Ảnh hưởng của Chirp phi tuyến bậc hai và bậc ba đối với xung dạng Gauss trong thông tin quang

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN








DOÃN THỊ LÝ





ẢNH HƯỞNG CỦA CHIRP PHI TUYẾN BẬC HAI
VÀ BẬC BA ĐỐI VỚI XUNG DẠNG GAUSS TRONG
THÔNG TIN QUANG






LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà nội, năm 2011


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN








DOÃN THỊ LÝ

ẢNH HƯỞNG CỦA CHIRP PHI TUYẾN BẬC HAI
VÀ BẬC BA ĐỐI VỚI XUNG DẠNG GAUSS TRONG
THÔNG TIN QUANG


Chuyên ngành: Quang học
Mã số: 60 44 11


LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC




NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS. TS. TRỊNH ĐÌNH CHIẾN








Hà nội, năm 2011

1
MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 3

CHƢƠNG 1: SỰ TẠO XUNG CỰC NGẮN 4
1.1.Cơ chế phát xung cực ngắn bằng phƣơng pháp đồng bộ mode 4
1.1. Nguyên tắc đồng bộ mode ( khóa mode) 4
1.2. Khóa mode chủ động 7
1.3. Khóa mode bằng phƣơng pháp bơm đồng bộ. 7
1.4. khóa mode thụ động 10
1.4.1. Sự hình thành xung của điều kiện để phát xung cực ngắn 12
1.4.2. Phƣơng pháp khoá mode thụ động bằng chất hấp thụ bão hòa 13
1.5. Xung cực ngắn dạng soliton 18
1.5.1. Đặc điểm của xung cực ngắn dạng soliton 18
1.5.2. Laser Soliton Raman sợi quang 20
CHƢƠNG 2: QUÁ TRÌNH TRUYỀN DẪN TRONG THÔNG TIN QUANG 21
2.1. Phƣơng trình truyền sóng 21
2.1.1. Phƣơng trình truyền sóng cơ bản 21
2.1.2. Các phƣơng trình Maxwell 22
2.1.3. Những mode trong sợi quang: 24
2.2. Sự mở rộng xung trong thông tin quang 27
2.2.1. Sự mở rộng xung do tán sắc vận tốc nhóm (GVD). 27
2.2.2. Sự mở rộng xung do tự điều biến pha(SPM). 28
2.3. Bù trừ tán sắc trong thông tin quang 29
2.3.1. Hiện tƣợng tán sắc trong sợi quang 30
2.3.2. Bù tán sắc bằng cách tử quang sợi Bragg có chu kỳ biến đổi tuyến tính 31
2.4. Hệ thống thông tin soliton 33
2.4.1 Phƣơng trình schrodinger phi tuyến 34
2.4.2. Truyền dẫn thông tin bằng soliton 35
2.4.3. Tƣơng tác soliton 36

2
2.4.5. Mở rộng xung soliton do mất mát. 39
CHƢƠNG 3: ẢNH HƢỞNG CỦA CHIRP PHI TUYẾN BẬC 2, BẬC 3 ĐỐI VỚI

XUNG DẠNG GAUSS TRONG THÔNG TIN QUANG 41
3.1. Xung dạng Gauss truyền qua sợi quang đơn mode. 41
3.1.1. Xung Gauss không có chirp qua sợi quang đơn mode 42
3.1.2. Xung Gauss có chirp qua sợi quang đơn mode 42
3.2. Khảo sát độ rộng xung theo tham số chirp C khi truyền qua sợi có chiều dài L
45
3.3. Khảo sát xung Gauss có chirp phi tuyến bậc 2 đi vào sợi quang 47
3.4. Khảo sát xung Gauss có chirp phi tuyến bậc 3 đi vào sợi quang 53
3.5. Khảo sát xung Gauss truyền qua sợi quang trong không gian ba chiều 60
KẾT LUẬN 69
TÀI LIỆU THAM KHẢO 71

3
MỞ ĐẦU
Ngày nay, với sự phát triển nhanh chóng của laser xung cực ngắn, phƣơng
pháp quang phổ học, lĩnh vực thông tin quang và nhiều ngành khác đã phát triển
vƣợt bậc, các đối tƣợng và phạm vi ứng dụng đƣợc mở rộng hơn. Đặc biệt cùng với
sự phát triển nhanh chóng của khoa học kỹ thuật và yêu cầu của cuộc sống, ngày
càng đòi hỏi thông tin phải đƣợc truyền với tốc độ cao, xung càng ngắn thì thông tin
truyền càng nhanh. Sự phát triển của laser xung cực ngắn đã góp phần rất quan
trọng trong thông tin quang. Vì vậy nghiên cứu về xung cực ngắn là một vấn đề cần
thiết.
Khi xung sáng truyền trong môi trƣờng phi tuyến sẽ bị tác động bởi hiện
tƣợng tán sắc vận tốc nhóm ( GVD) và tự biến điệu pha (SPM) làm mở rộng dải phổ
đồng thời còn làm xung bị méo dạng tín hiệu khi lan truyền. Để hiểu rõ về các quá
trình biến đổi xung sáng trên đƣờng truyền thì việc khảo sát ảnh hƣởng của tán sắc,
các hiệu ứng phi tuyến đặc biệt là ảnh hƣởng của chirp tần số đối với xung là rất
quan trọng.
Vì vậy để thấy đƣợc sự ảnh hƣởng của chirp lên dạng xung nhƣ thế nào, tôi
đã lựa chọn khảo sát vấn đề này với xung dạng Gauss.

Bố cục luận văn gồm 3 chƣơng:
Chƣơng 1: Sự tạo xung cực ngắn
Chƣơng 2: Quá trình truyền dẫn trong thông tin quang
Chƣơng 3: Ảnh hƣởng của chirp phi tuyến bậc hai và bậc ba đối với xung
dạng Gauss trong thông tin quang.
Vì thời gian có hạn nên luận văn của tôi chắc chắn còn nhiều thiếu xót và
hạn chế, rất mong đƣợc sự đóng góp của quý thầy cô cùng toàn thể các bạn!


