SKKN Vận dụng bất đẳng thức Cô si để tìm cực trị

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
"VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI ĐỂ TÌM CỰC TRỊ"
1

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
A.LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1.Cơ sở lí luận.
Thực tế cho thấy Toán học là nền tảng cho mọi ngành khoa học, là chiếc chìa khoá vạn
năng để khai phá và thúc đẩy sự phát triển cho mọi ngành khoa học, kinh tế, Quân sự
trong cuộc sống .
Toán học là một môn học giữ vai trò quan trọng trong suốt bậc học,là một môn học khó,
đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có một sự nỗ lực rất lớn để chiếm lĩnh những tri thức cho
mình. Chương trình toán rất rộng, các em được lĩnh hội nhiều kiến thức, các kiến thức lại
có mối quan hệ chặt chẽ với nhau. Do vậy khi học, các em không những nắm chắc lý
thuyết cơ bản, mà còn phải biết tự diễn đạt theo ý hiểu của mình, từ đó biết vận dụng để
giải từng loại toán. Qua cách giải các bài toán rút ra phương pháp chung để giải mỗi dạng
bài, trên cơ sở đó tìm ra các lời giải khác hay hơn, ngắn gọn hơn.
Trong quá trình học toán ở trường THCS học sinh cần biết cách tổ chức công việc của
mình một cách sáng tạo. Người thầy cần rèn luyện cho học sinh kỹ năng độc lập suy
nghĩ một cách sâu sắc, sáng tạo. Vì vậy đòi hỏi người thầy một sự lao động sáng tạo biết
tìm tòi ra những phương pháp để dạy cho học sinh trau dồi tư duy lô gic giải các bài toán.
Là một giáo viên dạy toán ở trường THCS tôi nhận thấy việc giải các bài toán ở chương
trình THCS không chỉ đưn giản là đảm bảo kiến thức trong sách giáo khoa , đó mới chỉ là
những điều kiện cần nhưng chưa đủ . Muốn giỏi toán cần phải luyện tập nhiều thông qua
2

việc giải các bài toán đa dạng, giải các bài toán một cách khoa học, kiên nhẫn , tỉ mỉ , để
tự tìm ra đáp số của chúng
Muốn vậy người thầy phải biết vận dụng linh hoạt kiến thức trong nhiều tình huống khác

nhau để tạo hứng thú cho học sinh. Một bài toán có thể có nhiều cách giải , mỗi bài toán
thường nằm trong mỗi dạng toán khác nhau nó đòi hỏi phải biết vận dụng kiến thức trong
nhiều lĩnh vực một cách sáng tạo vì vậy học sinh phải biết sử dụng phương pháp nào cho
phù hợp
Các dạng toán ở trường trìnhTHCS thật đa dạng và phong phú như: Bất đẳng thức, Tìm
cực trị …
“ Tìm cực trị” là một dạng toán có trong SGK lớp 9 nhưng chưa đưa ra phương pháp giải
chung. Hơn nữa “ Tìm cực trị” có rất nhiều trong các đề thi như: Thi vào THPH, trong
các đề thi học sinh giỏi huyện , học sinh giỏi tỉnh,…
Do vậy việc hướng dẫn giúp các em có kỹ năng giải toán tìm cực trị, ngoài việc nắm lý
thuyết, thì các em phải biết vận dụng thực hành, từ đó phát triển khả năng tư duy, đồng
thời tạo hứng thú cho học sinh khi học nhằm nâng cao chất lượng học tập là điều hết sức
cần thiết.
2. Cơ sở thực tiễn
Qua thực tế một vài năm giảng dạy môn toán lớp 9 tôi thấy không chỉ học sinh gặp khó
khăn trong giải toán mà bản thân tôi khi dạy phần “ Tìm cực trị” cũng gặp rất nhiều khó
khăn trong việc hướng dẩn học sinh giải bài toán phần này.Chính vì vậy tôi luôn suy
nghĩ từng bước để hoàn thiện phương pháp của mình.
Từ thực tiễn giảng dạy tôi thấy học sinh hay bế tắc , lúng túng về cách xác định dạng toán
Từ những thận lợi , khó khăn và yêu cầu thực tiễn giảng dạy . Tôi chọn đề tài
3

