- Trang chủ >>
- Khoa học tự nhiên >>
- Vật lý
Hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.34 MB, 70 trang )
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
ĐỖ THỊ ANH TRÚC
HẤP THỤ PHI TUYẾN SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH BIẾN
ĐIỆU THEO BIÊN ĐỘ BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM
TRONG SIÊU MẠNG HỢP PHẦN
(TRƢỜNG HỢP TÁN XẠ ĐIỆN TỬ - PHONON QUANG)
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
HÀ NỘI - 2012
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
ĐỖ THỊ ANH TRÚC
HẤP THỤ PHI TUYẾN SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH BIẾN
ĐIỆU THEO BIÊN ĐỘ BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM
TRONG SIÊU MẠNG HỢP PHẦN
(TRƢỜNG HỢP TÁN XẠ ĐIỆN TỬ - PHONON QUANG)
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Chuyên ngành : Vật lý lý thuyết - vật lý toán
Mã số : 60 44 01
Người hướng dẫn khoa học: TS. ĐINH QUỐC VƢƠNG
HÀ NỘI - 2012
i
LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên cho em xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất
đến TS. Đinh Quốc Vƣơng, người thầy đã hướng dẫn và chỉ đạo tận tình cho em
trong quá trình thực hiện luận văn này.
Cho em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong bộ môn vật lí lý thuyết
– Khoa Vật Lí cùng các thầy cô giáo trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên – Đại
Học Quốc Gia Hà Nội đã giúp đỡ và dạy bảo tận tình em trong suốt thời gian vừa
qua, để em có thể học tập và hoàn thành luận văn này một cách tốt nhất.
Em cũng xin chân thành cảm ơn sự quan tâm, giúp đỡ, tạo điều kiện của ban
chủ nhiệm khoa Vật Lí, phòng sau đại học trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên –
Đại Học Quốc Gia Hà Nội đã gúp đỡ em hoàn thành luận văn.
Em xin chân thành cảm ơn các anh chị nghiên cứu sinh, các anh chị em trong
lớp cao học vật lý khóa học 2010 – 2012 đã giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập
cũng như trong quá trình làm luận văn này.
Cuối cùng cho em gửi lời cảm ơn sâu sắc tới gia đình, bạn bè đã luôn động
viên em và tạo điều kiện tốt nhất cho em trong suốt quá trình học tập và hoàn thành
luận văn.
Hà Nội ngày tháng năm 2012
Tác giả
Đỗ Thị Anh Trúc
ii
MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN i
MỤC LỤC ii
DANH MỤC HÌNH VẼ iv
MỞ ĐẦU 1
1. Lý do chọn đề tài 1
2. Về phương pháp nghiên cứu: 2
3. Về mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu: 2
4. Cấu trúc của khóa luận: 2
CHƢƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ SIÊU MẠNG HỢP PHẦN VÀ BÀI TOÁN
HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH BIẾN ĐIỆU THEO BIÊN ĐỘ TRONG
BÁN DẪN KHỐI 4
1.1. Tổng quan về siêu mạng hợp phần 4
1.1.1. Khái niệm về siêu mạng hợp phần 4
1.1.2. Phổ năng lượng và hàm sóng của điện tử giam cầm trong siêu mạng 5
1.2. Bài toán hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ trong bán
dẫn khối 7
1.2.1. Sự hấp thụ sóng điện từ trong bán dẫn khối 7
1.2.2. Xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối 10
1.2.3. Biểu thức hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ
trong bán dẫn khối 14
CHƢƠNG 2. PHƢƠNG TRÌNH ĐỘNG LƢỢNG TỬ VÀ HỆ SỐ HẤP THỤ
PHI TUYẾN SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH BIẾN ĐIỆU THEO BIÊN ĐỘ BỞI
ĐIỆN TỬ GIAM CẦM TRONG SIÊU MẠNG HỢP PHẦN 22
2.1.Hamiltonian tương tác của hệ điện tử-phonon trong siêu mạng hợp phần 22
2.2. Phương trình động lượng tử cho điện tử trong siêu mạng hợp phần………….25
2.3. Hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ bởi điện tử
giam cầm trong siêu mạng hợp phần. 33
iii
CHƢƠNG 3. TÍNH TOÁN SỐ VÀ VẼ ĐỒ THỊ CHO SIÊU MẠNG HỢP
PHẦN 46
3.1. Kết quả tính toán số và vẽ đồ thị. 46
3.2. Nhận xét: 49
KẾT LUẬN 51
TÀI LIỆU THAM KHẢO 52
PHỤ LỤC 56
iv
DANH MỤC HÌNH VẼ
Hình 3.1. Sự phụ thuộc của
vào T trường hợp hấp thụ gần ngưỡng 47
Hình 3.2. Sự phụ thuộc của
vào E
0
() trường hợp hấp thụ gần ngưỡng 47
Hình 3.3. Sự phụ thuộc của
vào trường hợp hấp thụ gần ngưỡng 48
Hình 3.4. Sự phụ thuộc của
vào trường hợp hấp thụ gần ngưỡng 48
Hình 3.5. Sự phụ thuộc của
vào T trường hợp hấp thụ xa ngưỡng 49
Hình 3.6. Sự phụ thuộc của
vào E
0
() trường hợp hấp thụ xa ngưỡng 49
Hình 3.7. Sự phụ thuộc của
vào trường hợp hấp thụ xa ngưỡng 49
1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Cuối những năm 80 của thế kỷ trước, các thành tựu của khoa học vật lý được
đặc trưng bởi sự chuyển hướng đối tượng nghiên cứu chính từ các vật liệu bán dẫn
khối (bán dẫn có cấu trúc 3 chiều) sang bán dẫn thấp chiều. Đó là, các bán dẫn hai
chiều (giếng lượng tử, siêu mạng hợp phần, siêu mạng pha tạp, màng mỏng, …); bán
dẫn một chiều (dây lượng tử hình trụ, dây lượng tử hình chữ nhật,…); bán dẫn không
chiều (chấm lượng tử hình lập phương, chấm lượng tử hình hình cầu). Tuỳ thuộc vào
cấu trúc bán dẫn cụ thể mà chuyển động tự do của các hạt tải (điện tử, lỗ trống, …)
bị giới hạn mạnh theo một, hai, hoặc cả ba chiều trong không gian mạng tinh thể. Hạt
tải chỉ có thể chuyển động tự do theo hai chiều (hệ hai chiều, 2D) hoặc một chiều (hệ
một chiều, 1D), hoặc bị giới hạn theo cả 3 chiều (hệ không chiều, 0D) [1-32].
