SKKN RÈN KĨ NĂNG GIẢI BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Trường THCS Sông Nhạn Giáo Viên: Đoàn Anh Báu
RÈN KỸ NĂNG GIẢI BÀI TẬP
VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN SỐ
A - ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lí do chọn đề tài
Phương trình bậc hai một ẩn số là một mảng rất quan trọng trong chương
trình toán THCS nói chung và với lớp 9 nói riêng. Nó có ứng dụng rất lớn trong
giải toán, nó giữ vai trò không thể thiếu của chương trình toán 9 và luôn có mặt
trong các đề thi tốt nghiệp THCS trước đây và đề thi vào lớp 10 THPT.
Qua thực tế nhiều năm giảng dạy về phương trình bậc hai tôi nhận thấy các
em còn gặp rất nhiều lúng túng, mắc sai sót trong quá trình giải các bài tập có liên
quan tới phương trình bậc hai, đặc biệt những bài toán có sử dụng tới đònh lí Viet.
Nguyên nhân cơ bản dẫn tới vấn đề trên là các em không nắm chắc lí thuyết và
việc rèn luyện kỹ năng giải toán còn ít
Theo tôi để khắc những điểm yếu nói trên thì việc ôn tập kiến thức và rèn
luyện kỹ năng giải toán là hết sức cần thiết
Vấn đề đặt ra cho người thầy là giảng dạy như thế nào để học sinh dễ tiếp
thu và nắm chắc kiến thức, vận dụng tốt vào giải toán, giảng dạy như thế nào để
phù hợp với nhiều đối tượng học sinh. Đó là vấn đề mà tôi luôn trăn trở, tìm tòi
trong quá trình giảng dạy và luôn mong muốn được trao đổi với các bạn đồng
nghiệp.
Vì vậy tôi mạnh dạn đề xuất một số giải pháp mà tôi đã thực hiện qua đề
tài: “ Rèn kỹ năng giải bài tập về phương trình bậc hai một ẩn số”
2. Mục đích của đề tài:
1. Củng cố, khắc sâu kiến thức về phương trình bậc hai một ẩn
2. Trang bò cho học sinh một số phương pháp giải các dạng toán về phương
trình bậc hai một ẩn
2. Giúp các em tiếp thu kiến thức một cách có hệ thống, chủ động, sáng tạo,
rèn khả năng tự học.
3. Tháo gỡ những vướng mắc, khó khăn, tránh được một số sai lầm khi giải
toán về phương trình bậc hai một ẩn

4. Thông qua việc giải toán học sinh thấy rõ hơn mục đích của việc học tập
toán, đồng thời góp phần nâng cao năng lực trí tuệ cho học sinh, nâng cao chất
lượng giáo dục đại chà và bồi dưỡng học sinh giỏi.
Sáng Kiến Kinh Nghiệm Trang 1
Trường THCS Sông Nhạn Giáo Viên: Đoàn Anh Báu
3. Đối tượng nghiên cứu và thực hiện:
Học sinh lớp 9
4. Phương pháp nghiên cứu:
1. Nghiên cứu kỹ chương trình SGK, đọc thêm STK(chương trình cũ và mới)
2. Điều tra tình hình học sinh khi làm các bài toán
3. Dùng phương pháp kiểm nghiệm thông qua việc ra đề kiểm tra
4. Trao đổi với các đồng nghiệp, học hỏi kinh nghiệm
B. NỘI DUNG CƠ BẢN CỦA ĐỀ TÀI
Phần I. kiến thức cần nắm vững
- Hệ thống lại các kiến thức về phương trình bậc hai một ẩn số
Phần II. bài tập rèn luyện
I. Toán trắc nghiệm
Mục đích: Củng cố, khắc sâu lí thuyết
II. Toán tự luận
Mục đích: - Rèn kỹ năng giải toán, phát triển năng lực tư duy, suy luận
- Cung cấp phương pháp giải
- Khắc phục những sai sót
- Rèn khả năng tự học
Bố trí nội dung:
- Phân loại các dạng toán (rèn kỹ năng tính toán, suy luận từ dễ đến khó
phù hợp các đối tượng)
- Các bài toán được xắp xếp theo trình tự từ dễ đến khó
- Trong mỗi bài toán, các câu hỏi xếp theo trình tự từ dễ đến khó
- Các bài toán chỉ là đại diện (không mang tính đầy đủ) sau mỗi bài có các
bài toán tương tự cho học sinh tự rèn

