại B
2 6
;
5 5
 
 ÷
 
21
Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị
Ví dụ2: Biện luận theo m vị trí tương đói của đồ thị các hàm số y = x
2
-
4x+m (P) và y= 2x+1 (d). Trong trường hợp tiếp xúc, tìm toạ độ điểm tiếp
xúc.
Giải
Toạ độ điểm chung của (P) và (d) là nghiệm của hệ
2
4
2 1
y x x m
y x

= − +


= +

Phương trình toạ độ x
2
–4x+m = 2x+1
⇔
x
2
-6x+m-1 = 0 (3)
+ (P) cắt (d) tai hai điểm phận biệt
⇔
phương trình (3) có hai nghiệm phận
biệt
⇔
∆
= 9-m+1 > 0
⇔
m<10
+ (P) tiếp xúc với (D)
⇔
Phuơng trình (3) có nghiệm kép
⇔
∆
= 9-m+1 = 0
⇔
m=10
Với m= 10 phương trình (3) trở thành x
2
– 6x + 9 = 0

⇔
x=3
Thay vào (2) ta có y = 7
Vậy với m= 10 thì (P) và (d) tiếp xúc với nhau tại điiểm A(3; 7).
+ (P) không giao với (d)
⇔
Phương trinhg (3) vô nghiệm
⇔
∆
= 9-m+1 < 0
Ví dụ 3: Tìm m để đồ thị các hàm số y = x
2
– 4x – 8 (P) và y=mx
2
+
(m+2)x + 8 (P’) có không quá một điểm chung.
Giải
+ Toạ độ điểm chung (nếu có) của các đồ thị hàm số là nghiệm của hệ :
y = x
2
– 4x – 8 (1)
y = mx
2
+ (m+2)x + 8 (2)
+ Phương trình hoành độ x
2
– 4x – 8 = mx
2
+ (m+2)x + 8
⇔

(m-1)x
2
+(m+6)x+16=0 (3)
+ (P) và (P’) có không quá một điểm chung
⇔
phương trình (3) có không
qua một nghiệm.
- Xét m = 1, phương trình (3) có dạng 7x+16 = 0
⇔
x=-
16
7
là nghiệm
duy nhất.
22
(1)
)
(2)
Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị
Vậy với m=1 (P) và (P’) cắt nhau tại một điểm.
- Xét m
≠
1 (P) và (P’) có không qua một điểm chung
0
⇔ ∆ ≤
.
⇔
(m + 6)
2
– 64(m - 1)

≤
0
⇔
m
2
– 52m + 100
≤
0
⇔
26 576 26 576m− ≤ ≤ +
m
≠
1
Vậy (P) và (P’) có không quá một điểm chung
⇔
26 576 26 576m− ≤ ≤ +
.
3: ỨNG DỤNG:
Biện luận số nghiệm của phương trình f(x) = g(x) (1)
• Cơ sở lý thuyết:
- Giả sử phương trình (1) có nghiệm x = x
0
khi đó giá trị tương ứng
của các vế là f(x
0
) = g(x
0
) = y
0
.

- Nên đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x) có điểm chung (x
0
; y
0
).
Do đó nếu các đồ thị y = f(x) và y = g(x) trên cùng một mặt phẳngtoạ độ thì
số điểm chung của chúng đúng bằng số nghiệm của phương trình (1).
• Cách giải bài toán:
- Biện luận số nghiệm của phương trình f(x) = g(x) (1) bằng phương pháp
đồ thị.
- Vẽ đồ thị hai hàm số y = f(x) (C) và y = g(x) (C’) trên cùng mặt
phẳng toạ độ.
- Biện luận số nghiệm chung của â và (C’) => số nghiệm của phương
trình.
• Ví dụ:
Ví dụ 1 : Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
1 2x x m− + − =
23
Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị
Giải
+ Vẽ đồ thị hàm số y =
1 2x x− + −
và y = m trên cùng một mặt phẳng toạ
độ.