Việc chuyển từ hệ bán dẫn khối sang các hệ bán dẫn thấp chiều trong đó có
siêu mạng đã làm thay đổi hàng loạt các tính chất vật lý cả định lượng lẫn tính mới
mẻ đặc thù của hệ thấp chiều.Với sự phát triển của vật lý chất rắn, công nghệ nuôi
cấy tinh thể Epytaxy chùm phân tử (MBE) [13,14, 20- 23] và kết tủa hơi kim loại
hữu cơ (MOCV) [32], cho phép tạo ra nhiều hệ các cấu trúc thấp chiều như: hố
lượng tử (quantum well), siêu mạng (superlattice), dây lượng tử (quantum wire),
chấm lượng tử (quantum dot). Trong số các vật liệu mới đó, các nhà vật lý đặc biệt
chú ý tới bán dẫn siêu mạng. Bán dẫn siêu mạng có nhiều ưu điểm là do có thể dễ
dàng điều chỉnh các tham số, từ đó có thể tạo ra các bán dẫn siêu mạng có đặc trưng
cấu trúc và các hiệu ứng đáp ứng những yêu cầu và mục đích sử dụng khác nhau.
Đối với siêu mạng hợp phần, khi có sự tác dụng của từ trường ngoài vào các hệ thấp
chiều, trong trường hợp từ trường vuông góc với trục của siêu mạng, phổ năng
lượng của điện tử trong trường hợp này trở nên gián đoạn hoàn toàn. Chính sự gián
đoạn hoàn toàn của phổ năng lượng một lần nữa lại ảnh hưởng lên các tính chất phi
tuyến của hệ.
Trong số các hiệu ứng vật lý gây bởi tương tác trường sóng điện từ mạnh cao
tần (lazer) lên bán dẫn nói chung và bán dẫn thấp chiều nói riêng thì đáng chú ý
2
trong đó có hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh bởi điện tử giam cầm trong siêu
mạng hợp phần. Bài toán này đã được giải quyết vào những năm 80 của thế kỉ XX
đối với bán dẫn khối nhưng bài toán hấp thụ phi tuyến sóng điên từ mạnh biến điệu
theo biên độ bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần vẫn bị bỏ ngỏ. Bởi vậy
trong luận văn này, chúng tôi sẽ nghiên cứu lý thuyết hấp thụ phi tuyến sóng điện từ
mạnh biến điệu theo biên độ bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần có
tính toán cụ thể cho trường hợp tán xạ điện tử-phonon quang và khảo sát kết quả
thu được đối với siêu mạng hợp phần GaAs - Al
0.3
Ga
0.7
As .
2. Về phƣơng pháp nghiên cứu:
- Để tính hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh trong siêu mạng hợp phần
có thể sử dụng nhiều phương pháp khác nhau như phương pháp hàm Green, phương
pháp tích phân phiếm hàm, phương pháp phương trình động lượng tử…Trong luận
văn này, chúng tôi sử dụng phương pháp phương trình động lượng tử cho điện tử để
giải quyết. Đây là phương pháp được sử dụng nhiều khi nghiên cứu các hệ thấp
chiều và cho hiệu quả cao.
- Sử dụng phần mềm Matlab 7.0 để tính số và vẽ đồ thị.
3. Về mục đích, đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu:
Mục đích:
- Nghiên cứu sự hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ
bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần (trường hợp tán xạ điện tử - phonon
quang)
- Tính toán số các kết quả lý thuyết cho một loại siêu mạng hợp phần GaAs -
Al
0.3
Ga
0.7
As .
Đối tượng: Siêu mạng hợp phần.
Phạm vi: Tính hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên
độ (trường hợp tán xạ điện tử - phonon quang).
4. Cấu trúc của khóa luận:
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, khóa luận được
chia làm 3 chương, 7 mục, 7 hình vẽ tổng cộng là 64 trang:
3
Chƣơng 1: Giới thiệu về siêu mạng hợp phần và bài toán về hệ số hấp thụ
sóng điện từ trong bán dẫn khối.
Chƣơng 2: Phương trình động lượng tử và biểu thức giải tích của hệ số hấp
thụ phi tuyến sóng điện mạnh biến điệu theo biên độ từ bởi điện tử giam cầm trong
siêu mạng hợp phần (trường hợp tán xạ - điện tử phonon quang).
