tài liệu môn toán tích phân và ứng dụng

15 chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng môn Toán Ths. Lê Văn Đoàn


“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 1 -
1/ Khái niệm nguyên hàm
 Hàm số
(
)
f x
xác định trên K. Hàm số
(
)
F x
được gọi là nguyên hàm của
(
)
f x
trên K nếu:
(
)
(
)
F' x f x x K
,
= ∀ ∈
.
 Nếu
(
)
F x
là một nguyên hàm của

(
)
f x
trên K thì họ nguyên hàm của
(
)
f x
trên K là
(
)
(
)
f x dx F x C const C. ,
= + = ∈
∫
»
.
 Nếu mọi hàm số
(
)
f x
liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
2/ Tính chất nguyên hàm
 Tính chất 1:
( ) ( ) ( )
f x .dx f x dx f x C
'
' .
 
= = +

 
 
∫ ∫
.
 Tính chất 2:
(
)
(
)
(
)
k f x dx k f x dx k const
. . . . : 0
= ≠
∫ ∫
.
 Tính chất 3:
(
)
(
)
(
)
(
)
f x g x .dx f x dx g x dx
. .
 
± = ±
 

 
∫ ∫ ∫
.
3/ Bảng nguyên hàm cơ bản

dx C
0.
=
∫
.

x
x
a
a dx C
lna
.
= +
∫
.

dx x C
= +
∫
. 
cosx.dx sinx C
= +
∫
.


α
α
x
x .dx C
α
1
1
+
= +
+
∫
.
5



sinx.dx cosx C
= − +
∫
.

1
dx x C
x
. ln
= +
∫
.

(

)
2
2
1
.dx tan x .dx tanx C
cos x
1
= + = +
∫ ∫
.


x x
e dx e C
.
= +
∫
. 
(
)
2
2
1
.dx cot x .dx cotx C
sin x
1
= − + = − +
∫ ∫
.
Mở rộng:

2
1 1
dx C
x
x
= − +
∫
.
2 2
x a
dx 1
C
2a
x a
x a
ln
 
−





= +




−
+



 
∫
.


Chuyên đề








NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG

5
55
5



A
–

NGUYÊN HÀM

I
–

KIẾN THỨC CƠ BẢN

Lưu ý rằng
:
Khi thay x bằng (ax + b) trong bảng nguyên hàm, thì khi lấy nguyên hàm, ta phải nhân
k
ết quả thêm
a
1
. Chẳng hạn như:
dx 1
ax b C
ax b a

ln
= + +
+
∫
,

Ths. Lê Văn Đoàn
Chuyên đề 5. Nguyên hàm – Tích phân và các ứng dụng



Page - 2 -
“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……”


Nếu:
Bậc tử
≥
Bậc mẫu
PP
→
Chia đa thức.

Nếu: Bậc tử
<
Bậc mẫu
PP
→
Đồng nhất thức.

4/ Các phương pháp tính nguyên hàm thường gặp
 Tích của đa thức hoặc lũy thừa
PP
→
Khai triễn.
 Tích các hàm mũ
PP
→
Khai triễn theo công thức mũ.
 Chứa căn
PP
→
Chuyển về lũy thừa.
 Tích lượng giác bậc một
PP
→
Biến đổi tổng thành tích.
 Bậc chẳn của sinx và cosx
PP
→
Dùng công thức hạ bậc.
 Hàm hữu tỉ (không chứa căn)






 Phương pháp đổi biến số.
Nếu

(
)
(
)
f u .du F u C C,
= + ∈
∫
»
và
(
)
u u x
=
có đạo hàm liên tục thì:
(
)
(
)
(
)
f x .u' x .dx F u x C
   
= +
   
   
∫
.

 Nguyên hàm từng phần.
 Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì
u.dv u.v v.du
= −
∫ ∫
.
Chọn


u du dx
dv dx v




= → =




= → =




 Nhận dạng : Tích 2 hàm khác loại nhân nhau (mũ nhân lượng giác, log nhân đã thức,…).
 Cách chọn : thứ tự ưu tiên chọn u là “log – đa – lượng – mũ” và dv là phần còn lại.
Nghĩa là : Nếu trong bài toán tìm nguyên hàm có chứa lnx thì ta chọn u = lnx,
còn dv là phần còn lại, nếu không có ln hoặc log thì ta chọn u là đa thức, dv
là phần còn lại,….



Lưu ý rằng
:

Tách t
ừ

hàm Nhân thêm


Có s
ẵ
n


Trong nguyên hàm từng phần: Bậc của đa thức và bậc của lnx tương ứng với số lần lấy
nguyên hàm từng phần. Cách chọn u và dv cũng tuân theo qui luật trên. Chẳng hạn như
khi đặt u = ln
2
x hoặc u = x
2
+ 1 thì ta phải lấy nguyên hàm từng phần hai lần trong cách
giải mới đi đến kết quả sau cùng.
 Khi tính nguyên hàm cần phải nắm vững bảng nguyên hàm cơ bản và phép tính vi phân.
 Nguyên hàm của một tổng (hiệu) của nhiều hàm số chính là tổng (hiệu) của các nguyên
hàm của những hàm số thành phần. Điều đó cũng đồng nghĩa với khẳng định: “Muốn
tìm nguyên hàm của một hàm số, ta phải biến đổi hàm số này thành một tổng hoặc
hiệu của những hàm số tìm được nguyên hàm (dựa vào bảng nguyên hàm)”.
 Nguyên hàm của một tích (thương) của nhiều hàm hàm số không bao giờ bằng
tích (thương) của các nguyên hàm của những hàm số thành phần.
 Khi tính nguyên hàm của hàm lượng giác, cần nắm vững công thức biến đổi
l
ượng giác.
Vi phân

Nguyên hàm
15 chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng môn Toán Ths. Lê Văn Đoàn


“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 3 -





Bài tập áp dụng
Bài 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau.
a/
( )
3
3
4f x x x
x
= − +
ĐS:
( )
C
4
2
2 3.ln
4
x
F x x x
= + + +
.
b/
(
)
3 4
f x x x x
= + +
ĐS:
( )
C

3 4
3 4 5
2 3 4
3 4 5
F x x x x
= + + +
.
c/
( )
4
2 2
x
f x
x
2
+
=
ĐS:
( )
C
3
2 2
3
F x x
x
= − +
.
d/
( )
3 5

1 3 5
2
f x
x x x
= + +
ĐS:
( )
C
3 5
2 4
9 25
2 4
F x x x x
= + + +
.
e/
( )
2
1
x
f x
x
−
=
ĐS:
( )
C
1
lnF x x
x

= + +
.
f/
( )
2
2 sin
2
x
f x =
ĐS:
(
)
C
sin
F x x x
= + +
.
g/
(
)
2
tan
f x x
=
ĐS:
(
)
C
tan
F x x x

= − +
.
h/
(
)
2
cos
f x x
=
ĐS:
( )
C
1 1
sin 2
2 4
F x x x
= + +
.
II – Dạng toán 1. Tính nguyên hàm dựa vào bảng nguyên hàm cơ bản

Phương pháp
: Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản.
Lưu ý :
 Để sử dụng được phương pháp này cần phải :
 Nắm vững bảng nguyên hàm.
 Nắm vững phép tính vi phân.
 Để chứng minh
(
)
F x

là một nguyên hàm của hàm số
(
)
f x
. Ta chứng minh:
(
)
(
)
F' x f x
=
.

 Để tìm điều kiện của tham số sao cho
(
)
F x
là 1 nguyên hàm của hàm số
(
)
f x
, ta thực hiện:
 Cho
(
)
(
)
F' x f x
=
.

