sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn chứng minh hình học 7, hình học 8

Sáng kiến cải tiến kinh nghiệm Trang 1
*Tên sáng kiến kinh nghiệm:
“HƯỚNG DẪN CHỨNG MINH HÌNH HỌC 7- HÌNH HỌC 8”
*Tên cá nhân thực hiên: DƯƠNG THỊ NHIỄM.
*Thời gian đã triển khai thực hiện: Từ ngày 15/8/2010 đến ngày 30/12/2012.
1. Sự cần thiết, mục đích của việc thực hiện sáng kiến:
Căn cứ vào mục tiêu của sự phát triển GD- ĐT trong thời kì hội nhập quốc tế, Đảng
ta đã xác định rõ “ cùng với khoa học công nghệ, GD- ĐT là quốc sách hàng đầu”. Căn
cứ vào kế hoạch nội dung và phương pháp đổi mới trong việc giảng dạy của trường
THCS nói chung và của trường THCS Đông Hưng nói riêng. Vã lại để xây dựng con
người của thời đại công nghiệp hóa – hiện đại hóa thì trước tiên phải xây dựng con người
ấy từ khi họ còn ngồi trên ghế nhà trường, tức là xây dựng một học sinh chủ động, sáng
tạo, làm việc có phương pháp, có tính kỉ luật cao mà môn toán là môn học có thể rèn
luyện đầy đủ các yếu tố cần thiết ấy.
Chính vì thế bản thân tôi luôn tìm tòi, nghiên cứu và học hỏi nhằm bồi dưỡng chuyên
môn, nghiệp vụ để nâng cao tay nghề (nhất là trong lĩnh vực Toán Hình). Trong những
năm qua bản thân tôi là một tổ trưởng tổ toán- lí tôi thường xuyên dự giờ các đồng chí,
đồng nghiệp, tôi nhận thấy có một số bất cập nhất là trong tiết dạy phân môn Hình học.
Mặt dù giáo viên giảng dạy đã có sự chuẩn bị chu đáo cho tiết dạy, vã lại đa số các em
học sinh hiểu bài, thuộc lí thuyết nhưng ngược lại nhiều học sinh không thể chủ động suy
luận giải được một bài tập chứng minh hình vì gặp bế tắt trong cách trình bày cũng như
hướng phân tích để tìm ra cách giải, nếu lúc này giáo viên không hướng dẫn và tìm cách
giải quyết thì sự bế tắt sẽ làm cho học sinh có tâm trạng e ngại, càng chán ghét phân môn
này. Thậm trí tôi còn được nghe một số câu từ một số em học sinh không chỉ riêng ở
trường tôi mà còn ở các trường trung học khác “ ở lớp nghe thầy cô giảng sơ qua là em
làm bài tập được ngay nhưng làm bài tập về nhà lại làm không được gì”. Bỡi lẻ các em
không nắm, không nhớ được: định nghĩa, tính chất, định lí… , nếu có nhớ cũng không
biết vận dụng thì làm sao có thể phân tích tìm ra cách giải nhưng khi đến lớp giáo viên
chỉ cần nhắc lại nội dung kiến thức một cách lôgic thì học sinh có thể làm được ngay. Từ
những vấn đề trên bản thân tôi đã nhiều năm suy nghĩ, nghiên cứu sắp xếp kiến thức một
cách có hệ thống để giúp các em học tốt hơn phân môn Hình học nhằm góp phần thành

công cho môn toán nói chung. Năm học 2011- 2012 tôi nêu lên đề tài “ Hướng dẫn
chứng minh hình học 7” năm học 2012- 2013 tôi xin bổ sung “ Hướng dẫn chứng
minh hình học 8” và xin hứa cố gắng rút ra nội dung ở các lớp tiếp theo.
2. Phạm vi triển khai thực hiện:
Học sinh Trung học cơ sở, bắt đầu từ khối 7,8.
3. Mô tả sáng kiến kinh nghiệm:
Nội dung 1:. LỜI GIỚI THIỆU:
Người thực hiện: Dương Thị Nhiễm Trường THCS Đông Hưng
Sáng kiến cải tiến kinh nghiệm Trang 2
Các em học sinh thân mến!
Phân môn hình học là một bộ môn Toán, nó khó học hơn phân môn Đại số. Vì thế
phần lớn các em rất “ sợ” hay “rất ghét” nó phải không? Thật ra nó không khó như các
em nghĩ đâu. Nguyên nhân chỉ vì các em không thuộc định nghĩa, định lí, hệ quả…… và
phương pháp chứng minh. Để giúp các em vượt qua trở ngạy đó, cô viết nội dung này với
cấu trúc xen kẽ giữa phương pháp và thực hành bằng những bài tập mẫu đơn giản để
minh họa cho từng phương pháp thường gặp mà các em vừa học ngay trước đó sẽ giúp
các em dễ hiểu hơn .Đồng thời trong nội dung này cô có hệ thống toàn bộ phương pháp
chứng minh, để các em làm công cụ truy cập nhanh chóng mỗi khi giải bài tập trong
những lúc cần thiết. Bên cạnh giúp các em học sinh còn có thể giúp các bậc thầy, cô giáo
hệ thống kiến thức cho học sinh mỗi khi giải toán hình.
Chúc thầy cô và các em thành công.
Nội dung 2: NHỮNG KỸ NĂNG CƠ BẢN PHẢI BIẾT:
**Cách nhận định:
2.1) Muốn giải bài toán hình học, các em phải thuộc định nghĩa, định lí, tính chất, hệ
quả…
+) Thuộc định nghĩa để biết vẽ hình ( cả chứng minh)
+) Thuộc định lí, tính chất để chứng minh, tính toán……….
2.2) Bất cứ bài toán nào cũng có 2 phần là giả thiết và kết luận.
+) Giả thiết là những gì đề bài cho trước.
+) Kết luận là những gì đề bài bảo chứng minh, so sánh…

