Sáng kiến kinh nghiệm - Kinh nghiệm luyện thi học sinh giỏi phần điện trường của các vật nhiễm điện THCS NGĨA CHÂU

Kinh nghiệm luyện thi học sinh giỏi – phần điện trường của các vật nhiễm điện
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Thưa các đồng chí và các em, từ lâu việc tìm kiếm, phát hiện, và bồi dưỡng học
sinh giỏi môn vật lý đã trở thành quan trọng với tất cả chúng ta. “Hiền tài là nguyên khí
quốc gia” vậy ta phải làm thế nào để tìm ra được những tài năng nhỏ bé khi các em đang
ngồi trên ghế nhà trường. Hàng năm công việc tổ chức các cuộc thi học sinh giỏi các cấp
cũng lại là việc quan trọng không thể thiếu trong hoạt động của các cơ quan giáo dục từ
cấp trường, Sở, cho tới cấp Bộ Theo sự phát triển của khoa học công nghệ nước nhà, đặc
biệt là ngành khoa học vật lý, nước ta cần rất nhiều những nhà vật lý có đủ trình độ năng
lực có thể góp sức vào công cuộc chuyển biến của đất nước.
Việc đổi mới chương trình đào tạo cũng làm thay đổi yêu cầu của việc tuyển chọn
học sinh giỏi, nên một yêu cầu cấp thiết là quá trình phát hiện, và bồi dưỡng học sinh giỏi
cũng cần phải thay đổi cho phù hợp. Nhiều đồng nghiệp cho rằng cứ cho các em học tốt
chương trình nâng cao là có thể đáp ứng được yêu cầu của đề thi học sinh giỏi, nhưng quả
thực không phải như vậy. Đề thi học sinh giỏi yêu cầu thí sinh phải nắm chắc kiến thức
căn bản, và phải triển khai tốt những kiến thức ấy trong những bài toán cụ thể, nên thí sinh
cần phải có đủ kĩ năng cũng như khả năng ứng biến, phát hiện hiện tượng vật lý trong
bài… như vậy các em cần có thời gian được ôn luyện kĩ lưỡng và cần phải được chuẩn bị
tốt cả về mặt kiến thức lẫn kĩ năng.
Phần bài tập điện trường của các vật nhiễm điện là phần bài tập khó thường chiếm
một phần điểm trong các đề thi học sinh giỏi, cũng là phần có số dạng bài và phương pháp
giải phong phú. Mặt khác các bài tập về điện trường của các vật nhiễm điện luôn gây nhiều
hứng thú, và đôi khi là những vấn đề khó giải quyết của các em.
Sáng kiến kinh nghiệm tập trung cung cấp kiến thức trọng tâm và đưa một số bài
tập cụ thể có thể giúp đồng nghiệp và các em trong mức độ nào đó với hy vọng việc ôn thi
học sinh giỏi không còn là quá khó với các đồng nghiệp nữa. Sáng kiến lấy tên “Kinh
nghiệm luyện thi học sinh giỏi – phần điện trường của các vật nhiễm điện”.
2. Mục đích nghiên cứu
Xây dựng phương pháp ôn thi học sinh giỏi. Cung cấp kiến thức và phương pháp
giải các bài tập liên quan tới phần điện trường của các vật nhiễm điện có phân bố điện đều.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Với mục đích trên sáng kiến tập trung nhiệm vụ cung cấp một số kiến thức nâng cao
không được nhắc tới trong chương trình học, tìm ra giải pháp luyện thi học sinhh giỏi ở
một phần kiến thức khó có trong các đề thi.
4. Khách thể và đối tượng nghiên cứu
a) Khách thể nghiên cứu
- Quá trình học của học sinh giỏi vật lý
- Quá trình dạy ở các đội tuyển vật lý
b) Đối tượng nghiên cứu
Ngô Quý Cẩn - SKKN
2
Kinh nghiệm luyện thi học sinh giỏi – phần điện trường của các vật nhiễm điện
- Kiến thức phần điện học lớp 11 cơ bản và nâng cao
- Phương pháp giải các bài toán về các vật tích điện, phân bố điện đều
5. Giả thuyết khoa học
- Việc ôn thi học sinh giỏi vật lý là cần thiết, phần bài tập về điện trường của các vật
nhiễm điện biết sự phân bố điện tích hay và khó.
6. Cấu trúc sáng kiến
Cấu trúc sáng kiến gồm 2 mục và 4 chương tập trung chủ yếu vào chương trình vật
lý lớp 11 theo chương trình đào tạo trung học phổ thông:
- Mở đầu
- Chương I: Lý thuyết chung
- Chương II: Kiến thức về các vật nhiễm điện
- Chương III: Dạng bài và phương pháp giải
- Chương IV: Bài tập
- Kết luận, kiến nghị
Ngô Quý Cẩn - SKKN
3
Kinh nghiệm luyện thi học sinh giỏi – phần điện trường của các vật nhiễm điện
CHƯƠNG I- LÝ THUYẾT CHUNG