 Sử dụng đồng nhất thức để suy ra tham số.

 Tìm nguyên hàm của hàm số thỏa điều kiện cho trước, nghĩa là :
 Tìm
(
)
(
)
F' x f x C
= +
.
 Kết hợp điều kiện để tìm hằng số C.
Ths. Lê Văn Đoàn
Chuyên đề 5. Nguyên hàm – Tích phân và các ứng dụng



Page - 4 -
“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……”

i/
( )
2 2
1
sin cos
f x
x x
=
ĐS:
(

)
C
2 cot2
F x x
= − +
.
j/
(
)
4 3
sin cos
f x x x
=
ĐS:
( )
C
5 6
sin sin
5 7
x x
F x
= − +
.
k/
(
)
2 sin 3 cos 2
f x x x
=
ĐS:

( )
C
1
cos 5 cos
5
F x x x
= − − +
.
l/
(
)
(
)
1
x x
f x e e
= −
ĐS:
( )
C
2
1
2
x x
F x e e
= − +
.
m/
( )
2

2
cos
x
x
e
f x e
x
−
 



= +






 
ĐS:
(
)
C
2 tan
x
F x e x
= + +
.
n/

(
)
3 1
x
f x e
+
=
ĐS:
( )
C
3 1
1
3
x
F x e
+
= +
.
Bài 2. Tìm nguyên hàm
(
)
F x
của hàm số
(
)
f x
thỏa mãn điều kiện cho trước.
a/
(
)

(
)

3
4 5 , 1 3
f x x x F
= − + =
ĐS:
( )
4
2
5
5
4 4
x
F x x x
= − + −
.
b/
(
)
(
)

3 5 cos , 2
f x x F π
= − =
ĐS:
(
)

3 5sin 2 3
F x x x
π
= − + −
.
c/
( ) ( )

2
3 5
, 1
x
f x F e
x
−
= =
ĐS:
( )
2 2
5 5
3 ln 2
2 2
x e
F x x
= − + −
.
d/
( ) ( )

2

1 3
, 1
2
x
f x F
x
+
= =
ĐS:
( )
2
ln 1
2
x
F x x
= + +
.
e/
( ) ( )

1
, 1 2
f x x x F
x
= + = −
ĐS:
( )
5
2 22
2

5 5
F x x x= + −
.
f/
( )

sin 2 .cos , ' 0
3
f x x x F
π
 



= =





 
ĐS:
( )
1 1 7
cos cos
6 2 12
F x x x= − − +
.
g/
( ) ( )

4 3
2
3 2 5
, 1 2
x x
f x F
x
− +
= =
ĐS:
( )
3 2
5
7
F x x x
x
= − − +
.
h/
( )
(
)
( )

3 2
2
3 3 7
, 0 8
1

x x x
f x F
x
+ + −
= =
+
ĐS:
( )
2
8
2 1
x
F x x
x
= + +
+
.
i/
( )

2
sin ,
2 2 4
x
f x F
π π
 




= =





 
ĐS:
( )
sin 1
2 2 2
x x
F x
= + −
.

15 chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng môn Toán Ths. Lê Văn Đoàn


“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 5 -
Bài 3. Ch
ứng minh
(
)
F x
là một nguyên hàm của hàm số
(
)
f x
.

a/
(
)
(
)
3 2
2
5 4 7 120
15 8 7
F x x x x
f x x x


= + − +




= + −



b/
(
)
(
)
( )
2
2

ln 3
1
3
F x x x
f x
x



= + +





=



+



c/
(
)
(
)
(
)

(
)
4 5
4 1
x
x
F x x e
f x x e


= −




= −



d/
(
)
(
)
4
5 3
tan 3 5
4 tan 4 tan 3
F x x x
f x x x



= + −




= + +




e/
( )
( )
(
)
(
)
2
2
2 2
4
ln
3
2
4 3
x
F x
x

x
f x
x x

 

+




 =








+
 


−


=



+ +



f/
( )
( )
( )
2
2
2
4
2 1
ln
2 1
2 2 1
1
x x
F x
x x
x
f x
x


− +


=



+ +



−


=


+



Bài 4. Tìm điều kiện tham số
m, a, b, c
để
(
)
F x
là một nguyên hàm của hàm số
(
)
f x
.
a/
(
)
(

)
(
)
3 2
2
3 2 4 3
3 10 4
F x mx m x x
f x x x


= + + − +




= + −



ĐS:
1
m
=
.
b/
(
)
( )
2

2
ln 5
2 3
3 5
F x x mx
x
f x
x x


= − +




+

=


+ +


ĐS:
3
m
= −
.
c/
(

)
(
)
(
)
(
)
2
3
x
x
F x ax bx c e
f x x e


= + +




= −



ĐS:

0, 1, 4
a b c
= = = −
.

d/
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2
2 2
2 8 7
x
x
F x ax bx c e
f x x x e
−
−


= + +




= − − +



ĐS:

1, 3, 2
a b c
= = − =
.
e/
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
3 2
x
x
F x ax bx c e
f x x x e
−
−


= + +





= − +



ĐS:

1, 1, 1
a b c
= − = = −
.
f/
( ) ( )
(
)
1 sin sin 2 sin 3
2 3
cos
b c
F x a x x x
f x x



= + + +





=




ĐS:
0
a b c
= = =
.
g/
(
)
(
)
( )
2
2
2 3
20 30 7
2 3
F x ax bx c x
x x
f x
x


= + + −





− +

=


−


ĐS:

4, 2, 1
a b c
= = − =
.


Ths. Lê Văn Đoàn
Chuyên đề 5. Nguyên hàm – Tích phân và các ứng dụng



Page - 6 -
“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……”







III – Dạng toán 2. Tính nguyên hàm
(
)
f x .dx
∫
bằng phương pháp đổi biến số
Phương pháp
Nếu
(
)
f x
có dạng
(
)
(
)
(
)
f x g u x .u' x
 
=
 
 

thì ra đặt
(
)
(
)
t u x dt u' x .dx
= ⇒ =
.
Khi đó:
(
)
f x .dx g(t).dt
=
∫ ∫
. Trong đó
g(t).dt
∫
dễ tìm được.
Lưu ý rằng: Sau khi tính
g(t).dt
∫
ta phải trả lại
(
)
t u x
=
.
Lưu ý. Thường gặp các trường hợp sau:

Dạng nguyên hàm

Cách đổi biến


(
)
(
)
n
f f x f x dx
. ' .
 
 
 
∫



(
)
(
)
(
)
n n
n
t f x t f x n.t .dt f x .dx
1
'

−
= ⇒ = ⇒ =



(
)
n
f x dx
. .
 