“vËn dông bÊt ®¼ng thøc c«si ®Ó t×m cùc trÞ”
B.PHẠM VI VÀ MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI
1. Phạm vi của đề tài:
- Áp dụng với đối tượng học sinh khá – giỏi lớp 9
2. Mục đích của đề tài:
-Nhằm nâng cao chất lượng cho học sinh giải bài toán Tìm cực trị và tạo niềm tin cho
giáo viên trong quá trình hướng dẫn học sinh giải bài toán Tìm cực trị. Giúp cho thầy và
trò trong dạy và học đạt được kết quả cao .Giúp cho học sinh có hứng thú học và yêu

thích môn Toán
- Giúp học sinh biết hướng khai thác kết quả một bài toán để giải quyết vấn đề linh hoạt
hơn.
- Trao đổi với giáo viên hướng khai thác một bài toán trong chương trình bồi dưỡng học
sinh khá giỏi lớp 9
PHẦN II: NỘI DUNG
I. Bất đẳng thức Coossi với 2 số a, b không âm
a+b
ab2≥
(1)
Chứng minh:
Do a, b
0
≥
nên
a
và
b
xác định
Ta có :
( )
0
2
≥− ba

02 ≥+−⇔ baba

02 ≥−+⇔ abba
4

abba 2≥+⇔
Dấu “=” xảy ra
ba
=⇔
II. Bất đẳng thức này còn được mở rộng
1. Với 3 số a, b, c không âm
a+b+c
3
3 abc≥
Dấu “=” xảy ra
cba ==⇔
2. Với 4 số a, b, c ,d không âm
a+b+c+d
4
4 abcd≥
Dấu “=” xảy ra
dcba ===⇔
3. Đối với n số không âm: a
1
,
n
aaa , ,,
32
0
≥
Ta có:
n
nn
aaaanaaaa

321321
≥++++
Dấu “=” xảy ra
n
aaaa ====⇔
321
III. HỆ QUẢ
1. Với 2 số không âm a, b từ BĐT (1) ta suy ra:
• Nếu ab=k (không đổi) thì Min(a+b)= 2
k
(khi và chỉ khi a=b)
• Nếu a+b = k (không đổi) thì Max (ab) =
4
2
k
(khi và chỉ khi a=b)
2. Kết quả trên được mở rộng với:
5

• Ba số a, b, c không âm:
+ Nếu abc =k (không đổi) thì Min (a+b+c) =3
3
k
(khi và chỉ khi a=b=c)
+Nếu a+b+c=k (không đổi) thì Max (abc)=
3
3







k
(khi và chỉ khi a=b=c)
*Bốn số a, b, c, d không âm:
+ Nếu abcd=k (không đổi) thì Min(a+b+c+d) =4
4
k
(khi và chỉ khi a=b=c=d )
+ Nếu a+b+c+d =k (không đổi) thì Max(abcd) =
4
4






k
( khi và chỉ khi a=b=c=d )
*Với n số không âm :
0, ,,,
321
≥
n
aaaa
+ Nếu
kaaaa
n

=
321
(không đổi ) thì
Min (
n
n
knaaaa =++++ )
321
(khi và chỉ khi
n
aaaa ====
321
)
+ Nếu
kaaaa
n
=++++
321
(không đổi ) thì
Max(
n
n
n
k
aaaa







=)
321
(khi và chỉ khi
n
aaaa ====
321
)
IV. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
6

A. Phương pháp 1:
Biến đổi biểu thức đã cho thành một tổng của các biểu thức sao cho tích của chúng là
một hằng số để tìm GTNN hoặc biến đổi biểu thức đã cho thành một tích của các biểu
thức sao cho tổng của chúng là một hằng số để tìm GTLN

Bài toán 1: Cho a > 0 Tìm GTNN của biểu thức:
A
1
= a+
a
1
Giải: Vì a > 0 nên
0
1
>
a
,
Áp dụng bất đẳng thức cô si với 2 số dương a và
a