2.3) Khi chứng minh, tính toán… nếu dùng không hết giả thiết là bài toán làm chắc
chắn thiếu sót vì giả thiết cho không thùa không thiếu.
2.4) Hình vẽ là vấn đề quan trọng của bài toán ,hình vẽ rõ ràng, chính xác giúp các em
nhận định hướng giải quyết dễ dàng. Vẽ hình không đượclà không giải được, qua trang
không thấy hình đã vẽ phải vẽ lại.
**Cách dùng kí hiệu toán học:
Người thực hiện: Dương Thị Nhiễm Trường THCS Đông Hưng
Sáng kiến cải tiến kinh nghiệm Trang 3
Trong bài tập dùng kí hiệu để thay thế câu văn, phần giả thiết và kết luận của bài
toán cho ngắn gọn. Tuyệt đối không được phép dùngkí hiệu theoý riêng một cách tùy
tiện. Sau đây là cách dùng một số kí hiệu thay cho lời văn thường gặp:
Lời văn Kí hiệu thay lời văn
*Gọi M là trung điểm của AB
*Vẽ trung điểm AI của tam giác ABC
*Gọi Ot là phân giác của góc xOy
*Dựng đường cao AH của tam giác ABC
*Trên AB và CD ta lấy các đoạn AE=CF và trên
AD và BC lấy AK=BM
*MA=MB(A,B,M thẳng hàng)
*IB=IC
*
·
¶
xOt tOy=
hoặc
µ
¶
1 2
O O=
*AB BC

*AE=CF; AK=BM
**Cách vẽ hình:
- Khi vẽ hìnhcác em phải đọc kỹ đề bài, đọc đến đâu vẽ hình đến đó và vẽ ở giấy nháp
trước rồi mới vẽ rõ ràng chính xác vào tập và phải dùng đúng dụng cụ vẽ. Nếu số đo đề
bài cho quá lớn với khổ giấy thì chỉ vẽ theo tỉ lệ không vẽ đúng kích thước.
VÍ DỤ:
Cho ABC có AB= 16cm; BC=27cm; AC=20cm( vẽ theo tỉ lệ)
- Phải dùng compa vẽ đường tròn, đường phân giác, đường trung trực.Vẽ đường
vuông góc phải dùng êke. Vẽ góc có số đo phải dùng thước đo độ.
- Cần phải chú ý điều kiện của hình vẽ.
VÍ DỤ:
Cho ABC thì vẽ ABC thường không vẽ cân, vuông và đều. Cho M là điểm
nằm giữa AB thì không lấy tại trung điểm AB.
- Cần phải chú ý điều kiện của hình vẽ.
VÍ DỤ:
Cho ABC (AB< AC< BC) thì ta phải vẽ và đặt tên cho đúng điều kiện.

- Nên ghi dấu hiệu bằng nhau trên hình vẽ, khi đề bài cho để dễ chứng minh.
Người thực hiện: Dương Thị Nhiễm Trường THCS Đông Hưng
Sáng kiến cải tiến kinh nghiệm Trang 4
VÍ DỤ:
Cho ABC . Gọi AM là phân giác =>
µ
¶
1 2
A A=


BN là

trung tuyến => BN= NC
** Cách dẫn chứng lí do:
Trong quá trình chứng minh khi các em nêu chi tiết nào phải nói rõ lí do tại sao
bằng nhau, tại sao song song, tại sao so le, tại sao vuông góc…và trả lời trong dấu ngoặc
đơn.
VÍ DỤ:
AB = AC ( vì ABC cân)

µ
¶
1 2
O O=

( vì Ot là phân giác)
Khi nêu chi tiết mà phải dùng định lý, tính chất,….để giải thích lí do không nên viết
nguyên định lí, tính chất, mà chỉ ghi tóm tắt ý chính.
VÍ DỤ:
Nêu chi tiết Dẫn chứng dài dòng Dẫn chứng tóm tắt
¶
¶
1 2
M M=
AB// CD
MA= MB
Vì hai góc đối đỉnh thì bằng nhau
Vì hai đường thẳng cùng vuông góc
với đường thẳng thứ ba thì song song.
Vì MA và MB là 2 tiếp tuyến cắt nhau
tại một điểm ngoài đường tròn
Đối đỉnh

