Hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng pha tạp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
——————– * ———————
NGUYỄN ĐỨC HUY
HẤP THỤ PHI TUYẾN SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH BIẾN ĐIỆU
THEO BIÊN ĐỘ BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM
TRONG SIÊU MẠNG PHA TẠP
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã sô: 60 44 01
CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: GS. TS. NGUYỄN QUANG BÁU
Hà Nội - 2012
LỜI CẢM ƠN
Trước hết em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TS Nguyễn Quang
Báu. Nếu không có sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình của thầy, luận văn này
chắc chắn không thể hoàn thành.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo
trong bộ môn Vật lý lý thuyết khoa Vật Lý, Đại học Khoa Học Tự Nhiên,
Đại học Quốc Gia Hà Nội đã chỉ dạy, giúp đỡ em trong suốt khóa học.
Qua đây, em cũng xin cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Vật lý, phòng Sau
đại học, trường Đại học khoa học tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội đã
quan tâm tạo điều kiện để em hoàn thành và bảo vệ luân văn.
Em cũng xin cảm ơn sự động viên khích lệ thường xuyên của gia đình
bạn bè trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn.
Hà Nội, ngày 15 tháng 11 năm 2012
Học viên
Nguyễn Đức Huy
Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chương 1: Hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh trong bán
dẫn khối và trong siêu mạng pha tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1. Hấp thụ phi tuyến sóng điện từ trong bán dẫn khối . . . . . . . . 4
1.2. Hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh không biến điệu biên
độ bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng pha tạp . . . . . . . . . . . . . 8
Chương 2: Phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm
trong siêu mạng pha tạp dưới ảnh hưởng của sóng điện từ
mạnh biến điệu theo biên độ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14
2.1. Hamiltonian của hệ điện tử - phonon quang trong siêu
mạng pha tạp khi có mặt sóng điện từ mạnh biến điệu theo
biên độ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14
2.2. Hàm phân bố không cân bằng của điện tử trong siêu mạng
pha tạp khi có mặt sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ. .15
Chương 3: Hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh biến
điệu theo biên độ bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng pha
tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.1. Hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh biến điệu theo
biên độ bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng pha tạp . . . . . . . 22
3.2. Khảo sát số và thảo luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Phụ lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
*
MỞ ĐẦU
Nói đến sự phát triển của khoa học kỹ thuật ngày nay không thể không
nhắc tới những đóng góp của ngành vật lý bán dẫn. Từ khi vật liệu bán dẫn
được tìm ra, việc đưa nó vào sử dụng đã thay đổi đáng kể bộ mặt của khoa
học công nghệ. Vật liệu bán dẫn là thành phần không thể thiếu cho các thiết
bị điện tử cũng như nhiều loại thiết bị khoa học khác. Yêu cầu sử dụng vật
liệu bán dẫn hiệu quả đặt đã ra nhiệm vụ phải tìm kiếm và nghiên cứu các
loại vật liệu mới cũng như nâng cao chất lượng các linh kiện bán dẫn. Chất
lượng linh kiện bán dẫn được cải tiến chủ yếu bằng việc hoàn thiện các

phương pháp tạo tiếp xúc p-n. Khi chất lượng đã đảm bảo thì vấn đề giảm
kích thước của các linh kiện đã được đề cập đến một cách tự nhiên. Giảm
kích thước các linh kiện cũng chính là giảm nhỏ được kích thước thiết bị,
tăng lượng linh kiện trên một đơn vị diện tích thiết bị và tạo hiệu quả cao
trong sử dụng. Tuy nhiên từ cơ sở lý thuyết cũng như thực nghiệm đều thấy
rằng, giảm kích thước của linh kiện bán dẫn không đơn giản là tiếp tục
sử dụng các tính chất cũ đã được tìm ra trên các kích thước lớn. Giới hạn
lượng tử tạo ra rào cản cho việc sử dụng các tính chất cũ. Khi kích thước
linh kiện bán dẫn vào cỡ bước sóng De Broglie của hạt dẫn (kích thước cỡ
nanomet), thì các tính chất mới xuất hiện. Các cấu trúc mới có được khi
giảm kích thước của linh kiện bán dẫn được gọi là các cấu trúc thấp chiều.
Nghiên cứu lý thuyết tính chất các cấu tr úc mới này là vấn đề đang được
nhiều nhà khoa học hàng đầu quan tâm. Đây cũng chính là nội dung nghiên
cứu của ngành Vật lý bán dẫn các hệ thấp chiều.
Sự phát triển của các kỹ thuật nuôi cấy tinh thể như Epitaxy dòng
phân tử (MBE: Molecular Beam Epitaxy) hay kết tủa hơi kim loại hữu
cơ (MOCVD: Metal Organic Chemical Vapor Diposition) đã tạo ra nhiều
cấu trúc thấp chiều như hố lượng tử (quantum wells), siêu mạng (superlat-
tices), dây lượng tử (quantum wires), chấm lượng tử (quantum dots). Siêu
mạng là một ví dụ về hệ khí điện tử chuẩn hai chiều. Các siêu mạng được
tạo thành từ cấu trúc tuần hoàn nhân tạo gồm các lớp kế tiếp nhau của hai
loại bán dẫn khác nhau có độ dày cỡ nanomet. Trong các siêu mạng này,
điện tử bị giam giữ trong các hố thế năng. Khi đó chuyển động của điện tử
1
Luận văn cao học Nguyễn Đức Huy
theo phương z bị lượng tử hóa, chỉ còn chuyển động tự do theo mặt phẳng
(x,y). Thành phần xung lượng theo phương x và phương y có thể biến thiên
liên tục còn xung lượng theo phương z sẽ phụ thuộc vào giá trị của số lượng
tử. Các điện tử thể hiện như một hệ khí điện tử chuẩn hai chiều thực sự, kể
cả khi các hố thế năng theo z không phải cao vô hạn.