C. NỘI DUNG CỤ THỂ CỦA ĐỀ TÀI
Phần I. kiến thức cần nắm vững
Để học sinh làm được các bài tập về phương trình bậc hai, trước tiên giáo
viên phải giúp học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản sau .
1. Công thức nghiệm:
Phương trình ax
2
+bx+c = 0 (a ≠ 0) có ∆ = b
2
- 4ac
Sáng Kiến Kinh Nghiệm Trang 2
Trường THCS Sông Nhạn Giáo Viên: Đoàn Anh Báu
+ Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm
+ Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: x
1
= x
2
=
a
b
2
−
+ Nếu ∆ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
x
1
=
a
b
2
∆+−

; x
2
=
a
b
2
∆−−
2. Công thức nghiệm thu gọn:
Phương trình ax
2
+bx+c = 0 (a ≠ 0) có ∆
’
=b
’
2
- ac ( b =2b
’

)
+Nếu ∆
’
< 0 thì phương trình vô nghiệm
+Nếu ∆
’
= 0 thì phương trình có nghiệm kép: x
1
= x
2
=
a

b−
+Nếu ∆
’
> 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
x
1
=
a
b
'
∆+−
; x
2
=
a
b
'
∆−−
3. Hệ thức Vi-ét
a) Đònh lí Vi-ét:
Nếu x
1
; x
2
là nghiệm của phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0)
thì: S = x
1
+ x

2
=
a
b−
; P = x
1
.x
2
=
a
c
b) ứng dụng:
+Nếu phương trình ax
2
+bx+c = 0 (a ≠ 0) có: a+b+c = 0 thì phương trình có
nghiệm: x
1
= 1; x
2
=
a
c
+Nếu phương trình ax
2
+bx+c = 0 (a ≠ 0) có: a- b+c = 0 thì phương trình có
nghiệm: x
1
= -1; x
2
=

a
c−
+ Đònh lí: (ĐL Vi-ét đảo)
Nếu hai số x
1
; x
2
có x
1
+x
2
= S ; x
1
.x
2
= P thì x
1
; x
2
là nghiệm của phương
trình : x
2
- S x+P = 0 (x
1
; x
2
tồn tại khi S
2
– 4P ≥ 0)
Chú ý: + Đònh lí Vi-ét chỉ áp dụng được khi phương trình ax

2
+ bx + c = 0
(a ≠ 0) có nghiệm (tức là ∆ ≠ 0)
+ Nếu a và c trái dấu thì phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) luôn có hai
nghiệm trái dấu
Sáng Kiến Kinh Nghiệm Trang 3
Trường THCS Sông Nhạn Giáo Viên: Đoàn Anh Báu
Phần II. bài tập rèn luyện
I. Toán trắc nghiệm
(Mục đích: Củng cố, khắc sâu lí thuyết)
Bài 1: Điền vào chỗ để có mệnh đề đúng
a) Phương trình mx
2
+nx+p = 0 (m ≠ 0) có ∆ =
Nếu ∆ thì phương trình vô nghiệm
Nếu ∆ thì phương trình có nghiệm kép: x
1
= x
2
=
Nếu ∆ thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x
1
= ; x
2
=
b) Phương trình px
2
+qx+k = 0 (p ≠ 0) có ∆

’
= ( với q = 2q
’

)
Nếu ∆
’
thì phương trình vô nghiệm
Nếu ∆
’
thì phương trình có nghiệm kép: x
1
= x
2
=
Nếu ∆
’
thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x
1
= ; x
2
=
(gợi ý trả lời: đối chiếu các công thức nghiệm)
Bài 2: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai
A. Nếu x
1
; x
2
là nghiệm của phương trình ax
2

+ bx + c = 0 (a ≠ 0)
thì: S = x
1
+ x
2
=
a
b−
; P = x
1
.x
2
=
a
c
B. Nếu x
1
; x
2
là nghiệm của phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0)
thì: S = x
1
+ x
2
=
a
c
; P = x

1
.x
2
=
a
b
C. Nếu phương trình ax
2
+bx+c = 0 (a ≠ 0) có a+b+c = 0 thì phương trình có
nghiệm: x
1
= 1; x
2
=
a
c
D. Nếu phương trình ax
2
+bx+c = 0 (a ≠ 0) có: a-b+c = 0 thì phương trình có
nghiệm: x
1
= 1; x
2
=
a
c
E. Nếu phương trình ax
2
+bx+c = 0 (a ≠ 0) có: a- b+c = 0 thì phương trình có
nghiệm: x