4
CHƢƠNG 1: SỰ TẠO XUNG CỰC NGẮN
1.1. Cơ chế phát xung cực ngắn bằng phƣơng pháp đồng bộ mode
Hiện nay, về lý thuyết và thực nghiệm, có hai nguyên tắc phổ biến để phát xung
laser cực ngắn đó là: nguyên tắc biến điệu độ phẩm chất Q (Q-Switching) và
nguyên tắc đồng bộ mode. Với nguyên tắc biến điệu độ phẩm chất có các phƣơng
pháp nhƣ: gƣơng quay, biến điệu quang điện, sử dụng chất hấp thụ bão hòa. Với
nguyên tắc khóa mode thƣờng sử dụng các phƣơng pháp chủ yếu là khóa mode chủ
động, bơm đồng bộ hoặc khóa mode thụ động. Trong phƣơng pháp khóa mode chủ
động, thƣờng dùng một biến tử (modulator) đƣợc điều khiển từ bên ngoài để đồng
bộ các xung theo thời gian trong buồng cộng hƣởng, dựa trên biến điệu biên độ
hoặc biến điệu tần số. Phƣơng pháp bơm đồng bộ thực hiện bằng cách bơm một
laser qua một đoàn xung liên tục của một laser khác mà laser này đã đƣợc đồng bộ
mode. Còn trong phƣơng pháp khóa mode thụ động, sự đồng bộ pha đƣợc tạo ra
nhờ chất hấp thụ bão hòa đặt trong buồng cộng hƣởng. Ƣu điểm của phƣơng pháp
khóa mode thụ động so với khóa mode chủ động là không cần sự đồng bộ của các
thiết bị ngoại vi và độ nhạy của sự biến điệu thụ động là nhanh hơn, vì thế cho phép
tạo ra những xung cực ngắn và ổn định hơn nhiều.
1.1. Nguyên tắc đồng bộ mode ( khóa mode)
Các phƣơng pháp khóa mode có thể sử dụng sự biến điệu biên độ, biến điệu tần số,
bơm đồng bộ hay va chạm xung …

Cơ chế đồng bộ mode có thể hiểu nhƣ sau: Để tạo đƣợc xung có công suất lớn, một
trong các phƣơng pháp là giữ cho các mode đƣợc phát có biên độ gần nhƣ nhau và
pha của chúng là đồng bộ. Chế độ hoạt động không dừng này cũng đƣợc gọi là chế
độ đồng bộ mode của laser. Chúng ta có thể hiểu đƣợc tính chất của sự đồng bộ
mode vừa nêu, xét thí dụ đơn giản của laser phát 2N+1 mode trục dọc với biên độ
E
0
. Kí hiệu pha của mode thứ N là 
n
thì điều kiện đồng bộ mode đòi hỏi :

011


 nnnn
(1.1)

5
tức là hiệu số pha giữa hai mode liên tiếp là không đổi theo thời gian và không gian,

0
là hằng số pha nào đó. Điều kiện này nhƣ là điều kiện giao thoa cho nhiều sóng
trong quang học thông thƣờng.
Trƣờng toàn phần trong buồng cộng hƣởng có thể viết nhƣ sau:
 
 



m

m
N
Nm
mtmiEtE
000
exp)(

(1.2)
m là chỉ số chạy, 
0
là tần số mode ở trung tâm khuếch đại,  là khoảng cách hai
mode liên tiếp, phụ thuộc vào độ dài buồng cộng hƣởng. Để đơn giản chúng ta có
thể đặt pha của mode ở trung tâm bằng không.
Biểu thức tổng (1.2) có thể tính đƣợc, kết quả cho:
ti
etAtE
0
)()(


(1.3)
với:
  
 
 
 
2/sin
2/12sin
)(
0

0
0





t
tN
EtA
m
(1.4)
và đƣợc gọi là biên độ trƣờng toàn phần.
Đƣờng biểu diễn cƣờng độ trƣờng
2
)(tAI 
trong trƣờng hợp số mode phát là 7
(2N + 1 = 7) đƣợc trình bày ở hình 1.1.

6


2
)(tAI 

c
L
c
2
'




t


’

Hình 1.1. Hình ảnh xung với số mode phát là 7.
Nhƣ thế, khi có điều kiện đồng bộ pha (1.10), laser đã phát các xung lớn với khoảng
cách giữa các xung này là :
c
L
c
2
2
' 





(1.5)
ở đây
c
L
c




là khoảng cách giữa hai mode trƣớc khi có đồng bộ mode, L
c
là ký
hiệu độ dài buồng cộng hƣởng. Theo công thức (1.14), hai xung vào cách nhau
đúng bằng thời gian ánh sáng đi và quay lại trong buồng cộng hƣởng, lúc này laser
phát xung và xung tạo ra cũng đi lại trong buồng cộng hƣởng.
Khoảng thời gian xung
'


có thể xác định từ biểu thức (1.14) và bằng hai lần
khoảng thời gian tính từ vị trí cực đại xung đến giá trị bằng
2
1
của cực đại xung
này. Bỏ qua tính toán trung gian ta có:
 
cN
L
c
12
4
'



(1.6)

7
Từ (1.15) cho thấy để thời khoảng xung nhỏ cần chọn L

c
nhỏ hoặc cho phát nhiều
mode (N lớn). Với các laser màu (độ mở rộng đồng nhất lớn dẫn đến số mode phát
lớn) dễ dàng thực hiện đƣợc sự đồng bộ mode để phát xung cực lớn. Trong thực tế,
bằng phƣơng pháp đồng bộ mode ta có thể đạt đƣợc
'


xấp sĩ 1ns (10
-9
s) với laser
khí, riêng với laser màu có thể đạt tới hàng ps hay fs. Tính toán cũng cho thấy
cƣờng độ cực đại xung tỉ lệ với đại lƣợng (2N+1)A
2
(t).
Sự biến điệu tuần hòan các thông số laser có thể thực hiện không những bằng các
tín hiệu đưa từ bên ngoài mà còn bằng cơ chế tự động ngay trong buồng cộng
hưởng. Để đạt được mục đích này, cần phải có một phần tử phi tuyến đặt trong
buồng cộng hưởng, chẳng hạn một chất hấp thụ bão hòa. Chính vì tự đồng bộ mode
mà không cần tín hiệu điều khiển từ bên ngoài nên phương pháp này được gọi là
phương pháp đồng bộ mode thụ động hay tự động.
1.2. Khóa mode chủ động
Kĩ thuật khóa mode phổ biến nhất là biến điệu âm quang trong buồng cộng hƣởng.
Nếu một mode có tấn số ánh sáng là ν, và biên độ bị biến điệu với tần số f, ta thu
đƣợc tín hiệu có các tần số ánh sáng kề (sideband) là ν-f và ν+f. Nếu bộ biến điệu
hoạt động ở tần số bằng khoảng cách mode trong buồng cộng hƣởng Δν, các tần số
kề này sẽ tƣơng ứng với hai mode liền kề với mode ban đầu. Nhƣ vậy, mode trung
tâm và các mode kế bị khóa pha với nhau. Hiện tƣợng khóa pha tiếp tục với các
mode kề với các mode có tần số ν-2f và ν+2f, và cứ tiếp tục cho đến khi toàn bộ dải
tần khuếch đại bị khóa.

