Khai thác bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác

1






Khai thác bài toán chứng minh đẳng
thức, bất đẳng thức lượng giác

2

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài.
Trong nhà trường phổ thông, môn Toán là môn học công cụ góp phần
phát triển các năng lực trí tuệ cho người học, hơn nữa học Toán có khả năng
phát triển tư duy, sáng tạo rất tốt cho mọi lứa tuổi học sinh. Tuy nhiên, việc học
Toán và tư duy Toán học không phải là vấn đề dễ tiếp cận đối với học sinh ở
trung học. Có thể thấy rằng việc tìm ra lời giải một bài toán nhiều khi không
phải là quá khó nhưng thực ra sau mỗi bài toán đó có biết bao điều lí thú vẫn
chưa được khám phá do đó, khi giải một bài toán không chỉ dừng lại ở bước
hiểu được lời giải mà cần phát triển khả năng tư duy cho học sinh, giúp học sinh
có kỹ năng tìm hiểu những vấn đề mới của bài toán.
Lượng giác là một phân môn quan trọng và chiếm nhiều thời gian trong
chương trình toán bậc trung học, cao đẳng, đại học Tuy nhiên, khả năng và
trình độ đi sâu của người học vào chuyên đề này vẫn còn nhiều mặt hạn chế.
Trong hầu hết các kỳ thi học sinh giỏi môn Toán, thi Olympic toán giữa các
trường đại học, cao đẳng, học sinh và sinh viên phải đối mặt với nhiều dạng toán
khó có liên quan đến chuyên đề này. Hơn nữa các bài toán lượng giác được ứng
dụng nhiều trong việc giải phương trình, bất phương trình, ứng dụng trong tích

phân bằng phương pháp đổi biến số. Các vấn đề liên quan đến đẳng thức, bất
đẳng thức lượng giác là một bộ phận quan trọng của giải tích đại số và nhiều
dạng toán của hình học đặc biệt là bài toán tìm cực trị. Nếu một hàm số đã
được cho hoặc chuyển được về dạng hàm đại số đa thức hoặc hàm đại số hữu tỉ
thì việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất sẽ trở nên dễ dàng hơn do chúng ta
có thể sử dụng công cụ đạo hàm hoặc đồ thị. Tuy nhiên, có nhiều bài toán tìm
giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của những hàm đại số một biến, hay hàm đại số
nhiều biến khá phức tạp thì việc tìm ra phương pháp giải mới là vô cùng quan
trọng. Trong những trường hợp này, nếu sắp xếp được ta có thể dùng ẩn phụ
lượng giác để lượng giác hóa các hàm đại số cùng với một lời giải nhiều lúc sẽ
ngắn hơn, tốt hơn, đường đi thuận lợi hơn và đặc biệt là nó rèn luyện cho các em
học sinh khả năng tư duy, vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học.
Các bài tập về đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác rất phong phú và cực
kỳ đa dạng do đó việc giải hay chứng minh một bài tập về đẳng thức, bất đẳng
thức lượng giác không chỉ có một hay vài phương pháp truyền thống mà còn
giúp truyền thụ những tri thức mới bởi bên cạnh những bài toán có thuật giải còn
có không ít những bài khác không có thuật giải vì vậy việc dạy và học tri thức

3

cũng như phương pháp chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác gặp
không ít khó khăn cần phải có những định hướng cho lời giải hoặc là một bước
nào đó trong cả quá trình chứng minh. Khi đã có định hướng cho lời giải thì
cùng với những kỹ năng biến đổi các công thức và phương trình lượng giác đã
được rèn luyện sẽ phát triển khả năng khai thác lời giải bài toán chứng minh
đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác cũng như năng lực tư duy sáng tạo vận
dụng kiến thức đã học để giải toán cho học sinh.
Trên thực tế đã có nhiều đề tài nghiên cứu về chuyên đề lượng giác nhưng
vẫn chưa có một đề tài nào thể hiện được cách tiếp cận đầy đủ cho người học.
Chính vì vậy, nhằm cung cấp thêm cho người học đề tài thể hiện được hệ thống

các ý tưởng cơ bản, cách thức tiếp cận và một số phương pháp giải điển hình
cho các đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác tôi chọn đề tài “Khai thác bài toán
chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác”. Đề tài bao gồm những vấn
đề lý thuyết cơ bản về lượng giác, đưa ra một số phương pháp chứng minh và
khai thác lời giải của một số bài tập trong đó bao gồm những bài tập đã được
giải và một số bài tập đề nghị.
2. Mục đích của đề tài
Giúp học sinh nâng cao hiểu biết về đặc điểm tính chất của các hàm lượng
giác và một số phương pháp chứng minh đẳng thức và bất đẳng thức lượng giác.
Đưa ra một số hướng khai thác bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng
thức lượng giác và việc sử dụng một số đẳng thức lượng giác để giải phương
trình, giải bất phương trình, tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất cho các biểu
thức.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu về đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác: Giải và khai thác một
số bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác.
Tìm hiểu một số vấn đề lí thuyết cơ bản và một số hướng khai thác bài
toán về đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác để giải bài toán lượng giác, bài toán
đại số và bài toán tìm cực trị từ đó góp phần phát triển kĩ năng thực hành giải bài
toán lượng giác cho học sinh, sinh viên.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu lí luận về kiến thức lượng giác cơ bản, về một số phương pháp
giải bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác.

4

Nghiên cứu về việc khai thác bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng
thức lượng giác.
Nghiên cứu một số phương pháp vận dụng kiến thức lượng giác để chứng
minh đẳng thức và bất đẳng thức đại số, các bài toán cực trị, bài toán chứng

minh trong hình học.
5. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu lí luận: bao gồm phân tích, tổng hợp các sách,
báo, một số công trình nghiên cứu, tạp chí khoa học có liên quan. Phân loại hệ
thống kiến thức về mặt lí luận theo các dạng khác nhau.
Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: dùng lí luận để phân tích thực tiễn
giáo dục và dạy học để rút ra những kinh nghiệm cần thiết.
Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Với sự tham gia góp ý và hướng dẫn
của thầy Trần Công Tấn.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn.
Khóa luận là tài liệu tham khảo cho học sinh ở các trường phổ thông, sinh
viên các ngành đặc biệt là sinh viên sư phạm toán. Giúp họ hiểu thêm về các
hàm lượng giác, có kĩ năng khai thác một số bài toán chứng minh đẳng thức, bất
đẳng thức lượng giác, ngoài ra còn có thể sử dụng kết quả đã được chứng minh
để có thể đề xuất những hướng khai thác mới hữu ích cho quá trình thực hành
giải các bài toán lượng giác, bài toán đại số và hình học.
Đối với bản thân, là cơ hội để mở rộng và đi sâu nghiên cứu về kiến thức,
phương pháp giải các bài toán lượng giác cũng như các bài toán liên quan khác.
Phát triển kĩ năng phân tích, tư duy toán học thực sự hữu ích cho công tác giảng
dạy sau này ở trường phổ thông.
7. Bố cục của khóa luận
Ngoài phần Mở đầu, tài liệu tham khảo và Kết luận, bố cục của khóa luận
bao gồm ba chương
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Giới thiệu về đặc điểm và những tính chất quan trọng của hàm lượng giác,
đẳng thức – bất đẳng thức lượng giác, đưa ra hệ thống các công thức cũng như
một số hệ thức lượng giác cơ bản. Đưa ra một số bất đẳng thức đại số quen
thuộc phục vụ cho quá trình nghiên cứu.
Chương 2: Phương pháp chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác

5

Đề cập đến một số phương pháp chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức
lượng giác, việc vận dụng các phương pháp vào giải toán và một số dấu hiệu để
lượng giác hóa các hàm đại số.
Chương 3: Giải và khai thác một số bài tập
Đưa ra nội dung khai thác bài toán trong chứng minh đẳng thức – bất
đẳng thức lượng giác và việc vận dụng đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác để
giải thành công bài toán đại số đặc biệt là bài toán tìm cực trị.

