Khai thác một số bài toán chứng minh Bất đẳng thức

“SKKN: Khai thác một số bài toán chứng minh Bất đẳng thức”
I. ĐẶT VẤN ĐỀ
Chứng minh bất đẳng thức là một vấn đề có thể nói là rất phức tạp, nó rèn luyện
cho người làm toán trí thông minh, sự sáng tạo và sự khéo léo, mỗi kết quả của
việc chứng minh bất đẳng thức đều được xem là rất có vai trò trong việc giải quyết
hữu hiệu các nội dung khác của Toán học và các khoa học khác.
Nhưng để chứng minh bất đẳng thức thì không đơn giản chút nào, nhất là đối
với học sinh, các em tỏ ra lúng túng khi phân tích thông tin về bài toán và chọn
cho mình một công cụ để chứng minh hiệu quả nhất. Tôi suy nghĩ rằng không có
một công thức, một cách làm chung nào có thể giải quyết mọi dạng toán, mọi bài
toán, vì như thế toán học sẽ không còn sự sáng tạo không ngừng nữa và hơn hết nó
sẽ mất đi giá trị to lớn của mình điều kiện các khoa học khác.
Tuy nhiên, qua quá trình dạy toán và làm toán, tôi thế rằng có rất nhiều bài toán
có vẻ như tách rời và không liên quan đến nhau, nhung khi giải toán xong các bài
toán tôi phát hiện ra nguồn gốc của chúng về cơ bản là giống nhau và chúng đều
được xuất phát từ một bài toán ban đầu nào đó rất cơ bản.
Chính vì vậy tôi bắt đầu từ những bài toán đó và tìm các khai thác chúng qua
những hướng khác nhau nhằm tạo ra những bài toán mới thuộc cùng “họ” với bài
toán ban đầu. Việc làm toán này đối với giáo viên sẽ rất có tác dụng trong việc
sáng tạo ra những bài toán nhằm kiểm tra sự sáng tạo của học sinh, còn đối với các
em học sinh thì tìm hiểu vấn đề này sẽ phát triển trí tuệ và sự sáng tạo của mình
qua đó có thể làm tốt hơn những bài toán chứng minh bất đẳng thức.
Trong sáng kiến này tôi không tham lam khai thác nhiều bài toán và cũng
không có ý cho rằng hai bài toán mà tôi khai thác sẽ tạo ra hai “họ” bài, toán
chứng minh bất đẳng thức đủ rộng để bao quát toàn bộ mảng bất đẳng thức trong
chương trình toán THPT . Tôi chỉ suy nghĩ rằng nếu chúng ta tìm được càng nhiều
bài toán gốc và khai thác chúng theo cách mà tôi trình bày sau đây thì viêc chứng
minh bất đẳng thức sẽ trở nên linh hoạt hơn và do đó các chuyên đề khác chứ
không chỉ chuyên đề bất đẳng thức cũng sẽ được khai thác tương tự.
Giáo viên: Trần Bá Duy – Chuyên môn: Toán học – THPT B Bình Lục Trang 1
“SKKN: Khai thác một số bài toán chứng minh Bất đẳng thức”

II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ (NỘI DUNG)
A. Bài toán cơ bản 1
Đề bài: cho a, b, c > 0 chứng minh rằng:
2 2 2
a b c
a b c
b c a
+ + ≥ + +
.
Chứng minh: áp dụng bất đẳng thức cô – si cho hai số dương

2 2
2 2
a a
b a a b
b b
+ ≥ ⇔ ≥ −
(1)
Tương tự :
2
2
b
b c
c
≥ −
(2)
2
2
c
c a

a
≥ −
(3)
Cộng từng vế của ba bất đẳng thức cùng chiều 1, 2,3 ta được
2 2 2
a b c
a b c
b c a
+ + ≥ + +

(đpcm).

Dấu “=” xảy ra
2
2
2
a
b
b
b
c a b c
c
c
a
a
=
= ⇔ = =
=
.
1. Khai thác bài toán nhờ đặc biệt hóa

Bài toán 1.1: Cho a,b,c >0 và a+b+c= 2014.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2 2
a b c
T
b c a
= + +
Lời giải:
Dựa vào phần chứng minh bài toán cơ bản 1 ở trên ta suy ra T ≥a+b+c
Giáo viên: Trần Bá Duy – Chuyên môn: Toán học – THPT B Bình Lục Trang 2
“SKKN: Khai thác một số bài toán chứng minh Bất đẳng thức”
Mà a+b+c = 2014  giá trị nhỏ nhất của biểu thức T bằng 2014 đạt được khi
2014
a b c
a b c
= =
+ + =

2014
3
a b c⇔ = = =
Bài toán 1.2 : cho a, b, c là độ dài ba cạnh của ∆ABC thỏa mãn:
2 2 2
a b c
a b c
b c a
+ + = + +
(*)
Hỏi tam giác ABC là tam giác gì?
* Nhận xét: bài toán 1.2 chính là bài toán được tạo ra từ bài toán cơ bản 1 khi xét

trường hợp dấu “=” xảy ra.
Lời giải:
Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác ABC  a,b,c >0
Dựa vào bài toán cơ bản 1 ta có:
2 2 2
a b c
a b c
b c a
+ + ≥ + +
(**)
Từ giả thuyết (*) suy ra dấu “=” ở bất đẳng thức (**) phải xảy ra
⇔ a = b = c ⇔ tam giác ABC là ∆ đều.
Bài toán 1.3. Cho tam giác ABC có h
a
, h
b
, h
c
là độ dài đường cao ứng với đỉnh
A,B,C
Chứng minh rằng :
2 2 2
1 1 1
b c a
a b c a b c
h h h
h h h h h h
+ + ≥ + +
*Nhận xét : bài toán 1.3 xuất phát từ bài toán cơ bài1 khi ta thay

2 2 2
; ;
a b c
S S S
a b c
h h h
= = =
Lời giải :
Gọi a,b,c là độ dài ba cạnh của ∆ABC ứng với các đường cao h
a
, h
b
, h
c

Theo bài toán cơ bản 1 ta có
2 2 2
a b c
a b c
b c a
+ + = + +
Giáo viên: Trần Bá Duy – Chuyên môn: Toán học – THPT B Bình Lục Trang 3
“SKKN: Khai thác một số bài toán chứng minh Bất đẳng thức”
Mà theo công thức tính diện tích tam giác
1 1 1
2 2 2
a b c
S ah bh ch= = =
⇒
2 2 2

, ,
a b c
S S S
a b c
h h h
= = =
Thay vào ta có đpcm.
Bài toán 1.4: cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
2 2 2
Sin A Sin B Sin C
SinA Sinb SinC
SinB SinC SinA
+ + ≥ + +
*Nhận xét:
Bài toán 1.4 xuất phát từ bài toán cơ bản 1 khi ta thay a = 2R.Sin A, b =
2R.Sin B, c = 2R.Sin C
* Lời giải:
Theo bài toán cơ bản 1/ với a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác ABC
Ta có:
2 2 2
a b c
a b c
b c a
+ + ≥ + +
Theo định lý Sin trong tam giác
2 2 , 2 , 2
a b c
R a RSinA b RSinB c RSinC
SinA SinB SinC
= = = ⇒ = = =

Thay vào ta có đpcm.
Dấu “=” xảy ra ⇔SinA = SinB = SinC ⇔
A B C
∧ ∧ ∧
= =
⇔tam giác ABC đều.
2. Khai thác bài toán bằng cách xét bài toán tương tự
Bài toán 1.5:
Cho a, b, c >0 chứng minh rằng
3 3 3
2 2 2
a b c
a b c
b c a
+ + ≥ + +
*Nhận xét: bài toán 1.5 thực ra bắt nguồn từ bài toán cơ bản 1, chỉ có một chút
thay đổi nhỏ là số mũ ở tử và mẫu của vế trái đều tăng lên 1 đơn vị nhưng vẫn đảm
Giáo viên: Trần Bá Duy – Chuyên môn: Toán học – THPT B Bình Lục Trang 4
“SKKN: Khai thác một số bài toán chứng minh Bất đẳng thức”
bảo nguyên tắc “Số mũ của tử” –“số mũ của mẫu” ≥ “số mũ của vế phải”. Do đó
cách giải sẽ tương tự bài toán 1 cơ bản.
Lời giải: áp dụng BĐT cô si cho ba số dương
3 3
2 2
3 3 2
a a
b b a a b
b b
+ + ≥ ⇔ ≥ −
Tương tự

3
2
3 2
b
b c
c
≥ −

3
2
3 2
c
c a
a
≥ −
Cộng từ vế 3 BĐT cùng chiều ở trên ⇒
3 3 3
2 2 2
a b c
a b c
b c a
+ + ≥ + +
(đpcm).


3
2
3 2
a
a b

b
≥ −
Dấu “=” xảy ra ⇔
3
2
3 2
b
b c
c
≥ −
⇔
a b c= =

3
2
3 2
c
c a
a
≥ −
Bài toán 1.6: cho a,b,c >0 chứng minh rằng
3 3 3
2 2 2
a b c
a b c
b c a
+ + ≥ + +
*Nhận xét:
Cũng giống như bài toán 1.5, bài toán 1.6 vẫn đảm bảo nguyên tắc “Số mũ của tử”
–“số mũ của mẫu” ≥ “số mũ của vế phải”.

Lời giải:
Áp dụng BĐT cô si cho 3 số dương
3 3 3
2 2 2
3 2 3
a a a
a a b
b b b
+ ≥ ⇔ ≥ −
Tương tự
Giáo viên: Trần Bá Duy – Chuyên môn: Toán học – THPT B Bình Lục Trang 5
“SKKN: Khai thác một số bài toán chứng minh Bất đẳng thức”
3
2
2 3
b
b c
c
≥ −
3
2
2 3
c
c a
a
≥ −
Cộng từ vế 3 BĐT cùng chiều ở trên ta được:
3 3 3
2 2 2
a b c

a b c
b c a
+ + ≥ + +
(đpcm).
Dấu “=” xảy ra ⇔
3
2
3
2
3
2
a
b
b
b
b a b c
c
c
c
a
=
= ⇔ = =
=
3. Khai thác bài toán theo hướng khái quát hóa
Bài toán 1.7 cho x
1
, x
2
,….x
n

>0, n∈N, n≥3.
Chứng minh rằng:
2 2 2
1 2
1 1
2 3 1

n
n
x x x
x x x
x x x
+ + ≥ + +
*Nhận xét: bài toán 1.7 thực ta là bài toán cơ bản 1 khi ta tăng số biến lên n biến.
Lời giải:
Áp dụng BĐT cô si cho hai số dương
2 2
1 1
2 1 1 2
2 2
2 2
x x
x x x x
x x
+ ≥ ⇔ ≥ −
Tương tự
2
2
2 3
3

2
x
x x
x
≥ −
…………
Giáo viên: Trần Bá Duy – Chuyên môn: Toán học – THPT B Bình Lục Trang 6
“SKKN: Khai thác một số bài toán chứng minh Bất đẳng thức”
2
1
1
2
n
n
x
x x
x
≥ −
Cộng n vế bất đẳng thức cùng chiều ở trên ta có đpcm.
Dấu “=” xảy ra ⇔ x
1
= x
2
= …x
n
.
Bài toán 1.8:
Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng ∀n ∈N:
1 1 1n n n
n n n

a b c
a b c
b c a
+ + +
+ + ≥ + +
Hướng dẫn:
Áp dụng BĐT cô si cho (n+1) số dương
1 1
( 1) ( 1)
n n
n n
a a
b b n a n a nb
b b
+ +
+ + + ≥ + ⇒ ≥ + −
Tương tự
1
( 1)
n
n
b
n b nc
c
+
≥ + −
1
( 1)
n
n

c
n c na
a
+
≥ + −
Cộng từ vế 3 BĐT cùng chiều ta được đpcm.
Bài toàn 1.9:
Cho a,b,c>0 chứng minh rằng:
1 1 1n n n
n n n
a b c
a b c
b c a
+ + +
+ + ≥ + +
Hướng dẫn:
Áp dụng BĐT cô si cho (n+1) số dương
1 1 1 1
( 1) ( 1)
n n n n
n n n n
a a a a
b n a n n a b
b b b b
+ + + +
+ + + + ≥ + ⇒ ≥ + −
Tương tự
1
( 1)
n

n n
b
n n b c
c
+
≥ + −
1
( 1)
n
n n
c
n n c a
a
+
≥ + −
Giáo viên: Trần Bá Duy – Chuyên môn: Toán học – THPT B Bình Lục Trang 7
“SKKN: Khai thác một số bài toán chứng minh Bất đẳng thức”
Cộng từ vệ 3 BĐT ta có đpcm. Dấu “=” xảy ra ⇔ a= b = c
Bài toán 1.10: cho tam giác ABC có h
a
, h
b
, h
c
là độ dài 3 đường cao tương ứng kẻ
từ A, B, C. r là bán kình đường tròn nội tiếp ∆ABC
Chứng minh rằng:
2 2 2
1
b c a

a b c
h h h
h h h r
+ + ≥
*Nhận xét: bài toán 1.10 xuất phát từ bài toán cơ bản 1 khi ta thay
2 2 2
, ,
a b c
S S S
a b c
h h h
= = =
Và a+b+c = 2P =
2S
r
B. Bài toán cơ bản 2
Cho A,B,C >0 và a.b.c = 1.
Chứng minh rằng: a
3
+b
3
+c
3
≥ a+b+c.
Lời giải:
Áp dụng BĐT cô si cho 3 số dương
a
3
+1+1 ≥3a ⇒a
3

≥3a – 2
tương tự
b
3
≥3b – 2
c
3
≥3c – 2
cộng từng vế 3 BĐT cùng chiều ta được
a
3
+b
3
+c
3
≥ (3a+3b+3c – 6) ⇔ a
3
+b
3
+c
3
≥ (a+b+c) + [2(a+b+c) - 6]
Giáo viên: Trần Bá Duy – Chuyên môn: Toán học – THPT B Bình Lục Trang 8
“SKKN: Khai thác một số bài toán chứng minh Bất đẳng thức”
cũng theo BĐT cô si, ta có
3
3
3 3 1 3a b c abc+ + ≥ = =
⇔2(a+b+c) ≥6
⇔2(a+b+c)-6 ≥0

⇔a
3
+b
3
+c
3
≥ a+b+c (ddpcmđpcm)
Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b = c = 1.
1. Khai thác bài toán nhờ đặc biệt hóa
Bài toán 2. 1: Cho a, b, c >0 và a.b.c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3 3 3
a b c
T
a b c
+ +
=
+ +
Lời giải: theo bài toán cơ bản 2 ta có:
3 3 3
a b c+ +
≥ a+b+c mà a+b+c >0
⇔
3 3 3
1 1
a b c
T
a b c
+ +
≥ ⇔ ≥
+ +

⇒GTNN của T = 1
Đạt được khi a= b = c = 1
Bài toán 2.2 : cho x, y , z ∈
R
thỏa mãn x+y +z = 0 chứng minh rằng :
8
x
+8
y
+8
z
≥2
x
+2
y
+2
z
Lời giải :
Dặt Đặt a = 2
x
, b = 2
x
, c = 2
z
và a.b.c = 2
x+y+z
= 2
0
= 1
Theo bài toán cơ bản 2

⇒ a
3
+b
3
+c
3
≥ a+b+c
⇒8
x
+8
y
+8
z
≥2
x
+2
y
(đpcm)
Dấu “=” xảy ra ⇔ x = y = z = 0.
2. Khai thác bài toán theo hướng tương tự bài toán 2.3 :
Cho a, b, c >0 và a.b.c = 1
Chứng minh rằng:
3 3 3
a b c+ +
≥ a
2
+b
2
+c
2

Lời giải:
Áp dụng BĐT cô si cho 3 số dương
3 3 3
a b c+ +
≥3a
3
⇒2a
3
≥3a
2
-1
Giáo viên: Trần Bá Duy – Chuyên môn: Toán học – THPT B Bình Lục Trang 9
“SKKN: Khai thác một số bài toán chứng minh Bất đẳng thức”
Tương tự
2b
3
≥3b
2
-1
2c
3
≥3c
2
-1
Cộng từng vế ⇒2 (
3 3 3
a b c+ +
)≥2(
2 2 2

a b c+ +
) + (
2 2 2
a b c+ +
-3)
Cũng theo BĐT cô si:
2 2 2
a b c+ +
≥
2 2 2
3
3 3a b c =
⇔
2 2 2
a b c+ +
-3 ≥ 0
⇔2(
3 3 3
a b c+ +
)≥2(
2 2 2
a b c+ +
)
⇔
3 3 3
a b c+ +
≥
2 2 2
a b c+ +
(đpcm)

Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b= c = 1
Bài toán 2.4. Cho a, b , c >0 và a.b.c = 1 chứng minh rằng
a
5
+a
5
+a
5
≥
3 3 3
a b c+ +
Lời giải
a
5
+a
5
+a
5
+1+1 ≥5.a
3
⇒3.a
5
≥5.a
3
– 2
Tương tự:
3.b
5
≥5.b
3

– 2
3.c
5
≥5.c
3
– 2
Cộng từng vế ta được
3(a
5
+a
5
+a
5
)≥3(
3 3 3
a b c+ +
) + [2(
3 3 3
a b c+ +
)-6]
Lại theo bất đẳng thức cô si
2 2 2
a b c+ +
≥
2 2 2
3
3 3a b c =
⇔2(
2 2 2
a b c+ +

) - 6 ≥0
⇔3(a
5
+a
5
+a
5
)≥3(
3 3 3
a b c+ +
)⇒đpcm.
3. Khai thác bài toán theo hướng khái quát hóa
Bài toán 2.5. Cho a, b, c>0, a.b.c = 1 chứng minh rằng
a
n
+ b
n
+c
n
≥a
n-1
+ b
n-1
+c
n-1
, ∀n∈N, n≥2.
Lời giải:
Áp dụng BĐT cô si cho n số dương
a
n

+ a
n
+ …a
n
+ 1≥n.a
n-1
Giáo viên: Trần Bá Duy – Chuyên môn: Toán học – THPT B Bình Lục Trang 10
“SKKN: Khai thác một số bài toán chứng minh Bất đẳng thức”
⇔ (n-1)a
n
≥ n.a
n-1
- 1
Tương tự
(n-1)b
n
≥ n.b
n-1
– 1
(n-1)c
n
≥ n.c
n-1
– 1
Cộng từng vế ta được
(n-1).(a
n
+ b
n
+c

n
)≥(n-1).(a
n-1
+ b
n-1
+c
n-1
) + (a
n-1
+ b
n-1
+c
n-1
-3)
Lại theo BĐT cô si
Ta có:
a
n-1
+ b
n-1
+c
n-1
≥
1 1 1
3
3 3
n n n
a b c
− − −
=

⇔ a
n-1
+ b
n-1
+c
n-1
-3 ≥0
⇔ (n-1).(a
n
+ b
n
+c
n
)≥(n-1).(a
n-1
+ b
n-1
+c
n-1
) (đpcm)
Dấu “=” xảy ra ⇔a = b = c =1.
4. Khai thác bài toán theo hướng làm cho BĐT mạnh lên, giả thiết nhẹ đi.
Bài toán 2.6:
Cho x,y,z >0 và x + y + z = 3
Chứng minh rằng
3
1 1 1 2
x y z
yz xz xy
+ + ≥

+ + +
Lời giải :
Ta có :
2 2
1 1 1
x x x
yz xyz xyz
= =
+ + +
Mà theo BĐT cô si cho 3 số dương
x + y + z ≥
3 3
1
3 . . 3 3 . . 1 ( 1)
1 1
x
x y z x y z xyz x
yz x
⇔ ≥ ⇔ ≤ ⇒ ≥ − +
+ +
tương tự
1
( 1)
1 1
y
y
xz y
≥ − +
+ +
Giáo viên: Trần Bá Duy – Chuyên môn: Toán học – THPT B Bình Lục Trang 11

“SKKN: Khai thác một số bài toán chứng minh Bất đẳng thức”
1
( 1)
1 1
z
z
xy z
≥ − +
+ +
Cộng từng vế ta được
1 1 1
( ) 3 ( )
1 1 1 1 1 1
x y z
x y z
yz xz xy x y z
+ + ≥ + + − + + +
+ + + + + +
Mà x+y+z= 3
Và
1 1 1 9 9 3
1 1 1 3 6 2x y z x y z
+ + ≥ = =
+ + + + + +
⇒
3
1 1 1 2
x y z
yz xz xy
+ + ≥

+ + +
(đpcm)
Dấu “=” xảy ra ⇔ x= y = z = 1
Bài toán 2.7 :
Cho x, y , z >0 và x+y+z = 3
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
T =
3 3 3
x y z
y z x z x y
+ +
+ + +
Lời giải :
Áp dụng bất đẳng thức cô si cho 3 số dương
3 3 3
1 3 3 1
3
4 2 8 2 2 4 2
x y z x x x x y z
y z y z
+ +
+ + ≥ = ⇒ ≥ − −
+ +
Tương tự
3
3 1
2 4 2
y y x z
x z
+

≥ − −
+
3
3 1
2 4 2
z z x y
x y
+
≥ − −
+
Cộng từng vế
⇒
3 3 3
3
( )
2
x y z
x y z
y z x z x y
+ + ≥ + + −
+ + +
Mà x+y+z = 3 ⇒
3 3 3
3
2
x y z
y z x z x y
+ + ≥
+ + +
Giáo viên: Trần Bá Duy – Chuyên môn: Toán học – THPT B Bình Lục Trang 12

“SKKN: Khai thác một số bài toán chứng minh Bất đẳng thức”
⇒GTNN của T là
3
2
đạt được khi x = y =z= 1
III. KẾT LUẬN
Trải qua thực tế công tác giảng dạy toán phổ thông tôi nhận thất học sinh
vẫn có tâm lý “sợ” phải chứng minh bất đẳng thức và vẫn còn lúng túng khi phân
tích giả thuyết và tìm hướng giải một số bài chứng minh bất đẳng thức. Tuy nhiên
sau khi tôi trình bày sáng kiến này của mình trên một số lớp 10 ban A, tôi nhận
thất các em học sinh đã có những dấu hiệu tiếp thu rất tích cực : các em cso hứng
thú làm các bài chứng minh bất đẳng thức hơn, khi đối diện một bài chứng minh
bất đẳng thức các em đã chủ động phân tích để tìm ra “nguồn gốc” của bài toán ;
các em cố gắng sử dụng phương pháp “ quy lạ thành quen”… Và hơn hết các em
đã không còn tâm lý e dè, “ngại” chứng minh bất đẳng thức như trước kia nữa.
Giáo viên: Trần Bá Duy – Chuyên môn: Toán học – THPT B Bình Lục Trang 13
“SKKN: Khai thác một số bài toán chứng minh Bất đẳng thức”
Điều này làm cho tôi càng có niềm tin vào việc cần phải khai thác những bài toán
theo hướng khác nhau để sáng tạo ra, hoàn thiện hơn chuyên môn của mình.
Trên đây là ý kiến của tôi về vấn đề “khai thác một số bài toán chứng minh
bất đẳng thức” và nó không ngoài mong muốn sẽ mang đến cho cả người dạy toán
và học toán một phương pháp tư duy về chứng minh bất đẳng thức. Do kinh
nghiệm chưa có nhiều nên bài viết của tôi không tránh khỏi khiếm khuyết, mặc dù
tôi đã rất cố gắng sắp xếp, trình bày cấu trúc của bài viết nhằm làm nổi bật ý đồi
của mình. Tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo trong tổ
bộ môn và của hội đồng sư phạm nhà trường để ý tưởng của tôi hoàn thiện hơn.
Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn./.
Bình Lục, Ngày 10 tháng 04 năm 2014
Người viết
Trần Bá Duy

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Bất đẳng thức của Phan Đức Chính.
2. Sáng tạo bất đẳng thức của Phạm Kim Hùng.
3. SGK Đại số 10 Nâng cao của Đoàn Quỳnh – Nguyễn Huy Đoan
4. Bất đẳng thức chuyền đề luyện thi vào đại học của Trần Văn Hạo

Giáo viên: Trần Bá Duy – Chuyên môn: Toán học – THPT B Bình Lục Trang 14