AB,CD cùng vuông
góc EF.
Hai tiếp tuyến cắt nhau.
Nội dung 3: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH CHỦ YẾU HÌNH HỌC 7
**Chứng minh hai tam giác bằng nhau:
+ Nếu 2 tam giác thường thì có ba trường hợp.
+ Nếu 2 tam giác vuông đặc biệt thì trường hợp.
- Ba trường hợp bằng nhau của tam giác thường:
A
’

( c.g.c) Góc xen giữa hai cạnh B C B
’
C
’
Người thực hiện: Dương Thị Nhiễm Trường THCS Đông Hưng
A
Sáng kiến cải tiến kinh nghiệm Trang 5
A
’

(g.c.g) Cạnh xen giữa 2 góc C
’


(c.c.c) Cạnh. Cạnh. Cạnh C
BÀI TẬP MẪU
a/ Cho tam giác ABC ( AB< AC< BC). Vẽ phân giác BM. Trên BC lấy
BN = AB. Chứng minh ABM = NBM.
Giải

Chứng minh:
Xét ABM = NBM có: AB = BN (gt)

µ
¶
1 2
B B=

(gt)
BM là cạnh chung.
Vậy ABM = NBM ( c.g.c)
b/ Cho ABC cân tại A( AB = AC). Vẽ phân giác AM.
Chứng minh ABM = ACM
Giải

Người thực hiện: Dương Thị Nhiễm Trường THCS Đông Hưng
GT ABC ( AB < AC< BC)

µ
¶
1 2
B B=
; AB = BN
KL ABM = NBM
GT
ABC cân có AB = AC
µ
¶
1 2

A A=
KL
∆
ABM =
∆
ACM
A
’
A
B’
B
A
B
’’
A
BB
CBB
C
’
Sáng kiến cải tiến kinh nghiệm Trang 6

Chứng minh:
Xét ABM và ACM ta có:

µ
¶
1 2
A A=

(gt)

AB = AC (gt)

µ
µ
B C=
( ABC cân tại A)
Vậy ABM = ACM ( g.c.g)
c/ Hai đường tròn tâm O tâm O
,
cắt nhau tại A và B.
Chứng minh OAO
/
= OBO
/

Giải

Chứng minh:
Xét OAO
,
= OBO
,
ta có
OA =OB (bán kính đường tròn tâm O)
O
,
A = O
,
B ( bán kình đường tròn tâm O
,

)
OO
,
cạnh chung
Vậy OAO
,
= OBO
,
( c.c.c)
- Hai trường hợp đặt biệt của tam giác vuông

Người thực hiện: Dương Thị Nhiễm Trường THCS Đông Hưng
GT
(O) và (O
,
) cắt ở A và B
KL
∆
OAO
,
=
∆
OBO
,
Sáng kiến cải tiến kinh nghiệm Trang 7
Cạnh huyền –góc nhọn Cạnh huyền - Cạnh góc vuông
AB = A
,
B
,

,
µ
µ
'B B=
AB = A
,
B
,
, BC = B
,
C
,
Chú ý: Nếu hai tam giác vuông có hai cạnh huyền không bằng nhau thì chứng minh
theo tam giác thường. (c.c.c)
BÀI TẬP MẪU:
a). Gọi D là trung điểm của cạnh BC của ABC. Vẻ BE vuông AD và CF
vuông AD. Chứng minh BED = CFD
Giải


Chứng minh:
Xét vuông BED và vuông CFD
BD = DC (gt)

¶
¶
1 2
D D=
(đối đỉnh)
Vậy BED = CFD (cạnh huyền- góc nhọn)

b). Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC < BC). Trên BC lấy điểm D sao
cho BD = BA. Dựng Dx vuông BC tại Dcắt AC ở M.
Chứng minh BMA = BM D
Giải
Người thực hiện: Dương Thị Nhiễm Trường THCS Đông Hưng
GT
D là trung điểm BC
(BD = DC)
BE
⊥
AD tại E
CF
⊥
AD tại F
KL BED = CFD
Sáng kiến cải tiến kinh nghiệm Trang 8
Chứng minh:
Xét vuông BMA và vuông BMD có:
AB = BD (gt)
BM cạnh huyền chung
Vậy BMA = BMD (Cạnh huyền – cạnh góc vuông)
** Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau:
1) Chưng minh hai đoạn thẳng bằng đoạn thẳng thứ ba.
2) Hai cạnh của một tam giác cân hoặc đều(gặp nhiều).
3) Hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau.
4) Hai cạnh đối của hình bình hành (hình chữ nhật, hìnhthoi, hình vuông)
(lớp 8)
5) Hai cạnh bên hình thang cân. (lớp 8)
6) Hai dây trương cung bằng nhau trong một đường tròn hoặc hai đường tròn
bằng nhau. (lớp 9)