Một kỹ thuật khóa mode chủ động khác là biến điệu tần số sử dụng hiệu ứng quang-
điện. Bộ biến điệu này đƣợc đặt trong buồng cộng hƣởng và hoạt động theo tín hiệu
bên ngoài.
1.3. Khóa mode bằng phƣơng pháp bơm đồng bộ.
Đồng bộ có thể thực hiện đƣợc những phƣơng pháp biến điện các thông số của
Laser nhƣ biến điện sự mất mát bên trong hay độ dài quãng đƣờng quang học trong
cộng hƣởng. Ngoài ra cũng có thể thực hiện sự đồng bộ mode qua việc biến điện sự

8
khuyếch đại của nó. Điều này đƣợc thể hiện bằng cách bơm một Laser qua mode
đoạn xung liên tục của một Laser khác mà Laser này đã đƣợc đồng bộ mode. Điều
quan trọng là độ dài cộng hƣởng của Laser cần đồng bộ mode phải bằng hoặc gần
bằng độ dài cộng hƣởng của Laser dùng để bán (hoặc bán 1 số nguyên lần sắc). Nhƣ
vậy thì đƣợc những điều kiện xác định, sự khuyếch đại số đƣợc biến điện theo thời
gian với một chu kỳ biến điện bằng thời gian đi vòng quanh cộng hƣởng. Tƣơng tự
nhƣ trong sự biến điện hao phí bên trong cộng hƣởng sẽ tạo nên trong trƣờng hợp
này (đồng bộ một - bán đồng bộ), ở trong vùng thời gian (khoảng thời gian) của sự
khuyếch đại cực đại. Một xung ngắn hơn cả mà độ dài của nó dƣới những điều kiện
tối ƣu sẽ từ 2 đến 3 bậc ngắn hơn độ dài của xung bơm.
Phƣơng pháp bơm đồng bộ thực tế đƣợc quan tâm đặc biệt đối với Laser mầu và
Laser này đƣợc kích thích bằng quang học một cách thuận lợi hơn và nó mode công
tua khuyếch đại rất rộng (độ rộng dài: 10
13
10
14
) .
Trong cộng hƣởng và làm cho tần số của cực đại có thể thay đổi liên tục.
Do đó có thể điều chỉnh tần số của Laser mầu nhƣ vậy trong một vòng xác định nào
đó. Độ rộng phổ của yếu tố lọc lựa tần số không đƣợc quá nhỏ vì nếu không xung sẽ
bị kéo dài. Do những lý do trên mà Laser mầu đạt đƣợc trong những năm gần đây

nhiều ý nghĩa lớn trong việc tạo những xung ps và dƣới ps.
Phƣơng pháp này có lợi hơn so với phƣơng pháp đồng bộ mode bị động là ở chỗ.
Độ rộng phổ toàn phần của dịch chuyển Laser sẽ đƣợc sử dụng để điều chỉnh - trong
khi phƣơng pháp đồng bộ mode bị động thì vùng điều chỉnh bị giới hạn qua dải phổ
hấp thụ của cái hấp thụ bão hoà.
Đồng bộ mode Laser mầu dòng bán đồng bộ đƣợc sử dụng tƣơng đối sớm. Ở đó
một Laser mầu đã đƣợc bơm bằng đoàn xung của một Laser Ruby đã đƣợc đồng bộ
mode hoặc bằng hòa ba bậc hai của Laser thuỷ tinh Nêôđyn. Tuy nhiên xung Laser
mầu đạt đƣợc trong những thực nghiệm này ở độ dẫn chỉ ở Laser Ar
+
hay Kr
+
đƣợc
đồng bộ mode chủ động đã đạt đƣợc Laser mầu với độ xung cực ngắn dƣới 1 ps và
thấy là một phƣơng pháp rất có lợi.

9
* Cơ chế của sự biến điện bộ khuếch đại hay trong việc bơm đồng bộ.
Laser màu đƣợc bơm đồng bộ bằng đoàn xung liên tục của một một Laser đƣợc đồng
bộ mode chủ động. Ví dụ: Laser Ar
+
đƣợc đồng bộ mode tích cực có độ dài xung
khoảng 100ps đến 200ps. Thời gian tích thoát của mức Laser trên T
31
đối với Laser
màu mà ta sử dụng là nằm trong vùng ns. (Thí dụ: đối với Khodamin 6G thì T
31
= 5ns)
và nhƣ vậy là lớn so với độ xung của Laser bơm hay xung của Laser phát nhƣng lại là
nhỏ hơn so với thời gian vòng quanh cộng hƣởng

C
L
u
2
0

. Có nghĩa là:
T
1
,T
p
<< T
31
, T
32
< u
0



100-200ps
100-200ps

Sự phát triển theo thời gian của sự khuyếch đại tịnh và của các cƣờng độ của Laser
bơm và Laser mầu trong một vùng Laser đƣợc bơm đồng bộ.
Dƣới điều kiện này (*) thì sự nghịch đảo độ tích luỹ của môi trƣờng kích hoạt chỉ phụ
thuộc vào năng lƣợng bán đƣợc đƣa thêm ở thời điểm đó.
Nhƣ ở hình trên đã diễn tả, hệ số khuyếch đại tăng dần do kết quả của sự bơm, tăng cho
đến khi vƣợt quá mức ở sự hao phí,điều đó có nghĩa nó sẽ đạt đƣợc ngƣỡng Laser. Từ
thời điểm này Laser bắt đầu phát. Năng lƣợng của xung Laser sau đó tăng nhanh và đạt

đƣợc vùng dao động trong chế độ làm việc mới Laser, có nghĩa là kết thúc quá trình
tăng của khuyếch đại, năng lƣợng bài hoá của môi trƣờng kích hoạt. Sự nghịch đảo độ
tích luỹ của chất mầu sẽ bị giảm do sự phát xạ cƣỡng bức, qua đó sự khuyếc đại lại
giảm nhanh xuống giá trị mức hao phí.
Điều kiện của sự khuyếch đại thuần tịnh dƣơng là chỉ đƣợc thực hiện trong một khoảng
thời gian nhỏ của thời gian xung bơm cho nên tia Laser tạo nên chỉ tập trung ở khoảng
xung rất ngắn.
Việc giảm sự khuyếch đại qua những lớp xung Laser đƣợc tạo ra tự nó là một khởi
điểm quan trọng cho sự đồng bộ mode có kết quả, vì qua đó sự cắt xung ở mặt sau đã
(*)

