Tái chuẩn hóa bằng phương pháp điều chỉnh thử nguyên trong lý thuyết trường lượng tử

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
***************





CHU MINH





TÁI CHUẨN HÓA BẰNG PHƢƠNG PHÁP
ĐIỀU CHỈNH THỨ NGUYÊN TRONG
LÝ THUYẾT TRƢỜNG LƢỢNG TỬ







LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

HÀ NỘI – 2011
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
***************




Chu Minh




TÁI CHUẨN HÓA BẰNG PHƢƠNG PHÁP ĐIỀU CHỈNH THỨ
NGUYÊN TRONG LÝ THUYẾT TRƢỜNG LƢỢNG TỬ

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán
Mã số: 60.44.01



LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC



NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC
GS. TSKH. NGUYỄN XUÂN HÃN

Hà Nội – 2011
1
MỤC LỤC
Mở đầu ………………………………………………………………
1
Chương 1. Các giản đồ phân kỳ một vòng


1.1. S-matrận và giản đồ Feynman
4

1.2. Hàm Green và hàm đỉnh
7

1.3. Bậc hội tụ của giản đồ Feynman ……………………
9
Chương 2. Tách phân kỳ trong giản đồ một vòng bằng phương pháp
điều chỉnh thứ nguyên


2.1. Giản đồ phân cực photon ………… ………
15

2.2. Giản đồ năng lượng riêng của electron …….…
22

2.3. Hàm đỉnh bậc ba .………………… ……… …
27

2.4. Đồng nhất thức Ward –Takahashi …………………
32
Chương 3. Tái chuẩn hóa điện tích và khối lượng trong QED


3.1. Tái chuẩn hóa điện tích …….…………………
35

3.2. Tái chuẩn hóa khối lượng ……… ………………
39

3.3. Tái chuẩn hóa giản đồ một vòng trong QED ……
47
Kết luận ………………………… …………… ……………
49
Tài liệu tham khảo ……………………………….………………
50
Phụ lục


Phụ lục A. Metric giả Euclide ……
52

Phụ lục B. Phương pháp khử phân kỳ bằng điều chỉnh thứ
nguyên …………………………………………………

57

Phụ lục C. Khử phân kỳ trong mô hình
3

int
Lgf=

65
2
MỞ ĐẦU
Những thành tựu của điện động lực học lượng tử (Quantum Electrodynamics -
QED) dựa trên cơ sở của lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến với phương pháp tái chuẩn
hóa khối lượng và điện tích đã cho phép tính toán các quá trình vật lý phù hợp khá
tốt với số liệu thu được từ thực nghiệm, với độ chính xác đến bậc bất kỳ của hằng
số tương tác theo lý thuyết nhiễu loạn
2
1
4 137
e
a
p
==
. Trong các lý thuyết trường
tương tác thì QED là lý thuyết được xây dựng hoàn chỉnh nhất. Mô phỏng các
phương pháp tính toán của các quá trình vật lý trong QED người ta có thể xây dựng
công cụ tính toán cho Sắc động học lượng tử (Quantum Chromodynamics - QCD) –
lý thuyết tương tác giữa các hạt quark - gluon, tương tác yếu hay các lý thuyết thống
nhất các dạng tương tác như lý thuyết điện yếu và tương tác mạnh và được gọi là
mô hình chuẩn [6, 7, 13, 18].
Việc tính các quá trình vật lý theo lý thuyết nhiễu loạn ở bậc thấp của lý thuyết
nhiễu loạn hiệp biến (các giản đồ cây Feynman, không chứa vòng kín) ta không gặp
các tích phân phân kỳ, nhưng tính các bổ chính lượng tử bậc cao cho kết quả thu
được, ta gặp phải các tích phân kỳ ở vùng xung lượng lớn của các hạt ảo, tương ứng
với các giản đồ Feynman có vòng kín của hạt ảo. Các giản đồ này diễn tả sự tương