6

Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. Một số định nghĩa
1.1.1. Định nghĩa các hàm lượng giác cơ bản
Các hàm lượng giác có một vị trí quan trọng đối với bộ môn Toán bởi sự
liên hệ rộng rãi của chúng đối với các lĩnh vực khác của Toán học, ngoài ra nó
còn có ứng dụng quan trọng đối với việc biểu diễn bài toán chuyển động dao
động trong vật lý. Ngày nay người ta thường quan tâm tới sáu hàm lượng giác
cơ bản tuy nhiên đối với học sinh phổ thông thì chỉ chú ý tới bốn hàm lượng
giác chính, các hàm lượng giác này được cho trong bảng dưới đây với nhiều
cách định nghĩa khác nhau.

Hàm Viết tắt Liên hệ
sin sin
sin os
2
c

π
θ θ
 
= −
 
 

cosin cos
os =sin
2
c
π
θ θ
 
−
 
 

tang tan
sin 1
tan cot
os cot 2c
θ π
θ θ
θ θ
 
= = = −
 
 

cotang cotan
os 1
cot tan
sin tan 2
c
θ π
θ θ
θ θ
 
= = = −
 
 

sec sec
1
sec csc
os 2c
π
θ θ
θ
 
= = −
 
 

cosec csc
1
csc sec
sin 2
π

θ θ
θ
 
= = −
 
 


* Định nghĩa bằng tam giác vuông: Cho tam giác ABC là tam giác vuông
tại đỉnh C, xét góc tại đỉnh A ta có
Cạnh huyền là AB nằm đối diện góc vuông, độ dài h.
Cạnh đối BC nằm đối diện góc A, độ dài a.
Cạnh kề AC, độ dài b.
Khi đó vì tổng ba góc trong tam giác bằng π radian hay 180
0
, các hàm
lượng giác được định nghĩa như sau

7

Sin: Cạnh đối chia cho cạnh huyền
sin
a
A
h
 
=
 
 

Cosin: Cạnh kề chia cho cạnh huyền
cos
b
A
h
 
=
 
 

Tang: Cạnh đối chia cho cạnh kề
tan
a
A
b
 
=
 
 

Cotang: Cạnh kề chia cho cạnh đối
cot
b
A
a
 
=
 
 

Sec: Cạnh huyền chia cho cạnh kề
h
secA
b
 
=
 
 

Cosec: Cạnh huyền chia cho cạnh đối
h
cscA
a
 
=
 
 

* Định nghĩa bằng vòng tròn đơn vị (đường tròn lượng giác): Một vòng
tròn đơn vị có bán kính bằng 1 có tâm trùng với tâm của hệ tọa độ. Khi đó, ta có
thể định nghĩa cho mọi góc là số thực và tất cả các góc đều nằm trên đường tròn
đơn vị theo hai hướng là dùng kiến thức đại số và kiến thức hình học.
Dùng đại số: Vòng tròn đơn vị là mọi điểm (x, y) trong mặt phẳng của
hình học phẳng thỏa mãn:
2 2
1
x y
+ =
. G
ọ

i góc
θ
là góc gi
ữ
a
đườ
ng th
ẳ
ng n
ố
i
tâm v
ớ
i
đ
i
ể
m (x, y) và chi
ề
u d
ươ
ng c
ủ
a tr
ụ
c Ox trên h
ệ
t
ọ
a

độ
Oxy. Khi
đ
ó, các
hàm l
ượ
ng giác
đượ
c
đị
nh ngh
ĩ
a:
sin
θ
: y cos
θ
: x
tan
y
x
θ
=

cot
x
y
θ
=

1
sec
x
θ
=

1
csc
y
θ
=

Khi các góc quay trên vòng tròn các hàm sin, cosin, sec, cosec tr
ở
nên
hàm tu
ầ
n hoàn v
ớ
i chu k
ỳ
2
π
radian còn hàm tang, cotang tu
ầ
n hoàn v
ớ
i chu k
ỳ

π
radian.
Dùng hình h
ọ
c: M
ọ
i hàm l
ượ
ng giác có th
ể

đượ
c d
ự
ng lên b
ằ
ng ph
ươ
ng
pháp hình h
ọ
c trên m
ộ
t
đườ
ng tròn
đơ
n v
ị
có tâm

ở
O. V
ớ
i A, B là hai
đ
i
ể
m n
ằ
m
trên
đườ
ng tròn, EF là ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i A và tam giác OEF vuông t
ạ
i O, AB vuông
góc v
ớ
i OE t
ạ
i C,
đườ
ng tròn tâm O c
ắ
t OE t

ạ
i D.
Khi
đ
ó ng
ườ
i ta
đị
nh ngh
ĩ
a các hàm l
ượ
ng giác
sin
θ
: AC sec
θ
: OE
cos
θ
: OC csc
θ
: OF

8

tan
θ
: AE cot
θ

: AF

*
Đị
nh ngh
ĩ
a b
ằ
ng chu
ỗ
i: Có th
ể
dùng chu
ỗ
i Taylor
để
phân tích hàm sin
và cosin thành chu
ỗ
i cho m
ọ
i góc
θ

đ
o b
ằ
ng giá tr
ị
radian th

ự
c, sau
đ
ó t
ừ
hai
hàm này s
ẽ
suy ra chu
ỗ
i c
ủ
a các hàm l
ượ
ng giác còn l
ạ
i. C
ụ
th
ể
ng
ườ
i ta
đị
nh
ngh
ĩ
a b
ằ
ng chu

ỗ
i các hàm l
ượ
ng giác nh
ư
sau:

2 1 3 5 7
0
( 1)
sin
(2 1)! 3! 5! 7!
n n
n
x x x x
x
n
θ
+
∞
=
−
= = − + − +
+
∑


2 2 4 6
0
( 1)

os 1
(2 )! 2! 4! 6!
n n
n
x x x x
c
n
θ
∞
=
−
= = − + − +
∑


2 1 2 1
3 5 7
1
2 (2 1)
2 17
tan ,
(2 )! 3 15 315 2
n n n
n
n
U x
x x x
x x
n
π

θ
− −
∞
=
−
= = − + − + <
∑


2 2 1
3 5
1
2 2
1 1 2
cot ,0
(2 )! 3 45 945 2
n n n
n
n
U x
x x x
x
x n x
π
θ
−
∞
=
= − = − − − + < <
∑

2
2 4 6
1
5 61
sec 1 1 ,
(2 )! 2 24 720 2
n
n
n
E x
x x x
x
n
π
θ
∞
=
= + = + + + + <
∑


2 1 2 1
3 5
1
2(2 1)
1 1 7 31
csc ,0
(2 )! 6 360 15120 2

n n
n
n
B x
x x x
x
x n x
π
θ
− −
∞
=
−
= + = + + + + < <
∑

*
Đị
nh ngh
ĩ
a b
ằ
ng ph
ươ
ng trình vi phân: Cách
đị
nh ngh
ĩ
a này t
ươ

ng
đươ
ng v
ớ
i vi
ệ
c dùng công th
ứ
c Euler và ph
ươ
ng trình vi phân không dùng
để

đị
nh ngh
ĩ
a cho các hàm l
ượ
ng giác sin, cosin, tang, cotang.
C
ả
hai hàm l
ượ
ng giác sin và cosin
đề
u là trái d
ấ
u vi phân b
ậ
c hai c

ủ
a
chính nó nên chúng là nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình vi phân: y" = - y, v
ớ
i
θ
có giá
tr
ị

đ
o là radian. N
ế
u
θ

đ
o b
ằ
ng
độ
thì hàm trên s
ẽ
th

ỏ
a mãn ph
ươ
ng trình
y" = - k
2
y, v
ớ
i
180
k
π
=
. Trong không gian hai chi
ề
u thì hàm sin th
ỏ
a mãn
đ
i
ề
u
ki
ệ
n biên y(0) = 0, y
′
(0) = 1 và hàm cosin là y(0) = 1, y
′
(0) = 0.