Chƣơng 3: Tính toán số và vẽ đồ thị các kết quả lý thuyết cho siêu mạng
hợp phần GaAs - Al
0.3
Ga
0.7
As .
Trong đó chương 2 và chương 3 là hai chương chứa đựng những kết quả
chính của luận văn.
Luận văn này đã đưa ra được các phương trình động lượng tử cho điện tử và
hàm phân bố điện tử không cân bằng tổng quát trong siêu mạng hợp phần. Thiết lập
được công thức tổng quát tính hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh biến điệu
theo biên độ bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần (trường hợp tán xạ
điện tử-phonon quang). Thiết lập được công thức tính hệ số hấp thụ sóng điện từ
cho các trường hợp giới hạn (hấp thụ gần ngưỡng và hấp thụ xa ngưỡng sóng điện
từ). Từ biểu thức giải tích tôi tiến hành tính toán số, vẽ đồ thị sự phụ thuộc của hệ
số hấp thụ sóng điện từ cho siêu mạng hợp phần GaAs - Al
0.3
Ga
0.7
As. Các kết
quả thu được cho thấy, hệ số hấp thụ sóng điện từ phụ thuộc phi tuyến vào các
thông số của hệ như nhiệt độ T, cường độ điện trường E
0
, tần số sóng điện từ.
Ngoài ra, hệ số hấp thụ sóng điện từ còn phụ thuộc phi tuyến vào các đại lượng
đặc trưng cho siêu mạng hợp phần như chu kỳ siêu mạng d, số chu kỳ siêu mạng
N
1
, các chỉ số mini vùng n,n’, độ rộng mini vùng
n
. Đặc biệt, trong trường sóng
điện từ mạnh biến điệu, hệ số hấp thụ còn phụ thuộc vào thời gian.
4
CHƢƠNG 1
TỔNG QUAN VỀ SIÊU MẠNG HỢP PHẦN
VÀ BÀI TOÁN HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH BIẾN ĐIỆU THEO BIÊN
ĐỘ TRONG BÁN DẪN KHỐI
1.1. Tổng quan về siêu mạng hợp phần
1.1.1. Khái niệm về siêu mạng hợp phần
Siêu mạng hợp phần là vật liệu bán dẫn mà hệ điện tử có cấu trúc chuẩn hai
chiều, được cấu tạo từ một lớp mỏng bán dẫn với độ dày d
1
, ký hiệu là A, độ rộng
vùng cấm hẹp
A
g
(ví dụ như GaAs) đặt tiếp xúc với lớp bán dẫn mỏng có độ dày d
2
ký hiệu là B có vùng cấm rộng
B
g
(ví dụ AlAs). Các lớp mỏng này xen kẽ nhau vô
hạn dọc theo trục siêu mạng (hướng vuông góc với các lớp trên). Trong thực tế tồn
tại nhiều lớp mỏng kế tiếp dưới dạng B/A/B/A…, và độ rộng rào thế đủ hẹp để các
lớp mỏng kế tiếp nhau như một hệ tuần hoàn bổ sung vào thế mạng tinh thể. Khi đó,
điện tử có thể xuyên qua hàng rào thế di chuyển từ lớp bán dẫn vùng cấm hẹp này
sang lớp bán dẫn có vùng cấm hẹp khác. Do đó, điện tử ngoài việc chịu ảnh hưởng
của thế tuần hoàn của tinh thể nó còn chịu ảnh hưởng của một thế phụ. Thế phụ này
được hình thành do sự chênh lệch năng lượng giữa các cận điểm đáy vùng dẫn của
hai bán dẫn siêu mạng, và cũng biến thiên tuần hoàn nhưng với chu kỳ lớn hơn rất
nhiều so với hằng số mạng. Sự có mặt của thế siêu mạng đã làm thay đổi cơ bản
phổ năng lượng của điện tử. Hệ điện tử trong siêu mạng hợp phần khi đó là khí điện
tử chuẩn hai chiều. Các tính chất vật lý của siêu mạng được xác định bởi phổ điện
tử của chúng thông qua việc giải phương trình Schodinger với thế năng bao gồm thế
tuần hoàn của mạng tinh thể và thế phụ tuần hoàn trong siêu mạng. Từ sự tương
quan của đáy và đỉnh vùng cấm của bán dẫn tạo thành siêu mạng, ta có thể phân biệt
siêu mạng hợp phần làm hai loại.
Siêu mạng hợp phần loại I: được tạo thành từ các bán dẫn có độ rộng vùng
cấm hoàn toàn bao nhau (Siêu mạng Al
x
Ga
1-x
As/GaAs gồm vài trăm lớp xen kẽ
5
nhau bởi tỷ lệ pha tạp x đối với Al thay đổi từ 0,15 đến 0,35 và chu kỳ thay đổi từ
50A
o
đến 200A
o
). Trong siêu mạng này các tương tác giữa các hạt tải từ các lớp
riêng biệt chỉ xảy ra giữa các vùng năng lượng cùng loại.
Siêu mạng hợp phần loại II: được tạo ra từ các bán dẫn có độ rộng vùng cấm
nằm gần nhau nhưng không bao nhau hoặc chỉ trùng một phần (siêu mạng Ga
x
In
1-
x
As/ GaAs
y
Sb
1-y
được tạo ra năm 1977). Trong siêu mạng này có thể xảy ra tương
tác giữa các hạt tải nằm trong các vùng khác nhau, tức là điện tử của bán dẫn này
tương tác với lỗ trống của bán dẫn kia.