tác của hạt với chân không vật lý của các trường tham gia tương tác và quan niệm
hạt điểm không có kích thước cũng như không có thể tích.
Việc tách phần hữu hạn và phần phân kỳ của các tích phân kỳ phải tiến hành
theo cách tính toán như thế nào? Phần phân kỳ và phần hữu hạn sẽ được giải thích
vật lý ra sao? Bỏ phần phân kỳ vào đâu để có kết quả thu được cho quá trình vật lý
là hữu hạn. Lưu ý: việc loại bỏ phân kỳ trong lý thuyết trường là nhiệm vụ trọng
yếu của vật lý lý thuyết kể từ khi ra đời đến nay, vậy ta cần phải nghiên cứu, tìm
hiểu và giải quyết.
3
Ý tưởng tái chuẩn hóa – gộp phần phân kỳ vào điện tích hay khối lượng của
electron đầu tiên được Kraumer – Bethe, sau được các tác giả Schwinger Feynman
Tomonaga hiện thực hóa trong QED [13,20]. Cách xây dựng chung
S - ma trận và phân loại các phân kỳ do Dyson F đề xuất [10]. Cách chứng minh
tổng quát sự triệt tiêu phân kỳ trong các số hạng được tái chuẩn hóa của chuỗi lý
thuyết nhiễu loạn do Bogoliubov – Parasyk tiến hành [8]. Trong QED sử dụng việc
tái chuẩn hóa điện tích và khối lượng của electron, giúp ta giải quyết hợp lý phần
phân kỳ trong tính toán, kết quả ta thu được là hữu hạn cho các biểu thức đặc trưng
cho tương tác, bao gồm: tiết diện tán xạ, tốc độ phân rã và thời gian sống của hạt.
Khi so sánh, kết quả thu được khá phù hợp với số liệu thực nghiệm. Lý thuyết
trường lượng tử sau khi tái chuẩn hoá cho kết quả hữu hạn đối với đặc trưng của các
quá trình vật lý, được gọi là lý thuyết tái chuẩn hoá [7, 8, 19, 15]. Các phương
pháp khử phân kỳ thông dụng trong lý thuyết trường hiện nay bao gồm: phương
pháp cắt xung lượng lớn [7], phương pháp Pauli – Villars, phương pháp điều chỉnh
thứ nguyên và phương pháp R - toán tử do N.N Bogoliubov khởi xướng [14].
Mục đích của bản luận văn Thạc sĩ này vận dụng cách khử phân kỳ tử ngoại
bằng cách điều chỉnh thứ nguyên của hạt ảo trong gần đúng một vòng kín và minh
họa quá trình tái chuẩn hóa khối lượng và điện tích của electron trong QED ở bậc
thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến cho quá trình vật lý.
Bản luận văn Thạc sĩ gồm phần Mở đầu, ba chương, phần Kết luận, tài liệu
tham khảo và một số phụ lục.

- Chương I: Các giản đồ phân kỳ một vòng.
Chương này dành cho việc giới thiệu lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến. Trong
mục 1.1 giới thiệu vắn tắt S - ma trận và quy tắc Feynman để mô tả các quá
trình vật lý. Mục 1.2 dành cho việc trình bày các hàm Green của photon,
electron, và hàm đỉnh trong QED. Phân tích các bậc phân kỳ trong QED ở
bậc thấp nhất được trình bày ở mục 1.3.
4
- Chương II: Tách phân kỳ trong giản đồ một vòng bằng phương pháp điều
chỉnh thứ nguyên.
Trong chương này chúng ta tách phần hữu hạn và phần phân kỳ bằng
phương pháp điều chỉnh thứ nguyên trong QED. Mục 2.1 xem xét toán tử
phân cực bậc hai của photon – giản đồ năng lượng riêng của photon. Trong
mục 2.2 xem xét giản đồ năng lượng riêng của electron. Trong mục 2.3 xem
xét hàm đỉnh ở bậc thấp nhất. Đồng nhất thức Ward –Takahashi được được
chứng minh bằng đồ thị ở mục 2.4.
- Chương III: Tái chuẩn hóa trong QED.
Trong chương này ta tái chuẩn hóa cho giản đồ một vòng trong QED. Mục
3.1 dành cho việc tái chuẩn hóa điện tích electron. Mục 3.2 dành cho việc
tái chuẩn hóa khối lượng. Mục 3.3 tái chuẩn hóa hàm đỉnh. Chứng minh
một cách định tính: trong việc tái chuẩn hóa điện tích và khối lượng của
electron, các tích phân phân kỳ “biến mất” vào điện tích vật lý và khối
lượng vật lý của electron. Mục 3.4 trình bày việc chứng minh việc tái chuẩn
hóa QED trong gần đúng một vòng.
- Phần kết luận tóm tắt các kết quả thu được trong luận văn và thảo luận khả
năng vận dụng hình thức luận đã tính toán cho các lý thuyết trường tương
tự.
Trong bản luận văn này chúng tôi sẽ sử dụng hệ đơn vị nguyên tử
1c==h
và
metric giả Euclide (metric Feynman - hay metric Bogoliubov [7]) tất cả bốn thành

phần véctơ 4 - chiều ta chọn là thực
( )
0
,A A A=
r
gồm một thành phần thời gian và
các thành phần không gian, các chỉ số
( )
0,1,2,3m=
,và theo quy ước ta gọi là các
thành phần phản biến của véctơ 4 - chiều và ký hiệu các thành phần này với chỉ số
trên.
5
Chương 1.
Các giản đồ phân kỳ một vòng
Trong chương này chúng ta giới thiệu vắn tắt những luận điểm cơ bản của lý
thuyết nhiễu loạn hiệp biến. S - ma trận cho tương tác điện từ, quy tắc Feynman, các
giản đồ phân kỳ thường gặp trong gần đúng một vòng.
1.1. S - ma trận và giản đồ Feynman
Biên độ xác suất của các quá trình tán xạ được xác định bằng các yếu tố của S –
ma trận tán xạ, mà chúng liên hệ các trạng thái đầu và các trạng thái cuối của quá
trình vật lý:
( )
4
int
exp ( )S T i L x d x=
ò
(1.1)
Trong đó
( ) ( )