1.1. Vai trò của làm bài tập trong quá trình học của học sinh
“Trăm hay không bằng tay quen”, người lao động xưa đã từng quan niệm rằng lí
thuyết hay không bằng thức hành giỏi, điều đó cho thấy người xưa đã đề cao vai trò của
thức hành. Ngày nay với đà phát triển của xã hội, quan niệm lí thuyết và thức hành được
hiểu khác hơn. Học và hành lúc nào cũng đi đôi, không thể tách rời nhau. Điều đó cũng đã
được chủ tịch Hồ Chí Minh khẳng định: “Học với hành phải đi đôi, học mà không hành thì
vô ích, hành mà không học thì hành không trôi chảy.”
Học là tiếp thu kiến thức đã được tích lũy trong sách vở, là nắm vững lí luận đã được
đúc kết trong các bộ môn khoa học, đồng thời tiếp nhận những kinh nghiệm của người đi
trước. Còn hành nghĩa là ứng dụng kiến thức, lí thuyết để giải bài tập hoặc giải quyết một
vấn đề thực tiễn đời sống. Cho nên học lý thuyết và làm bài tập có mối quan hệ rất chặt
chẽ với nhau. Chúng là hai mặt của một quá trình thống nhất, chúng không thể tách rời.
Ta cần hiểu rõ “làm bài tập” là mục đích học tập. Một khi đã nắm vững kiến thức, đã
tiếp thu lí thuyết mà ta không vận dụng vào bài tập và thực tiễn, thì học chẳng để làm gì
cả. Việc đưa thêm bài tập cho các em sau mỗi một lĩnh vực lý thuyết là cần thiết. Rất nhiều
bài kiểm tra tập trung vào việc đánh giá kĩ năng làm bài của học sinh, nên phần bài tập
luôn được cho với số điểm rất cao, chiếm tới hơn 70% điểm của đề thi.
“Làm bài tập” là phương pháp học tập. Khi làm bài tập các em luôn phải nêu được
các định lý, định luật, các thuyết phù hợp để vận dụng, do vậy mỗi khi làm bài tập là một
lần học sinh được rà soát kiến thức liên quan.
“Làm bài tập” là hình thức đánh giá kết quả của quá trình học. Học mà không làm
được bài tập là do học không thấu đáo hoặc thiếu môi trường hoạt động. Nếu chữa bài tập
mà không có lý thuyết gắn liền, soi sáng và kinh nghiệm đã được đúc kết dẫn dắt thì việc
giải các bài tập sẽ lúng túng khi gặp khó khăn trở ngại, thậm chí có khi sai lầm nữa. Vì vậy
trước khi bắt tay làm bài, hoặc giải bất kì bài tập nào việc cần thiết trước hết là phải nêu ra
được những kiến thức cần thiết để giải.
1.2. Các bước giải quyết một bài tập vật lý
1.2.1. Xác định dạng bài và lý thuyết tương ứng để giải
Việc đọc kỹ đề bài, xác định được dạng bài luôn là điều quan trọng trước khi các
đồng nghiệp và các em giải bài tập. Nhiều đồng nghiệp, học sinh khi giải những bài toán

nâng cao các em thường mắc một số lỗi sau: lời giải cồng kềnh, khó hiểu mặc dù vẫn đúng
kết quả; biết hướng giải nhưng lại không biết bắt đầu từ đâu để giải; giải sai yêu cầu của đề
bài Để khắc phục những khuyết điểm ấy cách tốt nhất các đồng nghiệp và các em nên
xác định đúng dạng và đúng lý thuyết được vận dụng để giải bài. Trong chương sau tác giả
sẽ cung cấp các dạng toán cùng lý thuyết kèm theo sau đó mới đưa bài tập để đồng nghiệp
và các em tham khảo.
1.2.2. Nêu các đại lượng vật lý, và áp dụng đúng lĩnh vực lý thuyết
Sau khi xác định được dạng bài tập và lý thuyết tương ứng, chúng ta phải bắt đầu bài
tập từ những đại lượng vật lý được nêu ra. Các đại lượng vật lý được nêu ra sẽ là đối tượng
để ta sử dụng các định luật, định nghĩa “tương tác” vào, từ đó hình thành lên phép toán
Ngô Quý Cẩn - SKKN
4
Kinh nghiệm luyện thi học sinh giỏi – phần điện trường của các vật nhiễm điện
của bài tập. Ví dụ: khi nêu các đại lượng điện trở R, r, dòng điện I và suất điện động ξ thì
định luật tương ứng là định luật Ôm cho toàn mạch:
ξ
I=
R+r
1.2.3. Sử dụng các phép biến đổi toán để tìm ra được kết quả cuối cùng
Và bước cuối cùng là biến đổi toán học sau khi đã xây dựng được hết các phương
trình toán cần thiết để tìm tới kết quả cuối cùng của bài toán.
Ứng với lý thuyết chung được nêu trên, các chương II và III sẽ đi vào giải quyết các
vấn đề liên quan đến bài tập và lý thuyết về điện trường của các vật nhiễm điện. Bổ sung
kiến thức, dạng bài và phương pháp giải, bài toán mẫu, bài tập tự giải. Rất mong các đồng
chí theo dõi và tìm ra được những điều bổ ích từ sáng kiến kinh nghiệm này.
Ngô Quý Cẩn - SKKN
5
Kinh nghiệm luyện thi học sinh giỏi – phần điện trường của các vật nhiễm điện
CHƯƠNG II – KIẾN THỨC VỀ CÁC VẬT NHIỄM ĐIỆN
2.1. Định luật Cu-lông

Lực hút hoặc đẩy tĩnh điện giữa hai hạt tích điện (hai điện tích điểm) q
1
và q
2
cách
nhau khoảng r trong chân không có độ lớn:
1 2
2
q q
F=k
r
, với k=9.10
9
Nm
2
/C
2
gọi là hằng số tĩnh điện (2.1)
Một dạng khác là
1 2
2
0
q q
1
F=
4.πε r
×
với ε
0
=8,85.10

-12
C
2
/Nm
2
gọi là hằng số điện
Trong trường hợp các điện tích đặt trong điện môi có hằng số điện môi ε thì lực tương
tác điện giảm đi ε lần:
1 2 1 2
2 2
0
q q q q
k 1
F= =
ε r 4π.ε ε r
× ×
(2.2)
2.2. Thuyết Electrôn (thuyết điện tử)
Giá trị điện tích được chọn làm điện tích nguyên tố là e=1,6.10
-19
C, các vật mang điện
sẽ mang số nguyên lần e tức là sẽ nhiễm điện với các giá trị n.e (n∈Z). Người ta còn nói là
điện tích bị lượng tử hóa. Prôtôn có điện tích bằng e. Electrôn có điện tích –e= -1,6.10
-19
C.
Nơtrôn không tích điện. Trong thực tế tồn tại hạt có điện tích nhỏ hơn điện tích của e là
quark, quark có điện tích
2
± ; ±
3 3