+ Theo đồ thị ta có
m < 1 phương trình (1) vô nghiệm.
m = 1 phương trình (1) có vô số nghiệm :
1 2x
≤ ≤

m > 1 phương trình (1) cóa hai nghiệm phân biệt.
Ví dụ 2: Với giá trị nào của a, phương trình sau có nghiệm duy nhất
2 1 3x a x− + = +
(1)
Giải
Phương trình (1)
⇔

2 3 1x a x− = + −

Xét hai hàm sốy =
2
2
2
2
2
a
x a x
x a
a
x a x

 
− ≥
 ÷

  
− =

 


− + ≤
 ÷

 

và y =
2( 3)
3 1
4( 3)
x x
x
x x
+ ≥ −

+ − =

− − ≤ −


Đồ thị hàm số có dạng
24
3
2
1
0
1 2 3 x
y
y = m
y

x
2
-1
-4 -3 -2 -1 0 1 a
y=
y=
Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị
Từ đồ thị ta có:
- Nếu
4 2 8 4
2 2
a a
a a< − ∪ > − ⇔ < − ∪ > −
thì đồ thị cắt nhau tại hai điểm phận
biệt nên phương trình (1) có 2 nghiệm phận biệt.
- Nếu
4 2 8 4
2
a
a− < < − ⇔ − < < −
thì hai đồ thị không có điểm chung nên
phương trình (1) vô nghiệm.
- Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất
⇔
hai đồ thị có một điểm
chung duy nhất
4
8
2
4

2
2
a
a
a b

= −

= −


⇔
 
= −


= −



Ví dụ 3:
Tìm tất cả giá trị thực của k để phương trình : (x-1)
2
= 2
x k−
có bốn
nghiệm phận biệt.
Giải
Ta có (x-1)
2

= 2
x k−

⇔
2
( 1)
2
x
x k
−
− =
⇔
x-k =
2
( 1)
2
x −
±
-x
2
+ 4 – 1 = 2k (1)
⇔
x
2
– 1 = 2k (2)
Ta sẽ sử dụng phương pháp tương giao đồ thị để giải phương trình
25
x
y
-2 -1 0 1 2

-1
y=2k
5
Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị
a. Ta xét hai hàm số y= -x
2
+ 4x – 1 và y = 2k
Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng một toạ độ
* y= -x
2
+ 4x – 1 là Parabol (P
1
) có giao với trục tung là (0; - 1) nhận
S(2;3) là đỉnh.
* y = 2k là đường thẳng (d) song song với Ox.
b. Xét hàm số y = x
2
+ 1 và y = 2k
Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng hệ trục toạ độ
* y = x
2
+ 1 là Parabol (P
2
) có đỉnh là S’(0;1)
* y = 2k là đường thẳng song song vơi Ox.
Khi đó phương trình (x-1)
2
= 2
x k−
có 4 nghiệm phận biệt

⇔
(d) cắt (P
1
)
và (P
2
) tại 4 điểm phận biệt
1 3
1 2 3
2 2
2 2
1
k
k
k
k

< <
< <


⇔ ⇔
 
≠


≠

4/ Bài tập:
Bài 1: Chứng minh rằng đồ thị các hàm số sau tiếp xúc với nhau. Tìm toạ độ

tiếp điểm.
a. (P): y = x
2
và (D): y = 4x –4
b. (C): y = x
2
– 2x – 3 và (C’) y = 2x
2
+ 2x + 1
Bài 2: Chứng minh (P) : y = mx
2
– 2mx + (m – 1) tiếp xúc với mọi đường
thẳng cố đinh với mọi m
≠
0.
Hướng dẫn: Các đường thẳng x = a luôn cắt (P) tại một điểm với mọi
a. Nên đường thẳng (D) tiếp xúc với (P) nếu có sẽ có dạng y=ax+b
Vậy đường thẳng (D) tiếp xúc với (P) với mọi m
≠
0
⇔
0∆ =

0m∀ ≠
⇔
(2m+a)
2
–4m(m-1-b) = 0
0m
∀ ≠

⇔
4m(a+1+b) + a
2
= 0
0m∀ ≠
2
1 0
0
1
0
a b
a
b
a
+ + =
=


⇔ ⇔
 
= −
=


Vậy đường thẳng y = -1 luôn tiếp xúc với (P): y = mx
2
– 2mx+ (m-1)
0m
∀ ≠
.

26