9

Hàm tang là nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình vi phân y’ = 1+ y
2
v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n
biên y(0) = 0, còn hàm l
ượ
ng giác cotang là nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình vi phân
y’ = - (1+ y
2

).
1.1.2. Định nghĩa đẳng thức lượng giác
Các
đẳ
ng th
ứ
c l
ượ
ng giác là các ph
ươ
ng trình ch
ứ
a hàm l
ượ
ng giác
đ
úng
v
ớ
i m
ộ
t d
ả
i l
ớ
n các giá tr
ị
c
ủ
a bi

ế
n s
ố
.
Các
đẳ
ng th
ứ
c này v
ừ
a là công c
ụ
h
ữ
u ích cho vi
ệ
c rút g
ọ
n các bi
ể
u th
ứ
c
ch
ứ
a các hàm l
ượ
ng giác v
ừ
a là công c

ụ

để
ch
ứ
ng minh các
đẳ
ng th
ứ
c l
ượ
ng
giác và b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c l
ượ
ng giác.
1.1.3. Định nghĩa bất đẳng thức lượng giác
B
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c gi
ữ

a hai s
ố
: Cho hai s
ố
a và b, ta nói r
ằ
ng a l
ớ
n h
ơ
n b (kí
hi
ệ
u a > b) n
ế
u hi
ệ
u a – b là m
ộ
t s
ố
d
ươ
ng, a nh
ỏ
h
ơ
n b (kí hi
ệ
u a < b) n

ế
u hi
ệ
u
a – b là m
ộ
t s
ố
âm. Ng
ượ
c l
ạ
i n
ế
u hi
ệ
u a – b > 0 thì ta nói r
ằ
ng a l
ớ
n h
ơ
n b (kí
hi
ệ
u a > b); n
ế
u a – b < 0 thì ta nói a nh
ỏ
h

ơ
n b (kí hi
ệ
u a < b).
B
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c gi
ữ
a hai bi
ể
u th
ứ
c: Khi hai bi
ể
u th
ứ
c A(x) và B(x) ph
ụ

thu
ộ
c vào bi
ế
n x,
đượ
c xác

đị
nh trên cùng m
ộ
t kho
ả
ng xác
đị
nh D nào
đ
ó thì ta
vi
ế
t A(x) > B(x) (ho
ặ
c A(x) < B(x)) n
ế
u
ứ
ng v
ớ
i m
ọ
i s
ố
x d
ươ
ng thì ta có hi
ệ
u
A(x) - B(x) > 0 (ho

ặ
c A(x) - B(x) < 0).
Ngoài ra n
ế
u t
ồ
n t
ạ
i ít nh
ấ
t m
ộ
t giá tr
ị
x
0
thu
ộ
c kho
ả
ng xác
đị
nh D sao cho
A(x
0
) = B(x
0
) thì ta vi
ế
t A(x

0
)
≥
B(x
0
) ho
ặ
c A(x
0
)
≤
B(x
0
).
Đị
nh ngh
ĩ
a trên v
ẫ
n
đ
úng
đố
i v
ớ
i các bi
ể
u th
ứ
c ph

ụ
thu
ộ
c vào nhi
ề
u bi
ế
n.
Khi các s
ố
a, b hay các bi
ể
u th
ứ
c A(x), B(x) là các hàm l
ượ
ng giác thì ta
có
đượ
c m
ộ
t b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c l
ượ
ng giác. Nh

ư
v
ậ
y các b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c l
ượ
ng giác có
đầ
y
đủ
tính ch
ấ
t c
ủ
a b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c nói chung h
ơ
n n
ữ
a nó còn mang nh

ữ
ng
đặ
c
đ
i
ể
m tính ch
ấ
t c
ủ
a các hàm l
ượ
ng giác.
1.1.4. Định nghĩa về khai thác bài toán
Khai thác bài toán là vi
ệ
c nhìn nh
ậ
n l
ạ
i toàn b
ộ
cách gi
ả
i
để
có th
ể
giúp ta

phát hi
ệ
n
đượ
c cách gi
ả
i t
ố
t h
ơ
n, hay h
ơ
n ho
ặ
c sâu s
ắ
c h
ơ
n. Nhi
ề
u khi vi
ệ
c khai
thác còn th
ể
hi
ệ
n
ở
vi

ệ
c g
ợ
i ý cho ta tìm
đượ
c nh
ữ
ng bài toán m
ớ
i mà bài toán
v
ừ
a xét ch
ỉ
là tr
ườ
ng h
ợ
p
đặ
c bi
ệ
t. Khi ti
ế
n hành khai thác bài toán s
ẽ
giúp
ng
ườ
i h

ọ
c c
ủ
ng c
ố
và n
ắ
m ch
ắ
c ki
ế
n th
ứ
c c
ơ
b
ả
n, phát tri
ể
n kh
ả
n
ă
ng t
ư
duy
sáng t
ạ
o và k
ĩ

n
ă
ng th
ự
c hành Toán h
ọ
c.
M
ộ
t s
ố
h
ướ
ng khai thác bài toán

10

H
ướ
ng 1: Phát bi
ể
u bài toán t
ươ
ng t
ự
, xét xem bài toán này có gi
ả
i
đượ
c

không?.
H
ướ
ng 2: Khái quát hóa, có th
ể
phát bi
ể
u
đượ
c bài toán t
ổ
ng quát hay
không? Bài toán t
ổ
ng quát còn
đ
úng n
ữ
a không ?. Trái l
ạ
i v
ớ
i khái quát là
đặ
c
bi
ệ
t hóa luôn luôn
đư
a ta

đế
n k
ế
t qu
ả
là bài toán m
ớ
i
đ
úng.
H
ướ
ng 3: Thay
đổ
i gi
ả
thi
ế
t
để

đượ
c bài toán m
ớ
i
đ
i
đế
n ph
ươ

ng pháp
gi
ả
i bài toán khác bài toán ban
đầ
u.
H
ướ
ng 4: T
ừ
ý ngh
ĩ
a bài toán
đ
ã gi
ả
i d
ẫ
n
đế
n ph
ươ
ng pháp gi
ả
i m
ộ
t bài
toán khác
1.2. Tính chất của các hàm lượng giác
Các hàm l

ượ
ng giác
đề
u có tính ch
ấ
t tu
ầ
n hoàn theo chu kì, tuy nhiên, tính
ch
ấ
t quan tr
ọ
ng nh
ấ
t c
ủ
a các hàm l
ượ
ng giác
đượ
c th
ể
hi
ệ
n
ở
ba
đị
nh lý là:
Đị

nh
lý sin,
đị
nh lý cosin,
đị
nh lý tang.
*
Đị
nh lý sin
Trong tam giác ABC b
ấ
t k
ỳ
v
ớ
i AB = c, BC = a, CA = b và R là bán kính
đườ
ng tròn ngo
ạ
i ti
ế
p, ta có
2
sin sin sin
a b c
R
A B C
= = =
.
Đị

nh lý sin
đượ
c dùng
để
tính
độ
dài m
ộ
t c
ạ
nh khi bi
ế
t
độ
dài hai c
ạ
nh
còn l
ạ
i,
đ
ây là bài toán hay g
ặ
p trong k
ĩ
thu
ậ
t tam giác - m
ộ
t k

ĩ
thu
ậ
t dùng
để

đ
o
kho
ả
ng cách d
ự
a vào vi
ệ
c
đ
o góc và các kho
ả
ng cách d
ễ

đ
o khác.
*
Đị
nh lý cosin
Trong tam giác ABC v
ớ
i a, b, c là
độ

dài ba c
ạ
nh c
ủ
a tam giác ta có
2 2 2
2 2 2
2 2 2
a 2 .cos
2 . osB
2 .cos
b c bc A
b a c ac c
c a b ab C
= + −
= + −
= + −