BÀI TẬP MẪU
a/ Cho ABC (AB< AC< BC). Vẽ đường cao AH. Trên HC lấy điểm E sao cho
BH=HE
Chứng minh: AB= AE.
Giải
Người thực hiện: Dương Thị Nhiễm Trường THCS Đông Hưng
GT ABC có
AB< AC<BC và
µ
A
= 1v
AB = BD;
Dx BC
KL
BMA = BMD
GT ABC có
AB< AC<BC
AH BC;
BH = HE
KL
AB = AE
Sáng kiến cải tiến kinh nghiệm Trang 9
Chứng minh:
Xét ABH và AEH ta có: BH = HE (gt)

¶
¶
1 2
H H=
= 1v (vì AH

⊥
BC)
AH là cạnh chung
Vậy ABH= AEH ( c.g.c) => AB= AE
b/ Cho hai cặp đường thẳng a//b và m//n chắn nhau tại bốn điểmA, B, C, D. Trên DC kéo
dài lấy điểm E sao cho
·
·
DEB ADE=
. Chứng minh AD = BE.
Giải
Chứng minh:
Ta có: AD = BC (tính chất đoạn chắn) (1)
Mặt khác:
µ
µ
1
D C=
(đồng vị)

µ
µ
D E=
(gt)
Nên:
µ µ
1
C E=
=> BCE cân tại B
Do đó: BC= BE (2)

Từ (1) và (2) => AD = BE.
**Chứng minh hai dường thẳng song song:
1) Hai đường thẳng cùng vuông góc đường thẳng thứ ba (thường gặp)
2) Hai đường thẳng tạo với đường thẳng thứ ba cặp góc so le trong bằng nhau, đồng
vị bằng nhau….
Người thực hiện: Dương Thị Nhiễm Trường THCS Đông Hưng
GT a // b; m // n
·
·
DEB ADE=

hay
µ
µ
D E=
KL AD = BE
Sáng kiến cải tiến kinh nghiệm Trang 10
3) Đường trung bình của tam giác, hình thang,…. (thường gặp)
4) Hai đường thẳng cùng song song đường thẳng thứ ba.
5) Hai cạnh đối hình bình hành. (lớp 8)
Hai dây chắn giữa hai cung bằng nhau.(trong một đường tròn). (lớp 9)
BÀI TẬP MẪU
a)Cho ABC (AB< AC). Trên BC lấy trung điểm M. Kẻ trung tuyến CN.
Chứng minh MN// AC



Chứng minh:

Ta có: MB = MC (gt) (1)

NB = NA ( vì CN là trung tuyến) (2)
Từ (1) và (2) => MN là đường trung bình của ABC
Do đó: MN// AC (định lí đường trung bình)
b/ Cho ABC cân (AB = BC) . Vẽ đường cao BH. Trên tia đối BA lấy điểm sao cho
BA= BD. Chứng minh BH//CD.

Giải
Người thực hiện: Dương Thị Nhiễm Trường THCS Đông Hưng
GT ABC có
AB< AC
CN là trung tuyến
(NA = NB)
BM = MC
KL MN // AC
Sáng kiến cải tiến kinh nghiệm Trang 11
Chứng minh:
Ta có: AB= BD (gt) (1)
=> CB là trung tuyến ADC
Vì CB = AB = BD= ½ AD (gt) (2)
Từ (1) và (2) => ACD vuông tại C ( định lí đảo trung tuyến ứng cạnh huyền )
=> DC AC
Mặt khác BH AC (gt) => BH // CD
** Chứng minh tam giác cân:
1) Tam giác có hai cạnh bằng nhau.
2) Tam giác có hai góc bằng nhau.
3) Tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh đồng thời là đường cao, đường
trung trực, đường phân giác.
BÀI TẬP MẪU
a)Cho ABC ( AB = 1/2AC). Vẽ trung tuyến BD. Chứng minh ABD cân. Giải

Chứng minh:
Ta có: AD = ½ AC ( vì BD là trung tuyến)
AB = ½ AC (gt)
Do đó: AD = AB => ABD cân tại A.
Người thực hiện: Dương Thị Nhiễm Trường THCS Đông Hưng
GT ABC cân
( AB= BC < AC )
BH AC;
AB = BD = ½ AD
KL BH // CD
GT
G
ABC ( AB =½AC)
BD là trung tuyến
KL ABC cân
Sáng kiến cải tiến kinh nghiệm Trang 12
b)Cho ABC vuông tại A ( AC>AB). Vẽ đường cao AH và trung tuyến HM của
AHC. Chứng minh AHM đều.
Giải

Chứng minh:
Ta có : AM = ½ AC ( vì HM là trung tuyến)
HM= ½ AC ( trung tuyến ứng với cạnh huyền)
Do đó: AM = HN => AHM cân (1)
Mặt khác:
µ
µ

µ
A H D+ +
= 180
0
(tổng 3 góc AHC)
Mà
µ
H
= 90
0
;
µ
C
= 30
0
=>
µ
A
=60
0
(2)
Từ (1) và (2) => AHM cân có 1 góc 60
0
là tam giác đều.
** Chứng minh 3 điểm thẳng hàng:
1) Tổng số đo 2 góc kề bù bằng 180
0
.
2) Tiên đề Ơclit.
3)Tính chất hai góc đối đỉnh.

