tài liệu môn toán chuyên đề về tích phân

CHUYÊN Đ
Ề LUYỆN THI
TÍCH PHÂN
Dùng cho h
ọc sinh lớp 12
-Ôn thi Đ
ại học và Cao
đ
ẳng
HUEÁ, 01/2013
Don't try to fix the students, fix ourselves first. The good teacher makes the poor
student good and the good student superior. When our students fail, we, as teachers,
too, have failed.
LUY
ỆN THI ĐẠI HỌC
CH
ẤT LƯỢNG CAO
CHUYÊN Đ
Ề: TÍCH PH
ÂN
Gv: Ths.Tr
ần Đình Cư.
SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HU
Ế
1
M
ỤC LỤC
Trang
A. NGUYÊN HÀM 3
B. TÍCH PHÂN 4
C. PHÂN LO

ẠI VÀ
PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN: 6
V
ẤN ĐỀ 1: PHÉP THAY BIẾN
( )
n
t f x
6
V
ẤN ĐÊ 2: TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG
GIÁC HÓA 11
D
ẠNG 1:
2 2
a x
11
D
ẠNG 2:
2 2
x a
14
D
ẠNG 3:
2 2
x a
14
D
ẠNG 4:
hoaëc
a x a x

a x a x
 
 
18
V
ẤN ĐỀ 3: TÍCH PHÂN LƯỢNG GI
ÁC 19
D
ạng 1: Biến đổi lượng giác về tích phân cơ bản
19
D
ạng 2: Tích phân dạng
sin cos
dx
a x b x c 

23
D
ạng 3: Tích phân dạng
2 2
sin sin cos cos
dx
a x b x x c x 

24
D
ạng 4: Tích phân dạng
1 2
(sin )cos ; (cos )sinI f x xdx I f x xdx 
 

25
1.Tích phân có d
ạng
sin .cos
m n
x xdx

26
2.Tích phân dạng
1 1
sin os
; ; ,
os sin
m m
n n
x c x
I dx I dx m n
c x x

  
 

27
D
ạ
ng 5: Tích phân ch
ứa
   
tan ;cos ; cot ;sinx x dx x x dx
 

28
D
ạng 6: Đổi biến bất kì
29
V
ẤN ĐỀ 4: TÍCH PHÂN CÓ CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
39
V
ẤN
ĐỀ 5: TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ
42
V
ẤN ĐỀ 6: TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM ĐẶC BIỆT
50
V
ẤN
ĐỀ 7: TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
58
V
ẤN ĐỀ 8: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
69
V
ẤN ĐỀ 9: TÍNH THỂ TÍCH
V
ẬT THỂ TRÒN XOAY
77
M
ỘT SỐ BÀI TẬP CẦN LÀM TRƯỚC KHI THI
83
D. PH

Ụ LỤC
95
LUY
ỆN THI ĐẠI HỌC
CH
ẤT LƯỢNG CAO
CHUYÊN Đ
Ề: TÍCH PH
ÂN
Gv: Ths.Tr
ần Đình Cư.
SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HU
Ế
2
PHƯƠNG PHÁP Đ
ẶT ẨN PHỤ KHÔNG LÀM THAYĐỔI CẬN TÍCH PHÂN
95
SAI L
ẦM THƯỜNG GẶP TRONG TÍNH TÍCH PHÂN
100
Đ
Ề THI ĐẠI HỌ
C T
Ừ 2009
-2012 107
TÀI LI
ỆU THAM KHẢO
109
LUY
ỆN THI ĐẠI HỌC

CH
ẤT LƯỢNG CAO
CHUYÊN Đ
Ề: TÍCH PH
ÂN
Gv: Ths.Tr
ần Đình Cư.
SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HU
Ế
3
A. NGUYÊN HÀM
1. Khái ni
ệm nguyên hàm
 Cho hàm s
ố
f xác đ
ịnh trên K. Hàm số
F đgl nguyên hàm c
ủa
f trên K n
ếu:
'( ) ( )F x f x
, x  K
 N
ếu
F(x) là m
ột nguyên hàm của
f(x) trên K thì h
ọ nguyên hàm
c

ủa
f(x) trên K là:
( ) ( )f x dx F x C 

, C  R.
 M
ọi hàm số
f(x) liên t
ục trên K đều có nguyên hàm trên K.
2. Tính ch
ất