Đ
ây là m
ộ
t k
ế
t qu
ả
m
ở
r
ộ
ng c

ủ
a
đị
nh lý Pitago, và
đượ
c dùng
để
tìm các
d
ữ
li
ệ
u còn l
ạ
i trong tam giác khi bi
ế
t
độ
l
ớ
n hai c
ạ
nh và m
ộ
t góc.
*
Đị
nh lý tang
T
ỉ

s
ố
gi
ữ
a t
ổ
ng và hi
ệ
u c
ủ
a hai c
ạ
nh c
ủ
a m
ộ
t tam giác b
ằ
ng t
ỉ
s
ố
gi
ữ
a tang
n
ử
a t
ổ
ng và tang n

ử
a hi
ệ
u c
ủ
a hai góc
đố
i di
ệ
n t
ươ
ng
ứ
ng trong tam giác
đ
ó.
Bi
ể
u th
ứ
c
( )
( )
1
tan
2
1
tan
2
A B

a b
a b
A B
 
+
 
+
 
=
−  
−
 
 


11

Trong
đ
ó a, b, c là các c
ạ
nh trong tam giác ABC và A, B, C là các góc
t
ươ
ng
ứ
ng c
ủ
a tam giác
đ

ó.
1.3. Lượng giác hóa các công thức cơ bản đầy đủ
1.3.1. Các hệ thức cơ bản
2 2
sin os 1
tan .cot 1
c
α α
α α
+ =
=

( )
2
2
2
2
1
1 tan , ,
os 2
1
1 cot , ,
sin
k k Z
c
k k Z
π
α α π
α
α α π

α
 
+ = ≠ + ∈
 
 
+ = ≠ ∈

1.3.2. Công thức cộng
os( ) os . os sin .sin
os( ) os . os sin .sin
sin( ) sin . os os .sin
sin( ) sin . os os .sin
c c c
c c c
c c
c c
α β α β α β
α β α β α β
α β α β α β
α β α β α β
− = +
+ = −
− = −
+ = +


tan tan
tan( )
1 tan .tan
tan tan

tan( )
1 tan .tan
α β
α β
α β
α β
α β
α β
+
+ =
−
−
− =
+

sin( ) sin cos cos cos sin cos cos cos sin sin sin si
n
cos( ) cos cos cos cos sin sin sin cos sin sin sin co
s
tan tan tan tan .tan .tan
tan( )
1 tan tan tan tan tan tan
α β γ α β γ α β γ α β γ α β γ
α β γ α β γ α β γ α β γ α β γ
α β γ α β γ
α β γ
α β β γ α γ
+ + = + + −
+ + = − − −
+ + −

+ + =
− − −

1.3.3. Công thức nhân
2 2 2 2
2
2
os2 os sin 2cos 1 1 2sin
sin 2 2sin . os
2 tan 2
tan 2
1 tan cot tan
cot 1 cot tan
cot 2
2cot 2
c c
c
α α α α α
α α α
α
α
α α α
α α
α
α
= − = − = −
=
= =
− −
− −

= =

3
3
sin 3 3sin 4sin
os3 4cos 3cosc
α α α
α α
= −
= −

3
2
3tan tan
tan 3
1 3tan
α α
α
α
−
=
−


12

2
2
cot 3cot
cot 3

3cot 1
α α
α
α
−
=
−

1.3.4. Công thức chia đôi

1 os
sin
2 2
1 os
cos
2 2
1 os 1 os sin
tan
2 1 os sin 1 os
1 os 1 os sin
cot
2 1 os sin 1 os
c
c
c c
c c
c c
c c
α α
α α

α α α α
α α α
α α α α
α α α
−
= ±
+
= ±
− −
= ± = =
+ +
+ +
= ± = =
− −

N
ế
u
đặ
t
tan
2
t
α
=
thì có th
ể
bi
ể
u di

ễ
n sin
α
, cos
α
, tan
α
theo t nh
ư
sau:
2
2
sin
1
t
t
α
=
+
,
2
2
1
os
1
t
c
t
α
−

=
+
,
2
2
tan
1
t
t
α
=
−

1.3.5. Công thức biến đổi tổng thành tích
os os 2cos . os
2 2
os os 2sin .sin
2 2
c c c
c c
α β α β
α β
α β α β
α β
+ −
   
+ =
   
   
+ −

   
− = −
   
   

sin sin 2sin . os
2 2
c
α β α β
α β
+ −
   
+ =
   
   

sin sin 2 os .sin
2 2
sin( )
tan tan
cos .cos
sin( )
cot cot
sin .sin
c
α β α β
α β
α β
α β
α β

β α
α β
α β
+ −
   
− =
   
   
±
± =
±
± =

1.3.6. Công thức biến đổi tích thành tổng

( ) ( )
1
os . os cos os
2
c c c
α β α β α β
= + + −
 
 

( ) ( )
1
sin .sin cos os
2
c

α β α β α β
= − − +
 
 


13


( ) ( )
1
sin . os sin sin
2
tan tan
tan .tan
cot cot
c
α β α β α β
α β
α β
α β
= + + −
 
 
+
=
+

1.3.7. Một số công thức đặc biệt
os sin 2 os 2 sin

4 4
c c
π π
α α α α
   
+ = − = +
   
   

( )
( )
2 2
2 2
cos sin sin , arctan
os , arctan
a
a b a b
b
b
a b c
a
α α ϕ α ϕ
ϕ α ϕ
 
+ = + + =
 
 
 
= + − =
 

 

2
os sin 2 os 2 sin
4 4
1 sin 2cos
4 2
c c
π π
α α α α
π α
α
   
− = + = −
   
   
 
+ = −
 
 

2
1 sin 2sin
4 2
1 sin 2 os os
c c
π α
α
α α α
 

− = −
 
 
± = ±

Có th
ể
th
ấ
y r
ằ
ng các công th
ứ
c l
ượ
ng giác là công c
ụ
không th
ể
thi
ế
u
đố
i
v
ớ
i quá trình bi
ế
n
đổ

i l
ượ
ng giác do
đ
ó chúng có m
ộ
t v
ị
trí
đặ
c bi
ệ
t trong vi
ệ
c
ch
ứ
ng minh và gi
ả
i các bài toán l
ượ
ng giác. Nh
ờ
có các công th
ứ
c l
ượ
ng giác
mà ta m
ớ

i
đư
a ra
đượ
c các ph
ươ
ng pháp ch
ứ
ng minh
đẳ
ng th
ứ
c, b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c
l
ượ
ng giác,
đư
a ra cách l
ượ
ng giác hóa m
ộ
t bài toán
đạ
i s

ố
. Ngoài ra khi k
ế
t h
ợ
p
chúng v
ớ
i nh
ữ
ng
đ
i
ề
u ki
ệ
n v
ề
góc còn cho ra
đượ
c nh
ữ
ng
đẳ
ng th
ứ
c, b
ấ
t
đẳ

ng
th
ứ
c l
ượ
ng giác trong tam giác r
ấ
t h
ữ
u ích khi gi
ả
i m
ộ
t s
ố
bài toán hình h
ọ
c.
1.4. Một số bất đẳng thức cổ điển quan trọng
Trong ch
ươ
ng trình toán Trung h
ọ
c ph
ổ
thông, có r
ấ
t nhi
ề
u bài toán

ch
ứ
ng minh b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c
đạ
i s
ố
và l
ượ
ng giác là nh
ữ
ng h
ệ
qu
ả
tr
ự
c ti
ế
p ho
ặ
c
gián ti
ế
p c

ủ
a m
ộ
t s
ố
b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c c
ổ

đ
i
ể
n nh
ư
b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c Côsi, b
ấ
t
đẳ
ng th