4)Tính chất 2 tâm và tiếp tuyến của 2 đường tròn tiếp xúc.(lớp 9)
BÀI TẬP MẪU
Cho ABC, kẻ trung tuyến BD, CE. Trên tia đối của tia DB lấy điểm M sao cho
DM = DB. Trên tia đối của tia EC, lấy điểm N sao cho EN = EC.
Chứng minh: Ba điểm N, A, M thẳng hàng.
Giải
Người thực hiện: Dương Thị Nhiễm Trường THCS Đông Hưng
GT ABC có A = 90
0
; AH
là đường cao.
µ
C
=30
0
; HM
là trung tuyến của AHC
KL AHM đều
Sáng kiến cải tiến kinh nghiệm Trang 13




Chứng minh:

Ta có: ADM = CDB ( c.g.c)
=>
µ
¶
B M=

( so le)
=>AM// BC (1)
Tương tự: AEN = BEC (c.g.c)
=> AN// BC (2)
Từ (1) và (2) =>N, A, M thẳng hàng ( theo tiên đề Ơclit)
** Chứng minh hai đường thẳng vuông góc:
1) Dựa theo định lí: Hai đường thẳng song song, đường thẳng nào vuông góc đường
thứ nhất thì cũng vuông góc với đường thứ hai.
2) Chứng minh chúng là đường cao và cạnh đối diện trong tam giác.
3) Phân giác của hai góc kề bù.
4) Đường kính đi qua trung điểm của dây và cung. (lớp 9)
5) Đường trung trực của đoạn thẳng.
BÀI TẬP MẪU
a)Cho ABC ( AB< AC < BC ). Vẽ phân giác BM. Trên BC lấy điểm D sao cho
AB = BD . Chứng minh BM AD.
Giải

Người thực hiện: Dương Thị Nhiễm Trường THCS Đông Hưng
GT DM = DB ; EN = EC
DA = DC ; EA = EB
KL N, A, M thẳng hàng
GT ABC có
AB< AC < BC

µ
¶
1 2
B B=
; AB = BD
KL BM AD

D
E
A
B
C
N M
Sáng kiến cải tiến kinh nghiệm Trang 14
Chứng minh:
Xét ABM và DBM ta có : AB = BD (gt)

µ
¶
1 2
B B=
(gt)
BM là cạnh chung
=> ABM = DMB (c.g.c)
=> AM = MD
Vì MA = MD và AB = BD => BM là đường trung trực của AD.
Vậy BM AD ( đpcm)
b)Cho ABC. Lấy trung điểm M của AC. Dựng MH BC. Trên tia đối MH lấy
MD = MH. Chứng AD DH
Giải



Chứng minh:
Xét MHD và NCH ta có:`
MA = MC (gt)

¶
¶
1 2
M M=
(đối đỉnh)
MD = MH (gt)
=> Vậy MAD = MCH (c.g.c)
Suy ra:
µ
D
=
µ
H
= 90
0
Do do: AD DH (đpcm)
Người thực hiện: Dương Thị Nhiễm Trường THCS Đông Hưng
GT ABC;
AM = MC;
MD = MH
MH BC hay

·
MHC
= 90
0
KL AD DH
M
Sáng kiến cải tiến kinh nghiệm Trang 15
Nội dung 4:MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH CHỦ YẾU HÌNH HỌC 8

4.1/ Chứng minh tứ giác là:
**Hình thang: Tứ giác có hai cạnh song song.
BÀI TẬP MẪU
Cho
∆
ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC Chứng minh rằng tứ giác
BMNC là hình thang.
Giải:
Chứng minh:
Ta có:
( )
MA MB gt
NA = NC (gt)

=




=>MN là đường trung bình của
∆
ABC
Do đó: MN// BC (đlý đường trung bình)
Suy ra: BMNC là hình thang. (đpcm)
** Hình thang cân:
1) Hình thang có hai góc ở một đáy bằng nhau.
2) Hình thang có hai đường chéo bằng nhau.
BÀI TẬP MẪU
Cho
·

0
60xOy =
và phân giác Ot. Đường thẳng vuông góc với Ot tại H cắt Ox tại A, cắt
Oy tại B. Gọi M là trung điểm OA. Chứng minh tứ giác OMHB là hình thang cân.
Người thực hiện: Dương Thị Nhiễm Trường THCS Đông Hưng
GT
∆
ABC;
MA=MB; NA= NC
KL BMNC là hình thang
Sáng kiến cải tiến kinh nghiệm Trang 16
Giải:

Chứng minh:
Xét
∆
OAB có OH là phân giác (vì Ot là phân giác)
Mà OH cũng là đường cao (vì AB
⊥
Ot)
Nên
∆
OAB cân lại có
·
0
60AOB =
(gt)
Do đó
∆
OAB là tam giác đều =>

µ
µ
0
60B O= =
(1)
Mặt khác: OH cũng là trung tuyến trong tam giác đều OAB
Mà
( )
HA HB
MA MO gt
=