int 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )L x N J x A x e N x x A x
mm
mm
y g y==

là Lagrangian của tương tác điện từ,
0
e
là điện tích “trần” của electron. Mỗi đỉnh
tương tác sẽ có ba đường vào ra, trong đó có một đường photon, hai đường electron
hay positron. Sử dụng phép khai triển hàm mũ
2
0
1
! 2!
n
z
n
zz
ez
n
¥
=
= = + + +
å
ta có
thể viết biểu thức S – ma trận (1.1) dưới dạng:
(0) (1) (2)
2

4 4 4
int int int

()
1 ( ) ( ) ( )
2!
S S S S
i
iT L x d x T L x L y d xd y
= + + + =
= + + +
òò

(1.2)
6
Yếu tố ma trận trận của các quá trình vật lý có thể biểu diễn dưới dạng:
( )
( )
4
4
| | 2
fi f i f i
f S i i P P Md p d< > = + -
(1.3)
Ở đây
|i<
và
|f<
là các véctơ trạng thái đầu và cuối của hệ,
fi

M
là biên độ
xác suất dời chuyển, có ý nghĩa trong việc xác định tiết diện tán xạ, tốc độ phân rã
hay thời gian sống của hạt. Hàm delta diễn tả định luật bảo toàn năng xung lượng
của quá trình vật lý. Thay công thức (1.2) vào
||f S i<>
ta có:

(0) (1) (2)
4
int
2
44
int int
| | | | | | | |
| 1 | | ( ) |
()
| ( ) ( ) |
2!
f S i f S i f S i f S i
f i iT f L x d x i
i
T f L x L y d xd y i
< > = < > + < > + < > +
= < > + < > +
+ < > +
ò
ò
(1.4)
Sử dung khai triển (1.4), cụ thể các hạt ở trạng thái đầu và trạng thái cuối ta có

thể viết được các biểu thức tường minh cho từng số hạng của khai triển nhiễu loạn
cho các quá trình như sau: tán xạ của electron (hay positron) với trường điện từ
ngoài, tán xạ electron (hay positron) với nhau, tán xạ Compton – tán xạ photon trên
electron, hay sự hủy cặp electron – positron và quá trình tán xạ không đàn
tính, v.v
Quy tắc Feynman cho tương tác điện từ trong không gian xung lượng:
Hạt và trạng thái của nó
Thừa số trong yếu tố ma trận
Yếu tố giản đồ
Electron ở trạng thái đầu
( )
( )
1
2
30
2
1
2
r
m
up
p
p
æö
÷
ç
÷
ç
÷
ç

÷
ç
èø


Electron ở trạng thái
cuối
( )
( )
1
2
30
2
1
2
r
m
up
p
p
æö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
èø

7
Positron ở trạng thái đầu
( )
( )
1
2
30
2
1
2
r
m
up
p
p
æö
÷
ç
÷
-
ç
÷
ç
÷
ç
èø

Positron ở trạng thái
cuối
( )
( )
1
2
30
2
1
2
r
m
up
p
p
æö
÷
ç
÷
-
ç
÷
ç
÷
ç
èø


Photon ở trạng thái đầu
hay ở trạng thái cuối

( )
( )
3
0
2
11
2
2
ek
k
l
m
p


Thế điện từ ngoài
( )
ext
Ak
m


Chuyển động của
electron từ
12®
(hay
positron theo chiều
ngược lại
21®
)

( )
( )
4
4 2 2
1
()
ˆ
2
ˆ
2
i
Sp
pm
i p m
pm
p
p
==
-
+
=
-


Chuyển động photon
giữa hai đỉnh

( )
42
1

()
2
g
Dk
k
mn
mn
p
=


Đỉnh cùng với chỉ số lấy
tổng
m

( )
( )
( )
4
4
21
2ie p p k
m
g p d



8
1.2. Hàm Green và hàm đỉnh
Trong QED các giản đồ Feynman sau đây:

- Các phần năng lượng riêng của photon
- Các phần năng lượng riêng của của electron
- Các phần đỉnh
- Phần tán xạ photon – photon diễn tả sự tương tác của hạt với chân không
vật lý. Các giản đồ này liên quan đến việc tính các số hạng bổ chính bậc
cao theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến, hay cụ thể hơn là tính hàm Green
của photon, hàm Green của electron và hàm đỉnh trong lý thuyết tương
tác giữa trường electron – positron với trường điện từ.
Hàm Green hai điểm là tổng các giản đồ liên kết yếu mà mỗi thành phần của nó
là giản đồ liên kết mạnh
1
của một hạt.
Hàm Green của photon, được xác định bằng công thức:
( ) 0 ( ) ( ) 0G x y i T A x A y
mn m n
éù
- = < >
êú
ëû
(1.5)
trong đó
|0>
là véctơ trạng thái chân không của các trường tương tác, còn
()Ax
m

và
()Ay
n
là các toán tử trường điện từ trong biểu diễn Heisenberg.