ứ
c
Bunhiacôpxki, b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c Jensen Các b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c này
đ
óng vai trò quan
tr
ọ
ng cho vi
ệ
c gi
ả
i các bài t
ậ
p toán h
ọ
c nói chung trong
đ
ó, bao g

ồ
m c
ả
các bài
toán ch
ứ
ng minh l
ượ
ng giác.
1.4.1. Bất đẳng thức Côsi


14

Cho hai s
ố
không âm a, b.
Ta có
2
a b
ab
+
≥
, d
ấ
u b
ằ
ng x
ả
y ra khi và ch

ỉ
khi a = b.
T
ổ
ng quát
Cho n s
ố
không âm a
1
, a
2
, , a
n
ta có

1 2
1 2


n
n
n
a a a
a a a
n
+ + +
≥

D
ấ

u b
ằ
ng x
ả
y ra khi và ch
ỉ
khi a
1
= a
2
= = a
n
.
Nh
ư
v
ậ
y b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c Côsi có th
ể
áp d
ụ
ng cho các hàm l
ượ
ng giác mà

chúng có các giá tr
ị
góc làm cho các hàm này nh
ậ
n giá tr
ị
d
ươ
ng.
1.4.2. Bất đẳng thức Bunhiacôpxki
Cho
1 2 1 2
, , , ; , , ,
n n
a a a b b b
tùy ý ta có
( )
(
)
(
)
2
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2

n n n n
a b a b a b a a a b b b
+ + + ≤ + + + + + +

D

ấ
u b
ằ
ng x
ả
y ra khi và ch
ỉ
khi
1 2
1 2

n
n
a
a a
b b b
= = =
quy
ướ
c b
i
= 0 thì a
i
= 0.
B
ấ
t
đẳ
ng th
ứ

c Bunhiacopxki
đượ
c áp d
ụ
ng r
ộ
ng rãi cho m
ọ
i hàm l
ượ
ng
giác có giá tr
ị
xác
đị
nh.
1.4.3. Bất đẳng thức Jensen
B
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c Jensen
đượ
c s
ử
d
ụ
ng cho hàm l

ồ
i.
Đị
nh ngh
ĩ
a
Hàm s
ố
y = f(x)
đượ
c g
ọ
i là l
ồ
i trên [a; b] n
ế
u
1 2
, [a; b]
x x
∀ ∈
và
1 2 1 2
, 0; 1
α α α α
> + =
thì ta có:
1 1 2 2 1 1 2 2
( ) ( ) ( )
f x x f x f x

α α α α
+ ≤ +
(1)
Đ
i
ề
u ki
ệ
n c
ầ
n và
đủ

để
f(x) l
ồ
i trên (a; b) là
''
0, ( ; )
f x a b
≥ ∀ ∈
.

Gi
ả
s
ử
hàm s
ố
y = f(x) l

ồ
i trên (a; b)
( ; ), 0
i
x a b
α
∀ ∈ ∀ >
, và
1
1,( 1,2, , )
n
i
i
i n
α
=
= =
∑
. Ta có
( )
1 1
n n
i i i i
i i
f x f x
α α
= =
 
≤
 

 
∑ ∑
(2)
B
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c ta th
ườ
ng s
ử
d
ụ
ng là
(
)
(
)
(
)
1 2
1 2


n
n
f x f x f x
x x x

f
n n
+ + +
+ + +
 
≤
 
 
(3)
N
ế
u
''
( ) 0, ( ; )
f x x a b
≤ ∀ ∈
thì f (x) là hàm lõm trên kho
ả
ng (a; b). Khi
đ
ó
các b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c (1), (2) và (3)
đổ
i chi

ề
u ng
ượ
c l
ạ
i.

15

1.5. Kết luận chương 1
Đư
a ra h
ệ
th
ố
ng lý thuy
ế
t c
ơ
b
ả
n v
ề
hàm l
ượ
ng giác g
ồ
m có:
đị
nh ngh

ĩ
a,
tính ch
ấ
t, các h
ệ
th
ứ
c liên h
ệ
và các công th
ứ
c bi
ế
n
đổ
i l
ượ
ng giác quan tr
ọ
ng.
Qua
đ
ó giúp ng
ườ
i h
ọ
c th
ấ
y

đượ
c m
ố
i quan h
ệ
gi
ữ
a hàm l
ượ
ng giác v
ớ
i
đạ
i s
ố

và hình h
ọ
c.
Nêu lên m
ộ
t s
ố
c
ơ
s
ở
lý lu
ậ
n có liên quan khác bao g

ồ
m m
ộ
t s
ố
khái ni
ệ
m
và b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c c
ổ

đ
i
ể
n ph
ụ
c v
ụ
cho vi
ệ
c gi
ả
i, khai thác
đẳ

ng th
ứ
c, b
ấ
t
đẳ
ng
th
ứ
c l
ượ
ng giác.

16

Chương 2
PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH
ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC
2.1. Phương pháp chứng minh đẳng thức lượng giác
2.1.1. Sử dụng định nghĩa
Theo
đị
nh ngh
ĩ
a các
đẳ
ng th
ứ
c l
ượ

ng giác v
ừ
a là công c
ụ

để
rút g
ọ
n v
ừ
a
là ph
ươ
ng ti
ệ
n
để
ch
ứ
ng minh các
đẳ
ng th
ứ
c ph
ứ
c t
ạ
p khác, do
đ
ó

đ
ây là ph
ươ
ng
pháp ch
ứ
ng minh mà ng
ườ
i h
ọ
c th
ườ
ng s
ử
d
ụ
ng
để
ch
ứ
ng minh các
đẳ
ng th
ứ
c
l
ượ
ng giác.
Bài t
ậ

p: Ch
ứ
ng minh v
ớ
i m
ọ
i tam giác ABC có:
2 2 2
cos cos cos 1 2cos cos cos
A B C A B C
+ + = −

L
ờ
i gi
ả
i: Ta có
( )
( )
2
1 os2A 1 os2B
os
2 2
c c
VT c A B
π
+ +
= + + − +

( )
2
os2A+ os2B
1 os
2
c c
c A B
= + + +


(
)
(
)
(
)
1 cos cos cos
1 2cos cos cos
A B A B A B
C A B
 
= + + − + +
 
= −

2.1.2. Sử dụng các đẳng thức lượng giác trong tam giác
Cho tam giác ABC khi
đ
ó, v
ớ

i
đặ
c
đ
i
ể
m v
ề
t
ổ
ng ba góc trong tam giác các
đẳ
ng th
ứ
c l
ượ
ng giác c
ơ
b
ả
n gi
ữ
a các góc trong tam giác là

sin sin sin 4 os os os
2 2 2
osA+cosB+cosC 1 4sin sin sin
2 2 2
A B C
A B C c c c

A B C
c
+ + =
= +


sin sin sin 4sin sin os
2 2 2
osA+cosB cosC=4 os os sin 1
2 2 2
A B C
A B C c
A B C
c c c
+ − =
− −


sin 2 sin 2 sin 2 4sin .sin .sin
sin 2 sin 2 sin 2 4 osA.cosB.sin
A B C A B C
A B C c C
+ + =
+ − =


(
)
2 2 2
sin sin sin 2 1 osA.cosB.cosC

A B C c+ + = +

tan tan tan tan .tan .tan
A B C A B C
+ + =


17


cot cot cot cot .cot .cot
2 2 2 2 2 2
tan tan tan tan tan tan 1
2 2 2 2 2 2
cot cot cot cot cot cot 1
A B C A B C
A B B C C A
A B B C C A
+ + =
+ + =
+ + =

Bài t
ậ
p: Ch
ứ
ng minh tam giác ABC vuông khi và ch
ỉ
khi
( ) ( )

2
sin sin sin 2 sin sin sin sin .sin .sin
A B C A B C A B C
+ + = + + +
(1)