10
đƣợc thực hiện. Điều quan trọng ở đây là xung Laser trong chế độ liên tục phải chạy
luôn luôn đồng bộ chính xác với xung bơm qua môi trƣờng kích hoạt.
Điều đó cũng có nghĩa là: Một sự điều chỉnh tƣơng đối chính xác của độ dài cộng
hƣởng của hai Laser phải đạt cỡ Micromet.
Tất nhiên cũng nhƣ trong đồng bộ mode chủ động, thì độ dài xung ngắn nhất có thể tạo
đƣợc lại giới hạn bởi độ rộng vạch phổ của tia Laser.
Chú ý: Phƣơng pháp đồng bộ mode bằng bơm đồng bộ cũng có thể áp dụng cho Laser
bán dấn và đƣợc chú ý đặc biệt. Ở đó một mặt có khả năng tạo bơm quang học đồng bộ
(Ví dụ: Nhờ sự giúp đỡ của Laser), một mặt khác có thể bơm đồng bộ không quang
học qua việc biến điện của dòng phun.
1.4. khóa mode thụ động
Đồng bộ mode bị động cho phép tạo đƣợc xung cực ngắn và ổn định mà không cần
sự điều khiển từ bên ngoài.
Trong phƣơng pháp đồng bộ mode bị động ngƣời ta sử dụng một bộ hấp thụ
bão hoà đặt trong buồng cộng hƣởng của Laser để thực hiện nhiệm vụ đồng bộ mode.
Bộ hấp thụ bão hoà phải có một dịch chuyển hấp thụ trên tần số Laser với
một tiết diện hấp thụ lớn nhất và nó đƣợc hoạt động nhờ trƣờng sóng Laser. Bộ hấp
thụ bão hoà cũng có đặt tính rằng: Khi cƣờng độ ánh sáng tăng lên thì khả năng hấp

thụ của nó giảm đi.
Chúng ta khảo sát một bộ hấp thụ nhƣ một hệ hai mức: Thì phƣơng trình
thăng bằng và dƣới điều kiện dừng (T
L >>
T
21
) ta tính đƣợc hiệu độ tích luỹ của hai
mức theo biểu thức sau: N = N
1
- N
2
và:
S
II
B
N
/1


Ở đây
2121
1
T
I
S


là cƣờng độ bão hoà của bộ hấp thụ
N
1

và N
2
là độ tích luỹ ở mức 1 và mức 2
T
L
: Là thời gian xung
T
21
là thời gian tích thoát năng lƣợng

11

21
: Là tiết diện hiệu dụng
Theo biểu thức trên, hiệu độ tích luỹ N sẽ giảm, mà điều đó tƣơng ứng với
việc đặc trƣng cho sự hấp thụ của tia, với sự tăng lên của cƣờng độ. Nếu cƣờng độ
là lớn hơn so với cƣờng độ bão hoà của chất hấp thụ I
S
, thì sẽ không thể có sự hấp
thụ nữa. Bộ hấp thụ là đã bị bão hoà.
Nếu xét trƣờng hợp không đúng, ta sẽ nhận đƣợc đối với trƣờng hợp này
(thời gian tích thoát T
21
lớn hơn độ dài của xung tức là T
L
<< T
21
ta có:











t
L
dttINtN ')'(2exp)(


Ở đây I
L
là mật độ dòng photon
Trong trƣờng hợp này thì sự hấp thụ sẽ giảm khi năng lƣợng của xung tăng
lên.Trong khi mặt trƣớc của xung giảm mạnh vì ở thời gian đó thì năng lƣợng xung
còn nhỏ và sự hấp thụ của bão hoà đạt bão hoà, có thể do sau một thời gian lớn và
sự bão hoà hấp thụ đựoc xác lập nên mặt sau của xung gần nhƣ không bị yếu đi khi
đi qua bộ hấp thụ.
Cơ chế để tạo thành một xung cực ngắn trong đóng bộ mode bị động của
Laser mầu và Laser rắn đã chỉ ra sự khác nhau cơ bản.,
Thời gian sinh thoát của bộ khuyếch đại trong Laser rắn là rất lớn đối với
thời gian đi vòng quanh cộng hƣởng. Xung sắp sẽ đƣợc tạo nên do sự khuyếch đại
của một đỉnh thăng giáng mạnh sử nên tiếng ồn do sự tác dụng của các hấp thụ bão
hoà tích thoát nhanh. Ngƣợc lại với Laser mầu trong một Laser rắn, thời gian tích
thoát của các hấp thụ bão hoà nhỏ hơn thời gian xung hay ít nhất cũng cùng bậc độ
lớn với thời gian xung.
Thời gian tích thoát của môi trƣờng kích hoạt trong Laser mầu nằm ở cỡ độ

lớn của thời gian vòng quanh cộng hƣởng bởi thời gian tích thoát của chất mầu
hấpthụ là lớn đối với thời xung. Xung cực ngắn sẽ đƣợc tạo thành do sự tác dụng tổ
hợp của các bộ hấp thụ bão hoà (mà nó đã xén, cắt mặt trƣớc của xung) và của bộ
khuyếch đại (mà nó đã cắt mặt sau của xung).


12
1.4.1. Sự hình thành xung của điều kiện để phát xung cực ngắn
Có chế của đồng bộ mode bị động dựa trên sự biến điện theo thời gian của sự mất
mát (hao phí) trong buồng cộng hƣởng cũng nhƣ sự đồng bộ mode chủ động.
Nhƣng trong đồng bộ mode bị động thì hệ tự chọn thời điểm cho sự mất mát cực
tiểu và ổn định bằng cách này.
Ta có thể thấy đại lƣợng điểm của quá trình tạo thành xung trong Laser mầu nhƣ
sau:
Tia Laser đƣợc khuyếch đại từ những tạp âm tự động (tiếng ồn, nhiễu tự động), khà
mà tia Laser bơm đã vƣợt quá ngƣỡng phát Laser. Trƣờng tia bao gồm một sự
chống chập thống kê của nhiều đỉnh thăng giáng theo thời gian. Do tiết diện phát xạ
lớn của chất mầu Laser nên tia do phát xạ cƣỡng bức sẽ đƣợc khuyếch đại cho đến
khi mà sự bão hoà của chất hấp thụ bắt đầu đóng thành một vai trò quan trọng. Chất
hấp thụ bão hoà dành ƣu tiên hoá cho những thăng giáng cho những nhóm thăng
giáng mà nó có năng lƣợng cực đại vì đối với những nhóm thăng giáng này, do sự
bão hoà của sự hấp thụ nên sự hao phí (mất mát) là ít nhất.
Bằng cách nhƣ vậy mà tất cả những thăng giáng khác sẽ bị ức chế (unterdruckt) và
cuối cùng tạo thành một xung cực ngắn.
Do sự cùng tác dụng của sự giảm khuyếch đại (điều đó có nghĩa là sự giảm bớt của
mặt sau xung) và của sự bão hoà của bộ hấp thụ (điều đó có nghĩa là sự giảm bớt
hay làm dốc đứng lên của mặt trƣớc xung) sẽ làm xuất hiện một chế độ mà ở đó chỉ
có trung tâm của xung là có khuyếch đại.
Do đó ta phải chọn những điều kiện để cho bộ khuyếch đại không tích thoát đầy đủ
(vollstandig) giữa hai lần đi qua của xung và sự bão hoà của bộ hấp thụ phải trội

