MỘT số bài TOÁN CHỨNG MINH BA điểm THẲNG HÀNG

MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG, BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG
QUY
I – CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG.
Bài 1. Cho hai đường tròn (O) và (O) cắt nhau tại A và B. Vẽ các đường kính AOC và AOD.
Đường thẳng AC cắt đường tròn (O) tại E. Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại F.
Chứng minh rằng:
a) Ba điểm C, B, D thẳng hàng.
b) Tứ giác CDEF nội tiếp.
c) A là tâm đường tròn nội tiếp (hoặc bàng tiếp) của tam giác BEF.
Bài 2. Cho hình vuông ABCD. Trên hai cạnh CB và CD lần lượt lấy hai điểm di động M và N sao
cho CM = CN. Từ C vẽ đường thẳng vuông góc với BN, cắt BN tại E và AD tại F.
a) Chứng minh tứ giác FMCD là hình chữ nhật.
b) Chứng minh nam điểm A, B, M, E, F cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm O của
đường tròn đó.
c) Đường tròn (O) cắt AC tại một điểm thứ hai là I. Chứng minh tam giác IBF vuông cân.
d) Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) cắt đường thẳng FI tại K. Chứng minh ba điểm K, C, D
thẳng hàng.
Bài 3. Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R và điểm M trên đường tròn sao cho góc
�
MAB  900 . Kẻ dây MN vuông góc với AB tại H.
a) Chứng minh AM và AN là các tiếp tuyến của đường tròn (B; BM).
2
b) Chứng minh MN  4AH .HB .
c) Chứng minh tam giác BMN là tam giác đều và điểm O là trọng tâm của nó.
d) Tia MO cắt đường tròn (O) tại E, tia MB cắt (B) tại F.Chứng minh ba điểm N, E, F thẳng
hàng.
Bài 4. Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O; R), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (với B và C là các tiếp
điểm). Kẻ BE  AC và CF  AB (E �AC, F �AB ), BE và CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh tứ giác BOCH là hình thoi.
b) Chứng minh ba điểm A, H, O thẳng hàng.
c) Xác định vị trí điểm A để H nằm trên đường tròn (O).

Bài 5: Cho tam giác nhọn ABC(AB < AC) , hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H (D thuộc cạnh
AC , E thuộc cạnh AB ). Gọi I là trung điểm của BC . Đường tròn ngoại tiếp ΔBEI và đường tròn
ngoại tiếp ΔCDI cắt nhau tại K ( K khác I ).
1) Chứng minh rằng BDK = CEK .
2) Đường thẳng DE cắt BC tại M . Chứng minh ba điểm M,H, K thẳng hàng.
3) Chứng minh tứ giác BKMD nội tiếp.
Bài 6: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường (O). Vẽ các đường cao AD, BE, CF của tam giác,
H là trực tâm. Kẻ đường kính AOM.
a) Chứng minh tứ giác BHCM là hình bình hành.
b) Gọi I là giao điểm của HM và BC. Chứng minh OI  BC và AH = 2.OI.
c) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh O, G, H thẳng hàng.
(HD: C/m tổng bằng 1800)
d) Chứng minh diện tích  AGH bằng hai lần diện tích  AGO.
e) Chứng minh OA  FE
Bài 7: Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O;R). Vẽ tiếp tuyến MA (A là tiếp điểm), cát tuyến mBC
(B nằm giữa M và C) và O nằm trong góc AMC. Lấy I là trung điểm của BC. Tia OI cắt cung nhỏ
BC tại N, AN cắt BC tại D.
a) Chứng minh AD là phân giác của góc BAC.


2
b) Chứng minh MD  MB.MC
c) Gọi H, K là hình chiếu của N lên AB và AC. Chứng minh ba điểm H, I, K thẳng hàng (đường
thẳng Sim - sơn) (HD: C/m tạo thành góc bẹt)
Bài 8: Cho tứ giác ABCD và có các góc ABC và ADB vuông; H là hình chiếu vuông góc của D
xuống AB. Đường tròn tâm A bán kính AD cắt đường tròn đường kính AC tại M và N (M ở trên
cung nhỏ AB).
2
a) Chứng minh AM  AH.AB
b) Chứng minh rằng: HAM ~MAB

c) Chứng minh N,H,M thẳng hàng. (HD: C/m tia trùng tia)
Bài 9: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Điểm M thuộc cung nhỏ AC. Vẽ tia Cx
đi qua M và D là điểm đối xứng với A qua O.
�
a) Chứng minh AM là phân giác của BMx
b) Trên tia đối của tia MB lấy điểm H sao cho MH = MC. Chứng minh MD // CH.
c) Gọi K là trung điểm của CH. Chứng minh ba điểm A; M; K thẳng hàng.
( HD: Sử dụng hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba)
Bài 10:

II – CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY
0
�
Bài 1: Cho đường tròn (O;R) và dây BC, sao cho BOC  120 . Tiếp tuyến tại B, C của đường tròn
(O) cắt nhau tại A.
a) Chứng minh  ABC đều. Tính diện tích  ABC theo R.
b) Trên cung nhỏ BC lấy điểm M. Tiếp tuyến tại M của (O) cắt AB, AC lần lượt tại E, F. Tính chu vi
 AEF theo R.
�
c) Tính số đo EOF
d) OE, OF cắt BC lần lượt tại H, K. Chứng minh FH  OE và ba đường thẳng FH, EK, OM đồng
quy. (HD: Dựa vào sự đồng quy của ba đường cao)
Bài 2: Cho tam giác ABC. Dựng ra ngoài tam giác đó các tam giác đều BCD, ACE và ABF.
Chứng minh rằng:
a) Ba đường tròn ngoại tiếp ba tam giác đều nói trên cùng đi qua một điểm.
b) Ba đường thẳng AD, BE, CF cùng đi qua một điểm. (HD: Quy về việc c/m thẳng hàng)
c) Ba đoạn thẳng AD, BE, CF bằng nhau.
Bài 3: . Cho đường tròn (O) đường kính BC. Điểm A thuộc đoạn OB (A không trùng với O và B), vẽ
đường tròn (O') đường kính AC. Đường tròn đi qua trung điểm M của đoạn thẳng AB và vuông góc
với AB cắt đường tròn (O) tại D và E. Gọi F là giao điểm thứ hai của CD với đường tròn (O'), K là

giao điểm thứ hai của CE với đường tròn (O'). Chứng minh:
a. Tứ giác ADBE là hình thoi.
b. AF // BD.
c. Ba điểm E, A, F thẳng hàng.
d. Bốn điểm M, F, C và E cùng thuộc một đường tròn.
e. Ba đường thẳng CM, DK, EF đồng quy.
Bài 4: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H bất kì ( H không trùng
O, B) ; trên đường thẳng vuông góc với OB tại H, lấy một điểm M ở ngoài đường tròn ; MA và
MB thứ tự cắt đường tròn (O) tại C và D. Gọi I là giao điểm của AD và BC.
1. Chứng minh MCID là tứ giác nội tiếp .
2. Chứng minh các đường thẳng AD, BC, MH đồng quy tại I.


Bài 5: Cho đường tròn (O; R) và (O’; R’) có R > R’ tiếp xúc ngoài nhau tại C. Gọi AC và BC
là hai đường kính đi qua điểm C của (O) và (O’). DE là dây cung của (O) vuông góc với AB
tại trung điểm M của AB. Gọi giao điểm thứ hai của DC với (O’) là F, BD cắt (O’) tại G.
Chứng minh rằng:
1. Tứ giác MDGC nội tiếp .
2. Bốn điểm M, D, B, F cùng nằm trên một đường tròn
3. Tứ giác ADBE là hình thoi.
4. B, E, F thẳng hàng
5. DF, EG, AB đồng quy.
6. MF = 1/2 DE.
7. MF là tiếp tuyến của (O’).
Bài 6: Cho hình vuông ABCD, phía trong hình vuông dựng cung một phần tư đường tròn tâm B, bán
kính AB và nửa đường tròn đường kính AB. Lấy 1 điểm P bất kỳ trên cung AC, vẽ PK  AD và PH 
AB. Nối PA, cắt nửa đường tròn đường kính AB tại I và PB cắt nửa đường tròn này tại M. Chứng minh
rằng:
a. I là trung điểm của AP.
b. Các đường PH, BI và AM đồng quy.

c. PM = PK = AH.
d. Tứ giác APMH là hình thang cân