2sin .sin .sin
sin sin sin 2
sin sin sin
A B C
A B C
A B C
⇔ + + = +
+ +

L
ờ
i gi
ả
i: Do có
sin sin sin 4 os . os . os
2 2 2
A B C
A B C c c c+ + =

Ta có
đẳ
ng th
ứ
c t

ươ
ng
đươ
ng

16sin .sin .sin . os . os . os
2 2 2 2 2 2
sin sin sin 2
4 os . os . os
2 2 2
A B C A B C
c c c
A B C
A B C
c c c
+ + = +

sin sin sin 4sin .sin .sin 2
2 2 2
A B C
A B C
⇔ + + = +
(2)
Vì trong tam giác ABC thì
4sin .sin .sin 1 osA+cosB+cosC
2 2 2
A B C
c+ =
nên
(

)
(2) osA+cosB sin sin +cosC+1 sin 0
c A B C
⇔ − + − =

Trong
đ
ó

2
2 2
A+B A B A B
osA+cosB=2 os .cos 2sin .cos
2 2 2 2
1 sin os sin
2 2
A B
sin sin 2 os .cos
2 2
osC= os sin
2 2
C
c c
C C
C c
C
A B c
C C
c c
− −


=



 
− = −
 


 

−

+ =



−



(2) os sin os os 0
2 2 2 2
C C C A B
c c c
−
  
⇔ − − =
  

  


0
0
0
tan 1
90
os sin 0
2
2 2
90
os os 0
90
2 2
C
C C
C
c
C A B A
C A B
c c
C B A
B

=



=

− =



⇔ ⇔ = + ⇔ =



−



− =
= −
=







18

V
ậ
y tam giác ABC là tam giác vuông.
2.1.3. Sử dụng các công thức lượng giác cơ bản
Các công th
ứ

c l
ượ
ng giác c
ơ
b
ả
n là m
ộ
t công c
ụ
vô cùng quan tr
ọ
ng
đố
i
v
ớ
i vi
ệ
c ch
ứ
ng minh các
đẳ
ng th
ứ
c l
ượ
ng giác. Tùy theo bài toán l
ượ
ng giác c

ầ
n
ch
ứ
ng minh mà ta ch
ọ
n và s
ử
d
ụ
ng công th
ứ
c c
ơ
b
ả
n phù h
ợ
p
để
ch
ứ
ng minh
bài toán
đ
ó.
Bài t
ậ
p: CMR:
0 0 0 0 0

8 3
tan30 tan 40 tan50 tan60 os20
3
c+ + + =

L
ờ
i gi
ả
i: Ta bi
ế
n
đổ
i v
ế
trái c
ủ
a
đẳ
ng th
ứ
c
0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
sin 90 sin 90
tan 30 tan 60 tan 40 tan 50
os30 . os60 os40 . os50
VT
c c c c

= + + + = +


( )
( )
0
0
0 0 0
0
0 0
0
0
4 1 4 2 4cos10 2 3
sin100
sin 90 40 . os50
3 3 3 os10
4 os10 os30
3 os10
8 3
os20
3
c
c
c c
c
c
+
= + = + =
−
+

=
=

V
ậ
y v
ế
trái b
ằ
ng v
ế
ph
ả
i, ta có
đ
i
ề
u ph
ả
i ch
ứ
ng minh.
2.1.4. Phương pháp đặt ẩn phụ

Ph
ươ
ng pháp
đặ
t
ẩ

n ph
ụ

đượ
c s
ử
d
ụ
ng khi
đẳ
ng th
ứ
c
đ
ã cho có bi
ể
u th
ứ
c
l
ượ
ng giác chung nào
đ
ó ho
ặ
c t
ừ

đẳ
ng th

ứ
c ban
đầ
u ta có th
ể
bi
ế
n
đổ
i
đư
a v
ề

đẳ
ng th
ứ
c theo m
ộ
t hàm l
ượ
ng giác nào
đ
ó.
Đ
ây là ph
ươ
ng pháp
đượ
c s

ử
d
ụ
ng
nhi
ề
u khi gi
ả
i ph
ươ
ng trình l
ượ
ng giác ho
ặ
c khi gi
ả
i các bài toán l
ượ
ng giác liên
quan
đế
n
đạ
o hàm và nguyên hàm.
Trong ph
ươ
ng pháp này có 3 b
ướ
c ti
ế

n hành c
ơ
b
ả
n
• Đặ
t
ẩ
n ph
ụ
và gán
đ
i
ề
u ki
ệ
n cho
ẩ
n, nên chú ý t
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n ban
đầ
u
để

ch
ọ
n
ẩ
n ph
ụ
thích h
ợ
p.
• Đư
a
đẳ
ng th
ứ
c ban
đầ
u v
ề

đẳ
ng th
ứ
c có bi
ế
n là
ẩ
n ph
ụ
, sau
đ

ó ti
ế
n
hành gi
ả
i quy
ế
t
đẳ
ng th
ứ
c v
ừ
a t
ạ
o thành.
•
Gi
ả
i bài toán v
ớ
i
ẩ
n ph
ụ
v
ừ
a tìm
đượ
c, k

ế
t lu
ậ
n nghi
ệ
m.
Bài t
ậ
p: Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
3
sin .sin 2 sin 3 6cos 0
x x x x
+ − =
(1)

2 3 3
(1) 2sin .cos 3sin 4sin 6cos 0
x x x x x
⇔ + − − =


19

L
ờ
i gi

ả
i: Ta th
ấ
y
cos 0 ,
2
x khi x k k Z
π
π
= = + ∈
, không là nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng
trình nên ta chia hai v
ế
cho cos
3
x thì
đượ
c ph
ươ
ng trình m
ớ
i sau

(

)
2 2 3
2tan 3tan . 1 tan 4 tan 6 0
x x x x
+ + − − =

Đặ
t t = tanx ta có
3 2
2 3 6 0
t t t
− − + =
(2)

arctan 2
2 tan 2
(2) 3 tan 3
3
3 tan 3
3
x k
t x
t x x k
t x
x k
π
π
π
π
π



= +
= =
 

 

⇔ = ⇔ = ⇔ = +
 

 

= − = −
 

= − +


M
ộ
t s
ố
ph
ươ
ng trình khác có th
ể
gi
ả
i theo ph

ươ
ng pháp này nh
ư

1)

6
3sin 4cos 6
3sin 4cos 1
x x
x x
+ + =
+ +

Đặt
3sin 4cos
t x x
= +
, điều kiện
1 0
t
+ ≠

2)

2 3 2 3
tan +tan tan cot +cot cot 6
x x x x x x
+ + + =

Đặt
tan cot
t x x
= +

3)

sin cos sin .cos 0
x x x x
+ + =

Đặt
sin cos
t x x
= +

2.2. Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức lượng giác
Để chứng minh một bất đẳng thức nào đó là đúng ta cần lập luận chặt chẽ
dựa trên tính chất cơ bản của bất đẳng thức, ngoài những tính chất của BĐT thì
các b
ất đẳng thức lượng giác còn có những tính chất riêng, đặc thù. Các bất đẳng
th
ức lượng giác rất đa dạng do đó phương pháp chứng minh chúng cũng rất đa
d
ạng, và được lựa chọn phù hợp với đặc điểm của BĐT đó. Cần chú ý rằng để
ch
ứng minh một bất đẳng thức lượng giác phức tạp ta cần áp dụng nhiều phương
pháp khác nhau m
ột cách hợp lí để giải. Sau đây là một số phương pháp phổ
bi

ến thường được sử dụng để chứng minh các bất đẳng thức lượng giác.
2.2.1. Sử dụng định nghĩa
Để chứng minh một bất đẳng thức A > B nào đó ta sẽ chỉ ra rằng A – B>0
ho
ặc ngược lại khi cần chứng minh bất đẳng thức A – B > 0 ta có thể đưa về bất
đẳng thức A > B để chứng minh. Cụ thể ta xét một số ví dụ sau
Bài tập 1: Chứng minh rằng 4sin3α + 5 ≥ 4cos2α + 5sinα.