 
 
 
∫



(
)
t dt dx

= ⇒ =



( )
1
f lnx dx
x

. .
∫


1
t x dt dx
x
ln= ⇒ =



(
)
f a x x .dx
2 2
. .−
∫



x a.sint dx a.cost.dt
x a.cost dx a.cost.dt
 
= =
 
⇒
 
= = −
 
 


(
)
f a x x .dx
2 2
.+
∫



( )
( )
2
2
2
2
a
dx .dt a tan t dt
x a.tant
cos t
x a.cott a
dx .dt a cot t .dt
sin t
1 .
1



= = +

=


⇒


=



= − = − +








(
)
2 2
f x a .x .dx
−
∫


( )

( )
2 2
2
2 2
2
a
a
x a. cot x
x
t sin t
a a
x x a. tan x
t
cos t
1
sin
1
cos




= = +
=


⇒





= = = +









x
a
dx
e b
.
f
 








+
 
∫

t
1
x e t lnx dt .dx
x
= ⇒ = ⇒ =



chẳn
chẳn
chẳn

Trong dạng  ta thường hay sử dụng công thức: sin
2
x + cos
2
x = 1.
 Trong dạng ,  ta thường sử dụng công thức:
2
2
1
tan x
cos x
1 + =
;
2
2
1

cot x
sin x
1 + =
.
 Trong dạng  ta thường sử dụng công thức:
x
a
a b x log b
= ⇔ =
.
15 chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng môn Toán Ths. Lê Văn Đoàn


“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 7 -
Bài tập áp dụng
Bài 1. Tính các nguyên hàm sau.
a/
(
)
11
5 1
x xdx
−
∫
b/
(
)
5
3 2
dx

x
−
∫
c/
5 2
xdx
−
∫

d/
(
)
7
2
2 1
x xdx
+
∫
e/
(
)
4
3 2
5
x x dx
+
∫
f/
2
5

x
dx
x
+
∫

g/
2
1.
x xdx
+
∫
h/
2
3
3
5 2
x
dx
x
+
∫
i/
(
)
2
1
dx
x x
+

∫

j/
4
sin cos
x xdx
∫
k/
5
sin
cos
x
dx
x
∫
l/
2
tan
cos
xdx
x
∫

m/
3
x
x
e dx
e
−

∫
n/
2
1
.
x
x e dx
+
∫
o/
x
e
dx
x
∫

p/
3
ln
x
dx
x
∫
q/
1
x
dx
e
+
∫

r/
tan
2
cos
x
e
dx
x
∫

Bài 2. Tính các nguyên hàm sau.
a/
(
)
3
2
1
dx
x−
∫
b/
(
)
3
2
1
dx
x
+
∫

c/
2
1 .
x dx
−
∫

d/
2
4
dx
x
−
∫
e/
2 2
1 .
x x dx
−
∫
f/
2
1
dx
x
+
∫

g/
2

2
1
x dx
x
−
∫
h/
2
1
dx
x x
+ +
∫
i/
3 2
1.
x x dx
+
∫

j/
2 2
1.
x x dx
−
∫
k/
2
2
.

4
x
dx
x
−
∫
l/
2
1
.
3
dx
x
−
∫


Ths. Lê Văn Đoàn
Chuyên đề 5. Nguyên hàm – Tích phân và các ứng dụng



Page - 8 -
“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……”






Bài tập áp dụng
Bài 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau.
a/
(
)
ln 1
x x
+
∫
ĐS:
( )
(
)
( )
C

2 2
1 1
1 ln 1
2 4 2
x
F x x x x
= − + − + +
.
b/
(
)
2
2 1
x
x x e dx
+ −
∫
ĐS:
(
)
(
)
C
2
1
x
F x e x
= − +
.
c/

(
)
sin 2 1
x x dx
+
∫
ĐS:
( ) ( ) ( )
C
1
cos 2 1 sin 2 1
2 4
x
F x x x
= − + + + +
.
d/
(
)
1 cos
x xdx
−
∫
ĐS:
(
)
(
)
C
1 sin cosF x x x x

= − − +
.
e/
.sin 2 .
x
e x dx
∫
ĐS:
( )
C
sin 2 2 cos 2
5
x x
e x e x
F x
−
= +
.
f/
2
.cos .
x x dx
∫
ĐS:
(
)
(
)
C
2

sin 2 sin cosF x x x x x x
= − + +
.
Bài 2. Tính các nguyên hàm sau.

a/
2
cos
x
e xdx
∫
ĐS:
( ) ( )
C
1
5 cos2 2 sin 2
10
x
F x x x e
= + + +
.
b/
(
)

2
.sin 1999
x xdx ÐHL −
∫
ĐS:

( )
C
2
1 1
sin 2 cos2
4 4 8
x
F x x x x
= + + +
.
c/
(
)
cos ln
x dx
∫
ĐS:
( ) ( ) ( )
C
cos ln sin ln
2
x
F x x x
 
= + +
 
 
.
d/
(

)
2
ln cos
cos
x
dx
x
∫
ĐS:
(
)
(
)
C
ln cos .tan tanF x x x x x
= + − +
.
e/
(
)
2
2
lnx x x k
dx
x k
+ +
+
∫
ĐS:
(

)
2 2
ln( )
F x x k x x k x C
= + + + − +
.
IV – Dạng toán 3. Tính nguyên hàm bằng phương pháp nguyên hàm từng phần
Vi phân

Nguyên hàm
Phương pháp
 Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì
u.dv u.v v.du
= −
∫ ∫
.
Chọn


u du dx
dv dx v




= → =





= → =




 Nhận dạng : Tích 2 hàm khác loại nhân nhau (mũ nhân lượng giác, log nhân đã thức,…).
 Cách chọn : thứ tự ưu tiên chọn u là “log – đa – lượng – mũ” và dv là phần còn lại.
Nghĩa là : Nếu trong bài toán tìm nguyên hàm có chứa lnx thì
ta chọn u = lnx,còn dv là phần còn lại, nếu không có ln hoặc
log thì ta chọn u là đa thức, dv là phần còn lại,….

15 chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng môn Toán Ths. Lê Văn Đoàn


“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 9 -
f/
2
( 1)
x
xe
dx
x
+
∫
ĐS:
( )
1
x
e
F x C

x
= +
+
.
g/
1 sin
1 cos
x
x
e dx
x
+
+
∫
ĐS:
( )
tan
2
x
x
F x e C
 



= +






 
.
h/
sin ln(tan )
x x dx
∫
ĐS:
( ) ( )
cos ln tan ln tan
2
x
F x x x C
 



= − + +





 
.
Bài tập rèn luyện
Bài 1. Tính nguyên hàm của các hàm số sau:
a/
. .
x

x e dx
∫
b/
.cos .
x x dx
∫
c/
ln .
x dx
∫

d/
(
)
ln 1 .
x x dx
+ +
∫
e/
(
)
2
3 1 . .
x
x x e dx
− + +
∫
f/
.sin .
x x dx

∫

g/
sin(2 1).
x x dx
+
∫
h/
(
)
1 cos .
x x dx
−
∫
i/
(
)
1 2 .
x
x e dx
−
∫

j/
. .
x
x e dx
−
∫
k/

2
.ln .
x x dx
∫
l/
2
. .
x
x e dx
−
∫

m/
(
)
2
. 1 .
x
e x dx
+
∫
n/
(
)
1 .cos .
x x dx
+
∫
o/
.cos .

x
e x dx
∫

p/
.sin .
x
e x dx
∫
q/
2
.cos .
x x dx
∫
r/
2
.cos .
x x dx
∫

s/
sin .
x dx
∫
t/
cos .
x dx
∫
u/
sin .

x x dx
∫

Bài 2. Tính nguyên hàm của các hàm số sau.
a/
x
e dx
∫
b/
ln .
x dx
x
∫
c/
ln .
x dx
x
∫

d/
3
sin .
x dx
∫
e/
.2 .
x
x dx
∫
f/

2
.ln .
x x dx
∫

g/
5
ln
.
x
dx
x
∫
h/
(
)
2
ln .
x dx
∫
i/
.
.
1
x
x e
dx
x
+
∫

j/
2
.sin .
x x dx
∫
k/
(
)
.sin 2 1 .
x
e x dx
+
∫
l/
cos .ln(sin ).
x x dx
∫

m/
1
.ln .
1
x
x dx
x
+
−
∫
n/

(
)
2
.cos
.
1 sin
x x
dx
x
+
∫
o/
2
sin
.
cos
x x
dx
x
+
∫

p/
2
.
sin
x
dx
x
∫

q/

sin
.cos .
x
e x dx
∫
r/
2
2
( 2)
x
x e dx
x
+
∫

s/
(
)
2
1 tan tan
x
x x e dx
+ +
∫
t/
2
ln x
dx

x
 








 
∫
u/
3
2
1
x
dx
x
+
∫


Ths. Lê Văn Đoàn
Chuyên đề 5. Nguyên hàm – Tích phân và các ứng dụng



Page - 10 -
“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……”