Đôi khi người ta cũng có thể tạo ra một siêu mạng từ một bán dẫn thông
thường và một bán dẫn khác với khe năng lượng bằng 0 (zero - gap) - siêu mạng
loại III. Ngoài ra người ta còn có thể tạo ra siêu mạng pha tạp hay siêu mạng "nipi".
Siêu mạng loại này được tạo ra bởi sự pha tạp lớp A loại n với lớp B loại p.
1.1.2. Phổ năng lƣợng và hàm sóng của điện tử giam cầm trong siêu mạng
Các tính chất vật lý của siêu mạng được xác định bởi phổ điện tử của chúng
thông qua việc giải phương trình Schrodinger với thế năng bao gồm thế tuần hoàn
của mạng tinh thể và thế phụ tuần hoàn trong siêu mạng. Bằng cách giải phương
trình Schrodinger trong đó ta đưa vào thế tuần hoàn một chiều có dạng hình chữ
nhật ta thu được hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử trong siêu mạng hợp phần
có dạng như sau[16 - 17, 30]:
2 cos cos
n x y
k k d k d
(1.1)
Trong biểu thức (1.1),
là độ rộng của vùng mini; d=d
1
+d
2
là chu kỳ siêu mạng;
k
x
, k
y
là các véc tơ xung lượng của điện tử theo hai trục tọa độ x,y trong mặt phẳng
siêu mạng. Phổ năng lượng của mini vùng có dạng:
cos
n n n z
k k d
(1.2)
n
là độ rộng của mini vùng thứ n, xác định bởi biểu thức:
6
2
2
00
0
2
2
0
00
exp 2 /
41
2/
n
nn
m d d U
d
dd
m d d U
(1.3)
Trong công thức (1.3), d
0
là độ rộng của hố thế biệt lập;
0 cv
U
là độ sâu
của hố thế biệt lập;
AB
c c c
là độ sâu của hố thế giam giữ điện tử được xác
định bởi cực tiểu của hai vùng dẫn của hai bán dẫn A và B;
AB
v v v
là độ
sâu của hố thế giam giữ lỗ trống được xác định bởi hiệu các cực đại của các khe
năng lượng giữa hai bán dẫn A và B; n là chỉ số mini vùng;
22
2
2
2
n
n
md
là các
mức năng lượng trong hố thế biệt lập.
22
12
1 2 1 2
12
cos cos sinh sin sinh
2
z
kk
k d k a k b k a k b
kk
1/2
2
1
1
2
sz
k m E k
;
1/2
2
1
2
sz
k m r k
Từ đó ta có:
2 2 2 2 2
2
cos
22
n n z
kn
k k d
m m d
(1.4)
cv
r
là thế siêu mạng được xác định bởi hiệu các khe năng lượng hai
bán dẫn. Như vậy, thế của siêu mạng bằng tổng năng lượng chênh lệch của các
vùng dẫn
c
và độ chênh lệch năng lượng các vùng hóa trị
v
của hai lớp bán
dẫn kế tiếp. Như đã trình bày ở trên, vì chu kỳ của siêu mạng lớn hơn nhiều so với
hằng số mạng, trong khi đó biên độ của thế siêu mạng lại nhỏ hơn nhiều so với biên
độ của thế mạng tinh thể [1]. Do đó, ảnh hưởng của thế tuần hoàn trong siêu mạng
chỉ thể hiện ở các mép vùng năng lượng. Tại các mép của vùng năng lượng, quy
luật tán sắc có thể xem là dạng bậc hai, phổ năng lượng có thể tìm thấy trong gần
đúng khối lượng hiệu dụng. Đối với các vùng năng lượng đẳng hướng không suy
biến, phương trình Schrodinger có dạng:
7
2
2
2
r r r E r
m
Vì
r
là tuần hoàn nên hàm sóng của điện tử
r
có dạng hàm Block thỏa mãn
điều kiện biên trên mặt tiếp xúc giữa hố thế và hàng rào thế. Hàm sóng tổng cộng
của điện tử trong mini vùng n của siêu mạng hợp phần (trong gần đúng liên kết
mạnh) có dạng [30]:
1
1
exp exp
d
N
x y z s
m
xy
r i k x k y ik md z md
L L N
(1.5)
Trong đó, L
x
, L
y
là độ dài chuẩn hóa theo hướng x và y; d và N
d
là chu kỳ và
số chu kỳ siêu mạng hợp phần;
s
z
là hàm sóng của điện tử trong hố cô lập.
1.2. Bài toán hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ trong
bán dẫn khối.
1.2.1. Sự hấp thụ sóng điện từ trong bán dẫn khối
Việc nghiên cứu hiệu ứng động của bán dẫn nói chung, cấu trúc hệ thấp chiều
nói riêng cho ta nhiều thông tin có giá trị về tính chất và các hiệu ứng của hệ điện tử
trong hệ bán dẫn thấp chiều. Một trong những hiệu ứng động được các nhà vật lý lý
thuyết cũng như thực nghiệm quan tâm nghiên cứu đó là độ dẫn cao tần của bán dẫn
và sự hấp thụ sóng điện từ trong các hệ vật liệu bán dẫn. Ngay từ những thập niên
cuối của thế kỷ trước, trên quan điểm cổ điển, dựa vào phương trình động học
Bolzmann, độ dẫn cao tần đã được quan tâm nghiên cứu rộng rãi[9, 12, 27-29].
