Tài liệu MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TỔ HỢP pptx

Phan Lễ Hải – 12 Toán - Sơn Tây Chúc thành công!
1
MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TỔ HỢP



Bài giải
Theo công thức khai triển nhị thức Newton, ta có:
(1)
Thay x=1 vào (1) ta được:

Vì (2)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho (n-1) số dương, ta có:

(3)
Từ (2) và (3) suy ra:
(4)

Dấu “=” xảy ra ( trái gt)
Suy ra dấu “=” ở (4) không xảy ra. Suy ra đpcm.


Bài giải
Theo công thức khai triển nhị thức Newton, ta có:
(1)
Thay x = i và n = 2009 vào (1) ta được:


(2)
Mặt khác, theo công thức Moavrơ:

(3)

Từ (2) và (3) suy ra


0 1 2 -1
1 ..... 2 - 2
n n n
n n n n n
C C C C C      
-1
1 2 -1
0 1 2 -1 1 2 -1
....
. . ..... . . .....
-1
n
n
n n n
n n n
n n n n n n n n
C C C
C C C C C C C C
n
 
  

 
 
 
-1
0 1 2 -1
2 2
. . ..... .
-1
n
n
n n
n n n n n
C C C C C
n
 


 
 
1 2 -1
..... 1
n
n n n
C C C n     
Bài 1
Bài 2
0 1 2 2 3 3 4 4 -1 -1
(1 ) .......
n n n n n
n n n n n n n

x C C x C x C x C x C x C x        
0 1 2 2 3 3 4 4 -1 -1
(1 ) .......
n n n n n
n n n n n n n
x C C x C x C x C x C x C x        
2009 0 1 2 2 3 3 4 4 2008 2008 2009 2009
2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009
(1 ) .......i C C i C i C i C i C i C i        
2009 0 2 4 2008 1 3 2009
2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009
(1 ) ( -.... ) - ( - ....... )i C C C C i C C C       
2009
2009
2009
1 1
(1 ) 2( ) 2(cos sin )
4 4
2 2
i i i
 
 
 
    
 
 
 
 
2009 2009
1004 1004 1004 1004

2009 2009
(1 ) ( 2) (cos sin )
4 4
2 2 (cos sin ) 2 (1 ) 2 2
4 4
i i
i i i
 
 
   
     
1004
2S 
0 1 2 3 4 -1
....... 2
n n n
n n n n n n n
C C C C C C C       
Phan Lễ Hải – 12 Toán - Sơn Tây Chúc thành công!
2


Bài giải
Với n chẵn, ta có
Theo công thức khai triển nhị thức Newton, ta có:
(1)
Thay x = vào (1) ta được:

(2)

Mặt khác:




(3)

Từ (2) và (3) suy ra
(đpcm)






Bài giải
Đặt S =

Với , ta có: (*)

Ta xét 2 trường hợp:
+) Nếu n chẵn, giả sử n = 2m; khi đó


Bài 3

 
2
2
2
( 1)
n
n
n
i i  
0 1 2 2 3 3 4 4 -1 -1
(1 ) .......
n n n n n
n n n n n n n
x C C x C x C x C x C x C x        
0 1 2 2 3 3 4 4
-1 -1
(1 tan ) tan ( tan ) ( tan ) ( tan )
....... ( tan ) ( tan )
n
n n n n n
n n n n
n n
i x C C i x C i x C i x C i x
C i x C i x
     
  
0 1 2 2 3 3 4 4
-1 -1
2 2
(1 tan ) tan tan tan tan

.......-(-1) tan (-1) tan )
n
n n n n n
n n
n n n n
n n
i x C C i x C x C i x C x
C i x C x
      
 
0 2 2 4 4
2
1 3 3 -1 -1
2
(1 tan ) ( tan tan .... (-1) tan )
( tan tan ....-(-1) tan )
n
n n n
n n n n
n
n n
n n n
i x C C x C x C x
i C x C x C x
      
  
tani x
1 1
(1 tan ) (cos sin ) (cos sin )
cos cos

1
(1 tan ) (cos sin )
cos
n
n n
n
n
n
i x x i x x i x
x x
i x nx i nx
x
 
    
 
 
  
n
0 2 2 4 4 n n
2
n n n n
C C tan +C tan ....+(-1) C tanx x x 
n
cos
cos
nx
x

Bài 4
0 1 2 -1 1 2

2 2 2 2 2 2 2
2 2 - 2 2 - 4 2 - 2( -1) 2 -2 2 -2( 1) 2 - 4
... ....
m m m m
m m m m m m m
m m m m m m m m m m m
S
C C C C C C C


        
-
-2 - 2( - ) - 2 2 -
0
k n k k k
n n n n
n k n n k n k k n
C C C C
   
0 k n 
Phan Lễ Hải – 12 Toán - Sơn Tây Chúc thành công!
3
(1)

Từ (*) và (1) suy ra S = 0.
+) Nếu n lẻ, giả sử n = 2m+1; khi đó

(2)

Từ (*) và (2) suy ra S = 0
Vậy S = 0 với mọi n.



