Phương pháp sóng riêng phần cho bài toán tán xạ trong lý thuyết trường lượng tử

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN







NGUYÊ
̃
N ĐI
̀
NH THI
̣
NH







PHƯƠNG PHÁP SÓNG RIÊNG PHẦN
CHO BÀI TOÁN TÁN XẠ TRONG LÝ THUYẾT
TRƯỜNG LƯỢNG TỬ

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC




Hà Nội - 2011

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN






NGUYÊ
̃
N ĐI
̀
NH THI
̣
NH





PHƯƠNG PHÁP SÓNG RIÊNG PHẦN
CHO BÀI TOÁN TÁN XẠ TRONG LÝ THUYẾT

TRƯỜNG LƯỢNG TỬ

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán
Mã số: 60.44.01


LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC


NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
GS. TSKH. Nguyễn Xuân Hãn


Hà Nội - 2011
MỤC LỤC

Mở đầu 01
Chương 1: Cc phương php gii phương trnh Schrodinger trong
cơ ho
̣
c lươ
̣
ng tư
̉
03
1.1. 






 03
1.2. 



 11
1.3. 







8
1.4. 
eikonal0
1.4.1. 
 0
1.4.2. 
1
1.5.  li3

Chương 2: Cc hiu ng hp dn v đin t trong bi toa
́
n ta
́
n xa
̣

ở năng lưng Plangck24
2.1. 4
2.2. 









1
2.3. 3

Kết luận: 36
Ph lc A: 37
Ph lc B: 

- Schwingger 40
Ph lc C: 45
Ph lc D: 

Schwarzschild 50
Ti liu tham kho  53


- 1 -

MỞ ĐẦU

Trong những năm gần đây đã có những tiến bộ quan trọng trong hiểu biết của
chúng ta về tán xạ ở thang năng lượng Planck trong lý thuyết trường lượng tử /1-
10/. Nghiên cứu những quá trình này trong lý thuyết hấp dẫn lượng tử sẽ cung cấp
cơ sở khoa học để nhận thức rõ các hiện tượng vật lý như sự sinh các kỳ dị và sự
tạo thành lỗ đen, việc mất thông tin cũng như sự cải biến sợi dây của lý thuyết hấp
dẫn. Các kết quả thu được đều khẳng định: biên độ tán xạ Planck của hạt ở vùng
năng lượng cao cỡ
Pl
sM»
(trong đó s là năng lượng của hat,
1/2
Pl
MG
-
=
là
khối lượng Planck,
G
- là hằng số hấp dẫn) và t- bình phương xung lượng truyền là
nhỏ, trong giới hạn
( )
/ts®¥
có dạng biểu diễn eikonal – biểu diễn Glauber
(leading term ) với pha phụ thuộc vào năng lượng. Số hạng bổ chính (non-leading
terms ) trong bài toán tán xạ này đã được nhiều nhà khoa học trong và ngoài nước
quan tâm nghiên cứu hơn 20 năm nay, trong đó có Bộ môn Vật lý lý thuyết ĐHQG
Hà Nội. Kết quả bước đầu của Bộ môn Vật lý thuyết là tìm được số hạng bổ chính
bậc nhất cho số hạng chính của biên độ biên độ tán xạ eikonal trong lý thuyết hấp

dẫn lượng tử, bằng cả hai phương pháp khác nhau là phương pháp tích phân phiếm
hàm và phương trình chuẩn thế. /8-9/. Việc tìm các phương pháp khác cho bài toán
này vẫn là vấn đề thời sự.

Mục tiêu của Bản Luận văn này là nghiên cứu bài toán tán xạ năng lượng cao
của hạt qua việc giải phương trình Schrodinger trong cơ học lượng tử với ba
phương pháp khác nhau -phương pháp sóng riêng phần, phương pháp hàm Green,
phương pháp chuẩn cổ điển, và việc giải phương trình Klein – Gordon trong lý
thuyết hấp dẫn lượng tử. Nghiên cứu một số hiệu ứng lượng tử cũng được thảo luận
ở đây. Bản Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận, bốn phụ lục và tài
liệu tham khảo.

- 2 -
Chƣơng 1 : Giới thiệu ba cách giải phương trình Schrodinger. Trong mục 1.1,
xuất phát từ phương trình Schrodinger trong cơ học lượng tử, biên độ tán xạ được
biểu diễn qua các sóng riêng phần. Mục 1.2 Đưa ra cách giải thứ hai phương trình
Schrodinger thông qua hàm Green để tìm biên độ tán xạ. Trong mục 1.3, ta quay về
sử dụng phương pháp chuẩn cổ điển để giải phương trình Schrodinger, từ đó thu
được biên độ tán xạ econal. Việc so sánh ba phương pháp trên giúp ta có những
cách nhìn khác nhau về bài toán tán xạ trong cơ học lượng tử trong phần 1.4.
Chƣơng 2: Xuất phát từ phương trình Klein-Gordon trong trường hấp dẫn
tìm biên độ qua sóng riêng phần, theo phương pháp tương tự như đã dược sử dụng
trong cơ học lượng tử ở mục 2.1. Trong mục 2.2 số hạng chính và số hạng bổ
chính bậc nhất của biên độ tán xạ của hạt vô hướng trong trường hấp dẫn được xác
định, từ đó suy ra được các kì dị cực điểm của biên độ tán xạ eikonal xuất hiện ở
trục ảo của s-mặt phẳng phức. Mục 2.3 dành cho việc xem xét đồng thời cả hai loại
tương tác hấp dẫn và tương tác điện từ cho bài toán tán xạ này. Ở vùng xung lượng
truyền lớn, các kết quả thu được có nhiều hiệu ứng vật lý lý thú.
Cuối cùng là kết luận chung, các phụ lục, và các tài liệu tham khảo liên
quan tới luận văn và các Phụ Lục A, Phụ Lục B, Phụ lục C và Phụ lục D

Trong luận văn sẽ sử dụng hệ đơn vị nguyên tử
1c==h
.

- 3 -
Chƣơng 1.
CÁC PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH SCHRODINGER
TRONG CƠ HỌC LƢỢNG TỬ
Xét chuyển động của hạt trong trường xuyên tâm tán xạ
()Ur
r
. Giả thiết
()Ur
r

là trường đối xứng không phụ thuộc vào góc
j
. Khi đó trong cơ học lượng tử, quá
trình tán xạ của hạt có thể được mô tả bởi nghiệm của phương trình Schrodinger:

2
2
( ) ( ) ( )
2
U r r E r
m
éù
êú
- Ñ + y = y
êú

ëû
r r r
h
. (1.1)
1.1. Phƣơng pháp khai triển theo sóng riêng phần.
Phương trình Schrodinger:

2
2
( ) ( ) ( )
2
U r r E r
m
éù
êú
- Ñ + y = y
êú
ëû
r r r
h
. (1.1.1)
Để giải phương trình này, ta đặt tâm tán xạ vào ở gốc tọa độ 0, chọn hướng
của các dòng hạt tới dọc theo trục 0Z. Ta thấy rằng ở xa tâm tán xạ hạt không không
chịu tác dụng nên nó chuyển động tự do nên chuyển động của nó được mô tả bởi
sóng phẳng như sau :

()
ikz
in
reY=

r
(1.1.2)
Ở gần tâm tán xạ hạt sẽ bị tán xạ. Hàm thế U(r) mô tả tương tác của hạt với
tâm lực có thể giả thiết rằng hàm này chỉ khác không trong một miền không gian
hữu hạn
ra<
nào đó mà ta gọi là miền tác dụng lực . Khi đó hàm sóng bị thay đổi
và chuyển động của các hạt tán xạ phải được mô tả bởi một hàm cầu phân kỳ:

( ) ( , )
ikr
out
e
rf
r
Y = q j
r
(1.1.3)
Biên độ sóng phân kì f(

,

) trong công thức (1.1.3) được gọi là biên độ tán xạ.
Hàm sóng toàn phần mô tả chuyển động của hạt tới và hạt tán xạ ở khoảng
cách lớn (r>a) đối với tâm tán xạ bằng tổng của sóng tới
in
Y
và sóng tán xạ
out
Y

:

- 4 -

( ) ( , )
ikr
ikz
e
r e f
r
Y = + q j
r
(1.1.4)
Với
()rY
r
là nghiệm của phương trình Schrodinger (1.1.1) ở trên.
Trong biểu thức (1.1.4), số hạng thứ nhất được viết trong to
̣
a độ Đề các, mô
tả chuyển động của hạt tới, còn số hạng thứ hai trong toạ độ cầu mô tả chuyển động
của hạt tán xạ trong toạ độ cầu. Ta có thể biểu diễn bằng hình vẽ sau:

Mặt khác, nghiệm của phương trình Schrodinger (1.1.1) trong trường hợp
()Ur
r
đối xứng trục(đối với z) không phụ thuộc góc
j
có thể viết dưới dạng:

0
( , ) ( ) (cos )
ll
l
r bR r P
¥
=
Y q = q
å
, (1.1.5)
ở đây,
l
b
là hệ số không đổi được xác định bởi các điều kiện biên và điều kiện
chuẩn hoá.
(cos )
l
P q
là đa thức Legendre được xác định bởi công thức:

( )
2
1

( ) 1
2!
l
l
l
ll
d
P x x
l dx
éù
=-
êú
êú
ëû
. (1.1.6)
Ta đi giải phương trình Schrodinger để tìm ra phương trình xuyên tâm của
()
l
Rr
như sau :
Từ phương trình (1.1.1) ta có :

2
2
( ) ( ) ( )
2
U r r E r
m
éù
êú

- Ñ + y = y
êú
ëû
r r r
h

Các sóng phẳng tới
Các sóng cầu tán xạ

- 5 -

2
2
( ) ( ) ( ) 0
2
r U r E r
m
ộự
- ẹ y + - y =
ờỳ
ởỷ
r r r
h


2
2
2
( ) ( ) ( ) 0
m

r E U r r
ộự
ẹ y + - y =
ờỳ
ởỷ
r r r
h
(1.1.7)
Thay biu thc (1.1.5) vo phng trỡnh (1.1.7), ta cú:

2
,
22
1 ( ) 1
( ) ( ) 0
d d r
r r r
dr dr
rr
qj
ổử
ữ
y
ỗ
ữ
ỗ
+ D y + l y =
ữ
ỗ
ữ

ỗ
ữ
ữ
ỗ
ốứ
r
rr
(1.1.8)
Trong ú
2
,
22
11
sin
sin
sin
d d d
dd
d
qj
ổử
y
ữ
ỗ
ữ
D = q +
ỗ
ữ
ỗ
ữ

ỗ
q q q
qq
ốứ

V
2
2
()
m
E U r
ộự
l = -
ờỳ
ởỷ
h

Gii phng trỡnh di dng tỏch bin :

( , , ) ( ) ( , )r R r Yy q j = q j
(1.1.9)
Thay (1.1.9) vo (1.1.8), ta c h phng trỡnh sau :

2
,
2
,
2
22
0

0
1
0
d dR
r
Y
dx dx
r
RY
YY
d dR
rR
dx dx
rr
qj
qj
ớ
ổử
ù
ữ
ù
ỗ
ữ
ùỗ
ữ
ỗ
ù
ữ
D
ỗ

ốứ
ù
ù
+ l + =
ù
ù
ù
ù
D + m =
ỡ
ù
ù
ổ ử ổ ử
ù
m
ữữ
ỗỗ
ù
ữữ
+ l - =
ỗỗ
ù
ữữ
ỗỗ
ù
ữữ
ỗỗ
ố ứ ố ứ
ù
ù

ù
ù
ợ

Vi iu kin

( ) ( )
0,
; , 2 , ( 1)Y Y Y l l
f = p
< Ơ q j + p = q j ị m= +
(1.1.20)
Quay v phng trỡnh vi R ta thu c phng trỡnh xuyờn tõm ca
()
l
Rr

dng:

2
22
1
0
d dR
r R R
dr dr
rr
ổử
m
ữ

ỗ
ữ
- + l =
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ


- 6 -

2
2 2 2
1 ( 1) 2
( ) 0
d dR l l m
r R E U r R
dr dr
rr
ổử
+
ữ
ỗ
ộự
ữ
- + - =
ỗ
ờỳ

ữ
ởỷ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ
h
. (1.1.21)
Trong toỏn hc ta bit rng 2 nghim c lp tuyn tớnh ca phng trỡnh
trờn l nhng hm cu Bessel
( , )
l
j k r
v
( , )
l
y k r
, cú dng:

( )
1 sin
()
1 cos
l
l
l
l
l
l
dz

j z z
z dz z
dz
y z z
z dz z
ớ
ù
ổ ử ổ ử
ù
ữữ
ỗỗ
ù
ữữ
=-
ỗỗ
ù
ữữ
ỗỗ
ữữ
ỗỗ
ù
ố ứ ố ứ
ù
ỡ
ù
ổ ử ổ ử
ù
ữữ
ỗỗ
ù

ữữ
= - -
ỗỗ
ù
ữữ
ỗỗ
ữữ
ỗỗ
ù
ố ứ ố ứ
ù
ợ
(1.1.22)
õy ta t z =kr. Nu xột trong tim cn gn ỳng khi
z đƠ
tng ng vi
r đƠ
ngha l ta ch xột cỏc chuyn ng vụ hn, ta cú:

sin( )
2
()
cos( )
2
()
l
l
l
z
jz

z
l
z
yz
z
ớ
ù
p
-
ù
ù
ù
đ
ù
ù
ỡ
ù
p
-
ù
ù
ù
đ-
ù
ù
ợ
(1.1.23)
Khi ú nghim ca phng trỡnh (1.1.21) c vit bng tng 2 nghim
riờng c lp tuyn tớnh ca phng trỡnh (1.1.23).

sin( ) cos( )
22
( ) ( ) ( )
l l l l l l l
ll
kr kr
R r A j kr B y kr A B
kr kr
ộự
pp

ờỳ
ờỳ
= + = -
ờỳ
ờỳ
ởỷ
(1.1.24)
õy
l
A
v
l
B
l cỏc hng s tha món :

cos
l l l
AC=d
;

sin
l l l
BC= - d
(1.1.25)
v
l
d
l dch chuyn pha.
Thay (1.1.25) vo (1.1.24) ta cú:

2
2
0
( , ) 1
2
l
i
ikb
is
f s t d be e
Ơ
d
ộự
=-
ờỳ
ởỷ
p
ũ

Hay

sin( )
2
()
l
ll
l
kr
R r C
kr
p
- + d
=
(1.1.26)

- 7 -
Thay (1.1.10) vào (1.1.5), khi đó nghiệm của phương trình schrodinger (1.1.1) được
viết lại:

00
sin( )
2
( ) (cos ) ( ) (cos )
l
l l l l l
ll
l
kr
r C P R r C P
kr
¥¥

==
p
+ d -
y ® ¥ = q = q
åå
. (1.1.27)
Các hệ số
l
C
phải chọn như thế nào để hàm sóng có dạng:

()
ikz ikz
f
ee
r
q
y = +
r
r
(1.1.28)
Đến đây, ta nhận thấy rằng để cân bằng (1.1.27) và (1.1.28) thì hàm sóng của
phương trình (1.1.26) phải được biểu diễn bởi 2 tổng
ikz
e
và
()
ik z
f
e

r
q
r
r

Với số hạng thứ nhất, ta sẽ khai triển hàm sóng phẳng
ikz
e
theo các sóng cầu
()
ik z
f
e
r
q
r
r
ở khoảng cách lớn bằng cách sử dụng các đa thức Legendre:

cos
0
( ) (cos )
ikz ikr
ll
l
e e f r P
¥
q
=
= = q

å
, (1.1.29)
Trong đó
()
l
fr
các hệ số khai triển,đó là các hàm mà ta cần tìm dạng của nó. Để
đơn giản, ta đặt x = cos(), thay vào (1.1.29) ta có:

0
( ) ( )
ikrx
ll
l
e f r P x
¥
=
=
å
. (1.1.30)
Nhân cả 2 phương trình trên với
'
()
l
Px
và lấy tích phân theo x trong khoảng
từ -1 đến (n +1) (tương ứng với  biến thiên từ  đến 0)

11
''

0
11
( ) ( ) ( ) ( )
ikrx
l l l l
l
e P x dx f r P x P x dx
++
¥
=

=
å
òò
. (1.1.31)
Sử dụng tính chất của các đa thức Legendre:
1
,'
'
1
( ) ( )
1
2
ll
ll
P x P x dx
l
+
-
d

=
+
ò
.
Vế trái (1.1.14) được viết:

- 8 -

11
,'
'
00
11
( ) ( ) ( ) ( )
1
2
ll
l l l l
ll
f r P x P x dx f r
l
++
ƠƠ
==

d
=
+
ồồ
ũũ

Ly tng theo
l
,khi
l
=
'l
ta c:

1
,'
' ' '
0
1
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 ' 1
'
2
ll
l l l l l
l
f r P x P x dx f r f r
l
l
+
Ơ
=
-
d

==
+
+
ồ
ũ

Thay vo (1.1.30), i
l
=
'l
ta thu c cụng thc sau:

1
1
21
( ) ( )
2
ikrx
ll
l
f r e P x dx
+
-
+
=
ũ
. (1.1.32)
Ly tớch phõn tng phn biu thc trờn, ỏp dng cỏc tớnh cht ca hm
Legendre
(1) 1

l
P =
v
( 1) ( 1)
l
l
P - = -
, ta c:

( )
1
1
1
1
1
1
1
1
21
( ) ( ) ' ( )
2
(1) ( 1)
21
' ( )
2
1 ( 1)
21
' ( )
2
ikrx ikrx

x
l l x l
ikr
ikrx
ll
l
ikr l
ikrx
l
l e e
f r P x P x dx
ikr ikr
e P P
le
P x dx
ikr ikr
e
le
P x dx
ikr ikr
+
=+
=-
-
+
-
+
-
ớỹ
ùù

+
ùù
ùù
=-
ỡý
ùù
ùù
ùù
ợỵ
ớỹ
ộự
ùù

+
ùù
ờỳ
ùù
ởỷ
=-
ỡý
ùù
ùù
ùù
ợỵ
ớỹ
ùù

ùù
+
ùù

=-
ỡý
ù
ù
ù
ợỵ
ũ
ũ
ũ
1
1
2 1 ( 1) 1
' ( )
2
ikr l ikr
ikrx
l
l e e
e P x dx
ikr ikr
+
-
-
ù
ù
ù
ớỹ
ùù
+ - -
ùù

ùù
=-
ỡý
ùù
ùù
ùù
ợỵ
ũ
(1.1.33)
Ta nhn thy, nu tip tc tin hnh tớnh giỏ tr biu thc (1.1.33) bng cỏch
tớch phõn tng phn s hng th 2, th 3, th 4,,th l, ta s thu c s hng
tng t vi s hng th nht trong (1.1.33), cũn di mu s l
2
(ikr)
,
3
(ikr)
,
4
(ikr)
, ,
1
(ikr)
l+
. Do ú nu xột r ln, ta cú th gii hn biu thc ca
()
l
fr
s hng bc 1:

2 1 ( 1)
()
2
ikr l ikr
l
l e e
fr
ikr
-
ổử
+ - -
ữ
ỗ
ữ
=
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ
. (1.1.34)
Thay
( ) ( )
( )
22
1 os sin .
il il
l
ll

i
c i e e e
pp
p
- = p + p = =
,

- 9 -
Thay vào biểu thức (1.1.33) ta thu được kết quả như sau:

22
2 1 ( 1) 2 1 . .
()
22
il il
ikr l ikr ikr ikr
l
l e e l e e e e
fr
ikr ikr
pp

æö
÷
ç
æö
÷
ç
+ - - + -
÷

÷
ç
ç
÷
÷
==
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
èø
ç
÷
÷
ç
èø


2 2 2 2
2 1 . .
2
il il il il
ikr ikr
l e e e e e e
ikr

p p p p
-
-
æö
÷
ç
÷
ç
+-
÷
ç
÷
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
÷
ç
èø


22
2
2 1 . .
2
il il
il

ikr ikr
l e e e e
e
ikr
pp
-
p
-
æö
÷
ç
÷
ç
+-
÷
ç
÷
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
÷
ç
èø


22

2
21
2
il il
ikr ikr
il
l e e
e
ikr
æ ö æ ö
pp
÷÷
çç
÷÷
- - -
çç
÷÷
çç
÷÷
çç
p
è ø è ø
æö
÷
ç
÷
ç
÷
+-
ç

÷
ç
=
÷
ç
÷
ç
÷
ç÷
÷
ç
èø
(1.1.35)
Số hạng
2
il
e
p
có thể được biểu diễn dưới như sau:

2
cos sin
22
l
l
il
l
ll
e i i
p

æö
æö
pp
÷
ç
÷
ç
÷
÷
ç
= + =
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
÷
ç
èø
èø

và

22
il il
ikr ikr
ee

ikr
æ ö æ ö
pp
÷÷
çç
÷÷
- - -
çç
÷÷
çç
÷÷
çç
è ø è ø
-
=


cos( ) sin( ) cos( ) sin( )
2 2 2 2
il il il il
ikr ikr ikr ikr
ikr
p p p p
- + - - - + - - +
=


sin( / 2)kr l
kr
-p

=

Thay vào (1.1.35), ta được:

- 10 -

22
2
sin( / 2) 2 1 . .
( ) (2 1)
2
il il
il
ikr ikr
l
l
kr l l e e e e
f r i l e
kr ikr
pp
-
p
-
ổử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
- p + -
ữ

ỗ
ữ
= + =
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ốứ

hay
sin( / 2)
( ) (2 1)
l
l
kr l
f r i l
kr
-p
=+
. (1.1.36)
Thay biu thc (1.1.36) vo biu thc (1.1.29) ta co

:

0
sin( / 2)

(2 1) (cos )
ikz l
l
l
kr l
e i l P
kr
Ơ
=
-p
= + q
ồ
. (1.1.37)
Tip theo, i vi s hng th 2 trong biu thc (1.1.28), ta khai trin h s
()f q

theo cỏc a thc Legendre dng:

0
( ) (cos )
ll
l
f g P
Ơ
=
q = q
ồ
. (1.1.38)
Thay cỏc biu thc (1.1.37) v (1.1.38) vo biu thc (1.1.28) ta c:

()
ikz ikz
f
ee
r
q
y = +
r
r
.

00
sin( / 2)
(2 1) (cos ) (cos )
ikr
l
l l l
ll
kr l e
i l P gP
kr r
ƠƠ
==
-p
= + q + q
ồồ
(1.1.39)
Mt khỏc, nh ó phõn tớch trờn, hm ny cú th c biu din di dng
(1.1.11). Do ú ta cn cõn bng hai biu thc (1.1.27) v (1.1.39) vi nhau, cn chỳ
ý rng ta cú th biu din

22
sin( / 2)
il il
ikr ikr
kr l e e
kr ikr
ổ ử ổ ử
pp
ữữ
ỗỗ
ữữ
- - -
ỗỗ
ữữ
ỗỗ
ữữ
ỗỗ
ố ứ ố ứ
- p -
=
v thay
l
i
bng
/2il
e
p
. Kt qu ta c:

( / 2) ( / 2)

0
/ 2 ( / 2) ( / 2)
0
1
(cos )
2
11
(2 1) (cos )
2
ll
i kr l i kr l
ll
l
il i kr l i kr l ikr
ll
l
C e e P
ikr
e l e e ge P
r ik
Ơ
+ d - p - + d - p
=
Ơ
p - p - - p
=
ộự
-q
ờỳ
ởỷ

ớỹ
ùù
ùù
ộự
= + - + q
ỡý
ờỳ
ởỷ
ùù
ùù
ợỵ
ồ
ồ
. (1.1.40)
Gin c, cõn bng cỏc h s ca
ikr
e
v
ikr
e
-
, ta cú:

( / 2)
1 2 1
22
l
il
ll
l

C e g
ikr ki
d - p
+
=+
, (1.1.41)

- 11 -

( / 2)
1 2 1
22
l
il
il
l
l
C e e
ikr ki
- d - p
p
+
- = -
. (1.1.42)
Từ hệ thức (1.1.42) dễ dàng tìm được:

( / 2)
(2 1) .
l
il

l
C l e r
d + p
=+
(1.1.43)
Thay (1.1.43) vào biểu thức (1.1.41) ta tìm được
l
g
như sau:

( / 2)
2 1 1
22
l
il
ll
l
g C e
ki ikr
d - p
+
=-


( / 2) ( / 2)
2 1 1
(2 1) .
22
ll
i l i l

l
l e re
ki ikr
d + p d - p
+
= - +


2
21
( 1)
2
l
i
l
e
ik
d
+
=-
(1.1.44)
Cuối cùng, thay (1.1.44) vào biểu thức (1.1.39) ta nhận được biên độ tán xạ
theo sóng riêng phần

2
00
1
( ) (cos ) (2 1)( 1) (cos )
2
l

i
l l l
ll
f gP l e P
ik
¥¥
d
==
q = q = + - q
åå
. (1.1.45)

1.2. Phƣơng pháp hàm Green
Như đã đề cập ở mục 1.1, quá trình tán xạ trong cơ học lượng tử được mô tả
bởi phương trình Schrodinger:

22
( ) ( ) ( )k r U r r
éù
Ñ + y = y
êú
ëû
r r ur
, (1.2.1)
ở đây chúng ta đã sử dụng các ký hiệu
2
2
2mE
k =
h

và
2
2 ( )
()
mU r
Ur =
r
r
h
.
Phương trình vi phân (1.2.1) có thể được viết lại dưới dạng phương trình tích
phân:

3
0
( ) ( ) ' ( , ') ( ') ( ')r r d r G r r U r ry = f + y
ò
r r r ur r r
, (1.2.2)
trong đó hàm
()rf
r
thoả mãn phương trình cho hàm thế tự do:

- 12 -

22
( ) 0kr
éù
Ñ + f =

êú
ëû
r
, (1.2.3)
và hàm Green
0
( , ')G r r
r ur
là nghiệm của phương trình:

2 2 (3)
0
( , ') ( ')k G r r r r
éù
Ñ + = d -
êú
ëû
r ur r ur
. (1.2.4)
Các điều kiện biên của hàm
()rf
r
và
0
( , ')G r r
r ur
được xác định từ điều kiện biên của
hàm
()ry
r

. Phương trình tích phân (1.2.2) được gọi là phương trình Lippman-
Schwinger. Các nghiệm của phương trình (1.2.3) và (1.2.4) là:


00
()
ik r ik r
r A e B e
-
f = +
r r r r
r
, (1.2.5)

''
0
1
( , ')
4
''
ik r r ik r r
ee
G r r A B
r r r r
- - -
éù
êú
êú
= - +
êú

p
êú

êú
ëû
r r r r
rr
r r r r
, (1.2.6)
trong (1.2.6) chú ý rằng A+B =1. Sử dụng phương trình (1.2.5) và (1.2.6), thì
nghiệm của phương trình Lippman-Schwinger (1.47) được viết lại dạng:

''
. . 3
00
1
( ) ' ( ) ( ')
4
''
ik r r ik r r
ik r ik r
ee
r A e B e d r A B U r r
r r r r
- - -
-
éù
êú
êú
y = + - + y

êú
p
êú

êú
ëû
ò
r r r r
r r r r
ur r r
r r r r
. (1.2.7)
Theo các điều kiện biên thì hàm sóng
()ry
ur
phải bao gồm hai thành phần:
thành phần sóng tới là sóng phẳng truyền theo chiều dương của trục z và thành phần
còn lại là sóng cầu tán xạ. Vì thế B
0
= B = 0 và (1.2.7) viết lại dưới dạng:

'
.3
0
1
( ) ' ( ) ( ')
4
'
ik r r
ik r

e
r A e d r U r r
rr
-
y = - y
p
-
ò
rr
rr
ur r r
rr
. (1.2.8)
Như chúng ta đã phân tích trên, biên độ tán xạ có thể thu được trong miền tiệm
cận của hàm sóng trên. Trong phần lớn các bài toán mà chúng ta xem xét, thế U(r)
được xác định trong một thể tích hữu hạn của không gian và các máy đo (detectors)
các hiệu ứng tán xạ đặt rất xa vùng có chứa thế U(r). Từ đó, chúng ta có thể kết
luận rằng
'rr=
và do đó suy ra gần đúng sau:

- 13 -

2
. ' '
'
r r r
r r r O
rr
ộự

ổử
ờỳ
ữ
ỗ
ữ
- = - +
ỗ
ờỳ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ
ờỳ
ởỷ
r ur
. (1.2.9)
T (1.2.9), chỳng ta cú th vit li biu thc (1.2.8) dng:

.'
()
.3
0
11
( ) ' ( ') ( ')
4
rr
ik r
ik r
r

r
r A e d r e U r r
r
-
đƠ
y = - y
p
ũ
r ur
rr
r r r
. (1.2.10)
t A
o
= 1, suy ra:
( )
r
r
đƠ
y
r

( , )
ikr
ikr
e
ef
r
= + q f
rr

, (1.2.11)
vi
3
1
( , ) ' ( ') ( ')
4
ikr
f d r e U r r
-
q f = - y
p
ũ
rr
rr
, (1.2.12)
c hiu nh l biờn tỏn x ca ht trong trng th V(r), õy
r
kk
r
=
r
r
. Bc
tranh minh ho cho cỏc bin i phc tp trờn c ch rừ trong hỡnh v 1:

Hỡnh 1: Minh ho rừ rng nhng bin i phc tp s dng trong cỏc tớnh toỏn trờn. Chỳ
ý rng
r
r
,
'k
ur
v
k
r
l cỏc cc to cu v
'r
ur
l cc to tr.

Thụng thng, trong thc t cú th coi
( , )f qf
nh l mt hm ca
k
r
,
'k
ur
v
do ú cú th vit
( , ) ( , ')f f k kq f =
r ur
. ý rng, mc dự cỏc thụng tin liờn quan ti
( , )f qf

c cha ng trong min tim cn ca
()rY
r
nhng cỏc úng gúp ti
( , )f qf
trong phng trỡnh (1.2.12) li n t min m th nng ú khỏc khụng.
,kz




'

'
r
kk
r



x
'b

y
( )
( )
( )
( )
sin cos , sin sin , cos
' sin cos , sin sin , cos

0, 0,
' 'cos ', 'sin ', '
r r r r
k k k k
kk
r b b z
= q f q f q
= q f q f q
=
= f f
r
ur
r
ur

- 14 -
Với các điều kiện cần thiết là
1
U
E
=
và
2
11
/
( / )
ka
UE
UE
==

. Trong
miền giới hạn đó, biên độ tán xạ được viết dưới dạng :

2 '. ' ( ')
( , ) ' 1
2
ik b i b
k
f d b e e
-c
éù
q f = -
êú
ëû
p
ò
uur ur ur
(1.2.13)
Ở đây:

2
12
( ') ' ( ', ')
2
m
b dz U b z
k
+¥
-¥
c = -

ò
ur ur
h
(1.2.14)
Thật vậy, trước tiên ta dẫn lại các công thức đã chỉ ra ở trên cho biên độ tán
xạ:

3
1
( , ) ' ( ') ( ')
4
ikr
f d r e V r r
-
q f = - y
p
ò
rr
rr

Và từ phương trình Schrodinger (1.1.3):

22
( ) ( ) ( )k r U r r
éù
Ñ + y = y
êú
ëû
r r ur

Ta đặt:
.
( ) ( )
ik r
r e ry = f
rr
rr
và chọn
k
r
dọc theo hướng z. Khi đó phương trình trên viết
lại dạng:

2
2 ( , ) ( , ) ( , )ik U b z b z b z
z
éù
¶
êú
- f = - Ñ f
êú
¶
ëû
r r r
. (1.2.15)
ở đây chúng ta sử dụng ký hiệu
( , )r b zº
rr
. Chúng ta có thể viết nghiệm của phương
trình (1.2.15) dạng:

2 '2
( , ) ( , ) ' ' ( , , ', ') ( ', ').
e
b z b z d b dz G b z b z b z
+¥
-¥
f = h - Ñ f
òò
r r r ur ur
(1.2.16)
( , )bzh
r
thoả mãn phương trình:

2 ( , ) ( , ) 0ik U b z b z
z
éù
¶
êú
- h =
êú
¶
ëû
rr
. (1.2.17)
Và hàm
( , , ', ')
e
G b z b z

r ur
thoả mãn:

- 15 -

(2)
2 ( , ) ( , , ', ') ( ') ( ').
e
ik U b z G b z b z b b z z
z
ộự
ả
ờỳ
- = d - d -
ờỳ
ả
ởỷ
r r ur r ur r ur
(1.2.18)
Nghim ca cỏc phng trỡnh (1.2.17) v (1.2.18) l:

1
( , )
2
( , )
z
duU b u
ik
b z e
-Ơ

ũ
h=
r
r
. (1.2.19)
Vi cỏc iu kin biờn l
( ) ( , ) 1b b zh = h đ - Ơ =
rr
. V
'
'
'
1
. ( , )
2
(2)
1
. ( , ) . ( , )
2
(2)
11
. ( , ) . ( , )
22
(2)
1
( , , ', ') ( ') ( ')
2
1
( ') ( ')
2

1
( ') ( ') .
2
1
2
z
z
z
z
z
z
du U b u
ik
e
du U b u du U b u
ik
du U b u du U b u
ik ik
G b z b z b b z z e
ik
b b z z e
ik
b b z z e e
ik
ik
-Ơ
-Ơ
-Ơ
-Ơ
+

ũ
= d - d -
ũũ
= d - d -
ũũ
= d - d -
=d
r
rr
rr
r ur r ur r ur
r ur r ur
r ur r ur
(2) 1
( ') ( ') ( , ) ( , ).b b z z b z b z
-
- d - h h
r ur r ur r r
(1.2.20)
Thay (1.2.19) v (1.2.20) vo (1.2.16), ta thu c:

2
12
2
1
( , ) ( , ) 1 ' ( , ) ( , ')
2
'
z
b

b z b z dz b z b z
ik
z
-
-Ơ
ộự
ổử
ả
ữ
ỗ
ờỳ
ữ
f = h - h ẹ + f
ỗ
ữ
ờỳ
ỗ
ữ
ỗ
ả
ốứ
ờỳ
ởỷ
ũ
r r r r
. (1.2.21)
Phng trỡnh trờn cng cú th vit li dng sau:

( , ) ( , ) 1 ' , ', ,
'

z
b
b z b z dz K b z
z
-Ơ
ộ
ổử
ả
ữ
ờ
ỗ
ữ
f = h + ẹ +
ỗ
ữ
ờ
ỗ
ữ
ỗ
ả
ốứ
ờ
ở
ũ
r r r ur


'
' , ' , , '' , '', ,
' ''

zz
b
b
dz K b z dz K b z
zz
- Ơ - Ơ
ự
ổ ử ổ ử
ảả
ữữ
ỳ
ỗỗ
ữữ
+ ẹ ẹ +
ỗỗ
ữữ
ỳ
ỗỗ
ữữ
ỗỗ
ảả
ố ứ ố ứ
ỳ
ỷ
ũũ
r uur r ur
(1.2.22)
õy biu thc ca
, , ,
b

K b z
z
ổử
ả
ữ
ỗ
ữ
ẹ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ả
ốứ
r ur
tỏc ng lờn mt hm g(z) bt k cho bi:
2
12
2
1
, , , ( ) ( , ) ( , ) ( )
2
b
b
K b z g z b z b z g z
z ik
z
-
ổử

ổử
ảả
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ẹ = - h ẹ + f
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ả
ả
ốứ
ốứ
r ur r r
. (1.2.23)

- 16 -
Thay chuỗi của
( , )bzf
r

trong (1.2.23) vào dạng của hàm
.
( ) ( )
ik r
r e ry = f
rr
rr
và cuối
cùng ta có thể viết lại biểu thức của biên độ tán xạ dưới dạng:

(0) (1) (2)
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) f f f fq f = q f + q f + q f +
(1.2.24)
Ở đây:

(0) 2 ( '). '
1
( , ) ' ' ( ', ) ( ', ')
4
i k k r
f d b dz e U b z b z
+¥
-
-¥
q f = - h
p
òò
r uur ur
ur ur
(1.2.25)

'
(1) 2 ( '). '
1
( , ) ' ' ( ', ') ( ', ') '' ( ', ")
4
z
i k k r
f d b dz e U b z b z dz K b z
+¥
-
- ¥ - ¥
q f = - h
p
ò ò ò
r uur ur
ur ur ur
(1.2.26)

(2) 2 ( '). '
1
( , ) ' ' ( ', ') ( ', ')
4
i k k r
f d b dz e U b z b z
+¥
-
-¥
q f = - h
p

òò
r uur ur
ur ur


'"
'' ( ', ") ''' ( ', ''')
zz
dz K b z dz K b z
- ¥ - ¥
´
òò
ur ur
(1.2.27)
Chúng ta đã thay
, , , ( , )
b
K b z K b z
z
æö
¶
÷
ç
÷
Ѻ
ç
÷
ç
÷
ç

¶
èø
r ur r
cho biểu thức gọn hơn. Biểu thức mũ
của các hàm e có thể được tính như sau với chú ý các vectơ sử dụng được minh hoạ
trong hình 1 ở trên.
( )
( )
( )
' sin cos , sin sin , cos
0,0,
' 'cos ', 'sin ', '
k k k k
kk
r b b z
= q f q f q
=
= f f
ur
r
ur

. ' '
'. ' ' sin( )cos( ) cos( ') ' sin( ) sin( )sin( ') ' s( )
( '). ' ' 'sin( )cos( ) cos( ') ' sin( ) sin( )sin( ' ) ' s( )
( '). ' '[1 s( )] 'sin( )[cos( ) cos(
=
= q f f + q f f q
- = - q f f - q f f - q
- = - q - q f f

r
r
r
r
r ur
r
r ur
r
k r kz
k r kb kb kz co
i k k r ikz ikb kb kz co
i k k r ikz co ikb ') sin( )sin( ')]+ f f
2
( '). ' '.2sin 'sin( ) cos( ')
2
q
- = - q f - f
r ur
r
i k k r ikz ikb
(1.2.28)

- 17 -
Ta quan tõm ti hm
(0)
( , )f qf
trong khai trin trờn. T (1.2.19), (1.2.25) v
(1.2.26) ta cú th vit:

'

2
(0) 2 ( '). '
1
. ( ', )
' sin( ) cos( ') '.2 sin
2
2
2
1
( , ) ' ' ( ', ') ( ', ')
4
1
' ' ( ', ')
4
z
i k k r
du U b u
ikb ikz
ik
f d b dz e U b z b z
d b dz e U b z e
-Ơ
+Ơ
-
-Ơ
+Ơ
q
- q f - f +
-Ơ
q f = - h

p
ũ
=-
p
ũũ
ũũ
r uur ur
ur
r ur
r
(1.2.29)
õy ta ang xột trng hp khi mụmen xung lng vo ln v gúc tỏn x l nh.
Khi ú ta cú th ỏp dng gn ỳng sau:

2
'sin( )cos( ') '.2sin ' cos( ') '.2
22
ikb ikz ikb ikz
ổử
qq
ữ
ỗ
ữ
- q f - f + ằ - q f - f +
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ

.
Xột gn ỳng bc nht theo
q
ta nhn c biu thc:

2
'sin( )cos( ') '.2sin ' cos( ')
2
ikb ikz ikb
q
- q f - f + ằ - q f - f
(1.2.30)
Bõy gi ta vit li (1.2.29) nh sau:

'
1
2
. ( ', )
2
(0) 2 ' cos( ')
0
1
( , ) ' ' '. ( ', ')
4
z
du U b u
ik
ikb
f d b d e dz U b z e
-Ơ

p + Ơ
- q f - f
-Ơ
ũ
q f = - f
p
ũ ũ ũ
ur
r
. (1.2.31)
Chỳng ta cn chỳ ý rng phộp xp x (1.2.30) cho phộp chỳng ta a ra ngoi tớch
phõn theo z trong (1.2.31) bng cỏch thay th bi tớch phõn mi
. ( ', )duU b u
+Ơ
-Ơ
ũ
r
. Sau
khi tớnh cỏc tớch phõn, ta c:

2
(0) ' cos( ') ( ')
00
( , ) ' ' '. 1
2
ikb i b
k
f b db d e e
i
Ơp

- q f- f c
ộự
q f = f -
ờỳ
ởỷ
p
ũũ
ur
. (1.2.32)
õy
0
1
( ') ' ( ', ')
2
k
b dz U b z
E
Ơ
c = -
ũ
ur ur
. (1.2.33)
Nh ó cp trờn, hm th l i xng qua trc z, khụng ph thuc vo gúc
f

v hn na ta cú th b
'f
trong tớch phõn trờn.

- 18 -
Do vậy, biên độ tán xạ bậc không sử dụng phương pháp hàm Green được viết lại
dạng:

(0) ( ')
0
0
( ) ' ' ( ' ) 1
ib
k
f b db J kb e
i
¥
c
éù
q = q -
êú
ëû
ò
. (1.2.34)
Ở đây chúng ta đã sử dụng đồng nhất thức:

2
cos
0
0
1
()
2
it

J t d e
p
-f
=f
p
ò
. (1.2.35)

1.3 Phƣơng pháp chuẩn cổ điển
Cũng xuất phát từ phương trình Schrodinger (1.1), nghiệm của phương trình có
dạng :

iS(x)/
ey=
h
(1.3.1)
Thế vào phương trình Schrodinger ta được :

22
iS/ iS/
2
()
2
U x e Ee
m
x
éù
¶
êú
- + =

êú
¶
ëû
hh
h


2
11
'' '
22
S S E U
m i m
+ = -
h

Trong giới hạn cổ điển thì
0®h
và thay
22
2
k
E
m
=
h
ta co
́
:

2 2 2
'( )
()
22
S x k
Ux
mm
=-
h
(1.3.2)
Tích phân biểu thức

2 2 2
2
2
( ' ) ' onst
z
L
Sm
U k U b z dz c
-
= - + +
ò
h
h
(1.3.3)
Từ đó suy ra hàm sóng có dạng:

22
2

( ' ) '
3/ 2
1
(2 )
z
L
im
U b z dz
k
ikz
ee
-
-+
ò
y=
p
h
(1.3.4)
Và biên độ tán xạ được viết:

- 19 -

3 ' ' 2 2 '
2
'
22
2
12
( ', ) ' ( )
4

exp ( ' ) '
ik x ikx
z
L
m
f k k d x e v b z e
im
U b z dz
k
-
-
= - +
p
éù
êú
´ - +
êú
êú
ëû
ò
ò
rr
rr
h
h
(1.3.5)
Đưa vào hệ tọa độ trụ ta có:
3
''
b

d x bdbd dz=f
. Hơn nữa

ˆ
( ') ' ( ')( ' )k k x k k b z z- = - +
r r r r r


ˆ
( ') ' ' 'k k z z kb k b k b= - + - -
r r rr r r r r
;
(1.3.6)
Khi
kb^
rr
và
2
ˆ
( '). ( )k k z O-q
rr
:
có thể được bỏ qua khi góc lệch
q
nhỏ.
Xét sự tán xạ trong mặt phẳng xz, ta có:

ˆ ˆ ˆ ˆ
'. ( sin os ).( cos sin )= q + q f + f
rr

bb
k b k x kc z b x b y


ˆ ˆ ˆ ˆ
sin . cos sin . sin
ˆ ˆ ˆ ˆ
os . cos os . sin
ˆˆ
sin . cos cos
= q f + q f
+ q f + q f
= q f q f;
bb
bb
bb
k x b x k x b y
kc z b x kc z b y
k x b x kb
(1.3.7)
(vì
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
. 1; . 0; . 0; . 0x x x y z x z y= = = =
và do
q
nhỏ nên
sin q » q
)
Vậy biểu thức f(k’.k) sau khi được đơn giản hóa là:

b
2
os
2
00
22
2
12
( ', )
4
exp ( ' ) '
ikb c
b
z
L
m
f k k bdb d e
im
dzV U b z dz
k
¥p
- q f
+¥
- ¥ -
= - f
p
éù
êú
´ - +
êú

êú
ëû
òò
òò
h
h
(1.3.8)
Sử dụng tính chất của hàm Bessel ta có:

b
2
os
0
0
2 ( )
ikb c
b
d e J kb
p
- q f
f = p q
ò
(1.3.9)
Đối với thành phần sau của f(k’,k) ta có thể đặt
L- = - ¥
khi V(x) được định xứ
nên không có đóng góp bên ngoài –L

2
22

exp ' exp '
z
zz
LL
z
im i k im
dzU Udz Ud z
m
kk
=¥
+¥
- ¥ - -
= - ¥
é ù é ù
ê ú ê ú
- = -
ê ú ê ú
ê ú ê ú
ë û ë û
ò ò ò
h
hh
(1.3.10)
Thay (1.2.31) và (1.2.32) vào (1.2.30) ta được:

- 20 -

2
0
22

0
12
( ', ) .2 ( ). exp '
4
z
z
L
z
m i k im
f k k bdb J kb Udz
m
k
=¥
¥
-
= - ¥
éù
êú
= - p q -
êú
p
êú
ëû
òò
h
hh


0
2

0
. ( ) exp
im
ik bdbJ kb Udz
k
¥¥
-¥
éù
êú
= - q -
êú
êú
ëû
òò
h


2 ( )
0
0
. ( ) exp 1
ib
ik bdbJ kb
¥
D
éù
= - q -
êú
ëû
ò

(1.3.11)
Với
22
2
( ) ( )
2
m
b U b z dz
k
¥
-¥
D º - +
ò
h

Biên độ tán xạ tính theo chuẩn cổ điển là:

(0) ( )
0
0
( ) ( ) 1
ib
k
f bdbJ kb e
i
¥
c
éù
q = q -
êú

ëû
ò


1.4. Mối liên hệ giữa biên độ tán xạ theo sóng riêng phần và biên độ tán
xạ eikonal.
Trong mục này, chúng ta sẽ chỉ ra rằng biểu thức tán xạ trong phép gần đúng
eikonal có quan hệ với biên độ tán xạ sóng riêng phần trong giới hạn của tán xạ
năng lượng cao và ngược lại.

1.4.1 Phép chuyển đổi từ biên độ sóng riêng phần sang biên độ sóng eikonal.
Như đã tính toán ở trên, biên độ tán xạ thu được bằng phương pháp sóng
riêng phần có dạng:

( ) ( )
l
2i
l
l0
1
f( ) 2l 1 P cos e 1
2ik
d
qq
¥
=
éù
= + -
ëû
å

(1.4.1)
Với bài toán tán xạ năng lượng cao, coi
( )
max
ka l:
là lớn thì chúng ta có thể
thay cho việc lấy tổng theo l bằng tích phân theo l.

l
2i (k)
l
0
1
f(k, ) dl(2l 1)P (cos ) e 1
2ik
d
qq
¥
éù
= + -
ëû
ò
(1.4.2)

- 21 -
Tip theo, t
(2l 1)
b
2k
+

=
suy ra
dl kdb=
, õy b gi l thụng s va
chm. Vi k ln,
q
- nh v
kb q
cú gii hn, khi ú a thc Legendre tr thnh
hm Bessel bc khụng:

k high
l0
small
P (cos ) J (2l 1)sin
2
q
q
q
-
-
ổử
ữ
ỗ
ắ ắ ắ ắđ +
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ

(1.4.3)
Hn na chỳng ta cú th vit:
l kb
2 (k) 2 (k) (k, b)d d c==
, (1.4.4)
nh l hm eikonal trong min gii hn tng tỏc. V do ú, biu thc ca biờn
tỏn x thu c di dng:

i (k,b)
0
0
f(k, ) ik bdb.J (2l 1)sin e 1
2
c
q
q
Ơ
ổử
ộự
ữ
ỗ
= - + -
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ởỷ
ốứ
ũ
(1.4.5)

Khi gúc
q
nh thỡ
sin
22
qq
ổử
ữ
ỗ
ằ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ
,ta cú:

2k 2l 1
(2l 1)sin (2l 1)sin .2k sin
2 2k 2 2k 2
q q q
ổ ử ổ ử ổ ử
+
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
+ = + =
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ

ố ứ ố ứ ố ứ

Thay biu thc trờn vo cụng thc (1.4.5), mt ln na, biờn tỏn x eikonal bc
khụng li thu c:

i (b)
0
0
k
f(s, t) bdbJ (kb ) e 1
i
c
q
Ơ
ộự
=-
ởỷ
ũ
(1.4.6)

1.4.2 Phộp chuyn i t biờn súng eikonal sang biờn súng riờng phn
Biờn súng eikonal c vit nh sau:

i (b)
0
0
k
f( ) bdbJ (kb ) e 1
i
c

qq
Ơ
ộự
=-
ởỷ
ũ
(1.4.7)
t
(2l 1)
b
2k
+
=
suy ra
1
db dl
k
=
v
(2l 1)
k
2b
+
=
(1.4.8)
Ta cú
(2l 1) (2l 1)
kb b
2b 2
q q q

++
==
.
Khi gúc
q
nh thỡ
sin
22
qq
ổử
ữ
ỗ
ằ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ
, lỳc ny ta cú:

- 22 -

( ) ( )
(2l 1)
kb 2l 1 2l 1 sin
2 2 2
qq
qq
+
= = + ằ +

(1.4.9)
Vi k ln,
q
- nh v
kb q
cú gii hn, khi ú a thc Legendre tr thnh hm
Bessel bc khụng:

k high
0l
small
J (2l 1)sin P (cos )
2
q
q
q
-
-
ổử
ữ
ỗ
+ ắ ắ ắ ắđ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ
(1.4.10)
Hn na chỳng ta cú th vit:

kb l
(k,b) 2 (k) 2 (k)c d d==
(1.4.11)
Thay (1.4.8), (1.4.10). (1.4.11) vo (1.4.7) ta c:

i (b)
0
0
k
f( ) bdbJ (kb ) e 1
i
c
qq
Ơ
ộự
=-
ởỷ
ũ


l
2 (k)
l
0
k (2l 1) 1
dlP (cos ) e 1
i 2k k
d
q
Ơ

+
ộự
=-
ởỷ
ũ


l
2i (k)
l
0
1
dl(2l 1)P (cos ) e 1
2ik
d
q
Ơ
ộự
= + -
ởỷ
ũ
(1.4.12)
Vi bi toỏn tỏn x nng lng cao, coi
( )
max
ka l:
l ln thỡ chỳng ta cú th thay
cho vic ly tớch phõn theo bng l tng theo l khi ú (1.4.12) tr thnh:

l

2i (k)
l
0
1
f( ) dl(2l 1)P (cos ) e 1
2ik
d
qq
Ơ
ộự
= + -
ởỷ
ũ
(1.4.13)
Ta li thu c biờn ca súng riờng phn.