1
Giản đồ liên kết mạnh (strong connected diagramms) - chặt một đường không tách thành
hai giản đồ được - Giản đồ này còn gọi là giản đồ tối giản (irreducible diagramms).
9
Hàm Green của photon (1.5) có thể được biểu diễn bằng tổng các giản đồ sau:




Hình 1.1 Hàm truyền đầy đủ của photon và ten xơ phân cực của chân không
Hàm Green của electron, được xác định tương tự bằng công thức sau
( )
0 | ( ) ( ) | 0G x y i T x y
ab a b
yy
éù
- = < >
êú
ëû
(1.6)
Trong đó
()x
a
y
,
()y
b
y

là các toán tử trường electron – positron trong biểu diễn
Heisenberg. Hàm Green của electron có thể được biểu diễn bằng tổng các giản đồ
sau:




Hình 1.2. Các đồ thị để cho hàm truyền đầy đủ của electron
và phần năng lượng riêng
Hàm đỉnh được cũng được xác định bằng
( ) ( ) ( )
( )
, , 0 ( ) 0z x y T A z x y
mab m a b
yyG = < >
(1.7)


i



i

i

i



i




i



i



i



10
Giản đồ Feynman (1.7) tương ứng








Hình 1.3. Đỉnh riêng đầy đủ

m
G
và sơ đồ xương
*
m
L
.Các đường ngoài bị bỏ
1.3. Bậc hội tụ của các giản đồ Feynman
Khi tính toán các giản đồ Feynman (trong biểu diễn xung lượng), theo qui tắc
chung chúng ta phải lấy tích phân theo tất cả các đường xung lượng trong của giản
đồ. Tất cả các tích phân này đều có dạng:
4 4 4
1 2 1 2
( , , , )
nn
J F p p p d p d p d p=
ò
(1.8)
Trong đó:
12
( , , , )
n
F p p p
là hàm hữu tỉ và là tỉ số của hai đa thức: n là số
đường xung lượng trong. Tương ứng với mỗi đường xung lượng trong của fermion -
electron ta có hàm truyền
S
~
1
p

, tương ứng với mỗi đường xung lượng trong của
photon ta có hàm truyền
D
~
2
1
p
.









*




11
Ta gọi:
e
F
: số đường xung lượng trong của electron.
e
N
: số đường xung lượng ngoài của electron.

p
F
: số đường xung lượng trong của photon.
p
N
: số đường xung lượng ngoài của photon.
v
: số đỉnh.
Trong mỗi vòng kín (loop) các đường xung lượng trong, số các đường trong
bằng số đỉnh:
nv=
, đồng thời lưu ý hai điểm sau:
+ Mỗi đỉnh tương ứng với 1 đường photon, như vậy số đỉnh bằng tổng số đường
photon, cũng phải chú ý rằng số đường trong phải được tính đến hai lần vì nó nối
với hai đỉnh
2
pp
v F N=+
(1.9)
+ Mỗi đỉnh tương ứng với hai đường xung lượng electron, tổng số đỉnh bằng
một nửa số đường xung lượng electron:
22
ee
v F N=+
(1.10)
Từ (1.9) và (1.10) ta thu được:
11
22
pp
F v N=-

(1.11)

1
2
ee
F v N=-
(1.12)
12
Số biến lấy tích phân là n, nhưng tại mỗi đỉnh các giá trị xung lượng vào ra phải
tuân theo định luật bảo toàn năng xung lượng. Định luật này được thể hiện ở dạng
của hàm delta. Theo tính chất của hàm delta:
4
00
( ) ( ) ( )f p p d p f pd =
ò
thì số biến độc
lập phải lấy tích phân sẽ giảm xuống.
Nếu có n đường trong thì số hàm delta chỉ chứa biến là các đường trong sẽ là
(n-1), và số biến sẽ tiếp tục giảm đi. Tổng số đường trong là
()
ep
FF+
.
Vậy số các biến độc lập sẽ là:
1
( ) ( 1)
ep
K F F n= + - -
(1.13)
Do

S
~
1
p
và
D
~
2
1
p
, bậc luỹ thừa của mẫu sẽ là:

2
2
pe
K F F=+
(1.14)
Thay (1.11) và (1.12) vào (1.13) và (1.14) ta thu được:

1
1 1 1
1
2 2 2
pe
K v N N= - - +
(1.15)

2
1
2

2
pe
K v N N= - -
(1.16)
Với
1
K
là số biến độc lập,
2
K
là bậc của mẫu, ta có thể viết định tính:

1
2
4
()
()
K
K
dp
J
p
=
ò
(1.17)
Đưa vào tham số mới

21
4K K K=-
(1.18)

13
Thay (1.15) và (1.16) vào biểu thức của (1.18) ta thu được:
3
4
2
ep
K N N= + -
(1.19)
Từ tham số này ta có thể đưa ra bậc hội tụ hay phân kỳ của biểu thức (1.17):
+ Nếu
0K >
: tích phân này hội tụ.
+ Nếu
0K £
: tích phân này phân kỳ.
-
0K =
: phân kỳ lôgarit.
-
1K =-
: phân kỳ tuyến tính.
-
2K =-
: phân kỳ bậc hai.
-
3K =-
: phân kỳ bậc ba
Khi phân tích các giản đồ Feynman trong QED, các giản đồ Feynman tiêu biểu
chứa phân kỳ có dạng cho dưới đây:

Hình 1.6. Giản đồ đỉnh bậc 3

Hình 1.7. Quá trình tán xạ ánh
sáng – ánh sáng

Hình 1.4. Giản đồ năng lượng
riêng của electron


Hình 1.5. Giản đồ năng lượng
riêng của photon
14
Tính toán bậc phân kỳ của các giản đồ trên:
Hình 1.4: Số đường phôtôn ngoài bằng 0, số đường electron ngoài là 2, bậc
phân kỳ là:
1K = - Þ
Phân kỳ tuyến tính.
Hình 1.5: Số đường photon ngoài bằng 2, số đường electron ngoài bằng 0, bậc
phân kỳ là:
2K = - Þ
Phân kỳ bậc hai.

Hình 1.6: Số đường photon ngoài bằng 1, số đường electron ngoài bằng 2, bậc
phân kỳ là:
0K =Þ
Phân kỳ loga.
Hình 1.7: Số đường photon ngoài bằng 4, số đường electron ngoài bằng 0, bậc
phân kỳ là:
0K =Þ
Phân kỳ loga.
Các giản đồ này diễn tả sự tương tác của các hạt với chân không.
Giản đồ Hình 1.6 diễn tả sự tương tác của electron với các dao động không (các
thăng giáng) của các phôtôn, hay nói một cách khác là sự tương tác với chân không
của trường điện từ. Giản đồ này diễn tả sự xuất hiện năng lượng riêng trường điện
từ của electron (hiệu ứng tự tương tác).
Giản đồ Hình 1.5 diễn tả sự tương tác của phôtôn với chân không của trường
electron - positron - hay gọi là giản đồ năng lượng riêng của phôtôn.
Giản đồ Hình 1.7 diễn tả sự tương tác của phôtôn với chân không của trường
electron - positron hay quá trình tán xạ của ánh sáng - ánh sáng qua việc sinh cặp
electron - positron và sau đó lại hủy cặp này. Đây là một quá trình vật lý đặc biệt
của điện động lực học lượng tử chúng tôi không xem xét ở đây. Nghiên cứu quá
trình này chúng ta sẽ tính được những bổ chính phi tuyến cho phương trình
Maxwell. Trong điện động lực học cổ điển quá trình tán xạ ánh sáng - ánh sáng
không tồn tại vì sự tuyến tính của phương trình Maxwell.
Giản đồ Hình 1.6 được gọi là giản đồ đỉnh và khi tính toán giản đồ này ta cũng
thu được biểu thức phân kỳ.
15
Các giản đồ phân kỳ bậc thấp nhất của QED:
Ví dụ
Nhận xét

Giản đồ chân không . Giản đồ này có thể không

xét.

Giản đồ năng lượng riêng của electron. Sơ bộ,
nó phân kỳ tuyến tính, song thực tế nó phân kỳ
loga.

Đỉnh phân kỳ loga

Giản đồ năng lượng riêng của photon. Sơ bộ nó
phân kỳ bình phương. Thực tế từ bất biến chuẩn
nó phân kỳ loga.

Nó bị triệt tiêu với giản đồ cùng với hướng
ngược lại của electron (Định lý Furry). Giản đồ
này có thể không xét.

Gồm 4! giản đồ, khác nhau bằng việc hoán vị
của các đường ngoài. Thực tế, nó hội tụ từ bất
biến chuẩn.

