- Trang chủ >>
- Khoa học tự nhiên >>
- Vật lý
Vector phân cực của nơtron tán xạ trong tinh thể có cấu trúc từ xoắn đinh ốc
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (820.12 KB, 40 trang )
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Phạm Thị Thu Hà
VECTOR PHÂN CỰC CỦA NƠTRON TÁN XẠ TRONG TINH THỂ
CÓ CẤU TRÚC TỪ XOẮN ĐINH ỐC
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số : 60.44.01
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. Nguyễn Đình Dũng
Hà Nội - 2011
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Phạm Thị Thu Hà
VECTOR PHÂN CỰC CỦA NƠTRON TÁN XẠ TRONG TINH THỂ
CÓ CẤU TRÚC TỪ XOẮN ĐINH ỐC
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội - 2011
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU……………………………………………………………… 1
CHƢƠNG 1: LÝ THUYẾT TÁN XẠ CỦA NƠTRON CHẬM TRONG TINH
THỂ…………………………………………………………… ……… …3
1.1.Hình thức luận thời gian của lý thuyết tán xạ……………………… …3
1.2.Thế tƣơng tác của nơtron chậm trong tinh thể…………… ……… 7
1.2.1.Yếu tố ma trận tương tác hạt nhân………………… ……… 7
1.2.2.Yếu tố ma trận của tương tác từ 8
CHƢƠNG 2: TÁN XẠ TỪ CỦA CÁC NƠTRON PHÂN CỰC TRONG TINH
THỂ PHÂN CỰC………………………………………………………… 13
CHƢƠNG 3: TIẾT DIỆN TÁN XẠ TỪ CỦA NƠTRON PHÂN CỰC TRONG
TINH THỂ CÓ CẤU TRÚC TỪ XOẮN ĐINH ỐC………………… 22
3.1.Cơ sở lý thuyết về cấu trúc từ xoắn đinh ốc…………………… ….…22
3.2.Tiết diện tán xạ từ vi phân của các nơtron phân cực trong tinh thể cấu
trúc từ xoắn đinh ốc………………………………………………… 26
CHƢƠNG 4: VECTOR PHÂN CỰC CỦA NƠTRON TÁN XẠ TỪ TRONG TINH
THỂ CÓ CẤU TRÚC TỪ XOẮN ĐINH ỐC ………… 28
4.1. Véc tơ phân cực của nơtron tán xạ từ trong tinh thể phân cực 28
4.2. Véc tơ phân cực của nơtron tán xạ từ trong tinh thể có cấu trúc từ xoắn
đinh ốc 29
KẾT LUẬN……………………………………………………………… ……31
TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………………… 32
1
MỞ ĐẦU
Trong những năm gần đây, cùng với sự phát triển của khoa học, quang học
hạt nhân phát triển mạnh cho phép ta mở rộng nghiên cứu cấu trúc của tinh thể.
Tính hiệu quả lớn của phương pháp nhiễu xạ nơtron được xác định bởi bản chất tự
nhiên của nơtron như một hạt cơ bản.
Các nơtron chậm (nơtron có năng lượng nhỏ hơn 1MeV) là một công cụ độc
đáo để nghiên cứu động học của các nguyên tử vật chất và các cấu trúc từ của chúng
[19, 20, 21, 22]
Hiện nay, để nghiên cứu các tính chất tinh thể, phương pháp quang học hạt
nhân đã được sử dụng rộng rãi. Khi nghiên cứu các hạt nhân của vật chất phân cực
thì việc nghiên cứu trạng thái phân cực của chùm nơtron tán xạ cho ta rất nhiều
thông tin quan trọng về quá trình vật lý, ví dụ như sự tiến động của hạt nhân của
spin của nơtron trong các bia có các hạt nhân phân cực,…[18, 19]
Các nghiên cứu và tính toán về tán xạ không đàn hồi của các nơtron phân
cực trong tinh thể phân cực cho phép chúng ta nhận được các thông tin quan trọng
về tiết diện tán xạ của các nơtron chậm trong tinh thể phân cực, hàm tương quan
spin của các hạt nhân [22, 23]…. Ngoài các vấn đề về nhiễu xạ bề mặt của các
nơtron trong tinh thể phân cực đặt trong trường ngoài biến thiên tuần hoàn và tán xạ
của các nơtron phân cực trong tinh thể có sự bức xạ và hấp thụ magnon cũng đã
được nghiên cứu [8,9,12,16]
Trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu vector phân cực của nơtron tán xạ
trong tinh thể có cấu trúc từ xoắn đinh ốc.
Sử dụng phương pháp toán lý và lý thuyết tán xạ của cơ học lượng tử để
nghiên cứu đề tài.
Một phần kết quả của luận văn đã được báo cáo tại hội nghị vật lý lý thuyết
toàn quốc lần thứ 36 tổ chức tại thành phố Quy Nhơn tháng 8 năm 2011.
Nội dung luận văn được trình bày trong 4 chương:
2
Chương 1: Lý thuyết tán xạ của nơtron chậm trong tinh thể.
Chương 2: Tán xạ từ của các nơtron phân cực trong tinh thể phân cực
Chương 3: Tiết diện tán xạ từ của các nơtron phân cực trong tinh thể có cấu
trúc từ xoắn đinh ốc.
Chương 4: Vector phân cực của nơtron tán xạ từ trong tinh thể có cấu trúc từ
xoắn đinh ốc.
3
CHƢƠNG 1: LÝ THUYẾT TÁN XẠ CỦA NƠTRON CHẬM TRONG
TINH THỂ
1.1. Hình thức luận thời gian của lý thuyết tán xạ
Hiện tượng: Dùng 1 chùm hạt nơtron chậm phân cực bắn vào bia (năng
lượng cỡ dưới 1 MeV và không đủ để tạo ra quá trình sinh huỷ hạt), nhờ tính chất
trung hoà về điện, đồng thời moment lưỡng cực điện vô cùng nhỏ (gần bằng 0) nên
nơtron không tham gia tương tác điện, dẫn đến độ xuyên sâu của chùm nơtron vào
tinh thể là lớn và bức tranh giao thoa của sóng tán xạ sẽ cho ta thông tin về cấu trúc
tinh thể và cấu trúc từ của bia.
Một chùm hạt nơtron phân cực khi đi vào trong tinh thể sẽ chịu tác dụng của
tương tác hạt nhân, tương tác trao đổi spin và tương tác từ gây ra bởi sự phân cực
của chùm nơtron và sự chuyển động của các electron, cả electron tự do lẫn electron
không kết cặp trong bia tinh thể.
Để tính toán tiết diện tán xạ một cách thuận tiện ta đưa vào hình thức luận
thời gian.
Giả sử ban đầu hạt nhân bia được mô tả bởi hàm sóng
n
, là hàm riêng của
toán tử Hamilton của bia:
n
H n E n
(1.1)
Sau khi tương tác với nơtron sẽ chuyển sang trạng thái
'n
. Còn nơtron có
thể thay đổi xung lượng và spin của nó. Giả sử, ban đầu trạng thái của nơtron được
mô tả bởi hàm sóng
p
. Ta đi xác định xác suất mà trong đó nơtron sau khi tương
tác với hạt nhân bia sẽ chuyển sang trạng thái
'p
và hạt bia chuyển sang trạng thái
'n
.
4
Xác suất
''n p np
W
của quá trình đó được tính theo lý thuyết nhiễu loạn trong gần
đúng bậc nhất sẽ bằng [2]:
2
' '| ' '
2
''
n p np n p n p
W n p V np E E E E
(1.2)
Trong đó:
V là toán tử tương tác của nơtron với hạt nhân bia.
''
, , ,
n p n p
E E E E
là các năng lượng tương ứng của hạt nhân bia và nơtron trước
và sau khi tán xạ.
''n p n p
E E E E
- hàm delta Dirac.
''
''
1
2
n p n p
i
E E E E t
n p n p
E E E E e dt
(1.3)
Chúng ta quan tâm tới xác suất toàn phần
'pp
W
của quá trình trong đó nơtron
sau khi tương tác với bia sẽ chuyển sang trạng thái
'p
, nó nhận được bằng cách
tổng hóa các xác suất
''n p np
W
theo các trạng thái cuối của bia và lấy trung bình theo
các trạng thái đầu. Bởi vì bia không luôn ở trạng thái cố định do đó ta phải tổng
quát hóa đối với trường hợp khi nó ở trong trạng thái hỗn tạp với xác suất của trạng
thái
n
là
n
. Theo đó ta có:
2
'| ' '
'
2
W ' '
p p n n p n p
nn
n p V np E E E E
2
' ' '
'
2
'
n p p n p n p
nn
n V n E E E E
(1.4)
5
Ở đây chúng ta đưa vào kí hiệu hỗn hợp để cho các yếu tố ma trận:
'
' ' '
pp
n p V np n V n
(1.5)
Như vậy là các yếu tố ma trận của toán tử tương tác của nơtron với hạt bia
lấy theo các trạng thái của nơtron và
'pp
V
là toán tử tương đối với các biến số hạt bia.
Thay phương trình (1.3) vào (1.4) ta được:
''
*
'| ' ' '
2
'
1
W ' '
p p n n
ii
E E t E E t
p p nn p p p p
nn
e dt n V n n V n e
(1.6)
'
,
n
n
EE
là các trị riêng của toán tử Hamilton H với các hàm riêng là
n
,
'n
, từ đó ta
viết lại trong biểu diễn Heisenberg:
'
''
''
nn
i
E E t
p p p p
n V n e n V t n
(1.7)
Ở đây:
''
ii
Ht Ht
p p p p
V t e V e
là biểu diễn Heisenberg của toán tử
'pp
V
với
toán tử Hamilton.
Thay (1.7) vào (1.6), chú ý rằng trong trường hợp này ta không quan tâm tới
sự khác nhau của hạt bia trước và hạt bia sau tương tác, vì vậy công thức lấy tổng
theo n’, n chính là vết của chúng và được viết lại:
'
'| ' ' '
2
'
1
W'
pp
i
E E t
p p nn p p p p
nn
e dt n V V t n
'
''
2
1
pp
i
E E t
p p p p
dte Sp V V t
(1.8)
6
Ở biểu thức cuối, biểu thức dưới dấu vết có chứa toán tử thống kê của bia
,
các phần tử đường chéo của ma trận của nó chính là xác suất
n
.
Theo qui luật phân bố Gibbs nếu hạt bia nằm ở trạng thái cân bằng nhiệt
động ta có hàm phân bố trạng thái là:
H
H
e
Sp e
Với:
1
z
kT
z
k
- hằng số Boltmann
T - Nhiệt độ
Giá trị trung bình thống kê của đại lượng vật lý được tính theo các hàm phân
bố là [1]:
H
n
H
n
Sp e A
AA
Sp e
(1.9)
Kết hợp (1.8) và (1.9) ta được:
'
'| ' '
2
1
W
pp
i
E E t
p p p p p p
dte Sp V V t
'
''
2
1
pp
H
i
E E t
p p p p
H
Sp e V V t
dte
Sp e
'
''
2
1
pp
i
E E t
p p p p
dte V V t
(1.10)
Nếu chuẩn hóa hàm sóng của nơtron trên hàm đơn vị ( trên hàm
) thì tiết
diện tán xạ hiệu dụng được tính trên một đơn vị góc cầu và một khoảng đơn vị năng
lượng
2
d
d dE
, sẽ liên quan tới xác suất này bởi biểu thức sau:
7
'
2 2 2
'|
''
33
5
'
''
W
22
pp
i
E E t
pp
p p p p
p
d m p m p
dte V V t
d dE p p
(1.11)
Gạch trên đầu là trung bình theo các trạng thái spin của nơtron trong chùm
các nơtron ban đầu và tổng hóa các trạng theo các trạng thái spin trong chùm tán xạ
m - khối lượng nơtron
Trong công thức (1.11) đưa vào toán tử mật độ spin của nơtron tới
và sử
dụng công thức:
L Sp L
(1.12)
Do đó dạng tường minh của công thức (1.11) được viết lại là:
'
22
''
3
5
'
'
2
pp
i
E E t
p p p p
p
d m p
dte Sp V V t
d dE p
(1.13)
1.2. Thế tƣơng tác của nơtron chậm trong tinh thể
Tán xạ của nơtron chậm khi đi vào mạng tinh thể sẽ chịu tác động của tương
tác hạt nhân và tương tác từ.
1.2.1. Yếu tố ma trận của tương tác hạt nhân
Ta xây dựng thế hạt nhân của nơtron và hạt nhân bia dưới dạng sau:
( ) ( )nnV r r R
(1.14)
Trong đó
8
1
()
2
A B sJ
(1.15)
nr
- vị trí của nơtron
R
- Vị trí của hạt nhân
,AB
- là các hằng số
J
- Spin của hạt nhân
s
- Spin của nơtron
Do đó thế tương tác của nơtron với hạt nhân thứ l là:
( ) ( )
l n n l
V r r R
(1.16)
Lấy tổng công thức (1.16) theo l từ 1 đến số hạt nhân trong bia ta sẽ tìm được
thế tương tác của nơtron với toàn bộ bia:
1
()
N
l n l
l
V r R
(1.17)
Các yếu tố ma trận
'pp
V
thuộc toán tử tương tác hạt nhân V từ xung lượng
p
đến
'p
được ghi nhận trên cơ sở (1.16) có dạng:
( ')
'
l
i p p R
p p l
l
Ve
(1.18)
1.2.2. Yếu tố ma trận của tương tác từ.
Tương tác từ của nơtron với tinh thể có thể hiểu như tương tác của từ trường
được sinh bởi nơtron với các dòng điện của điện tử (các điện tử này là các điện tử
của các đám mây điện tử không kín của nguyên tử). Toán tử năng lượng của tương
tác dạng này có thể được biết dưới dạng [20, 9]:
9
1
ll
l
V A r j r
c
(1.19)
Ở đó:
3
n l n
nl
ln
rr
Ar
rr
là vector thế của trường ở điểm
l
r
được sinh bởi
nơtron nằm ở điểm
n
r
.
2
n nuc n
s
là mô men từ của nơtron,
1,913
là đại lượng mô men từ
của nơtron trong Manheton hạt nhân.
l
jr
là dòng điện được sinh bởi điện tử thứ
l
(dấu tổng trong công thức1.19
được lấy tổng theo tất cả các điện tử không liên kết cặp của tinh thể).
Chúng ta đi tính yếu tố ma trận giữa các trạng thái của nơtron với các xung
lượng
p
và
'
p
với các trạng thái của bia (tinh thể)
a
và
'
a
ta có:
'
'
'*
'
3
1
n
i p p r
n l n
a l a n
pp
l
ln
rr
a V a j r e dr d
c
rr
(1.20)
Tính tích phân theo (
d
) lấy dọc theo các tọa độ của tất cả điện tử chứa
trong công thức (1.19). Như chúng ta đã biết các yếu tố ma trận của dòng điện bằng:
* * * *
' 0 ' ' 0 '
1
2
a l a a l a a l a l a l a
j r i rot s
c
(1.21)
Trong đó:
l
s
là toán tử spin của điện tử thứ
l
,
0
2
e
e
mc
là Manheton Bohr
Số hạng đầu vế phải của công thức (1.21) mô tả dòng điện gây bởi chuyển
động quỹ đạo của các điện tử. Số hạng thứ hai vế phải của (1.21) mô tả phần spin
của dòng điện .
10
Trước mắt chúng ta chỉ xem xét phần spin của dòng điện. Thay số hạng thứ
hai trong (1.21) vào (1.20) và đưa vào tọa độ tương đối
ln
r r R
.
Biểu diễn biểu thức để cho yếu tố ma trận (1.20) dưới dạng:
*
' 0 '
3
'2
l
iqR
iqr
p p n l a l a l
l
eR
a V a dR e rot s dr
R
(1.22)
Ở đó:
'
q p p
là vector tán xạ của nơtron.
Ta đã có [20]:
32
e4
iqR
RdR iq
Rq
Và
**
''
ll
iqr iqr
l a l a l a l a l
e rot s dr iq e s dr
Thay vào biểu thức (1.22) ta được:
2
'0
4
' ' ,
l
iqr
p p l n n
l
a V a r a e s a s es e
m
(1.23)
Biểu thức trong dấu ngoặc tròn là tích vô hướng của các vector.
2
0
2
0
e
r
mc
là vector bán kính điện từ của electron
q
e
q
là vector tán xạ đơn vị.
Trong biểu thức (1.23) các biến số spin của nơtron và của bia (tinh thể) được
tách riêng. Sự đơn giản hóa tiếp theo có thể đạt được nếu ta phân tách tổng theo
l
thành tổng hóa theo các điện tử của từng nguyên tử
và tổng theo tất cả các
nguyên tử của bia
j
.Chúng ta chỉ xem xét tán xạ từ khi trạng thái của mạng
không thay đổi, còn trạng thái
a
được chọn bởi tập hợp các hình chiếu của spin để
cho các nguyên tử.
11
Trong trường hợp này có thể viết:
''
j
j
l
z
N
iqR
iqr iqr
l
lj
a e s a e a e s a
(1.24)
Ở đó
j
z
là số các điện tử trong đám mây không lấp đầy của nguyên tử thứ
j
.
Đối với các nơtron chậm chúng ta chú ý rằng các nơtron này không gây ra
các phép chuyển các nguyên tử vào các trạng thái năng lượng kích thích mà chỉ làm
thay đổi sự định hướng spin của nguyên tử. Như vậy phép chuyển từ
a
sang
'a
có dạng
m
sang
'm
. Ở đó
,'mm
là tập được chọn các số lượng tử spin để cho
các nguyên tử của bia (tinh thể) còn
là tập hợp các số lượng tử còn lại của
nguyên tử.
Từ định lý tổng quát của cơ học lượng tử ta suy ra rằng yếu tố ma trận trong trường
hợp cụ thể này có thể được biểu diễn dưới dạng:
''
1
jj
iqr
zz
j
iqr
j
jj
e s S
a e s a m S m m m
SS
(1.25)
Với
j
z
j
Ss
là toán tử spin của nguyên tử thứ
j
.
j
S
là đại lượng spin của nguyên tử thứ
j
.
Biểu thức:
*
11
jj
iqr iqr
zz
jj
j j j j
j j j j
e s S e s S
F q m m d
S S S S
(1.26)
Trong đó
j
là hàm sóng của điện tử của nguyên tử thứ
j
. (
j
d
là yếu tố thể
tích trong không gian phân bố của điện tử của nguyên tử thứ
j
), không phụ thuộc
12
vào số lượng tử
m
có nghĩa là không phụ thuộc vào sự định hướng của spin của các
nguyên tử và coi chúng như là đặc trưng khả năng tán xạ của nguyên tử.
Đại lượng này (
j
Fq
) được gọi là Form-factor từ của nguyên tử (chính xác hơn
nên gọi nó là Form-factor spin).
j
Fq
đặc trưng cho sự phân bố của mật độ spin
trong nguyên tử.
Khi
j
z
=1 thì Form - factor từ nguyên tử
j
Fq
đơn giản chỉ là biểu diễn
thành phần Fourier của mật độ spin.
Khi
j
z
>1 công thức (1.26) dễ dàng được biến đổi chúng ta sẽ kí hiệu
r
và
r
là các hàm sóng của điện tử ở lớp không lấp đầy là +1/2 và -1/2 (tương
ứng với hướng spin trong nguyên tử
j
S
). Tạo từ các hàm này các tổ hợp phản đối
xứng để cho các lớp không lấp đầy của nguyên tử sao cho nó mô tả trạng thái với
spin tổng cộng S, và đặt nó vào
j
ở (1.26). coi các giá trị riêng của toán tử
sS
là
S/2, khi đó spin của điện tử thứ
cộng với spin của nguyên tử và -(S+1)/2 thì thay
vào công thức (1.26) ta nhận được biểu thức sau đối với Form-factor spin:
22
1
| | | |
2
iqr
F q e N r N r dr
S
(1.26')
_
,NN
là các điện tử trong nguyên tử với spin tương ứng với spin tương ứng
là +1/2 và -1/2.
Như vậy hàm điện tử
r
được giả định là đã được chuẩn hóa từ (1.26')
chúng ta có thể cho q = 0:
1
01
2
F N N
S
Do vậy hiển nhiên ta có:
2N N S
.
Biểu thức cuối cùng có thể suy ra trực tiếp từ (1.26).
Biểu thức (1.26') cho phép ta thu được ý nghĩa đơn giản của Form-factor spin
j
Fq
như thành phần Fourier của mật độ spin nguyên tử. bây giờ quay về (1.23) ta
13
thấy rằng các phép biến đổi (1.24) và (1.25) cho phép biểu diễn yếu tố ma trận
(1.20) qua các yếu tố ma trận
'
j
m S m
của các toán tử spin của các nguyên tử
riêng rẽ của bia (tinh thể). Kết hợp biểu thức (1.23) đến (1.26) ta sẽ nhận được biểu
thức cho toán tử của tương tác từ:
2
'0
4
( ) , ( )
j
iqR
p p j j n n
j
V r F q e S s es e
m
(1.27)
Như vậy khi xét bài toán của một chùm nơtron chậm không phân cực tán xạ trong
tinh thể, ngoài tương tác hạt nhân chúng còn tương tác từ. Do đó trong biểu thức tiết
diện tán xạ vi phân sẽ gồm đóng góp hai phần được đặc trưng bởi hai loại tương tác
ở trên:
22
2
' ' '
nm
p p p
dd
d
d dE d dE d dE
(1.28)
Thay các biểu thức thế ở (1.18) và (1.27vào (1.11) chúng ta tìm được dạng
tường minh của các số hạng trong (1.28):
'
'
2
2
()
(0) ( )
'
35
'
'
'
(2 )
pp
ll
i
E E t
iqR iqR t
n
ll
ll
p
d
mp
e e e dt
d dE p
(1.29)
Và:
2
2
0'
'
'
'
( ) ( ) ( ) ( )
m
jj
jj
p
d
p
r F q F q e e
d dE p
'
'
()
(0) ( )
'
1
(0) ( )
2
pp
jj
i
E E t
iqR iqR t
jj
dte S e e S t
(1.30)
Với:
1
( ) ( ) ( )
4
s se e s se e e e
(1.31)
, , ,x y z
14
CHƢƠNG 2: TÁN XẠ TỪ CỦA CÁC NƠTRON PHÂN CỰC TRONG TINH
THỂ PHÂN CỰC
Ở đây ta chỉ xét đối với những nơtron chậm, lạnh và quan tâm đến tương tác
từ của chúng với tinh thể (bia). Biểu thức đối với tiết diện tán xạ từ vi phân có dạng
như sau [18]:
'
22
()
''
35
'
'
()
(2 )
pp
i
E E r
e p p p p
p
d m p
dte Sp V V t
d dE p
(2.1)
Trong đó :
: ma trận mật độ spin của nơtron
Trạng thái phân cực của chùm nơtron tới được cho bởi ma trận mật độ spin:
0
1
()
2
Ip
(2.2)
Trong đó:
2
1
là toán tử spin của nơtron
0
()p Sp
là vector phân cực của nơtron
I là ma trận đơn vị
Các thành phần của ma trận Pauli thỏa mãn các hệ thức sau:
2
2
i
(2.3)
Chúng ta cần nhấn mạnh một điều là biểu thức (2.2) có dạng tổng quát để
cho chùm hạt có các spin là
2
1
. Điều này chỉ có thể suy ra trực tiếp từ các tính chất
15
của các ma trận Pauli. Rõ ràng rằng khi tính tiết diện tán xạ của các nơtron đòi hỏi
các biểu thức để cho vết các tích khác nhau của ma trận Pauli.
Từ các hệ thức giao hoán (2.3) ta dễ dàng tính được biểu thức các biểu thức
cần thiết:
1
1
2
1
( ) 0
2
1
()
2
1
()
2
1
()
2
SpI
Sp
Sp
Sp i
Sp
(2.4)
xyz
: Ten xơ hoàn toàn phản đối xứng
Biểu thức của tiết diện tán xạ từ vi phân có dạng (2.1).Chúng ta chỉ xem xét đến
khả năng tương tác từ. Thế đặc trưng cho tương tác này cho bởi biểu thức:
2
'0
41
( ) ( , ( ) )
2
j
iqR
p p j j
j
V r F q e S e e
m
(2.5)
Từ công thức (2.5) ta dễ dàng tìm được
'pp
V
và
'
()
pp
Vt
trong biểu diễn Heisenberg
là:
2
'0
2
( ) ( , ( ) )
j
iqR
p p j j
j
V r F q e S e e
m
(2.6)
2
'0
2
( ) ( ) ( , ( ) )
j
ii
Ht Ht
iqR
p p j j
j
V t e r F q e S e e e
m
(2.7)
Như chúng ta thấy từ (2.1) và (2.2) tất cả các bài toán về tán xạ của các
nơtron phân cực trong các tinh thể từ dẫn đến việc cần thiết phải đi tính các vết của
toán tử:
( , ( ) )
jj
L S e e
(2.8)
16
Trong tích với toán tử khác và với các ma trận Pauli, kết quả của tính toán đó
được biểu diễn dưới dạng của biểu thức (2.10), trong đó
j
M
là:
( ( ) )
j j j
M S eS e
(2.9)
Như vậy chúng ta sẽ chứng minh một số công thức (2.10) dưới đây, để tính
tiết diện tán xạ:
Công thức (1):
1
2
Sp L M
CM:
11
( ) , ( )
22
Sp L Sp S e e
1
)
2
Sp S S e e
eeSSL )(
S e e S
11
()
22
Sp L Sp S e e S
S e e S
)(
SeeS
()S e eS M
Công thức (2):
17
1
()
2
Sp p L Mp
CM:
11
,
22
Sp p L Sp p S e e
;
( ) ( )( ( ) )p L p S S e e
S e S e S p
1
()
2
Sp p L S e e S p
()S e e S p
()S e eS p M p
Công thức (3):
1
()
2
Sp p L i M p
CM:
1
2
Sp p L
1
( ) , ( )
2
Sp p S e e
p L p S S e e
S p e S e p
1
()
2
Sp p L i S p i e e S p
()i S e Se p
i M p
Công thức (4):
18
1
()
2
Sp p L i M p
CM:
1
2
Sp p L
1
( ) , ( )
2
Sp p S e e
( ) ( )( ( ) )p L p S S e e
()p S p S e e
=
S p S e e p
1
()
2
Sp p L i S p i e e S p
()i S e Se p
i M p
Công thức (5):
1 2 1 2
1
2
Sp L L M M
CM:
12
1
2
Sp L L
12
1
, ( ) , ( )
2
Sp S e e S e e
1 1 2 2
1
( ) ( )
2
Sp S S e e S S e e
1 2 1 2 1 2 1 2
1
( ) ( ) ( ) ( )
2
sp S S S e e S S S e e S e e S e e
1 2 1 2 1 2 1 2
( ) ( )S S e S e S S e S e S e e e S e
1 2 1 2 1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( )S S e S e S S e S e S e e e S e
1 2 2 1 2 2
S S e e S e S e S e e S
19
1 2 2 1 2 2
S S e eS eS e S e eS
1 1 2 2
12
()S e eS S e eS
MM
Công thức (6):
1 2 1 2
1
2
Sp L L i M M
CM:
12
1
2
sp L L
12
1
( , ( ) ) ( , ( ) )
2
sp S e e S e e
1 1 2 2
1
( ) ( )
2
t
Sp S S e e S S e e
1 2 1 2
1 2 1 2
1
()
2
( ) ( ) ( )
tt
tt
Sp S S S e e S
S S e e S e e S e e
1 2 1 2 1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( )
t t t t
S S i e S e S i S e S e i S e e S e e i
1 1 2 1 1 2
( ) ( ) ( )i S eS e S S eS e eS e
1 1 2 2
12
()i S eS e S eS e
i M M
Công thức (7):
1 2 1 2
1
()
2
sp p L L i M M p
CM:
12
1
()
2
sp p L L
12
1
( ) , ,
2
sp p S e e S e e
20
1 1 2 2
1
( ) ( )
2
yy
sp p S S e e S S e e
1 2 1 2 1 2
12
1
2
yy
yy
sp p S S p e S e S p S S e e
p S e e e S e
1 2 1 2
1 2 1 2
1
2
Sp S S p e S e S p
S e S e p e S e e S e p
1 2 1 2 1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( )
yy
S S i e S e S i S S e e i S e e S e e i p
1 2 1 2 1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( )i S S eS e S S eS e eS e eS e p
1 1 2 2
i S e eS S e eS p
12
i M M p
Công thức (8):
1
2 1 2 1 2 1 2
1
2
Sp p L L M M p M p M p M M
CM:
1
2 1 1 2 2
11
22
Sp p L L Sp p S S e e S S e e
=
1 1 2 2
1
2
ll
Sp p S S e e S S e e
1 2 1 2
1
2
l l l l
Sp p S S p S e e S
1 2 1 2
l l l l
p S S e e p S e e S e e
1 2 1 2l l l l l l
S S e S e S
12 l l l
S e S e
12
l
l l l
e S e e S e p
21
1 2 1 2 1 2l l l
S S S e S e e S e S
1 2 1 2 1 2
l
l l l
e S e e S e p S S S e S e
1 2 1 2 1 2
l
l l l
e S e S e S e e S e p S S
1 2 1 2 1 2
l
l l l
S e S e e S e S e S e e S e p
1 2 1 2 1 2 1 2
l l l l l
S S S e S e e S e S e S e e S e p
1 2 1 2 1 2 1 2
S S S e S e e S e S e S e e S e p
1 2 1 2 1 2 1 2
l l l l l
S S S e S e e S e S e S e e S e p
1 1 2 1 1 2
l l l l l
S e S e S S e S e e S e p
2 2 1 1 2 2
S e S e S e S e S e S e p
1 2 2 1 2 2
l l l l l
S S e S e e S e S e S e p
1 1 2 2 2 2 1 1
l l l l l l
S e S e p S e S e S e S e S e S e p
2 2 1 1 2 2
S e S e S e S e S e S e p
1 1 2 2 2 2 1 1
S eS e p S eS e S eS e p S eS e
2 2 1 1
S eS e S eS e p
1 2 1 2 1 2
M p M M p M M M p
Vậy
1
2 1 2 1 2 1 2
1
2
Sp p L L M M p M p M p M M
Sử dụng các công thức (2.10) vừa chứng minh ở trên, ta tìm được biểu thức
tổng quát cho vết, xác định tiết diện tán xạ vi phân của các nơtron theo (2.1)
''
()
e p p p p
Sp V V t
22
'
2
2
0 ' '
'
41
( ) 0 ( )
2
jj
ii
Ht Ht
iqR iqR
e j j j j
jj
Sp r F q e L e F q e L t e
m
(2.11)
Đặt:
'
'
0 ( )
( , )
jj
iqR iqR t
jj
X q t e e
Ta có:
''
2
2
0 0 ' ' '
'
2
2
0 ' '
'
2
2
0 0 ' ' '
'
24
0
2
()
12
0,
2
12
0
2
12
0,
2
4
e p p p p
e j j j j jj
jj
e j j j j
jj
j j j j jj
jj
Sp V V t
Sp I p r F q F q L L t X q t
m
Sp I r F q F q L L t
m
p r F q F q L L t X q t
m
r
m
22
' ' ' 0 '
'
0 0 ,
jj
j j j j jj
jj
F q F q M M t i M M t p X q t
Đặt:
1 ' ' 0
00
j j j j
T M M t i M M t p
(2.12)
Ta được:
2
2
' ' 0 ' 1 '
'
2
( ) ,
e p p p p j j jj
jj
Sp V V t r F q F q T X q t
m
(2.13)
Thay (2.13) vào (2.1) ta được:
'
2
()
22
0 ' 1 '
'
'
1'
,
2
pp
i
E E t
j j jj
jj
p
dp
r dte F q F q T X q t
d dE p
(2.14)