Trong các công trình đó, bài toán vật lý được giới hạn trong miền tần số cổ điển
kT
(nhiệt độ cao), với giả thiết thời gian phục hồi xung lượng trung
bình
của điện tử không phụ thuộc vào tần số
của sóng điện từ. Khi sóng điện từ
được truyền vào vật rắn thì có thể xảy ra các hiện tượng sau đây: sóng truyền qua,
sóng phản xạ, sóng bị hấp thụ. Sự khác nhau giữa sóng truyền trong chân không và
truyền trong vật rắn thể hiện qua hằng số điện môi
0
và độ dẫn điện
. Hằng số
điện môi
0
cho phép xác định gián tiếp độ xê dịch của dòng hạt tải; độ dẫn điện
xác định khả năng của dòng thực mà điện trường gây ra.
8
Phổ hấp thụ của bán dẫn rất phức tạp, gồm ba phần chính sau: chuyển dịch
trực tiếp từ vùng dẫn lên vùng hóa trị; chuyển dịch gián tiếp giữa vùng dẫn và vùng
hóa trị và chuyển dịch nội vùng[1-6, 10, 19, 24]. Sự hấp thụ do chuyển dịch trực
tiếp giữa vùng dẫn và vùng hóa trị xuất hiện khi điện tử vùng hoá trị hấp thụ một
photon có năng lượng lớn hơn độ rộng vùng cấm và chuyển dịch lên vùng dẫn với
vector sóng
k
gần như không thay đổi (do vector sóng của photon coi là rất nhỏ).
Khi đó, tại vùng hoá trị xuất hiện vector sóng
k
. Sự hấp thụ này xảy ra đối với
những chất bán dẫn có khe vùng cấm như InSb, InAs, GaAs, GaSb. Hai loại hấp
thụ do chuyển dịch trực tiếp và gián tiếp của điện tử từ vùng hoá trị lên vùng dẫn có
thể được tính trực tiếp bằng lý thuyết nhiễu loạn phụ thuộc thời gian[1-7, 19]. Tuy
nhiên, có thể sử dụng biểu thức của tensor độ dẫn điện để tính những chuyển dịch
loại này. Hệ số hấp thụ sóng điện từ chỉ phụ thuộc vào phần thực của tensor độ dẫn
điện. Khi không xét tới tương tác điện tử-phonon cũng như bỏ qua các tương tác
khác, biểu thức phần thực độ dẫn điện có dạng giống như quy tắc Fermi:
2
,
Re
m
E
xx m n
mn
e
m H n E E
Z
(1.6)
Sự hấp thụ do chuyển dịch nội vùng: ngoài các chuyển dịch giữa các vùng
dẫn ở trên, sự hấp thụ sóng điện từ còn phụ thuộc vào chuyển dịch nội vùng, được
thể hiện khi tần số sóng điện từ nhỏ hơn độ rộng vùng cấm hoặc nếu như trong cùng
một vùng năng lượng của kim loại hay bán dẫn tồn tại các trạng thái lấp đầy và các
trạng thái không lấp đầy. Sự hấp thụ do chuyển dịch nội vùng là sự hấp thụ mà các
điện tích tự do hấp thụ hoặc bức xạ phonon liên tục để có thể chuyển dịch từ trạng
thái này sang trạng thái khác. Do đó, có thể coi chuyển dịch loại này là chuyển dịch
liên tục giữa các trạng thái kế tiếp nhau [2, 15, 17]. Ngoài các chuyển dịch nội vùng
do tương tác điện tử-phonon, điện tử tự do có thể chuyển dịch giữa các trạng thái do
các tương tác khác như tương tác điện tử-ion nút mạng, điện tử-tạp chất, … [9, 12,
26-29], trong đó tương tác điện tử - phonon có đóng góp đáng kể nhất đối với
chuyển dịch của điện tử tự do.
9
Như đã phân tích ở trên, dù là hấp thụ do chuyển dịch giữa các vùng dẫn và
vùng hóa trị hay hấp thụ do dịch chuyển nội vùng thì tương tác giữa hạt tải và
phonon có đóng góp đáng kể nhất đối với sự dịch chuyển của các hạt tải tự do Điều
này có nghĩa là khi điện tử chuyển động trong mạng tinh thể của bán dẫn chịu ảnh
hưởng của sóng điện từ theo hướng làm tăng tốc, đồng thời chịu ảnh hưởng của dao
động mạng tinh thể theo hướng cản trở chuyển động. Với giả thiết, điện trường biến
thiên mạnh là sóng điện từ phẳng và sự truyền sóng điện từ này dọc theo trục (giả
thiết 0z) có cường độ sóng điện từ giảm dần. Đại lượng đặc trưng cho quá trình
giảm cường độ của sóng điện từ khi đi sâu vào trong bán dẫn gọi là hệ số hấp thụ
sóng điện từ, ký hiệu
zz
, có dạng [1-7, 26-29, 30, 31]
4
Re
zz zz
cN
(1.7)
ở đây, N
*
là chiết suất tinh thể; c là vận tốc ánh sáng.