Bài giải
Theo công thức khai triển nhị thức Newton, ta có:
(1)
Nhân 2 vế của đẳng thức (1) cho x 0, ta được:
(2)
Lấy đạo hàm 2 vế của (2), ta có:


(3)
Từ (3) thay x=2, ta có:



Vậy

0 2 1 2 -1 -1 1
2 2 2 2 2 2 2
2 2 -4 2 -2 2 -2(2 -1) 2 -2( -1) 2 - 2( 1) 2 -2
( ) ( ) ... ( )
m m m m m
m m m m m m m
m m m m m m m m m m m m
S
C C C C C C C


        
0 1 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2 1 2 1- 2 2 1-4 2 1- 2 2 1- 2( 1) 2 1- 2(2 1)
... ....
m m m
m m m m m m
m m m m m m m m m
S
C C C C C C

 
     
       
       
0 2 1 1 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
1
2 1 2 1
2 1 2 1-2(2 1) 2 1-2 2 1- 2(2 1)
( ) ( )
2 1- 2 2 1- 2( 1)
... ( )
m m
m m m m
m m
m m
m m m m m m
S
C C C C
m m m m
C C
 
   

 
     
    
  
  
Bài 5

0 1 2 2 3 3 -1 -1
(1 ) .......
n n n n n
n n n n n n
x C C x C x C x C x C x       
0 1 2 2 3 3 4 -1 1
(1 ) .......
n n n n n
n n n n n n
x x C x C x C x C x C x C x

       
1 0 1 2 2 3 3 -1 1
(1 ) (1 ) 2 3 4 ..... ( 1)
n n n n n n
n n n n n n
xn x x C C x C x C x nC x n C x
 
          
1 0 1 2 2 3 3 -1 1
(1 ) ( 1) 2 3 4 .... ( 1)
n n n n n
n n n n n n
x nx x C C x C x C x nC x n C x
 
           
0 2 1 2 2 3 3 1 -1 1
2 3.2 2 .4 ..... .2 ( 1).2 (1 2) (2 2 1)
n n n n n
n n n n n n

C C C C n C n C n
 
          
0 2 1 2 2 3 3 1 -1 1
2 3.2 2 .4 ..... .2 ( 1).2 (2 3).3
n n n n n
n n n n n n
S C C C C n C n C n
 
          
1
(2 3).3
n
S n

 
Phan Lễ Hải – 12 Toán - Sơn Tây Chúc thành công!
4
BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC



Bài giải




(1)

(2)

Từ (1) và (2) suy ra: (3)

Chứng minh hoàn toàn tương tự, ta có: (4)


(5)
Nhân vế tương ứng các BĐT cùng chiều (3), (4), (5), suy ra:




Dấu “=” xảy ra

đều




Bài giải

Tam giác ABC vuông tại C (đpcm)
Bài 1
-
0< , < 0 cos 1
4 4 4 4
B C B C
Vì B C B C
 
 
 
 
        
 
 
0 2 0 sin sin 0
4 2 4 4
B C A B C
Do B C
 

  
   
       
   
   
1 1
sin sin .cos sin .cos sin sin
4 4 4 4 4 2 2 2 2
A A B C B C B C B C

 
    
         
    
         
         
sin ,sin 0 sin sin 2 sin .sin
2 2 2 2 2 2
B C B C B C
Do    
sin sin .sin
4 2 2
A B C


 

 
 
sin sin .sin
4 2 2
C A B


 

 
 
sin sin .sin
4 2 2

B A C


 

 
 
sin sin sin sin .sin .sin
4 4 4 2 2 2
A B C A B C
  
  
     

     
     
sin sin sin
2 2 2
- - -
cos cos cos 1
4 4 4
A B C
A B C
  
 
     
  
     
     
6

A B C
ABC là tam giác

   
V

Bài 2
 
2
2009
0, sin (0,1] sin sinVì C C C C

    
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2
1 1
sin sin sin ( )
4 4
-
cos 0
2
A B C a b c a b c
R R
a b c
C
ab
        


  
 
2 2
1 cos2 1 cos2 1
sin sin 1 cos2 cos2
2 2 2
1 cos( ).cos( - ) 1 cos .cos( - ) 1 ( osC 0,cos( - ) 0)
A B
A B A B
A B A B C A B Do c A B
 
     
       
2009
sin 1 sin 1 sin 1
2
C C C C

        
, (0; ) - os( - ) 0
2 2 2
Vì A B A B c A B
  

     
Phan Lễ Hải – 12 Toán - Sơn Tây Chúc thành công!
5