THỐNG KÊ LƯỢNG TỬ VÀ ÁP DỤNG ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ


PHẠM THỊ HÀ



THỐNG KÊ LƢỢNG TỬ VÀ ÁP DỤNG ĐỂ GIẢI MỘT
SỐ BÀI TOÁN

Chuyên ngành: Vật lí lý thuyết

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC


Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
Th.S LÊ KHẮC QUYNH











H Ni, 2014

LỜI CẢM ƠN

Qua thời gian thực hiện đề tài tôi đã bƣớc đầu hiểu và làm quen với công
tác nghiên cứu khoa học, đã hiểu đƣợc một số vấn đề cơ bản của vật lý thống
kê và áp dụng giải đƣợc một số bài toán. Mặc dù đã rất cố gắng nhƣng chắc
rằng không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Tôi chân thành cảm ơn các
thầy cô và các bạn đọc về mọi ý kiến đóng góp để cuốn khóa luận ngày càng
hoàn thiện hơn.
Trong thời gian thực hiện đề tài tôi xin đƣợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc
đến các thầy cô trong khoa Vật lý và các bạn bè của tôi và đặc biệt là thầy
giáo Th.S Lê Khắc Quynh đã giúp đỡ tôi hoàn thành khóa luận này.
Tôi xin chân thành cảm ơn!


Hà Nội, tháng 5 năm 2014
Sinh viên

Phạm Thị Hà
LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận đƣợc hoàn thành với sự nỗ lực của bản thân và sự hƣớng dẫn
tận tình của Th.S LÊ KHẮC QUYNH
Khóa luận là kết quả nghiên cứu của tôi, không trùng với bất kì đề tài
nào khác. Tất cả các kết quả trình bày trong khóa luận là hoàn toàn trung
thực.
Tôi xin chịu trách nhiệm về kết quả nghiên cứu của mình.



Hà Nội, tháng 05 năm 2014

Sinh viên

Phạm Thị H
MỤC LỤC
Trang
LỜI CẢM ƠN
LỜI CAM ĐOAN
MỞ ĐẦU 1
1. Lý do chọn đề tài 1
2. Mục đích nghiên cứu 2
3. Đối tƣợng nghiên cứu 2
4. Phƣơng pháp nghiên cứu 2
5. Cấu trúc khóa luận 2
NỘI DUNG 3
CHƢƠNG 1:
CÁC THỐNG KÊ LƢỢNG TỬ 3
1.1. Áp dụng các phƣơng pháp thống kê vào hệ lƣợng tử 3
1.2. Phân bố chính tắc lƣợng tử 5
1.3. Thống kê Bose - Einstein 12
1.4. Thống kê Fecmi - Đirac 13
1.5. Thống kê Maxweell - Boltzmann 13
1.6. So sánh các phân bố Maxwell - Bonltzmann, Bose - Einstein và Fecmi
- Đirac. 14
CHƢƠNG 2
ÁP DỤNG THỐNG KÊ LƢỢNG TỬ NGHIÊN CỨU 17
HỆ LƢỢNG TỬ 17
2.1. Dao động tử lƣợng tử 17
2.1.1. Phổ năng lượng của dao động tử 17
2.1.2. Tổng trạng thái và nội năng của dao động tử 17
2.2. Hệ rotato lƣợng tử 19

2.2.1. Phổ năng lượng của rotato 19
2.2.2. Tổng trạng thái và nội năng của rotato 20
2.3. Nhiệt dung của các chất khí các nhiệt độ đặc trƣng 22
2.3.1. Nhiệt dung gắn với chuyển động tịnh tiến. 22
2.3.2. Nhiệt dung gắn với chuyển động quay: 23
2.4. Nhiệt dung của vật rắn 25
2.4.1. Nhiệt dung của vật rắn theo thuyết Einstein 25
2.4.2. Nhiệt dung của vật rắn theo thuyết Debye 26
2.5. Áp dụng thống kê Bose - Einsten để nghiên cứu hệ lƣợng tử 29
2.5.1. Nghiên cứu về pha ngưng tụ và sự ngưng tụ Bozơ 29
2.5.2 Một số tính chất khác của khí Bozơ 32
2.6. Lý thuyết bức xạ cân bằng xem nhƣ khí photon 33
2.7. Áp dụng thống kê Fecmi - Dirac để nghiên cứu hệ lƣợng tử 36
2.8. Khí electron và tính chất từ của nó 38
2.8.1. Khí electron 38
2.8.2. Tính chất từ của khí electron. 40
CHƢƠNG 3
ÁP DỤNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN 43
Dạng toán: Các thống kê lƣợng tử 43
Dạng toán: Tìm các hàm phân bố lƣợng tử 48
KẾT LUẬN 58
TÀI LIỆU THAM KHẢO 59