Bài tập áp dụng
Tính nguyên hàm của các hàm số sau.
1/
sin

sin cos
x
dx
x x
−
∫
2/
cos
sin cos
x
dx
x x
−
∫

3/
sin
sin cos
x
dx
x x
+
∫
4/
cos
sin cos
x
dx
x x
+

∫

5/
4
4 4
sin
sin cos
x
dx
x x
+
∫
6/
4
4 4
cos
sin cos
x
dx
x x
+
∫

7/
2
2 sin .sin 2
x xdx
∫
8/
2

2 cos .sin 2
x xdx
∫

9/
x
x x
e
dx
e e
−
−
∫
10/
x
x x
e
dx
e e
−
−
−
∫

11/
x
x x
e
dx
e e

−
+
∫
12/
x
x x
e
dx
e e
−
−
+
∫

13/
sin .
2013 sin cos
x dx
x x
+
∫
14/
6 cos .
5 sin cos
x dx
x x
+
∫

V – Dạng toán 4. Tính nguyên hàm bằng phương pháp dùng hàm phụ

Đặt vấn đề
: Xác định nguyên hàm của hàm số
(
)
f x
, ta cần tìm một hàm
(
)
g x
sao cho nguyên
hàm của hàm số
(
)
(
)
f x g x
±
dễ xác định hơn so với
(
)
f x
. Từ đó suy ra nguyên
hàm của
(
)
f x
.
Mặt thực hành:

 Bước 1. Tìm hàm
(
)
g x
.
 Bước 2. Xác định nguyên hàm của hàm số
(
)
(
)
f x g x
±
. Nghĩa là:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)

1
2
F x G x A x C
F x G x B x C
1
2


+ = +




− = +





 Bước 3. Cộng
(
)
1
với
(
)
2
, ta được:
( ) ( ) ( )
F x A x B x C

1
2
 
= + +
 
 
là nguyên hàm của
hàm số
(
)
f x
cần tìm.
15 chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng môn Toán Ths. Lê Văn Đoàn


“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 11 -








VI – Dạng toán 5. Tính nguyên hàm lớp hàm hữu tỉ (phân số)
Bài toán
: Tính
(
)
(

)
P x
.dx
Q x
∫
với
(
)
P x
và
(
)
Q x
là các đa thức không chứa căn.
Phương pháp
:
 Nếu bậc của tử
(
)
P x
≥
bậc của mẫu
(
)
Q x
. Chẳng hạn như
3 2
2
x x x
.dx

x
3 2
− − +
∫
. Ta sẽ
tiến hành chia đa thức, rồi dùng công thức trong bảng nguyên hàm để tính.
 Nếu bậc của tử
(
)
P x
<
bậc của mẫu
(
)
Q x
và
(
)
Q x
có dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân
tích
(
)
(
)
P x
Q x
thành tổng của nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất định). Ví dụ như :
( )( ) ( )( )
A B a b

x a x b an bm ax m bx n
x a x b ax m bx n
1 1 1
 



= + ⇒ = −





− − − + +
− − + +
 
.
(
)
(
)
(
)
mx n A B
x b
x a x b x a
+
= +
−
− − −

.
(
)
(
)
(
)
2 2
A Bx C
x m
x m ax bx c ax bx c
1
+
= +
−
− + + + +
với
2
b ac
4 0
∆ = − <
.
(
)
(
)
(
)
(
)

2 2 2 2
A B C D
x a x b
x a x b x a x b
1
= + + +
− −
− − − −
.
Một số loại khác
 Loại :
(
)
( )
1
n
2 2
PP
dx
I n N* x a.tant
x a
,= ∈ → =
+
∫
.
 Loại :
2
2
PP
1 1 1

I f x dx t x
x x
x
. 1 .
   
 
 
 
= + − → = +
 
 
 
 
 
   
∫
.
 Loại :
( )
3
2
PP
dx
I a 0
ax bx c
,
= ≠ →
+ +
∫
Ta tiến hành xét

2
b ac
4
∆ = −
.
+ Nếu
0
∆ =
thì
( )
2
3
2
dx
I ax b dx
ax bx c
1
2 .
2
a
−
⇒ = = + =
+ +
∫ ∫

+ Nếu
0
∆ >
thì
(

)
(
)
3
1 2
I dx
a x x x x
1
.
=
− −
∫
⇒
đồng nhất thức
⇒
kết quả.
v
ới
1 2
x x
,
là hai nghiệm phân biệt của phương trình
2
ax bx c
0
+ + =
.
Ths. Lê Văn Đoàn
Chuyên đề 5. Nguyên hàm – Tích phân và các ứng dụng

Page - 12 -
“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……”





















Bài tập áp dụng
Bài 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau.
1/
(
)

4 2
1
2
3 2 1
x x x dx
I
x
− + −
=
∫

ĐS:
3
1
1
3 2 ln
3
x
I x x C
x
= − + + +
.
2/
(
)
2
2
1
2
x x dx

I
x
+ +
=
+
∫
ĐS:
2
2
1
2
ln 2
x
I x C
x
= + − +
+
.
3/
(
)
2
3
3 3
2 1
x x dx
I
x
− +
=

+
∫
ĐS:
2
3
5 8 17 85
ln
4 4 17 8 16
x
I x x C
= − + − +
.
4/
4
1
.
2 3
x
I dx
x
+
=
+
∫
ĐS:
4
1
ln 2 3
2 4
x

I x C
= − + +
.
5/
5
3 1
.
2
x
I dx
x
+
=
−
∫
ĐS:
5
3 7 ln 2
I x x C
= + − +
.
6/
3
6
2
1
x
I dx
x
=

+
∫
ĐS:
2 2
6
ln 1 1
I x x C
= − + + +
.
7/
(
)
7
1
dx
I
x x
=
+
∫
ĐS:
7
ln
1
x
I C
x
= +
+
.

8/
(
)
(
)
8
1 2 3
dx
I
x x
=
+ −
∫
ĐS:
8
1 2 3
ln
5 1
x
I C
x
−
= +
+
.
9/
9
2
2 7 5
dx

I
x x
=
− +
∫
ĐS:
(
)
9
2 2 5
ln
3
2 1
x
I C
x
−
= +
−
.
10/
10
2
7 10
dx
I
x x
=
− +
∫

ĐS:
10
1 5
ln
3 2
x
I C
x
−
= +
−
.
+ Nếu
0
∆ <
ta biến đổi mẫu số:
2
2
b
∆
ax bx c a x
2a 4a
.
 
   
 
 
 
 
+ + = + + −

 
 
 
 
 
 
 
   
 
, rồi đổi biến
số bằng cách đặt:
b ∆
x tant
2a 4a
.
+ = −
, đưa bài toán về loại I
1
mà đã biết cách giải.
 Loại:
4
2
px q
I dx
ax bx c
.
+
=
+ +
∫

.
+ Nếu
0
∆ ≥
ta tiến hành đồng nhất thức bình thường
⇒
Kết quả.

+ Nếu
0
∆ <
ta biến đổi
(
)
4
2 2
3
A
I khi ∆ 0
ax b dx
p b.p dx
I q
2a 2a
ax bx c ax bx c
2
.
<
 
+




= + −





+ + + +
 
∫ ∫
 
.
Tìm A : Đổi biến bằng cách đặt
2
t ax bx c
= + +
.