e e
nhưng quark không có khả năng tồn tại độc lập, mà chỉ
có thể tồn tại trong liên kết với nhau tạo nên prôtôn và nơtrôn. Thuyết điện tử dựa vào sự
tồn tại và di chuyển của electrôn để giải thích các hiện tượng điện, các tính chất điện:
- Electrôn(e) có thể rời khỏi các nguyên tử, phân tử để di chuyển. Các nguyên tử
trung hòa bị mất e trở thành hạt mang điện dương gọi là các ion dương.
- Các nguyên tử trung hòa cũng có thể nhận thêm e để trở thành hạt mang điện âm gọi
là các ion âm.
- Các vật trung hòa về điện là những vật có số prôtôn(p) bằng với số e. Vật có số e
lớn hơn số p thì nhiễm điện âm, và ngược lại nếu vật có số e nhỏ hơn số p thì nhiễm điện
dương.
2.3. Định luật bảo toàn điện tích
Trong hệ cô lập về điện thì điện tích được bảo toàn.
Các vật trong hệ cô lập về điện có thể trao đổi điện tích với nhau nhưng tổng đại số
của các điện tích luôn bằng hằng số.
2.4. Điện trường
Môi trường tồn tại xung quanh vật nhiễm điện, gắn liền với vật nhiễm điện, tương tác
lực điện lên các vật tích điện đặt trong nó gọi là điện trường.
Cường độ điện trường là đại lượng vec-tơ đặc trưng cho điện trường về phương diện
tác dụng lực. Kí hiệu
E
ur
, có đơn vị là V/m.
Trước khi tính toán các điện trường của các vật tích điện ta xét một số dạng phân bố
điện sau.
Ngô Quý Cẩn - SKKN
6
Kinh nghiệm luyện thi học sinh giỏi – phần điện trường của các vật nhiễm điện
2.5. Phân bố điện dài
Trong thực tế không phải vật nhiễm điện nào cũng có dạng hình cầu để chúng ta có

thể coi là điện tích điểm. Tồn tại những vật nhiễm điện có dạng đoạn thẳng, đường thẳng,
đường tròn hoặc bất kì hình dạng nào. Ta xét những vật nhiễm điện có dạng đường
thẳng, đoạn thẳng, điện tích phân bố đều theo phương hoặc theo đường. Gọi điện tích
của vật nhiễm điện là Q, chiều dài của vật nhiễm điện là l. Ta định nghĩa
Q
λ=
l
gọi là mật
độ điện dài và có đơn vị là C/m.
Như vậy điện tích của phần tử có chiều dài Δl
i
đủ nhỏ để được coi là một điện tích
điểm, được tính bằng Δq
i
=λΔl
i
. Và lực điện do vật tác dụng lên một điện tích điểm q đặt ở
M gần nó là tổng véc-tơ của các véc-tơ lực do mỗi điện tích điểm Δq
i
tác dụng lên điện
tích q. Ta có:
i
i
i
2 2
Δq .q
Δ
ΔF =k =k λq
r r
l

× ×
n
i
i=1
F= F⇒ ∆
∑
ur
r
(2.3)
Mỗi điện tích điểm Δq
i
gây lên ở điểm M bất kì gần vật một điện trường có cường độ
bằng:
i
i
i
2 2
Δq
Δ
ΔE =k =k λ
r r
l
×
(2.4)
Theo nguyên lý chồng chất điện trường, điện trường tổng hợp ở M là tổng véc-tơ của
những điện trường thành phần:
n
i
M
i=1

E =ΔE
∑
ur
r
(2.5)
Ta có:
M
F
E =
q
ur
ur
(2.6)
Chúng ta phải lưu ý với nhau một điều, các véc-tơ thành phần thường là không cùng
phương, do vậy khi chưa xác định được phương chiều của véc-tơ tổng, hoặc các phép toán
không thuận lợi thì chúng ta không thể sử dụng phép tích phân để tính các tổng (2.3) và
(2.5) nêu trên.
2.6. Phân bố điện mặt
Ta xét vật dẫn có dạng là một tấm dẹt tiết diện S, tích điện Q phân bố đều, định nghĩa
Q
α=
S
là mật độ điện mặt, có đơn vị là C/m
2
.
Như vậy, một phần tử của vật có diện tích Δs
i
đủ nhỏ để có thể coi là điện tích điểm
sẽ có điện tích Δq
i

=α.Δs
i
. Nếu gần vật một điện tích q thì lực tác dụng vào điện tích q là
tổng hợp của lực do các điện tích Δq
i
tác dụng lên q. Ta có:
i
i
i
2 2
Δq q
Δs
ΔF =k =k αq
r r
×
×
n
i
i=1
F= F⇒ ∆
∑
ur ur
(2.7)
Ngô Quý Cẩn - SKKN
7
Kinh nghiệm luyện thi học sinh giỏi – phần điện trường của các vật nhiễm điện
Mỗi điện tích điểm Δq
i
gây lên ở điểm M bất kì gần vật một điện trường có cường độ
bằng:

i
i
i
2 2
Δq
Δs
ΔE =k =k α
r r
× × ×
(2.8)
Theo nguyên lý chồng chất điện trường, điện trường tổng hợp ở M là tổng véc-tơ của
những điện trường thành phần:
n
M i
i=1
=EΔE
∑
ur ur
(2.9)
Và:
M
F
E =
q
ur
ur
(2.10)
Đối với vật dẫn tích điện thì điện tích luôn tập trung ở mặt ngoài của vật nên tác giả
chỉ xét tới hai trường hợp phân bố điện dài và phân bố điện mặt, không xét tới phân bố
điện khối. Chương sau là các bài tập cụ thể của các trường hợp vật nhiễm điện.

2.7 Định lý Ôxtrôgratxki-Gauxơ
Một định lý khả đúng khi nghiên cứu về điện trường của các vật nhiễm điện là định lý
Ôxtrôgratxki-Gauxơ (O-G) phát biểu như sau:
Trong môi trường là chân không, điện thông qua mặt kín có giá trị bằng tổng điện
tích có trong mặt chia cho hằng số điện.
i
S i
0
=
1
Φ= E.ΔS.cosα q
ε
∑ ∑
(2.11)
Về mặt toán học công thức (2.9) còn được viết dưới dạng:
i
i
0
S
1
Φ E.ds.cosα E.dS q
ε
= ==
∑
∫ ∫
ur r
Ñ Ñ
(2.11’)
Trong trường hợp môi trường bên trong mặt kín S bị lấp kín bởi điện môi có hằng số
điện môi ε thì công thức định luật được viết dưới dạng.