'( ) ( )f x dx f x C 


 
( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx  
  

( ) ( ) ( 0)kf x dx k f x dx k 
 
3. Nguyên hàm c
ủa một số hàm số thường gặp
4. Phương pháp tính nguyên hàm
a) Phương pháp đ
ổi biến số

0dx C



dx x C 


1
, ( 1)
1
x
x dx C





   



1
lndx x C
x
 


x x
e dx e C 


(0 1)
ln
x

x
a
a dx C a
a
   


cos sinxdx x C 


sin cosxdx x C  


2
1
tan
cos
dx x C
x
 


2
1
cot
sin
dx x C
x
  



1
cos( ) sin( ) ( 0)ax b dx ax b C a
a
    


1
sin( ) cos( ) ( 0)ax b dx ax b C a
a
     


1
, ( 0)
ax b ax b
e dx e C a
a
 
  


1 1
lndx ax b C
ax b a
  


LUY
ỆN THI ĐẠI HỌC

CH
ẤT LƯỢNG CAO
CHUYÊN Đ
Ề: TÍCH PH
ÂN
Gv: Ths.Tr
ần Đình Cư.
SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HU
Ế
4
N
ếu
( ) ( )f u du F u C 

và
( )u u x
có đ
ạo hàm liên tục thì:
   
( ) . '( ) ( )f u x u x dx F u x C 

b) Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
N
ếu
u, v là hai hàm s
ố có đạo hàm liên tục trên K thì:
udv uv vdu 
 
B. TÍCH PHÂN
1. Khái ni

ệm tích phân
 Cho hàm s
ố
f liên t
ục trên K và
a, b  K. N
ếu
F là m
ột nguyên hàm của
f trên K thì:
F(b) – F(a) đgl tích phân c
ủa
f t
ừ
a đ
ến
b và kí hi
ệu là
( )
b
a
f x dx

.
( ) ( ) ( )
b
a
f x dx F b F a 

 Đ

ối với biến số lấy tích ph
ân, ta có th
ể chọn bất kì một chữ khác thay cho
x, t
ức là:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x dx f t dt f u du F b F a    
  
 Ý ngh
ĩa hình học
: N
ếu hàm số
y = f(x) liên t
ục và không âm trên đoạn [a; b] thì diện tích
S c
ủa
hình thang cong gi
ới hạn bởi đồ thị của
y = f(x), tr
ục Ox và hai đườn
g th
ẳng
x = a, x = b là:
( )
b
a
S f x dx


2. Tính ch
ất của tích phân

0
0
( ) 0f x dx 


( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx 
 

( ) ( )
b b
a a
kf x dx k f x dx
 
(k: const)

 
( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx  
  

( ) ( ) ( )
b c b

a a c
f x dx f x dx f x dx 
  
LUY
ỆN THI ĐẠI HỌC
CH
ẤT LƯỢNG CAO
CHUYÊN Đ
Ề: TÍCH PH
ÂN
Gv: Ths.Tr
ần Đình Cư.
SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HU
Ế
5
 N
ếu
f(x)

0 trên [a; b] thì
( ) 0
b
a
f x dx 

 N
ếu
f(x)

g(x) trên [a; b] thì

( ) ( )
b b
a a
f x dx g x dx
 
3. Phương pháp tính tích phân
a) Phương pháp đ
ổi biến số
 
( )
( )
( ) . '( ) ( )
u b
b
a u a
f u x u x dx f u du
 
trong đó: u = u(x) có đ
ạo hàm liên tục trên
K, y = f(u) liên t
ục và hàm hợp
f[u(x)] xác đ
ịnh trên
K, a, b  K.
b) Phương pháp tích phân t
ừng phần
N
ếu
u, v là hai hàm s
ố có

đ
ạo hàm liên tục trên
K, a, b

K thì:
b b
b
a
a a
udv uv vdu 
 
Chú ý:
 C
ần xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm.
 Trong phương pháp tích phân t
ừng phần, ta cần chọn sao cho
b
a
vdu

d
ễ tính hơn
b
a
udv

.
Trong ph
ần sau sẽ trình bày kỉ thuật lựa chọn
u

và
dv
.
LUY
ỆN THI ĐẠI HỌC
CH
ẤT LƯỢNG CAO
CHUYÊN Đ
Ề: TÍCH PH
ÂN
Gv: Ths.Tr
ần Đình Cư.
SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HU
Ế
6
C. PHÂN LO
ẠI VÀ PH
ƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂ
N:
V
ẤN ĐỀ 1: PHÉP THAY BIẾN
( )
n
t f x
Phương pháp: Khi hàm dư
ới dấu tích phân có chứa biểu thức có dạ
ng
( )
n
f x