1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong những năm gần đây, việc nghiên cứu Vật lý vi mô nói chung và lý
thuyết trƣờng lƣợng tử nói riêng đã tạo nên cơ sở của thế giới quan vật lý để
lý giải bản chất của các hạt vi mô về mặt cấu trúc và tính chất của nó.
Cùng với sự phát triển của lịch sử loài ngƣời vật lý học cũng đã trải qua

nhiều giai đoạn phát triển và đạt đƣợc nhiều thành tựu quan trọng. Từ cơ học
cổ điển của Niuton đến thuyết trƣờng từ điện của Macxoen và Faraday, ngày
nay vật lý học hiện đại với khuynh hƣớng thâm nhập sâu vào cấu trúc vi mô
của vật chất ta thấy rằng ngoài các quy luật tìm thấy trong vật lý cổ điển ở đây
xuất hiện các quy luật mới là quy luật thống kê. Vật lý thống kê là một bộ
phận của vật lý hiện đại nó nghiên cứu các hệ nhiều hạt bằng phƣơng pháp
thống kê.
Khi khảo sát các hệ lƣợng tử cũng nhƣ khi khảo sát các hệ cổ điển ta cần
phải biết định luật phân bố xác suất của các trạng thái riêng rẽ. Để tìm các
định luật ngƣời ta đƣa ra các thống kê lƣợng tử.
Từ việc tìm hiểu các thống kê lƣợng tử ngƣời ta áp dụng chúng để
nghiên cứu tính chất của hệ lƣợng tử.
Trên cơ sở đó, tôi lựa chọn đề tài “ Thống kê lượng tử v áp dụng để
giải mt số bi toán” để nghiên cứu sâu hơn về tính chất của hệ nhiều hạt.

2
2. Mục đích nghiên cứu
- Các thống kê lƣợng tử.
- Tính chất của hệ lƣợng tử.
- Bài toán có liên quan.
3. Đối tƣợng nghiên cứu
- Các thống kê lƣợng tử theo phƣơng pháp Gipxo.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lý thuyết.
- Vật lý lý thuyết.
5. Cấu trúc khóa luận
NỘI DUNG
Chƣơng 1: Các thống kê lƣợng tử
Chƣơng 2 : Áp dụng thống kê lƣợng tử vào hệ lƣợng tử
Chƣơng 3. Áp dụng giải một số bài tập

3
NỘI DUNG
CHƢƠNG 1:
CÁC THỐNG KÊ LƢỢNG TỬ

1.1. Áp dụng các phƣơng pháp thống kê vào hệ lƣợng tử
Trƣớc khi nghiên cứu việc áp dụng các phƣơng pháp thống kê vào hệ
lƣợng tử ta xét xem: Các hệ lƣợng tử đƣợc mô tả nhƣ nào?
Để mô tả các đại lƣợng vật lý khác nhau và các mối liên hệ giữa chúng ,
trong cơ học lƣợng tử ngƣời ta dùng các toán tử tuyến tính tự liên hợp
ˆ
L
tác
dụng lên một hàm

nào đó gọi là hàm sóng. Toán tử biểu diễn một đại
lƣợng nhất định nào đó sẽ chỉ cho ta biết, tác dụng nào cần phải tiến hành trên
hàm sóng.
VD: Toán tử tọa độ

X
chỉ rõ hàm sóng đƣợc nhân một cách đơn giản với
tọa độ

Xx



Toán tử hình chiếu xung lƣợng

x
pi
x






chỉ rõ cần phải lấy vi
phân hàm sóng theo x.
Trong cơ học lƣợng tử toán tử

H
tƣơng ứng với năng lƣợng toàn phần
của hệ



 
2 2 2 2
2 2 2
2
H T U U x
m x y z

  
     


  



Trong cơ học lƣợng tử để diễn tả trạng thái của hệ vật lý ngƣời ta dùng
phƣơng trình Schrodinger :

iH
t








4
Đối với trạng thái dừng phƣơng trình Schrodinger đƣợc viết dƣới
dạng sau:

nn
HE



Mỗi giá trị riêng E
n
của năng lƣợng tƣơng ứng với một hay nhiều trạng

thái xác định của hệ, diễn tả bằng một hay nhiều hàm riêng. Nếu một mức
năng lƣợng tƣơng ứng với nhiều hàm riêng thì những mức năng lƣợng nhƣ
vậy gọi là suy biến, khi đó trạng thái ứng với năng lƣợng E đã cho gọi là độ
suy biến hay trọng thống kê g(E).
Hàm sóng diễn tả trạng thái của hệ có thể phụ thuộc hoặc chỉ vào các
tọa độ.
 