i
S i
0
=
1
Φ= E.ΔS.cosα q
εε
∑ ∑
hoặc
i
i
0
S
1
Φ E.ds.cosα E.dS q
εε
= =
=
∑
∫ ∫
ur r
Ñ Ñ
(2.12)
Trong các bài toán sau có những bài có thể giải một cách ngắn gọn nhờ định luật O-G
nhưng tác giả trực tiếp sử dụng nguyên lý chồng chất điện trường và các khái niệm phân
bố điện để tính nhằm tập trung vào việc tìm điện trường của các vật tích điện một cách cơ
bản nhất.
Ngô Quý Cẩn - SKKN
8
Kinh nghiệm luyện thi học sinh giỏi – phần điện trường của các vật nhiễm điện

CHƯƠNG III - DẠNG BÀI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
3.1. Điện trường của lưỡng cực điện
3.1.1. Lưỡng cực điện
Hệ gồm hai điện tích cùng độ lớn q nhưng trái dấu cách nhau khoảng d trong không
gian được gọi là một lưỡng cực điện. Đường thẳng nối hai điện tích được gọi là trục của
lưỡng cực điện.
Véc-tơ hướng từ -q đến +q và có độ lớn bằng q.d được gọi là mô men lưỡng cực điện.
Ta tính điện trường ở điểm P trên trục của lưỡng cực điện cách trung điểm M của
lưỡng cực điện một khoảng z.
3.1.2. Bài toán điện trường trên trục của lưỡng cực điện
Theo nguyên lý chồng chất điện trường có:
(+) (-)
E=E +E
ur ur ur
(3.1)
Hai véc-tơ cùng phương và ngược chiều nên:
2 2
2 2
(+) (-)
q q k.q k.q
E k -k -
1 1
r r
(z- d) (z+ d)
2 2
= =
(3.2)
Chia cả tử và mẫu cho z
2
ta có:

2 2
-2 -2 -1 -1
2 2 2 2
kq d d kq d d d d
E [(1- ) -(1+ ) ] [(1- + ) -(1+ + ) ]
z 2z 2z z z 4z z 4z
= =
(3.3)
Vì
d z=
nên
d
1
z
=
nên các số hạng
2
2
d
4z
≈0;
-1
d d
(1- ) 1+
z z
≈
và
-1
d d
(1+ ) 1-

z z
≈
nên
công thức (3.3) được viết lại:
2 2
kq d d kq 2d
E= (1+ -1+ )=
z z z z z
× ⇒
3
2kqd
E=
z
(3.3’)
khi viết
0
1
k=
4πε
thì
3
0
1 qd
E=
2πε z
×
(3.4)
Ta lại có p=q.d nên
3
0

1 p
E=
2πε z
×
(3.5)
Các công thức (3.4), (3.5) chỉ đúng cho các điểm cách xa dọc theo trục của lưỡng
cực. Nhưng quy luật tỉ lệ nghịch với lập phương khoảng cách z từ điểm đó tới trung điểm
của lưỡng cực thì đúng với mọi điểm nằm ở xa lưỡng cực. Hay nói cách khác ta có thể
nhận thấy: cường độ điện trường của một điểm trong không gian do lưỡng cực tạo nên ở 1
điểm nằm xa lưỡng cực thì tỉ lệ nghịch với lập phương khoảng cách của điểm đó tới tâm
của lưỡng cực.
Ngô Quý Cẩn - SKKN
.
M
-
+
.
+q
-q
P
(+)
E
ur
(-)
E
ur
z
z
9
Kinh nghiệm luyện thi học sinh giỏi – phần điện trường của các vật nhiễm điện

Xem xét kĩ hơn ta thấy dù điểm P nằm ở đâu trên trục của lưỡng cực thì
E
ur
bao giờ
cũng theo hướng của mô-men lưỡng cực
p
r
. Ta có thể viết như sau:
3
0
1 p
E=
2πε z
×
r
ur
(3.6)
3.2. Điện trường của một đường tích điện, phân bố điện đều
Ta xét vật có dạng là đường tròn hoặc đường thẳng mảnh tích điện phân bố đều có
mật độ điện dài λ, gây lên điện trường trong không gian.
3.2.1. Bài toán điện trường của một đường thẳng dài vô hạn tích điện
Ta sử dụng mật độ điện dài trong bài toán này, giả sử có một dây d dài vô hạn tích
điện dương, phân bố đều, có mật độ điện dài λ. Nhận thấy điện trường tại một điểm M
trong không gian phụ thuộc vào mật độ điện dài và khoảng cách từ M tới d.
Trên đường thẳng (d) ta xác định các đoạn thẳng Δl
i
có kích thước đủ nhỏ để có thể
coi là một điện tích điểm. Δl
i
có điện tích Δq

i
=λ.Δl
i
gây lên tại M một cường độ điện
trường
i
E∆
ur
. Ứng với mỗi Δl
i
sẽ có một
Δl’
i
có cùng độ dài gây một
i

E’∆
ur

mà hợp
i
E
ur
của hai cường độ điện trường này có
phương nằm trên đường thẳng (c) qua M
và vuông góc với (d). Do đó ta xác định
được phương của
E
ur
là nằm trên đường

thẳng (c) qua M vuông góc với d. Về độ
lớn của E thì bằng với tổng các thành phần
là hình chiếu của
i
ΔE
ur
trên (c).
Gọi khoảng cách từ M đến (d) là r,S
khoảng cách từ Δl
i
đến (c) là x. Ta có
i i
i
2 2 2 2
Δq λ.Δl
ΔE =k =k
(r +x ) (r +x )
(3.7)
Δl
i
=dx. Hình chiếu của
i
ΔE
ur
trên (c) sẽ có độ lớn bằng:
i i
2 2
2 2
dx r
dE=ΔE cosα =kλ

(r +x )
r +x
× × ×
(3.8)
Cường độ điện trường ở M có độ lớn E bằng tổng các vi phân dE. Ta có thể viết như
sau:
+
3
2 2
-
2
=
kλr
E= dE dx
(r +x )
∞
∞
∑
∫
(3.9)
Tích phân trong phương trình (3.9) được tính bằng:
A
3
A
2 2
-A
2
kλr
lim dx
(r +x )