15 chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng môn Toán Ths. Lê Văn Đoàn


“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 13 -
11/
2
11
2
1
.
1

x
I dx
x
+
=
−
∫
ĐS:
11
1
ln
1
x
I x C
x
−
= + +
+
.
12/
12
2
6 9
dx
I
x x
=
− +
∫
ĐS:

12
1
3
I C
x
= +
−
.
13/
13
2
4
dx
I
x
=
−
∫
ĐS:
13
1 2
ln
4 2
x
I C
x
−
= +
+
.

14/
(
)
(
)
14
.
1 2 1
x
I dx
x x
=
+ +
∫
ĐS:
14
1
ln 1 ln 2 1
2
I x x C
= + − + +
.
15/
(
)
(
)
15
1
2 3

x
I dx
x x
+
=
− +
∫
ĐS:
( )
3 2
15
1
ln 2 2
5
I x x C
 
= − + +
 
 
 
.
16/
(
)
16
2
4 3
4 3
x dx
I

x x
+
=
− +
∫
ĐS:
16
13 ln 3 7 ln 1
2
x x
I C
− − −
= +
.
17/
(
)
17
2
2 7
5 6
x dx
I
x x
+
=
+ +
∫
ĐS:
(

)
3
17
2
ln
3
x
I C
x
+
= +
+
.
18/
18
4 2
5 4
dx
I
x x
=
− +
∫
ĐS:
18
1 1 2 1 1
ln ln
3 4 2 2 1
x x
I C

x x
 
− −




= − +





+ +
 
.
19/
19
2
4 8 3
dx
I
x x
=
+ +
∫
ĐS:
19
1 2 1
ln

4 2 3
x
I C
x
+
= +
+
.
20/
20
2
3 2 1
dx
I
x x
=
− −
∫
ĐS:
20
1 3 3
ln
4 3 1
x
I C
x
+
= +
+
.

21/
21
2
5 7
3 2
x
I dx
x x
−
=
− +
∫
ĐS:
21
9 1
5 ln 1 ln
2 1
x
I x C
x
−
= + − +
+
.
22/
22
2
2 5
9 6 1
x

I dx
x x
+
=
− +
∫
ĐS:
22
2 17 1
ln 3 1
9 9 3 1
I x C
x
 



= − − +





−
 
.
23/
(
)
23

2
2
dx
I
x x
=
+
∫
ĐS:
2
23
2
1
ln
4
2
x
I C
x
= +
+
.
24/
(
)
(
)
24
2 2
3 1

dx
I
x x
=
+ +
∫
ĐS:
(
)
(
)
24
1 3 2 4
ln
4 1
1 3
x x
I C
x
x x
 
+ +
 
= − +
 
+
+ +
 
 
.

25/
25
3
7 4
3 2
x
I dx
x x
−
=
− +
∫
ĐS:
25
1 1
2 ln
1 2
x
I C
x x
−
= − + +
− +
.
26/
3 2
26
4 3
4 1
x x x

I dx
x x
− − −
=
+
∫
ĐS:
26
2
1 3
2 ln ln 1
2
I x x C
x
x
= + + − + +
.
27/
27
3 2
6 7 3
dx
I
x x x
=
− −
∫
ĐS:
27
1 2 3 3 1

ln ln ln
3 33 2 11 3
I x x x
= − + − + +
.
28/
3
28
3
1
4
x
I dx
x x
−
=
−
∫
ĐS:
28
1 7 1 9 1
ln ln ln
4 16 2 16 2
I x x x x C
= + − − − + +
.
Ths. Lê Văn Đoàn
Chuyên đề 5. Nguyên hàm – Tích phân và các ứng dụng

Page - 14 -
“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……”

29/
(
)
3
29
2
3 2
2 1
x x
I dx
x x x
− +
=
+ +
∫
ĐS:
29
4
2 ln 4 ln 1
1
I x x x C
x
= + + + − +
+
.
30/

(
)
(
)
2
30
2
2
2 1
x dx
I
x x x
+
=
− +
∫
ĐS:
30
9
4 ln 2 ln 1
1
I x x C
x
= − − − +
−
.
Bài 2. Tính các nguyên hàm của các hàm số.

1/
1

2
9
dx
J
x
=
+
∫
2/
(
)
2
2
2
2
dx
J
x
=
+
∫
3/
(
)
3
3
2
4
dx
J

x
=
+
∫

4/
4
2
2 6
dx
J
x x
=
− +
∫
5/
(
)
5
2
6 2
1
x dx
J
x x
+
=
− +
∫
6/

(
)
6
2
2 1 .
3 4
x dx
J
x x
+
=
+ +
∫

7/
7
2
2
dx
J
x x
=
− +
∫
8/
(
)
(
)
8

2 2
4 9
dx
J
x x
=
+ +
∫
9/
(
)
10
2
1
4 8 5
x dx
J
x x
−
=
− +
∫

10/
(
)
(
)
2
10

2
2
4 3 1
1 1
x x
J dx
x x
+ −
=
− −
∫
11/
(
)
(
)
(
)
2
11
2
2 41 91
12 1
x x dx
J
x x x
+ −
=
− − −
∫

Bài tập rèn luyện
Bài 1. Tính nguyên hàm của các hàm số sau:
1/
2
2 1
dx
x x
+ +
∫
2/
2
4 4 1
dx
x x
+ +
∫
3/
2
5 6
dx
x x
− +
∫

4/
3
1

.
x x
dx
x
+ +
∫
5/
5 4
3
8
4
x x
dx
x x
+ −
−
∫
6/
4 2
3 2
xdx
x x
− +
∫

7/
(
)
(
)

1 1 2
dx
x x
+ −
∫
8/
(
)
(
)
2 3
dx
x x− +
∫
9/
2
4 4 1
dx
x x
− +
∫

10/
2
3 2 1
dx
x x
− −
∫
11/

4 2
2 1
dx
x x
− −
∫
12/
(
)
(
)
2
2
2
2 1
x dx
x x x
+
− +
∫

13/
(
)
2
2
1
dx
x x
+

∫
14/
3
4
dx
x x
+
∫
15/
(
)
(
)
2
2 2
1 4
x dx
x x− +
∫

16/
3
4
1
x dx
x
−
∫
17/
2

4
1
x dx
x
−
∫
18/
2
2
2 3 2
xdx
x x
− −
∫

19/
3 2
6 7 3
dx
x x x
− −
∫
20/
3
3
1
4 1
x
dx
x

−
−
∫
21/
3
8
dx
x
+
∫


Bài 2. Tính nguyên hàm c
ủa các hàm số sau.
15 chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng môn Toán Ths. Lê Văn Đoàn


“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 15 -
1/
2
3
dx
x x
− +
∫
2/
2
2
1
x

dx
x x
+
+ +
∫

3/
3
4 2
2
x dx
x x
− +
∫
4/
5
6 3
2
x dx
x x
− −
∫

5/
(
)
3
2
3 2
2 1

x x
dx
x x x
− +
+ +
∫
6/
(
)
3
2
3 2
2 1
x x
dx
x x x
− +
+ +
∫

7/
(
)
2
10
1
dx
x x +
∫
8/

2
4
1
1
x
dx
x
+
+
∫

9/
3
2 2
1
x dx
x
+
∫
10/
(
)
2
2
1
dx
x +
∫

11/

(
)
3
2
8
1
x dx
x +
∫
12/
(
)
3
2
1
dx
x +
∫

13/
(
)
2
10
1
x dx
x
−
∫
14/

(
)
7
2
8
1
x dx
x +
∫

15/
3
6 3
7 8
x dx
x x
− −
∫
16/
4
1
dx
x
+
∫

17/
4
1
dx

x
−
∫
18/
(
)
2
5
1
x dx
x −
∫

19/
2
2 cos 1
xdx
x x
α
− +
∫
20/
1 1
2 1 2 3
dx
x x
 





−





 
+ +
∫

21/
2
4
1
1
x
dx
x
−
+
∫
22/
(
)
2
10
1
dx
x x +

∫

23/
4
6
1
1
x
dx
x
+
+
∫
24/
(
)
3
6 4 2
4 4 1
x x dx
x x x
−
+ + +
∫

25/
(
)
(
)