1
Ta có : a+
a
a
a
1
.2
1
≥
=2
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=
a
1
⇔
11
2
=⇔= aa
(vì a > 0)
Vậy Min A
12
1
=⇔= a
Nhận xét: Hai số dương a và
a
1
có tích là một hằng số
Bài toán 2: Với mọi số thực a, tìm GTNN của biểu thức:
A
2
=

1
2
2
2
+
+
a
a
Giải: Ta có a
(
)
112
2
22
++=+ a
nên:
7

A
(
)
1
11
1
2
2
2
2
2
2

2
+
++
=
+
+
=
a
a
a
a
=
1
1
1
2
2
+
++
a
a
Vì
01
2
>+a
với mọi a nên
Áp dụng bất đẳng thức cô si với 2 số dương
1
2
+a

và
1
1
2
+a
ta có:

1
1
1
2
2
+
++
a
a
2
1
1
.12
2
2
=
+
+≥
a
a
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1
2

+a
=
1
1
2
+a
0=⇔ a
Vậy Min A
02
2
=⇔= a
• Nhận xét: Phân tích
(
)
11112
2
222
++=++=+ aaa
để có tích hai số dương
1
2
+a
với
1
1
2
+a
là một hằng số

Bài toán 3: Với x không âm , tìm GTNN của biểu thức

A
1
8
3
+
+
=
x
x
Gi¶i: Ta cã : A
1
8
3
+
+
=
x
x
=
1
9)1(
2
+
+−
x
x
8

=
2

1
9
1
1
9
1
+
++=
+
+
x
x
x
x
Vì x
0

nên
x
đợc xác định và
01 >+x
,
0
1
9
>
+x
áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số dơng
1+x
và

1
9
+x
ta có :
A
=
3
( )
2
1
9
.122
1
9
1
+
+
+
++
x
x
x
x
=2.3 2=4
Dấu = xảy ra
1
9
1
+
=+

x
x
4= x
Vậy Min A
44
3
== x

Bài toán 4: Cho x>0 Tìm GTNN của biểu thức
A
2
3
4
272
x
x +
=
Giải : Ta có A
222
3
4
2727
2
272
x
xx
x
x
x
x

++=+=
+
=
Vì x>0 áp dụng bất đẳng thức côsi cho 3 số dơng x, x,
2
27
x
ta có:
x+x+
93.3
27
3
27
3
22
==
x
xx
x
Dấu = xảy ra
2
27
x
xx ==

327
3
== xx
9

Vậy Min A
39
4
== x
Nhận xét: Hai số dơng 2x và
2
27
x
có tích không phải là một hằng số.
Muốn khử đợc x
2
thì tử phải có x
xx.
2
=
do đó phải biểu diễn
2x=x +x rồi dùng bất đẳng thức côsi với 3 số dơng
Bài toán 5 : Cho x > 0 Tìm GTNN của biểu thức
A
x
x 2000
3
5
+
=
Giải: A
xx
x
x
x 100010002000

2
3
5
++=
+
=
Vì x>0 nên x
0
2
>
;
0
1000
>
x
áp dụng bất đẳng thức côsi cho 3 số dơng x
xx
1000
;
1000
;
2
ta có:
A
300100.3
1000
.
1000
.3
10001000

3
22
5
==++=
xx
x
xx
x
Dấu = xảy ra
101000
10001000
32
==== xx
xx
x

Vậy Min A
10300
5
== x

Bài toán 6: Với x > 0 Tìm GTNN của biểu thức
A
x
xx
2
562
2
6
+

=

10

Giải: ta có A
x
xx
2
562
2
6
+
=
=
3
2
5
2
5
3 +=+
x
x
x
x

Vì x > 0 nên
0
2
5
>

x

áp dụng bấtđẳng thức côsi cho 2 số dơng x và
x2
5
ta có:
A
3103
2
5
23
2
5
.23
2
5
6
==+=
x
x
x
x
Dấu = xảy ra
2
10
2
5
== x
x
x

Vậy Min A
2
10
310
6
== x

Bài toán 7 : Cho x
0

Tìm GTNN của biểu thức
A
=
7
( )
12
172
2
+
++
x
xx
Giải: Ta có: A
=
7
( )
12
172
2
+