hơn (hay có ƣu thế hơn) đối với sự tẩy trắng của bộ khuyếch đại. Sự làm ngắn xung
đƣợc tạo ra nhƣ vậy sau một vùng cộng hƣởng, trái lại bị mở rộng xung sau khi đạt
đƣợc chế độ dừng. Sự mở rộng xung là do những yếu tố giới hạn độ rộng dải có sẵn
gây ra nhƣ: lăng kính, phin lọc, độ rộng dải của cong tua khuyếch đại và công tua
huỳnh quang.

13
Những nghiên cứu lý thuyết đã chỉ ra những điều kiện dƣới đây là thuận tiện để đạt
đƣợc những xung ngắn:
 Sự bão hoà trong chất hấp thụ phải đạt khả năng cao nhất so với sự bão hoà
trong cái khuyếch đại.
 Sự hấp thụ tín hiệu nhỏ của cái hấp thụ phải đạt khả năng cao nhất mà qua đó
một công suất xung hay năng lƣợng xung cao cần thiết để đạt đƣợc sự bão
hoà cao trong cái hấp thụ.
 Những yếu tố tán sắc hay yếu tố giới hạn độ rộng của dải cần phải loại trừ
khỏi buồng cộng hƣởng.
Phƣơng pháp khóa thụ động dùng ánh sáng trong buồng cộng hƣởng để gây ra sự
biến đổi của phần tử biến điệu, từ đó tác động trở lại chùm sáng. Có thể hiểu đây
phƣơng pháp tự biến điệu của ánh sáng trong buồng cộng hƣởng. Phƣơng pháp này
thƣờng sử dụng chất hấp thụ bão hòa
1.4.2. Phƣơng pháp khoá mode thụ động bằng chất hấp thụ bão hòa
Xét một chất hấp thụ bão hòa nhƣ một hệ có hai mức, độ truyền qua phụ thuộc vào
cƣờng độ ánh sáng tới đƣợc biễu diễn trên hình 1.2.

T
0

1/2

1

T

I

abs
s
I
0


Hình 1.2. Độ truyền qua chất hấp thụ bão hòa theo cường độ tới.
Khi cƣờng độ ánh sáng tới nhỏ, độ tích lũy của mức trên là không đáng kể so với độ
tích lũy của mức cơ bản và hệ số truyền qua T hầu nhƣ không đổi ở giá trị T
0
và độc

14
lập với cƣờng độ xung bơm. Nếu cƣờng độ ánh sáng tới tăng lên, độ tích lũy của
mức cơ bản giảm đi đáng kể và độ tích lũy của mức trên tăng lên. Song song với
quá trình này sẽ xuất hiện quá trình ngƣợc lại là sự di chuyển từ mức trên xuống
mức cơ bản do bức xạ cƣỡng bức và cũng tăng dần, dẫn đến tính phi tuyến của hệ
số truyền qua. Chất hấp thụ bão hòa đƣợc đặc trƣng bởi cƣờng độ hấp thụ bão hòa
abs
s
I
và đƣợc định nghĩa là cƣờng độ ánh sáng mà lúc đó hiệu độ tích lũy giữa hai
mức (giữa mức cơ bản và mức kích thích) giảm đi hai lần so với hiệu độ tích lũy
ban đầu. Khi cƣờng độ ánh sáng tới mạnh, chất hấp thụ bị bão hòa và cho qua toàn
bộ số photon tới. Nếu thời gian sống của mức trên ngắn, chất hấp thụ chỉ trong suốt

trong khoảng thời gian đó và tạo ra một khóa quang học. Khóa này sẽ làm đồng pha
các mode trong buồng cộng hƣởng và tạo nên một xung quang học. Chất hấp thụ
bão hòa đƣợc chọn phải có hai mức năng lƣợng, mà tần số dịch chuyển bức xạ giữa
hai mức này trùng đúng với tần số phát của laser.
Để phát đƣợc các xung cực ngắn thì các chất hấp thụ bão hòa phải thỏa mãn một số
điều kiện. Giả sử, khảo sát môi trƣờng hấp thụ bão hòa nhƣ một hệ hai mức, từ
phƣơng trình cân bằng mức và điều kiện dừng (
L
>>T
21
), có thể tính đƣợc hiệu độ
tích luỹ của hai mức theo biểu thức sau:

abs
s
I
I
n
n


1
(1.7)
n là tổng số các nguyên tử tham gia vào quá trình tƣơng tác với xung. Theo biểu
thức (1.7), khi cƣờng độ xung I tăng thì hiệu độ tích luỹ
n
giảm, cho đến khi I
vƣợt quá
abs
s

I
thì không có sự hấp thụ nữa và chất hấp thụ đã bị bão hòa. Nếu xét
trƣờng hợp không dừng thì hiệu độ tích luỹ có biểu thức [65]:




t
L
dI
Netn
)()(2
)(

(1.8)
với I
L
là mật độ dòng phô ton,  là tiết diện hấp thụ. Trong trƣờng hợp này nhƣ từ
công thức (1.8), sự hấp thụ sẽ giảm đi khi năng lƣợng xung tăng lên.

15

Hình 1.3. Minh họa công tua thời gian xung vào và xung ra khi đi qua chất hấp
thụ bão hòa.