12
, , ,
N
q q q


hoặc chỉ phụ thuộc vào các xung lƣợng
 
12
, , ,
N
p p p


Nếu hàm sóng
 
12
, , ,
N
q q q

thỏa mãn phƣơng trình Schodinger thì
hàm sóng

 
21
, , ,
N
q q q

trong đó thứ tự các hạt đã thay đổi, cũng sẽ thỏa
mãn phƣơng trình đó, đặc tính đó phản ánh khi tọa độ riêng lẻ đổi chỗ cho
nhau ta cũng không thấy xuất hiện một hiện tƣợng nào mới. Tuy nhiên khi các
hạt hoán vị hai hạt thì đƣợc gọi là hàm đối xứng.
Tính đối xứng của hàm sóng của một hệ lƣợng tử phụ thuộc vào spin của
hạt cấu thành hệ đó. Nếu các hạt cấu thành hệ có spin nguyên thì trạng thái
của hệ đƣợc diễn tả bằng hàm sóng đối xứng.
Nếu hạt cấu thành hệ có spin bán nguyên thì trạng thái của hệ đƣợc diễn
tả bằng các hàm sóng phản đối xứng.
Tính đối xứng của hàm sóng xác định các trạng thái khả hữu của hệ, dẫn
tới hai loại thống kê lƣợng tử: Thống kê Fecmi - Dirac, thống kê Bose -
Einstein.

5
Các hạt có spin bán nguyên tuân theo nguyên lí Pauli, trong hệ không thể
có hai hạt nằm trong cùng một trạng thái lƣợng tử.
Nhiệm vụ của vật lý thống kê lƣợng tử là nghiên cứu các tính chất của
các hệ nhiều hạt mô tả bằng phƣơng pháp cơ học lƣợng tử.cũng nhƣ trong
trƣờng hợp vật lý thống kê cổ điển,trạng thái vi mô của hệ lƣợng tử thực tế
vẫn còn chƣa biết với chúng ta. Phƣơng trình Srodingo chỉ cho phép ta tìm
đƣợc phổ các trạng thái khả hữu của hệ. Còn chúng ta không thể trả lời câu
hỏi: ở thời điểm đã cho, hệ lƣợng tử nằm trong trạng thái nào?
Cũng nhƣ trong trƣờng hợp cổ điển, để trả lời câu hỏi đó ta phải xét một
tập hợp các trạng thái vi mô khác nhau tƣơng thích với những điều kiện bên

ngoài nhất định (tập hợp thống kê lƣợng tử). Sau đó, dựa vào các trạng thái
khả hữu đó của hệ và bằng phƣơng pháp thống kê, ta có thể xác định đƣợc
xác suất của trạng thái, và do đó, xác định đƣợc trị trung bình của các thông
số trạng thái của các thông số vi mô khác nhau của hệ. Nói khác đi, khi khảo
sát các hệ lƣợng tử cũng nhƣ khi khảo sát các hệ cổ điển ta cần phải biết định
luật phân bố xác suất của các trạng thái riêng lẻ.
Để tìm các định luật phân bố thống kê lƣợng tử, ngƣời ta có thể dùng
phƣơng pháp: phƣơng pháp Gipxo.
1.2. Phân bố chính tắc lƣợng tử
Phƣơng pháp Gipxo mà ta xét trong vật lý thống kê cổ điển về cơ bản
vẫn có thể áp dụng để nghiên cứu các hệ lƣợng tử, tuy nhiên, do đó các đặc
tính của hạt vi mô và của hệ lƣợng tử, nên khi áp dụng phƣơng pháp đó ta cần
có những thay đổi thích hợp. Lập luận giống nhƣ trong trƣờng hợp vật lý
thống kê cổ điển, ta tìm thấy rằng, đối với hệ đẳng nhiệt xác suất để hệ nằm ở
trạng thái có năng lƣợng E
k
là

exp
k
k
E
W








(1.1)

6
Đó là phân bố chính tắc lƣợng tử.
Ta nhắc lại rằng, trạng thái vi mô của hệ lƣợng tử đƣợc diễn tả bằng hàm
sóng 
k
thì trị trung bình của một đại lƣợng vật lý nào đó L (có toán tử tƣơng
ứng là L) đo đƣợc ở trạng thái vi mô 
k
là:

 
( ) ( )
kk
k
L q L q dq




(1)
Sự biến thiên trạng thái với thời gian đƣợc xác định bằng phƣơng trình
Srơđingơ:


iH
t







(2)
Nếu hệ nằm trong trạng thái dừng 
k
và E
k
từ phƣơng trình:


k k k
HE


(3)
Tƣơng tự nhƣ trong trƣờng hợp cổ điển, một trạng thái vĩ mô nhất định
của hệ lƣợng tử tƣơng ứng với một tập hợp các trạng thái vi mô 
k
và xác
suất để cho hệ cùng nằm trong một trạng thái vi mô 
k
nào đó sẽ bằng W
k
mà
ta phải tìm. Và cũng giống nhƣ trong trƣờng hợp cổ điển, tập hợp thống kê
lƣợng tử là tập hợp các hệ tƣợng tự nhau và ở trong các trạng thái vi mô khác
nhau. Vì vậy, một tập hợp thống kê lƣợng tử đƣợc mô tả bằng một tập các
hàm sóng 

k
và một tập hợp tƣơng ứng các xác suất W
k
của các trạng thái
diễn tả bằng các 
k
. Do đó, theo lý thuyết xác suất trị trung bình của đại
lƣợng L theo tập hợp thống kê lƣợng tử (trung bình pha lƣợng tử) đƣợc xác
định theo công thức

 
( ) ( )
k k k k
k
kk
L W L W q L q dq





(4)
Ta có thể viết công thức (4) dƣới dạng tƣơng tự nhƣ công thức tính trung
bình pha trong vật lý thống kê cổ điển, nếu ta đƣa vào các phần tử ma trận của
các toán tử. Khi đó ta có

7

( , ) ( , ) .
qq

L L q q q q dq dq

  


(5)
Ở đây là phần tử ma trận của toán tử

L
còn (q, q
’
) chính là ma trận mật
độ đƣợc định nghĩa nhƣ sau

( , ) ( ) ( )
k k k
k
q q W q q
  




(6)
Ma trận mật độ chính là phần tử ma trận của toán tử mật độ
ˆ

định
nghĩa nhƣ sau

*
ˆ
( ) ( , ) ( )
kk
k
q q q q dq
  
  



(7)
Trong trƣờng hợp tổng quát ma trận mật độ còn là hàm của thời gian, do
đó toán tử mật độ cũng phụ thuộc vào thời gian ta có

*
( , , ) W ( , ) ( , )
k k k
k
q q t q t q t
  
  


(8)
với 
k
(q,t) đƣợc xác định từ phƣơng trình (2)
Ta hãy tìm phƣơng trình để xác định
( , , )q q t



. Theo (2) ta có

( , )
ˆ
( , )
k
k
qt
i H q t
t







Hay là nếu đƣa các phần tử ma trận của toán tử
ˆ
H

Dó đó từ (8), (9) ta thấy rằng ma trận mật độ
( , , )q q t


thỏa mãn phƣơng
trình
 

**
( , )
( , )W ( , ) ( , ) W ( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , , ) ( , , ) ( , )
k
k k k k k k
k
qt
i H q q q t q t q t q t H q q dq
t
H q q q q t q q t H q q dq

   


      




      





*
( , ) ( , )H q q H q q



hay là

 
( , , )
( , ) ( , , ) ( , , ) ( , )
q q t i
H q q q q t q q t H q q dq
t




      






Ta có thể viết lại phƣơng trình đó dƣới dạng phƣơng trình toán tử
(9)
(10)

8
 
ˆ
ˆ
,H
t







Trong đó
 
ˆ
,H

là dấu móc Poatxông lƣợng tử.
Phƣơng trình (11) là tƣơng tự lƣợng tử của phƣơng trình chuyển động cổ
điển của tập hợp pha. Cũng giống nhƣ trong trƣờng hợp vật lý thống kê cổ
điển phƣơng trình (11) là cơ sở để nghiên cứu các quá trình không cân bằng
trong khuôn khổ của vật lý thống kê lƣợng tử.
Cũng nhƣ trong vật lý thống kê cổ điển ta thu đƣợc tập hợp thống kê
lƣợng tử cân bằng từ điều kiện
ˆ
0
t