++
x
xx
=
( )
( )
1
8
2
1
12
161
2
+
+
+
=
+
++
x
x
x
x
Vì x
0

nên
0
1
8

;0
2
1
>
+
>
+
x
x

áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số dơng
2
1+x
và
1
8
+x
ta có:
A
42.2
1
8
.
2
1
2
1
8
2
1

7
==
+
+

+
+
+
=
x
x
x
x
11

Dấu = xảy ra
3
1
8
2
1
=
+
=
+
x
x
x
Vậy Min A
34

7
== x

Bài toán 8 : Cho
0

x
Tìm GTNN của biểu thức
A
3
346
8
+
++
=
x
xx
Giải: Ta có A
( )
3
253
3
346
2
8
+
++
=
+
++

=
x
x
x
xx
=
( )
3
25
3
+
++
x
x
Vì
0

x
nên
x
đợc xác định và
03 >+x
;
3
25
+x
>0
áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số dơng
3+x
và

3
25
+x
ta có:
A
( ) ( )
105.2
3
25
.32
3
25
3
8
==
+
+
+
++=
x
x
x
x
Dấu = xảy ra
4
3
25
3 =
+
=+ x

x
x
Vậy Min A
410
8
== x
12

Bài toán 9: Cho x>1 . Tìm GTNN của biểu thức
A
1
25
4
9

+=
x
x
Giải: Ta có A
( )
4
1
25
14
1
25
4
9
+

+=

+=
x
x
x
x
Vì x>1 nên x-1 >0 .
áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số dơng 4
( )
1x
và
1
25
x
ta có:
A
( ) ( )
24410.24
1
25
.1424
1
25
14
9
=+=+

+

+=
x
x
x
x
Dấu = xảy ra
( )
2
7
1
25
14 =

= x
x
x
Vậy Min A
2
7
24
9
== x
Bài toán 10 : Cho x>y và x.y = 5 . Tìm GTNN của biểu thức
A
yx
yxyx

++
=
22

10
2,1
Giải: Ta có : A
yx
yxyx

++
=
22
10
2,1
=
( )
( )
yx
yx
yx
xyyx

+=

+ 162,3
2
( vì x.y = 5 )
Vì x>y nên x-y>0 ;
0
16
>
yx
áp dụng bất đẳng thức côsi với 2 số dơng x-y và

yx
16
ta có:
13

A
( )
84.2
16
.2
16
10
==



+=
yx
yx
yx
yx
Dấu = xảy ra
4
16
=

= yx
yx
yx
kết hợp với điều kiện x.y=5

ta đợc x=5,y=1 và x=-1,y=-5
Vậy Min A
1,58
10
=== yx
hoặc x=-1,y=-5
Bài toán 11 : Tìm GTLN của biểu thức :
( )
33
11
16 xxA =

( với
3
220 x
)
Giải : Vì
3
220 x
nên
016;0
33
xx
áp dụng BĐT côsi cho hai số không âm ta có :
( )
( )
[ ]
64
4
16

4
16
16
2
2
33
33
11
==
+
=
xx
xxA
Dấu = xảy ra
2816
333
=== xxxx
Vậy Max
264
11
== xA
Bài toán12 : Tìm GTLN của biểu thức :
2
12
9 xxA =
( với
33

x
)

Giải: Vì
33 x
nên
09;0
2
> xx
áp dụng BĐT côsi cho hai số không âm ta có:

( )
2
9
2
9
99
22
222
12
=
+
==
xx
xxxxA
14

Dấu = xảy ra
2
23
9
22
== xxx

Vậy Max
2
23
2
9
12
== xA
Bài toán 13: Tìm GTLN của biểu thức :
( )( )
121
13
= xxA

Với
1
2
1
x
Giải: Vì
1
2
1
x
nên 1-x
012;0 x
áp dụng BĐT côsi cho hai số không âm ta có:

( )( ) ( )( )
( ) ( )
[ ]

8
1
1.
8
1
4
1222
.
2
1
1222
2
1
121
2
13
==
+
==
xx
xxxxA
Dấu = xảy ra
4
3
1222 == xxx
Vậy Max
4
3
8
1