20

Lời giải:
Ta xét VT – VP = 4sin3α + 5 – 4cos2α – 5sinα.
= 4(3sin
α – 4sin
3
α) + 5 – 4(1- 2sin
2
α) – 5sinα
= 1+ 7sinα + 8sin
2
α – 16sin
3
α
= (1 – sin
α)(4sinα + 1)
2

Do – 1
≤ sinα ≤ 1 nên 1 – sinα ≥ 0.
V

ậy VT – VP ≥ 0 (đpcm)
Bài t
ập 2: Chứng minh rằng với mọi x, y ta có
( )
3
cos cos cos
2
x y x y
+ − + ≤

L
ời giải:
Ta có bất đẳng thức đã cho tương đương với bất đẳng thức
( )
2
3
cos cos cos 0
2
3
2cos 1 2cos cos 0
2 2 2 2
x y x y
x y x y x y
+ − − + ≥
+ − +
     
⇔ − − + ≥
     
     

2
1
2cos 2cos cos 0
2 2 2 2
x y x y x y+ − +
     
⇔ − + ≥
     
     

2
x+y
4 os 4cos os 1 0
2 2 2
x y x y
c c
+ −
     
⇔ − + ≥
     
     

2
2
2 os os sin 0
2 2 2
x y x y x y
c c
 + −  −
     

⇔ − + ≥
     
 
     
 
(*)
Do t
ổng hai bình phương luôn dương nên bất đẳng thức (*) đúng.
Nh
ư vậy sau khi chuyển vế và biến đổi ta có được một bất đẳng thức đúng
tương đương với bất đẳng thức đã cho. Do đó bất đẳng thức ban đầu đúng.
2.2.2. Sử dụng một số bất đẳng thức lượng giác cơ bản, bất đẳng thức đại số
Khi sử dụng tính chất bắc cầu của các bất đẳng thức và một số bất đẳng
th
ức quan trọng, quen biết ta có thể rút ngắn các phép chứng minh. Thông
th
ường trong chương trình phổ thông trung học BĐT Côsi và BĐT
Bunhiacôpxki
được sử dụng rộng rãi nhất và một số BĐT lượng giác quen thuộc
nh
ư sinx ≤ 1, cosx ≤ 1.
Bài t
ập 1: CMR trong
ABC
∆
ta có

6
2
sin

2
cos
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
≥
−
+
−
+
−
C
BA
B
AC
A
CB


21

Lời giải: Vì
0
0 , , 180
A B C< <

nên có
sin ,sin ,sin ,sin ,sin ,sin
2 2 2
A B C
A B C
đều dương. Theo bất đẳng thức Côsi ta có
3
cos cos cos cos cos cos
2 2 2 2 2 2
3 (1)
sin sin sin sin sin sin
2 2 2 2 2 2
B C C A A B B C C A A B
A B C A B C
− − − − − −
+ + ≥ ⋅ ⋅

M
ặt khác
cos cos cos
2 2 2
sin sin sin
2 2 2
B C C A A B
A B C
− − −
⋅ ⋅

2sin cos 2sin cos 2sin cos
2 2 2 2 2 2

2cos sin 2cos sin 2cos sin
2 2 2 2 2 2
B C B C C A C A A B A B
A A B B C C
+ − + − + −
= ⋅ ⋅

(
)
(
)
(
)
sin sin sin sin sin sin
sin sin sin
B C C A A B
A B C
+ + +
=

Lạ
i theo b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c Côsi ta
có








≥+
≥+
≥+
ACAC
CBCB
BABA
sinsin2sinsin
sinsin2sinsin
sinsin2sinsin

(
)
(
)
(
)
sin sin sin sin sin sin 8sin sin sin
B C C A A B A B C
⇒ + + + ≥

(
)
(

)
(
)
sin sin sin sin sin sin
8
sin sin sin
B C C A A B
A B C
+ + +
⇒
≥
(2)
T
ừ
(1) và (2) ta suy ra

683
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
3

=≥
−
+
−
+
−
C
BA
B
AC
A
CB

⇒
đ
pcm.
Bài t
ậ
p 2: Cho
ABC
∆
tù
y
ý
. CMR

1 1 1
tan tan tan 4 3
2 2 2
tan tan tan

2 2 2
A B C
A B C
     
     
+ + + + + ≥
     
     
     

L
ờ
i
giả
i:
Xé
t hàm
( )
tan , 0;
2
f x x x
π
 
= ∀ ∈
 
 


22

Khi
đó

(
)
''
f x
=
2
2 tan (1 tan )
x x
+

Theo b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c Jensen
thì

tan tan tan 3
2 2 2
A B C
+ + ≥
(1)
Xé
t
( )

cot , 0;
2
g x x x
π
 
= ∀ ∈
 
 

Có
( )
( )
2
'' 2 1 cot cot 0, 0;
2
g x x x x
π
 
= + > ∀ ∈
 
 

Theo b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c Jensen
thì

ta có:
cot cot cot 3 3
2 2 2
A B C
+ + ≥
(2)
V
ậ
y t
ừ
(1) và (2) ta có
đượ
c
đ
pcm.
2.2.3. Sử dụng một số bất đẳng thức lượng giác trong tam giác
Gi
ả
s
ử

(
)
CBAf ,,
là bi
ể
u th
ứ
c ch
ứ

a các hàm s
ố
l
ượ
ng giác c
ủ
a các góc
trong
ABC
∆
và các góc A, B, C th
ỏ
a mãn hai
đ
i
ề
u ki
ệ
n
1)
( ) ( )
2
2
A B
f A f B f
+
 
+ ≤
 
 

ho
ặ
c
( ) ( )
2
.
2
A B
f A f B f
+
 
≤
 
 
(1)

đẳ
ng th
ứ
c x
ả
y ra khi và ch
ỉ
khi
B
A
=

2)
( )

3
2
3 2
C
f C f f
π
π
 
+
 
 
+ ≤
 
 
 
 
 
ho
ặ
c
( )
2
3
.
3 2
C
f C f f
π
π
 

+
 
 
≤
 
 
 
 
 
(2)

Đẳ
ng th
ứ
c x
ả
y ra khi và ch
ỉ
khi
3
C
π
=

Khi c
ộng hoặc nhân (1), (2) ta sẽ có bất đẳng thức
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3
3

3
3
f A f B f C f
f A f B f C f
π
π

 
+ + ≤
 

 


 
≤

 
 


Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
CBA
=
=
. T
ươ
ng t
ự
ta c

ũ
ng có b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c v
ớ
i chi
ề
u ng
ượ
c l
ạ
i. V
ớ
i ph
ươ
ng pháp này ta s
ẽ

đư
a ra
đượ
c nhi
ề
u b
ấ
t

đẳ
ng th
ứ
c l
ượ
ng giác trong m
ộ
t tam giác nh
ư


23

3 3
sin sin sin
2
3
osA+cosB+cosC
2
1
osA.cosB.cosC
8
A B C 3 3
os +cos +cos
2 2 2 2
A B C
c
c
c
+ + ≤

≤
≤
≤

2 2 2
9
sin sin sin
4
1
sin sin sin
2 2 2 8
3
sin sin sin
2 2 2 2
A B C
tan +tan +tan 3
2 2 2
cot A+cotB+cotC 3
A B C
A B C
A B C
+ + ≤
≤
+ + ≤
≤
≤

Bài t
ậ
p:

Cho tam giác ABC, các
đườ
ng phân giác c
ủ
a các góc A, B, C c
ắ
t
đườ
ng
tròn ngo
ạ
i ti
ế
p tam giác ABC (có bán kính R) l
ầ
n l
ượ
t t
ạ
i A
1
, B
1
, C
1
. Ch
ứ
ng
minh r

ằ
ng
2 2
1 1 1
2 sin .sin .sin 2 sin .sin .sin
R A B C R A B C
≤
(1)

L
ờ
i gi
ả
i: Vì có
1 1 1
; ;
2 2 2
B C C A A B
A B C
+ + +
= = =


(1) sin .sin .sin sin .sin .sin
2 2 2
B C C A A B
A B C
+ + +
⇔ ≤

8sin sin sin os os os os os os
2 2 2 2 2 2 2 2 2
A B C A B C A B C
c c c c c c⇔ ≤

Do trong tam giác ABC thì
os os os 0
2 2 2
A B C
c c c
>
nên b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c trên
t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i
1
sin sin sin
2 2 2 8
A B C

≤
.