. Lúc đó trong
nhi
ều tr
ường hợp ( chứ không phải mọi trường hợp), ta có thể đổi biến bằng cách
- Bư
ớc 1: Đặt
1
( ) ( ) '( )
n n
n
t f x t f x nt dt f x dx

    
- Bư
ớc 2: Ghi nhớ “Đổi biến thì phải đổi cân”
BÀI T
ẬP MẪU: Tính các tích phân sau
Bài 1: Tính
1
3 2
0
1I x x dx 

Giải:
Đ
ặt t =
2
1 x

t

2
= 1 – x
2

xdx = -tdt
Đ
ổi cận:
x
0
1
t
1
0
Khi đó:
1
3 2
0
1I x x dx 

=
 
1
2
0
1 . .t t tdt

=
 
1
2 4

0
t t dt

=
3 5
1
3 5
0
t t
 

 
 
=
2
.
15
Bài 2: Tính
1
3
3 4
0
1I x x dx 

Gi
ải:
Đ
ặt t =
3
4 3 4 3 2

3
1 1
4
x t x x dx t dt      
Đ
ổi cận:
x
0
1
t
1
0
LUY
ỆN THI ĐẠI HỌC
CH
ẤT LƯỢNG CAO
CHUYÊN Đ
Ề: TÍCH PH
ÂN
Gv: Ths.Tr
ần Đình Cư.
SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HU
Ế
7
Khi đó:
1 1
3
3 4 3 4
0 0
1

3 3 3
1 .
4 16 16
0
I x x dx t dt t    
 
Bài 3: Tính
1
1 ln
e
x
I dx
x



Gi
ải:
Đ
ặt
2
1 ln 1 ln 2
dx
t x t x tdt
x
      
Đ
ổi cận:
x
1

e
t
1
2
Khi đó:
 
2 2
3
2
1 1 1
2 2 2 1
1 ln
2
.2 2 2 .
3 3
1
e
x t
I dx t tdt t dt
x


    
  
Bài 4: Tính
2
3
1
1
dx

I
x x



Gi
ải:
Ta có:
2 2
2
3 3 3
1 1
1 1
dx x dx
x x x x

 
 
Đ
ặt
3 2 3 2 2
2
1 1 2 3
3
tdt
t x t x tdt x dx x dx        
Đ
ổi cận:
x
1

2
t
2
3
Khi đó:
LUY
ỆN THI ĐẠI HỌC
CH
ẤT LƯỢNG CAO
CHUYÊN Đ
Ề: TÍCH PH
ÂN
Gv: Ths.Tr
ần Đình Cư.
SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HU
Ế
8
 
 
 
2 2 3 3
2
2
3 3 3
1 1
2 2
2
2 1 1 1
3 3 1 1
1

1 1
3 3
1 1 1 1 1 2 1
ln 1 ln 1 ln ln ln
3 3 1 3 2
2 2
2 1
1 2 1 1 1
ln ln
3 3
2 2 1
2 1
dx x dx dt
I dt
t t
t
x x x x
t
t t
t
 
     
 
 

 
 
 
 
 

      
 
 
 


 
 

 


   
Bài 5: Tính
4
2
7
9
dx
I
x x



Gi
ải:
 Đ
ặt
 
2 2 2

2 2
9 9 0 ;
9
dx tdt tdt
t x t x t tdt xdx
x
x t
         

Đổi cận:
x
7
4
t
4
5
Khi đó:
5
2
4
5
1 3 1 7
ln ln
6 3 6 4
9
4
dt t
t
t


 



BÀI T
ẬP ÁP DỤNG: Tính các tích phân sau
 
 
7
3
3
2
0
ln3
3
0
ln5
ln2
141
1) :
20
1
2) : 1 2
1
20
3) :
3
10 1
x
x

x
x x
x
dx ÑS
x
e
dx ÑS
e
e
dx ÑS
e e

 

 



LUY
ỆN THI ĐẠI HỌC
CH
ẤT LƯỢNG CAO
CHUYÊN Đ
Ề: TÍCH PH
ÂN
Gv: Ths.Tr
ần Đình Cư.
SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HU
Ế
9