13
== xA
Bài toán 14: Cho 0<x<2 . Tìm GTNN của biểu thức
A
xx
x 2
2
9
14
+

=
Giải: Ta có: A
xx
x 2
2
9
14
+

=
=
1
2
2
9
+

+
x

x
x
x
Vì 0<x<2 nên 2-x>0
0
2
;0
2
9
>

>


x
x
x
x
áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số dơng
x
x
2
9
và
x
x2
ta có:
15

A

713.21
2
.
2
9
21
2
2
9
14
=+=+


+

+

=
x
x
x
x
x
x
x
x
Dấu = xảy ra
2
12
2

9
=

=

x
x
x
x
x
Vậy Min A
2
1
7
14
== x
Nhận xét: Trong cách giải trên ta đã tách
x
2
thành tổng
1
2
+

x
x
hạng tử
x
x2
nghịch đảo với

x
x
2
nên khi vận dụng BĐT Côsi ta đợc tích của chúng là
một hằng số
Bài toán 15: Cho 0 < x < 1 Tìm GTNN của biểu thức
A
xx
4
1
3
15
+

=
Giải: A
xx
4
1
3
15
+

=
=
( )
7
14
1
3

+

+
x
x
x
x
Vì 0<x<1 nên 1-x > 0
( )
0
14
;0
1
3
>

>


x
x
x
x
áp dụng bất đẳng thức côsi với 2 số dơng
x
x
1
3
và
( )

x
x14
ta có:
A
( ) ( )
347732.27
14
.
1
3
27
14
1
3
15
+=+=+


+

+

=
x
x
x
x
x
x
x

x
=
( )
2
32 +
Dấu = xảy ra
( )
( )
2
13
14
1
3
=

=

x
x
x
x
x
Vậy Min A
( ) ( )
22
15
1332 =+= x
16

Chú ý: Làm thế nào để có thể biểu diễn đợc :

( )
7
14
1
34
1
3
+

+

=+
x
x
x
x
xx
?
Ta đặt
( )
c
x
xb
x
ax
xx
+

+

=+

14
1
34
1
3
Sau đó sử dụng phơng pháp đồng nhất hệ số ta tìm đợc:
a=b=1 ; c=7
Bài toán 16: Cho x>0 Tìm GTNN của biểu thức
A
3
4
16
163
x
x +
=
Giải: Ta có A
3
4
16
163
x
x +
=
=3x +
33
1616

x
xxx
x
+++=
Vì x>0 nên
0
16
3
>
x
.
áp dụng bất đẳng thức côsi cho 4 số dơng x, x, x,
3
16
x
ta có:
A
82.416.4
16
4
16
4
4
33
16
===+++=
x
xxx
x
xxx

Dấu = xảy ra
3
16
x
xxx ===
216
4
== xx
(vì x>0)
Vậy Min A
28
16
== x
17

Bài toán 17 :Cho a,b,x>0 . Tìm GTNN của biểu thức
A
( ) ( )
x
bxax ++
=
.
17
Giải : Ta có: A
( ) ( )
x
bxax ++
=
.
17

=
( )
ba
x
ab
x +++
Vì a,b,x>0 nên
0>
x
ab
. áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số dơng x và
x
ab
Ta có: A
( ) ( )
ba
x
ab
xba
x
ab
x +++++= .2
17
=
( )
2
2 babaab +=++
Dấu = xảy ra
abxabx
x

ab
x ===
2
Vậy Min A
( )
abxba =+=
2
17
B . ph ơng pháp 2:
Để tìm cực của một biểu thức ta tìm cực trị của bình phơng biểu thức đó
Bài toán 18 : Tìm GTLN của biểu thức : A
xx 3753
18
+=
Giải: ĐKXĐ
3
7
3
5
x
Ta có:
A
( ) ( ) ( ) ( )
xxxx 37.5323753
2
18
++=
=
( ) ( )
xx 37.5322 +

18

áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số không âm 3x-5 và 7-3x tacó:
A
( ) ( )
xx 37.5322
2
18
+=