Hay là theo (11), từ điều kiện
 
ˆ
,0H




Khi đó toán tử mật độ
ˆ

giao hoán với các toán tử
ˆ
H
và do đó ma trận
mật độ là tích phân chuyển động. Hơn nữa
ˆ

và
ˆ
H
có hàm riêng chung. Vì
vậy trong trƣờng hợp cân bằng thống kê ma trận mật độ có thể viết dƣới dạng
(6) trong đó
()
k
q

là hàm riêng của toán tử
ˆ
H
và đƣợc xác định từ phƣơng
trình (3). Bởi vì ma trận mật độ là tích phân chuyển động cho nên W
k
phải là
hàm của năng lƣợng E

k
. Tƣơng tự nhƣ trƣờng hợp thống kê cổ điển, đối với
hệ nằm tiếp xúc với hệ điều nhiệt (hệ đẳng nhiệt) ta có thể lựa chọn W
k

dƣới dạng
W exp .
k
k
E







nghĩa là ta tìm đƣợc (1.1)
Cần lƣu ý rằng phân bố (1.1) đƣợc viết đối với hệ có các mức năng
lƣợng hoàn toàn không suy biến. Còn nếu có xảy ra sự suy biến nghĩa là cùng
một mức năng lƣợng ứng với nhiều hàm 
k
khác nhau, tức là nhiều trạng thái
vật lý khác nhau, thì hiển nhiên là ta phải viết W
k
dƣới dạng.
(11)

9

exp
k
kk
E
Wg







(1.2)
trong đó g
k
là độ suy biến
Tƣơng tự nhƣ trong trƣờng hợp cổ điển, nếu hệ lƣợng tử gồm N hạt
không tƣơng tác thì từ phân bố chính tắc lƣợng tử ta suy ra phân bố Maxweell
– Boltzmann lƣợng tử. Cụ thể là với lập luận hoàn toàn giống nhƣ trong
trƣờng hợp cổ điển ta sẽ tìm đƣợc: Xác suất để một hạt bất kì của hệ nằm trên
mức năng lƣợng
i

là
exp
i
i
kT
W
Z








Với hằng số Z đƣợc suy từ điều kiện chuẩn hóa
W1
i
i


và có dạng

0
exp
i
i
Z
kT








(1.3)

Đây là trƣờng hợp mức năng lƣợng E
i
không bị suy biến. Trong trƣờng
hợp tổng quát, nếu gọi
()
i
g

là độ suy biến của mức
i

thì xác suất để một
hạt bất kì của hệ hạt không tƣơng tác nằm trên mức năng lƣợng
i

sẽ bằng
exp
W ( )
i
ii
kT
g
Z








Đây là công thức của thống kê Maxweell – Boltzmann lƣợng tử.
Khảo sát hệ các hạt không tƣơng tác. Gọi 
l
và n
l
là năng lƣợng một hạt
và số hạt có cùng năng lƣợng ở trạng thái l. Ta có:

0
k l l
l
E n e




(1.4)
Độ suy biến g
k
sẽ đƣợc tìm bằng cách tìm số các trạng thái khác nhau về
phƣơng diện vật lí ứng với cùng một giá trị năng lƣợng E
k
, đó chính là số các

10
hoán vị của các hạt tƣơng ứng với các trạng thái mới. Bởi vì, số hạt trong hệ
không phải là bất biến, cho nên, tƣơng tự nhƣ trong thống kê cổ điển, thay thế
cho phân bố chính tắc lƣợng tử ta phải dùng phân bố chính tắc lớn lƣợng tử.
Phân bố chính tắc lớn lƣợng tử có dạng:

 
1
0
1
W , exp
!
o l l k
l
n n N n g
N




   



(1.5)
trong đó
0
l
l
Nn






là thế nhiệt động lớn,

là thế hóa học. Sở dĩ thừa số 1/N! xuất hiện trong
công thức đó là vì có kể đến tính đồng nhất của các hạt và tính không khác
biệt của các trạng thái mà ta thu đƣợc hoán vị các hạt.
Kí hiệu
 
1
,
!
k
o
g
G n n
N

(1.6)
Ta có thể lại viết biểu thức (1.5) dƣới dạng.