4
7
3
4
4
0
8
3
2
1
3 3 3
4) : ln
8 4 2
1 1
1 1 1
5) : ln ln
2 3
1
11
6) ( 2004) : 4ln2
3
1 1
x
dx ÑS
x
dx ÑS
x x
x
dx A ÑS
x




 


 
 



 
3
2
3
3
1
3
2
ln . 2 ln 3
7) ( 2004). : 3 3 2 2
8
: 2 ln
e
x x
dx Khoái B ÑS
x
HD Ñaët t x

 

 

2
3
1 2
2
0
8) . . :
1
x
x
e dx ÑS e e
x




2 3
2
2
5
(KhoáiA-2003)
1 5
9) . . 4 : ln
4 3
4
dx
Ñaët t x ÑS
x x
 



3
2
1
ln 76
10) .(Döï bò khoái D-2005) ln 1. :
15
ln 1
e
x
dx Ñaët t x ÑS
x x
 


2
1 2
1
ln 2 2 2
11) ln . : :
3 3
1 ln
e
x
x dx HD I I I ÑS e
x x
 
    
 


 

2
1
1 62
12) . 1. : 30ln2
10 3
x x
dx t x DS
x

  


.
1 1
2 3
0 0
13) sin
1
x
x x dx dx
x


 
Hư
ớng dẫn
:

1 1
2 3
0 0
sin
1
x
I x x dx dx
x
 

 
Ta tính I
1
=
1
2 3
0
sinx x dx

đ
ặt t = x
3
ta tính đư
ợc I
1
= -1/3(cos1 - sin1)
Ta tính I
2
=
1

0
1
x
dx
x

đ
ặt t =
x
ta tính đư
ợc I
2
=
1
2
0
1
2 (1 ) 2(1 ) 2
4 2
1
dt
t
 
    


LUY
ỆN THI ĐẠI HỌC
CH
ẤT LƯỢNG CAO

CHUYÊN Đ
Ề: TÍCH PH
ÂN
Gv: Ths.Tr
ần Đình Cư.
SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HU
Ế
10
ĐS :-1/3(cos1 - 1)+
2
2


5
2
ln( 1 1)
14)
1 1
x
dx
x x
 
  

Hư
ớng dẫn
:Đ
ặt
1 1t x  
. Đáp s

ố:
2 2
ln 3 ln 2
6
2
15)
2 1 4 1
dx
x x  

Hư
ớng
d
ẫn
:Đặt
2
4 1 4 1 2 4t x t x tdt dx      
.
   
6 5 5 5 5
2 2 2
2 3 3 3 3
1
2 1
1
2 1 4 1
1 1
1
2
dx tdt tdt dt dt

I
t
t
x x
t t
t
    


  
 
 
    
3 1
ln
2 12
 
BÀI T
ẬP BỔ SUNG
LUY
ỆN THI ĐẠI HỌC
CH
ẤT LƯỢNG CAO
CHUYÊN Đ
Ề: TÍCH PH
ÂN
Gv: Ths.Tr
ần Đình Cư.
SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HU
Ế

11
VẤN ĐÊ 2: TÍCH PHÂN B
ẰNG PH
ƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA
D
ẤU HIỆU
CÁCH Đ
ẶT
2 2
a x
sin vôùi / 2 / 2
cos vôùi 0
x a t t
x a t t
 


   

  


2 2
x a
vôùi t ; \{0}
sin 2 2
vôùi t 0; \
cos 2
a
x

t
a
x
t
 



 
  

 

 

 

 
 
 
 

 

2 2
x a
tan vôùi / 2 / 2
cos vôùi 0<
x a t t
x a t t

 


   

 


hoaëc
a x a x
a x a x
 
 
cos2Ñaët x a t
   
x a b x 
 
2
sin , 0;
2
x a b a t t

 
   
 
 
D
ẠNG 1:
2 2
a x

BÀI T
ẬP MẪU: Tính các tích phân sau
Bài 1: Tính
2 2 2
0
a
I x a x dx 

Giải:
Đặt x = asint,
;
2 2
t
 
 
 
 
 
.

dx = acostdt
Đổi cận:
x
0
a
LUY
ỆN THI ĐẠI HỌC
CH
ẤT LƯỢNG CAO
CHUYÊN Đ

Ề: TÍCH PH
ÂN
Gv: Ths.Tr
ần Đình Cư.
SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HU
Ế
12
t
0
2