Khảo sát độ dẫn điện của vật liệu và hệ số hấp thụ sóng điện từ mạnh do
tương tác điện tử-phonon gây ra là một bài toán mang tính chất kinh điển nhưng rất
quan trọng vì đây là các hiệu ứng xảy ra khi các vật liệu bán dẫn có mặt trong các
linh kiện hoạt động. Dưới tác dụng của điện trường và từ trường, độ dẫn điện của
hạt dẫn cho ta nhiều thông tin về tính chất chuyển tải lượng tử. Sự chuyển dịch của
điện tử giữa vùng dẫn và vùng hoá trị như đã trình bày ở trên có thể được khảo sát
nhờ sử dụng lý thuyết phản ứng của hệ dưới tác dụng của trường ngoài (điện
trường, từ trường). Hệ số hấp thụ tương ứng với chuyển dịch giữa vùng dẫn và vùng
hoá trị là phức tạp, đặc biệt khi xét tới các số hạng bậc cao (sóng điện từ mạnh, tần
số cao).
Hệ số hấp thụ sóng điện từ tỷ lệ thuận với
Re
, vì vậy hệ số hấp thụ tuyến tính
sóng điện từ không phụ thuộc vào cường độ điện trường
E
(ở đây ta chỉ tính đến số
hạng bậc nhất của tensor độ dẫn cao tần). Trong trường hợp sóng điện từ có cường độ
mạnh cao tần, đóng góp của số hạng bậc cao vào tensor độ dẫn cao tần là đáng kể và
phải được tính đến. Khi đó xuất hiện sự phụ thuộc phi tuyến của tensor độ dẫn cao
10
tần vào cường độ điện trường
0
E
của sóng điện từ.Vì vậy, hệ số hấp thụ phi tuyến
sóng điện từ là đại lượng phụ thuộc phi tuyến vào cường độ điện trường
0
E
.
1.2.2. Xây dựng phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử trong bán dẫn khối
Trong phần này, chúng tôi giới thiệu tổng quát về tính chất quang phi tuyến
(lý thuyết lượng tử) của bán dẫn khối. Trước hết, xây dựng phương trình động
lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối khi có mặt trường sóng điện từ mạnh. Ta có
Hamilton của hệ điện tử - phonon trong bán dẫn khối là [1-7, 26-29, 30,
31]:
phephe
HHHH
(1.8)
Với:
+
k
kk
e
aa)t(A
c
e
kH
+
q
qqq
ph
bbH
+
k,q
qqkqkq
phe
bbaaCH
+
k
+
q
là trạng thái của điện tử trước và sau tán xạ;
+
k
là năng lượng của điện tử.
+
,
kk
aa
lần lượt là toán tử sinh và hủy điện tử ( kiểu hạt fecmi )
' ' , '
{ , } { , }=
k k k k k k
a a a a
;
''
[ , ]=[ , ] 0
k k k k
a a a a
+
,
bb
lần lượt là toán tử sinh và hủy phonon (kiểu hạt boson)
' , '
[ , ]
k k k k
bb
;
''
!
[ , ]=[ , ] 0
!!
k k k k
n
b b b b
r n r
+
q
C
là hằng số tương tác điện tử - phonon quang, có biểu thức:
11
2
2
0
2
00
2
11
q
e
C
q
(1.9)
+
()
e
k A t
c
là hàm năng lượng theo biến
()
e
k A t
c
+
At
là thế vector của trường điện từ, được xác định bởi biểu thức:
0
1
sin
d A t
Et
c dt
(1.10)
Từ đó ta suy ra Hamilton của hệ điện tử - phonon trong bán dẫn khối là:
0
,
k k q q q k q k q q
k q q k
e
H k A t a a b b C a a b b
c
(1.11)
Để thiết lập phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối, sử
dụng:
w
t
Tr
, với
w
là toán tử ma trận mật độ,
t
là kí hiệu trung bình
thống kê tại thời điểm t:
,
k
k k k k
t
nt
i i a a a a H
tt
(1.12)
Hay:
' ' ' '
' , '
()
, ' ( ) ( )
k
q q q q q q
k k k k k q k
q
k q k
t
nt
e
i a a k A t a a b b C a a b b
tc
(1.13)
Vế phải của (1.13) có ba số hạng. Ta lần lượt tính từng số hạng.
- Số hạng thứ nhất:
' ' ' '
''
1 ; ' ( ) ' ( ) ;
k k k k k k k k
t
kk
t
t
ee
st a a k A t a a k A t a a a a
cc
- Ta có
12
' ' ' ' ' ' , ' ' ' ' , ' '
' , ' ' , '
; ( ) ( )
k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k
k k k k k k k k
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a
Vậy
' , ' ' , '
'
1 ' ( ) ( ) 0
k k k k k k k k
t
k
t
e
st k A t a a a a
c
(1.14)
- Số hạng thứ hai:
2 ; 0
k k q q q
t
q
t
sh a a b b
(1.15) (Do toán tử a, b là hai loại độc
lập, chúng giao hoán với nhau).