=

=>MH là đường trung bình do đó MH//OB
=> OMHB là hình thang (2)
Từ (1) và (2) => OMHB là hình thang cân (đpcm).
** Hình bình hành:
1) Hai cặp cạnh song song (gặp nhiều )
2) Hai cặp cạnh bằng nhau.
3) Hai cặp góc đối bằng nhau.
4) Một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau (gặp nhiều)
5) Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
BÀI TẬP MẪU :
Người thực hiện: Dương Thị Nhiễm Trường THCS Đông Hưng
GT
·
0
60xOy =

; Ot là phân giác
MA=MO;
AB
⊥
Ot
KL OMHB là hình thang cân
Sáng kiến cải tiến kinh nghiệm Trang 17
a)Cho
∆
ABC (AB< AC < BC). Gọi MN là đường trung bình, từ N kẻ NE song song
với BM. Chứng minh BMNE là hình bình hành.
Chứng minh:
Ta có: MN là đường trung bình(gt)
Nên: MN//BC =>MN//BE (1)
Mà NE//BM (gt) (2)
Từ (1) và (2) =>Tứ giác BMNE là hình bình hành.

b)Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC = AB. Vẽ trung tuyến AM của
∆
ABC. Kéo dài DC cắt AM tại E. Chứng minh tứ giác ABEC là hình bình hành.
Chứng minh:
Cách 1/ Xét
∆
AMB và
∆
EMC ta có:
MB = MC (gt) (1)

·
·

AMB CME=
(đối đỉnh) ;
µ
µ
B C=
(so le)
Vậy:
∆
AMB =
∆
EMC (g.c.g)
Suy ra: MA = ME (2)
Từ (1) và (2) => Tứ giác ABEC có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi
đường nên là hình bình hành.
Cách 2/ Ta có AB//DC (cạnh đối hình bình hành)
=> AB//CE (1)
Mặt khác:
∆
AMB =
∆
EMC (g.c.g) (cmt)
=> AB = CE (2)
Từ (1) và (2) => Tứ giác ABEC có hai cạnh đối vừa song song vừa
bằng nhau là hình bình hành.
**Hình chữ nhật:
1) Tứ giác có 3 góc vuông.
2) Hình thang cân có một góc vuông.
3) Hình bình hành có một góc vuông.
Người thực hiện: Dương Thị Nhiễm Trường THCS Đông Hưng
Sáng kiến cải tiến kinh nghiệm Trang 18

4) Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau.
BÀI TẬP MẪU:
a)Cho
∆
ABC vuông tại A (AB< AC) . Lấy điểm M trên cạnh BC, từ M kẻ ME vuông
góc với AB, MF vuông góc với AC. Chứng minh tứ giác MEAF là hình chữ nhật.
Chứng minh:
Ta có:
µ
A
= 90
0
(gt)
ME
⊥
AB (gt) =>
µ
E
= 90
0
MF
⊥
AC (gt) =>
µ
F
=90
0
Suy ra tứ giác MEAF là hình chữ nhật (Tứ giác có 3
góc vuông)
b) Cho

·
xOy
= 90
0
. Trên Ox lấy điểm A, trên Oy lấy điểm B sao cho
·
OAB
= 60
0
. Vẽ trung tuyến OM. Đường thẳng Bz
⊥
Oy cắt OM tại D. Chứng minh tứ
giác OADB là hình chữ nhật.
Chứng minh:
Xét
∆
MOA và
∆
MDB ta có :

·
·
AMO DMB=
(đối đỉnh)
MA = MB (gt)

µ
A
=
µ

B
= 60
0
(so le)
Vậy
∆
MOA =
∆
MDB ( g.c.g)
=> OA = BD và OA//BD (cùng
⊥
Oy) nên suy ra tứ giác OADB là hình bình hành
lại có
·
AOB
= 90
0
nên là hình chữ nhật.
**Hình thoi:
1) Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau.
2) Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau.
3) Hình bình hành có một đường chéo là phân giác của một góc.
4) Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc.
Người thực hiện: Dương Thị Nhiễm Trường THCS Đông Hưng
Sáng kiến cải tiến kinh nghiệm Trang 19
BÀI TẬP MẪU:
Cho
∆
ABC vuông tại A có BC = 2AB. Dựng đường cao AH và trung tuyến AM của
∆

AHC. Đường cao ME của
∆
AMC kéo dài cắt AH tại D.Chứng minh tứ giác ABDM là
hình thoi.
Chứng minh:
Ta có: AM là trung tuyến tam giác vuông ABC nên:
AM= ½ BC; AB= ½ BC (gt)
BM= 1/2 BC (gt)
Suy ra
∆
ABM đều
Xét
∆
HAB và
∆
HDM ta có:

¶
1
H
=
¶
2
H
(đối đỉnh)
HB = HM (AH AH là đường cao tam giác đều cũng là trung tuyến)

µ
B
=

¶
M
(so le)
Vậy
∆
HAB =
∆
HDM (g.c.g)
=> HA =HD và HB = HM => ABDM là hình bình hành có hai đường chéo vuông
góc nên là hình thoi.
** Hình vuông:
1) Hình thoi có 1 góc vuông.
2) Hình chữ nhật có 2 cạnh kề bằng nhau.
3) Hình chữ nhật có 2 đường chéo vuông góc.
4) Hình chữ nhật có 1 đường chéo là phân giác của một góc.
BÀI TẬP MẪU:
Cho
∆
ABC vuông tại A, đường phân giác góc A cắt BC tại M. Vẽ MD//AC và
ME//AB. Chứng minh tứ giác ADME là hình vuông.
Chứng minh:
Ta có: MD//AC (gt) => MD//AE
ME//AB(gt) => ME//AD
Người thực hiện: Dương Thị Nhiễm Trường THCS Đông Hưng
Sáng kiến cải tiến kinh nghiệm Trang 20
Từ đó suy ra: ADME là hình bình hành
Mà AM là phân giác => ADME là hình thoi.
Hình thoi ADME có
µ
A

= 90
0
(gt) nên là hình vuông.
4.2/ Chứng minh hai tam giác đồng dạng:
** Trường hợp hai tam giác thường:
1) Có 2 góc bằng nhau đôi một(gặp nhiều)
2) Có 1 góc bằng nhau xen giữa 2 cạnh tương ứng tỉ lệ.
3) Có 3 cạnh tương ứng tỉ lệ (ít gặp)
**Trường hợp hai tam giác vuông:
1) Có một góc nhọn bằng nhau.
2) Có hai cạnh góc vuông tương ứng tỉ lệ.
BÀI TẬP MẪU
a)Cho
∆
ABC vuông tại A. Vẽ đường cao AH. Chứng minh
∆
ABC
∆
HBA.
Giải:
Xét
ABC∆
và
HBA∆
có:
µ
A
=
µ
H

= 90
0
(gt)
µ
B
góc chung
Vậy
ABC∆
HBA∆
( hai tam giác vuông có một góc
nhọn bằng nhau).
b)Cho
∆
ABC. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB, AC.
Chứng minh
∆
AMN
∆
ABC
Giải:
Ta có: MA=MB(gt)
NA= NC(gt)
Từ đó suy ra: MN là đường trung bình của
∆
ABC
Do đó MN//BC
Người thực hiện: Dương Thị Nhiễm Trường THCS Đông Hưng
Sáng kiến cải tiến kinh nghiệm Trang 21
=>
¶

M
1
=
µ
B
( đồng vị)

µ
N
1
=
µ
C
(đồng vị)
Từ đó suy ra
∆
AMN
∆
ABC ( 2 góc bằng nhau từng đôi một)
c)Cho hình thang ABCD (BC//DA) với các góc ABC, ACD bằng nhau.
Chứng minh:
∆
ABC
∆
DCA.
Giải:
Xét
∆
ABC và
∆

DCA.có:

µ
C
2=
µ
B
(gt)

µ
C
1
=
µ
A
1
(so le trong vì AD//BC)
Vậy
∆
ABC
∆
DCA.( 2 góc đôi một bằng nhau)
d)Cho hình bình hành ABCD. Từ B dựng đường thẳng vuông góc AC tại H, đường
thẳng này cắt AD tại M và cắt CD tại E.
d 1/ Chứng minh
∆
BMA
∆
EMD.
d 2/ Chứng minh

∆
ABH
∆
CEH.

Giải:
d1/
∆
BMA
∆
EMD:
Xét
∆
BMA và
∆
EMD có:

¶
¶
1 2
M M=
(đối đỉnh)

·
·
BAM MDE=
( so le)
Vậy
∆
BMA

∆
EMD (2 góc bằng nhau đôi một)
d1/
∆
ABH
∆
CEH:
Xét
∆
ABH và
∆
CEH có:
Người thực hiện: Dương Thị Nhiễm Trường THCS Đông Hưng
Sáng kiến cải tiến kinh nghiệm Trang 22

¶
1
H
=
¶
2
H
(đối đỉnh)

·
·
BAH HCE=
(so le)
Vậy
∆

ABH
∆
CEH.
4.3/ Định lí Talét
** Định lí Talét (Thuận)
Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và định ra trên hai cạnh đó những
đoạn thẳng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác đó.
** Định lí Talét (Đảo)
Nếu đường thẳng song song với một cạnh của tam giác khi và chỉ khi đường thẳng đó
định ra trên hai cạnh khác của tam giác đó những đoạn thẳng tỉ lệ.
B’C’// BC 
' '
' '
' '
' '
AB AC
AB AC
BB CC
AB AC
AB AC
BB CC

=



=




=


**Hệ quả của định lí Talét.
Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì
nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng với ba cạnh tam giác đã cho.
B’C’// BC 
' ' ' 'AB AC B C
AB AC BC
= =
BÀI TẬP MẪU:
Người thực hiện: Dương Thị Nhiễm Trường THCS Đông Hưng
Sáng kiến cải tiến kinh nghiệm Trang 23
a)Trong hình thang ABCD, các cạnh bên AB, CD kéo dài cắt nhau tại M.
Tính BC biết
3
2
MA
NB
=
và AD= 1,8 dm.
Giải:
Hai tam giác MBC, MAD có các cạnh tỉ lệ nên:

3
2
MA AD AD
MB BC BC
= ⇔ =

2
3
BC AD⇔ =
hay BC =
2
3
. 1,8 = 1,2 dm
b)Cho
∆
ABC. Gọi D là điểm chia cạnh AB thành hai đoạn thẳng AD =8cm; DB =
4cm. Tính tỉ số khoảng cách từ điểm D và B đến AC
Giải:
Gọi DK, BH lần lượt là khoảng cách từ D; b đên AC.
Vì DK và BH cùng vuông góc với AC nên; DK//BH.
Theo định lý Talet đảo
∆
ADK và
∆
ABH có các cạnh tướng
ứng tỉ lệ với nhau nên:

DK AD
BH AB
=
theo gt ta lại có AB= AD + DB = 12cm
Do đó:
8 2
12 3
DK
BH

= =
c)Cho
∆
ABC. Trên AB lấy điểm D sao cho
11
8
AB
DB
=
. Trên AC lấy điểm E sao cho AE
= 3/8CE. Chứng minh DE//BC.
Giải:
Ta có:
11
8
AB
DB
=
(gt)

11 8
8
AB DB
DB
− −
⇒ =
hay
3
8
AD

BD
=
(1)
Ta lại có: AE = 3/8 CE (gt)

3
8
AE
CE
⇒ =
(2)
Người thực hiện: Dương Thị Nhiễm Trường THCS Đông Hưng
Sáng kiến cải tiến kinh nghiệm Trang 24
Từ (1) và (2)
AD AE
BD CE
⇒ = ⇒
DE // BC (theo đlí Talet đảo)
4. Kết quả, hiệu quả mang lại:
Muốn đạt được hiệu quả cao trong việc dạy phân môn hình học giáo viên khi dạy
chương trình ở lớp 7 cần lưu ý: dạy xong một tiết lí thuyết nên hệ thống kiến thức một
cách cụ thể rõ ràng, lôgic cho học sinh nắm vững một cách chắc chắn. Ngoài ra vào đầu
năm học lớp 8; 9 giáo viên bộ môn phải hệ thống và giới thiệu cho học sinh nội dung trên
và yêu cầu học sinh nhớ đầy đủ các kĩ năng và phương pháp chủ yếu trên nhằm làm nền
tản cho học sinh bước vào năm học mới và dễ dàng lĩnh hội những kiến thức cơ bản mới.
Tuy đây chưa phải là sáng kiến kinh nghiệm mang lại tính khả thi cao. Nhưng ít nhiều
trong những năm qua với góc độ là một giáo viên đứng lớp giảng dạy môn toán bản thân
tôi và một số đồng chí cùng trường đã áp dụng vào nhà trường và đạt hiệu quả rất cao. Số
học sinh “sợ” phân môn hình học ngày một ít hơn. Khí thế và tinh thần học tập của học
sinh ở riêng lớp tôi và ở các lớp của đồng nghiệp ngày một đi lên góp phần nâng cao chất

lượng giáo dục và hiệu quả đào tạo ngày một cao hơn, giảm đi lượng học sinh yếu, kém.
Cụ thể số lượng học sinh thích học phân môn Hình học như sau:

Lớp
Năm học: 2010- 2011 Năm học: 2011- 2012 Năm học: 2012- 2013
Đầu năm Cuối năm Đầu năm Cuối năm Đầu năm Cuối HKI
8A
1 (25 em)
2 em 18em
8A
2 (21 em)
1em 13em
8A
3 (19 em)
3 em 15 em
8A
1 (23 em)
5 em 11em
8A
2 (21 em)
4em 9em
Bản thân tôi huy vọng rằng, đây sẽ là một sáng kiến có thể áp dụng rộng rãi ở nhiều
điểm trường Trung học cơ sở, Trung học phổ thông trong huyện. Nhằm góp phần thành
công trong việc GD- ĐT ở trường Trung học ngày một đạt kết quả cao hơn. Đặt biệt góp
phần thành công cho chủ điểm năm học 2012-2013 “Năm học thay đổi căn bản, toàn diện
GD&ĐT Tỉnh Cà Mau”
5. Đánh giá về phạm vi ảnh hưởng của sáng kiến:
Nội dung sáng kiến này không chỉ học sinh lớp 7; 8 mà còn vận dụng xuyên suốt cho
các lớp tiếp theo kể cả học sinh THPT và cao hơn nữa vì nó là nền tản cho việc học phân
môn Hình.

6. Kiến nghị, đề xuất:
Tạo điều kiện cho giáo viên mở chuyên đề để triển khai các sáng kiến đạt hiệu quả
cao để cho giáo viên vận dung rộng rãi nhằm góp phần thành công cho việc giáo dục và
đào tạo.
Người thực hiện: Dương Thị Nhiễm Trường THCS Đông Hưng
Sáng kiến cải tiến kinh nghiệm Trang 25
Ý kiến xác nhận Ngày 12 tháng 12 năm 2012
của Thủ trưởng đơn vị Người báo cáo
Dương Thị Nhiễm

Người thực hiện: Dương Thị Nhiễm Trường THCS Đông Hưng