( ) ( )
xx 37532 ++
=4
Dấu = xảy ra
23753 == xxx
Vậy Max A
2
18
=4
22
18
== xMaxA
Nhận xét : Biểu thức A
18
đợc cho dới dạng tổng của hai căn thức .Hai biểu thức
lấy căn có tổng không đổi (bằng 2) . Vì vậy nếu ta bình phơng hai vế biểu thức A
18
thì sẽ xuất hiện hạng tử là hai lần tích của hai căn thức. Đến đây ta có thể vận dụng
BĐT Côsi : 2
baab +

Bài toán 19: Tìm GTLN của biểu thức A
xx += 235
19
Giải : ĐKXĐ : 5
23

x
ta có A
( )( )
xxxx ++= 2352235
19
2
=
( )( )
xx + 235218
áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm x-5 và 23-x ta có:
A
( )( ) ( ) ( )
3623518235218
19
2
=+++= xxxx
Dấu = xảy ra
14235
==
xxx
Vậy Max A
14636
19
19

2
=== xMaxA
Bài toán 20: Tìm GTNN và GTLN của biểu thức
A
15
20
+= xx
Giải: ĐKXĐ: 1
5

x
19

Ta có A
0
20

và A
( )( )
15215
20
2
++= xxxx
=4+2
( )( )
415 xx
mà A
0
20

nên A
2
20

áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm 5-x và x-1 , ta có
2
( )( )
41515 =+ xxxx
Do đó A
8
2
20

mà A
0
20

nên A
22
20

Vậy Min A
52
20
== x
hoặc x=1
Max A
31522
20
=== xxx

C. Ph ơng pháp 3:
Nhân và chia một biểu thức với cùng một số khác 0
Bài toán 21: Tìm GTLN của biểu thức : A
x
x
5
9
21

=
Giải: ĐKXĐ : x
9
A
30
1
10
3
99
5
3
3
9
2
1
5
3.
3
9
5
9

21
=
+
=






+



=

=
x
x
x
x
x
x
x
x
Dấu = xảy ra
183
3
9
==

x
x
Vậy MaxA
18
30
1
21
== x
20

Nhận xét: Trong cách giải trên, x-9 đợc biểu diễn thành
3.
3
9x
và ta đã gặp ở chỗ
khi vận dụng BĐT Côsi , tích
3.
3
9x
đợc làm trội thành nửa tổng
x
x
3
1
3
3
9
=+

có dạng
kx có thể rút gọn cho x ở dới mẫu, kết quả là một hằng số . Còn số 3 ở trên tìm đợc
bằng cách lấy căn bậc hai của 9 , số 9 này có trong đề bài
Bài toán 22: Tìm GTLN của biểu thức : A
x
x
2
4
22

=

D. ph ơng pháp 4 :
Thêm một hạng tử vào biểu thức đã cho
Bài toán 23 : Cho ba số x, y , z >0 thỏa mãn x+y+z=2
Tìm GTNN của biểu thức : A
yx
z
xz
y
zy
x
+
+
+
+
+
=
222
23

Giải: áp dụng BĐT Côsi với 2 số dơng
zy
x
+
2
và
4
zy +

ta đợc:

x
xzy
zy
xzy
zy
x
==
+
+

+
+
+ 2
.2
4
.2
4
22

(1)
Tơng tự ta có :
y
xz
xz
y

+
+
+ 4
2
(2)
21


z
yx
yx
z

+
+
+ 4
2
(3)
Cộng vế với vế BĐT (1), (2), (3) ta đợc:

zyx
zyx
yx

z
xz
y
zy
x
++
++
+
+
+
+
+
+ 2
222
A
( )
1
22
23
=
++
=
++
++
zyxzyx
zyx
( vì x+y+z=2)
Dấu = xảy ra

3

2
=== zyx
Vậy Min A
3
2
1
23
==== zyx
Nhận xét : Ta đã thêm
4
zy +
vào hạng tử thứ nhất
zy
x
+
2
có trong đề bài , để khi vận
dụng BĐT Côsi có thể khử đợc (y+z) cũng nh vậy đối với hạng tử thứ hai và thứ ba
Bài toán 24: Cho a, b, c >1. Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc
A
24
=
111
+

+
a
c
c
b

b
a
Giải:
Vì a,b,c>1 nên
01,1,1 > cba
áp dụng bất đẳng thức CÔSI với 2 số dơng ta có