1
= -1; x
2
=
a
c−
F. Nếu phương trình ax
2
+bx+c = 0 (a ≠ 0) có: a+b+c = 0 thì phương trình có
nghiệm: x
1
= -1; x
2
=
a
c−
Sáng Kiến Kinh Nghiệm Trang 4
Trường THCS Sông Nhạn Giáo Viên: Đoàn Anh Báu
G. Nếu hai số u và v có u+v = S ; u.v = P thì u; v là nghiệm của phương trình :
x
2
- S x+P = 0
H. Nếu hai số u và v có u+v = S ; u.v = P thì u; v là nghiệm của phương trình :
x
2
- P x+S = 0
(đáp án: Đúng: A, C, E, G ; Sai: B, D, F, H)
Bài 3: Ba bạn Hùng, Hải, Tuấn cùng tranh luận về các mệnh đề sau:
A.Nếu phương trình ax
2

+bx+c = 0 có a+b+c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm:
x
1
= 1; x
2
=
a
c
B.Nếu phương trình ax
2
+bx+c = 0 có: a-b+c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm:
x
1
= -1; x
2
=
a
c−
C.Phương trình ax
2
+bx+c=0 có tổng hai nghiệm là
a
b−
và tích hai nghiệm là
a
c
D.Phương trình 2x
2
-x+3 = 0 có tổng hai nghiệm là
2

1
và tích hai nghiệm là
2
3
Hùng nói: cả bốn mệnh đề đều đúng
Hải nói: cả bốn mệnh đề đều sai (Đáp số: Hải nói đúng )
Tuấn nói: A, B, C đúng còn D sai
Theo em ai đúng, ai sai? giải thích rõ vì sao?
GV: Cần khắc sâu hơn về a
≠
0 và khi sử dụng ĐL viet thì phải có ĐK:
∆

≠
0)
II. Toán tự luận
Mục đích:
- Rèn luyện kỹ năng vận dụng lí thuyết giải quyết các bài tập tính toán,
suy luận từ đơn giản đến phức tạp
- Phát triển khả năng suy luận, tư duy cao
Loại toán rèn kỹ năng áp dụng công thức vào tính toán
Bài 1: Giải phương trình
a) x
2
- 49x - 50 = 0
b) (2-
3
)x
2
+ 2

3
x – 2 –
3
= 0
Giải:
a) Giải phương trình x
2
- 49x - 50 = 0
+ Lời giải 1: Dùng công thức nghiệm
(a = 1; b = - 49; c = 50)
∆ = (- 49)
2
- 4.1.(- 50) = 2601;
∆
= 51
Sáng Kiến Kinh Nghiệm Trang 5
Trường THCS Sông Nhạn Giáo Viên: Đoàn Anh Báu
Do ∆ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1
2
51)49(
1
−=
−−−
=x
;
50
2
51)49(

2
=
+−−
=x
+ Lời giải 2: ứng dụng của đònh lí Viet
Do a – b + c = 1- (- 49) + (- 50) = 0
Nên phương trình có nghiệm: x
1
= - 1; x
2
=
50
1
50
=
−
−
(lưu ý học sinh ở đây a = 1 khác 0)
+ Lời giải 3: ∆ = (- 49)
2
- 4.1.(- 50) = 2601
Theo đònh lí Viet ta có :



=
−=
⇒




−=−==
+−==+
50
1
50).1(5049.
50)1(49
2
1
21
21
x
x
xx
xx
Vậy phương trình có nghiệm: x
1
= - 1; x
2
=
50
1
50
=
−
−
b) Giải phương trình (2-
3
)x
2

+ 2
3
x – 2 –
3
= 0
Giải:
+ Lời giải 1: Dùng công thức nghiệm
(a = 2-
3
; b = 2
3
; c = – 2 –
3
)
∆ = (2
3
)
2
- 4(2-
3
)(– 2 –
3
) = 16;
∆
= 4
Do ∆ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1
)32(2
432

1
=
−
+−
=x
;
)347(
)32(2
432
2
+−=
−
−−
=x
+ Lời giải 2: Dùng công thức nghiệm thu gọn
(a = 2-
3
; b
’
=
3
; c = – 2 –
3
)
∆
’
= (
3
)
2

- (2-
3
)(– 2 –
3
) = 4;
∆
= 2
Do ∆
’
> 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1
32
23
1
=
−
+−
=x
;
)347(
32
23
2
+−=
−
−−
=x
+ Lời giải 3: ứng dụng của đònh lí Viet
Do a + b + c = 2-