→+∞
∫
(3.10)
Ngô Quý Cẩn - SKKN
10
.
M
Δl
i
Δl’
i
i
ΔE
ur
i
E
ur
d
x
r
.
M
ΔE
Δs
Δs’
O
Kinh nghiệm luyện thi học sinh giỏi – phần điện trường của các vật nhiễm điện
Để tính được tích phân ở trong dấu lấy giới hạn ta chia cả tử và mẫu số cho r
3
được

công thức sau:
A
2
A
-A
3 3
2
kλr
lim dx
x
r (1+ )
r
→+∞
∫
(3.11)
Đặt
x
=tanu
r
, khi x=-A thì
A
u=arctan(- )
r
; khi x=A thì
A
u=arctan
r
. Tích phân trong
giới hạn được tính bằng:
A A

arctan(- ) arctan( )
r r
2 2
2 3
A A
arctan(- ) arctan(- )
r r
=
kλ 1 r kλ kλ A
du cosudu=2 sin[arctan( )]
r cos u r r r
(1+tan u)
× ×
∫ ∫
(3.12)
Cường độ điện trường E được tính bằng:
A
kλ A kλ π 2kλ
E= lim 2 sin[arctan( )]=2 sin =
r r r 2 r
→+∞
hoặc
0
λ
E=
2πε r
(3.13)
Như vậy, điện trường do một dây dẫn thẳng dài gây lên ở điểm M cách dây khoảng r
chỉ phụ thuộc vào mật độ điện dài và khoảng cách từ M đến dây dẫn. Công thức (3.13)
đúng với cả trường hợp dây có chiều dài hữu hạn nhưng điểm được xét có vị trí nằm đủ

gần dây (r đủ nhỏ).
Phương pháp này cũng có thể tính được trong trường hợp dây có chiều dài hữu hạn so
với khoảng cách r. Khi ấy ta cần phải chú ý đến cận lấy tích phân.
3.2.2. Bài toán điện trường của đường tròn mảnh tích điện
Ta xét một dây mảnh tích điện Q, phân bố đều với mật độ điện dài λ, được uốn thành
một vòng tròn bán kính R. Ta tính cường độ điện trường do vòng dây mảnh trên gây ra ở
điểm M nằm trên trục (c) của vòng dây, cách tâm vòng dây khoảng z.
Trên đường tròn ta xác định các đoạn thẳng Δs
i
có kích thước đủ nhỏ để có thể coi là
một điện tích điểm. Δs
i
có điện tích Δq
i
=λ.Δs
i
gây lên tại M
một cường độ điện trường
i
E∆
ur
. Ứng với mỗi Δs
i
sẽ có một
Δs’
i
đối xứng với Δs
i
qua tâm O của vòng dây, gây một

i
E’∆
ur

mà hợp
i
E
ur
của hai cường độ điện trường này có
phương nằm trên trục (c). Do đó ta xác định được phương
của
E
ur
là nằm trên trục của vòng dây. Về độ lớn của E sẽ
bằng với tổng các thành phần là hình chiếu của
i
ΔE
ur
trên (c).
Gọi khoảng cách từ M đến O là z, khoảng cách từ Δs
i
đến (c) là bán kính R của đường tròn. Ta có:
i i
i
2 2 2 2
Δq λ.Δs
ΔE =k =k
(R +z ) (R +z )
×
(3.14)

Khi Δs
i
đủ nhỏ ta đặt Δs
i
=ds. Hình chiếu của
i
ΔE
ur
trên (c)
sẽ có độ lớn bằng:
Ngô Quý Cẩn - SKKN
11
Kinh nghiệm luyện thi học sinh giỏi – phần điện trường của các vật nhiễm điện
i i
2 2
2 2
ds z
dE=ΔE cosα =kλ
(R +z )
R +z
× × ×
(3.15)
Ứng với mỗi điểm M thì z không đổi, R bán kính đường tròn không đổi, do vậy chỉ
còn độ dài cung s là biến số duy nhất thay đổi từ 0 đến 2πR
Từ đó suy ra:
2πR
3 3
2 2 2 2
0
2 2

kzλ kzλ.2πR
E dE ds
(R +z ) (R +z )
× == =
∫ ∫
(3.16)
Trong đó ta lại thấy 2πRλ=Q nên công thức (3.14) còn được viết thành
3
2 2
2
zQ
E=k
(R +z )
hoặc
3
2 2
0
2
Q z
E=
4πε
(R +z )
×
(3.17)
Ta thấy khi Q>0 thì E có phương nằm trên trục (c), và có chiều ra xa tâm O.
Ngược lại Q<0 thì E có phương nằm trên trục (c) và có chiều hướng vào tâm O.
Nhận thấy rằng khi M ở rất xa tâm vòng tròn,
z R?
công thức (3.15) gần đúng bằng:
2

0
1 Q
E=
4πε z
×
(3.18)
Khi đó vòng tròn tích điện coi như một điện tích điểm, và công thức (3.16) không chỉ
áp dụng cho những điểm nằm ở trên trục (c) mà còn áp dụng cho bất kì điểm nào nằm ở xa
vòng dây.
3.2.3. Chiến thuật chung giải bài toán đường tích điện, phân bố điện đều
Ở đây vật của chúng ta không phải là một số hữu hạn điện tích điểm, mà là một
đường tích điện, có điện tích phân bố đều. Không kể là đường cong hay thẳng coi vật là
một hệ gồm vô số điện tích điểm. Chiến thuật chung là lấy yếu tố điện tích dq sinh ra một
cường độ điện trường, có thành phần dE trên phương của điện trường tổng hợp. Từ đó tính
∫
E = dE
, tích phân này tùy theo từng dạng đường mà có dạng khác nhau, và đôi khi cũng
được lấy trong các hệ tọa độ khác nhau. Bài toán sẽ được diễn theo các bước sau:
Bước 1: Nếu đường tích điện là tròn, ta lấy ds là độ dài của cung yếu tố của trường.
Nếu là đường thẳng cho trục x chạy dọc theo nó lấy yếu tố dx làm độ dài yếu tố.
Bước 2: Thiết lập mối liện hệ giữa cung yếu tố hoặc độ dài yếu tố với yếu tố điện tích
dq. Trong trường hợp cung tròn dq=λds, trong trường hợp đường thẳng dq=λdx.
Bước 3: Thiết lập yếu tố cường độ điện trường theo phương của trường tổng hợp dE.
Trong bước này cần phải thật cẩn thận khi xác định dE là hình chiếu của
dE
ur
trên phương
của trường tổng hợp. Nên nhất thiết phải chỉ được phương của trường tổng hợp trước.
Bước 4: Thành lập công thức tính tổng bằng phép tính tích phân:
∑