 
 
 
0
11
W , exp ,
ll
l
oo
n

n n G n n





  








(1.7)
Từ (1.7) ta rút ra nhận xét:
Thứ nhất vế phải của công thức (1.7) có thể coi là hàm của các n
l
nên ta
có thể đoán nhận công thức đó nhƣ là xác suất để cho có n
o
hạt nằm trên mức
l

, nghĩa là đó là xác suất các số chứa đầy.
Thứ hai là sở dĩ đại lƣợng
 
1
,

o
G n n
xuất hiện là vì ta kể đến khả năng
xuất hiện các trạng thái vật lý mới khi hoán vị các hạt. Đối với hệ các Bozon
và các hạt Fecmion thì các phép hoán vị đều không đƣa đến các trạng thái vật
lý mới, khi đó hàm sóng của hệ sẽ chỉ hoặc không đổi dấu, hoặc đổi dấu nghĩa

11
là diễn tả một trạng thái lƣợng tử. Do đó, đối với hệ các hạt Bozon và
Fecmion ta có

 
1
, 1
o
G n n 
(1.8)
Đối với thống kê Maxweell - Boltzmann, khi mà các hạt là khác biệt
nhau về phƣơng diện hoán vị tọa độ, ta có:

 
1
1
1
,
! !
o
o
G n n
nn


(1.9)
Khi đó ta tìm đƣợc g
k
với lập luận nhƣ sau. Trong thống kê Maxwell –
Boltzmann tất cả các phép hoán vị khả dĩ của các tọa độ của các hạt đều sẽ
cho các trạng thái mới, trừ các phép hoán vị của các tọa độ các hạt có cùng
một năng lƣợng
1

. Do đó, số tổng cộng các trạng thái khác nhau về phƣơng
diện vật lí:
01
!
! !
k
N
g
nn


Để tính trị trung bình của các số chứa đầy ta gắn cho đại lƣợng µ trong
(1.7) chỉ số l, nghĩa là ta sẽ coi rằng hệ ta xét hình nhƣ không phải chỉ có một
thế hóa học µ mà có cả một tập hợp các thế hóa học µ
l
bằng nhau và bằng µ.
Điều kiện chuẩn hóa đƣợc viết nhƣ sau

 
01

01
W , exp 1,
nn
n n Z







(1.10)
trong đó

 
 
01
0
01
exp , ,
l l l
l
nn
n
Z G n n
















(1.11)
nghĩa là

lnZ

  
(1.12)

12
Ta xét đạo hàm của Ω theo µ
k

 
 
01
0
01
1
exp ,
ll

l
k
nn
kk
Z
n G n n
Z


  



  

 

    







(1.13)
Nếu ta đặt
k



thì theo (1.7), vế phải của công thức (1.13) có ý nghĩa
là giá trị trung bình của số chứa đầy n
k
, ta đƣợc:

k
k
k
n




  

(1.14)
Bây giờ ta sẽ tìm các công thức của thống kê lƣợng tử.
1.3. Thống kê Bose - Einstein
Đối với hệ hạt Bôzôn, số hạt trên các mức có thể có trị số bất kỳ và
0
( , ) 1
l
G n n 
, cho nên theo (1.11) ta có:
 
0
0
00
0
exp

1
exp
1 exp
l
l l l
l
nn
ll
ll
n
ll
n
Z
n






















  

   













Từ đó:

0
ln 1 exp
ll
l






  

  





(1.15)
Theo (1.15) ta tìm đƣợc phân bố của các số chứa đầy trung bình

1
exp 1
l
l
n








(1.16)

13
Đây là công thức của thống kê Bose - Einstein. Thế hóa học


trong
phân bố (1.16) đƣợc xác định từ:

0
l
l
nN




(1.17)
1.4. Thống kê Fecmi - Đirac
Đối với hệ hạt Fecmion, theo nguyên lí Pauli n
1
≤ 1và
 
01
, 1G n n 

Theo (1.11) ta có
 
0
1
0
0
10
exp exp
l

l l l
l l l
l
n l n n
n
Zn







  



  


  
   







 

0
1 exp
ll
l




  

  




(1.18)
từ đó
ln 1 exp
ll
l




  

   






(1.19)
Dựa vào (1.14) ta tìm đƣợc công thức của thống kê Fecmi- Đirac

1
exp 1
l
l
n








(1.20)
trong đó thế hóa học µ đƣợc xác định từ điều kiện (1.14)
1.5. Thống kê Maxweell - Boltzmann
Các số chứa đầy có thể có trị số bất kì và
 
01
, G n n
đƣợc tính theo công
thức (1.9). Theo (1.11) ta có
 

0
01
exp
! !
ol
l l l
l
nn
n
Z
nn

















14

0
0
exp
!
!
ll
l
n
n
n
n





  









0
exp exp
ll
l





  






(1.21)
Từ đó
0
ln exp
ll
i
Z







    



(1.22)

Ta tìm đƣợc công thức của thống kê Maxwell - Boltzmann:

exp
ll
l
n







(1.23)
1.6. So sánh các phân bố Maxwell - Bonltzmann, Bose - Einstein và Fecmi
- Đirac.
- Thống kê Maxwell - Bonltzmann

   
exp
M
fg
kT








hay
   
exp
M
kT
fg
Z







(1.24)
với
 
1
exp
i
i
Zg
kT










(1.25)
- Thống kê Bose - Einstein

 
 
exp 1
B
g
f
kT









(1.26) (1.26)
- Thống kê Fecmi - Đirac

 
 
exp 1
F
g

f
kT









(1.27)

15
Ở đây g
 

là trọng số thống kê hay độ suy biến của các trạng thái
lƣợng tử có năng lƣợng khác nhau. Tuy nhiên, từ các công thức kể trên, ta
thấy rằng: khi thỏa mãn điều kiện

exp 1
kT






hay

kT

 
(1.28)
hay
exp 1
kT







thì thống kê Bose - Einstein, Fecmi - Đirac chuyển thành thống kê Maxweell -
Boltzman, nghĩa là ta có thể coi thống kê Maxweell - Boltzmann nhƣ là
trƣờng hợp giới hạn của hai thống kê lƣợng tử đó.
Khi tìm hàm phân bố Maxweell - Boltzmann ta đã giả thiết là các hạt
khác nhau về phƣơng diện hoán vị tọa độ. Vì vậy, trong trƣờng hợp tổng quát,
sự phân bố theo các mức năng lƣợng (1.24) không thể áp dụng cho hạt thực,
bởi vì sự thực là các hạt không khác biệt nhau. Tuy nhiên có tồn tại một loạt
các hệ lƣợng tử mà ta gọi là hệ lƣợng tử định xứ. Đối với hệ nhƣ vậy nguyên
lí về tính không thể phân biệt của các hạt vi mô xem nhƣ không có hiệu lực,
nghĩa là trong các hệ định xứ, đòi hỏi về tính đối xứng của hàm sóng không
làm giảm số các trạng thái vi mô khả hữu. Thí dụ, hệ các dao động tử điều
hòa là một hệ định xứ, hay mạng tinh thể của vật rắn cũng là hệ định xứ.
Khi đó, với các đối tƣợng lƣợng tử xem nhƣ hệ định xứ ta vẫn có thể áp dụng
phân bố Maxweell - Boltzmann đối với các mức năng lƣợng rời rạc.
Còn trong các trƣờng hợp khác ta phải vận dụng phân bố Bose -
Einstein, hay phân bố Fecmi - Đirac.

Cả 3 phân bố này trùng nhau chỉ trong trƣờng hợp khi mà điều kiện
(1.28) đƣợc thực hiện hay

3/2
2
2
1
V mkT
Nh





(1.29)

16
Trong trƣờng hợp đó thể tích của không gian pha.
3
3
1
N
N
ii
i
V
p q p
N



   



Nếu bất đẳng thức (1.29) đƣợc thực hiện thì đối với một hệ lƣợng tử bất
kì, ta có thể vận dụng phân bố Maxweell - Boltzmann. Còn trong trƣờng hợp
ngƣợc lại thì có thể tự xảy ra suy biến và ta không thể áp dụng phân bố
Maxweell - Boltzmann. Điều kiện (1.29) đƣợc gọi là tiêu chuẩn suy biến.

17
CHƢƠNG 2
ÁP DỤNG THỐNG KÊ LƢỢNG TỬ NGHIÊN CỨU
HỆ LƢỢNG TỬ
2.1. Dao động tử lƣợng tử
2.1.1. Phổ năng lượng của dao động tử
Năng lƣợng của dao động tử điều hòa tuyến tính với tần số

chỉ có thể
lấy các trị số:

1
()
2
n
E h n


trong đó n= 0,1,2,3………
Năng lƣợng của dao động tử điều hòa chỉ có thể lấy các trị số gián đoạn
xác định. Hiệu giữa các mức năng lƣợng là hằng số:

Eh



Ta chú ý tới mức “ không” của năng lƣợng
2
o
h
E


, đó cũng là hệ quả
của cách khảo sát lƣợng tử. Năng lƣợng “không” tƣơng ứng với các dao động
“không” mà ta không thể trừ bỏ đƣợc bằng cách hạ nhiệt độ. Nói cách khác
đi, do có xuất hiện năng lƣợng “không” nên dao động tử trong cơ học lƣợng
tử không thể ở trạng thái nghỉ. Năng lƣợng “không” của dao động đã quan
sát đƣợc khi cho ánh sáng tán xạ trên tinh thể nằm ở nhiệt độ gần tuyệt đối. Ở
nhiệt độ không tuyệt đối phần lớn các hệ nằm ở mức năng lƣợng thấp nhất,
nhƣng khi đó các nguyên tử lại thực hiện dao động.
2.1.2. Tổng trạng thái và nội năng của dao động tử
Ta xét với một dao động tử của hệ, dao động tử có thể nằm trong các
trạng thái không suy biến khác nhau với số lƣợng tử n bất kì.
Tổng trạng thái với dao động tử là:

18
00
exp exp exp
n
dd
nn

E h h
Zn
kT kT kT




     
   
     
     


Vế phải của biểu thức trên có chứa một cấp số nhân vô hạn giảm dần
mẫu số là
exp
h
q
kT





và số hạng đầu tiên là a = 1.Theo công thức của
tổng cấp số nhân lùi vô hạn giảm dần
1
a
S
q



ta đƣợc:
exp
2
1 exp
h
kT
Z
h
kT












hay
exp
2
exp 1
h
kT
Z

h
kT











Năng lƣợng trung bình của dao động tử là:
2
1
exp
exp
n
n
nl
n
nl
Z
E
E
kT Z
kT
kT
E

E
Z Z T
kT















   








2
exp 1
hh

E
h
kT








Chú ý rằng:
Ở các nhiệt độ thấp (T

0) năng lƣợng trung bình cũng sẽ dần tới bằng
2
h

.

19
Ở các nhiệt độ cao năng lƣợng trung bình của dao động tử có “trị số cổ
điển” kT. Nhiệt dung C
V
ứng với một dao động tử đƣợc xác định theo công
thức:
2
2
exp 1
h

kT
V
V
E e h
Ck
T kT
h
kT




















Trong trƣờng hợp T


0 nhiệt dung cũng sẽ dẫn tới bằng không, còn đối
với các nhiệt độ cao nó bằng “trị số cổ điển”.
Đối với dao động tử ba chiều năng lƣợng là hàm cộng tính và gồm các
năng lƣợng của 3 dao động độc lập theo 3 bậc tự do:
1 1 2 2 3 3
1 1 1
2 2 2
E h n h n h n
  
     
     
     
     

Nếu một hệ gồm N dao động tử tuyến tính độc lập dao động cùng với
một tần số

thì năng lƣợng trung bình và nhiệt dung của hệ đó sẽ N lần lớn
hơn là năng lƣợng trung bình và nhiệt dung ứng với một dao động tử.
Đối với một dao động tử biết tổng trạng thái Z
dđ
ta có thể tìm đƣợc các
hàm nhiệt động của một hệ N dao động tử không tƣơng tác. Năng lƣợng trung
bình của một hệ N dao động tử sẽ là nội năng của hệ.
Nội năng
()
2
exp 1
hh
U N E N

h
kT


  




.
2.2. Hệ rotato lƣợng tử
2.2.1. Phổ năng lượng của rotato
Rotato là một chất điểm quay theo đƣờng tròn, trong vật lý cổ điển năng
lƣợng quay của chất điểm đó có dạng:
2 2 2 2
2 2 2 2
q
mv mr I M
E
I

   


20
Mặt khác
2
2
2
( 1)

4
M l l




Trong đó l là số lƣợng tử quỹ đạo có các trị số là số nguyên bất kì 0,
1,2… Các trị số đó của bình phƣơng momen động lƣợng xác định phổ năng
lƣợng rời rạc của rotato
2
2
( 1)
8
l
h l l
E
I




Nhƣ vậy trong cơ học lƣợng tử một hạt quay cũng chỉ có thể nằm trong
các trạng thái có năng lƣợng xác định. Trạng thái của rotato lƣợng tử có năng
lƣợng E
l
tƣơng ứng với 2l+1 hàm sóng. Khoảng cách giữa các mức năng
lƣợng đối với rotato tăng lên khi số l tăng lên
2
,1
2

4
ll
h
Fl
I




2.2.2. Tổng trạng thái và nội năng của rotato
Năng lƣợng ứng với trạng thái l của Rotato bằng

2
2
( 1)
8
l
h
E l l
I



Vì một trạng thái bất kì của Rotato bị suy biến (2l+1) lần, nên theo
công thức
0
exp ( )
i
i
i

Zg
kT










nên tổng trạng thái của Rotato bằng

   
2
2
0
( 1)
2 1 exp 2 1 exp
8
l
q
l o l
E h l l
Z l l
kT IkT







     





(2.1)
Trƣờng hợp 1: Đối với nhiệt độ thấp và với các momen quán tính I nhỏ
Tổng trạng thái của Rotato thu về 2 số hạng