Việc hệ khí điện tử trong vật liệu giờ đây mang tính cách của hệ khí hai
chiều mà không còn là ba chiều như trước đã làm thay đổi đáng kể về mặt
định tính cũng như định lượng nhiều tính chất vật lý của vật liệu bán dẫn.
Một trong những tính chất được quan tâm nghiên cứu chính là tính chất
quang của vật liệu [9, 10, 11, 12, 15, 16]. Tính chất quang được xem là
hành vi của vật liệu mà cụ thể là phản ứng của hệ điện tử dưới tác dụng của
bức xạ điện từ. Khi một bức xạ điện từ truyền trong môi trường vật chất
thì một phần bức xạ truyền qua, một phần bị phản xạ hoặc hấp thụ hoặc cả
hai. Sự hấp thụ sóng điện từ của vật liệu bán dẫn phụ thuộc vào nhiều yếu
tố gồm các yếu tố bên ngoài như cường độ, tần số sóng điện từ, nhiệt độ
của hệ. Hơn thế, trong các siêu mạng sự hấp thụ này còn phụ thuộc vào các
yếu tố nội tại thể hiện đặc điểm của vật liệu như tham số chu kì, nồng độ
hạt tải. Các đại lượng này hoàn toàn có thể thay đổi được bằng công nghệ
chế tạo ngày nay. Điều này là một đặc tính quý giá của các hệ thấp chiều,
tạo cơ sở cho việc chế tạo các linh kiện có tính chất theo ý muốn. Đây cũng
là lý do cho việc nghiên cứu lý thuyết các hiện tượng trong bán dẫn thấp
chiều ngày càng được quan tâm.
Trên lĩnh vực nghiên cứu lý thuyết, đã có nhiều công trình nghiên cứu
về bài toán hấp thụ sóng điện từ trong các loại vật liệu bán dẫn khác nhau,
từ các nghiên cứu trong bán dẫn khối bằng phương pháp phương trình động
lượng tử [13, 14], hay như các bài toán trong hệ thấp chiều dựa trên phương
pháp Kubo-Mori [6, 7]. Trong siêu mạng pha tạp, bài toán về hấp thụ sóng
điện từ mạnh bởi điện tử giam cầm cũng đã được giải bằng phương pháp
phương trình động lượng tử [4, 8]. Tuy nhiên sự hấp thụ phi tuyến sóng
điện từ mạnh biến điệu theo biên độ bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng
pha tạp còn là bài toán chưa được giải quyết. Đây chính là đề tài mà luận
văn này nghiên cứu.
Phương pháp nghiên cứu: Bài toán hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện
từ mạnh biến điệu theo biên độ có thể tiếp cận và giải quyết bằng nhiều
phương pháp như: phương pháp hàm Green, phương pháp tích phân phiến

hàm, phương pháp phương trình động lượng tử,. . . Luận văn này sử dụng
phương pháp phương trình động lượng tử (nhờ phương trình chuyển động
Heisenberg và Hamiltonian cho hệ điện tử - phonon trong hình thức luận
lượng tử hóa thứ cấp). Đây là phương pháp được sử dụng nhiều khi nghiên
cứu các bài toán hệ thấp chiều và cho hiệu quả cao [2, 3, 4, 5, 8].
2
Luận văn cao học Nguyễn Đức Huy
Bố cục khóa luận: Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và
phụ lục, luận văn chia làm 3 chương:
Chương 1 : Giới thiệu tổng quan về hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh
bởi điện tử tự do trong bán dẫn khối. Giới thiệu về siêu mạng pha tạp
và đưa ra công thức cho hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh bởi
điện tử giam cầm trong siêu mạng pha tạp
Chương 2 : Xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm
trong siêu mạng pha tạp dưới ảnh hưởng của sóng điện từ mạnh biến
điệu theo biên độ
Chương 3 : Tính toán hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh biến
điệu theo biên độ bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng pha tạp. Từ
kết quả giải tích thu được, tính số và vẽ đồ thị cho siêu mạng pha tạp
n-GaAs/p-GaAs.
Các kết quả chính của luận văn được chứa đựng trong chương 2 và
chương 3. Trong đó, trên cơ sở phương trình động lượng tử cho điện tử
trong siêu mạng pha tạp dưới ảnh hưởng của sóng điện từ mạnh biến điệu
theo biên độ với giả thiết tán xạ điện tử - phonon quang là chủ yếu, đã thu
được hàm phân bố không cân bằng của điện tử và lấy đó làm cơ sở tính
hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ bởi điện
tử giam cầm trong siêu mạng pha tạp. Phân tích sự phụ thuộc phức tạp và
không tuyến tính của hệ số hấp thụ vào cường độ E
0
và tần số Ω của trường

bức xạ Laser, nhiệt độ T của hệ và nồng độ pha tạp nD của siêu mạng.
Ngoài ra, với sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ, sự thay đổi biên
độ sóng theo thời gian với tần số ∆Ω ảnh hưởng tới hệ số hấp thụ, điều
này cũng được chỉ ra. Thực hiện tính toán số và vẽ đồ thị với siêu mạng
n-GaAs/p-GaAs.
Một phần kết quả của luận văn đã được công bố dưới dạng báo cáo
khoa học “Calculation of the nonlinear absorption coefficient of a strong
electromagnetic wave modulated by amplitude in doped superlattices” tại
hội nghị khoa học khoa Vật lý, trường Đại học khoa học tự nhiên, tháng 10
năm 2012.
3
Chương 1
Hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh
trong bán dẫn khối và trong siêu mạng
pha tạp
Chương này trình bày tổng quan về sự hấp thụ sóng điện từ trong bán
dẫn khối, sử dụng phương trình động lượng tử để tính toán hệ số hấp thụ
sóng điện từ trong bán dẫn khối. Trong chương này, các vấn đề chính về
siêu mạng pha tạp và hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh bởi điện
tử giam cầm trong siêu mạng pha tạp cũng được trình bày.
1.1. Hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh trong bán dẫn
khối
1.1.1. Sự hấp thụ sóng điện từ trong bán dẫn khối
Phổ hấp thụ sóng điện từ của bán dẫn khối rất phức tạp, bao gồm ba
phần chính: chuyển dịch trực tiếp, chuyển dịch gián tiếp giữa các vùng dẫn
và vùng hóa trị, và chuyển dịch nội vùng.
Sự hấp thụ do chuyển dịch trực tiếp giữa vùng dẫn và vùng hóa trị xuất
hiện khi điện tử vùng hóa trị hấp thụ một photon có năng lượng lớn hơn
độ rộng vùng cấm và dịch chuyển lên vùng dẫn với vector sóng


k gần như
không đổi, khi đó vùng hóa trị xuất hiện một lỗ trống có vector sóng −

k.
Sự hấp thụ này xảy ra đối với những chất bán dẫn có khe vùng cấm trực
tiếp như: InSb, InAs, GaAs, GaSb
Sự hấp thụ do chuyển dịch gián tiếp giữa vùng dẫn và vùng hóa trị được
thực hiện với sự hấp thụ hay phát xạ một photon. Điện tử vùng hóa trị hấp
thụ hay phát xạ một photon để có thể di chuyển tới đáy vùng dẫn. Chuyển
dịch gián tiếp của điện tử thường xuất hiện ở tinh thể bán dẫn có khe vùng
cấm gián tiếp như: Si, Ge, GaP
4
Luận văn cao học Nguyễn Đức Huy
Sự hấp thụ do chuyển dịch nội vùng là sự hấp thụ của điện tử tự do, cần
có sự đóng góp của phonon xảy ra khi năng lượng sóng điện từ nhỏ hơn độ
rộng vùng cấm. Khi đó các điện tử tự do hấp thụ hoặc phát xạ phonon liên
tục để có thể dịch chuyển từ trạng thái này đến trạng thái khác. Có thể coi
chuyển dịch loại này là chuyển dịch liên tục giữa các trạng thái liên tiếp
nhau.
Xét trường hợp sóng điện từ cao tần, vận tốc của hạt tải khi tương tác
với phonon có thể coi gần đúng là tuân theo quy luật:
v =v
0
e
−t/τ
(1.1)
trong đó τ là thời gian phục hồi xung lượng của điện tử. Lực tác dụng điện
tử khi có mặt điện trường

E là:


F = m
dv
dt
= −
mv
τ
+ e

E (1.2)
với m, e là khối lượng và điện tích của điện tử. Với giả thiết

E hướng theo
Ox và v tỉ lệ với e
iωt
ta thu được:
v
x
=
eE
x
m
τ
1 −iωτ
. (1.3)
Đưa mật độ dòng

j = σ

E = nev vào ta thu được:

j
x
= σE
x
= nev
x
= ne
eE
x
m
τ
1 −iωτ
, (1.4)
hay là:
σ =
ne
2
τ
m
1
1 −iωτ
. (1.5)
Như vậy, trong trường hợp tuyến tính, độ dẫn σ không phụ thuộc vào cường
độ điện trường của sóng điện từ tới, hay hệ số hấp thụ (tỉ lệ với Reσ) cũng
độc lập với cường độ điện trường

E.
Tuy nhiên trong trường hợp sóng điện từ mạnh, hấp thụ là phi tuyến, ta
phải kể đến số hạng bậc cao của Tensor độ dẫn cao tần. Số hạng tổng quát
của Tensor độ dẫn cao tần được cho bởi biểu thức:

σ
(n)
ηα
1
α
n
(ω
1
, ,ω
n
) = i
n−1
∞

0
dt
1

∞

0
dt
n
exp

n
∑
i=1
n
∑

j=1
i(ω
j
+ iη)t
i

×
×
∞

0
dλ

J
α
1
(−iλ)



J
µ
(
n
∑
i=1
t
i
),P
α

n
(
n−1
∑
j=1
t
j
)

P
α
2
(t
1
)


(1.6)
5
Luận văn cao học Nguyễn Đức Huy
trong đó

P là vector phân cực điện. Đóng góp của các số hạng bậc cao trong
tensor độ dẫn cao tần trong trường hợp này là đáng kể, và khi tính đến điều
này, tensor độ dẫn sẽ phụ thuộc phi tuyến vào cường độ điện trường E và
do đó hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh là đại lượng phụ thuộc
phi tuyến vào cường độ điện trường E.
1.1.2. Lý thuyết lượng tử về hấp thụ phi tuyến sóng điện từ
bởi điện tử tự do trong bán dẫn khối
Hamiltonian của hệ điện tử - phonon quang trong bán dẫn khối khi có

mặt sóng điện từ

E =

E sin(Ωt):
H =
∑
p
ε

p −
e
¯
hc

A(t)

a
+
p
a
p
+
∑
q
¯
hω
q
b
+

q
b
q
+
∑
p,q
C
q
a
+
p+q
a
p
(b
q
+ b
+
−q
).
(1.7)
Trong đó:
a
+
p
,a
p
là toán tử sinh hủy điện tử ở trạng thái
|
p


,
b
+
q
,b
q
là toán tử sinh hủy phonon ở trạng thái
|
q

,
p,q là xung lượng của điện tử và phonon trong bán dẫn khối,
ω
q
là tần số của phonon,
C
q
là hằng số tương tác giữa điện tử và phonon quang trong bán dẫn
khối,

A(t) là thế vector của trường điện từ được xác định:
−
d

A(t)
cdt
=

E
o

sin(Ωt). (1.8)
Để thiết lập phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối ta
sử dụng hàm phân bố năng lượng tổng quát: ψ = Tr(

W ,

ψ) trong đó

W
là toán tử ma trận mật độ, ψ là kí hiệu trung bình thống kê tại thời điểm
t. Ta có:
i
¯
h
∂
∂t
η
p
(t) = i
¯
h
∂
∂t
a
+
p
a
p

t

= [a
+
p
a
p
,H]
t
. (1.9)
Từ Hamiltonian (1.7) và hệ thức liên hệ các toán tử, sau một số phép biến
đổi ta được:
∂
∂t
η
p
(t) =
i
¯
h
∑
q

F
p+q,p,q
(t) + F
∗
p,p+q,−q
(t) −F
p,p−q,q
(t) −F
∗

p−q,p,−q
(t)

(1.10)
6
Luận văn cao học Nguyễn Đức Huy
với F
p
1
,p
2
,q
(t) =

a
+
p
1
a
p
2
b
q

t
.
Thiết lập và giải phương trình động lượng tử cho F
p
1
,p

2
,q
(t) ta thu được
F
p
1
,p
2
,q
(t). Thay vào (1.10) ta thu được phương trình động lượng tử cho
điện tử trong bán dẫn khối:
∂
∂t
η
p
(t) = −
i
¯
h
2
∑
q
|C
q
|
2
|I
n,n

|

2
∞
∑
k,l=−∞
J
k

e

E
o
q
m
∗
Ω
2

J
l

e

E
o
q
m
∗
Ω
2


×
×exp[−i(l −k)Ωt]
t

−∞
dt



η
p
(t

)N
q
−η
p+q
(t

)

N
q
+ 1


×
×exp

i

¯
h

ε
p+q
−ε
p
−
¯
hω
q
−k
¯
hΩ +iδ
¯
h

(t −t

)

+
+

η
p
(t

)


N
q
+1

−η
p+q
(t

)N
q

exp

i
¯
h

ε
p+q
−ε
p
+
¯
hω
q
−k
¯
hΩ+iδ
¯
h


(t −t

)

+
+

η
p−q
(t

)N
q
−η
p
(t

)

N
q
+1


exp

i
¯
h


ε
p+q
−ε
p
−
¯
hω
q
−k
¯
hΩ+iδ
¯
h

(t −t

)

+
+

η
p−q
(t

)

N
q

+1

−η
p
(t

)N
q

exp

i
¯
h

ε
p+q
−ε
p
+
¯
hω
q
−k
¯
hΩ+iδ
¯
h

(t −t


)

.
(1.11)
Ở đây E
o
, Ω là biên độ điện trường và tần số sóng điện từ, m
∗
, e là khối
lượng hiệu dụng và điện tích của điện tử trong bán dẫn khối, tham số dương
vô cùng bé δ (δ →0
+
) được đưa vào để đảm bảo giả thiết đoạn nhiệt.
Ta có mật độ dòng của hạt tải được cho bởi:

j(t) =
e
¯
h
m
∗
∑
p

p −
e
¯
hc


A(t)

η
p
. (1.12)
Hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ bởi điện tử trong bán dẫn khối
được tính bởi:
α =
8π
c
√
χ
∞
E
2
o


j(t)

E
o
sin(Ωt)

t
. (1.13)
Giải phương trình (1.11) trong gần đúng bậc nhất rồi thay vào phương trình
(1.13) ta thu được biểu thức tường minh cho hệ số hấp thụ α. Và trong
trường hợp hấp thụ gần ngưỡng (thỏa mãn điều kiện |
¯

hΩ −
¯
hω
0
| 
¯
ε ) α
7
Luận văn cao học Nguyễn Đức Huy
cho bởi:
α =
4πe
4
η
o
(k
B
T )
5
2
m
∗
3c
√
χ
∞
Ω
3
¯
h

5

1
χ
∞
−
1
χ
o

1 +
3k
B
T
4
¯
h(Ω −ω
o
)

Ω −ω
o
π
¯
h

1
2
×
×


1 +
3(Ω −ω
0
)e
2
20m
∗
¯
hΩ
4

1 +
3k
B
T
¯
h(Ω −ω
o
) + 3k
B
T /4

E
2
o

. (1.14)
Trong trường hợp hấp thụ xa ngưỡng (thỏa mãn điều kiện |
¯

hlΩ−
¯
hω
0
|
¯
ε)
biểu thức cho α:
α =
16πe
4
η
o
k
B
T
3c
√
χ
∞
Ω
3
¯
h
3

1
χ
∞
−

1
χ
o

(Ω − ω
0
)