(
)
2
2 2
1
5 1 3 1
x dx
x x x x
−
+ + − +
∫
26/
9 5
3
dx
x x
+
∫

27/
(
)
2001
1002
2
1
x dx
x+
∫
28/

3
1
dx
x
−
∫

29/
3
1
dx
x
+
∫
30/
(
)
7
2
4
1
x dx
x +
∫

31/
4 2
3 2
xdx
x x

− +
∫
32/
4
2 1
xdx
x x
− −
∫


Ths. Lê Văn Đoàn
Chuyên đề 5. Nguyên hàm – Tích phân và các ứng dụng



Page - 16 -
“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……”






VII – Dạng toán 6. Tính nguyên hàm lớp hàm vô tỉ (chứa căn thức)
Nếu gặp nguyên hàm chứa căn thức dạng
(
)
(
)
PP
f u x .v x .dx
90%
 
→
 
 
∫
đặt
(
)
t u x
=

.
Trừ các trường hợp sau:
 Trường hợp 1:
(
)
2 2
PP
x a.
f x a x .dx
x a.
tan
.
cot
t
t

=

+ →

=


∫

 Trường hợp 2:
(
)
2 2
PP

x a.sin
f a x .x .dx
x a.cos
t
t

=

− →

=


∫

 Trường hợp 3:
( )
2 2
PP
a
x
f x a .x .dx
a
x
sin
cos
t
t



=

− →


=


∫

 Trường hợp 4:
(
)
n
2
PP
dx 1
x a
t
x a . ax bx c
→ − =
− + +
∫
.
 Trường hợp 5:
31 2 k
ss s s
n
PP
R ax b, ax b, ax b, , ax b ax b t

 
+ + + + → + =
 
 
∫
.
(n là bội số chung lớn nhất của s
1
, s
2
, s
3
, …, s
k
)
 Trường hợp 6:
(
)
(
)
( ) ( )
PP
1
R dx
x a x b
t x a x b
 







→ = + + +





+ +




 
∫
.
 Trường hợp 7:
2 2 2 2 2 2
x a x a 2x.dx dx
dx .dx dx a.
x a
x a 2 x a x a
.
− −
= = −
+
− − −
∫ ∫ ∫ ∫
.

 Trường hợp 8:
(
)
dx 1
= ax b ax c .dx
b c
ax b ax c
+ + +
−
+ + +
∫ ∫
.



 Trường hợp 9:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)

2
2 2 2 2
a u x
v x b.u x
c
u x u x u x u x
α
α α α α
 
+
 
 
= + +
+ + + +
.
Sau đó, dùng hệ số bất định để tìm a, b, c.
 Lưu ý:
 Khi đổi biến (đặt ẩn phụ) , kết quả sau cùng phải trả về giá trị biến cũ.
 Ngoài ra, ta còn gặp dạng
(
)
(
)
( )
PP
a.f x
.dx t f x
f x
'
→ =

∫
.
 Có th
ể dùng phương pháp “nhảy tầng lầu” để giải dạng bậc tử < bậc mẫu.
ch
ẳ
n
ch
ẳ
n
ch
ẳ
n
15 chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng môn Toán Ths. Lê Văn Đoàn


“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 17 -
Bài tập áp dụng
Bài 1. Tính nguyên hàm của các hàm số sau.
1/
1
5 2 .
I x dx
= −
∫
2/
2
2
1.
I x x dx

= +
∫

3/
3
. 4 .
I x x dx
= −
∫
4/
4
2
1
.
2 2
x
I dx
x x
−
=
− +
∫

5/
5
3
1
.
3 1
x

I dx
x
+
=
+
∫
6/
2
6
3
3
5 2
x
I dx
x
=
+
∫

7/
3
7
2
.
2
x
I dx
x
=
+

∫
8/
3
8
3
4
.
1 1
x
I dx
x
=
+ +
∫

9/
(
)
3
2
9
. 1 .
I x x dx
= +
∫
10/
10
.
2 1 1
x

I dx
x
=
+ +
∫

Bài 2. Tính nguyên hàm của các hàm số sau.
1/
1
2
1
.
4
I dx
x
=
+
∫
2/
2
2
5.
I x dx
= +
∫

3/
3
2
1

.
1
I dx
x
=
+
∫
4/
4
2
1
.
3
I dx
x
=
+
∫

5/
2
5
1 .
I x dx
= −
∫
6/
2 2
6
1 .

I x x dx
= −
∫

7/
7
2
4
dx
I
x
=
−
∫
8/
2
8
2
1
x dx
I
x
=
−
∫

9/
2
9
2

.
1
x
I dx
x
=
−
∫
10/
2
10
5.
I x dx
= −
∫

11/
11
2
1
.
3 6
I dx
x x x
=
+ −
∫
12/
12
2

1
.
. 2 2 1
I dx
x x x
=
+ +
∫

13/
13
2
1
.
. 2
I dx
x x x
=
−
∫
14/
14
3
1
.
I dx
x x
=
+
∫

15/
4
3
15
5
2 1
2 1
I x dx
x
 




= + −





 
+
∫
16/
16
1 1
. .
1
x

I dx
x x
+
=
−
∫

17/
3
17
1 1
.
1
x
I dx
x x
−
=
+
∫
18/
(
)
(
)
18
3 7
dx
I
x x

=
+ +
∫

19/
19
2
5 6
dx
I
x x
=
− +
∫
20/
20
2
6 8
dx
I
x x
=
+ +
∫

Bài tập rèn luyện
Ths. Lê V
ă
n
Đ

oàn
Chuyên đề 5. Nguyên hàm – Tích phân và các ứng dụng



Page - 18 -
“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……”

Bài 1. Tính nguyên hàm của các hàm số sau.
1/
cos .
x dx
∫
2/
3
2 3
1
x x dx
+
∫

3/
(
)
1
dx
x x
−
∫
4/

2
. 1.
x x dx
−
∫

5/
.
2
x
dx
x
+
∫
6/
2
1
.
. 1
dx
x x
−
∫

Bài 2. Tính nguyên hàm của các hàm số sau.
1/
1
.
1 1
dx

x x
+ − −
∫
2/
2 1 2 1
dx
x x
+ + −
∫

3/
2
2 1.
x x dx
− +
∫
4/
2
9.
x dx
+
∫

5/
2
2
.
8
x
dx

x
+
∫
6/
2
1
.
6
dx
x
−
∫

7/
2
4 .
x dx
−
∫
8/
2
16.
x dx
−
∫

9/
2
2
.