∫
n
E = dE = dE
.
Lưu ý khi lấy tích phân ta phải lấy cận cho phù hợp.
3.3. Điện trường của một mặt tích điện, phân bố điện đều
Ngô Quý Cẩn - SKKN
12
Kinh nghiệm luyện thi học sinh giỏi – phần điện trường của các vật nhiễm điện
Ta xét một đĩa tròn tích điện, tính điện trường của đĩa gây lên tại một điểm trên trục
của đĩa. Ta sử dụng phân bố điện mặt σ
3.3.1. Bài toán điện trường của đĩa tròn tích điện
Trong bài toán này vật tích điện là một đĩa tròn, có mật độ điện mặt là σ, ta tính điện
trường tại điểm nằm trên trục qua tâm của đĩa và cách đĩa khoảng z.
Vì đĩa tròn, phân bố điện tích đều, bằng cách lý luận tương tự
ta cũng suy ra phương của cường độ điện trường tổng hợp nằm ở
trên trục Oz qua tâm O của đĩa. Lúc này một yếu tố điện tích
không còn là một đoạn thẳng nữa mà là một mảnh đĩa có diện tích
đủ nhỏ để có thể coi là một điện tích điểm. Có:
ds=r.dφ.dr
Suy ra:
dq=σds=σrdφ.dr
Cường độ điện trường do dq gây ra ở M được tính bằng:
i
2 2
dq
ΔE =k
z +r
×
Thành phần của ΔE

i
trên phương của điện trường tổng hợp:
i
2 2
2 2
dq z
dE=ΔE .cosα=k
z +r
z +r
× ×
viết gọn lại ta có
3
2 2
2
zdq
dE=k
(z +r )
×
(3.19)
Cường độ điện trường tổng hợp do đĩa tròn gây ra tại M là:
3 3
2 2 2 2
2 2
zdq zσrdrdφ
E dE k k
(z +r ) (z +r )
= == × ×
∫ ∫∫ ∫∫
(3.20)
Ta thấy biểu thức trong dấu tích phân kép có dạng f(r).dr.dϕ nên (3.20) được viết lại có

dạng sau:
R 2π R 2π
3 3
2 2 2 2
0 0 0 0
2 2
zσrdr r
E k dφ kzσ dr dφ
(z +r ) (z +r )
× = ×= ×
∫ ∫ ∫ ∫
(3.21)
Đặt X=z
2
+r
2
, dX=2r.dr E được tính bằng:
1
-
2 2
2
2
2 2
(z +r )
1 1 1
R
E kzσ [ ] .2π 2kσπz.[ ( - )]
0
2 1
z

z +R
-
2
= × = −
(3.22)
Rút gọn (3.22) ta được:
2 2
z
E=2πkσ(1- )
z +R
hoặc
2 2
0
σ z
E= (1- )
2ε
z +R
×
(3.23)
Ngô Quý Cẩn - SKKN
13
.
dq
O
z
i
ΔE
ur
dE
ur

M
Kinh nghiệm luyện thi học sinh giỏi – phần điện trường của các vật nhiễm điện
Công thức (3.23) ứng với những đĩa có kích thước không quá lớn hơn so với khoảng cách
z. Khi đĩa có kích thước đủ lớn, hoặc ta có một mặt phẳng tích điện phân bố điện đều thì:
E=2πkσ
hoặc
0
σ
E=
2ε
(3.24)
3.3.2. Chiến thuật chung giải bài toán mặt tích điện, phân bố đều
Như đã nêu ở mục 3.2.3 chiến thuật của chúng ta cũng lấy một nguyên tố điện tích
dq. Nhưng trong trường hợp này nguyên tố điện tích là một mảnh của mặt tích điện có
diện tích ds.
Bước 1: Nếu mặt tích điện có dạng tròn thì ds=rdϕdr, nếu mặt tích điện có dạng hình
chữ nhật, hoặc vuông thì ds=dx.dy.
Bước 2: Thiết lập mối liên hệ giữa ds và dq. Lúc ấy dq=σds, là yếu tố điện tích.
Bước 3: Tính cường độ điện trường do dq gây ra ở M và tính thành phần dE trên
phương của điện trường tổng hợp.
Bước 4: Tính tích phân
∑
∫∫
n
=E = dE dE
.
Lưu ý: Đối với trường hợp mặt tích điện có dạng hình vuông hoặc hình chữ nhật việc
tính tích phân gây khó khăn cho các em học sinh. Các em học sinh thực sự thấy hứng thú
vẫn có thể tính tích phân theo định nghĩa của tích phân bội. Nhưng trong bài toán mặt rộng
vô hạn của cả hai trường hợp vật có dạng tròn hay dạng vuông luôn xác định 1 kết quả như

đã nêu.
Ngô Quý Cẩn - SKKN
14
Kinh nghiệm luyện thi học sinh giỏi – phần điện trường của các vật nhiễm điện
CHƯƠNG IV - BÀI TẬP
4.1. Bài tập có lược giải
4.1.1. Bài tập về lưỡng cực điện
Bài toán 1: Trong bài toán về lưỡng cực điện, bây giờ ta giả thiết cả hai điện tích đều
dương, đặt ở A,B cách nhau khoảng d. M là trung điểm của AB, đường thẳng (c)
vuông góc AB ở M. Điểm P nằm trên (c) và cách M khoảng z. Giả thiết
z d?
.
Chứng minh điện trường ở P cho bởi công thức:
2
0
1 2q
E
4πε z
= ×
Lược giải:
Theo nguyên lý chồng chất điện trường:
1 2
E=E +E
ur ur ur

Vì hai cường độ điện trường hợp thành có độ lớn bằng nhau nên:
E=2.E
1
.cosα
1

2
2 2
2
0
2 2
3
2
2
0
2
z 1 q z
E 2E 2
d
4πε
d d
z +
z + z +
4
4 4
1 qz
2
4πε
d
(z + )
4
= × = × × ×
= × ×
Khi z
?
d ta có

4
2 2
d
z + z
4
≈
suy ra điều phải chứng minh.
Bài toán 2: Xác định điện trường cả về hướng và độ lớn của một lưỡng cực điện gây lên
tại một điểm nằm trên trục đi qua trung điểm của lưỡng cực điện theo phương, chiều, độ
lớn của vec-tơ mô-men lưỡng cực
p
r
.
Lược giải:
Theo nguyên lý chồng chất điện trường:
1 2
E=E +E
ur ur ur