( )
ab
b
a
414
1
+


( )
bc
c
b
414
1
+

22


( )
ca
a

c
414
1
+

Cộng vế với vế các BĐT trên rồi thu gọn ta có A
24
===
cba12
4
Vậy Min A
24
=12
4=== cba
Bài toán 25: Cho a,b>1 . Tìm GTNN của biểu thức : A
11
22
25

+

=
a
b
b
a
V. Các bài toán vận dụng
Bài toán 26: Với x>-1 .Tìm GTNN của biểu thức : A
( )( )
( )

1
102
26
+
++
=
x
xx
Bài toán 27: Với x>0.Tìm GTNN của biểu thức : A
x
xx
+
++
=
1
20001992
27
Bài toán 28: Với x,y,z >0 Tìm GTNN của biểu thức : A
x
z
z
y
y
x
++=
28
Bài toán 29: Với x,y,z là các số không âm và thỏa mãn: x+y+z =1
Tìm GTLN của biểu thức : A
29
=xyz(x+y)(y+z)(z+x)

Gợi ý: áp dụng BĐT côsi với 3 số không âm ta đợc
1=x+y+z
3
3 xyz
(1)
2=(x+y)+(y+z)+(z+x)
( )( )( )
3
3 xzzyyx +++
(2)
Nhân từng vế (1) và (2) (do hai vế đều không âm ) đợc:
2
3
29
9 A
3
29
9
2






A
23

Bµi to¸n 30: Víi 0<x<1 > T×m GTNN cña biÓu thøc: A
xx

1
1
2
30
+
−
=
Bµi to¸n 31: Cho x.y=1 vµ x >y > T×m GTNN cña biÓu thøc
A
yx
yx
−
+
=
22
31
Bµi to¸n 32: Cho a,b, c lµ ba c¹nh cña mét tam gi¸c .
T×m GTLN cña biÓu thøc : A
( )( )( )
abc
bacacbcba
3
32
−+−+−+
=
Gîi ý: a,b,c lµ ba c¹nh cña mét tam gi¸c nªn a,b,c >0
Ta cã a+b >c , b+c>a, c+a>b
Do ®ã a+b-c >0, b+c-a >0, c+a-b >0
¸p dông B§T C«si víi hai sè d¬ng , ta cã:

( )( )
b
acbcba
acbcba =
−++−+
≤−+−+
2
(1)
T¬ng tù
( )( )
)2(cbacacb ≤−+−+

( )( )
acbabac ≤−+−+
(3)
Tõ (1), (2), (3) ta cã: (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)
abc
≤
Bµi to¸n 33: Víi x,y,z >0 . T×m GTNN cña biÓu thøc :
A
( )( )( )
xzzyyx
xyz
+++
=
33
Bµi to¸n 34: Cho x,y >0 vµ x+y
6≥
.T×m GTNN cña biÓu thøc:
24

A
yx
yx
46
23
34
+++=
Gợi ý: A
yx
yx
46
23
34
+++=
=
( )
y
y
x
x
yx
8
2
6
2
3
2
3
+++++

19469
8
.
2
2
6
.
2
3
26.
2
3
=++=++
y
y
x
x

Bài toán 35 : Cho x , y >0 và thỏa mãn x+y=1.
Tìm GTLN của biểu thức
A
32
35
yx=
Gợi ý: ta có 1=x+y=
5
32
5
32

5
1
108108
5
33322






++++
yxyxyyyxx
Bài toán 36:Cho x,y,z >0 thỏa mãn x+y+z
12
Tìm GTNN của biểu thức: A
x
z
z
y
y
x
++=
36
Gợi ý: A
36
y
xz
x
zy

z
yx
x
z
z
y
y
x 22
2
222
2
+++++=
áp dụng BĐT Côsi cho bốn số dơng ta đợc:

x
yz
yzxx
z
z
yx
z
yx
y
x
4
.
4
4
222
=+++

yx
x
zy
x
zy
z
y
4
2
+++

zz
y
xz
y
xz
x
z
4
2
+++
Do đó A
( ) ( ) ( )
zyxzyxzyx ++=++++ 34
2
36
25