- Số hạng thứ ba:
' ' ' '
, ' , '
3 ; ;
k k q k q k q q q k k k q k q q
t
q k q k
t
t
sh a a C a a b b C a a a a b b
Ta có
' ' ' ' ' ' , ' ' ' ' , ' '
' , ' ' , '
; ( ) ( )
k k k q k k k k q k k q k k k k k k q k q k k k q k k k k k
k k k k q k q k k k
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a
Vậy
' , ' ' , '
,'
3
q k k k k q k q k k k q q
t
qk
t
sh C a a a a b b
q k k q q k k q q k q k q k q k q
t t t t
q
C a a b a a b a a b a a b
**
, , , , , , , ,
( ) ( ) ( ) ( )
q k k q q k q k q k q k q k k q q
q
C F t F t F t F t
(1.16)
Với
t
qkkqkk
baatF
2121
)(
,,
Vậy phương trình (1.13) trở thành:
**
, , , , , , , ,
()
( ) ( ) ( ) ( )
k
q k q k q k k q q k k q q k q k q
q
nt
i C F t F t F t F t
t
Hay
13
, , , , , , , ,
k
q k q k q k k q q k k q q k q k q
q
nt
i
C F t F F t F
t
(1.17)
Trong đó,
2 1 2
1
,,k k q k k k
t
F t a a b
. Tương tự như trên, thiết lập phương trình cho
2
1
,,k k q
Ft
và giải phương trình này thu được
2
1
,,k k q
Ft
. Thay
2
1
,,k k q
Ft
vµo
(1.17), thu ®-îc ph-¬ng tr×nh ®éng l-îng tö cho ®iÖn tö
trong b¸n dÉn khèi.
2
1
2
,
1
exp
q
t
k
sl
sl
q
nt
J J i s l t C dt
t
01
exp
i
k q k l i t t
1 1 1 1
11
k q k q q k q k q q
n t N n t N n t N n t N
01
exp
i
k q k l i t t
01
exp
i
k k q l i t t
1 1 1 1
11
k q q k q k q q k q
n t N n t N n t N n t N
01
0
exp
i
k k q l i t t
(1.18)
Với
0
eE q
m
;
0
E
,
là cường độ điện trường biến điệu và tần số của sóng
điện từ. Tham số dương vô cùng bé
đưa vào để đảm bảo giả thiết đoạn nhiệt. Sử
dụng phép gần đúng lặp liên tiếp:
1
k
k
n t n
;
1
kq
kq
n t n
;
1
kq
kq
n t n
(1.19)
Đặt s-k =l, giải phương trình (1.18) thu được:
14
k
nt
00
2
22
,
eE eE
1
il t
k k l
q
kl
q
C J J e
m m l
00
11
k k q k k q
q q q q
n N n N n N n N
k q k k i k q k k i
00
11
k q k k q k
q q q q
n N n N n N n N
k k q k i k k q k i
(1.20
)
Biểu thức (1.20) là hàm phân bố điện tử không cân bằng trong bán dẫn khối.
phương trình này là cơ sở để tính hệ số hấp thụ sóng điện từ trong bán dẫn khối
dưới tác dụng của trường laser.
1.2.3. Biểu thức hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh biến điệu
theo biên độ trong bán dẫn khối
Véc tơ mât độ dòng xác định bởi công thức:
k
k
ee
J t k A t n t
mc
(1.21)
Ta xét thế véc tơ của trường điện từ mạnh biến điệu theo biên độ:
1 1 2 2
1 ( )
sin sin
At
E t e e
ct
Với:
0
12
1 2 1 2
2 2 2
12
1
;;
22
e
ee
22
0
1 1 2 2 1 1 2 2
2
22
00
1 2 1 2
2
12
12
0
sin sin sin sin
2
sin sin sin sin
22
2sin os
2 2 2
e
E t e t e t t t
ee
t t t t
t
t
e
c
15
12
12
00
sin os os sin
22
t
t
e c e c t t
Do:
12
nên cos
t
biến đổi cực chậm so với
sin t
, do đó ta
có thể coi
os ct
như một hằng số khi
sin t
thay đổi hay lấy tích phân theo t.
Như vậy, để thuận tiện tính toán sau này, ta chuyển:
0 0 0
os os
e c t e c E
=>
0
1
sin
At
E t E t
ct
Suy ra:
0
( ) os
Ec
A t c t
víi
0
os
cE
A t c t
. Thay vµo (1.21), ta ®-îc:
2
00
os
k
k
e n E
e
J t c t kn t
mm
(1.22)
Xét số hạng thứ hai của (1.20), kết hợp với (1.18), ta được:
00
2
22
,
eE eE
11
il t
k k l
kq
kl
k q k
ee
kn t C J J e k
m m l m m l
00
11
k q k k q k
q q q q
n N n N n N n N
k q k k i k k q k i
00
11
k q k k q k
q q q q
n N n N n N n N
k q k k i k k q k i
(1.23)
Sử dụng tính chất hàm Bessel,
1J x J x J x
Số hạng thứ nhất (1.23), đổi biến
qq
;
kk
, ta được:
16
00
2
22
,
0
1
eE eE
k q k
il t
k k l
q
kl
qk
n N n N
C J J e k
mm
k q k k i
(1.24)
Số hạng thứ hai, đổi biến
qq
;
kk
;
kk
, ta được:
00
2
22
,
0
1
eE eE
k q k
il t
k k l
q
kl
qk
n N n N
C J J e k
mm
k q k k i
00
2
22
,
0
1
eE eE
k q k
il t
k k l
q
kl
qk
n N n N
C J J e k
mm