Vì hai cường độ điện trường hợp thành có độ lớn bằng nhau nên:
E=2.E
1
.sinα
1
2
2 2
2
0
2 2
3 3

2 2
2 2
0
2 2
0
d 1 q d
E 2E
d
4πε
d d
z +
2 z + z +
4
4 4
1 q d p

4πε
d d
(z + ) 4πε (z + )
4 4
= = × ×
×
×
= × =
×
Phương, chiều: ta có thể thấy
E
ur
luôn song song và ngược chiều với
p

r
. Hay ta có thể
viết lại kết quả như sau:
Ngô Quý Cẩn - SKKN
15
+
+
P
M
A
B
E
ur
1
E
ur
α
+
-
P
M
A
B
E
ur
1
E
ur
α
Kinh nghiệm luyện thi học sinh giỏi – phần điện trường của các vật nhiễm điện

3
2
2
0
2
1 p
E -
4πε
d
(z + )
4
= ×
r
ur
Khi z
?
d ta có
2
2 2
d
z + z
4
≈
nên suy ra
3
0
p
E -
4πε z
=

×
r
ur
Bài toán 3: Trong bài toán về lưỡng cực điện, bây giờ ta giả thiết cả hai điện tích đều
dương, đặt ở A,B cách nhau khoảng d. M là trung điểm của AB, đường thẳng (c)
vuông góc AB ở M. Điểm P nằm trên (c) và cách M khoảng z. Tìm z để cường độ
điện trường ở P có giá trị lớn nhất.
Lược giải: Công thức tính điện trường là:
2
3
2
0 0
2 3
2
2
1 qz q 1
E 2
4πε 2πε
d
d
(z + )
z +
4
4
z
 
 ÷
 
= × × = ×
Trong biểu thức của E ta thấy chỉ có căn thức dưới mấu là thừa số biến thiên nên E

đạt giá trị cực đại khi đạo hàm của biểu thức trong căn bằng 0.

3 2 3 2
2 2 2 2
2
2 2 2 2 2
2 2
2 4 4
'
d d d d
d
z + 2z.3 z + .z -2z z + 2z. z + . 3z - z +
4
4 4 4 4
z z z
 
 
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
 
       
 
 ÷  ÷  ÷  ÷
 
       

 
 
 
 
= =
Vậy E đạt giá trị cực đại khi:
2
2
2
d
3z - z +
4
 
 ÷
 ÷
 
=0 hay z=
d
2 2
Ở bài này tác giả đã sử dụng phương pháp đạo hàm để tìm giá trị cực đại cho các biểu
thức. Yêu cầu tìm giá trị cực đại cũng có thể được sử dụng trong các bài toán đường tích
điện hoặc mặt tích điện.
4.1.2. Bài tập về đường tích điện
Bài toán 1: Một thanh thủy tinh tích điện đều +Q được uốn thành một nửa vòng tròn
bán kính R. Tính điện trường E tại tâm P của nửa vòng tròn.
Lược giải:
Nhận thấy ngay phương của điện trường là đường thẳng qua P chia cung tròn thành
hai phần bằng nhau.
Yếu tố điện tích:
dq=λds=λRdϕ

Vi yếu tố điện trường theo phương của
E
ur
Ngô Quý Cẩn - SKKN
16
.
φ
φ
dE
ur
1
dE
ur
dS
1
dS
2
Kinh nghiệm luyện thi học sinh giỏi – phần điện trường của các vật nhiễm điện
2 2
dq kλR
dE=k .sinφ= sinφ.dφ
R R
Cường độ điện trường được tính bằng:
π
0
π
0
2
|
kλ

E dE sinφ.dφ
R
kλ 2kλ 2kQ
(-cosφ)
R RπR
=
= =
= =
∫ ∫
Như vậy, từ kết quả ta có thể kết luận chiều của
E
ur
hướng ra xa cung tròn vì Q>0.
Bài toán 2: Một thanh mỏng có chiều dài hữu hạn L, tích điện phân bố đều. Điểm P
nằm trên đường vuông góc với thanh và qua trung điểm của nó. Chứng minh cường độ
điện trường tại P được cho bởi công thức:
1
2 2
0
2
1 Q
E=
2πε y
(L +4y )
×
Lược giải:
Chúng ta giải bài toán trong hệ tọa độ cực. Chọn gốc tọa độ ở P, xác định các thông
số ρ, θ, ϕ. Vì P xác định với mỗi điểm được chọn cách đường thẳng một khoảng ρ=y nên
trong biểu thức không có sự có mặt của biến ρ. Tương tự ta cũng thấy không có mặt của
biến ϕ. Ta chỉ còn một biến số duy nhất là θ. Có:

ρ y
z
tanθ tanθ
= =
Vậy
2 2
yλy
dz dθ dq dθ
sinθ sin θ
= − ⇒ = −
Có
ρ y
r
sinθ sinθ
= =
2
y
2
2
2
y
λy
dθ
dq y
sinθ
dE k .cosα -k
y
y
r
sinθ

sinθ
λ
dE -k sinθdθ
y
= = ×
⇒ =
Vậy
0
0
θ
θ
π
π
2
2
|
λ kλ
E 2 -k sinθdθ 2 cosθ
y y
= = − ×
∫

Thay số lưu ý góc θ biến thiên từ giá trị
π
2
tới giá trị θ
0
.
Ngô Quý Cẩn - SKKN
17

.
O P≡
ρ
dz
θ
y
z
θ
α
dE
ur
y
dE
E
ur
Kinh nghiệm luyện thi học sinh giỏi – phần điện trường của các vật nhiễm điện
Có
0
2 2 2
2
L
L
2
cosθ
L 4y +L
y +
4
= =
Vậy
2 2 2 2

0
kλ L 1 Q
E 2
y 2πε y
4y +L L +4y
= × = ×
(đpcm)
Khi sợi dây dài vô hạn ta có L
2
+4y
2
=L
2
, Q=λL, rút gọn L ta lại có được công thức (3.13).
4.1.3. Bài tập về mặt tích điện
Bài toán 1: Cho một đĩa tròn tích điện phân bố đều, có bán kính R. Hãy chứng minh khi
điểm M ở rất xa đĩa tròn thì có thể coi đĩa tròn là một điện tích điểm.
Lược giải: Điện trường do đĩa gây lên ở một điểm trên trục của đĩa được tính bằng:
2 2
0
σ z
E= (1- )
2ε
z +R
×
Khi
z R?
ta có thể coi z
2
+R