16
Chương 2.
Tách phân kỳ trong giản đồ một vòng
bằng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên
Trong chương này, chúng ta sử dụng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên để
tách phần phân kỳ và phần hữu hạn của một số giản đồ một vòng bậc thấp nhất của
QED.
2.1. Giản đồ phân cực photon

Hình 2.1. Giản đồ phân cực photon.
Biểu thức toán học tương ứng của giản đồ này viết trong D – biểu diễn theo
phương pháp chung của chỉnh thứ nguyên:
22
2 2 2 2
ˆ
ˆˆ
()
(2 ) ( )
D
v
D
d p p k m p m
k ie Sp
p k m p m
e
mn m
m g g
p
- + +
P=
- - -
ò
. (2.1)
Sử dụng công thức tham số hoá tích phân Feynman:
( )
1
2
0

1
1
dx
ab
ax b x
=
éù
+-
êú
ëû
ò
, với:
2 2 2 2
( ) ;a p k m b p m= - - = -



17

( ) ( )
2
2 2 2
2 2 2
1 ( )(1 )
2
ax b x p k m x p m x
p pkx m k x
éù
® + - = - - + - -
êú

ëû
= - - +

Chúng ta thu được:
( )
1
22
2
2 2 2
0
ˆ
ˆˆ
()
()
(2 )
2
D
v
D
Sp p k m p m
dp
k ie dx
p pkx m k x
m
e
mn
gg
m
p
éù

- + +
êú
ëû
P=
éù
- - +
êú
ëû
òò
(2.2)
Đổi biến:
' ' ; 'p p kx p p kx dp dp= - Þ = + =

ˆˆ
ˆˆ
{ ' ( 1) } ( ' )TS Sp p k x m p kx m
mn
gg
éù
= + - + + +
êú
ëû
(2.3)
( )
2 2 2
2 2 2
12
' (1 )
ax b x p pkx m k x
p m k x x

+ - = - - +
= - + -

Suy ra:

1
22
2
2 2 2
0
ˆˆ
ˆˆ
{ ' ( 1) } ( ' )
'
()
(2 )
' (1 )
D
D
Sp p k x m p kx m
dp
k ie dx
p m k x x
mn
e
mn
gg
m
p
éù

+ - + + +
êú
ëû
P=
éù
- + -
êú
ëû
òò

(2.4)
Đổi kí hiệu
'pp®
, ta được:

1
22
2
2 2 2
0
ˆˆ
ˆˆ
{ ( 1) } ( )
()
(2 )
(1 )
D
D
Sp p k x m p kx m
dp

k ie dx
p m k x x
mn
e
mn
gg
m
p
éù
+ - + + +
êú
ëû
P=
éù
- + -
êú
ëû
òò

(2.5)
18
Ta tính vết của tử thức (2.5), lưu ý rằng vết của tích lẻ các ma trận Dirac bằng
không và tích phân đối xứng của hàm lẻ bằng không. Vì vậy, ta chỉ tính phần:
ˆˆ
ˆˆ
{ ( 1) } ( )
{( )[ ( 1) ]}
TS Sp p k x m p kx m
Sp p xk m p x k m
mn

r r s s
m r m r m n s n s n
gg
g g g g g g g g g g
éù
= + - + + +
êú
ëû
= + + + - +


2
( )[ ( 1) ( 1) ]
()
Sp p p x k p xk p x x k k
m Sp
r s s r r s r s
m r n s
mn
g g g g
gg
= + - + + - +
+

Lưu ý rằng:
; ( )
( ) ( )
SpI D Sp Dg
Sp D g g g g g g
m n mn

m n r s mr ns mn r s ms r n
gg
g g g g
==
= - +

Chú ý:
2
2 2 2
( ).
0
(1 )
D
F p d p
p m k x x
=
éù
- + -
êú
ëû
ò
, với F(p) chứa bậc lẻ của p.
Lưu ý rằng
2
1
p p g p
D
m n mn
=
, do đó:

2
2 2 2 2
[ ( 1) ]( )
[2 2 (1 )( )] [ (1 )]
TS D p p x x k k g g g g g g Dm g
D p p x x k k k g Dg p m k x x
r s r s
mr ns mn r s ms r n mn
m n m n mn mn
= + - - + +
= - - - - - + -

(2.6)
Thay vào biểu thức của
()k
mn
P
ta có:
{ }
{ }
1
22
2
2 2 2
0
2 2 2 2
1
(1) (2) (3)
0
()

(2 )
(1 )
[2 2 (1 )( )] [ (1 )]
( ) ( ) ( )
D
D
iDe d p
k dx
p m k x x
p p x x k k k g g p m k x x
dx k k k
e
mn
m n m n mn mn
mn mn mn
m
p
P = ´
éù
- + -
êú
ëû
´ - - - - - + -
= P + P + P
òò
ò

(2.7)
19
Tính

(1)
()k
mn
P


22
(1)
2
2 2 2
2
()
(2 )
(1 )
D
D
pp
iDe
k d p
p m k x x
e
mn
mn
m
p
P=
éù
- + -
êú
ëû