k q k k i
(1.25)
Sè h¹ng thø ba gi÷ nguyªn. Số hạng thứ tư, đổi biến
kk
, ta được:
00
2
22
,
0
1
eE eE
k q k
il t
k k l
q
kl
qk
n N n N
C J J e k
mm
k q k k i
(1.26)
Số hạng thứ nhất, thứ hai, thứ ba, thứ tư trong biểu thức (1.23) lần lượt là:
2
,
0
1
1
k k q
l
il t
k k l
q
kl
qk
n N n N
C e k J J
k q k k i
(1.27)
2
,
0
1
k k q
il t
k k l
q
kl
qk
n N n N
C e kJ J
k q k k i
(1.28)
2
,
0
1
k q k
il t
k k l
q
kl
qk
n N n N
C e kJ J
k q k k i
(1.29)
2
,
0
1
1
k q k
l
il t
k k l
q
kl
qk
n N n N
C e k J J
k q k k i
(1.30)
Chỉ xét phần thực hàm phức của mật độ dòng, thu được:
2
,
,
1
2 1 1 1
k k q
ll
k q q q
kl
k k q
ee
kn t C k n n N N
m m l
17
0 0 0 0
2 2 2 2
eE eE eE eE
1
l
k k l k k l
q q q q
J J J J
m m m m
0
sink q k l l t
Hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ bởi điện tử trong bán dẫn khối được viết dưới
dạng quen thuộc [1-7, 28, 29]:
00
22
0
00
8 8 1
sin sin
T
t
J t E t J t E tdt
T
c E c E
(1.31)
Ta thấy,
2
0
00
11
os sin sin sin sin 0
2
TT
T
c t t td t t
Nếu
1l
, thì
00
1
sin sin os 1 os 1 0
2
TT
t l tdt c l t c l t dt
Nếu
1l
, thì
2
00
os2 1
sin
22
TT
c t T
tdt dt
, do đó trong tổng theo l thì chỉ l=1
mới có ý nghĩa. Biểu thức mật độ dòng được viết lại:
0
2
2
00
2
1
,
eE
os 2 2 1
k q k
q
k
q
k
kq
e n E q
e
J t c t C k N n n J
m m m
00
1 1 0
22
eE eE
sin
kk
J J k q k k t
mm
(1.32)
Ta có:
k q k k q k k q
k n n k q n kn qn
, khi lấy tổng theo
k
do tính chất đối
xứng của
kq
k q n
và
k
kn
nên chúng triệt tiêu nhau. Đổi biến
k q k
. Tiếp
theo, đổi
qq
, ta được:
2
2
00
11
1
,
2
os 2 1
q
k k k
qk
k
kq
e n E
e
J t c t C N qn J J J
mm
0
sink q k k t
(1.33)
18
Theo tính chất hàm Bessel:
11
2
k k k
k
J x J x J x
x
. Biểu thức hệ số hấp thụ
phi tuyến sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ trong bán dẫn khối viết lại:
2
2
00
2
2
2
1
0
,
0
2
8 eE
2
21
eE
k
q
qk
k
kq
eE q
k
C N qn J
m
c E m
q
m
0
k q k l
(1.34)
Do
q
N
>> 1 nên
2 1 2
NN
, biểu thức (1.31) được viết lại:
2
2
0
2
0
2
2
1
,
0
eE
32
k
q
qk
k
kq
q
C N n kJ k q k k
m
cE
(1.35)
Biểu thức (1.35), là công thức tổng quát tính hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ
mạnh biến điệu theo biên độ trong bán dẫn khối.
Xét tán xạ điện tử - phonon quang ta có:
oo
o
q
q
C
11
2
2
2
Suy ra:
3
0
2
0
0
22
2
1
,
0
00
eE
64
1 1 1
k
q
k
k
kq
q
N n kJ k q k k
qm
cE
(1.36)
Biểu thức (1.36), là công thức tổng quát tính hệ số hấp thụ phi tuyến sóng
điện từ mạnh trong bán dẫn khối xét trường hợp tán xạ điện tử - phonon quang. Tiếp
theo, xét sự hấp thụ sóng điện từ cho hai trường hợp giới hạn gần ngưỡng và xa
ngưỡng sóng điện từ.
HÊp thô gÇn ng-ìng:
Đối với quá trình này, năng lượng của trường điện từ ngoài phải thỏa
mãn điều kiện:
0
l
(
là năng lượng trung bình chuyển động nhiệt của
19
electron), chỉ hạn chế hấp thụ một photon (k=1), coi hàm phân bố tương ứng là hàm
cân bằng, tức là:
2
0
exp
2
k
B
k
nn
mk T
;
0
B
q
kT
N
;
2
2
0
2
0
2
11
q
e
C
q
,
ta được:
2
32
0
2
,
0
0
64
11
exp
2
B
qk
B
n e k T
k
mk T
cE
0
2
10
22
1
eE q
J k q k k
mq
(1.37)
Với:
24
24
0 0 0
2
00
1
2 2 2 2 2
cos cos
2 2 2 2
eE q eE q eE q eE q eE q
J
m m m m m
Khi đó, biểu thức (1.37) được viết lại:
2
2
32
0
0
2
2
,
0
0
cos
64
11
exp
22
B
qk
B
eE q
e n k T
k
mk T m
cE
4
0
0
22
cos
1
2
eE q
k q k
mq
(1.38)
Đặt
2
2
2
10
,
cos exp
22
qk
B
k q qk
A
mk T m m
(1.39)
Áp dụng công thức giải tích:
cos cos cos sin sin cos
, ta được:
2
0
1
4
0 0 0
sin exp os
24 2 2
B
m
m k q
A d k dk q c dq
m k T k qk
Đặt
osxc
, và sử dụng tính chất hàm Delta:
0
0
00
1
0 ;
b
a
khi a x b
x x dx
khi x a x b
Thu được:
