tiểu luận nguyên lý galile và vận dụng để giải một số bài tập vật lý đại cương

Đề tài: Nguyên lí tương đối Galilê và vận dụng giải một số bài tập vật lí
đại cương.
MỤC LỤC
Trang
A. MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
2. Nội dung nghiên cứu
3. Mục đích nghiên cứu
4. Phương pháp nghiên cứu
5. Giới hạn nghiên cứu
B. NỘI DUNG
1. Nguyên lí tương đối Galilê
1.1. Hệ quy chiếu quán tính
1.2. Phép biến đổi Galilê và công thức Lorentz về phép biến đổi tọa độ….
1.2.1. Phép biến đổi Galilê ………………………………………………
1.2.2. Công thức Lorentz về phép biến đổi tọa độ………………………
1.3. Nguyên lí tương đối Galilê
1.4. Bài tập về phép biến đổi Galilê
Bài tập 1
Bài tập 2
Bài tập 3
Bài tập 4
Bài tập 5
1.5. Chuyển động của chất điểm trong hệ quy chiếu không quán tính
1.5.1. Hệ quy chiếu không quán tính trong chuyển động thẳng biến đổi
đều………………………………………………………………………
1.5.2. Bài tập về lực quán tính trong chuyển động thẳng biến đổi đều…
Bài tập 1
Bài tập 2
Bài tập 3
-1-

Đề tài: Nguyên lí tương đối Galilê và vận dụng giải một số bài tập vật lí
đại cương.
Bài tập 4
Bài tập 5
1.6. Chuyển động của chất điểm trong hệ quy chiếu quán tính quay……
1.6.1. Hệ quy chiếu không quán tính quay……………………………….
1.6.2. Bài tập về lực quán tính quay……………………………………….
Bài tập 1
Bài tập 2
Bài tập 3
Bài tập 4
Bài tập 5
1.7. Một số bài tập theo dạng tổng quát…………………………………
1.7.1. Công thức cộng vận tốc trong chuyển động thẳng cùng phương….
1.7.2. Công thức cộng vận tốc trong chuyển động thẳng đều có phương
vuông góc…………………………………………………………………
1.7.3. Bài tập về chuyển động thẳng đều và ném xiên vận dụng công thức
cộng vận tốc trên một phương…………………………………………
1.7.4. Các bài tập chuyển động thẳng đều khác phương………………
1.7.5. Các bài toán về chuyển động tròn…………………………………
C. KẾT LUẬN………………………………………………………….
D. TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………
-2-
ti: Nguyờn lớ tng i Galilờ v vn dng gii mt s bi tp vt lớ
i cng.
A. M U
1. Lớ do chn ti
Hiểu sâu sắc một hiện tợng vật lí mới có thể diễn giải và truyền đạt
một cách chính xác bản chất hiện tợng đó. Trong tự nhiên các hiện tợng vật
lí có thể chia ra làm hai nhóm đối tợng chính: các hiện tợng xảy ra trong hệ

quy chiếu quán tính và các hiện tợng xảy ra trong hệ quy chiếu không quán
tính. Tại sao ánh sáng có thể lan truyền trong vũ trụ (chân không), tại sao
khi vật chuyển động nhanh thì không gian co lại thời gian trụi chm hn và
bao nhiêu câu hỏi nh vậy chỉ có thể lí giải khi thuyết tơng đối ra đời. Hàng
ngày nhiều hiện tợng về lực quán tính xảy ra quanh ta, để lí giải các hiện t-
ợng đó học sinh phải hiểu đúng bản chất của hiện tợng.
Do đó trong quá trình giải bài tập vật lí cần lựa chọn cách giải phù
hợp.
Vì vậy việc sử dụng kiến thức về thuyết tơng đối vào giải một số bài
tập Vật lí đại cơng sẽ giúp chúng ta có cách nhìn mới về hiện tợng vật lí và
sẽ có đợc u điểm so với cách giải khác. Đó chính là lí do vì sao em chọn đề
tài: Nguyờn lớ tơng đối Galilờ v vn dng gii một số bài tập vật lí đại c-
ơng.
2. Mc tiờu nghiờn cu
Cn c cỏc ni dung núi trờn, tụi trỡnh by mt cỏch túm tt nht v
lý thuyt. c bit phn vn dng gii bi tp, s cú vai trũ quan trng i
vi tụi v cỏc bn sinh viờn ang hc nghnh s phm vt lớ, t ú giỳp
nhng giỏo viờn tng lai dy tt phn lớ thuyt tng i ny. ng thi
lm c iu trờn, chỳng ta s vn dng mt cỏch linh hot v gii bi
tp hn. Chn nhng phng phỏp gii nhanh, gn v d hiu nht cho hc
sinh.
3. i tng nghiờn cu
Với mục đích trên bi tiu lun cần nghiên cứu các vấn đề sau:
Trình bày tóm tắt lí thuyết về nguyên lí tơng đối Galilê: hệ quy chiếu
quán tính, phép biến đổi Galilê, nội dung nguyên lí tơng đối Galilê, khái
niêm về lực quán tính.
+ Giải một số bài tập về phép biến đổi Galilê.
-3-
ti: Nguyờn lớ tng i Galilờ v vn dng gii mt s bi tp vt lớ
i cng.

+ Nêu lí thuyết về lực quán tính và tính chất của chúng trong các hệ
quy chiếu không quán tính.
+ Giải một số bài tập về lực quán tính.
4. Phng phỏp nghiờn cu
Bi tiu lun ó vn dng nhng phng phỏp nghiờn cu sau: so
sỏnh, chng minh, phõn tớch, thng kờ, i tỡm v c ti liu liờn quan
lm sỏng t ti nghiờn cu trờn.
5. Gii hn nghiờn cu
Lớ thuyt phn nhng khỏi nim v nh lut c bn ca c hc cht
im m õy xoỏy sõu: vo nguyờn lớ tng i Galilờ v chuyn ng
tng i ca cht im trong h quy chiu quỏn tớnh v khụng quỏn tớnh.
T ú vn dng vo gii mt s bi tp vt lớ i cng trong h quy chiu
quỏn tớnh v h quy chiu khụng quỏn tớnh.
6. Thi gian nghiờn cu
Qua vic tip cn, bt u hc v nghiờn cu mụn c hc lý thuyt
t u nm hc. V c s cho phộp ca cụ giỏo b mụn, em bt u i
tỡm ti liu liờn quan n lý thuyt tng i Galilờ v vn dng gii mt
s bi tp. T ú giỳp em hiu chuyờn mụn sõu hn v mụn c hc lý
thuyt phn nguyờn lý tng i Galilờ.
B. NI DUNG
1. Nguyờn lớ tng i Galilờ
Từ khi định luật Newton ra đời các chuyển động cơ học đều tuân
theo định luật này. Tuy nhiên trong quá trình khảo sát các chuyển động ngời
ta pháp hiện ra một số hiện tợng vi phạm định luật Newton. Đó là các
chuyển động diễn ra trong hệ quy chiếu không quán tính. Để giải thích cấc
-4-
ti: Nguyờn lớ tng i Galilờ v vn dng gii mt s bi tp vt lớ
i cng.
hiện tợng đó sau nhiều thời gian nghiên cứu Galilờ đã đa ra thuyết đối
Galilờ. Trong thuyết này thời gian là tuyệt đố còn không gian là tơng đối và

để giả thích các hiện tựơng nêu trên Galilờ đa ra khái niệm lực quán tính.
Lực quán tính xuất hiện trong hệ quy chiếu chuyển động có gia tốc đối với
hệ quy chiếu quán tính. Với sự ra đời khái niệm lực quán tính các quy luật
chuyển động đợc giải thích một cách rõ ràng hơn. Để nghiên cứu thuyết t-
ơng i Galilờ ta cần đề cập tới các vấn đề sau:
1.1. Hệ quy chiếu quán tính
Hệ quy chiếu là một hệ tọa độ dựa vào đó vị trí của mọi điểm trên vật
thể và vị trí của vật thể khác đợc xác định đồng thời có một đồng hồ đo để
xác định thời điểm của sự kiện.
Quan sát định luật chuyển động của các chất điểm sẽ khác nhau
trong những hệ quy chiếu khác nhau. Tuy nhiên tồn tại hệ quy chiếu mà
trong đó chất điểm cô lập hoặc đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều từ
một vị trí ban đầu bất kì, từ một hớng bất kì của véctơ vận tốc. Hệ quy
chiếu nh vậy đợc gọi là hệ quy chiếu quán tính (hệ quy chiếu bảo toàn trạng
thái chuyển động của vật).
Nh vậy trong hệ quy chiếu quán tính chất điểm cô lập giữ nguyên
trạng thái đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều. Từ những nghiên cứu đó
Galilê đã đa ra thuyết tơng đối gồm các điểm sau:
Trong hệ quy chiếu quán tính thời gian nh nhau hay thời gian là tuyệt
đối: t = t.
Vị trí của một điểm M nào đó phụ thuộc hệ quy chiếu.
Ví dụ: Có hai hệ quy chiếu O, O (hệ O chuyển động với vận tốc V so với
hệ O). Trong hệ O điểm M có toạ độ là x. Trong hệ O toạ độ của điểm M
là: x = x + OO = x + V.t
Vậy vị trí trong không gian là tơng đối.
Khoảng (khỏang cách) có tính
tuyệt đối không phụ thuộc hệ quy
chiếu.
Thật vậy: Lấy hai điểm cố định
trên O. Độ dài L trong O đợc xác

định:
L = x
B
- x
A
-5-
ti: Nguyờn lớ tng i Galilờ v vn dng gii mt s bi tp vt lớ
i cng.
Lại có: x
A
= x
A
+V.t
x
B
= x
B
+ V.t
Nên độ dài L trong hệ O sẽ là:
L = x
A
x
B
= x
A
x
B
= L
Thuyết tơng đối Galilê khẳng định không gian chuyển động là tơng đối,
thời gian là tuyệt đối. Một vật đứng yên trong hệ này nhng có thể chuyển

động thẳng đều đối với hệ kia.
1.2. Phộp bin i Galilờ v cụng thc Lorentz v phộp bin i ta
1.2.1. Phộp bin i Galilờ
Để khảo sát chuyển động của một vật ta cần đa ra một hệ toạ độ
trong đó phơng trình biểu diễn sự phụ thuộc các thành phần của toạ độ vào
thời gian gọi là phơng trình
chuyển động. Trên một chuyển
động ta có thể chọn nhiều hệ toạ
độ khác nhau, nhng trong cách
chọn hệ toạ độ nh thế nào các
phép đo vật lí phải tuân theo
thuyết tơng đối Galilê. Các toạ độ
trong các hệ quy chiếu khác nhau
cùng mô tả một chuyển động có
thể biến đổi cho nhau. Phép biến
đổi đó đợc gọi là phép biến đổi
Galilê.
Để minh hoạ, ta xét hai hệ
quy chiếu K và K, trong đó K chuyển động thẳng đều với vận tốc v so với
K. Hệ K gắn vào hệ toạ độ Đêcác vuông góc Oxyz, hệ K gắn vào hệ toạ độ
Đềcác vuông góc Oxyz sao cho trục Ox trùng với trục Ox và trùng với
véctơ vận tốc V, Oy song song với Oy, Oz song song với Oz.
Với cách chọn nh vậy, hai hê quy chiếu K, K đợc gọi là hai hệ quy
chiếu quán tính với nhau, hay là hai hệ quy chiếu quán tính với nhau khi
chúng chuyển động thẳng đều với nhau. Tại thời điểm ban đầu hai hệ
hoàn toàn trùng nhau, sau đó K chuyển động dọc chiều dơng của trục Ox
với vận tốc V (hình1.2), từ đó ta có:
a) Phép biến đổi toạ độ của hệ quy chiếu
-6-
ti: Nguyờn lớ tng i Galilờ v vn dng gii mt s bi tp vt lớ

i cng.
Thong hệ K và K toạ độ của chất điểm lần lợt là: M(x,y,z) và
M(x,y,z), ta có phép biến đổi toạ độ là:
x(t) = x(t) + V.
y(t) = y(t) (1.2.1)
z(t) = z(t)
t = t
Ba phơng trình trên cũng là mối quan hệ giữa phơng trình chuyển động
trong hệ K và hệ K.
b) Phép biến đổi vận tốc
Đạo hàm theo thời gian hệ phơng trình (1.2.1) ta đuợc phơng trình cộng vận
tốc:
v
x
(t) = v
x
(t) + V
v
y
(t) = v
y
(t) (1.2.2)
v
z
(t) = v
z
(t)
Nếu biểu diễn theo véctơ vận tốc, ta có công thức cộng vận tốc:

Vvv

+= '
c) Công thức cộng gia tốc
Đạo hàm theo thời gian (1.2.2) ta đợc:
a
y
= a
y
a
y
= a
y
(1.2.3)

a
z
= a
z
Nh vậy gia tốc trong hai hệ quy chiếu quán tính đợc bảo toàn.
Nếu K và K là hai hệ quy chiếu quán tính với nhau thì gia tốc của
một chất điểm trong hai hệ quy chiếu là nh nhau, hay nói cách khác tính
quán tính trong hai hệ quy chiếu quán tính đợc bảo toàn.
1.2.2. Cụng thc Lorentz v phộp bin i ta
Theo thuyt tng i Einstein thỡ hai ng h l khụng ng b khi
t trong hai h quỏn tớnh khỏc nhau. Vy trong cụng thc bin i Galileo
khụng th chp nhn h thc t=t núi cỏch khỏc, phng trỡnh liờn h tng
i phi cú cụng thc liờn quan v thi gian v khụng gian trong hai h S
v S.
V thi gian, gi s S chuyn ng theo chiu dng OX vi vn

tc u so vi S thỡ di on x trong h S s bin thnh:
2
'. 1x


xột
-7-
Đề tài: Nguyên lí tương đối Galilê và vận dụng giải một số bài tập vật lí
đại cương.
trong hệ S. Ngoài ra theo thời gian t hệ S’ đi ra xa hệ S một đoạn x
0
= ut.
Vậy ta có công thức liên hệ x và x’ là:

2 2
0
'. 1 '. 1x x x ut x
β β
= + − = + −
Hay viết lại là:
2
'
1
x ut
x
β
−
=
−
(1.2.4)

Theo các trục OY, OZ thì độ dài theo phương vuông góc với phương
chuyển động là không đổi vậy ta có :
y = y’ ; z=z’ (1.2.5)
Ðể tìm công thức biến đổi về thời gian ta xét một bóng đèn lúc t=0
bắt đầu phát sáng tại vị trí hệ S trùng với hệ S. Trong hệ S ánh sáng phát ra
theo sóng cầu với vận tốc c, sau thời gian t bán kính của hình cầu tương
ứng là ct cho nên ta có :
( )
.
2
222
ctzyx =++
Tương tự trong hệ
S
′
phương trình của hình cầu tương ứng (theo
nguyên lý một của Einstein) cũng được viết bởi:

( )
2
222
tczyx
′
=
′
+
′
+
′
.

Thay (1.2.4) và (1.2.5) vào hai phương trình trên ta suy ra:

( ) ( )
2
2
2
2
tcxctx
′
−
′
=−
.
Hay là:
.
2
2222
2
c
tcxx
t
+−
′
=
′
Thay vào biểu thức (1.1.4) vào ta lại có:

2
2
1

β
−
−
=
′
c
ux
t
t
. (1.2.6)
Trong phép biến đổi về thời gian, nếu u là nhỏ hơn nhiều so với c thì
β
sẽ tiến về 0 và t= t
’
ta trở lại phép biến đổi Galilê.
Tóm lại phép biến đổi Lorentz từ hệ quán tính S sang hệ S’ gồm các
phương trình sau:
-8-
ti: Nguyờn lớ tng i Galilờ v vn dng gii mt s bi tp vt lớ
i cng.
2
'
1
x ut
x


=

.

'y y=
'z z
2
2
'
1
ux
t
c
t


=

.
Chỳng ta cú cỏc cụng thc bin i ngc nh sau:
2
' '
1
x ut
x

+
=

(1.2.7)
'y y=
(1.2.8)
'z z
(1.2.9)

2
2
'
'
1
ux
t
c
t

+
=

. (1.2.10)
Chớnh nh vic ng dng phộp bin i ú gii thớch cỏc hin
tng vt lý nguyờn t, Hendrik antoon Lorentz nhn gii thng Nobel v
vt lý nm 1902.
1.3. Nguyên lí tơng đối Galilê
Từ sự nghiên cứu khảo sát chuyển động cơ học trong các hệ quy
chiếu quán tính, Galilê đã đa ra một nguyên lí, sau này gọi là nguyên lí t-
ơng đối tơng đối Galilê.
Nội dung nguyên lí: Tất cả các định luật cơ học đều giống nhau
trong mọi hệ quy chiếu quán tính.
Về mặt toán học có nghĩa là: Những phơng trình mô tả các định luật
cơ học cổ điển sẽ không đổi dạng đối với phép biến đổi của toạ độ và thời
gian khi chuyển từ hệ quy chiếu quán tính này sang hệ quy chiếu quán tính
khác theo công thức biến đổi Galilê.
-9-
ti: Nguyờn lớ tng i Galilờ v vn dng gii mt s bi tp vt lớ
i cng.

Nguyên lí tơng đối Galilê có vai trò rất quan trọng trong việc nghiên
cứu cơ học cổ điển. Trong môn học này phơng trình cơ bản của động lực
học đợc biểu diễn bằng định luật II của Newton:

dt
vmd
F
)(


=
Trong đó: m là khối lợng của vật và là đại lợng bất biến

F

là tổng hợp lực tác dụng lên vật
Lực tác dụng lên vật đợc chia làm ba loại sau
Lực phụ thuộc khoảng cách không gian: lực đàn hồi, lực hấp dẫn, lực
tĩnh điện.
Lực phụ thuộc vận tốc tờng đối: lực ma sát, lực cản của không khí, lực
nhớt.
Lực phụ thuộc thời gian: lực đàn hồi.
Mặt khác khoảng cách không gian, vận tốc tơng đối, thời gian đều là
những đại lợng bất biến đối với phép biến đổi Galilờ. Do vậy lực
F

cũng là
lợng bất biến đối với phép biến đổi Galilờ.
Vậy phơng trình biểu diễn định luật II Newton là phơng trình bất biến
đối với phép biến đổi Galilê. Từ đó ta có kết luận: Trong các hệ quy chiêú

quán tính, các định luật cơ học cổ điển là bất biến với phép biến đổi
Galilê.
1.4. Bài tập về phép biến đổi Galilờ
Bài tp 1: (Bài tập về phép biến đổi toạ độ)
Tàu A đi theo đờng AC với vận tốc u.
Ban đầu tàu A cách tàu B khoảng AB. Biết BH
vuông góc với AC, góc giữa AB và BH là

(hình vẽ). Hỏi tàu B phải đi với vận tốc bằng
bao nhiêu để gặp đợc tàu A? Biết tàu B đi theo
hớng tạo với HB góc

.
Bi gii:
Chọn hệ quy chiếu K và K sao cho:
-10-
ti: Nguyờn lớ tng i Galilờ v vn dng gii mt s bi tp vt lớ
i cng.
Hệ K gắn với mặt đờng
Hệ K gắn với tàu A
Ban đầu K và K hoàn
toàn trùng nhau, sau đó K
chuyển động với vận tốc u so
với K theo phơng ox. Xét
chuyển động của tàu B trong hệ
quy chiếu K và K.
+ Vận tốc của tàu B trong hệ
K là:
v
x

= v.sin

v
y
= v.cos

+ Phơng trình chuyển động của B trong K là:
x = L.sin

+ v
x
.t = L.sin

+ v.sin

.t
y = L.cos

- v
y
.t = L.cos

- v.cos

.t (1.4.1)
áp dụng phép biến đổi Galilê cho toạ độ ta có:
x = x - u.t
y= y (1.4.2)
Khi tàu A gặp tàu B thì:
x = 0

y= 0
Thay (1.4.1) vào (1.4.2) ta c:
L.sin

+ v.sin

.t- u.t = 0
L.cos

- v.cos

.t = 0 (1.4.3)
Giải (1.4.3) ta đợc kết quả:

)sin(
cos.


+
=
u
v
.
Bài toán 2: (Bài tập về phép biến đổi vận
tốc)
Một ngời chèo thuyền qua sông có
dòng nớc chảy. nếu ngời ấy chèo theo hớng
AB (AB vuông góc với dòng sông, hình vẽ)
thì sau thời gian t
1

=10 phút thuyền sẽ tới vị
-11-
ti: Nguyờn lớ tng i Galilờ v vn dng gii mt s bi tp vt lớ
i cng.
trí C cách B khoảng s =120m. nếu ngời âý chèo thuyền về phía ngợc dòng
một góc

, sau thời gian t
2
= 12.5 phút thuyền sẽ tới đúng vị trí B. coi vận
tốc của thuyền với dòng sông là không đổi. Tính:
a) bề rộng l của dòng sông
b) vận tốc v của thuyền đối với dòng nớc.
c) Vận tốc u của nớc đối với bờ sông
d) Góc

Bi gii:
Chọn hệ quy chiếu K gắn với bờ sông, hệ K gắn với dòng nớc, sao
cho:
Tại thời điểm ban đầu t = 0 thì K và K hoàn toàn trùng nhau
O trùng A, Ox trùng Ax, Oy song song với AB
Theo phép biến đổi Galilê ta có:
x = x + u.t (1.4.4)
y = y
và v
x
= v
x
+ u (1.4.5)
v

y
= v
y

+ Trờng hợp thứ nhất: thuyền đợc chèo theo hớng vuông góc với AB
Ta có:
v
x
= 0 và v
x
= u (1.4.6)
v
y
= 0 v v
y
= v
Thay (1.4.5) vào (1.4.6) ta đợc: x = BC = u.t
1
Thay số ta đợc: u = 0,2 (m/s)
+ Trờng hợp thứ 2: thuyền đợc chèo theo phơng tạo với AB góc

Ta có AB = v.t
1
(1.4.7)
v
x
= - v. sin

(1.4.8)
v

y
= v. cos

thay vào công thức (1.4.5) ta có:
v
x
= -v.sin

+u (1.4.9)
v
y
= v.cos

thay vào công thức (1.4.6) ta đợc:
x = (-v.sin

+ u).t
2
(1.4.10)
AB = v.cos

.t
2
(1.4.11)
Từ (1.4.7) và (1.4.11) góc

đợc xác định theo công thức:
-12-
ti: Nguyờn lớ tng i Galilờ v vn dng gii mt s bi tp vt lớ
i cng.

cos

=
t
t
2
1
= 0.8 =>

= 36,86 (1.4.12)
khi đó ta tính đợc vận tốc của thuyền đối với dòng nớc là:
v =

sin
u
= 0,333 (m/s)
độ rộng của bờ là: AB = 0,333.600 =1,998 (m)
Bài tập 3: (Bài tập về phép biến đổi vận tốc)
Một máy bay bay ngang với vận tốc v
1
độ cao h so với mặt đất, muốn
thả bom trúng một tàu đang chạy trên mặt biển với vận tốc v
2
trong cùng
một mặt phẳng thẳng đứng với máy bay. Hỏi máy bay phải cắt bom khi nó
cách tàu một khoảng cách theo phơng ngang l là bao nhiêu? bỏ qua sức cản
của không khí.
Bi gii:
Chọn hệ quy chiếu K gắn với mặt biển, hệ K gắn với tàu sao cho:
K chuyển động với vận tốc v

2
so với K.
Trục Oy vuông góc với mặt biển
Trục Ox trùng phơng và chiều của tàu
áp dụng công thức cộng vận tốc Galilê cho máy bay ta có:
v
x
= v
x
+ v
2
(1.4.13)
v
y
= v
y
* Nếu máy bay và tàu chuyển động cùng chiều thì tính đợc vận tốc máy bay
trong hệ K là:
v
x
= v
1
v
2
v
y
= v
y
= g.t
Trong hệ K phơng trình chuyển động của bom là:

x = (v
1
v
2
).t + l (1.4.14)
y = h-
2
1
g.t
2
để bom trúng máy bay sau thời gian t
1
thì:
y(t
1
) = 0.
x(t
1
) = 0.
Giải phơng trình trên ta có kết quả:
t
1
=
g
h.2
và l = (v
2
v
1
)

g
h.2
.
-13-
ti: Nguyờn lớ tng i Galilờ v vn dng gii mt s bi tp vt lớ
i cng.
* Nếu máy bay và tàu chuyển động ngợc chiều thì vận tốc máy bay trong
hệ K tính đợc:
v
x
= - (v
1
+ v
2
).
v
y
= v
y
= g.t
Trong hệ K lúc này phơng trình chuyển động của bom là:
x = - (v
1
+ v
2
).t + l (1.4.15)
y = h-
2
1
g.t

2
để bom trúng tàu tại thời điểm t
1
thì:
y(t
1
) = 0.
x(t
1
) = 0.
Giải phơng trình này ra ta đợc kết quả: t
1
=
g
h.2
và l = (v
1
+ v
2
).
g
h.2
.
Bài tập 4: (Bài tập về phép biến đổi vận tốc)
Một xe chạy đều trên mặt nằm ngang có một cái ống. Hỏi ống phải
đặt trong mặt phẳng nào và nghiêng một góc bao nhiêu để cho những giọt
ma rơi thẳng đứng lọt vào đáy ống mà không chạm phải thành ống? Biết
vận tốc hạt ma là v
1
và vận tốc xe là v

2
.
Bi gii:
Chọn hệ quy chiếu K gắn với mặt đất, hệ K gắn với xe. K chuyển
động với vận tốc v
2
so với K. trục Ox theo phơng chuyển động, trục Oy
vuông góc với mặt đất.
áp dụng công thức cộng vận tốc Galilê cho vận tốc của hạt ma là:
v
x
= v
x
+ v
2
v
y
= v
y
vận tốc hạt ma trong hệ quy chiếu K là:
v
x
= 0
v
y
=-v
y

vận tốc giọt ma trong hệ K là:
v

x
=-v
2
v
y
=- v
1
để ống không bị ớt thì trong hệ K phơng rơi của hạt ma trùng với ph-
ơng đặt ống. Góc

đợc xác định sao cho tg

=
v
v
v
v
x
y
2
1
.
'
'
. Vậy khi đặt ống
-14-
ti: Nguyờn lớ tng i Galilờ v vn dng gii mt s bi tp vt lớ
i cng.
trong mặt phẳng thẳng đứng với góc

so với trục chuyển động thì lòng ống
không ớt.
Bi tp 5: Tu sõn bay chuyn ng trờn i dng v hng ụng vi vn
tc
1
v
. Giú thi v hng bc vi vn tc
.
2
v
Khi h cỏnh, mỏy bay tin dn
n con tu vi vn tc
3
v
theo phng thng ng. Xỏc nh giỏ tr cng
vn tc ca mỏy bay i vi khụng khớ.
Bi gii:
i vi hai ngi quan sỏt ng trong hai h K v K

chuyn ng
tnh tin i vi nhau, vn tc ca mt im P cú th vit di dng:
.
kkpkpk
vvv +=
trong ú
pk
v
l vn tc ca im P so vi k K;
kk
v

l vn tc ca h K

i
vi h K. Nu kớ hiu cỏc ch D, T, K, M tng ng l i dng, tu sõn
bay, khụng khớ, mỏy bay, ta s cú:

.;
TDKTKDKTMKMT
vvvvvv +=+=

Do ú:

.
TDKDMTKTMTMK
vvvvvv +==
Hng cỏc trc x v y v hng ụng v Bc, ta cú:

( ) ( ) ( )
.,;
321
vvvvvv
z
MK
y
MK
x
MK
===
Vy giỏ tr cn tỡm:

( )
2/1
2
3
2
2
2
1
vvvv
MK
++=
.
1.5. Chuyển động của chất điểm trong hệ quy chiếu không quán tính
Các định luật cơ học newon chỉ đúng trong hệ quy chiếu quán tính.
Hệ quy chiếu chuyển động không thẳng và không đều so với hệ quy chiếu
quán tính thì không phải là hệ quy chiếu quán tính. Khi chất điểm chuyển
động trong hệ quy chiếu nh vậy thì không thể áp dụng đợc các định luật
Newton. để có thể áp dụng đựơc các định luật Newton trong hệ quy chiếu
không quán tính theo phép biến đổi Galilê thì ta nhận thấy phải đa vào khái
niệm lực quán tính. Với lực quán tính, xét hai loại hệ quy chiếu quán tính
nh sau:
-15-
ti: Nguyờn lớ tng i Galilờ v vn dng gii mt s bi tp vt lớ
i cng.
1.5.1. Hệ quy chiếu không quán tính trong chuyển động thẳng biến đổi
đều
Xét hệ quy chiếu K chuyển động thẳng đều với gia tốc
A

so với hệ
quy chiếu K. khi đó công thức cộng vận tốc của Galilê sẽ là:
v
x
(t) = v
x
(t) + V(t)
v
y
(t) = v
y
(t) (1.5.1)
v
z
(t) = v
z
(t)
lấy đạo hàm (1.5.1) theo t đợc:
a
x
= a
x
+ A
a
y
= a
y
(1.5.2)
a
z

= a
z
trong đó A =
dt
dV
gọi là gia tốc quán tính. Công thức (1.5.2) đợc viết dới
dạng véctơ là:
Aaa


+= '
Đối với hệ quy chiếu quán tính K ta có định luật II Newton:
amF


=
,
trong hệ K định luật II là:
)( AmamF



+=
. Lúc này định luật quán tính của
Newton trong hệ K và K sẽ khác nhau. nếu một vật đứng yên hoặc chuyển
động thẳng đều trong hệ K thì sẽ chuỵển động có gia tốc trong hệ K. hai hệ
quy chiếu này không quán tính với nhau. Trong khi đó theo nguyên lí của
Galilê lực
F

là một đại lợng bất biến.
Trong hệ K chất điểm có gia tốc
'a

đợc xác định:
Aaa



+='
, lúc đó
amAamam



+= )(
hay định luật Newton không bảo toàn. Nếu ta đặt
AmF
qt


=
, ta có:
qt
FFam


+='
. Phơng trình này giống phơng trình định luật
II Newton. Khi đó lực

qt
F
gọi là lực quán tính.
Trờng hợp đặc biệt khi K chuyển động với gia tốc
)0,0,(AAA

=
, lúc
này lực quán tính sẽ là:
AmF
qt


=
có đặc điểm:
độ lớn bằng khối lợng vật đó nhân với gia tốc chuyển động của hệ,
phơng trùng với phơng chuyển động của hệ
-16-
ti: Nguyờn lớ tng i Galilờ v vn dng gii mt s bi tp vt lớ
i cng.
chiều ngợc chiều véctơ gia tốc, hay cùng chiều chuyển động nếu vật
chuyển động chậm dần đều, ngợc chiều chuyển động nếu chuyển động
nhanh dần đều.
Khi hệ quy chiếu chuyển động biến đổi đều thì lực quán tính bằng
không.
Nh vậy để định luật II Newton trong mọi hệ quy chiếu thì tổng hợp lực
tác dụng lên vật, ngoài các lực thông thờng ta còn phải kể thêm lực quán
tính. Khi giải các bài toán lực quán tính cần chú ý:
Lực quán tính không có phản lực vì không thể chỉ ra đợc một vật cụ thể
nào đó tác dụng lên vật với lực đã cho.

Lực quán tính chỉ xuất hiện trong hệ quy chiếu không quán tính chuyển
động thẳng so với hệ quy chiếu quán tính với gia tốc A.
Lực quán tính tác dụng lên vật đặt trong hệ quy chiếu mà không phụ
thuộc vào vị trí vật trong hệ.
1.5.2. Bài tập về lực quán tính trong chuyển động thẳng biến đổi đều
Bài tp 1: Một hòn bi khối lợng m đợc treo vào trần một toa tàu. Nếu tàu
đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều thì viên bi nằm cân bằng. Nếu toa
tàu chuyển động với gia tốc
A

thì viên bi nằm cân bằng khi dây treo lệch
góc

so với phơng thẳng đứng. Ta giải thích sự lệch của sợi dây.
Bi giải:
Khi toa tàu đứng yên thì
hòn bi chịu tác dụng của
trọng lực
P

và lực căng dây
treo
T

. Lúc này
P

và
T

cân
bằng với nhau nên hòn bi cân
bằng.
Khi toa tàu chuyển động
với gia tốc
A

. Xét trong hệ
quy chiếu gắn với toa tàu, là
hệ quy chiếu không quán tính. Trong hệ quy chiếu này hòn bi chịu tác dụng
của các lực:
Trọng lực
gmP


.=
phơng thẳng đứng
-17-
ti: Nguyờn lớ tng i Galilờ v vn dng gii mt s bi tp vt lớ
i cng.
Lực căng dây treo
T

phơng sợi dây
Lực quán tính
Amf
qt


.=

Nhận thấy:
QfP
qt



=+
là lực nghiêng góc

so với phơng thẳng đứng
vì
P

vuông góc với
qt
f

. Do vậy để hòn bi nằm cân bằng thì lực
T

phải là lực
trực đối của
Q

. Vậy lực
T

lệch góc

so với phơng thẳng đứng, hay nói

cách khác dây treo lệch góc

so với phơng thẳng đứng.
Bài tập 2 : Cơ chế máy Atút treo trong thang máy, đầu dây vắt qua ròng rọc
là 2 vật khối lợng lần lợt là m
1
, m
2
(hình vẽ). Coi sợi dây không co giãn,
khối lợng ròng rọc và dây treo không đáng kể. Thang máy chuyển động đi
lên nhanh dần đều với gia tốc
A

. Xác định gia tốc
21
,aa

của các vật đối với
mặt đất và độ lớn lực căng dây treo T
Bi gii:
Xét trong hệ quy chiếu gắn với thang máy, trục toạ độ thẳng đứng,
chiều dơng hớng lên trên, giả sử vật m
1
đi lên. Các lực tcạc dụng vào vật m
1
,
m
2
là:
m

1
: + Trọng lực
gmP


.
11
=
+ Lực quán tính:
Amf
qt

.
11
=
+ Lực căng dây treo:
1
T


m
2
: + Trọng lực
gmP


.
22
=
+ Lực quán tính:

Amf
qt

.
22
=
+ Lực căng dây treo:
2
T

Phơng trình chuyển động của chất điểm
m
1
, m
2
lần lợt là:

m
1
:
11111
.amfTP
qt



=++
(1.5.3)
m
2

:
22222
.amfTP
qt



=++
(1.5.4)
Do
21
aa

=
và
21
TT

=
nên chiếu (1.5.3) và (1.5.4) lên trục toạ độ ta có:
-18-
ti: Nguyờn lớ tng i Galilờ v vn dng gii mt s bi tp vt lớ
i cng.
T m
1
.g m
1
.A = m
1
.a

T m
2
.g m
2
.A = m
2
.a
=>(m
2
m
1
).(g + A) = (m
1
+ m
2
).a

)(
21
21
Ag
mm
mm
a +
+

=
Vì:
Aaa
Aaa

+=
+=
2
1
nên:
Nếu m
1
> m
2
thì:
AAg
mm
mm
a
AAg
mm
mm
a
++
+

=
++
+

=

)(
)(
21
21
2
21
21
1
Nếu m
1
> m
2
thì:
AAg
mm
mm
a
AAg
mm
mm
a
++
+

=
++
+

=
)(

)(
21
21
2
21
21
1
Bài tập 3: Cho cơ hệ nh hình vẽ, khối lợng của các vật lần lợt là M, m
1
,m
2
.
Ban đầu giữ cho hệ thống đứng yên. Thả cho cơ hệ chuyển động thì nêm
chuyển động với gia tốc A bằng bao nhiêu? Tính gia tốc của vật đối với nêm
theo gia tốc A của nêm. Với tỉ số nào của m
1
, m
2
thì nêm đứng yên và các
vật trợt trên 2 mặt nêm. Bỏ
qua ma sát khối lợng ròng
rọc và dây nối.
Bi gii:
Giả sử m
1
.sin

>
m
2

.sin

tức vật m
1
đi
xuống, m
2
đi lên. Khi đó tổng hình chiếu của các lực lên phơng ngang bằng
0 nên khối tâm của hệkhông thay đổi. Do đó nêm đi sang phải.
Vật m
1
và m
2
chịu tác dụng của các lực: Trọng lực, lực căng dây treo,
phản lực của mặt nêm, lực quán tính. Phơng trình chuyển động của các vật
lần lợt là:
m
1
:
111111
. amTQPF
qt




=+++
(1.5.5)
-19-
ti: Nguyờn lớ tng i Galilờ v vn dng gii mt s bi tp vt lớ

i cng.
m
2
:
222222
.amTQPF
qt




=+++
(1.5.6)
+ Chiếu (1.5.5) và (1.5.6) lên các mặt nêm ta có:
m
1
.g.sin

+ m
1
.Acos

T
1
= m
1
.a
1
(1.5.7)
m

2
.g.sin

+m
2
.A.cos

T
2
= m
2
.a
2
(1.5.8)
Do dây không giãn nên T
1
= T
2
= T và a
1
= a
2
= a, thay vào (1.5.7) và (1.5.8)
ta đợc:

21
21
2121
21
2121

cos cos sin.sin
cos cos sin.sin
mm
mm
mAmAmmg
T
mm
mAmAmmg
a
+
++
=
+
++
=


(1.5.9)
Chiếu (1.5.7) và (1.5.8) lên phơng vuông góc với mặt nêm:
Q
1
= m
1
.(g.cos

A.sin

)
Q

2
= m
2
.(g.cos

A.sin

)
+ Phơng trình chuyển động của nêm:

AMTPQQN




.'
21
=++++
Chiếu xuống phơng ngang với Q
1
= Q
1
và Q
2
= Q
2

Q
1
.sin

Q
2
.sin

+ T(cos

cos

) = M.A (1.5.10)
Thay giá trị của Q
1
, Q
2
, T vào (1.5.10) ta đợc:

)cos(cos.)sinsin)((
)coscos)(sinsin(
.
21
2
2
2
121
2121


++++
+
=

mmmmMmm
mmmm
gA
.
Điều kiện để nêm đứng yên là: A = 0

m
1
sin

m
2
sin

= 0. Khi
đó thay vào biểu thức (1.5.8) ta đợc: a = 0

nêm đứng yên thì các vật cũng
không chuyển động, hay nói cách khác không xảy ra trờng hợp nêm đứng
yên các vật chuyển động vì: khối tâm của hệ không di chuyển theo phơng
ngang. Bởi vậy, nếu khối tâm của 2 vật dịch chuyển thì khối tâm của nêm
dịch chuyển theo chiều ngợc lại.
Bài tập 4: Một tấm ván khối lợng M có thể chuyển động không ma sát
trên mặt phẳng nằm ngang. Trên mép tám ván đặt vật khối lợng m (hình
vẽ). Hệ số ma sát giữa vật và ván là k. Hỏi giá trị nhỏ nhất F
min
của lực F
theo phơng ngang cần đặt
vào vật m để nó bắt đầu tr-
ợt trên tấm ván là bao

nhiêu? Vật sẽ có vận tốc là
bao nhiêu khi nó bắt đầu
-20-
ti: Nguyờn lớ tng i Galilờ v vn dng gii mt s bi tp vt lớ
i cng.
trợt trên tấm ván trong trờng hợp lực F = 2.F
min
tác dụng lên nó. Biết chiều
dài tấm ván là l.
Bi gii:
Chọn hệ quy chiếu gắn với tấm ván, chiều dơng là chiều chuyển động
của vật. Khi tác dụng vào vật m lực
F

làm vật chuyển động thì giữa vật và
ván xuất hiện lực ma sát
ms
F

. Lực ma sát
ms
F

tác dụng vào ván gây gia tốc
cho ván đợc xác định:

M
km
gA
M

F
M
F
A
msms
.
.
'
===
Xét trong hệ quy chiếu gắn với tấm ván, vật chịu tác dụng của các lực:
- Trọng lực
gmP


.=
- Phản lực
N

- Lực ma sát
ms
F

- Lực
F

Phơng trình chuyển động của vật m:
amFFFNP
mms

=++++ '
á
(1.5.11)
Chiếu (1.5.11) lên phơng ngang: F F
ms
F
qt
= m.a.
Để vật trợt trên ván thì:
a > 0
qtmsqtms
qtms
FFFFFF
m
FFF
+

00
.
Hay F

m.g.k + m.g.A (do N = m.g).
Vậy F = m.(k + A) = m.g( k + m/M).
d) Khi F = 2.F
min
= 2.m.k (1 + m/M).
Gia tốc của vật đối với đất l:
a
1
= a + A = g.k.(1 + m/M ) + g.k(.m/M)

Vận tốc của vật đối với đất l:
v = a
1
.t.
Quãng đờng vật đi đợc trong hệ quy chiếu gắn với ván:
2
2
1
ats =
Khi vật rời ván thì s = l

)/1(.
.2.2
1
Mmkg
l
a
l
tt
+
===

Khi vật rời ván thì vận tốc của vật là:
-21-
ti: Nguyờn lớ tng i Galilờ v vn dng gii mt s bi tp vt lớ
i cng.

)(
).2( 2
)/1(.

.2
)1(
111
mMM
mMkgl
Mmkg
l
M
m
kgtavv
+
+
=
+
+===
.
Bi tp 5: ng nh CD quay u trong mt phng ngang quanh im c
nh C vi vn tc gúc

. Xỏc nh vn tc ca hũn bi lỳc nú ra khi ng
CD. Bit rng hũn bi chuyn ng khụng cú vn tc u t im M, cỏch C
mt khong bng x
0
.
Bi gii:
Chn gc h ta im C, trc x hng theo CD, tng t nh
phng trỡnh (1.6.10) bi 3 vi C = 0, phng trỡnh chuyn ng ca hũn
bi cú dng:
.0
2

= xx


(1.5.12)
Nghim ca (1.5.12) l:
( )
.
2
0
tt
ee
x
x


=
(1.5.13)
Cho nờn:
( )
.
2
0
tt
eexx



=

Nu kớ hiu t

1
l thi im lỳc hũn bi im D, ta cú:
( ) ( )
1
.
011
t
extxtx


=+

. (1.5.14)
Tớnh exp(
1
t

) vi x(t
1
) = L t (1.5.13), sau ú ta thay kt qu vo
(1.5.14) ta thu c:
( )
.;
2
0
2
1
CDLxLvtx
D
===

1.6. Chuyn ng ca cht im trong h quy chiu quán tính quay
1.6.1. H quy chiu khụng quỏn tớnh quay
Giả sử hệ K quay quanh hệ K với vận tốc góc
)(t


. Công thức cộng
vận tốc của Galilờ (1.5.1) đợc viết lại:
rVV



+=

'
(1.6.1)
Đạo hàm theo thời gian (1.6.1) đợc:
)(
'
r
dt
d
dt
Vd
dt
Vd

+=

(1.6.2)
-22-
ti: Nguyờn lớ tng i Galilờ v vn dng gii mt s bi tp vt lớ
i cng.
Để định luật Newton đúng trong trờng hợp này thì trong tổng hợp lực tác
dụng ngoài các lực thông thờng ta cần phải cộng thêm lực quán tính:
)( rmF
qt



=

. Nhận thấy lực quán tính gồm hai lực:

)()( rmrmF





=

(1.6.3)
Số hạng thứ nhất của lực quán tính trong (1.6.4) có đặc điểm:
+ Phơng trùng phơng tiếp tuyến.
+ Chiều ngợc chiều hớng tâm.

+ Độ lớn bằng m.

.r (khi chất điểm chuyển động trên mặt phẩng vuông
góc với trục quay).
Lực này gọi là lực quán tính li tâm.
Số hạng thứ hai của lực quán tính (1.6.4).
+ Phơng trùng phơng tiếp tuyến quỹ đạo tại điểm đó.
+ Chiều ngợc chiều chuyển động.
Ta gọi lực này là lực Coriolis.
Nh vậy khi chọn hệ quy chiếu quay quanh hệ quy chiếu đứng yên (hệ
quy chiếu quán tính), ta phải kể đến lực quán tính li tâm và lực Coriolis.
Lực Coriolis
c
f

có đặc điểm sau:
Lực
Vf
c



do đó
c
f

tác dụng lên vật không làm thay đổi độ lớn vận tốc
mà chỉ tác dụng làm thay đổi hớng chuyển động.

c

f

không sinh công vì
Vf
c



.

c
f

không có phản lực quán tính.

c
f

phụ thuộc vào vận tốc
V

.
Khi vật đặt trong hệ quy chiếu không quán tính, phơng trình chuyển động
của vật trong hệ quy chiếu này là:
0=+
qt
FF

, trong đó:

F

: tổng hợp tất cả các lực thực tác
dụng vào vật.
qt
F

: lực quán tính tác dụng vào vật.
1.6.2. Bài tập về lực quán tính quay
Bài toán 1: Một bàn quay quanh
trục thẳng đứng với vận tốc góc

có
-23-
ti: Nguyờn lớ tng i Galilờ v vn dng gii mt s bi tp vt lớ
i cng.
giá treo hòn bi khối lợng m (hình vẽ). Khi đó hòn bi đứng yên so với bàn
quay nhng dây treo lệch góc so với phơng thẳng đứng. Ta sẽ giải thích hiện
tợng trên trong hệ quy chiếu gắn với bàn quay và gắn với mặt đất.
Bi gii:
Xét trong hệ quy chiếu gắn với bàn quay, hòn bi chịu tác dụng các lực:
+ Trọng lực
gmP


.=
+ Lực căng dây treo
T

+ Lực quán tính li tâm:

rwmF
qt



2
=
.
Do hòn bi đứng yên so với
bàn quay nên:
0)(0




=++=++
qtqt
FPTFTP
.
Hợp lực của
qt
FP

+
là
Q

có phơng
lệch so với phơng thẳng đứng góc

(do
qt
FP


). Góc

đợc xác định
g
r
P
F
tag
qt
.
2


==
. Do đó khi hòn bi đứng yên thì
T

trực đối so với
Q

nên
T

phải nghiêng góc

so với phơng thẳng đứng.
Xét trong hệ quy chiếu gắn với mặt đất.
Khi đó hòn bi chuyển động cùng với bàn quay. Hòn bi chịu tác dụng của
+ Trọng lực
gmP


.=
,
+ Lực căng dây treo
T

.
Hợp lực của chúng là lực hớng tâm làm bi quay tròn với gia tốc
r.
2

.
Tacó:
rmamTP




==+
(1.6.5)
Chiếu (1.6.5) xuống phơng thẳng đứng, do đó
T

phải nghiêng góc

so với
phơng thẳng đứng. Góc

đợc
xác định:
g
r
gm
rm
P
Q
tg
.
.



===
.
Bài tập 2: Một đĩa tròn phẳng
bán kính R, nằm ngang quay
đều với vận tốc góc

quanh
-24-
ti: Nguyờn lớ tng i Galilờ v vn dng gii mt s bi tp vt lớ
i cng.
trục thẳng đứng đi qua tâm đĩa. Trên mặt đĩa đặt một hòn bi có khối lợng m.
Hệ số ma sát giữa hòn bi và mặt đĩa là

à
. Với những giá trị nào của

để
sao cho hòn bi đặt ở vị trí nào trên đĩa thì nó cũng không bị văng ra?
Bi gii:
Chọn hệ quy chiếu Oxy gắn với đĩa (hình vẽ). Vì đĩa quay nên Oxy là
hệ quy chiếu không quán tính. Hòn bi không văng ra ngoài nghĩa là nó
đứng yên đối với đĩa. Lúc này tác dụng vào hòn bi gồm các lực:
+ Trọng lực
P


+ Phản lực
N


+ Lực ma sát
ms
F


+ Lực quán tính li tâm
lt
F


Trong quá trình chuyển động của hòn bi thì trọng lực và phản lực
không nằm cân bằng với nhau nên để hòn bi không bị văng ra khỏi đĩa thì:
max

.
max
nghmslt
FF


(1.6.6)
Lực quán tính li tâm đạt cực đại khi hòn bi nằm ở mép đĩa, giá trị của nó là:
max
lt
F
= m.
2

.R (1.6.7)
Lại có:
gmF
nghms

max
.
à
=
(1.6.8)
Thay (1.6.7) và (1.6.8) vào (1.6.6) ta đợc:

R
g
R
g

gmRm


22
à

à
à

Vậy để hòn bi không bị văng ra khỏi đĩa thì vận tốc góc

phải thoả mãn:
R
g.
à


.
Bi tp 3: Hũn bi cú trng lng P c gn vo u lũ xo AB ti im B;
u A cựa lũ xo buc c nh. Lũ xo v hũn bi c t trong ng nh nm
trờn mt phng ngang. Khi ng quay u quanh im c nh A vi vn tc
gúc

trong mt phng ngang. Xỏc nh phng trỡnh chuyn ng ca
hũn bi theo ng nh, bit rng di khụng gión ca lũ xo l l, h s cng
C. Hũn bi chuyn ng vi vn tc u khụng t im M trong ng sỏo
cỏch B mt on BM = a.
-25-