2
=z
2
. Nên biểu thức trong ngoặc bằng 0, E=0 bằng với
điện trường của một điện tích điểm gây lên ở một khoảng cách rất xa. Hay nói cách khác
bài toán được qui về trường hợp điện trường của một điện tích điểm.
Bài toán 2: Hai mặt phẳng rộng vô hạn đặt song song với nhau, được tích điện đều trái dấu
với mật độ điện mặt σ và –σ. Xác định điện trường do hai mặt phẳng tạo ra.
Lược giải: Điện trường riêng phần do mỗi mặt gây ra trong không gian có độ lớn không
phụ thuộc vào vị trí của điểm trong không gian và có độ lớn bằng nhau là:
2 1
0
σ
E E
2ε
= =
*) Xét P nằm trong khoảng không ngoài hai bản. Luôn thấy
1P 2P
E -E=
ur ur
nên điện trường ở
vùng ngoài hai bản bằng 0.
*) Xét M nằm trong khoảng không giữa hai bản. Luôn thấy
1P 2P
E E=
ur ur
nên điện trường ở
vùng trong hai bản bằng nhau và bằng:
0
σ

E=
ε
Trên đây là những bài tập có lược trong lĩnh vực kiến thức điện trường của các vật
nhiễm điện, chủ yếu xét tới các vật có phân bố điện đều. Tiếp theo sáng kiến sẽ trình bày
một số đề bài mong các đồng nghiệp và các em xem xét và tự giải.
4.2. Các bài tập bổ sung
Bài 1: Tính độ lớn của lực điện do một lưỡng cực điện có mô-men lưỡng cực p=3,6.10
-29
C.m tác dụng lên một electron nằm trên trục của lưỡng cực và cách nó khoảng 25nm. Giả
thiết rằng khoảng cách đó là lớn so với khoảng cách giữa các điện tích trong lưỡng cực.
Đ/S: 4,15.10
7
(V/m)
Ngô Quý Cẩn - SKKN
18
Kinh nghiệm luyện thi học sinh giỏi – phần điện trường của các vật nhiễm điện
Bài 2: Tứ cực điện là hệ điện tích gồm hai lưỡng cực điện có mô-men lưỡng cực đồng trục
bằng nhau về độ lớn nhưng ngược chiều. Chứng minh giá trị E tại một điểm nằm trên trục
của tứ cực, cách tâm nó khoảng z (với
z d?
) cho bởi công thức:
4
0
3Q
E=
4πε z
, Q=2qd
2
gọi là mô-men tứ cực điện
Đ/S: Làm tương tự như bài lưỡng cực điện

Bài 3: Vẽ đồ thị định lượng của cường độ điện trường dọc theo trục đi qua tâm của một
vòng tròn tích điện có đường kính 6cm và tích điện 10
-8
C được phân bố đều.
Đ/S: Đường cong tăng từ 0 lên CĐ giảm xuống nhận Oz làm tiệm cận
Bài 4: Một vòng tích điện đều có bán kính R, xác định điểm mà ở đó có điện trường cực
đại.
Đ/S: Đạo hàm của E theo z bằng 0 suy ra
R
z=
2
Bài 5: Một electron chỉ dịch chuyển trên trục đi qua tâm của một vòng tích điện +Q, phân
bố điện đều có bán kính R. Chứng minh rằng lực tĩnh điện tác dụng lên electrôn làm nó
dao động qua tâm của vòng tròn với tần số góc:
3
0
eQ
ω=
4πε mR
Đ/S:
3
0
Qe
F - z ma
4πε R
= =
suy ra điều phải chứng minh
Bài 6: Ở khoảng cách nào dọc theo trục qua tâm của một đĩa tích điện phân bố đều, bán
kính R thì cường độ điện trường bằng 1/2 giá trị của điện trường ở sát tâm của đĩa tròn.
Đ/S: z=R

TỔNG KẾT VÀ KIẾN NGHỊ
Ngô Quý Cẩn - SKKN
19
Kinh nghiệm luyện thi học sinh giỏi – phần điện trường của các vật nhiễm điện
1. Tổng kết
Qua quá trình nghiên cứu thực hiện nội dung của đề tài, chúng tôi đã giải quyết
được các vấn đề sau:
1) Tìm hiểu các yêu cầu đổi mới trong phương pháp luyện thi học sinh giỏi.
2) Nêu và phân tích được vai trò của bài tập, và làm bài tập trong dạy và học.
3) Nêu lý thuyết chung liên quan tới các vật nhiễm điện, các loại phân bố điện dài,
phân bố điện mặt.
4) Nêu được bài và dạng bài về điện trường của các vật nhiễm điện.
5) Giải quyết thành công các khâu của quá trình giải một bài toán vật lý.
6) Đưa được các bài tập điển hình có lược giải, và một số bái tập bổ sung nhằm
giúp các đồng nghiệp và các em có điều kiện áp dụng những gì mà sáng kiến đề ra.
7) Sử dụng thành công phép tính tích phân trong việc tìm điện trường tổng hợp.
2. Kiến nghị
Sau khi thực hiện đề tài, tôi thấy một số vấn đề khó của phần tĩnh điện đã được giải
quyết hiệu quả. Vì vậy đề nghị các đồng chí có những biện pháp để lưu giữ sáng kiến làm
nguồn tài nguyên bổ ích cho thầy và trò.
Các vấn đề về điện trường luôn gây hứng thú nhất định cho thầy và trò, xong giải
quyết được những vấn đề đó lại là một bài toán lớn, cần phải có những phương pháp toán
phù hợp, đề nghị các đồng nghiệp luôn chia sẻ và sẵn sàng giúp đỡ đồng nghiệp và các học
trò về các phép toán vi phân và tích phân. Mong rằng chúng ta sẽ có một môi trường trao
đổi công bằng và vô tư.
Cuối cùng là chúc các thầy cô và các em học sinh có được các kết quả tốt với những
bài toán về tĩnh điện.
Hải Phòng, 06-12-2011
Ngô Quý Cẩn
Ngô Quý Cẩn - SKKN

20