Đ
ây là m
ộ
t b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c l
ượ
ng giác trong tam giác nên b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c ban
đầ
u
đ
úng. D
ấ
u
đẳ
ng th
ứ

c x
ả
y ra khi và ch
ỉ
khi
1
sin sin sin
2 2 2 2
A B C
= = =
, t
ứ
c tam
giác ABC là
đề
u.
2.2.4. Phương pháp biến đổi tương đương
S
ử
d
ụ
ng các công th
ứ
c l
ượ
ng giác và s
ự
bi
ế
n

đổ
i qua l
ạ
i gi
ữ
a chúng.
Thông th
ườ
ng v
ớ
i ph
ươ
ng pháp này s
ẽ

đư
a b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c c
ầ
n ch
ứ
ng minh v
ề

24

d
ạ
ng b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c
đ
úng ho
ặ
c v
ề
d
ạ
ng quen thu
ộ
c. Hai b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c g
ọ
i là
t

ươ
ng
đươ
ng n
ế
u b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c này
đ
úng thì b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c kia c
ũ
ng
đ
úng, phép
bi
ế
n
đổ
i
đượ

c g
ọ
i là t
ươ
ng
đươ
ng n
ế
u nó bi
ế
n m
ộ
t b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c thành b
ấ
t
đẳ
ng
th
ứ
c khác t
ươ
ng
đươ
ng v

ớ
i nó.
Bài t
ậ
p:

Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
1 1 2
3 sin 3 sin 2 cos
x x x
+ ≤
+ − +

L
ờ
i gi
ả
i:
Nh
ậ
n xét r
ằ
ng
1 sin 1,cos 1
x x
− ≤ ≤ ≥ −

nên ta có
3+ sinx > 0, 3 – sinx > 0, 2 + cosx > 0 lúc này b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c t
ươ
ng
đươ
ng s
ẽ
là

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
2
3 sin 2 cos 3 sin 2 cos 2 9 sin
12 6cos 18 2 1 cos 2
2cos 2 6cos 4 0

(cos 1)(cos 2) 0 (*)
x x x x x
x x
x x
x x
− + + + + ≤ −
⇔ + ≤ − −
⇔ − + ≥
⇔ − − ≥

Do cosx
≤
1 nên b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c (*)
đ
úng và vì th
ế
b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c cho ban
đầ

u là
đ
úng.
2.2.5. Phương pháp tam thức bậc hai
D
ự
a vào
đặ
c
đ
i
ể
m v
ề
d
ấ
u c
ủ
a tam th
ứ
c b
ậ
c hai là luôn d
ươ
ng s
ẽ
giúp ta
nh
ậ
n

đị
nh và
đ
ánh giá v
ề
d
ấ
u c
ủ
a m
ộ
t s
ố
b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c c
ầ
n ch
ứ
ng minh các. V
ớ
i
ph
ươ
ng pháp tam th
ứ

c b
ậ
c hai có th
ể
cho phép thu
đượ
c các b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c m
ạ
nh
h
ơ
n b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c ban
đầ
u, giúp phát tri
ể
n bài toán ban
đầ
u

để
thu
đượ
c bài toán
m
ớ
i cùng v
ớ
i ph
ươ
ng pháp ch
ứ
ng minh m
ớ
i t
ươ
ng
ứ
ng.
Bài t
ậ
p: Ch
ứ
ng minh trong tam giác ABC:
3
cos cos cos
2
F A B C
= + + ≤

L
ờ
i gi
ả
i: Ta có
2 2
1 2sin 2cos cos 1 2sin 2sin cos
2 2 2 2 2 2
A B C B C A A B C
F
+ − −
= − + = − +


2
2sin 2sin cos 1 0
2 2 2
A A B C
F
−
⇒
− + − =
.
Ph
ươ
ng trình này luôn có nghi
ệ
m nên
2
B C

' os 2 2 0
2
c F
−
∆ = − + ≥

2
B C
os
3
2
1
2 2
c
F
−
⇒ ≤ + ≤

T
ừ

đ
ây ta có b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c m
ạ

nh h
ơ
n nh
ư
sau

25

2 2 2
cos cos cos
2 2 2
cos cos cos 1
6
A B B C C A
F A B C
− − −
+ +
= + + ≤ +

2.2.6. Đưa về véctơ và tích vô hướng

Ta th
ấ
y l
ượ
ng giác
đượ
c b
ắ
t ngu

ồ
n t
ừ
hình h
ọ
c và có m
ố
i liên h
ệ
ch
ặ
t ch
ẽ

v
ớ
i hình h
ọ
c. Vi
ệ
c
đư
a b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c c
ầ

n ch
ứ
ng minh v
ề
tích vô h
ướ
ng chính là
s
ự
th
ể
hi
ệ
n rõ m
ố
i liên h
ệ
này.
Đ
ây là ph
ươ
ng pháp th
ườ
ng áp d
ụ
ng
đượ
c cho
vi
ệ

c ch
ứ
ng minh b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c trong tam giác hay trong
đườ
ng tròn l
ượ
ng giác.
Bài t
ậ
p 1:

Ch
ứ
ng minh trong tam giác nh
ọ
n ABC, v
ớ
i m
ọ
i s
ố
th
ự
c x, y, z ta có

( )
2 2 2
1
cos 2 cos 2 cos 2
2
yz A zx B xy C x y z
+ + ≥ − + +

L
ờ
i gi
ả
i:
G
ọ
i O là tâm
đườ
ng tròn ngo
ạ
i ti
ế
p tam giác ABC ta luôn có

(
)
2
0
xOA yOB zOC
+ + ≥

  

2 2 2
2 2 2
2 . . 2 . . 2 . . 0
x OA y OB z OC xy OAOB yz OB OC zx OC OA
⇔ + + + + + ≥
        

2 2 2
2 cos2 2 cos2 2 cos2 0
x y z xy C yz A zx B
⇔ + + + + + ≥

( )
2 2 2
1
cos2 cos2 cos 2
2
yz A zx B xy C x y z
⇔ + + ≥ − + +
=>(
đ
pcm)
Bài t
ậ
p 2: Cho tam giác ABC nh
ọ
n, ch
ứ

ng minh r
ằ
ng

3
cos2 cos2 cos2
2
A B C
+ + ≥ −

L
ờ
i gi
ả
i:
Tr
ướ
c h
ế
t ta g
ọ
i O, G là tâm
đườ
ng tròn ngo
ạ
i ti
ế
p và tr
ọ
ng tâm

ABC
∆

Ta có
3
OA OB OC OG
+ + =
   

Vì luôn có
(
)
2
0
OA OB OC
+ + ≥
  
v
ớ
i R là bán kính
đườ
ng tròn ngo
ạ
i ti
ế
p
ABC
∆

(
)
(
)
(
)
2 2
3 2 cos , cos , cos , 0
R R OA OB OB OC OC OA
 
⇔ + + + ≥
 
     


(
)
2 2
3 2 cos2 cos 2 cos 2 0
R R C A B
⇔ + + + ≥


3
cos 2 cos 2 cos 2
2
A B C
⇔ + + ≥ −
=>(
đ

pcm)
2.2.7. Tận dụng tính đơn điệu của hàm số