1 +
3(Ω −ω
0
)e
4
20m
∗
¯
hΩ
4
E
2
0

(1.15)
Như vậy, từ hàm phân bố không cân bằng của điện tử, ta tính được mật độ
dòng của điện tử trong bán dẫn khối và từ đó thu được biểu thức của hệ số
hấp thụ sóng điện từ trong bán dẫn khối. Hệ số này phụ thuộc phi tuyến
vào cường độ điện trường và tần số sóng điện từ.
1.2. Hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh không biến điệu
biên độ bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng pha tạp
1.2.1. Hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử trong siêu

mạng pha tạp
Siêu mạng pha tạp là siêu mạng bán dẫn được tạo ra từ hai bán dẫn đồng
nhất được pha tạp khác nhau. Thế tuần hòa trong siêu mạng pha tạp được
tạo ra bởi sự phân bố tuần hoàn điện tích trong không gian. Một ví dụ cụ
thể về siêu mạng pha tạp là siêu mạng được tạo bởi sự sắp xếp tuần hoàn
các lớp bán dẫn mỏng GaAs loại n (GaAs : Si) và GaAs loại p (GaAs : Be),
giữa các lớp này là lớp không pha tạp (mẫu loại này được gọi là tinh thể
n-i-p-i). Hamiltonian của điện tử trong siêu mạng pha tạp có dạng [15, 9] :
H = −
¯
h
2
2m
∗
∇
2
+V
sc
(z) (1.16)
với m
∗
là khối lượng hiệu dụng của điện tử, V
sc
(z) là thế của siêu mạng pha
tạp. Trong tinh thể n-i-p-i, V
sc
(z) cho bởi:
V
sc
(z) = V

H
(z) +V
xc
(z) +V
i
(z). (1.17)
8
Luận văn cao học Nguyễn Đức Huy
Trong (1.17) V
H
(z) là thế Hatree do các hạt tải dòng linh động có nồng độ
lần lượt là n(z) và p(z) ứng với điện tử và lỗ trống đóng góp vào thế siêu
mạng:
V
H
(z) =
4πe
2
χ
0
z

0
dz

z


0
dz


[−n(z

) + p(z

)].
V
xc
(z) là đóng góp tương quan trao đổi vào thế của siêu mạng. V
i
là do các
tâm tạp chất trong tinh thể (acceptor và donor) được ion hóa đóng góp vào
thế của siêu mạng:
d
2
V
i
(Z)
dz
2
=
4πe
2
χ
0
[n
D
(z) −n
A
(z)]

với điều kiện biên
dV
i
(0)
dz



z=0
= V
i
(0), trong đó n
D
(z) và n
A
(z) lần lượt là
hàm phân bố donor và acceptor, χ
0
là hằng số điện môi tĩnh. Nếu như sự
pha tạp là đồng nhất hay nói cách khác nồng độ pha tạp không phụ thuốc
vào z, lúc đó V
i
(z) trong vùng pha tạp có dạng bậc hai:
V
i
(z) =

2πe
2
n

D
χ
0
z
2
, khi |z| 
d
n
2
2V
0
−
2πe
2
χ
0
n
A
(
d
2
−|z|)
2
khi (
d
2
−|z|) 
d
p
2

và trong vùng không pha tạp có dạng tuyến tính:
V
i
(z) =
2πe
2
n
D
d
n
χ
0
(|z|−
d
n
4
), khi
d
n
2
 |z|  (d −
d
p
2
)
với V
0
là biên độ của V
i
(z):

V
0
=
πe
2
χ
0

n
D
d
2
n
4
+
n
A
d
2
p
4
+ n
D
d
n
d
i

d
n

(p,i) là độ dày lớp n(p, i), d là chu kì của siêu mạng pha tạp.
Phương trình Schorodinger của điện tử có dạng:

−
¯
h
2
2m
∗
∇
2
+V
sc
(z)

ϕ
n,

k
(r) = ε
n
(

k)ϕ
n,

k
(r) (1.18)
trong đó n = 0,1,2, Nếu bỏ qua sự chồng chéo các vùng năng lượng
khác nhau do thế V

sc
(z), nghiệm của (1.18 là:
ϕ
n,

k
(r) = e
i

k
⊥
r
⊥
u
n
(r)ψ
n,k
z
(z) (1.19)
9
Luận văn cao học Nguyễn Đức Huy
trong đó u
n
(r) là hàm bao của vùng năng lượng thứ i, mini vùng thứ n,
r
⊥
= (x,y), và:

−
¯

h
2
2m
∗
∇
2
+V
sc
(z)

ψ
n,k
z
(z) = ε
n
(k
z
)ψ
n,k
z
(z),
ε
n
(

k) =
¯
h
2


k
2
⊥
2m
∗
+ ε
n
(k
z
).
Như vậy, ứng với mỗi giá trị xác định của

k
⊥
, đường cong tán sắc ε(k
z
)
của siêu mạng pha tạp phân thành các vùng năng lượng mini ε
n
(k
z
). Năng
lượng không phụ thuộc vào k
z
khi ta bỏ qua sự tương tác giữa các hố thế
lân cận. Điều kiện này cho ta dạng gần đúng của hàm sóng:
ψ
n,k
z
(z) =

N
d
∑
m=1
e
ik
z
md
ψ
n
(z −md), (1.20)
và phổ năng lượng:
ε
n
(k
z
) = ε
n
=
¯
hω
p
(n +
1
2
). (1.21)
Ở đây ψ
n,k
z
(z) và ε

n
(k
z
) là hàm riêng và trị riêng trong một hố lượng tử
biệt lập, N
d
là số chu kì của siêu mạng, ω
p
=

4πe
2
n
D
χ
0
m
∗
là tần số plasma
gây bởi các tạp chất donor với nồng độ pha tạp n
D
.
Hàm sóng của điện tử trong mini vùng n là tổ hợp của hàm sóng theo
mặt phẳng (x,y) có dạng sóng phẳng và hàm sóng theo phương của trục
siêu mạng với dạng hàm Bloch. Hàm sóng tổng hợp được viết:
ϕ
n,

k
(r) = e

i

k
⊥
r
⊥
u
n
(r)
N
d
∑
m=1
e
ik
z
md
ψ
n
(z −md) (1.22)
ứng với phổ năng lượng:
ε
n
(

k) =
¯
h
2


k
2
⊥
2m
∗
+
¯
hω
p
(n +
1
2
). (1.23)
Từ phổ năng lượng (1.23) thu được trong trường hợp không tính đến tương
tác của các hố lượng tử lân cận, ta nhận thấy trong các hố lượng tử của siêu
mạng pha tạp, xuất hiện hiệu ứng lượng tử kích thích, năng lượng của điện
tử bị tách thành các mini vùng và khí điện tử mang đặc trưng của khí điện
tử hai chiều.
10
Luận văn cao học Nguyễn Đức Huy
1.2.2. Hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh không biến
điệu biên độ bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng pha
tạp
Hamiltonian của hệ điện tử phonon quang trong siêu mạng pha tạp khi
có mặt sóng điện từ

E =

E sin(Ωt) [4, 8]:
H(t) =

∑
n,

k
⊥
ε
n


k
⊥
−
e
¯
hc

A(t)

a
+
n,

k
⊥
a
n,

k
⊥
+

∑
q
¯
hω
0
b
+
q
b
q
+
+
∑
q
∑
n,n

,

k
⊥
C
q
I
n,n

(q
z
)a
+

n

,

k
⊥
+q
⊥
a
n,

k
⊥

b
+
−q
+ b
q

. (1.24)
Trong đó:
a
+
n,

k
⊥
,a
n,


k
⊥
là toán tử sinh hủy điện tử ở trạng thái |n,

k
⊥

;
b
+
q
,b
q
là toán tử sinh hủy phonon ở trạng thái |q

;
ω
0
là tần số phonon quang;
hằng số tương tác điện tử-phonon:
|C
q
|
2
=
2πe
2
¯
hω

0
V ε
o

1
χ
∞
−
1
χ
o

1
q
2
(1.25)
ở đây V là thể tích chuẩn hóa, ε
o
là hằng số điện, χ
∞
, χ
o
là hệ số điện
thẩm cao tần và hệ số điện thẩm tĩnh;
thừa số dạng [4, 8]:
I
n,n

(q
z

) =
N
d
∑
j=1
d

0
e
iq
z
z
ψ
n
(z − jd)ψ
n

(z − jd)dz; (1.26)

A(t) là thế vector của trường điện từ được xác định:
−
d

A(t)
cdt
=

E
o
sin(Ωt). (1.27)

Phương trình động lượng tử cho điện tử trong siêu mạng pha tạp được
xây dựng dựa phương trình động lượng tử tổng quát cho toán tử số hạt:
i
¯
h
∂ η
m,n,p
∂t
= i
¯
h
∂
∂t

a
+
m,n,p
a
m,n,p

t
=


a
+
m,n,p
a
m,n,p
,H



t
11
Luận văn cao học Nguyễn Đức Huy
Đưa H từ (1.24) vào và biến đổi ta thu được:
∂ η
n,

k
⊥
(t)
∂t
= −
1
¯
h
2
+∞
∑
s,l=−∞
J
s
(
λ
Ω
)J
l
(
λ

Ω
)exp[−i(s−l)Ωt]
∑
q,n

|C
q
|
2
|I
n,n

(q
z
)|
2
×
×
t

−∞
dt
1


η
n,

k
⊥

(t
1
)N
q
−η
n

,

k
⊥
+q
⊥
(t
1
)(1 + N
q
)

×
×exp

i
¯
h
(ε
n

(


k
⊥
+q
⊥
) −ε
n
(

k
⊥
) −
¯
hω
0
−l
¯
hΩ +iδ)(t −t
1
)

+
+

η
n,

k
⊥
(t
1

)(1 + N
q
) −η
n

,

k
⊥
+q
⊥
(t
1
)N
q

×
×exp

i
¯
h
(ε
n

(

k
⊥
+q

⊥
) −ε
n
(

k
⊥
) +
¯
hω
0
−l
¯
hΩ +iδ)(t −t
1
)

−
−

η
n

,

k
⊥
−q
⊥
(t

1
)N
q
−η
n,

k
⊥
(t
1
)(1 + N
q
)

×
×exp

i
¯
h
(ε
n
(

k
⊥
) −ε
n

(


k
⊥
−q
⊥
) −
¯
hω
0
−l
¯
hΩ +iδ)(t −t
1
)

−
−

η
n

,

k
⊥
−q
⊥
(t
1
)(1 + N

q
) −η
n,

k
⊥
(t
1
)N
q

×
×exp

i
¯
h
(ε
n
(

k
⊥
) −ε
n

(

k
⊥

−q
⊥
) +
¯
hω
0
−l
¯
hΩ +iδ)(t −t
1
)


(1.28)
với λ =
e

E
0
q
⊥
m
∗
Ω
. Trong đó δ là tham số dương vô cùng bé được đưa vào để
đảm bảo giả thiết đoạn nhiệt. Giải phương trình (1.28) sau đó kết hợp với
(1.12) và (1.13) ta thu được biểu thức tường minh cho hệ số hấp thụ α.
Trong trường hợp hấp thụ gần ngưỡng (|
¯
hΩ −

¯
hω
o
| 
¯
ε) hệ số hấp thụ α
cho bởi:
α =
√
2πη
0
(k
B
T )
2
e
4
8c
√
χ
∞
m
∗
¯
h
3
Ω
3

1

χ
∞
−
1
χ
0

∑
n,n

|I
n,n

(q
z
)|
2
exp

−
¯
hω
p
(n +
1
2
) +
ξ
2
k

B
T

×
×e
−2
√
ρσ

ρ
|ξ |σ

1
2

1+
3
16
√
ρσ
+
3e
2
E
2
0
32m
∗
2
Ω

4

ρ
σ

1
2

1+
1
√
ρσ
+
1
16ρσ


(1.29)
trong đó ξ =
¯
hω
p
(n − n

) +
¯
hω
0
−
¯

hΩ, a =
3
8
(
eE
0
2m
∗
Ω
2
)
2
,ρ =
m
∗
ξ
2
2
¯
h
2
k
B
T
,σ =
¯
h
2
8m
∗

k
B
T
.
12
Luận văn cao học Nguyễn Đức Huy
Còn trường hợp hấp thụ xa ngưỡng (|
¯
hlΩ −
¯
hω
0
| 
¯
ε) hệ số hấp thụ α có
biểu thức giải tích:
α =
π
2
e
4
k
B
T η
0
c
√
χ
∞
¯

h
2
m
∗
Ω
3

1
χ
∞
−
1
χ
0

∑
n,n

|I
n,n

(q
z
)|
2
×
×

2m
∗

¯
h
ω
p
(n −n

) +
2m
∗
¯
h
(Ω −ω
0
)

1
2
×
×

1 +
3
32

eE
0
m
∗
Ω
2


2

2m
∗
¯
h
ω
p
(n −n

) +
2m
∗
¯
h
(Ω −ω
0
)

3
2

(1.30)
Như vậy từ hàm phân bố không cân bằng của điện tử trong siêu mạng pha
tạp, tính được mật độ dòng của điện tử khi có mặt sóng điện từ mạnh không
biến điệu biên độ, từ đó thu được biểu thức hệ số hấp thụ phi tuyến sóng
điện từ mạnh của điện tử trong siêu mạng pha tạp.
13
Chương 2

Phương trình động lượng tử cho điện tử
giam cầm trong siêu mạng pha tạp dưới
ảnh hưởng của sóng điện từ mạnh biến
điệu theo biên độ
Trên cơ sở Hamiltonian của hệ điện tử - phonon quang trong siêu mạng
pha tạp khi có mặt sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ, trong chương
này phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm được xây dựng. Từ
phương trình này, sẽ thu được hàm phân bố không cân bằng của điện tử
giam cầm trong siêu mạng pha tạp dưới ảnh hưởng của sóng điện từ mạnh
biến điệu theo biên độ.
2.1. Hamiltonian của hệ điện tử - phonon quang trong siêu
mạng pha tạp khi có mặt sóng điện từ mạnh biến điệu theo
biên độ
Khi đặt sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ vào siêu mạng pha
tạp, Hamiltonian của hệ điện tử-phonon quang cũng có dạng tương tự như
trường hợp sóng điện từ có dạng

E =

E sin(Ωt) đã được đưa ra ở mục 1.2.2:
H(t) =
∑
n,

k
⊥
ε
n



k
⊥
−
e
¯
hc

A(t)

a
+
n,

k
⊥
a
n,

k
⊥
+
∑
q
¯
hω
0
b
+
q
b

q
+
+
∑
q
∑
n,n

,

k
⊥
C
q
I
n,n

(q
z
)a
+
n

,

k
⊥
+q
⊥
a

n,

k
⊥

b
+
−q
+ b
q

. (2.1)
14
Luận văn cao học Nguyễn Đức Huy
Sự khác biệt so với trường hợp sóng điện từ có biên độ không đổi theo thời
gian nằm ở thế vector

A. Ta luôn có trong cả hai trường hợp:
−
1
c
∂

A(t)
∂t
=

E(t). (2.2)
Tuy nhiên khi sóng điện từ đưa vào có biên độ biến điệu theo thời gian thì


E(t) cho bởi:

E(t) = e
1
sin(β
1
t) + e
2
sin(β
2
t) (2.3)
trong đó ta xem xét đến trường hợp các sóng điện từ thành phần thỏa mãn
điều kiện:
e
1
β
2
1
=
e
2
β
2
2
=

E
0
2Ω
2

(2.4)
với Ω =
1
2
(β
1
+ β
2
). Đưa (2.3) vào (2.2) và sử dụng điều kiên (2.4) ta thu
được:

A(t) = c

E
0
2Ω
2
[β
1
cos(β
1
t) + β
2
cos(β
2
t)] . (2.5)
2.2. Hàm phân bố không cân bằng của điện tử trong siêu
mạng pha tạp khi có mặt sóng điện từ mạnh biến điệu theo
biên độ
Phương trình động lượng tử cho điện tử trong siêu mạng pha tạp được

xây dựng dựa trên phương trình động lượng tử tổng quát cho toán tử số hạt:
i
¯
h
∂ η
m,n,p
∂t
= i
¯
h
∂
∂t

a
+
m,n,p
a
m,n,p

t
=


a
+
m,n,p
a
m,n,p
,H



t
.
Đưa Hamiltonian (2.1) vào tính các số hạng:
Trong số hạng thứ nhất:

a
+
n,

k
⊥
a
n,

k
⊥
,a
+
n
1
, p
1
⊥
a
n
1
, p
1
⊥


=
= a
+
n,

k
⊥
a
n
1
,

k
1
⊥
δ
n,n
1
δ

k
⊥
,

k
1
⊥
−a
+

n
1
, p
1
⊥
a
n,

k
⊥
δ
n,n
1
δ

k
⊥
,

k
1
⊥
= 0.
Nên:
∑
n
1
,

k

1
⊥
ε
n
1


k
1
⊥
−
e
¯
hc

A(t)



a
+
n,

k
⊥
a
n,

k
⊥

,a
+
n
1
,

k
1
⊥
a
n
1
,

k
1
⊥


t
= 0. (2.6)
15
Luận văn cao học Nguyễn Đức Huy
Trong số hạng thứ 2

a
+
n,

k

a
n,

k
,b
+
q
b
q

= 0.
Nên:


a
+
n,

k
⊥
a
n,

k
⊥
,
∑
q
¯
hω

0
b
+
q
b
q


t
= 0. (2.7)
Trong số hạng thứ 3

a
+
n,

k
⊥
a
n,

k
⊥
,a
+
n

1
,


k
1
⊥
+q
⊥
a
n
1
,

k
1
⊥

=
= a
+
n,

k
⊥
a
n
1
,

k
1
⊥
δ

n

1
,n
δ

k
1
⊥
+q
⊥
,

k
⊥
−a
+
n
1
,

k
1
⊥
+q
⊥
a
n,

k

⊥
δ
n,n
1
δ

k
⊥
,

k
1
⊥
.
Nên:


a
+
n,

k
⊥
a
n,

k
⊥
,
∑

q
∑
n
1
,n

1
,

k
1
⊥
C
q
I
n
1
,n

1
(q
z
)a
+
n

1
,

k

1
⊥
+q
⊥
a
n
1
,

k
1
⊥

b
+
−q
+ b
q



t
=
=
∑
q
C
q

∑

n
1
I
n
1
,n
(q
z
)a
+
n,

k
⊥
a
n
1

k
⊥
−q
⊥

b
+
−q
+ b
q



t
+
+

∑
n

1
I
n

1
,n
(q
z
)a
+
n
1
,

k
⊥
−q
⊥
a
n,

k
⊥


b
+
−q
+ b
q


t

. (2.8)
Sử dụng chung các chỉ số câm n
1
, n

1
ta biến đổi biểu thức (2.8) thành:
∑
q
∑
n
1
C
q
I
n,n
1
(q
z
)



a
+
n,

k
⊥
a
n
1

k
⊥
−q
⊥
b
q

t
+

a
+
n,

k
⊥
a
n

1
,

k
⊥
−q
⊥
b
−q

t
−
−

a
+
n
1
,

k
⊥
+q
⊥
a
n,

k
⊥
b

q

t
−

a
+
n
1
,

k
⊥
+q
⊥
a
n,

k
⊥
b
−q

t

=
=
∑
q
∑

n
1
C
q
I
n,n
1
(q
z
)


a
+
n,

k
⊥
a
n
1
,

k
⊥
−q
⊥
b
q


t
+

a
+
n
1
,

k
⊥
−q
⊥
a
n,

k
⊥
b
−q

∗
t
−
−

a
+
n
1

,

k
⊥
+q
⊥
a
n,

k
⊥
b
q

t
−

a
+
n,

k
⊥
a
n
1
,

k
⊥

+q
⊥
b
−q

∗
t

. (2.9)
16
Luận văn cao học Nguyễn Đức Huy
Đặt F
n
1
, p
1
,n
2
, p
2
,q
=

a
+
n
1
, p
1
a

n
2
, p
2
b
q

t
, kết hợp với (2.6), (2.7), (2.9) phương trình
động lượng tử cho điện tử được viết lại:
i
¯
h
∂ η
n,

k
⊥
∂t
=
∑
q,n
1
C
q
I
n,n
1
(q
z

)

F
n,

k,n
1
,

k
⊥
−q
⊥
,q
+ F
∗
n
1
,

k
⊥
−q
⊥
,n,

k
⊥
,−q
−

−F
n
1
,

k
⊥
+q
⊥
,n,

k
⊥
,q
−F
∗
n,

k
⊥
,n
1
,

k
⊥
+q
⊥
,−q


. (2.10)
Để giải (2.10) ta thiết lập biểu thức giải tích của F
n
1
, p
1
,n
2
, p
2
,q
bằng cách giải
phương trình động lượng tử:
i
¯
h
∂
∂t
F
n
1
, p
1
,n
2
, p
2
,q
=



a
+
n
1
, p
1
a
n
2
, p
2
b
q
,H


t
=
=
∑
n
3
,p
3
ε
n
3

p

3
−
e
¯
hc

A(t)



a
+
n
1
, p
1
a
n
2
, p
2
b
q
,a
+
n
3
, p
3
a

n
3
,p
3


t
+
+
∑
q
1
¯
hω
0


a
+
n
1
, p
1
a
n
2
, p
2
b
q

,b
+
q
1
b
,q
1


t
+
+
∑
q
1
∑
n

3
,n
3
,p
3
C
q
1
I
n
3
,n


3
(q
1
)


a
+
n
1
, p
1
a
n
2
, p
2
b
q
,a
+
n

3
, p
3
+q
1
a

n
3
, p
3

b
q
1
+ b
+
−q



t
.
(2.11)
Tính toán các biểu thức toán tử trong (2.11) và biến đổi ta thu được:
∂
∂t
F =
i
¯
h

ε
n
1

p

1
−
e
¯
hc

A(t)

−ε
n
2

p
2
−
e
¯
hc

A(t)

−
¯
hω
0

F+
+
i
¯

h
∑
q
1
,n
3
C
q
1


I
n
3
,n
1
(q
1
)a
+
n
3
, p
1
+q
1
a
n
2
,p

2

b
q
1
+ b
+
−q
1

b
q

t
−
−

I
n
3
,n
2
(q
1
)a
+
n
1
, p
1

a
n
3
,p
2
−q
1
b
q

b
q
1
+ b
+
−q
1


t

(2.12)
trong đó F = F
n
1
, p
1
,n
2
, p

2
,q
.
Phương trình (2.12) là phương trình vi phân không thuần nhất, giải phương
trình này bằng phương pháp biến thiên hằng số và sử dụng điều kiện đoạn
17
Luận văn cao học Nguyễn Đức Huy
nhiệt: F(t)|
t=−∞
= 0 ta tìm được nghiệm:
F
n
1
, p
1
,n
2
, p
2
,q
=
i
¯
h
t

−∞
dt
2
∑

q
1
,n
3
C
q
1

I
n
3
,n
1
(q
1
)

a
+
n
3
, p
1
+q
1
a
n
2
,p
2


b
q
1
+ b
+
−q
1

b
q

t
2
−
−−I
n
3
,n
2
(q
1
)

a
+
n
1
, p
1

a
n
3
,p
2
−q
1
b
q

b
q
1
+ b
+
−q
1


t
2

×
×exp

i
¯
h

ε

n
1
(p
1
) −ε
n
2
(p
2
) −
¯
hω
o

(t −t
2
) −
ie
m
∗
c
t

t
2

p
1
−p
2



A(t
1
)dt
1

.
(2.13)
Sử dụng (2.13) tính các thành phần của (2.10):
i
¯
h
∂
∂t
η
n,

k
⊥
=
∑
q,n
1
C
q
1
I
n
1

,n
(q
z
)
∑
q
1
,n
3
t

−∞
dt
2

i
¯
h
C
q
1

I
n
3
,n
(q
1
)


a
+
n
3
,

k
⊥
+q
1
a
n
1
,

k
⊥
−q
⊥
×
×

b
q
1
+ b
+
−q
1


b
q

t
2
−I
n
3
,n
1
(q
1
)

a
+
n,

k
⊥
a
n
3
,

k
⊥
−q
⊥
−q

1
b
q

b
q
1
+ b
+
−q
1


t
2

×
×exp

−
i
¯
h

ε
n
(

k
⊥

)−ε
n
1
(

k
⊥
−q
⊥
)−
¯
hω
0

(t −t
2
)−
ie
m
∗
c
t

t
2
q
⊥

A(t)dt
1


+
+

−
i
¯
h

C
q
1

∗

I
n
3
,n
1
(q
1
)

a
+
n
3
,


k
⊥
−q
⊥
+q
1
a
n,

k

b
q
1
+ b
+
−q
1

b
−q

t
2
−
−I
n
3
,n
(q

1
)

a
+
n
1
,

k
⊥
−q
⊥
a
n
3
,

k−q
1
b
−q

b
q
1
+ b
+
−q
1



t
2

×
×exp

−
i
¯
h

ε
n
1
(

k
⊥
−q
⊥
) −ε
n
(

k
⊥
) −
¯

hω
0

(t −t
2
) −
ie
m
∗
c
t

t
2
q
⊥

A(t)dt
1

−
−

i
¯
h

C
q
1


I
n
3
,n
1
(q
1
)

a
+
n
3
,

k
⊥
+q
⊥
+q
1
a
n,

k
⊥

b
q

1
+ b
+
−q
1

b
q

t
2
−
−I
n
3
,n
(q
1
)

a
+
n
1
,

k
⊥
+q
⊥

a
n
3
,

k
⊥
−q
1
b
q

b
q
1
+ b
+
−q
1


t
2

×
18
Luận văn cao học Nguyễn Đức Huy
×exp

−

i
¯
h

ε
n
1
(

k
⊥
+q
⊥
)−ε
n
(

k
⊥
)−
¯
hω
0

(t −t
2
)−
ie
m
∗

c
t

t
2
q
⊥

A(t)dt
1

−
−

−
i
¯
h

C
q
1

∗

I
n
3
,n


a
+
n
3
,

k
⊥
+q
1
a
n
1
,

k
⊥
+q
⊥

b
q
1
+ b
+
−q
1

b
−q


∗
t
2
−
−I
n
3
,n
1
(q
1
)

a
+
n,

k
⊥
a
n
3
,

k
⊥
+q
⊥
−q

1
b
−q

b
q
1
+ b
+
−q
1


∗
t
2

×
×exp

−
i
¯
h

ε
n
(p
⊥
)−ε

n
1
(

k
⊥
+q
⊥
)−
¯
hω
o

(t −t
2
)−
ie
m
∗
c
t

t
2
q
⊥

A(t)dt
1



.
(2.14)
Chú ý:
ie
m
∗
c
t

t
2
q
⊥

A(t
1
)dt
1
=
ie
m
∗
c
t

t
2
cq
⊥


E
0
2Ω
2
[β
1
cos(β
1
t) + β
2
cos(β
2
t)] dt
1
=
= i
q
⊥

E
0
2m
∗
Ω
2
[sin(β
1
t
1

) + sin(β
2
t
1
)]





t
1
=t
t
1
=t
2
=
= i
q
⊥

E
0
m
∗
Ω
2
cos


β
1
−β
2
2
t
1

sin

β
1
+ β
2
2
t
1






t
1
=t
t
1
=t
2

. (2.15)
Đặt ∆Ω =
1
2
|β
1
−β
2
|. Với sóng điện từ có tần số biến điệu nhỏ so với
tần số sóng tức là ∆Ω  Ω (Ω =
1
2
(β
1
+ β
2
), thì trong thời gian lấy tích
phân là ngắn, có thể đưa gần đúng cos(∆Ωt) ≈cos(∆Ωt
2
) ≈cos(∆Ωτ) vào
(2.15)và thu được:
ie
m
∗
c
t

t
2
q

⊥

A(t
1
)dt
1
= i
λ(τ)
Ω
(sin(Ωt) −sin(Ωt
2
)) (2.16)
trong đó λ(τ) =
eq
⊥

E
0
cos(∆Ωτ)
m
∗
Ω
.
Trong (2.14) sử dụng:
b
+
q
1
b
q

2

t
= N
q
1
(t)δ
q
1
,q
2
,b
q
1
b
+
q
2

t
= [1 + N
q
1
(t)]δ
q
1
,q
2
a
+

n,

k
⊥
a
n
1
,

k
1
⊥

t
= η
n,

k
⊥
(t)δ

k
⊥
,

k
1
⊥
δ
n,n

1
N
−q
= N
q
,ω
−q
= ω
q
.
19
Luận văn cao học Nguyễn Đức Huy
Và áp dụng exp(±izsin θ) =
+∞
∑
r =−∞
J
r
(z)exp(±irθ ) với J
r
(z) là hàm Bessel
cấp r đối số thực z ta thu được từ (2.14):
∂ η
n,

k
⊥
∂t
= −
1

¯
h
2
∑
q,n
1
|C
q
|
2
|I
n
1
,n
(q
z
)|
2
∞
∑
r,s=−∞
J
r

λ(τ)
Ω

J
r +s


λ(τ)
Ω

×
×exp(−isΩt)
t

−∞
dt
2


η
n,

k
⊥
(t
2
)N
q
−η
n
1
,

k
⊥
+q
⊥

(t
2
)

N
q
+ 1


×
×exp

i
¯
h

ε
n
1
(

k
⊥
+q
⊥
) −ε
n
(

k

⊥
) −
¯
hω
0
−r
¯
hΩ +iδ
¯
h

(t −t
2
)

+
+

η
n,

k
⊥
(t
2
)

N
q
+ 1


−η
n
1
,

k
⊥
+q
⊥
(t
2
)N
q

×
×exp

i
¯
h

ε
n
1
(

k
⊥
+q

⊥
) −ε
n
(

k
⊥
) +
¯
hω
0
−r
¯
hΩ +iδ
¯
h

(t −t
2
)

−
−

η
n
1
,

k

⊥
−q
⊥
(t
2
)N
q
−η
n,

k
⊥
(t
2
)

N
q
+ 1


×
×exp

i
¯
h

ε
n

(

k
⊥
) −ε
n
1
(

k
⊥
−q
⊥
) −
¯
hω
0
−r
¯
hΩ +iδ
¯
h

(t −t
2
)

−
−


η
n
1
,

k
⊥
−q
⊥
(t
2
)

N
q
+ 1

−η
n,

k
⊥
(t
2
)N
q

×
×exp


i
¯
h

ε
n
(

k
⊥
) −ε
n
1
(

k
⊥
−q
⊥
) +
¯
hω
0
−r
¯
hΩ +iδ
¯
h

(t −t

2
)


. (2.17)
Trong đó δ là tham số dương vô cùng bé được đưa vào để đảm bảo giả thiết
đoạn nhiệt.
Phương trình (2.17) chính là phương trình động lượng tử cho hàm phân bố
không cân bằng của điện tử giam cầm trong dây lượng tử (tán xạ điện tử
giam cầm và phonon quang giam cầm). Việc giải tổng quát phương trình
này gặp rất nhiều khó khăn, tuy nhiên ở đây ta sử dụng phương pháp gần
đúng lặp:
η
n,

k
⊥
(t
2
) ≈
¯
η
n,

k
⊥
(2.18a)
η
n,


k
⊥
+q
⊥
(t
2
) ≈
¯
η
n,

k
⊥
(2.18b)
η
n,

k
⊥
−q
⊥
(t
2
) ≈
¯
η
n,

k
⊥

. (2.18c)
20
Luận văn cao học Nguyễn Đức Huy
Tích phân 2 vế của (2.17) ta được:
η
n,

k
⊥
(t) = −
1
¯
h
∑
q,n
1
|C
q
|
2
|I
n
1
,n
(q
z
)|
2
∞
∑

r,s=−∞
J
r

λ(τ)
Ω

J
r +s

λ(τ)
Ω

1
sΩ

×
×exp(−isΩt)

−
¯
η
n,

k
⊥
N
q
−
¯

η
n
1
,

k
⊥
+q
⊥

N
q
+ 1

ε
n
1
(

k
⊥
+q
⊥
) −ε
n
(

k
⊥
) −

¯
hω
0
−r
¯
hΩ +iδ
¯
h
−
−
¯
η
n,

k
⊥

N
q
+ 1

−
¯
η
n
1
,

k
⊥

+q
⊥
N
q
ε
n
1
(

k
⊥
+q
⊥
) −ε
n
(

k
⊥
) +
¯
hω
0
−r
¯
hΩ +iδ
¯
h
+
+

¯
η
n
1
,

k
⊥
−q
⊥
N
q
−
¯
η
n,

k
⊥

N
q
+ 1

ε
n
(

k
⊥

) −ε
n
1
(

k
⊥
−q
⊥
) −
¯
hω
0
−r
¯
hΩ +iδ
¯
h
+
+
¯
η
n
1
,

k
⊥
−q
⊥


N
q
+ 1

−
¯
η
n,

k
⊥
N
q
ε
n
(

k
⊥
) −ε
n
1
(

k
⊥
−q
⊥
) +

¯
hω
0
−r
¯
hΩ +iδ
¯
h

. (2.19)
Đây là biểu thức giải tích của hàm phân bố không cân bằng của điện tử
trong siêu mạng pha tạp khi có mặt sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên
độ. Trong chương sau ta sẽ dùng biểu thức này làm cơ sở để tính mật độ
dòng hạt tải từ đó tính được hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh biến
điệu theo biên độ.
21
Chương 3
Hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ
mạnh biến điệu theo biên độ bởi điện tử
giam cầm trong siêu mạng pha tạp
Chương này đưa ra biểu thức giải tích của hệ số hấp thụ sóng điện từ
mạnh biến điệu theo biên độ bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng pha
tạp. Sau đó tính toán chi tiết để đưa ra công thức của hệ số hấp thụ trong
hai trường hợp gần ngưỡng và xa ngưỡng. Cuối cùng khảo sát số đối với
siêu mạng n-GaAs/p-GaAs.
3.1. Hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh biến điệu
theo biên độ bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng pha tạp
3.1.1. Biểu thức giải tích của hệ sô hấp thụ
Để tính hệ số hấp thụ sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ bới điện
tử giam cầm trong siêu mạng pha tạp, ta tính mật độ dòng hạt tải. Mật độ

dòng hạt tải:

j(t) =
e
¯
h
m
∗
∑
n,

k
⊥


k
⊥
−
e
¯
hc

A(t)

η
n,

k
⊥
(t). (3.1)

Với

A(t) là thế vector của trường điện từ:

A(t) = c

E
0
2Ω
2
[β
1
cos(β
1
t) + β
2
cos(β
2
t)] .
Sóng điện từ có biên độ biến điệu chậm theo thời gian sẽ cho ta gần đúng
β
1
≈β
2
≈Ω. Sử dụng giả thiết này thế vector

A(t) của trường điện từ được
22