Ban đầu, mặt trƣớc của xung giảm mạnh khi năng lƣợng xung còn nhỏ và sự hấp
thụ chƣa đạt bão hòa, sau một thời gian nào đó, sự bão hòa đƣợc xác lập và mặt sau
của xung gần nhƣ không bị yếu đi khi đi qua chất hấp thụ bão hòa nhƣ hình 1.3.
Khả năng hấp thụ của vật liệu hấp thụ bão hòa phụ thuộc vào cƣờng độ của ánh
sáng laser: Khi cƣờng độ ánh sáng laser tăng lên thì khả năng hấp thụ của nó giảm

đi và khi cƣờng độ ánh sáng laser đạt một mức độ nào đó thì chất hấp thụ bị bão
hòa: hệ số hấp thụ bằng không. Khi cƣờng độ xung bơm thấp, ta có thể bỏ qua sự
suy giảm độ tích lũy của mức trên do phát xạ cƣỡng bức, hệ số khuếch đại G có giá
trị không đổi là G
0
và khá lớn, ngƣời ta gọi hệ số khuếch đại lúc đó chƣa đạt bão
hòa. Khi cƣờng độ xung bơm tăng lên đến mức nào đó, sẽ làm cho hiệu độ tích luỹ
giữa hai mức giảm và do đó hệ số khuếch đại giảm. Nhƣ thấy trên hình 1.4 ta cũng
có thể định nghĩa cƣờng độ bão hòa
amp
s
I
là cƣờng độ ứng với khi hệ số khuếch đại
G
0
giảm hai lần.

16


G
0
/2

1

G
0

G

I

abs
s
I

0


Hình 1.4. Hệ số khuếch đại qua môi trường khuếch đại.

Sự bão hòa của môi trƣờng khuếch đại cũng góp phần làm ngắn xung trong buồng
cộng hƣởng. Khi xung đi qua môi trƣờng khuếch đại, mặt trƣớc của xung có gain
cực đại do vậy chúng đƣợc khuếch đại rất lớn, điều này sẽ làm giảm độ khuếch đại
của môi trƣờng và phần đuôi của xung chỉ nhận đƣợc độ khuếch đại nhỏ hơn nhƣ
hình 1.5.

Bé
khu
Õc
h ®¹i











I



I



t



t

Hình 1.5. Xung vào và xung ra khi đi qua môi trường khuếch đại.
Nhƣ vậy, tổ hợp hai hiệu ứng, bão hòa độ khuếch đại và bão hòa độ hấp thụ, khi
xung đi qua chất hấp thụ bão hòa và môi trƣờng khuếch đại, xung ra thu đƣợc sẽ bị
làm hẹp rất nhiều và có cực đại lớn, bởi vì phần trung tâm của xung ban đầu không

17
những không bị hấp thụ mà còn đƣợc khuếch đại lên nhờ môi trƣờng khuếch đại.
Tóm lại, bằng cách đặt thêm vào buồng cộng hƣởng của laser một chất hấp thụ bão
hòa, trong buồng cộng hƣởng sẽ xuất hiện một xung rất hẹp, có đỉnh cao hơn rất
nhiều so với xung ban đầu. Xung này sẽ đạt đƣợc hình dạng cuối cùng của nó khi
trở thành một xung tự phù hợp (self-consistent) trong buồng cộng hƣởng, tức là khi
hệ đạt trạng thái dừng. Một xung tự phù hợp nhƣ vậy sẽ giữ tình trạng không thay
đổi sau một vòng đi trong buồng cộng hƣởng. Tuy phần trên có đề cập rằng một
xung qua lại trong buồng cộng hƣởng sẽ thu hẹp lại, nhƣng nói một cách chi tiết
hơn, các định luật vật lý chứng tỏ rằng tồn tại một giới hạn cho quá trình làm hẹp
xung nhƣ ở trên. Dƣới những điều kiện lý tƣởng, khoảng thời gian xung thu đƣợc sẽ
tỉ lệ nghịch với độ rộng phổ. Do đó, mỗi thành phần chứa trong buồng cộng hƣởng
cũng sẽ ảnh hƣởng đến giới hạn giải phổ dao động và có xu hƣớng làm mở rộng
thời gian xung, chẳng hạn nhƣ các phần tử quang học ngoại vi: lăng kính, cách tử
hay một bộ lọc. Môi trƣờng khuếch đại bản thân nó cũng là một phần tử nhƣ vậy.
Trong quá trình đi lại nhiều lần trong buồng cộng hƣởng, xung càng ngày càng
đƣợc rút ngắn và công suất đỉnh cũng càng lớn. Theo kết quả thực nghiệm xung ra
có thể đạt tới thời gian xung cỡ femtô giây, do đó các hiệu ứng phi tuyến khác cũng
có thể can thiệp vào quá trình lan truyền và làm nhiễu loạn các xung đi lại trong
buồng cộng hƣởng: nhƣ sự tự biến điệu pha, tán sắc vận tốc nhóm…
Vậy khi xung truyền qua một mẫu phi tuyến, xung sẽ chịu ảnh hƣởng của các hiệu
ứng của tán sắc vận tốc nhóm và sự tự biến điệu pha làm các xung bị mở rộng và
không còn đồng pha, dẫn đến trong quá trình lan truyền, xung có thể bị nén lại hay

mở rộng ra, tuỳ thuộc vào mối tƣơng quan giữa các hiệu ứng đó. Với buồng cộng
hƣởng đã nêu thì các hiệu ứng này sẽ tự triệt tiêu lẫn nhau, lúc đó xung sẽ lan
truyền qua môi trƣờng hấp thụ bão hòa hay môi trƣờng khuếch đại với hình dạng
không thay đổi nữa và xung lúc này đƣợc gọi là soliton.



18
1.5. Xung cực ngắn dạng soliton
1.5.1. Đặc điểm của xung cực ngắn dạng soliton
Thuật ngữ soliton đƣợc đề xuất năm 1965 để mô tả tính chất hạt của xung
trong môi trƣờng phi tuyến. Dƣới các điều kiện xác định, xung không những không
bị méo dạng khi truyền mà còn có thể va chạm với nhau nhƣ các hạt. Để hiểu rõ vấn
đề các hiệu ứng tự triệt tiêu lẫn nhau, chúng ta hãy xét ảnh hƣởng riêng rẽ của các
hiệu ứng SPM và GVD lên hình dạng xung [5], [16].
Khi xung ánh sáng lan truyền trong môi trƣờng tán sắc tuyến tính, hình dạng
của nó liên tiếp thay đổi. Bởi vì các thành phần tần số hợp thành xung lan truyền
với các vận tốc nhóm khác nhau và chịu những thời gian trễ khác nhau. Còn với
môi trƣờng phi tuyến không tán sắc, đƣờng bao của xung trong khi lan truyền không
bị thay đổi mà chỉ có sự dịch chuyển tần số gây nên bởi hiện tƣợng tự biến điệu pha,
tuỳ thuộc tính chất của môi trƣờng mà tác động của các hiệu ứng này có thể cùng
chiều hay ngƣợc chiều nhau.
Trong môi trƣờng tán sắc dị thƣờng, nghĩa là
0
2


, trƣờng hợp này vận tốc
nhóm giảm dần theo sự tăng của bƣớc sóng. Điều này dẫn đến sƣờn trƣớc của xung
trong quá trình lan truyền bị dịch chuyển về phía bƣớc sóng dài còn sƣờn sau của

xung lại dịch chuyển về phía bƣớc sóng ngắn. Còn trong môi trƣờng tán sắc thƣờng
nghĩa là hệ số
0
2


, lúc này vận tốc nhóm tăng dần theo sự tăng của bƣớc sóng.
Chính điều này đã làm cho sƣờn trƣớc của xung trong quá trình lan truyền bị dịch
chuyển về phía bƣớc sóng ngắn, còn sƣờn sau của xung dịch chuyển về phía bƣớc
sóng dài.
Khi bỏ qua hiện tƣợng tán sắc, trong môi trƣờng phi tuyến xung lan truyền
có hình dạng và cƣờng độ không bị thay đổi, nhƣng pha của xung lại thay đổi do sự
phụ thuộc của chiết suất vào cƣờng độ trƣờng. Chính sự tự biến điệu pha đã gây nên
sự tự dịch tần, tuy nhiên sự dịch tần còn phụ thuộc vào dấu của của hệ số chiết suất
phi tuyến
)(
2

c
n
. Trƣờng hợp mà hệ số chiết suất phi tuyến
)(
2

c
n

> 0, trong quá
trình lan truyền trong môi trƣờng phi tuyến sƣờn trƣớc của xung sẽ có tần số tăng

19
thêm (dịch chuyển về phía tần số cao), ngƣợc lại sƣờn sau của xung có tần số giảm
(dịch chuyển về phía tần số thấp). Từ những khảo sát tách rời tác động của các hiệu
ứng tán sắc vận tốc nhóm và hiệu ứng tự biến điệu pha lên các thông số của xung
trong quá trình lan truyền, ta thấy tác động của hai hiệu ứng này có thể tự triệt tiêu
lẫn nhau khi xung lan truyền trong môi trƣờng tán sắc phi tuyến thoả mãn điều kiện
)(
2

c
n
> 0 và
0
2


.
Trong buồng cộng hƣởng, khi đi lại nhiều lần thời gian xung sẽ giảm xuống,
dẫn đến công suất đỉnh tăng, độ rộng dải cũng tăng, do đó GVD càng làm xung bị
mở rộng (
0
2


). Công suất đỉnh tăng cũng làm xuất hiện ảnh hƣởng phi tuyến bậc
thấp, cụ thể là SPM (
)(
2

c

n
> 0), hơn thế nữa, chirp do SPM phụ thuộc vào công
suất, nên dƣới điều kiện xác định, SPM và GVD có thể kết hợp để chirp do SPM có
thể triệt tiêu sự mở rộng xung do GVD, khi đó xung có thể truyền không còn bị biến
dạng nữa.
Trong sự truyền dẫn thông tin quang sợi, ngƣời ta chú ý tới Laser Soliton do một
xung quang Soliton hầu nhƣ không bị méo dạng trên đƣờng truyền và không bị ảnh
hƣởng do va chạm. Ngoài ra Laser Soliton còn có thể phát những xung cực ngắn
trong vùng ps (10
-12
s) và fs (10
-15
s).
Nhƣ vậy rất thuận lợi để tăng tốc độ truyền dẫn và dung lƣợng thông tin.
Laser Soliton bao gồm hai cộng hƣởng. Một Laser tâm mầu đồng bộ đƣợc bơm
đồng bộ, chứa cộng hƣởng chính. Cộng hƣởng thứ hai đƣợc ghép vào chứa sợi
quang đơn mode và có chiều dài bằng một số nguyên lẫn chiều dài của cộng hƣởng
chính. Nhƣ vậy xung tử sợi quang khí phun vào cộng hƣởng chính phải trùng khớp
với xung có sẵn trong cộng hƣởng chính. Xung từ Laser đƣợc làm ngắn đáng kể khi
đi qua sợi quang. Quá trình nhƣ vậy tiếp tục đến khi xung trong sợi quang trở thành
Soliton.
Sự làm hẹp xung để tạo thành Soliton là kết quả tƣơng tác của tính phi tuyến trong
sợi quang (n = n
0
+n
2
I) với sự tán sắc tốc độ nhóm âm










0

vg
.


20

1.5.2. Laser Soliton Raman sợi quang
Ngƣời ta có thể xây dựng Laser Soliton chỉ chứa một cộng hƣởng. Hiệu ứng Raman
đƣợc sử dụng để dùng cho sự khuyếch đại. Cộng hƣởng sợi đƣợc sử dụng nhƣ một
lƣợng hƣởng vòng; các xung bơm có thể chuyển vòng quanh cộng hƣởng và chỉ sử
dụng xung stokes để kích thích. Khi xung Stokes đạt đƣợc năng lƣợng thích hợp với
độ rộng xung nhờ việc tăng năng lƣợng bơm, một Soliton sẽ hình thành. Tiếp tục
tăng năng lƣợng sẽ dẫn đến làm ngắn xung. Điều đó sẽ cho phép có thể tạo ra những
xung ngắn hơn rất nhiều sovới xung bơm. Điều này có thể thực hiện với Laser
Soliton hai cộng hƣởng (Mallenauer và Stolen)
Sử dụng Laser Raman sợi quang đƣợc bơm đồng bộ có nhiều thuận lợi để có xung
ngắn điều chỉnh đƣợc.
 Laser sợi quang và khuyếch đại quang sợi
Laser quang sợi sử dụng sợi quang pha tạp các ion đất hiếm dùng làm hoạt chất. hay
đó cũng là môi trƣờng khuyếch đại ánh sáng. Môi trƣờng khuyếch đại ánh sáng có
thể dùng Laser bán dẫn, dùng khuyếch đại Raman sợi quang, khuyếch đại Brillouin
sợi quang cũng nhƣ khuyếch đại sợi quang pha tạp (thƣờng sử dụng ion nguyên tố

hiếm). Buồng cộng hƣởng sử dụng hai gƣơng sát với hai mặt đầu và cuối của sợi
quang nhƣ cộng hƣởng Fabry - Perot. Ánh sáng Laser có bƣớc sóng thích hợp đƣợc
phóng qua một gƣơng vào sợi quang. Tia Laser đƣợc lấy ra từ gƣơng ở đầu kia của sợi
quang. Laser sợi quang thực chất đã chuyển đổi bƣớc sóng Laser bơm thành bƣớc
sóng của Laser phát dài hơn. Bƣớc sóng phát phụ thuộc vào nguyên tố hiếm đƣợc
pha tạp trong sợi quang.
Những nguyên tố hiếm thƣờng dùng để pha tạp trong sợi quang thuỷ tinh là:
Nêodym (Nd
3
t); Erbium (Ecbi); (Er
3+
) có thể cho bƣớc sóng vòng 1,3m và 1,55m
cho thông tin quang. Còn các nguyên tố khác nhƣ Ytterbium (Yb); Samarium (sm),
holmium (Ho); Thalium (Th); Prazeodyum (Pr)…Cho phép mở rộng bƣớc sóng
phát từ 0,5m 3,5m.[2] [8] [14]

21

CHƢƠNG 2: QUÁ TRÌNH TRUYỀN DẪN TRONG
THÔNG TIN QUANG
2.1. Phƣơng trình truyền sóng
2.1.1. Phƣơng trình truyền sóng cơ bản
Trong sợi quang đơn mode mỗi một thành phần tần số của trƣờng quang truyền trong
sợi quang có dạng:
E*(r,

) = F(x,y)B*(0,

)exp(i


z) (2.1)
Trong đó B(0,

) là biên độ ban đầu;

là hằng số truyền; F(x,y) là phân bố trƣờng
của mode sợi cơ bản thƣờng là phân bố Gaussian, nó phụ thuộc vào

.
Các thành phần khác truyền bên trong sợi có dạng đơn giản là:
E*(r,

) = B*(0,

)exp(i

z) (2.2)
Biên độ có thể thu đƣợc bằng phép biến đổi Fourier ngƣợc có kết quả nhƣ sau:
B(z,t) =






dtipzB )exp(),(*
2
1
(2.3)
Biên độ phổ ban đầu B*(0,


) chỉ đối với dạng Fourier của biên độ đầu vào B(0,t).
Sự mở rộng xung xuất phát từ tính phụ thuộc tần số

. Đối với các xung đơn sắc, bằng
khai triển Taylor xung quanh tần số trung tâm giữ đến số hạng bậc 3, Ta sử dụng biên
độ thay đổi rất chậm A (z,t) thì:
B(z,t) = A (z,t) exp [i(
0
z - 
0
t)]. (2.4)
Với:
A(z,t)=
),0(
~
)(
2
1
2






Ad
exp







 tizzzi

3
3
2
21
)(
6
1
)(
2
1

(2.5)
Ở đây à (0, ) = G (0, - 
0
) là biến đổi Fourier của A (0,t).
Khi tính
Z
A


và thay thế  bằng
t
A
i



.

Phƣơng trình (5) sẽ viết lại đƣợc:

22
0
6
1
2
1
3
3
3
2
2
21













t
A
t
A
t
A
z
A

(2.6)
Đây là phƣơng trình cơ bản sẽ chi phối sự phát triển của xung bên trong một sợi đơn
mode.
Nếu không có tán sắc 
2
= 
3
= 0 thì xung sáng sẽ đƣợc truyền mà không có sự thay
đổi về dạng của nó thì:
A (z,t) = A (0,t - 
1
z).
Khi đƣa vào hệ quy chiếu chuyển động cùng với xung và sử dụng những toạ độ mới ta
đƣợc phƣơng trình truyền sóng:
0
'
6
1
'
2'
3

3
3
2
2
2









t
A
t
Ai
Z
A

(2.8)[1]
2.1.2. Các phƣơng trình Maxwell
Cũng nhƣ tất cả những hiện tƣợng điện từ, sự truyền truyền của sóng điện từ quang
học trong sợi quang cũng tuân theo phƣơng trình Maxwell.
Đối với môi trƣờng điện môi và không chứa điện tích, những phƣơng trình Maxwell
có dạng:
t
B
xE




(2.9)
t
D
xH




.D = 0
.B = 0 (Với (  = 0; j = E = 0)
Ở đây E và H là vecto điện trƣờng và từ trƣờng còn D và B là các vectơ cảm ứng
điện và véctơ cảm ứng từ.
( là mật độ điện tích j là mật độ dòng điện và  là độ dẫn điện của môi trƣờng.
Đối với môi trƣờng bất kỳ ta có:
D = 
0
E + P
B = 
0
H + P
ở đây: (
0
là hằng số điện môi chân không)

23
(
0

là hằng số từ thẫm chân không )
P và M là sự phân cực điện và sự phân cực từ của môi trƣờng.
Đối với sợi quang M = 0 vì sợi thuỷ tinh Silica không phải là vật liệu từ.
Trong môi trƣờng tuyến tính vô đẳng hƣớng ta có:
P (r, t) = 
0

')',()',( dttrEttr 




.
Ở đây  là độ cảm tuyến tính của môi trƣờng trƣờng hợp tổng quát là ten xơ hang
hai, nhƣng nó rút gọn thành đại lƣợng vô lƣợng đối với môi trƣờng đẳng hƣớng nhƣ
thuỷ tinh Silica (điôxits silic).
Thông thƣờng ta đƣa phƣơng trình về dạng đối với một biến số của trƣờng nhƣ E
chẳng hạn. Ta lấy mode hai vế của phƣơng trình (1) và sử dụng các biến đổi sẽ có
phƣơng trình sóng:
2
2
2
2
2
.
1
t
P
t
E

c
E
o







(2.10)
Ở đây C là tốc độ ánh sáng trong chân không với:
00

c

Khi đƣa vào biến đổi Fourier của E ((, t) là ta có:
E
~
(r, ) =
dttitrE )(exp),(





Ta cũng sẽ có biểu thức tƣơng tự với P(r, t) ta sẽ đƣợc phƣơng trình trong miền tần
số:
ErE
oo

~
)],()[(
~
2


(2.11)
Ở đây bằng số điện môi phụ thuộc tần số đƣợc xác định bởi:
(r, ) = 1 +

~
(, ).

~
(r, ) là biến đổi Fourier của

~
(r, t). Nói chung (r, ).
2
)
2
(),(


c
inr 

Phần thực và phần ảo của (r, ) liên hệ với chiết suất n và hệ số thấp thụ nhƣ
biểu thức trên.
Do đó: