Ảnh hưởng của sóng điện từ mạnh lên hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng pha tạp có kể đến hiệu ứng giam cầm của phonon (trường hợp tán
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.42 MB, 73 trang )
1
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
NGUYỄN HỮU CHIẾN
ẢNH HƢỞNG CỦA SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH
LÊN HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ
GIAM CẦM TRONG SIÊU MẠNG PHA TẠP CÓ
KỂ ĐẾN HIỆU ỨNG GIAM CẦM CỦA PHONON
(TRƢỜNG HỢP TÁN XẠ ĐIỆN TỬ - PHONON ÂM)
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết & vật lý toán
Mã số: 604401
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS.TS NGUYỄN QUANG BÁU
Hà Nội – 2012
2
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
NGUYỄN HỮU CHIẾN
ẢNH HƢỞNG CỦA SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH
LÊN HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ
GIAM CẦM TRONG SIÊU MẠNG PHA TẠP CÓ KỂ
ĐẾN HIỆU ỨNG GIAM CẦM CỦA PHONON
(TRƢỜNG HỢP TÁN XẠ ĐIỆN TỬ - PHONON ÂM)
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết & vật lý toán
Mã số: 604401
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS.TS NGUYỄN QUANG BÁU
Hà Nội – 2012
3
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .1
CHƢƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ SIÊU MẠNG PHA TẠP VÀ BÀI TOÁN HẤP
THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM TRONG BÁN DẪN
KHỐI KHI CÓ MẶT SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH 4
1.1. TỔNG QUAN VỀ SIÊU MẠNG PHA TẠP 4
1.2. ẢNH HƢỞNG CỦA SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH LÊN SỰ HẤP THỤ SÓNG
ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM TRONG BÁN DẪN KHỐI
(TRƢỜNG HỢP TÁN XẠ ĐIỆN TỬ - PHONON ÂM) 6
CHƢƠNG 2: HỆ SỐ HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ GIAM
CẦM TRONG SIÊU MẠNG PHA TẠP DƢỚI ẢNH HƢỞNG CỦA SÓNG ĐIỆN
TỪ MẠNH CÓ KỂ ĐẾN HIỆU ỨNG GIAM CẦM CỦA PHONON (TRƢỜNG
HỢP TÁN XẠ ĐIỆN TỬ - PHONON ÂM) .24
2.1. HAMILTONIAN CỦA HỆ ĐIỆN TỬ GIAM CẦM - PHONON GIAM CẦM
TRONG SIÊU MẠNG PHA TẠP 24
2.2. PHƢƠNG TRÌNH ĐỘNG LƢỢNG TỬ CHO ĐIỆN TỬ GIAM CẦM TRONG
SIÊU MẠNG PHA TẠP CÓ KỂ ĐẾN SỰ GIAM CẦM CỦA PHONON 25
2.3. HỆ SỐ HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ YẾU TRONG SIÊU MẠNG PHA TẠP
DƢỚI ẢNH HƢỞNG CỦA SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH CÓ KỂ ĐẾN HIỆU ỨNG
GIAM CẦM CỦA PHONON (TRƢỜNG HỢP TÁN XẠ ĐIỆN TỬ - PHONON
ÂM) 37
CHƢƠNG 3: TÍNH TOÁN SỐ CHO SIÊU MẠNG PHA TẠP n-GaAs/p-GaAs VÀ
BÀN LUẬN 54
3.1. TÍNH TOÁN SỐ 54
3.2. BÀN LUẬN 57
KẾT LUẬN 59
TÀI LIỆU THAM KHẢO 60
PHỤ LỤC 62
4
MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Gần đây, với những tiến bộ vƣợt bậc trong khoa học công nghệ nói chung, và
đối với lĩnh vực vật lý nói riêng đã thúc đẩy việc tìm hiểu và nghiên cứu các tính
chất của hệ thấp chiều. Việc chuyển từ hệ ba chiều sang các hệ thấp chiều đã làm
thay đổi nhiều tính chất vật lý, trong đó có tính chất quang của vật liệu. Trong đó
việc nghiên cứu kĩ hơn các hệ hai chiều ví dụ nhƣ: siêu mạng pha tạp, siêu mạng
hợp phần, hố lƣợng tử… ngày càng nhận đƣợc sự quan tâm của rất nhiều ngƣời.
Trong các vật liệu kể trên, hầu hết các tính chất của điện tử thay đổi, xuất hiện các
tính chất khác biệt so với vật liệu khối (gọi là hiệu ứng giảm kích thƣớc). Với hệ
thấp chiều và cấu trúc nano, các quy luật lƣợng tử bắt đầu có hiệu lực, trƣớc hết là
sự thay đổi phổ năng lƣợng. Phổ năng lƣợng của điện tử trở thành gián đoạn theo
hƣớng tọa độ bị giới hạn. Vì vậy các cấu trúc thấp chiều đã làm thay đổi đáng kể
nhiều đặc tính của vật liệu, làm xuất hiện nhiều hiệu ứng mới mà hệ điện tử ba
chiều không có.
Ta biết rằng ở bán dẫn khối, các điện tử có thể chuyển động trong toàn mạng
tinh thể (cấu trúc 3 chiều) thì ở các hệ thấp chiều bao gồm cấu trúc hai chiều,
chuyển động của điện tử sẽ bị giới hạn nghiêm ngặt dọc theo một (hoặc hai, ba)
hƣớng tọa độ nào đó. Phổ năng lƣợng của các hạt tải trở nên bị gián đoạn theo
phƣơng này. Sự lƣợng tử hóa phổ năng lƣợng của hạt tải dẫn đến sự thay đổi cơ bản
các đại lƣợng của vật liệu nhƣ: hàm phân bố, mật độ trạng thái, mật độ dòng, tƣơng
tác điện tử - phonon…Nhƣ vậy, sự chuyển đổi từ hệ 3D sang 2D, 1D hay 0D đã làm
thay đổi đáng kể những tính chất của hệ.
Nhƣ đã nói, việc tìm hiểu và nghiên cứu các tính chất của hệ thấp chiều đang
nhận đƣợc rất nhiều sự quan tâm của rất nhiều ngƣời. Thời gian gần đây cũng đã có
một số công trình nghiên cứu về ảnh hƣởng sóng điện từ mạnh (trƣờng bức xạ laser)
lên hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong các bán dẫn thấp chiều. Do
đó, trong khóa luận này, tôi xin trình bày các kết quả nghiên cứu của mình đối với
đề tài: “Ảnh hƣởng của sóng điện từ mạnh lên hấp thụ sóng điện từ yếu bởi
điện tử giam cầm trong siêu mạng pha tạp có kể đến hiệu ứng giam cầm của
phonon (trƣờng hợp tán xạ điện tử - phonon âm)”.
5
2. PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Trong lĩnh vực lý thuyết, bài toán tính toán hệ số hấp thụ sóng điện từ trong
siêu mạng pha tạp (trƣờng hợp tán xạ điện tử - phonon âm) có thể sử dụng nhiều
phƣơng pháp khác nhau nhƣ phƣơng pháp Kubo–Mori mở rộng, phƣơng pháp
phƣơng trình động lƣợng tử, phƣơng pháp hàm Green , phƣơng pháp tích phân
phiếm hàm, … Mỗi phƣơng pháp có một ƣu điểm riêng nên việc áp dụng chúng nhƣ
thế nào còn phụ thuộc vào từng bài toán cụ thể.
Đối với bài toán về ảnh hƣởng của sóng điện từ mạnh (trƣờng bức xạ Laser)
lên sự hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng pha tạp có kể
đến hiệu ứng giam cầm của phonon, tôi sử dụng phƣơng pháp phƣơng trình động
lƣợng tử: Đây là phƣơng pháp đƣợc sử dụng rộng rãi khi nghiên cứu các hệ bán dẫn
thấp chiều, đạt hiệu quả cao và cho các kết quả có ý nghĩa khoa học nhất định.
Ngoài ra còn sử dụng chƣơng trình Matlab để có đƣợc các kết quả tính toán
số và đồ thị sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ vào các thông số của siêu mạng pha tạp
n-GaAs/p-GaAs.
Kết quả trong bài khóa luận này đã đƣa ra đƣợc biểu thức giải tích của hệ số
hấp thụ phi tuyến sóng điện từ bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng pha tạp khi có
thêm sóng điện từ mạnh. Biểu thức này chỉ ra rằng, hệ số hấp thụ phụ thuộc phi
tuyến vào cƣờng độ sóng điện từ mạnh E
01
, phụ thuộc phức tạp và không tuyến tính
vào tần số
1
,
2
của 2 sóng điện từ, nhiệt độ T của hệ, và các tham số của siêu
mạng pha tạp. Kết quả đƣợc so sánh với bài toán tƣơng tự trong bán dẫn khối để
thấy đƣợc sự khác biệt.
3. CẤU TRÚC LUẬN VĂN
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn đƣợc
chia làm 3 chƣơng, 7 mục, 5 hình vẽ, tổng cộng là 70 trang.
Chƣơng 1: Tổng quan về siêu mạng pha tạp và bài toán hấp thụ sóng điện từ yếu bởi
điện tử giam cầm trong bán dẫn khối khi có mặt sóng điện từ mạnh.
Chƣơng 2: Hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng
pha tạp dƣới ảnh hƣởng của sóng điện từ mạnh có kể đến hiệu ứng giam cầm của
phonon (trƣờng hợp tán xạ điện tử - phonon âm).
Chƣơng 3: Tính toán số cho siêu mạng pha tạp n-GaAs/p-GaAs và bàn luận.
6
Trong đó chƣơng 2 và chƣơng 3 là hai chƣơng chứa đựng những kết quả
chính của luận văn. Kết luận quan trọng nhất rút ra từ kết quả nghiên cứu trong luận
văn là: Trong một số điều kiện thỏa mãn nhất định liên quan đến nhiệt độ và năng
lƣợng sóng điện từ, hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu có thể trở nên âm, tức hệ số hấp
thụ trở thành hệ số gia tăng sóng điện từ yếu. Điều này mở ra khả năng gia tăng
sóng điện từ yếu trong siêu mạng pha tạp khi có mặt một sóng điện từ khác. Đây là
điều mà trong bán dẫn khối không thể xảy ra.
7
CHƢƠNG 1
TỔNG QUAN VỀ SIÊU MẠNG PHA TẠP VÀ BÀI TOÁN HẤP THỤ SÓNG
ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM TRONG BÁN DẪN KHỐI KHI
CÓ MẶT SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH
1. 1. TỔNG QUAN VỀ SIÊU MẠNG PHA TẠP
1.1.1. Khái niệm về siêu mạng pha tạp
Bán dẫn siêu mạng là loại cấu trúc tuần hoàn nhân tạo gồm các lớp bán dẫn
thuộc hai loại khác nhau có độ dày cỡ nanomet đặt kế tiếp. Do cấu trúc tuần hoàn,
trong bán dẫn siêu mạng, ngoài thế tuần hoàn của mạng tinh thể, các electron còn
phải chịu một thế tuần hoàn phụ do siêu mạng tạo ra với chu kì lớn hơn hằng số
mạng rất nhiều. Thế phụ đƣợc tạo nên bởi sự khác biệt giữa các đáy vùng dẫn của
hai bán dẫn cấu trúc thành siêu mạng.
Trong bán dẫn siêu mạng, độ rộng của các lớp đủ hẹp để electron có thể
xuyên qua các lớp mỏng kế tiếp nhau, và khi đó có thể coi siêu mạng nhƣ một thế
tuần hoàn bổ xung vào thế của mạng tinh thể.
Bán dẫn siêu mạng đƣợc chia thành hai loại: bán dẫn siêu mạng pha tạp và
bán dẫn siêu mạng hợp phần. Bán dẫn siêu mạng pha tạp có cấu tạo các hố thế
trong siêu mạng đƣợc tạo thành từ hai lớp bán dẫn cùng loại nhƣng đƣợc pha tạp
khác nhau. Siêu mạng pha tạp có ƣu điểm là có thể điều chỉnh dễ dàng các tham số
của siêu mạng nhờ thay đổi nồng độ pha tạp.
1.1.2. Hàm sóng và phổ năng lƣợng của điện tử giam cầm trong siêu mạng pha
tạp
Hàm sóng của điện tử trong mini vùng n là tổ hợp của hàm sóng theo mặt
phẳng (x,y) có dạng sóng phẳng và theo phƣơng của trục siêu mạng:
0
zz
S
ip r
ip j
nn
n,p
j1
r e U r e z jd
Và phổ năng lƣợng:
22
p
*
n,p
p1
n
2m 2
Trong đó :
n = 1, 2, 3 là chỉ số lƣợng tử của phổ năng lƣợng theo phƣơng z
8
z
p p p
vectơ xung lƣợng của điện tử (chính xác là vectơ sóng của điện
tử).
Với
n
z
là hàm sóng của bán dẫn siêu mạng pha tạp.
m* khối lƣợng hiệu dụng của điện tử
S
0
là số chu kì siêu mạng
p
hình chiếu của
p
trên mặt phẳng (x, y)
r
hình chiếu của
r
trên mặt phẳng (x, y)
1
2
2
D
0
p
4 e n
m
là tần số plasma gây ra bởi các tạp chất dornor với nồng độ
pha tạp
D
n
.
Ta nhận thấy rằng phổ năng lƣợng của điện tử bị giam cầm trong siêu mạng
pha tạp chỉ nhận các giá trị năng lƣợng gián đoạn, không giống trong bán dẫn khối,
phổ năng lƣợng là liên tục trong toàn bộ không gian. Sự biến đổi phổ năng lƣợng
nhƣ vậy gây ra những khác biệt đáng kể trong tất cả tính chất của điện tử trong siêu
mạng pha tạp so với bán dẫn khối khối.
1.1.3. Sự giam cầm của phonon trong siêu mạng pha tạp
Phonon là một giả hạt có đặc tính lƣợng tử của mode dao động trên cấu
trúc tinh thể tuần hoàn và đàn hồi của các chất rắn. Phonon có vai trò quan trọng
trong vật lý chất rắn, giải thích nhiều tính chất vật lý của các chất rắn, nhƣ độ dẫn
nhiệt và độ dẫn điện. Hạt phonon là miêu tả của cơ học lƣợng tử về một dạng dao
động, gọi là mode cơ bản trong cơ học cổ điển, trong đó mọi vị trí của mạng tinh thể
đều dao động với cùng tần số. Mọi dao động bất kỳ trong mạng tinh thể đều có thể
coi nhƣ sự chồng chập của các dao động cơ bản này (thông qua phân tích Fourier).
Mode cơ bản đƣợc coi là các hiện tƣợng sóng trong cơ học cổ điển, nhƣng thể hiện
tính chất nhƣ hạt cơ bản trong cơ học lƣợng tử, theo lƣỡng tính sóng hạt của vật
chất.
Xét phonon bị giam cầm trong siêu mạng pha tạp thì phổ năng lƣợng của
phonon chỉ nhận các giá trị năng lƣợng gián đoạn theo phƣơng z, chuyển động của
phonon bị giới hạn theo trục z làm ảnh hƣởng đến thừa số dạng và hằng số tƣơng
tác điện tử - phonon. So với trƣờng hợp phonon không bị giam cầm thì trƣờng hợp
9
giam cầm bị lƣợng tử hóa theo phƣơng z và thêm chỉ số giam cầm của phonon m
khi đó Hamiltonian cu
̉
a hê
̣
điê
̣
n tƣ
̉
– phonon, thừa số dạng và hằng số tƣơng tác
đƣợc biểu diễn bằng biểu thức:
ph
m,q m,q m,q
m,q
H b b
e ph
m,q n ',p q n,p m,q m, q
n,n',p ,m,q
H C a a b b
m
iz
Nd d
m
L
n,n' n n'
00
m
I z z e dz
L
: Thừa số dạng điện tử có hiệu ứng
giam cầm của phonon trong siêu mạng pha tạp.
d: chu kỳ siêu mạng.
2
22
m,q
s0
m
q
L
C
2 v V
: Hằng số tƣơng tác điện tử - phonon cho trƣờng
hợp tán xạ điện tử - phonon âm.
0
V
: Thể tích chuẩn hóa (thƣờng chọn
0
V1
).
: hằng số điện biến dạng.
: mật độ tinh thể.
S
v
: vận tốc truyền âm.
L: chiều dài siêu mạng.
1.2. ẢNH HƢỞNG CỦA SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH LÊN SỰ HẤP THỤ SÓNG
ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM TRONG BÁN DẪN KHỐI
(TRƢỜNG HỢP TÁN XẠ ĐIỆN TỬ-PHONON ÂM)
Trƣớc hết ta xây dựng phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử trong
bán dẫn khối khi có mặt 2 sóng điện từ.
1.2.1. Hamiltonian của hệ điện tử - phonon trong bán dẫn khối
Xét Hamilton của hệ điện tử - phonon trong bán dẫn khối:
e ph e ph
H H H H
(1.1)
Với :
e
pp
p
e
H p A t a a
c
10
ph
q q q
q
H b b
e ph
q p q p q q
q,p
H C a a b b
pp
a ,a
lần lƣợt là toán tử sinh và hủy điện tử ( kiểu hạt fecmi )
p p' p' p p,p'
a ,a a ,a =
,
p p' p p'
a ,a = a ,a 0
b ,b
lần lƣợt là toán tử sinh và hủy phonon (kiểu hạt boson)
p p' p,p'
b ,b
;
p p' p p'
b ,b = b ,b 0
q
C
: hằng số tƣơng tác điện tử - phonon.
e
p A t
c
là hàm năng lƣợng theo biến
e
p A t
c
1.2.2. Xây dựng phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử trong bán dẫn khối
Phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử có dạng:
p
pp
t
nt
ˆ
i a a ,H
t
(1.2)
Vế phải của (1.2) có tƣơng ứng ba số hạng với toán tử Hamilton. Ta lần lƣợt
tính từng số hạng bằng cách tính toán các giao hoán tử. Sử dụng tính giao hoán giữa
các toán tử sinh, hủy cùng loại, khác loại để hoán vị các toán tử một cách thích hợp.
Số hạng thứ nhất:
p p p' p' p p p' p'
p' p'
t
ee
a a ; p' A t a a p' A t a a ,a a
cc
p p,p' p' p p' p' p,p' p p' p
p'
e
p' A t a a a a a a a a
c
p p p p
e
p' A t a a a a 0
c
Số hạng thứ hai:
p p q q q
q
t
a a ; b b 0
do toán tử a, b là hai loại độc lập thì chúng giao hoán với
nhau.
11
Số hạng thứ ba:
p p q p' q p' q q q p p p' q p' q q
q,p' q,p'
t
a a ; C a a b b C a a ;a a b b
Làm tƣơng tự cách phân tích số hạng thứ nhất vừa tính toán ở trên ta có :
p p p' q p' p p' p,p' q p' q p p,p'
a a ;a a a a a a
Do đó:
p p q p' q p' q q
q,p'
t
q p p' p,p' q p' q p p,p' q q
q,p'
a a ; C a a b b
C a a a a b b
q p p q q p p q q p q p q p q p q
t t t t
q
C a a b a a b a a b a a b
**
q p,p q,q p q,p, q p q,p,q p,p q, q
q
C F t F t F t F t
Vậy phƣơng trình (1.2) trở thành:
p
**
q p,p q,q p q,p, q p q,p,q p,p q, q
q
nt
i C F t F t F t F t
t
(1.3)
Với
1 2 1 2
p ,p ,q p p q
t
F t a a b
Để giải (1.3) ta cần tính
12
p ,p ,q
F (t)
thông qua phƣơng trình:
12
12
p ,p ,q
p p q
t
Ft
i a a b ;H
t
(1.4)
Vế phải của (1.4) chứa ba số hạng tƣơng ứng ba số hạng của hàm Hamilton
H. Ta lần lƣợt tính từng số hạng bằng cách tính giao hoán tử ta thu đƣợc.
Số hạng thứ nhất:
1 2 3 3
3
3
p p q p p
p
t
e
a a b , p A t a a
c
1 2 3 3 3 3 1 2
3
3
p p q p p p p p p q
p
t
e
p A t a a b a a a a a a b
c
12
1 2 1 2
2 2 1 1
p p q p p q
tt
ee
p p A t a a b p p A t a a b
cc
12
2 1 2 1
*
p ,p ,q
e
p p p p A t F t
mc
Số hạng thứ hai:
1 2 1 1 1 2 1 1
11
11
p p q q q q q p p q q q
t
t
a a b , b b a a b ;b b
1 2 1 1 1 1
1
1
q p p q q q q q q
q
t
a a b b b b b b
1 2 1 1 1 1 1 1
1
1
q p p q ,q q q q q q q q
t
q
a a b b b b b b b
1 2 1 1
1
1
q p p q ,q q
t
q
a a b
1 2 1 2
q p p q q p ,p ,q
t
a a b F t
Số hạng thứ ba:
1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1
1
p p q q p q p q q q p p q p q p q q
t
q ,p q,p
t
a a b , C a a b b C a a b ,a a b b
Ta có:
1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2
p p q p q p q q p p q p q p q q p q p q q p p q
a a b ,a a b b a a b a a b b a a b b a a b
1 2 3 1 2 1 2 1 1 2 1
1
p p ,p q p q p p q q p p ,p q p q p p q q
a a a a b b a a a a b b
1 1 1 2 1 1 1 1 2 1
p q p ,p p p p q q p q p ,p p p p q q
a a a a b b a a a a b b
2 3 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2
1
p ,p q p p q q p ,p q p p q q p ,p p q p q q p ,p p q p q q q, q p p p
a a b b a a b b a a b b a a b b a a a
Đặt vào số hạng thứ ba ta đƣợc:
1 2 1 1 1 1
1
p p q q p q p q q
q ,p
t
a a b , C a a b b
1 1 2 1 1 1 1 2 1 1
11
11
q p p q q q q q p q p q q q
t
t
C a a b b b C a a b b b
Thay các số hạng vào (1.4) ta đƣợc phƣơng trình:
13
12
12
p ,p ,q
2 1 2 1
*
q p ,p ,q
F (t)
e
i (p ) (p ) p p A(t) F (t)
t m c
1 1 2 1 1 1 1 2 1 1
11
11
q p p q q q q q p q p q q q
tt
C a a b b b C a a b b b
(1.5)
(1.5) là phƣơng trình vi phân không thuần nhất đƣợc giải bằng phƣơng pháp biến
thiên hằng số. Để tìm đƣợc nghiệm của phƣơng trình trƣớc hết ta giải phƣơng trình
vi phân thuần nhất tƣơng ứng:
12
12
p ,p ,q
2 1 2 1
*
q p ,p ,q
Ft
e
i p p p p A t F t
t m c
Sử dụng điều kiện đoạn nhiệt tƣơng tác
12
p ,p ,q
lnF t 0
đƣợc nghiệm
của phƣơng trình vi phân thuần nhất có dạng:
12
t
0
2 1 2 1 1 1
*
p ,p ,q q
ie
F t exp p p p p A t dt
mc
Từ đó, ta đi tìm nghiệm của phƣơng trình vi phân không thuần nhất có dạng:
1 2 1 2
12
1 2 1 2
0
p ,p ,q p ,p ,q
p ,p ,q
00
p ,p ,q p ,p ,q
F t M t F t
Ft
i i M' t F t i M t F ' t
t
1 2 1 2
00
p ,p ,q p ,p ,q
2 1 2 1
*
q
i M' t F t i M t F t
ie
p p p p A t
mc
1 2 1 2
0
2 1 2 1
*
p ,p ,q p ,p ,q q
e
i M' t F t F t p p p p A t
mc
12
1 1 2 1 1 1 1 2 1 1
11
11
5
2 1 2 1
*
q p ,p ,q
q p p q q q q q p q p q q q
tt
e
p p p p A t F t
mc
C a a b b b C a a b b b
1 2 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1
11
11
0
p ,p ,q q p p q q q q q p q p q q q
tt
i M' t .F t C a a b b b C a a b b b
1 1 2 1 1 1 1 2 1 1
11
11
12
q p q p q q q q p p q q q q
tt
0
p ,p ,q
C a a b b b C a a b b b
i
M' t
Ft
14
1 1 2 1 1 1 1 2 1 1
11
22
11
t
q p p q q q q q p q p q q q
tt
i
M t C a a b b b C a a b b b
2
1 2 1 2
t
2 1 2 1 1 1 2
*
q
0
p ,p ,q p ,p ,q
ie
exp p p p p A t dt dt
mc
F t F t M t
t
2 1 2 1 1 1
*
q
ie
exp p p p p A t dt
mc
1 1 2 1 1 1 1 2 1 1
11
22
11
2
t
q p q p q q q q p p q q q q
tt
t
2 1 2 1 1 1 2
*
q
i
C a a b b b C a a b b b
ie
exp p p p p A t dt dt
mc
1 1 2 1 1 1 1 2 1 1
11
22
11
t
2
q p q p q q q q p p q q q q
tt
i
dt C a a b b b C a a b b b
2
t
2 1 2 1 1 1
*
q
t
2 1 2 1 1 1
*
q
ie
exp p p p p A t dt
mc
ie
p p p p A t dt
mc
1 1 2 1 1 1 1 2 1 1
11
22
11
t
q p q p q q q q p p q q q q
tt
i
C a a b b b C a a b b b
2
t
2 1 2 1 1 1 2
*
q
t
ie
exp p p p p A t dt dt
mc
1 1 2 1 1 1 1 2 1 1
11
22
11
t
q p q p q q q q p p q q q q
tt
i
C a a b b b C a a b b b
2
t
2 1 2 1 1 1 2
*
q
t
ie
exp p p p p A t dt dt
mc
1 1 2 1 1 1 1 2 1 1
11
22
11
t
q p q p q q q q p p q q q q
tt
i
C a a b b b C a a b b b
15
22
tt
2 1 1 2 1 1 1 2
*
q
tt
i i e
exp p p dt p p A t dt dt
mc
1 1 2 1 1 1 1 2 1 1
11
11
t
q p q p q q q q p p q q q q
tt
i
C a a b b b C a a b b b
2
t
2 1 2 2 1 1 1 2
*
q
t
i i e
exp p p t t p p A t dt dt
mc
Nhƣ vậy ta thu đƣợc kết quả cuối cùng là:
1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1
22
1
12
2
t
p ,p ,q q p q p q q q p p q q q q
tt
q
t
2 1 2 1 1 2
*
p p q
t
i
F (t) C a a b b b a a b b b
i ie
exp t t p p A t dt dt 1
mc
.6
Toán tử số hạt của điện tử:
p p p
t
n (t) a a
Toán tử số hạt của phonon:
q q q
t
N b b
,
q q q
t
N 1 b b
Do tính đối xứng mạng tinh thể nên
qq
và
qq
Bỏ qua số hạng chứa
t
bb
và
t
bb
Thay (1.6) vào (1.3) ta đƣa vào toán tử số hạt của điện tử và phonon t
2
t ta đƣợc:
t
2
p
2
q p q q p q
q
n (t)
1
C dt' n t' N n t' N 1
t
t
11
*
p p q q
t'
i ie
exp t t' qA(t )dt
mc
t
11
*
p q p q q p p q q
t'
i ie
n t' N n t' N 1 exp t t' qA(t )dt
mc
t
11
*
p q p q q p q p q
t'
i ie
n t' N n t' N 1 exp t t' qA(t )dt
mc
t
11
*
p q q p q p q p q
t'
i ie
n t' N n t' N 1 exp t t' qA t dt (1.7)
mc
16
Ta xét thế véc tơ của trƣờng điện từ trong trƣờng hợp tồn tại hai sóng điện từ trƣờng
laser
1
Et
và trƣờng sóng điện từ yếu
2
Et
.
1 2 01 1 02 2
At
1
E t E t E t E sin t E sin t
ct
Suy ra:
01 02
12
12
E c E c
A t cos t cos t
Áp dụng khai triển
exp izsin J z exp i
ta có:
t
01 02
1 1 1 1 2 2
* * 2 * 2
12
t'
01 01
l s 1 1
* 2 * 2
l,s
12
02
f
*2
1
ieE q ieE q
ie
exp qA t dt exp sin t' sin t sin t' sin t
m c m m
eE q eE q
J J exp is t' exp il t
mm
eE q
J
m
02
m 2 2
*2
f ,m
2
eE q
J exp if t' exp im t
m
Đặt:
01 02
12
* 2 * 2
12
eE eE
a ; a
mm
khi đó ta có:
t
1 1 l 1 s 1 m 2 f 2
*
l,s,m,f
t'
1 2 1 2
ie
exp qA t dt J a q J a q J a q J a q
mc
exp i s l m f t exp i s m t t'
Thay kết quả này vào (1.7) và đƣa vào thừa số e
-δ(t-t’)
(δ→
+
0) xuất hiện do giả thiết
đoạn nhiệt của tƣơng tác
2
p
l 1 s 1 m 2 f 2
2
q
l,s,m,f
q
n (t)
1
|C | J a q J a q J a q J a q
t
t
12
p q q p q
exp i (s l) (m f) t dt' n (t')N n (t')(N 1)
12
p p q q
i
exp s m i t t'
12
p q p q q p p q q
i
n (t')N n (t')(N 1) exp s m i t t'
17
12
p q p q q p q p q
i
n (t')N n (t')(N 1) exp s m i t t'
12
p q q p q p q p q
i
n (t')N n (t')(N 1) exp s m i t t' 1.8
Vậy (1.8) là phƣơng trình động lƣợng tử cho hàm phân bố không cân bằng
của điện tử trong bán dẫn khối khi có mặt hai song điện từ
1
Et
và
2
E (t)
. Ta giải
(1.8) bằng phƣơng pháp xấp xỉ gần đúng lặp, ta xem
p
p
ntn )(
và tính các tích phân
sau:
t
1 1 2
p p q q
12
p p q q
i
K exp s m i t t' dt'
i
s m i
t
12
2 1 2
12
exp i s l m f t
K exp i s l m f t' dt'
i s l m f
Với các tích phân K
1
và K
2
đã tính ta đƣợc:
2
l 1 s 1 m 2 f 2
2
pq
l,s,m,f
q
1
n (t) |C | J a q J a q J a q J a q
12
12
exp i (s l) (m f) t
i (s l) (m f)
p q p p p q
q q q q
1 2 1 2
p p q q p p q q
n N n N 1 n N n N 1
s m i s m i
p p q p q p
q q q q
1 2 1 2
p q p q p q p q
n N n N 1 n N n N 1
1.9
s m i s m i
Mật độ dòng đƣợc cho bởi biểu thức:
*
p
p
ee
J t p A t n t
mc
Hay ta có:
2
2
o
* * * *
p p p
p p p
en
e e e
J t A t n t pn t A t pn t
m c m m c m
(1.10)
18
Do số hạt electron bằng tổng số electron theo từng trạng thái có xung lƣợng
p
nên :
o
p
p
n t n
*
m
: khối lƣợng hiệu dụng của electron.
Ta xét số hạng thứ hai của biểu thức (1.10) :
2
l 1 s 1 m 2 f 2
**
pq
l,s,m,f
pq
12
12
p q p p p q
q q q q
p
12
p p q q p p
ee
pn t |C | J a q J a q J a q J a q
mm
exp i s l m f t
i s l m f
n N n N 1 n N n N 1
p
s m i
12
p p q p q p
q q q q
1 2 1 2
p q p q p q p q
s m i
n N n N 1 n N n N 1
(1.11)
s m i s m i
Đặt
k l s l k s k :
r l m f r m r :
Ta có:
2
12
k s 1 s 1 m 2 r m 2
**
pq
l,s,m,f
pq
12
exp i k r t
ee
pn t |C | J a q J a q J a q J a q
m m i k r
p q p p p q
q q q q
p
1 2 1 2
p p q q p p q q
n N n N 1 n N n N 1
p
s m i s m i
p p q p q p
q q q q
1 2 1 2
p q p q p q p q
n N n N 1 n N n N 1
s m i s m i
Thực hiện các bƣớc chuyển đổi:
q q, m m
đối với số hạng thứ 1 và thứ 2
và sử dụng tính chất hàm Bessel
J x J x 1 J x
Số hạng thứ nhất:
2
k s 1 s 1 m 2 r m 2
**
pq
l,s,m,f
pq
ee
pn t |C | J a q J a q J a q J a q
mm
19
p q p
12
p
1 2 1 2
p p q q
n N n N 1
exp i k r t
p
i k r s m i
2
k s 1 s 1 m 2 r m 2
*
q
l,s,m,f
q
e
|C | J a q J a q J a q J a q
m
p q p
12
p
1 2 1 2
p p q q
2
s k 1 s 1 m 2 m r 2
*
q
l,s,m,f
q
p q p
12
p
12
n N n N 1
exp i k r t
p
i k r s m i
e
|C | J a q J a q J a q J a q
m
n N n N
exp i k r t
p
i k r
12
p q p q
1
s m i
Số hạng thứ hai:
2
12
k s 1 s 1 m 2 r m 2
*
q
l,s,m,f
q
12
exp i k r t
e
|C | J a q J a q J a q J a q
m i k r
p p q
p
12
p p q q
n N n N 1
p
s m i
2
12
k s 1 s 1 m 2 r m 2
*
q
l,s,m,f
q
12
exp i k r t
e
|C | J a q J a q J a q J a q
m i k r
p p q
p
12
p p q q
n N n N 1
p
s m i
2
12
s k 1 s 1 m 2 m r 2
*
q
l,s,m,f
q
12
exp i k r t
e
|C | J a q J a q J a q J a q
m i k r
p p q
p
12
p q p q
n N n N 1
p
s m i
Số hạng thứ ba giữ nguyên
Số hạng thứ bốn giữ nguyên
Khi đó (1.11) có dạng :
20
2
12
**
pq
k,s,m,r
pq
12
p q p
p
exp i k r t
ee
pn t |C |
m m i k r
p n N n N 1
s k 1 s 1 m 2 m r 2 k s 1 s 1 m 2 r m 2
1 2 1 2
p q p q p q p q
p q p
k s 1 s 1 m 2
J a q J a q J a q J a q J a q J a q J a q J a q
s m i s m i
p n N n N 1
J a q J a q J a q J
r m 2 s k 1 s 1 m 2 m r 2
1 2 1 2
p q p q p q p q
a q J a q J a q J a q J a q
1.12
s m i s m i
Đặt nhân tử chung đƣa ra ngoài ngoặc vuông, biểu thức (1.12) là
2
12
**
pq
k,s,m,r
p q,p
12
p q p
s 1 m 2
exp i k r t
ee
pn t |C | p
m m k r
J a q J a q n N n N 1
s k 1 m r 2 k s 1 r m 2
1 2 1 2
p q p q p q p q
J a q J a q J a q J a q
s m i s m i
k s 1 r m 2 s k 1 m r 2
1 2 1 2
p q p q p q p q
J a q J a q J a q J a q
1.13
s m i s m i
Áp dụng công thức sau:
1 2 1 2 1 2
exp i k r t cos k r t isin k r t
Và
1
x i x
xi
Lƣu ý chỉ lấy phần thực của mật độ dòng
Jt
nên ta có:
2
p q p
s 1 m 2
**
p q q q
k,s,m,r
p q,p
ee
pn t |C | qJ a q J a q n N n N 1
mm
k s 1 r m 2 s k 1 m r 2
J a q J a q J a q J a q
12
1 2 1 2
p q p q
cos k r t
k r s m
21
12
k s 1 r m 2 s k 1 m r 2
12
sin k r t
( i) J a q J a q J a q J a q
kr
12
p q p q
i s m
Suy ra:
p
2
pq
s 1 m 2
**
pq
k,s,m,r
p q,p
12
n N n N 1
ee
pn t C q J a q J a q
m m k r
12
k s 1 r m 2 s k 1 m r 2
12
p q p q
cos k r t
J a q J a q J a q J a q
sm
k s 1 r m 2 s k 1 m r 2 1 2
J a q J a q J a q J a q sin (k r )t
12
p q p q
sm
(1.14)
Thay kết quả này vào biểu thức mật độ dòng (1.10) ta thu đƣợc:
2
p q p
2
0
*
q
k,s,m,r
q,p
12
n N n N 1
en
e
J t A t C q
mc m k r
s 1 m 2 k s 1 r m 2 s k 1 m r 2
J a q J a q J a q J a q J a q J a q
12
12
p q p q
cos k r t
sm
k s 1 r m 2 s k 1 m r 2 1 2
J a q J a q J a q J a q sin k r t
12
p q p q
sm
(1.15)
1.2.3. Tính hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu khi có mặt sóng điện từ mạnh.
Ta có hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ yếu bởi điện tử trong bán dẫn
khối với giả thiết
21
nhƣ sau:
02
2
2
t
02
8
J(t)E sin t
cE
(1.16)
Thay (1.15) vào (1.16) ta đƣợc:
22
2
0
02 2 02 2
p
2
p
02
t
t
en
8e
A t E sin t pn t E sin t
mc m
cE
Với thế vectơ trƣờng sóng điện từ:
01 02
12
12
E c E c
A t cos t cos t
Ta tính từng số hạng:
Số hạng thứ nhất.
T
22
0 0 01 02
02 02
2 1 2 2
12
0
t
e n e n E c E c
1
A(t)E sin t cos t cos t E sin tdt
mc mc T
Trong đó:
1
1
2
T
và
2
2
2
T
là chu kỳ của hai sóng điện từ. T là bội chung nhỏ
nhất của T
1
và T
2
.
Sử dụng tích phân:
cos a b x cos a b x
sin ax cos bx dx
2 a b 2 a b
(1.17)
với
22
ab
Suy ra:
2
0
02
2
t
en
A t E sin t 0
mc
(1.18)
Số hạng thứ hai
Theo (1.17) ta có số hạng thứ hai có thành phần chứa
12
cos k r t
sẽ
cho kết quả tích phân bằng 0. Do đó ta có:
p q p
2
02
02 2
pq
k,s,m,r
p q,p
12
t
s 1 m 2 k s 1 r m 2 s k 1 m r 2
1 2 1 2
p q p q
n N n N 1
eE
e
pn t E sin t q|C |
m m k r
J a q J a q J a q J a q J a q J a q
1
s m sin k r t
T
T
2
0
sin t dt
T
1 2 2
1 2 2
1 2 2
0
0 khi k r
Mà sin k r t sin t dt
T
khi k r
2
Suy ra:
23
2
02
p q p
02 2
p q q q
s,m
p q,p
2
t
eE
e
pn t E sin t C n N n (N 1)
m 2m
(1.19)
s 1 m 2 k s 1 r m 2 s k 1 m r 2
J a q J a q J a q J a q J a q J a q
12
p q p q
sm
Thay (1.19) vao (1.16) ta đƣợc:
2
2
p q p
s 1 m 2
q q q
s,m
q,p
2 02
k s 1 r m 2 s k 1 m r 2 1 2
p q p q
4e
q|C | n N n N 1 J a q J a q
c m E
J a q J a q J a q J a q s m
Với:
1 2 2
kr
Từ biểu thức hàm Bessel:
2 s k
1
s k 1
0
2s
k
11
0
k
1
s1
0
1
aq
J a q
! s k 1 2
1 s 1
a q a q
! s 1 2 s k 1 2
s1
aq
J (a q)
2 s k 1
Ta có:
k s 1 r m 2 s k 1 m r 2
J a q J a q J a q J a q
kr
12
0
s 1 m 1
a q a q
2 2 s k 1 m r 1
kr
12
s 1 m 2
0
2k 2r
kr
12
s 1 m 2
kr
0
12
s 1 m 1
a q a q
J a q J a q
2 2 s k 1 m r 1
a q a q
2
J a q J a q
22
a q a q
s 1 m 1 s 1 m 1
s k 1 m r 1 s k 1 m r 1
24
Giới hạn gần đúng của hàm Bessel và sử dụng giả thiết
01 02
EE
ta cho r = 1;k =
0 (thoả mãn giả thiết
1 2 2
kr
ta đƣợc:
m 1 2 m 1 2 s 1 s 1 m 2
2
2m
J a q J a q J a q J a q J a q
aq
Suy ra:
2
2
2
22
2
p q p
s 1 m 2
q q q
s,m
q,p
02
2 02
12
p q p q
2m
4e
q|C | n N n N 1 mJ a q J a q
Eq
c m E
s m 1.20
02
2
2
22
2
p q p
s 1 m 2
q q q
2
s,m
q,p
12
p q p q
8
C n N n N 1 mJ a q J a q
cE
s m 1.21
Viết dãy theo k = l trong công thức (1.21) dễ thấy các thành phần ứng với
12
s m 0
tƣơng hỗ triệt tiêu. Trong trƣờng hợp khi
12
,
lớn so với năng
lƣợng trung bình điện tử
p
thì hàm
trong (1.21) đƣợc viết lại là:
2
1 2 1 2
*
p q p q q
q
s m s m
2m
Từ đó ta tìm đƣợc thứ tự của
1
2
1,2
k
theo các giá trị của q.
Sử dụng điều kiện tần số phonon
p
q
rút ra
p
1,2
2
ms
với s là tốc độ
sóng âm. Nhƣ vậy tổng theo
p
không còn phụ thuộc vào phần đối số của
, ta thực
hiện lấy tổng
p q p
0
p
n n n
.
Xét tán xạ điện tử - phonon âm ta có:
2
0
q
s0
q
C
2 v V
và
BB
0s
k T k T
N 1 N
vq
Từ (1.21) ta đƣợc:
2
22
2 0 0 B
s 1 m 2 1 2
p q p q
22
s,m
q
02 s 0
4 n k T
mJ a q J a q s m 1.22
c E v V
25
Áp dụng gần đúng:
p
1,2
, ta có:
2
2
22
2 0 0 B
s 1 m 2 1 2
*
q
22
s,m
q
02 s 0
4 n k T
q
mJ a q J a q s m 1.23
2m
c E v V
Xét trƣờng hợp hấp thụ một photon của sóng điện từ yếu
2
(m = 1) và hạn
chế gần đúng bậc hai của hàm Bessel ta có:
k
2k
2
1
2k
k0
22
2
22
m2
m
1x
x x x
J x 1
2 2 k! k 1 ! 2 8
a q a q
mJ a q 1 1.24
22
Thay(1.24) vào (1.23) ta đƣợc:
22
2
2
2
2 0 0 B
22
s 1 1 2
*
q
22
s
q
02 s 0
4 n k T
a q a q
q
1 J a q s m 1.25
2 2 2m
c E v V
chỉ tồn tại các giá trị
q
và s thoả mãn:
2
12
*
q
q
s m 0
2m
Suy ra:
1
q
**
1 2 2
q
2
s
q 2m s m 2 m 1
Lƣu ý:
22
22
2 2 2
02 02
22
m2
* 2 * 2
m
22
eE q eE q
a q a q
1
mJ a q 1 cos 1 cos
2 2 m 2 m
Trong đó:
2
a ;q
;
1
2
Nên suy ra:
2
2 2 *
1
q
2 0 0 B 02
*2
22
22
02 s 0
s
8 n k T m eE
1
2m
c E v V
q
22
02
2
q
2 4 2 *
s 1 2
*3
s
22
e E 1 s
1
cos cos J a 2m 1 s cos
2 4m