Khi đó:
2 2 2
0
a
I x a x dx 

=
 
2
2 2 2 2
0
sin 1 sin .a t a t acostdt



=
2
4 2 2
0

sina tcos tdt


=
4
2
2
0
sin 2
4
a
tdt


=
 
4
2
0
1 4
8
a
cos t dt



=
4
1
sin4

2
8 4
0
a
t t

 

 
 
=
4
16
a

Bài 2: Tính
1
2
2
2
2
1 x
I dx
x



Gi
ải:
Đ

ặt x = cost,
;
2 2
t
 
 
 
 
 
.

dx = - sint dt
Đ
ổi cận:
x
2
2
4

t
1
0
Khi đó:
1
2
2
2
2
1 x
I dx

x



=
0
2
2
4
1 os .c t sint
dt
cos t




=
4
2
0
sin .sint t
dt
cos t


=
2
4
2
0

sin t
dt
cos t


=
4
2
0
1
1 dt
cos t

 

 
 

=
 
tan
4
0
t t


=
1
4



. (vì
0;
4
t

 

 
 
nên sint
0 sin sint t  
)
Bài 3: Tính
1
2 2
0
1I x x dx 

Gi
ải:
LUY
ỆN THI ĐẠI HỌC
CH
ẤT LƯỢNG CAO
CHUYÊN Đ
Ề: TÍCH PH
ÂN
Gv: Ths.Tr
ần Đình Cư.

SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HU
Ế
13
Đ
ặt x = sint,
;
2 2
t
 
 
 
 
 
.

dx = costdt
Đ
ổi cận:
x
0
1
t
0
2

Khi đó:
1
2 2
0
1I x x dx 


=
2
2 2
0
sin 1 sin .t t costdt



=
2
2 2
0
1
sin
4
tcos tdt


=
2
2
0
1
sin 2
4
tdt


=

=
 
2
0
1
1 4
8
cos t dt



=
1 1
sin4
2
8 4
0
t t

 

 
 
=
16

Tính các tích phân sau:
 
3
2

1
3
2
3
2
3 2
2
2
2
2
2
0
8
2
0
1) 4 ; : 2sin :
3
1 3 3
2) ; : 3cos :
27
9
1
3) ; : sin :
8 4
1
4) 16 ; : 4sin
x dx HD Ñaët x t ÑS
dx HD Ñaët x t ÑS
x
x

dx HD Ñaët x t ÑS
x
x dx HD Ñaët x t



 



 

 




1
2
2
0
5) 1 : sinx dx HD Ñaët x t 

 
5
2
2
1
1
6) ; : 1 3sin

9 1
dx HD Ñaët x t
x
 
 

LUY
ỆN THI ĐẠI HỌC
CH
ẤT LƯỢNG CAO
CHUYÊN Đ
Ề: TÍCH PH
ÂN
Gv: Ths.Tr
ần Đình Cư.
SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HU
Ế
14
 
1
2
1
2
1 1
2
2
1 1
2 2
7) . :
16

1
: 1 2 1 . : 2 1 sin
2
x x dx ÑS
HD x x dx x dx Ñaët x t


     

 
D
ẠNG
2:
2 2
x a
Tính các tích phân sau:
3
6
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
0
5

2
2
1
1 3
1) ; : :
sin 36
9
1 1
2) ; : :
sin 6
1
1
3) ; :
cos
1
1 1
4) ; :
cos
1
dx HD Ñaët x ÑS
t
x x
dx HD Ñaët x ÑS
t
x x
x
dx HD Ñaët x
t
x
dx HD Ñaët x

t
x x














D
ẠNG 3:
2 2
x a
BÀI TẬP MẪU:
Bài 1: Tính
0
2
1
1
2 4
I dx
x x



 

Gi
ải:
Ta có:
 
 
0 0
2 2
2
1 1
1 1
2 4
1 3
dx dx
x x
x
 

 
 
 
Đ
ặt
1 3 tanx t 
v
ới
 
2

; . 3 1 tan
2 2
t dx t dt
 
 
    
 
 
Đổi cận:
x
-1
0
LUY
ỆN THI ĐẠI HỌC
CH
ẤT LƯỢNG CAO
CHUYÊN Đ
Ề: TÍCH PH
ÂN
Gv: Ths.Tr
ần Đình Cư.
SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HU
Ế
15
t
0
6

Khi đó:
0

6
2
1 0
1 3 3 3
.
6
3 3 18
2 4
0
I dx dt t
x x




   
 
 
Bài 2: Tính
1
3
8
0
1
x
I dx
x




Gi
ải:
Ta có:
 
1 1
3 3
8 2
4
0 0
1
1
x x
dx dx
x
x



 
Đ
ặt
4
tanx t
v
ới
 
3 2
1
; . 1 tan
2 2 4

t x dx t dt
 
 
    
 
 
Đ
ổi cận:
x
0
0
t
0
4

Khi đó:
 
1 1
3 3 2
4 4
8 2 2
4
0 0 0 0
1 1 tan 1 1
.
4
4 4 4 16
1 1 tan
1
0

x x t
I dx dx dt dt t
x t
x
 



     
 

   
Bài 3: Tính
2
2
0
1 sin
cosx
I dx
x




Gi
ải:
Đ
ặt
sin tanx t
v

ới
 
2
; 1 tan
2 2
t cosxdx t dt
 
 
    
 
 
Đ
ổi cận:
LUY
ỆN THI ĐẠI HỌC
CH
ẤT LƯỢNG CAO
CHUYÊN Đ
Ề: TÍCH PH
ÂN
Gv: Ths.Tr
ần Đình Cư.
SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HU
Ế
16
x
0
2

t

0
4

Khi đó:
2
2 4 4
2 2
0 0 0
1 tan
4
1 sin 1 tan
cosx t
I dx dt dt
x t
  


   
 
  
BÀI T
ẬP ÁP DỤNG:
 
4
2
0
3
2
0
1

2
0
3
3
2
3
3
3
2
2
2
3
2
1
1) ; : 2tan :
8
4
1
2) ; : 3tan
9
3) 1 ; : tan
1 3 1
4) ; : tan :
2
1
9 2 3 1
5) ; : 2 3tan :
2
dx HD Ñaët x t ÑS
x

dx HD Ñaët x t
x
x x dx HD Ñaët x t
dx HD Ñaët x t ÑS
x
x
dx HD Ñaët x t ÑS
x






 



 






 
 
1
3
2

3
2
0
3
2 2
1
1
2
2
0
6) ; : tan 1
1
1
7) ; : 3tan
3
1 2
8) :
8
1
x
dx HD Ñaët x t hoaëc u x
x
dx HD Ñaët x t
x x
dx ÑS
x

  









   
3
2
2
1
1 3 2 2 3
9) . tan . :ln 2 3 2 1
3
x
dx Ñaët x t ÑS
x
 
   

LUY
ỆN THI ĐẠI HỌC
CH
ẤT LƯỢNG CAO
CHUN Đ
Ề: TÍCH PH
ÂN
Gv: Ths.Tr
ần Đình Cư.
SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HU

Ế
17
1
4 2
0
1
2
0
3
10) . :
8
1
1
:Biến đổi tích phân đã cho về dạng:
2
1
x
dx ĐS
x x
du
HD
u u

 
 


LUY
ỆN THI ĐẠI HỌC
CH

ẤT LƯỢNG CAO
CHUYÊN Đ
Ề: TÍCH PH
ÂN
Gv: Ths.Tr
ần Đình Cư.
SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HU
Ế
18
D
ẠNG 4:
hoaëc
a x a x
a x a x
 
 
Tính tích phân sau:
5
0
2
1 0
1 5
1) : cos2 2) : 5cos2
1 5
x x
HD x t HD x t
x x

 
 

 
 
D
ẠNG 5:
   
x a b x 
Tính tích phân sau:
   
3
2
2
5
4
1 3
1 2 . 1 sin . :
8 12 8
x x Ñaët x t ÑS

 
    
 
 
 

BÀI T
ẬP BỔ SUNG
LUY
ỆN THI ĐẠI HỌC
CH
ẤT LƯỢNG CAO

CHUYÊN Đ
Ề: TÍCH PH
ÂN
Gv: Ths.Tr
ần Đình Cư.
SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HU
Ế
19
VẤN Đ
Ề
3: TÍCH PHÂN LƯ
ỢNG GIÁC
D
ạng 1: Biến đổi lượng giác về tích phân cơ bản
Ví d
ụ 1:
Tính
4
4
0
1
I dx
cos x



Gi
ải:
Đ
ặt t = tanx ;

2
1
dt dx
cos x
 
Đ
ổi cận:
x
0
4

t
0
1
Khi đó:
   
1
3
4 4
2 2
4 2
0 0 0
1
1 1 4
1 tan 1 .
3 3
0
t
I dx x dx t dt t
cos x cos x

 
 
       
 
 
  
Ví d
ụ 2:
Tính
12
0
tan4I xdx



Gi
ải:
Ta có:
12 12
0 0
sin4
tan4
4
x
xdx dx
cos x
 

 
Đặt t = cos4x ;

4s 4 sin4
4
dt
dt in xdx xdx     
Đ
ổi cận:
x
0
12

t
1
1
2
LUY
ỆN THI ĐẠI HỌC
CH
ẤT LƯỢNG CAO
CHUYÊN Đ
Ề: TÍCH PH
ÂN
Gv: Ths.Tr
ần Đình Cư.
SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HU
Ế
20
Khi đó:
1
1
12 12 2

1
0 0 1
2
1
sin4 1 1 1 1
tan4 ln ln2.
1
4 4 4 4 4
2
x dt dt
I xdx dx t
cos x t t
 
      
   
Ví dụ 3: Tính
2
5
0
I cos xdx



Giải:
Ta có:
 
2 2 2
2
5 4 2
0 0 0

1 sincos xdx cos xcoxdx x coxdx
  
  
  
Đ
ặt t = sinx ;
dt cosxdx 
Đ
ổi cận:
x
0
2

t
0
1
Khi đó:
     
3 5
2 2 2 2
2 2
5 2 2 2 4
0 0 0 0
1
2 8
1 sin 1 1 2 .
3 5 15
0
t t
I cos xdx x coxdx t dt t t dt t

   
 
           
 
 
   
Ví d
ụ 4:
Tính
4
3
0
tanI xdx



Gi
ải:
Đ
ặt t = tanx ;
   
2 2
2
1 tan 1
1
dt
dt x dx t dt dx
t
      


Đ
ổi cận:
x
0
4

t
0
1
LUY
ỆN THI ĐẠI HỌC
CH
ẤT LƯỢNG CAO
CHUYÊN Đ
Ề: TÍCH PH
ÂN
Gv: Ths.Tr
ần Đình Cư.
SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HU
Ế
21
Khi đó:
 
 
 
2
1 1 1 1 1
3 2
4
3

2 2 2 2
0 0 0 0 0 0
2
1
1
1 2 1
tan
2 2 2
1 1 1 1
0
1
1 1 1 1 1
ln 1 ln2 1 ln2 .
2 2 2 2 2
0
d t
t t t t
I xdx dt t dt tdt dt
t t t t
t


 
        
 
   
 
      
     
Ví dụ 5: Tính

2
3
6
I cos xdx




Gi
ải:
   
 
2 2 2 2
3 2 2 2
6 6 6 6
3
. 1 sin 1 sin sin
sin 1 1 1 5
2
sin 1
3 3 2 24 24
6
I cos xdx cos x cosxdx x cosxdx x d x
x
x
   
   


     

 
      
 
 
   
Ví dụ 7: Tính
4
4 4
0
sin4
sin
x
I dx
x cos x




Gi
ải:
4 4 4 4
4 4 4 4 2 2
2
0 0 0 0
4
2 2
2
0
sin4 2sin2 2 2sin2 2 2sin2 2
1

sin sin 1 2sin
1 sin 2
2
1 1 1 1
1 sin 2 ln 1 sin 2 ln ln2
4
1
2 2 2
1 sin 2
0
2
x xcos x xcos x xcos x
I dx dx dx dx
x cos x x cos x xcos x
x
d x x
x
   


    
  

 

       
 
 

   


Ví d
ụ 8:
Tính
3
2
4
1 sin
cos x
I dx
x





Gi
ải:
LUY
ỆN THI ĐẠI HỌC
CH
ẤT LƯỢNG CAO
CHUYÊN Đ
Ề: TÍCH PH
ÂN
Gv: Ths.Tr
ần Đình Cư.
SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HU
Ế
22

 
 
 
2
3 2
2 2 2 2
4 4 4 4
2 2 2
4 4 4
1 sin
1 sin
1 sin 1 sin 1 sin
1 1 3 2 2
2
sin s 2 sin sin2
2 4 4
4
x
cos x cos x
I dx cosxdx cosxdx x cosxdx
x x x
cosx cosx x dx cosxdx in xdx x x
   
   
  
  



     

  
 

      
 
 
   
  
Ví d
ụ 9:
Tính
2
3
0
sinI xdx



Gi
ải:
 
 
3
2 2 2
3 2 2
0 0 0
1 2
sin sin sin 1 1
2
3 3 3

0
cos x
I xdx x xdx cos x d cosx cosx
  

 
          
 
 
  
Ví d
ụ 10:
Tính
2
0
1
dx
I
cosx




Gi
ải:
2 2 2
2 2
0 0 0
2
tan 1

2
1 2
2
0
2 2
x
d
dx dx x
I
x x
cosx
cos cos
  

 
 
 
    

  
Ví d
ụ 11:
Tính
2
4
1 sin2
dx
I
x






Gi
ải:
 
2 2 2 2
2 2
2
4 4 4 4
1
1 sin2 2
sin
2
4
4
1 1
2
tan
2 4 2
4
dx dx dx dx
I
x
x cosx
cos x
cos x
x
   

   





   

 
 

 

 

 
 
 
 
 
 
  
 
 
   
LUY
ỆN THI ĐẠI HỌC
CH
ẤT LƯỢNG CAO
CHUYÊN Đ

Ề: TÍCH PH
ÂN
Gv: Ths.Tr
ần Đình Cư.
SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HU
Ế
23
Ví d
ụ 12:
Tính
2
3
sin
dx
I
x




Gi
ải:
Ta có:
2 2 2
2 2
3 3 3
sin sin
sin
sin 1 s
dx xdx xdx

x
x co x
  
  
 

  
 Đ
ặt
sint cosx dt xdx   
Đ
ổi cận:
x
3

2

t
1
2
0
Khi đó:
 
1 1
0
2 2
2 2
1
0 0
2

1 1
2 2
0 0
1 1 1
2 1 1
1 1
1
1 1 1 1 1 3
ln 1 ln 1 ln ln
2
2 1 2 1 2 2 2 2
0
dt dt
I dt
t t
t t
dt dt
t t
t t
 

   
 
 
 
 
 
          
 
 

 
  
 
1 1 1
ln ln3
2 3 2
  
D
ạng 2:
Tích phân d
ạng
sin cos
dx
a x b x c 

Cách gi
ải:
Đ
ặt
tan
2
x
t 
, đưa v
ề tích phân hữu tỉ
Ví d
ụ 1:
Tính tích phân
2
0

2cos sin 2
dx
x x

 

ĐS:
3
ln
2
LUY
ỆN THI ĐẠI HỌC
CH
ẤT LƯỢNG CAO
CHUYÊN Đ
Ề: TÍCH PH
ÂN
Gv: Ths.Tr
ần Đình Cư.
SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HU
Ế
24
Ví d
ụ 2
: Tính tích phân
2
0
3cos 2sin 2
dx
x x


 

ĐS:
1 5
ln
3 2
Ví d
ụ 3
: Tính tích phân
4
2
0
2cos 3sin2 2
dx
x x

 

ĐS:
1 4
ln
2 3
Ví d
ụ 4
: Tính tích phân
4
0
sin2 2
dx

x



ĐS:
3
18

Ví d
ụ 5
: Tính tích phân
4
0
1 2sin
2 cos
x
dx
x




ĐS:
2 3
2ln2
9


D
ạng 3

: Tích phân d
ạng
2 2
sin sin cos cos
dx
a x b x x c x 

Cách gi
ải:
Cách 1: Đ
ặt
2
osc x
ở mẫu làm thừa số chung sau đó đ
ặt
tant x
Cách 2: h
ạ bậc
đưa v
ề dạng 2
Ví d
ụ 1:
Tính
3
6
sin sin
6
dx
I
x x





 

 
 

Gi
ải:
 
3 3 3
2
6 6 6
2
3sin sin
3 1
sin sin
sin sin
6
2 2
dx dx dx
I
x xcosx
x x
x x cosx
  
  


   
   



   
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
   
 
3 3 3
2 2
6 6 6
3
6
2 tan tan
2
2 3
s 3tan tan tan 3tan 1 3 tan 3tan 1
1 1
2 3 tan
3 tan 3 tan 1

d x d x
dx
co x x x x x x x
d x
x x
  
  


   
  
 
  
 

 
  