25
x
dx
x
−
∫
10/
(
)
2
1 1
dx
x x
− −
∫

11/
(
)
2
1
1 1
x
dx
x x
−
+ +
∫
12/
(

)
2
1 . 2 3
dx
x x x
− − + +
∫

13/
(
)
2
1 . 3 2
dx
x x x
+ + −
∫
14/
(
)
2
1 . 2 2 1
dx
x x x
+ + +
∫

15/
(
)

2
2 3 4 12 5
dx
x x x
+ + +
∫
16/
1
.
1
x
dx
x
+
−
∫

17/
2
1 4 .
x x dx
− −
∫
18/
2
4
1
.
x
dx

x
+
∫

19/
2
2 3
dx
x x
+ +
∫
20/
2
9 6
xdx
x x
−
∫

21/
2
1
dx
x x
− −
∫
22/
2
4 5
6 1

x
dx
x x
+
+ +
∫

23/
2
2
1
x
dx
x x
+ +
∫
24/
3
3 1 2 1
dx
x x
+ − +
∫

25/
(
)
3
2
1

dx
x−
∫
26/
(
)
3
2
16
dx
x +
∫

27/
2
1
dx
x x x
+ + +
∫
28/
2
2
1
xdx
x x
+ −
∫

VIII – Dạng toán 7. Tính nguyên hàm lớp hàm lượng giác
15 chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng môn Toán Ths. Lê Văn Đoàn


“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 19 -



Phương pháp
 Tích bậc nhất của các hàm lượng giác
PP
→
dùng công thức biến đổi tích thành tổng :
( ) ( )
ax. bx a b x a b x
1
sin cos sin sin
2
 
= + + −
 
 
.
( )
ax bx a b x (a b)x
1
sin .sin cos cos
2
 
= − − +
 
 
.
( ) ( )
ax bx a b x a b x
1
cos .cos cos cos

2
 
= + + −
 
 
.
 Nếu gặp bậc chẳn của sinx và cosx
PP
→
dùng công thức hạ bậc :
2
2
x x
x x
1 1
cos cos2
2 2
1 1
sin cos2
2 2



= +







= −





( )
( )
( )
2
2
4 2
3
3
6 2
x x x x x
x x x x x
x x x
2
2
2
4 2 2
1 1 1 1 1
sin sin cos 2 cos2 cos 2
2 2 4 2 4
1 1 1 1 1
cos cos cos2 cos2 cos 2
2 2 4 2 4
1 1
cos cos cos2

2 2


 





= = − = − − =







 



 





⇒ = = + = + + =








 



 





= = + =







 




Một số phương pháp đổi biến thông thường đối với lớp nguyên hàm lượng giác
 Dạng:

(
)
PP
I f cosx .sinx.dx t cosx
1
= → =
∫
.
 Dạng:
(
)
PP
I f sinx .cosx.dx t sinx
2
= → =
∫
.
 Dạng:
( )
(
)
(
)
2
2
PP
1
I f tanx . dx
t tanx
cos x

I f tanx . 1 tan x dx
3
3


=

→ =


= +


∫
∫
.
 Dạng:
( )
( )
(
)
2
2
PP
1
I f cotx . .dx
t x
sin x
I f cotx . 1 cot x .dx
4

4
cot


=

→ =


= +


∫
∫

 Dạng:
( )
2
2 2
2
PP
sin x
I f sin x cos x .sin2x.dx t
cos x
5
;


= → =




∫

 Dạng:
(
)
(
)
( ) ( )
PP
I f sinx cosx . sinx cosx dx
t sinx cosx
t sinx cosx
I f sinx cosx . sinx cosx dx
6
6


= + −
= +


→


= −

= − +




∫
∫

2
dt
dx
t
2
1



=


+
Ths. Lê Văn Đoàn
Chuyên đề 5. Nguyên hàm – Tích phân và các ứng dụng



Page - 20 -
“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……”

15 chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng môn Toán Ths. Lê Văn Đoàn


“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 21 -

Bài tập áp dụng
Bài 1. Tính các nguyên hàm sau.
1/
tan
xdx
∫
2/
cot
xdx
∫

3/
2
cos
xdx
∫
4/
2
sin
xdx
∫

5/
2
tan

xdx
∫
6/
2
cot
xdx
∫

7/
3
sin
xdx
∫
8/
3
cos
xdx
∫

9/
3
tan
xdx
∫
10/
3
cot
xdx
∫

11/
4
cos
xdx
∫
12/
4
sin
xdx
∫

13/
4
cot
xdx
∫
14/
4
tan
xdx
∫

15/
6
cos
xdx
∫
16/
6
sin

xdx
∫

18/
sin .sin 3
x xdx
∫
19/
cos 7 .cos 3 .
x x dx
∫

21/
sin 5 .cos .
x x dx
∫
22/
sin sin 2 cos 5
x x xdx
∫

23/
cos cos2 cos 3 .
x x x dx
∫
24/
cos 5 cos 4 sin 3 .
x x x dx
∫


( )
2 2
dx dx dx
a x b x
x x
a b x
a b
2 2
sin cos
sin
2 sin cos
2 2
α α
α
= =
   
+
+ +
+ +
 
 
 
+
 
 
 
 
 

   
∫ ∫ ∫


dx
x x
a b
2 2
2
1
2
tan cos
2 2
α α
=
   
+ +
+
 
 
 
 
 
 
 
 
   
∫

Đô

̉
ibiê
ሖ
nđặt
ሱ
ۛ
ۛ
ۛ
ۛ
ۛ
ۛ
ۛ
ۛ
ۛ
ሮ

x
t
tan
2
α
 
+



=






 


(
)
B c. x d. x
a. x b. x
A
c. x d. x c. x d. x
cos sin
sin cos
sin cos sin cos
−
+
= +
+ +

Đô
ሗ
୬୥୬୦â
ሖ
୲୲୦ứୡ
ሱ
ۛ
ۛ
ۛ
ۛ
ۛ

ۛ
ۛ
ۛ
ۛ
ሮ

A B
,
.


(
)
B c. x d. x
a. x b. x m C
A
c. x d. x n c. x d. x n c. d. n
cos sin
sin cos
sin cos sin cos sin cos
x x
−
+ +
= + +
+ + + + + +

Đ
ô
ሗ
୬୥


୬୦
â
ሖ
୲

୲୦
ứ
ୡ
ሱ
ۛ
ۛ
ۛ
ۛ
ۛ
ۛ
ۛ
ۛ
ۛ
ሮ



A B C
, ,

Ths. Lê Văn Đoàn
Chuyên đề 5. Nguyên hàm – Tích phân và các ứng dụng

Page - 22 -
“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……”

Bài 2. Tính các nguyên hàm.
1/
3
sin .cos .
x x dx
∫
2/
3
sin .cos .
x x dx
∫

3/
3 4
sin .cos .
x x dx
∫
4/
4 4
sin .cos .
x x dx
∫

5/
3
4

sin
.
cos
x
dx
x
∫
6/
3
2
sin
.
cos
x
dx
x
∫

7/
5
sin
xdx
∫
8/
5
cos
xdx
∫

9/

(
)
2
sin cos 1 cos
x x x dx
+
∫
10/
3
cos
1 sin
xdx
x
+
∫

11/
3
4 sin
1 cos
x
dx
x
+
∫
12/
2
sin 2
4 cos
x

dx
x
−
∫

13/
sin 2 cos
1 cos
x x
dx
x
+
∫
14/
cos
sin 2
x
e xdx
∫

15/
(
)
sin
tan cos
x
x e x dx
+
∫
16/

(
)
sin
cos cos
x
e x xdx
+
∫

17/
2
1 2 sin
1 sin2
x
x
−
+
∫
18/
2
sin 2
4 cos
xdx
x
−
∫

19/
1
sin

dx
x
∫
20/
1
cos
dx
x
∫

21/
3
2
sin cos
1 cos
x x
dx
x
+
∫
22/
(
)
3
2
sin2 1 sin
x x dx
+
∫

23/
2
cos
6 5 sin sin
xdx
x x
− +
∫
24/
cos 3
sin
x
dx
x
∫

25/
1 tan .tan sin
2
x
x xdx
 



+






 
∫
26/
3
sin 3 sin 3
1 cos 3
x x
dx
x
−
+
∫

27/
cos2
1 cos
x
dx
x
+
∫
28/
2 2
cos 2
.
sin .cos
x
dx
x x

∫

29/
3
1
.
sin
dx
x
∫
30/
4
1
.
sin
dx
x
∫

31/
3 3
sin cos
dx
x x
∫
32/
4 4
sin cos
dx
x x

∫

33/
3
cos sin
dx
x x
∫
34/
1 cos
dx
x
−
∫

35/
1 sin
dx
x
+
∫
36/
1 cos
1 cos
x
dx
x
−
+
∫

15 chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng môn Toán Ths. Lê Văn Đoàn