ò


22
2
1
22
2
2
(1 )
2
( 1)
(4 )
(1 )
D
D
D
D
eD
g
m k x x
e
mn
m
p
æö
÷
ç
÷
ç-

÷
ç
÷
÷
ç
èø
G-
= - -
éù
- + -
êú
ëû
(2.8)
Tính
(2)
()k
mn
P


22
(2)
2 2 2
22
2
1
22
2
2
()

(2 )
(1 )
(1 )
2
( 1)
(4 )
(1 )
D
D
D
D
D
iDe d p
kg
p m k x x
D
eD
g
m k x x
e
mn mn
e
mn
m
p
m
p
æö
÷
ç

÷
ç-
÷
ç
÷
÷
ç
èø
P = -
éù
- + -
êú
ëû
G-
=-
éù
- + -
êú
ëû
ò
(2.9)
Tính
(3)
()k
mn
P


22
(3) 2

2
2 2 2
22
2
2
2
22
2
2
2
( ) (1 )( )
(2 )
(1 )
(2 )
2
2
( 1) (1 )( )
(4 )
(1 )
D
D
D
D
D
iDe d p
k x x k k k g
p m k x x
D
eD
x x k k k g

m k x x
e
mn m n mn
e
m n mn
m
p
m
p
æö
÷
ç
÷
ç-
÷
ç
÷
÷
ç
èø
P = - - -
éù
- + -
êú
ëû
G-
= - - -
éù
- + -
êú

ëû
ò

(2.10)
20
Cui cựng:

1
(3)
0
( ) ( )k k dx
mn mn
P = P
ũ
(2.11)
Thay
1
4 2 ; (2 ) ( ) 0( )D
D
e e g e
e
2
= - G - = G = - +


1
2
2
2
0

2
22
1
( ) ( ) ( ) (1 )
( 1) 8
4
(1 )
eD
k k k k g o x x dx
m k x x
mn m n mn
e
e
ge
e
p
pm
ộự
ờỳ
P = - - + -
ờỳ
-
ởỷ
ổử
ữ
ỗ
ữ

ỗ
ữ

ỗ
ữ
ỗ
- + -
ốứ
ũ
(2.12)
p dng:

22
2 2 2 2
22
2
44
1 ln
(1 ) (1 )
(1 )
1 ln
4
m k x x m k x x
m k x x
e
pm pm
e
e
pm
ổ ử ổ ử
ữữ
ỗỗ
ữữ

=+
ỗỗ
ữữ
ỗỗ
ữữ
ỗỗ
- + - - + -
ố ứ ố ứ
ổử
- + -
ữ
ỗ
ữ
=-
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ
(2.13)
Thu c kt qu:

1
2
2
2
0
22
2

1
( ) ( ) ( ) (1 )
( 1) 8
(1 )
1 ln
4
eD
k k k k g o x x dx
m k x x
mn m n mn
e
ge
e
p
e
pm
ộự
ờỳ
P = - - + -
ờỳ
-
ởỷ
ớỹ
ổử
ùù
- + -
ữ
ùù
ỗ
ữ

-
ỗ
ỡý
ữ
ỗ
ữ
ùù
ỗ
ốứ
ùù
ợỵ
ũ
(2.14)

2
2
2
1
22
2
0
1
( ) ( ) ( )
( 1) 8
1 (1 )
(1 ) ln
6
4
eD
k k k k g o

m k x x
x x dx
mn m n mn
e
ge
e
p
e
pm
ộự
ờỳ
P = - - +
ờỳ
-
ởỷ
ớỹ
ổử
ùù
- + -
ữ
ùù
ỗ
ữ
- -
ỗ
ỡý
ữ
ỗ
ữ
ùù

ỗ
ốứ
ùù
ợỵ
ũ
(2.15)
Cho
0 : 4De đđ

21

2
2
2
1
22
2
0
1
( ) ( ) ( )
2
1 (1 )
(1 ) ln
6
4
e
k k k k g o
m k x x
x x dx
mn m n mn

ge
e
p
e
pm
ộự
ờỳ
P = - - +
ờỳ
ởỷ
ớỹ
ổử
ùù
- + -
ữ
ùù
ỗ
ữ
- -
ỗ
ỡý
ữ
ỗ
ữ
ùù
ỗ
ốứ
ùù
ợỵ
ũ

(2.16)

2
2
2
1
22
2
0
( ) ( )
2
1 (1 )
(1 )ln
66
4
e
k k k k g
m k x x
x x dx
mn m n mn
p
g
e
pm
P = -
ớỹ
ổử
ùù
- + -
ữ

ùù
ỗ
ữ
- - -
ỗ
ỡý
ữ
ỗ
ữ
ùù
ỗ
ốứ
ùù
ợỵ
ũ
(2.17)
Ti õy ta tỏch c phn phõn k v phn hu hn:

2
2
2
( ) ( )
12
div
e
k k k k g
mn m n mn
ep
P = -
(2.18)

