Khử phân kỳ trong lý thuyết trường lượng tử bằng phương pháp Pauli - Villars

3

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN





PHẠM VĂN DUY


KHỬ PHÂN KỲ TRONG LÍ THUYẾT TRƢỜNG LƢỢNG TỬ
BẰNG PHƢƠNG PHÁP PAULI - VILLARS




LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC







Hà Nội - 2012
4

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

PHẠM VĂN DUY

KHỬ PHÂN KỲ TRONG LÍ THUYẾT TRƢỜNG LƢỢNG TỬ
BẰNG PHƢƠNG PHÁP PAULI - VILLARS

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật Lý toán
Mã số: 60.44.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Giảng viên hƣớng dẫn khoa học:

GS.TSKH. Nguyễn Xuân Hãn






Hà Nội - 2012
5

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU 3
CHƢƠNG 1: CÁC GIẢN ĐỒ PHÂN KỲ MỘT VÒNG 6
1.1. S - ma trận và giản đồ Feynman 6

1.2. Hàm Green và hàm đỉnh 9
1.3. Bậc hội tụ của các giản đồ Feynman 11
CHƢƠNG 2: TÁCH PHÂN KỲ TRONG GIẢN ĐỒ MỘT VÒNG BẰNG
PHƢƠNG PHÁP PAULI-VILLARS 18
2.1. Giản đồ phân cực photon 18
2.2. Giản đồ năng lƣợng riêng của electron 25
2.3. Hàm đỉnh bậc ba 29
2.4. Đồng nhất thức Ward –Takahashi 37
CHƢƠNG 3: TÁI CHUẨN HÓA ĐIỆN TÍCH VÀ KHỐI LƢỢNG
ELECTRON TRONG QED 40
3.1. Kỳ dị trong lý thuyết trƣờng lƣợng tử 40
3.2. Tái chuẩn hóa điện tích 42
3.3. Tái chuẩn hóa khối lƣợng 46
a. Dịch chuyển Lamb 52
b. Moment từ dị thƣờng của electron 53
3.4. Tái chuẩn hóa giản đồ một vòng trong QED 54
KẾT LUẬN 57
TÀI LIỆU THAM KHẢO 58
PHỤ LỤC A 60
PHỤ LỤC B 65
PHỤ LUC C 68
6

MỞ ĐẦU
Những thành tựu của điện động lực học lƣợng tử (Quantum Electrodynamics -
QED) dựa trên cơ sở của lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến với phƣơng pháp tái chuẩn
hóa khối lƣợng và điện tích đã cho phép tính toán các quá trình vật lý phù hợp khá
tốt với số liệu thu đƣợc từ thực nghiệm, với độ chính xác đến bậc bất kỳ của hằng
số tƣơng tác theo lý thuyết nhiễu loạn
2

1
4 137
e
a
p
==
. Trong các lý thuyết trƣờng
tƣơng tác thì QED là lý thuyết đƣợc xây dựng hoàn chỉnh nhất. Mô phỏng các
phƣơng pháp tính toán của các quá trình vật lý trong QED ngƣời ta có thể xây dựng
công cụ tính toán cho Sắc động học lƣợng tử (Quantum Chromodynamics - QCD) –
lý thuyết tƣơng tác giữa các hạt quark - gluon, tƣơng tác yếu hay các lý thuyết
thống nhất các dạng tƣơng tác nhƣ lý thuyết điện yếu và tƣơng tác mạnh và đƣợc
gọi là mô hình chuẩn [6, 7, 13, 18].
Việc tính các quá trình vật lý theo lý thuyết nhiễu loạn ở bậc thấp của lý thuyết
nhiễu loạn hiệp biến (các giản đồ cây Feynman, không chứa vòng kín) ta không gặp
các tích phân phân kỳ, nhƣng tính các bổ chính lƣợng tử bậc cao cho kết quả thu
đƣợc, ta gặp phải các tích phân kỳ ở vùng xung lƣợng lớn của các hạt ảo, tƣơng ứng
với các giản đồ Feynman có vòng kín của hạt ảo. Các giản đồ này diễn tả sự tương
tác của hạt với chân không vật lý của các trƣờng tham gia tƣơng tác và quan niệm
hạt điểm không có kích thước cũng như không có thể tích.
Việc tách phần hữu hạn và phần phân kỳ của các tích phân kỳ phải tiến hành
theo cách tính toán nhƣ thế nào? Phần phân kỳ và phần hữu hạn sẽ đƣợc giải thích
vật lý ra sao? Bỏ phần phân kỳ vào đâu để có kết quả thu đƣợc cho quá trình vật lý
là hữu hạn. Lƣu ý: việc loại bỏ phân kỳ trong lý thuyết trƣờng là nhiệm vụ trọng
yếu của vật lý lý thuyết kể từ khi ra đời đến nay, vậy ta cần phải nghiên cứu, tìm
hiểu và giải quyết.
7

Ý tƣởng tái chuẩn hóa – gộp phần phân kỳ vào điện tích hay khối lƣợng của
electron đầu tiên đƣợc Kraumer – Bethe, sau đƣợc các tác giả Schwinger Feynman

Tomonaga hiện thực hóa trong QED [13,20]. Cách xây dựng chung
S - ma trận và phân loại các phân kỳ do Dyson F đề xuất [10]. Cách chứng minh
tổng quát sự triệt tiêu phân kỳ trong các số hạng đƣợc tái chuẩn hóa của chuỗi lý
thuyết nhiễu loạn do Bogoliubov – Parasyk tiến hành [8]. Trong QED sử dụng việc
tái chuẩn hóa điện tích và khối lƣợng của electron, giúp ta giải quyết hợp lý phần
phân kỳ trong tính toán, kết quả ta thu đƣợc là hữu hạn cho các biểu thức đặc trƣng
cho tƣơng tác, bao gồm: tiết diện tán xạ, tốc độ phân rã và thời gian sống của hạt.
Khi so sánh, kết quả thu đƣợc khá phù hợp với số liệu thực nghiệm. Lý thuyết
trƣờng lƣợng tử sau khi tái chuẩn hoá cho kết quả hữu hạn đối với đặc trƣng của các
quá trình vật lý, đƣợc gọi là lý thuyết tái chuẩn hoá [7, 8, 19, 15]. Các phƣơng
pháp khử phân kỳ thông dụng trong lý thuyết trƣờng hiện nay bao gồm: phƣơng
pháp cắt xung lƣợng lớn [7], phƣơng pháp Pauli – Villars, phƣơng pháp điều chỉnh
thứ nguyên và phƣơng pháp R - toán tử do N.N Bogoliubov khởi xƣớng [14].
Mục đích của bản luận văn Thạc sĩ này vận dụng cách khử phân kỳ tử ngoại
bằng phƣơng pháp Pauli – Villars trong gần đúng một vòng kín và minh họa quá
trình tái chuẩn hóa khối lƣợng và điện tích của electron trong QED ở bậc thấp nhất
của lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến cho quá trình vật lý.
Bản luận văn Thạc sĩ gồm phần Mở đầu, ba chƣơng, phần Kết luận, tài liệu
tham khảo và một số phụ lục.
- Chương 1: Các giản đồ phân kỳ một vòng.
Chƣơng này dành cho việc giới thiệu lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến.
Trong mục 1.1 giới thiệu vắn tắt S - ma trận và quy tắc Feynman để mô tả
các quá trình vật lý. Mục 1.2 dành cho việc trình bày các hàm Green của
photon, electron, và hàm đỉnh trong QED. Phân tích các bậc phân kỳ trong
QED ở bậc thấp nhất đƣợc trình bày ở mục 1.3.
8

- Chương 2: Tách phân kỳ trong giản đồ một vòng bằng
phương pháp Pauli – Villars.
Trong chƣơng này chúng ta tách phần hữu hạn và phần phân kỳ bằng

phƣơng pháp Pauli –Villars trong QED. Mục 2.1 xem xét toán tử phân cực
bậc hai của photon – giản đồ năng lƣợng riêng của photon. Trong mục 2.2
xem xét giản đồ năng lƣợng riêng của electron . Trong mục 2.3 xem xét
hàm đỉnh ở bậc thấp nhất. Đồng nhất thức Ward –Takahashi đƣợc đƣợc
chứng minh bằng đồ thị ở mục 2.4.
- Chương 3: Tái chuẩn hóa trong QED.
Trong chƣơng này ta tái chuẩn hóa cho giản đồ một vòng trong QED.
Mục 3.1 Khái quát về kỳ dị trong lý thuyết trƣờng lƣợng tử. Mục 3.2 dành
cho việc tái chuẩn hóa điện tích electron. Mục 3.3 dành cho việc tái chuẩn
hóa khối lƣợng. Mục 3.4 trình bày việc chứng minh việc tái chuẩn hóa QED
trong gần đúng một vòng.
- Phần kết luận tóm tắt các kết quả thu đƣợc trong luận văn và thảo
luận khả năng vận dụng hình thức luận đã tính toán cho các lý thuyết
trƣờng tƣơng tự.
Trong bản luận văn này chúng tôi sẽ sử dụng hệ đơn vị nguyên tử
1c==h
và
metric giả Euclide (metric Feynman - hay metric Bogoliubov [7]) tất cả bốn thành
phần véctơ 4 - chiều ta chọn là thực
( )
0
,A A A=
r
gồm một thành phần thời gian và
các thành phần không gian, các chỉ số
( )
0,1,2,3m=
,và theo quy ƣớc ta gọi là các
thành phần phản biến của véctơ 4 - chiều và ký hiệu các thành phần này với chỉ số
trên.

9

Chƣơng 1.
Các giản đồ phân kỳ một vòng
Trong chƣơng này chúng ta giới thiệu vắn tắt những luận điểm cơ bản của lý
thuyết nhiễu loạn hiệp biến. S - ma trận cho tƣơng tác điện từ, quy tắc Feynman, các
giản đồ phân kỳ thƣờng gặp trong gần đúng một vòng.
1.1. S - ma trận và giản đồ Feynman
Biên độ xác suất của các quá trình tán xạ đƣợc xác định bằng các yếu tố của S –
ma trận tán xạ, mà chúng liên hệ các trạng thái đầu và các trạng thái cuối của quá
trình vật lý:
( )
4
int
exp ( )S T i L x d x=
ò
(1.1)
Trong đó
( ) ( )
int 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )L x N J x A x e N x x A x
mm
mm
y g y==

là Lagrangian của tƣơng tác điện từ,
0
e
là điện tích “trần” của electron. Mỗi
đỉnh tƣơng tác sẽ có ba đƣờng vào ra, trong đó có một đƣờng photon, hai đƣờng

electron hay positron. Sử dụng phép khai triển hàm mũ
2
0
1
! 2!
n
z
n
zz
ez
n
¥
=
= = + + +
å
ta có thể viết biểu thức S – ma trận (1.1) dƣới dạng:
(0) (1) (2)
2
4 4 4
int int int

()
1 ( ) ( ) ( )
2!
S S S S
i
iT L x d x T L x L y d xd y
= + + + =
= + + +
òò

(1.2)
10

Yếu tố ma trận trận của các quá trình vật lý có thể biểu diễn dƣới dạng:
( )
( )
4
4
| | 2
fi f i f i
f S i i P P Md p d< > = + -
(1.3)
Ở đây
|i<
và
|f<
là các véctơ trạng thái đầu và cuối của hệ,
fi
M
là biên độ
xác suất dời chuyển, có ý nghĩa trong việc xác định tiết diện tán xạ, tốc độ phân rã
hay thời gian sống của hạt. Hàm delta diễn tả định luật bảo toàn năng xung lƣợng
của quá trình vật lý. Thay công thức (1.2) vào
||f S i<>
ta có:

(0) (1) (2)
4
int

2
44
int int
| | | | | | | |
| 1 | | ( ) |
()
| ( ) ( ) |
2!
f S i f S i f S i f S i
f i iT f L x d x i
i
T f L x L y d xd y i
< > = < > + < > + < > +
= < > + < > +
+ < > +
ò
ò
(1.4)
Sử dung khai triển (1.4), cụ thể các hạt ở trạng thái đầu và trạng thái cuối ta có
thể viết đƣợc các biểu thức tƣờng minh cho từng số hạng của khai triển nhiễu loạn
cho các quá trình nhƣ sau: tán xạ của electron (hay positron) với trƣờng điện từ
ngoài, tán xạ electron (hay positron) với nhau, tán xạ Compton – tán xạ photon trên
electron, hay sự hủy cặp electron – positron và quá trình tán xạ không đàn
tính, v.v
Bảng 1. Quy tắc Feynman cho tƣơng tác điện từ trong không gian xung lƣợng:
Hạt và trạng thái của
nó
Thừa số trong yếu tố ma
trận
Yếu tố giản đồ

Electron ở trạng thái
đầu
( )
( )
1
2
30
2
1
2
r
m
up
p
p
æö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
èø


11

Electron ở trạng thái

cuối
( )
( )
1
2
30
2
1
2
r
m
up
p
p
æö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
èø


Positron ở trạng thái
đầu
( )
( )

1
2
30
2
1
2
r
m
up
p
p
æö
÷
ç
÷
-
ç
÷
ç
÷
ç
èø


Positron ở trạng thái
cuối
( )
( )
1
2

30
2
1
2
r
m
up
p
p
æö
÷
ç
÷
-
ç
÷
ç
÷
ç
èø


Photon ở trạng thái
đầu hay ở trạng thái cuối
( )
( )
3
0
2
11

2
2
ek
k
l
m
p


Thế điện từ ngoài
( )
ext
Ak
m


Chuyển động của
electron từ
12®
(hay
positron theo chiều
ngƣợc lại
21®
)
( )
( )
4
4 2 2
1
()

ˆ
2
ˆ
2
i
Sp
pm
i p m
pm
p
p
==
-
+
=
-


Chuyển động photon
giữa hai đỉnh

( )
42
1
()
2
g
Dk
k
mn

mn
p
=


Đỉnh cùng với chỉ số
lấy tổng
m

( )
( )
( )
4
4
21
2ie p p k
m
g p d



12

1.2. Hàm Green và hàm đỉnh
Trong QED các giản đồ Feynman sau đây:
- Các phần năng lƣợng riêng của photon
- Các phần năng lƣợng riêng của của electron
- Các phần đỉnh
- Phần tán xạ photon – photon diễn tả sự tƣơng tác của hạt với
chân không vật lý. Các giản đồ này liên quan đến việc tính các số hạng

bổ chính bậc cao theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến, hay cụ thể hơn là
tính hàm Green của photon, hàm Green của electron và hàm đỉnh trong
lý thuyết tƣơng tác giữa trƣờng electron – positron với trƣờng điện từ.
Hàm Green hai điểm là tổng các giản đồ liên kết yếu mà mỗi thành phần của nó
là giản đồ liên kết mạnh
1
của một hạt.
Hàm Green của photon, đƣợc xác định bằng công thức:
( ) 0 ( ) ( ) 0G x y i T A x A y
mn m n
éù
- = < >
êú
ëû
(1.5)
trong đó
|0>
là véctơ trạng thái chân không của các trƣờng tƣơng tác, còn
()Ax
m
và
()Ay
n
là các toán tử trƣờng điện từ trong biểu diễn Heisenberg.

1
Giản đồ liên kết mạnh (strong connected diagramms) - chặt một đƣờng không tách thành
hai giản đồ đƣợc - Giản đồ này còn gọi là giản đồ tối giản (irreducible diagramms).
13

Hàm Green của photon (1.5) có thể đƣợc biểu diễn bằng tổng các giản đồ sau:




Hình 1.1. Hàm truyền đầy đủ của photon và ten xơ phân cực của chân không
Hàm Green của electron, đƣợc xác định tƣơng tự bằng công thức sau
( )
0 | ( ) ( ) | 0G x y i T x y
ab a b
yy
éù
- = < >
êú
ëû
(1.6)
Trong đó
()x
a
y
,
()y
b
y
là các toán tử trƣờng electron – positron trong biểu diễn
Heisenberg. Hàm Green của electron có thể đƣợc biểu diễn bằng tổng các giản đồ
sau:

Hình 1.2. Các đồ thị để cho hàm truyền đầy đủ của electron
và phần năng lƣợng riêng
Hàm đỉnh đƣợc cũng đƣợc xác định bằng
( ) ( ) ( )
( )
, , 0 ( ) 0z x y T A z x y
mab m a b
yyG = < >
(1.7)

i



i

i

i





i



i



i



i



14

Giản đồ Feynman (1.7) tƣơng ứng








Hình 1.3. Đỉnh riêng đầy đủ
m
G
và sơ đồ xƣơng
*
m
L

.Các đƣờng ngoài bị bỏ
1.3. Bậc hội tụ của các giản đồ Feynman
Khi tính toán các giản đồ Feynman (trong biểu diễn xung lƣợng), theo qui tắc
chung chúng ta phải lấy tích phân theo tất cả các đƣờng xung lƣợng trong của giản
đồ. Tất cả các tích phân này đều có dạng:
4 4 4
1 2 1 2
( , , , )
nn
J F p p p d p d p d p=
ò
(1.8)
Trong đó:
12
( , , , )
n
F p p p
là hàm hữu tỉ và là tỉ số của hai đa thức: n là số
đƣờng xung lƣợng trong. Tƣơng ứng với mỗi đƣờng xung lƣợng trong của fermion
- electron ta có hàm truyền
S
~
1
p
, tƣơng ứng với mỗi đƣờng xung lƣợng trong của
photon ta có hàm truyền
D
~
2
1

p
.









*




15

Ta gọi:
e
F
: số đƣờng xung lƣợng trong của electron.
e
N
: số đƣờng xung lƣợng ngoài của electron.
p
F
: số đƣờng xung lƣợng trong của photon.
p
N

: số đƣờng xung lƣợng ngoài của photon.
v
: số đỉnh.
Trong mỗi vòng kín (loop) các đƣờng xung lƣợng trong, số các đƣờng trong
bằng số đỉnh:
nv=
, đồng thời lƣu ý hai điểm sau:
+ Mỗi đỉnh tƣơng ứng với 1 đƣờng photon, nhƣ vậy số đỉnh bằng tổng số
đƣờng photon, cũng phải chú ý rằng số đƣờng trong phải đƣợc tính đến hai lần vì nó
nối với hai đỉnh
2
pp
v F N=+
(1.9)
+ Mỗi đỉnh tƣơng ứng với hai đƣờng xung lƣợng electron, tổng số đỉnh bằng
một nửa số đƣờng xung lƣợng electron:
22
ee
v F N=+
(1.10)
Từ (1.9) và (1.10) ta thu đƣợc:
11
22
pp
F v N=-
(1.11)

1
2
ee

F v N=-
(1.12)
16

Số biến lấy tích phân là n, nhƣng tại mỗi đỉnh các giá trị xung lƣợng vào ra phải
tuân theo định luật bảo toàn năng xung lƣợng. Định luật này đƣợc thể hiện ở dạng
của hàm delta. Theo tính chất của hàm delta:
4
00
( ) ( ) ( )f p p d p f pd =
ò
thì số biến độc
lập phải lấy tích phân sẽ giảm xuống.
Nếu có n đƣờng trong thì số hàm delta chỉ chứa biến là các đƣờng trong sẽ là
(n-1), và số biến sẽ tiếp tục giảm đi. Tổng số đƣờng trong là
()
ep
FF+
.
Vậy số các biến độc lập sẽ là:
1
( ) ( 1)
ep
K F F n= + - -
(1.13)
Do
S
~
1
p

và
D
~
2
1
p
, bậc luỹ thừa của mẫu sẽ là:

2
2
pe
K F F=+
(1.14)
Thay (1.11) và (1.12) vào (1.13) và (1.14) ta thu đƣợc:

1
1 1 1
1
2 2 2
pe
K v N N= - - +

(1.15)

2
1
2
2
pe
K v N N= - -

(1.16)
Với
1
K
là số biến độc lập,
2
K
là bậc của mẫu, ta có thể viết định tính:

1
2
4
()
()
K
K
dp
J
p
=
ò
(1.17)
Đƣa vào tham số mới
17


21
4K K K=-
(1.18)

Thay (1.15) và (1.16) vào biểu thức của (1.18) ta thu đƣợc:
3
4
2
ep
K N N= + -
(1.19)
Từ tham số này ta có thể đƣa ra bậc hội tụ hay phân kỳ của biểu thức (1.17):
+ Nếu
0K >
: tích phân này hội tụ.
+ Nếu
0K £
: tích phân này phân kỳ.
-
0K =
: phân kỳ lôgarit.
-
1K =-
: phân kỳ tuyến tính.
-
2K =-
: phân kỳ bậc hai.
-
3K =-
: phân kỳ bậc ba
Khi phân tích các giản đồ Feynman trong QED, các giản đồ Feynman tiêu biểu
chứa phân kỳ có dạng cho dƣới đây:

Hình 1.4. Giản đồ năng lƣợng riêng
của electron


Hình 1.5. Giản đồ năng lƣợng riêng
của photon
18







Tính toán bậc phân kỳ của các giản đồ trên:
Hình 1.4: Số đƣờng phôtôn ngoài bằng 0, số đƣờng electron ngoài là 2, bậc
phân kỳ là:
1K = - Þ
Phân kỳ tuyến tính.
Hình 1.5: Số đƣờng photon ngoài bằng 2, số đƣờng electron ngoài bằng 0, bậc
phân kỳ là:
2K = - Þ
Phân kỳ bậc hai.
Hình 1.6: Số đƣờng photon ngoài bằng 1, số đƣờng electron ngoài bằng 2, bậc
phân kỳ là:

0K =Þ
Phân kỳ loga.
Hình 1.7: Số đƣờng photon ngoài bằng 4, số đƣờng electron ngoài bằng 0, bậc
phân kỳ là:
0K =Þ
Phân kỳ loga.
Các giản đồ này diễn tả sự tƣơng tác của các hạt với chân không.
Giản đồ Hình 1.6 diễn tả sự tƣơng tác của electron với các dao động không (các
thăng giáng) của các phôtôn, hay nói một cách khác là sự tƣơng tác với chân không
của trƣờng điện từ. Giản đồ này diễn tả sự xuất hiện năng lƣợng riêng trƣờng điện
từ của electron (hiệu ứng tự tƣơng tác).
Giản đồ Hình 1.5 diễn tả sự tƣơng tác của phôtôn với chân không của trƣờng
electron - positron - hay gọi là giản đồ năng lƣợng riêng của phôtôn.

Hình 1.6. Giản đồ đỉnh bậc 3

Hình 1.7. Quá trình tán xạ ánh sáng
– ánh sáng
19

Giản đồ Hình 1.7 diễn tả sự tƣơng tác của phôtôn với chân không của trƣờng
electron - positron hay quá trình tán xạ của ánh sáng - ánh sáng qua việc sinh cặp
electron - positron và sau đó lại hủy cặp này. Đây là một quá trình vật lý đặc biệt
của điện động lực học lƣợng tử chúng tôi không xem xét ở đây. Nghiên cứu quá
trình này chúng ta sẽ tính đƣợc những bổ chính phi tuyến cho phƣơng trình
Maxwell. Trong điện động lực học cổ điển quá trình tán xạ ánh sáng - ánh sáng
không tồn tại vì sự tuyến tính của phƣơng trình Maxwell.
Giản đồ Hình 1.6 đƣợc gọi là giản đồ đỉnh và khi tính toán giản đồ này ta cũng
thu đƣợc biểu thức phân kỳ.
20

Bảng 2. Các giản đồ phân kỳ bậc thấp nhất của QED:
Ví dụ
Nhận xét

Giản đồ chân không . Giản đồ này có thể
không xét.

Giản đồ năng lƣợng riêng của electron. Sơ
bộ, nó phân kỳ tuyến tính, song thực tế nó phân
kỳ loga.

Đỉnh phân kỳ loga

Giản đồ năng lƣợng riêng của photon. Sơ
bộ nó phân kỳ bình phƣơng. Thực tế từ bất biến
chuẩn nó phân kỳ loga.

Nó bị triệt tiêu với giản đồ cùng với hƣớng
ngƣợc lại của electron (Định lý Furry). Giản đồ
này có thể không xét.

Gồm 4! giản đồ, khác nhau bằng việc hoán
vị của các đƣờng ngoài. Thực tế, nó hội tụ từ
bất biến chuẩn.

21

Chƣơng 2.
Tách phân kỳ trong giản đồ một vòng

bằng phƣơng pháp Pauli- Villars
Trong chƣơng này, sử dụng phƣơng pháp Pauli- Villars để tách phần
phân kỳ và phần hữu hạn của một số giản đồ một vòng bậc thấp nhất của
QED
2.1. Giản đồ phân cực photon
Giản đồ phân cực của photon sau khi đã điều chỉnh theo phƣơng pháp
Pauli-Villars tƣơng ứng với biểu thức

Hình 2.1. Giản đồ phân cực photon
 
 
 
 
 
2
4
2 2 2 2
11
ˆ
ˆˆ
Re .
2
e
g k Sp m p m p k
m p i M p i
  






     



   




pd
i)kp(M
1
i)kp(m
1
.
4
2222









. (2.1)
Sử dụng công thức tham số hóa các tích phân Feynman





0
iHt
dtei
H
1
, ta
đƣợc
22







0
]ipm[i
22
22
e.di
ipm
1
;






0
]ipM[i
22
22
e.di
ipM
1


 








0
Mimi]ip[i
2222
222
ee.e.di
ipM
1
ipm
1







0
]i)kp(m[i
22
22
e.di
i)kp(m
1
;





0
]i)kp(M[i
22
22
e.di
i)kp(M
1

Sau khi tính vết (2.1) , ta thu đƣợc :

 
22
ˆ

ˆˆ
[ ] [ ( )] 4 ( 2 ) ( 2 )Sp m p m p k g m g pk p k g p p p
        


       

.
(2.2)
Thay các biểu thức thu đƣợc ở trên vào (2.1) và tách riêng phần phụ
thuộc vào biến lấy tích phân theo xung lƣợng p:
 
 
 
 
 
2
2
2
. 2 . .
. 2 4
4
00
4
Re . . . { .
2
i p k p
ik
e
g k d d e e g m d p e

  
  

 




  



  
  


22
4 [( ). 2 . , ] 4 [( ). 2 . , ]
. . . 2 . . .
i p k p i p k p
g k d p e p k d p e p
     
    
     




22
4 [( ). 2 . , ] 2 4 [( ). 2 . , ]

. . 2 . . }
i p k p i p k p
g d pe p d pe p p
     
  
     


(2.3)
ở đây kí hiệu :
 
  
2222
MimiMimi
ee.ee



tính các tích phân theo xung lƣợng bốn chiều theo các công thức tích
phân đã biết :
 
 
 
22
2
2
. 2 . .
4
2
.

k
i
i p k p
d p e i e

  




  





;
23

 
   
 
22
2
2
. 2 . .
4
22
.
k

i
i p k p
k
d p e p i e

  





   

  





;
 
 
   
 
22
2
2
2
. 2 . .
4

22
2
.
k
i
i p k p
g i k k
d p e p p i e

  

  

  

   

  






;
 
 
   
 
22

2
22
2
. 2 . .
42
22
22
.
k
i
i p k p
ik
d p e p e

  

  

   

  






.
Thay các tích phân này vào (2.3) và rút gọn :
 

 
 
 
 
 
 
2
2
2
22
22
42
00
4
Re . . . .
2
ik
ik
ee
g k d d e e ig m ig k

  


  



  







    








22
2
22
2
22
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
v
g
ik k g ik ik k

   
  
         




    


    





 
 
 
 
 
 
 
2
2
22
22
2
00
. . . 2 .
4
k
i
g
ee
d d e i g k k k ig m


  


   


  
   





    







(2.4)
Đƣa vào biến mới:
)x1(;x 
;




)x,(

),(
;

;
)x1(x
2


2
1
.
2
00
Re ( )
4
ed
g k dx e






   


22
(1 )( 2 ) ( , ) ( , )
g
ix x g k k k ig m f x f x


   




    



(2.5)

24

Với :
  
22222
M)x1(im)x1(ixMixmik).x1(xi
ee.eee)x,(f



Nhận xét rằng :

 )x,(f:
;
2
.c~)x,(f:0 
(nó có dạng đa thức )
Nhƣ vậy , ta có thể lấy tích phân xung quanh


nhỏ

 
   
22
0 0 0
,,
, . . . .
f x f x
d d d
f x e e e
  

  

    
  
  

   

  
(2.6)
Dấu trừ xuất hiện( 2.6) là do ta chỉ xét về độ lớn mà không xét về dấu :
khi lấy đạo hàm của
)x,(f 
sẽ xuất hiện dấu trừ , ta phải lấy dấu trừ trƣớc để
triệt tiêu đi lƣợng này
2

1
2 2 .
2
00
Re ( ) { (1 )( 2 ) ( , )
4
ed
g k dx ix x g k k k ig m e f x

    






     




.
0
(, )
}
d f x
ge











(2.7)
Đặt :
)b()a(ee)1(
]xm)Mxk).(x1([i]xm)mxk).(x1([i
222222




)d()c(ee)2(
]xM)mxk).(x1([i]xM)Mxk).(x1([i
222222


;
)d()a()3( 
;
)b()c()4( 

Thì :
)2()1()x,(f 

)4(M)x1(i)3(m)x1(i)2(ixM)1(ixm)x,(f.k)x1(ix

)x,(f
22222




Với (1), (2) và (3) vào công thức (2.7) ta có
25

1
2
00
Re ( ) 2 ( ) (1 ) ( , )
d
g k dx i g k k k x x e f x

   






    





2 2 2

0 0 0
[(1) (2)] .(1) .(2)
d d d
ig m e ig m x e ig M x e
  
  
  
  
  
  
   
  


22
00
(1 ) .(3) (1 ) .(4)
dd
ig m x e ig M x e
 
 




   


Với
2

4
e



.
Sử dụng công thức tích phân đã thu đƣợc ở trên, ta thu đƣợc :








0
222
222
ixm)mxk)(x1(
ixm)Mxk)(x1(
ln)1.(e
d










ixM)Mxk)(x1(
ixM)mxk)(x1(
ln)2.(e
d
222
222
0









ixm)mxk)(x1(
ixM)mxk)(x1(
ln)3.(e
d
222
222
0










ixM)Mxk)(x1(
ixm)Mxk)(x1(
ln)4.(e
d
222
222
0















0
0
0
0
)]2()1[(.e

d
)x,(fe
d

22
222
22
222
k)x1(xM
)mxk)(x1(xM
ln
k)x1(xm
xmk)x1(xM)x1(
ln







22
222
2
222
22
2
k)x1(xM
)mxk)(x1(xM
.

m)x1(x
xmk)x1(xM)x1(
ln
k)x1(xm
m)x1(x
ln









26

2
2
2
22
ln
)1(
)1(
ln}{
m
M
mxx
kxxm
M 




= ( hữu hạn ) + ( phân kì )
Ta tách phần hữu hạn sau đây
22
1
2
2
0
2 . (1 )
( ) ( ) . (1 ).ln
(1 )
i m k x x
k k g k k dx x x
m x x
   



   


, (2.8)
Trong biểu thức này , phần ngang của ten xơ là :









1
0
2
22
)x1(xm
)x1(x.km
ln).x1(x.dx
i2
)k(
(2.9)
Khi đó :
)k()k()k(gRe
div 

(2.10)
Khi
M
:

















2
2
0
222
222
m
M
)x1(ln~
ixm)mxk)(x1(
ixm)Mxk)(x1(
ln)1.(e
d


)xln(~
ixM)Mxk)(x1(
ixM)mxk)(x1(
ln)2.(e
d
222
222
0



























2
2
222
222
0

m
M
xln~
ixm)mxk)(x1(
ixM)mxk)(x1(
ln)3.(e
d


)x1ln(~
ixM)Mxk)(x1(
ixm)Mxk)(x1(
ln)4.(e
d
222
222
0









.
Do vậy
2
1

2
2
0
2
( ) ( )ln . (1 )
div
iM
k k g k k dx x x
m
   


    


22
1 1 1
2
22
0 0 0
.ln (1 ) .ln( ) . ln (1 )
i M M
g m dx x dx x dx x x
mm





   


     


   
   



  

27

























 
1
0
1
0
2
1
0
2
2
)x1ln()x1.(dx)xln(x.dxMx
m
M
ln)x1(
(2.11)
Nhờ các kết quả tích phân

6
1
)1(.
1
0



xxdx
;











1
0
2
2
2
2
1
m
M
ln)x1(
m
M
ln.dx





1
0
1ln. xdx
;











1
0
2
2
2
2
4
3
m
M
ln
2
1
)x1(
m

M
ln.x.dx













1
0
2
2
2
2
4
3
m
M
ln
2
1
x
m

M
ln).x1.(dx


4
1
)ln(.
1
0


xxdx
;


1
0
4
1
)1ln()1.( xxdx

Thay các công thức trên vào (2.11) trở thành
2
2 2 2
2
( ) ( )ln ( )
32
div
i M i
k k g k k g M m

m
    


     
. (2.12)
Ta tính biểu thức (2.9)
 


















1
0
2
2

)x1(xln)x1(x.
m
k
1ln).x1(x.dx
i2
)k(


     
1
2 2 2
22
0
1 1 4 2
. 1 ln 1 1 1 cotan
2 9 3
k m k
dx x x x x
mk

   

     
   
   






1
0
18
5
)]1(ln[).1(. xxxxdx
.