“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 23 -
37/
4 4
sin cos
sin cos
x x
dx
x x
+
∫
38/
2
sin 2
4 cos 2
xdx
x
−
∫

Bài 3. Tính các nguyên hàm.
1/
2
sin2
1 cos
x
dx

x
+
∫
2/
2
sin 4
1 cos
x
dx
x
+
∫

3/
(
)
3
2
sin2 1 sin
x x dx
+
∫
4/
tan
2
cos
x
e
dx
x

∫

5/
1 tan
dx
x
+
∫
6/
(
)
2
2
tan 1
cos
x
dx
x
+
∫

7/
(
)
3
2
2 5
sin
tan 1 cos
x

dx
x x
+
∫
8/
2 2
1
sin 9 cos
dx
x x
+
∫

9/
2
1
2 cos
dx
x
−
∫
10/
4
tan
cos2
x
dx
x
∫

11/
3
tan
cos2
x
dx
x
∫
12/
6
tan
xdx
∫

13/
4
1
cos 2
dx
x
∫
14/
(
)
2
4 2
sin
cos tan 2 tan 5
xdx
x x x− +

∫
15/
2 2
sin 2 sin2 cos
dx
x x x
+ −
∫
16/
2 2
sin cos
dx
x x
∫

17/
(
)
2
sin cos
x x dx
+
∫
18/
4
2
sin cot
dx
x x
∫

Bài 4. Tính các nguyên hàm.
1/
sin cos
sin cos
x x
dx
x x
−
+
∫
2/
cos 2
sin cos 2
x
x x
+ +
∫

3/
1 sin 2 cos 2
sin cos
x x
dx
x x
+ +
+
∫
4/
(

)
2
cos2 .
sin cos 2
x dx
x x+ +
∫

5/
(
)
sin
4
sin 2 2 1 sin cos
x dx
x x x
π
 



−





 
+ + +
∫

6/
(
)
2
cos2
sin cos 3
xdx
x x− +
∫

7/
2
6
sin
cos
x
dx
x
∫
8/
3
11
sin cos
dx
x x
∫

Ths. Lê Văn Đoàn
Chuyên đề 5. Nguyên hàm – Tích phân và các ứng dụng

Page - 24 -
“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……”

9/
3
sin cos
dx
x x
∫
10/
4
tan
cos2
x
dx
x
∫

Bài 5. Tính các nguyên hàm.

1/
cos
2 cos 2
x
dx
x
+
∫

2/
cos
7 cos 2
x
dx
x
+
∫

3/
2
cos
1 cos
x
dx
x
+
∫
4/
sin 2 sin
1 3 cos
x x
dx
x
+
+
∫

5/
2

1
sin cot
dx
x x
∫
6/
3
sin cos
sin cos
x x
dx
x x
+
−
∫

7/
2
3 cot 1
sin
x
dx
x
+
∫
8/
2 sin 2 sin
6 cos 2
x x
dx

x
+
−
∫

9/
cos sin
3 sin 2
x x
dx
x
+
+
∫
10/
sin cos
1 sin 2
x x
x
−
+
∫

11/
2
tan
cos 1 cos
xdx
x x
+

∫
12/
2 2
sin cos
4 cos 9 sin
x xdx
x x
+
∫

13/
2 2
sin 2
cos 4 sin
x
dx
x x
+
∫
14/
6
3 5
1 cos .sin cos
x x xdx
−
∫

15/
3
3

sin sin
cot .
sin
x x
x dx
x
−
∫
16/
3
3
tan . cos cos
.
cos
x x x
dx
x
−
∫

Bài 6. Tính các nguyên hàm.
1/
sin .
sin cos
x dx
x x
+
∫
2/
cos .

sin cos
x dx
x x
−
∫

3/
4
4 4
sin .
sin cos
x dx
x x
+
∫
4/
6
6 6
sin .
sin cos
x dx
x x
+
∫

5/
6
6 6
cos .
sin cos

x dx
x x
+
∫
6/
2
2 sin sin 2
x xdx
∫

7/
2
2 cos sin 2
x xdx
∫
8/
cos sin 1
dx
x x
+ +
∫

9/
4 sin 3 cos 5
dx
x x
+ +
∫
10/
sin

1 sin
xdx
x
+
∫

11/
1 cos sin
dx
x x
+ +
∫
12/
sin 7 cos 6
4 sin 3 cos 5
x x
dx
x x
+ +
+ +
∫

15 chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng môn Toán Ths. Lê Văn Đoàn


“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 25 -
13/
sin 3 sin 4
tan cot2
x x

dx
x x
+
∫
14/
3
sin
3 sin 4 sin 6 3 sin 2
xdx
x x x
− −
∫

15/
2
cos cos2
x xdx
∫
16/
3
sin .sin 3
x xdx
∫

17/
3
cos cos 5
x xdx
∫
18/

cos 3 .tan .
x x dx
∫

19/
cos 5 .tan .
x x dx
∫
20/
(
)
(
)
4 4 6 6
sin cos sin cos
x x x x dx
+ +
∫

21/
1
sin 2 2 sin
dx
x x
−
∫
22/
4
cot
cos2

x
dx
x
∫

Bài 7. Tính các nguyên hàm.
1/
sin sin
4
dx
x x
π
 



+





 
∫
2/
cos cos
4
dx
x x
π

 



+





 
∫

3/
sin sin
3
dx
x x
π
 



+





 

∫
4/
2 sin 1
dx
x
+
∫

5/
2 cos 1
dx
x
+
∫
6/
2 sin cos
dx
x x
+ +
∫

7/
tan tan
4
x x dx
π
 




+





 
∫
8/
tan cot
3 6
x x dx
π π
   
 
 
 
+ +
 
 
 
 
 
   
∫

9/
3 sin cos
dx
x x

+
∫
10/
2 sin cos 1
dx
x x
− +
∫

11/
8 cos
2 3 sin 2 cos2
xdx
x x
+ −
∫
12/
sin
1 sin 2
x
dx
x
+
∫

13/
2 sin 3cos
sin 2 cos
x x
dx

x x
+
+
∫
14/
(
)
2
sin 2 cos
3 sin cos
x x
dx
x x
+
+
∫

15/
(
)
3
sin 2 cos
3 sin cos
x x
dx
x x
+
+
∫
16/

4 sin 3 cos
sin 2 cos
x x
dx
x x
+
+
∫

17/
2
cos
sin 3 cos
x
dx
x x
+
∫
18/
5 sin
2 sin cos 1
x
dx
x x
− +
∫


19/
sin 7 cos 6

4 sin 3 cos 5
x x
dx
x x
+ +
+ +
∫
20/
2 2
3 sin 2 sin cos cos
dx
x x x x
− −
∫