1
2 2 2
2
22
0
(1 )
( ) ( ) (1 )ln
6
24
reg
e m k x x
k k k k g x x dx
mn m n mn
g
p pm
ớỹ
ổử
ùù
- - + -
ữ
ùù
ỗ
ữ
P = - + -
ỗ
ỡý
ữ
ỗ
ữ

ùù
ỗ
ốứ
ùù
ợỵ
ũ

(2.19)
Tớnh tớch phõn cú trong (2.19) vi:

2 2 2 2
2 2 2
(1 ) 4
ln ln 1 (1 ) ln
4
m k x x k
xx
mm
pm
pm
ổ ử ổ ử ổ ử
- + - -
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ
= - - -
ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ

ỗ ỗ ỗ
ố ứ ố ứ ố ứ


1
22
2
0
1
2
2
0
1
2
2
0
(1 )
(1 ) ln
4
(1 ) ln 1 (1 )
4
ln (1 )
m k x x
x x dx
k
x x x x dx
m
x x dx
m
pm

pm
ổử
- + -
ữ
ỗ
ữ
-
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ
ổử
ữ
ỗ
ữ
= - - - -
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ
ổử
-
ữ
ỗ
ữ

ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ
ũ
ũ
ũ


1
22
22
0
4 1 4
ln (1 ) ln
6
x x dx
mm
pm pm
ổ ử ổ ử

ữữ
ỗỗ
ữữ
-=
ỗỗ
ữữ
ỗỗ

ữữ
ỗỗ
ố ứ ố ứ
ũ
;
t
2
1
2 1 (1 ) (1 )
4
y x x x y= - đ - = -

22

2
1
2
0
2
1
22
2
0
2
1
22
2
1
. (1 ) ln (1 ) 1
1

(1 ).ln (1 ) 1
4
4
1
(1 ).ln (1 ) 1.
8
4
k
dx x x x x
m
k
yy
m
k
y y dy
m
-
ộự
ờỳ
- - - =
ờỳ
ởỷ
ộự
ờỳ
= - - -
ờỳ
ởỷ
ộự
ờỳ
= - - -

ờỳ
ởỷ
ũ
ũ
ũ

t
2
2
2
sin ;
4
k t g
y
tg
m
x
q
q
==


2
1
22
2
1
1
(1 ).ln 1 (1 )
8

4
k
yy
m
-
ộự
ờỳ
- - -
ờỳ
ởỷ
ũ


22
2
2 2 2
1
(1 ) ln 1 sin
8
cos .
tg tg d
tg tg tg
q
q
x x x
q
q q x q
-
ộự
ờỳ

= - -
ờỳ
ởỷ
ũ


22
2
12
(1 cot ).
18
3
mk
g
k
qq
-
= + -

Ta thu c cỏc kt qu cui cựng:

2
2
2
1
( ) ( )
12
div
e
k k k k g

mn m n mn
e
p
P = -
(2.20)

2
2
2
2 2 2
22
( ) ( )
12
1 4 2
ln (1 cot ).
3
3
reg
e
k k k k g
mk
g
mk
mn m n mn
p
pm
g q q
-
P = -
ớỹ

ổử
ùù

ữ
ùù
ỗ
ữ
+ - + -
ỗ
ỡý
ữ
ỗ
ữ
ùù
ỗ
ốứ
ùù
ợỵ
(2.21)
23
2.2. Giản đồ năng lượng riêng của electron



Hình 2.2. Giản đồ năng lượng riêng của electron.
Giản đồ năng lượng riêng của electron tương ứng với biểu thức (sau khi đã
chỉnh thứ nguyên):
(2) 2
2 2 2
ˆ

ˆ
()
( ) ( ) ( )
(2 ) ( )
D
D
d k i p k m ig
p i i e ie
p k m k
mn
e
mn
m g g
p
- + -
S = - -

ò
(2.22)
Trong đó m là khối lượng bất kỳ, tham số
m
có thứ nguyên khối lượng,
2e
m

thêm vào để tích phân có thứ nguyên đúng. Ở đây ta đặt
42D e=-
.
(2) 2 2
2 2 2

ˆ
ˆ
[]
( ) .
(2 ) [( ) ].
D
D
p k m
dk
p ie
p k m k
m
m
e
gg
m
p
-+
S = -

ò
(2.23)
Tính tử thức:
ˆˆ
ˆˆ
[ ] ( )TS p k m p k m
mm
m
m m m
g g g g g g= - + = - +

Với:
m Dm
m
m
gg=
và:
ˆ
ˆ
( ) ( )
ˆ
ˆ
(2 )( ) (2 )( )
p k p k
D p k D p k
mm
nn
m m n
nn
n
g g g g g
g
- = -
= - - = - -

Do đó:
ˆ
ˆ
(2 )( )TS D p k Dm= - - +