3
+ 2
3
+ (- 2 -
3
) = 0
Nên phương trình có nghiệm: x
1
= 1; x
1
=
)347(
32
32
+−=
−
−−
−
*Yêu cầu:
+ Học sinh xác đònh đúng hệ số a, b, c và áp dụng đúng công thức
+ áp dụng đúng công thức (không nhẩm tắt vì dễ dẫn đến sai sót)
+ Gv: cần chú ý rèn tính cẩn thận khi áp dụng công thức và tính toán
* Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau:
1. 3x
2
– 7x - 10 = 0
2. x
2
– 3x + 2 = 0
3. x

2
– 4x – 5 = 0
5. x
2
– (1+
2
)x +
2
= 0
6.
3
x
2
– (1-
3
)x – 1 = 0
7. (2+
3
)x
2
- 2
3
x – 2 +
3
= 0
Sáng Kiến Kinh Nghiệm Trang 6
Trường THCS Sông Nhạn Giáo Viên: Đoàn Anh Báu
4. 3x
2
– 2

3
x – 3 = 0
8. x
2
–
x
– 6 = 0
Bài 2: Tìm hai số u và v biết: u + v = 42 và u.v = 441
Giải
Do u+v = 42 và u.v = 441 nên u và v là nghiệm của phương trình
x
2
– 42x + 441 = 0 (*)
Ta có: ∆
’
= (- 21)
2
- 441 = 0
Phương trình (*) có nghiệm x
1
= x
2
= 21
Vậy u = v = 21
*Bài tập tương tự:
1. Tìm hai số u và v biết:
a) u+v = -42 và u.v = - 400 b) u - v = 5 và u.v = 24
c) u+v = 3 và u.v = - 8 d) u - v = -5 và u.v = -10
2. Tìm kích thước mảnh vườn hình chữ nhật biết chu vi bằng 22m và diện tích
bằng 30m

2
(Gợi ý: ý b) đưa về dạng tìm u và -v biết u+(-v) = 5 và u(-v) = -24)
Bài 3: Giải các phương trình sau
(phương trình quy về phương trình bậc hai)
a) x
3
+ 3x
2
– 2x – 6 = 0
b)
)4)(1(
8
1
2
2
−+
+−
=
+ xx
xx
x
x
c) 5x
4
+ 2x
2
-16 = 10 – x
2
d) 3(x
2

+x) – 2 (x
2
+x) – 1 = 0
Giải
a) Giải phương trình x
3
+ 3x
2
– 2x – 6 = 0 (1)
(1) ⇔ (x
2
- 2)(x + 3) = 0 ⇔ (x

+
2
)(x

-
2
)(x + 3) = 0
⇔ x = -
2
; x =
2
; x = - 3
Vậy phương trình (1) có nghiệm x = -
2
; x =
2
; x = - 3

b) Giải phương trình
)4)(1(
8
1
2
2
−+
+−
=
+ xx
xx
x
x
(2)
Với ĐK: x ≠ -1; x ≠ 4 thì
(2) ⇔ 2x(x- 4) = x
2
– x + 8 ⇔ x
2
– 7x – 8 = 0 (*)
Do a – b + c = 1- (-7) + (- 8) = 0 nên phương trình (*) có nghiệm
x
1
= -1(không thoả mãn ĐK) ; x
2
= 8 (thoả mãn ĐK)
Vậy phương trình (2) có nghiệm x = 8
c) Giải phương trình 5x
4
+ 2x

2
-16 = 10 – x
2
(3)
Ta có: (3) ⇔ 5x
4
– 3x
2
– 26 = 0
Đặt x
2
= t (t ≥ 0) thì (3) ⇔ 5t
2
– 3t – 26 = 0
Sáng Kiến Kinh Nghiệm Trang 7
Trường THCS Sông Nhạn Giáo Viên: Đoàn Anh Báu
Xét ∆ = (-3)
2
– 4.5.(-26) = 529. ⇒
∆
= 23
Nên t
1
=
5
13
5.2
23)3(
=
+−−

(thoả mãn t ≥ 0) ; t
2
=
2
5.2
23)3(
−=
−−−
(loại)
t =
5
13
⇔ x
2
=
5
13
⇔ x =
5
13
±
Vậy phương trình (3) có nghiệm x
1
=
5
13
−
; x
2
=

5
13
d) Giải phương trình 3(x
2
+x) – 2 (x
2
+x) – 1 = 0 (4)
Đặt x
2
+x = t . Khi đó (4) ⇔ 3t
2
– 2t – 1 = 0
Do a + b + c = 3 + (- 2) + (- 1) = 0 . Nên t
1
= 1; t
2
=
3
1
−
t
1
= 1⇔ x
2
+x = 1⇔ x
2
+ x – 1 = 0
∆
1
= 1

2
- 4.1.(-1) = 5 > 0. Nên x
1
=
2
51−−
; x
2
=
2
51+−
t
2
=
3
1
−
⇔ x
2
+x =
3
1
−
⇔ 3x
2
+ 3x + 1 = 0 (*)
∆
2
= 3
2

- 4.3.1 = -3 < 0 . Nên (*) vô nghiệm
Vậy phương trình (4) có nghiệm x
1
=
2
51−−
; x
2
=
2
51+−
* Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau:
1. x
3
+3x
2
+3x+2 = 0
2. (x
2
+ 2x - 5)
2
= (x
2
- x + 5)
2
3. x
4
– 5x
2
+ 4 = 0

4. 0,3 x
4
+ 1,8x
2
+ 1,5 = 0
5. x
3
+ 2 x
2
– (x - 3)
2
= (x-1)(x
2
-2
6.
3
1
.10
1
=
+
−
+ x
x
x
x
7. (x
2
– 4x + 2)
2

+ x
2
- 4x - 4 = 0
8.
03
1
4
1
2
=+






+−






+
x
x
x
x
9.
xx

x
−
=+
−
+
2
6
3
5
2
Bài 4: Cho phương trình x
2
+
3
x -
5
= 0 có 2 nghiệm là x
1
và x
2
.
Không giải phương trình hãy tính giá trò của biểu thức sau:
A =
22
11
xx
+
; B = x
1
2

+ x
2
2
; C =
2
2
2
2
11
xx
+
; D = x
1
3
+ x
2
3
Giải
Do phương trình có 2 nghiệm là x
1
và x
2
nên theo đònh lí Viet ta có:
x
1
+ x
2
=
3−
; x

1
.x
2
=
5−
A =
15
5
1
5
3
.
11
21
21
22
=
−
−
=
+
=+
xx
xx
xx
;
B = x
1
2
+ x

2
2
= (x
1
+x
2
)
2
- 2x
1
x
2
=
523)5(2)3(
2
+=−−−
C =
)523(
5
1
)5(
523
.
2
2
2
2
1
2
2

2
1
+=
−
+
=
+
xx
xx
;
D = (x
1
+x
2
)( x
1
2
- x
1
x
2
+ x
2
2
) =
)15333()]5(523)[3( +−=−−+−
Sáng Kiến Kinh Nghiệm Trang 8
Trường THCS Sông Nhạn Giáo Viên: Đoàn Anh Báu
* Bài tập tương tự:
Cho phương trình x

2
+ 2x - 3 = 0 có 2 nghiệm là x
1
và x
2
.
Không giải phương trình hãy tính giá trò của biểu thức sau:
A =
22
11
xx
+
; B = x
1
2
+ x
2
2
; C =
2
2
2
2
11
xx
+
; D = x
1
3
+ x

2
3
E =
2
3
1
3
21
2
221
2
1
55
6106
xxxx
xxxx
+
++
; F =
2
2
1
2
21
2
221
2
1
44
353

xxxx
xxxx
+
++
Loại toán rèn kỹ năng suy luận
(Phương trình bậc hai chứa tham số)
Bài 1: (Bài toán tổng quát)
Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax
2
+bx+c = 0 (a ≠ 0) có:
1. Có nghiệm (có hai nghiệm) ⇔ ∆ ≥ 0
2. Vô nghiệm ⇔ ∆ < 0
3. Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau) ⇔ ∆ = 0
4. Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau) ⇔ ∆ > 0
5. Hai nghiệm cùng dấu ⇔ ∆≥ 0 và P > 0
6. Hai nghiệm trái dấu ⇔ ∆ > 0 và P < 0 ⇔ a.c < 0
7. Hai nghiệm dương(lớn hơn 0) ⇔ ∆≥ 0; S > 0 và P > 0
8. Hai nghiệm âm(nhỏ hơn 0) ⇔ ∆≥ 0; S < 0 và P > 0
9. Hai nghiệm đối nhau ⇔ ∆≥ 0 và S = 0
10.Hai nghiệm nghòch đảo nhau ⇔ ∆≥ 0 và P = 1
11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trò tuyệt đối lớn hơn
⇔ a.c < 0 và S < 0
12. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trò tuyệt đối lớn hơn
⇔ a.c < 0 và S > 0
(ở đó: S = x
1
+ x
2
=
a

b−
; P = x
1
.x
2
=
a
c
)
* Giáo viên cần cho học sinh tự suy luận tìm ra điều kiện tổng quát, giúp học
sinh chủ động khi giải loại toán này
Bài 2: Giải phương trình (giải và biện luận): x
2
- 2x+k = 0 ( tham số k)
Giải
∆
’
= (-1)
2
- 1.k = 1 – k
Nếu ∆
’
< 0 ⇔ 1- k < 0 ⇔ k > 1 ⇒ phương trình vô nghiệm
Nếu ∆
’
= 0 ⇔ 1- k = 0 ⇔ k = 1 ⇒ phương trình có nghiệm kép x
1
= x
2
=1

Nếu ∆
’
> 0 ⇔ 1- k > 0 ⇔ k < 1 ⇒ phương trình có hai nghiệm phân biệt
x
1
= 1-
k−1
; x
2
= 1+
k−1
Kết luận:
Nếu k > 1 thì phương trình vô nghiệm
Sáng Kiến Kinh Nghiệm Trang 9
Trường THCS Sông Nhạn Giáo Viên: Đoàn Anh Báu
Nếu k = 1 thì phương trình có nghiệm x=1
Nếu k < 1 thì phương trình có nghiệm x
1
= 1-
k−1
; x
2
= 1+
k−1

Bài 3: Cho phương trình (m-1)x
2
+ 2x - 3 = 0 (1) (tham số m)
a) Tìm m để (1) có nghiệm
b) Tìm m để (1) có nghiệm duy nhất? tìm nghiệm duy nhất đó?

c) Tìm m để (1) có 1 nghiệm bằng 2? khi đó hãy tìm nghiệm còn lại(nếu có)?
Giải
a) + Nếu m-1 = 0 ⇔ m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0 ⇔ x =
2
3
(là nghiệm)
+ Nếu m
≠
1. Khi đó (1) là phương trình bậc hai có: ∆
’
=1
2
- (-3)(m-1) = 3m-2
(1) có nghiệm ⇔ ∆
’
= 3m-2 ≥ 0 ⇔ m ≥
3
2
+ Kết hợp hai trường hợp trên ta có: Với m ≥
3
2
thì phương trình có nghiệm
b) + Nếu m-1 = 0 ⇔ m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0 ⇔ x =
2
3
(là nghiệm)
+ Nếu m
≠
1. Khi đó (1) là phương trình bậc hai có: ∆
’

= 1- (-3)(m-1) = 3m-2
(1) có nghiệm duy nhất ⇔ ∆
’
= 3m-2 = 0 ⇔ m =
3
2
(thoả mãn m # 1)
Khi đó x =
3
1
3
2
1
1
1
=
−
−=
−
−
m
+Vậy với m = 1 thì phương trình có nghiệm duy nhất x =
2
3
với m =
3
2
thì phương trình có nghiệm duy nhất x = 3
c) Do phương trình có nghiệm x
1

= 2 nên ta có:
(m-1)2
2
+ 2.2 - 3 = 0 ⇔ 4m – 3 = 0 ⇔ m =
4
3
Khi đó (1) là phương trình bậc hai (do m -1 =
4
3
-1=
4
1
−
# 0)
Theo đinh lí Viet ta có: x
1
.x
2
=
612
4
1
3
1
3
2
=⇒=
−
−
=

−
−
x
m
Vậy m =
4
3
và nghiệm còn lại là x
2
= 6
* Giáo viên cần khắc sâu trường hợp hệ số a có chứa tham số (khi đó bài toán trở
nên phức tạp và học sinh thường hay sai sót)
Bài 4: Cho phương trình: x
2
-2(m-1)x – 3 – m = 0 ( ẩn số x)
a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x
1
, x
2
với mọi m
Sáng Kiến Kinh Nghiệm Trang 10
Trường THCS Sông Nhạn Giáo Viên: Đoàn Anh Báu
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm
d) Tìm m sao cho nghiệm số x
1
, x
2
của phương trình thoả mãn x
1

2
+x
2
2

≥
10.
e) Tìm hệ thức liên hệ giữa x
1
và x
2
không phụ thuộc vào m
f) Hãy biểu thò x
1
qua x
2
Giải
a) Ta có: ∆
’
= (m-1)
2
– (– 3 – m ) =
4
15
2
1
2
+







−m
Do
0
2
1
2
≥






−m
với mọi m;
0
4
15
>
⇒ ∆ > 0 với mọi m
⇒ Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Hay phương trình luôn có hai nghiệm (đpcm)
b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇔ a.c < 0 ⇔ – 3 – m < 0 ⇔ m > -3
Vậy m > -3
c) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm
Khi đó theo đònh lí Viet ta có: S = x

1
+ x
2
= 2(m-1) và P = x
1.
x
2
= - (m+3)
Khi đó phương trình có hai nghiệm âm ⇔ S < 0 và P > 0

3
3
1
0)3(
0)1(2
−<⇔



−<
<
⇔



>+−
<−
⇔ m
m
m

m
m
Vậy m < -3
d) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm
Theo đònh lí Viet ta có: S = x
1
+ x
2
= 2(m-1) và P = x
1.
x
2
= - (m+3)
Khi đó A = x
1
2
+x
2
2
= (x
1
+ x
2
)
2
- 2x
1
x
2
= 4(m-1)

2
+2(m+3) = 4m
2
– 6m + 10
Theo bài A ≥ 10 ⇔ 4m
2
– 6m ≥ 0 ⇔ 2m(2m-3) ≥ 0





≤
≥
⇔














≤

≤





≥
≥
⇔










≤−
≤



≥−
≥
⇔
0
2
3

2
3
0
2
3
0
032
0
032
0
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
Vậy m ≥
2
3
hoặc m ≤ 0
e) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm
Theo đònh lí Viet ta có:



−−=

−=+
⇔



+−=
−=+
62.2
22
.
)3(.
)1(2
21
21
21
21
mxx
mxx
mxx
mxx
Sáng Kiến Kinh Nghiệm Trang 11
Trường THCS Sông Nhạn Giáo Viên: Đoàn Anh Báu
⇒ x
1
+ x
2
+2x
1
x
2

= - 8
Vậy x
1
+x
2
+2x
1
x
2
+ 8 = 0 là hệ thức liên hệ giữa x
1
và x
2
không phụ thuộc m
f) Từ ý e) ta có: x
1
+ x
2
+2x
1
x
2
= - 8 ⇔ x
1
(1+2x
2
) = - ( 8 +x
2
) ⇔
2

2
1
21
8
x
x
x
+
+
−=
Vậy
2
2
1
21
8
x
x
x
+
+
−=
(
2
1
2
−≠x
)
Bài 5: Cho phương trình: x
2

+ 2x + m-1= 0 ( m là tham số)
a) Phương trình có hai nghiệm là nghòch đảo của nhau
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn 3x
1
+2x
2
= 1
c) Lập phương trình ẩn y thoả mãn
2
11
1
x
xy +=
;
1
22
1
x
xy +=
với x
1
; x
2
là nghiệm
của phương trình ở trên
Giải

a) Ta có ∆
’
= 1
2
– (m-1) = 2 – m
Phương trình có hai nghiệm là nghòch đảo của nhau

2
2
2
11
02
1
0
'
=⇔



=
≤
⇔



=−
≥−
⇔




=
≥∆
⇔ m
m
m
m
m
P
Vậy m = 2
b) Ta có ∆
’
= 1
2
– (m-1) = 2 – m
Phương trình có nghiệm ⇔ ∆ ≥ 0 ⇔ 2 – m ≥ 0 ⇔ m ≤ 2 (*)
Khi đó theo đònh lí Viet ta có: x
1
+ x
2
= -2 (1); x
1
x
2
= m – 1 (2)
Theo bài: 3x
1
+2x
2
= 1 (3)

Từ (1) và (3) ta có:



−=
=
⇔



−=+
=
⇔



=+
−=+
⇔



=+
−=+
7
5
2
5
123
422

123
2
2
1
21
1
21
21
21
21
x
x
xx
x
xx
xx
xx
xx
Thế vào (2) ta có: 5(-7) = m -1 ⇔ m = - 34 (thoả mãn (*))
Vậy m = -34 là giá trò cần tìm
d) Với m ≤ 2 thì phương trình đã cho có hai nghiệm
Theo đònh lí Viet ta có: x
1
+ x
2
= -2 (1) ; x
1
x
2
= m – 1 (2)

Khi đó:
m
m
mxx
xx
xx
xx
xxyy
−
=
−
−
+−=
+
++=+++=+
1
2
1
2
2
11
21
21
21
21
2121
(m ≠ 1)

1
2

1
1
12
1
)
1
)(
1
(
2
21
21
1
2
2
121
−
=+
−
+−=++=++=
m
m
m
m
xx
xx
x
x
x
xyy

(m ≠ 1)
⇒ y
1
; y
2
là nghiệm của phương trình: y
2
-
m
m
−1
2
.y +
1
2
−m
m
= 0 (m ≠ 1)
Phương trình ẩn y cần lập là: (m-1)y
2
+ 2my + m
2
= 0
Sáng Kiến Kinh Nghiệm Trang 12
Trường THCS Sông Nhạn Giáo Viên: Đoàn Anh Báu
*Yêu cầu:
+ HS nắm vững phương pháp
+ HS cẩn thận trong tính toán và biến đổi
+ Gv: cần chú ý sửa chữa những thiếu sót của học sinh, cách trình bày bài và
khai thác nhiều cách giải khác

* Bài tập tương tự:
1) Cho phương trình: (m – 1)x
2
+ 2(m – 1)x – m = 0 ( ẩn x)
a) Đònh m để phương trình có nghiệm kép.
Tính nghiệm kép này
b) Đònh m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm.
2) Cho phương trình : x
2
– 4x + m + 1 = 0
a) Đònh m để phương trình có nghiệm.
b) Tìm m sao cho phương trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn: x
1
2
+ x
2
2
= 10
3) Cho phương trình: x
2
– (2m – 3)x + m
2
– 3m = 0
a) Chứng minh rằng, phương trình luôn luôn có hai nghiệm
khi m thay đổi
b) Đònh m để phương trình có 2 nghiệm x

1
, x
2
thoả mãn: 1 < x
1
< x
2
<6
4) Cho phương trình bậc hai có ẩn x: x
2
– 2mx + 2m – 1 = 0
a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x
1
, x
2
với mọi m.
b) Đặt A = 2(x
1
2
+ x
2
2
) – 5x
1
x
2
a) Chứng minh A = 8m
2
– 18m + 9
b) Tìm m sao cho A = 27

c) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng 2 lần
nghiệm kia
5) Cho phương trình ; x
2

-2(m + 4)x + m
2
– 8 = 0. Xác đònh m để phương trình có 2
nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn:
a) A = x
1
+ x
2
– 3x
1
x
2
đạt giá trò lớn nhất.
b) B = x
1
2
+ x
2
2
– x
1

x
2
đạt giá trò nhỏ nhất.
c) Tìm hệ thức giữa x
1
, x
2
không phụ thuộc vào m
6) Cho phương trình : x
2
– 4x – (m
2
+ 3m) = 0
a) Chứng minh rằng phương trình luông có 2 nghiệm x
1
, x
2
với mọi m
b) Xác đònh m để: x
1
2
+ x
2
2
= 4(x
1
+ x
2
)
c) Lập phương trình bậc hai ẩn y có 2 nghiệm y

1
và y
2
thoả mãn:
Sáng Kiến Kinh Nghiệm Trang 13
Trường THCS Sông Nhạn Giáo Viên: Đoàn Anh Báu
y
1
+ y
2
= x
1
+ x
2
và
3
11
1
2
2
1
=
−
+
− y
y
y
y
7) Cho phương trình : x
2

+ ax + 1 = 0. Xác đònh a để phương trình có 2 nghiệm x
1
,
x
2
thoả mãn :
2
1
2
2
2
1








+








x

x
x
x
> 7
8) Cho phương trình : (m – 1)x
2
– 2(m + 1)x + m = 0 (1)
a) Giải và biện luận phương trình (1) theo m
b) Khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
:
* Tìm một hệ thức giữa x
1
, x
2
độc lập đối với m
* Tìm m sao cho
2
21
≥− xx
D. KẾT LUẬN
1. Hạn chế :
-Không có nhiều thời gian cho việc rèn luyện bài tập
2. Bài học kinh nghiệm:
- Cần dạy học sinh học toán một cách chủ động, sáng tạo
- Cần tăng cường việc rèn luyện khả năng tự học, tự đọc của học sinh
- Gần gũi, trao đổi với học sinh, tìm hiểu những vướng mắc của các em để
giúp các em học tập tốt hơn, để người thầy tìm ra phương pháp giảng dạy tối ưu

hơn sao cho các em dễ tiếp thu hơn
- Mỗi giáo viên cần phải tự tìm tòi và khám phá để nâng cao trình độ, để
tích luỹ cho mình vốn kiến thức sâu rộng. Có như thế thì mới đáp ứng được nhu
cầu phát triển của dạy và học.
Trên đây là một vài kinh nghiệm của tôi trong quá trình giảng dạy về
phương trình bậc hai một ẩn số. Vì giới hạn của bài viết nên không nêu được
nhiều ví dụ. Rất mong được sự góp ý của quý đồng nghiệp.
Sông Nhạn, ngày 25 tháng 09 năm 2008
BGH Trường Tổ chuyên môn Người viết
Đoàn Anh Báu
Sáng Kiến Kinh Nghiệm Trang 14